UNIVERSITE DE MONTRÉAL SOLUTION DU PROBLÈME …

UNIVERSITE DE MONTRÉAL

SOLUTION DU PROBLÈME GÉOMÉTRIQUE DIRECT DES MANIPULATEURS

STAR

SAYD MAMDOUH

DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE

ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL

MÉMOIRE PRÉSENTÉ EN VUE DE L’OBTENTION

DU DIPLÔME DE MAITRISE ÈS SCIENCES APPLIQUÉES

(GÉNIE MÉCANIQUE)

UNIVERSITE DE MONTRÉAL

ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL

Ce mémoire intitulé :

SOLUTION DU PROBLÉME GÉOMÉTRIQUE DIRECT DES

MANIPULATEURS DE TOPOLOGIE STAR

Présenté par : Sayd Mamdouh

En vue de l’obtention du diplôme de : Maîtrise ès sciences appliquées

REMERCIEMENTS

Je suis redevable aux professeurs Luc Baron et Christian Mascle, qui ont supervisé mes

travaux de recherche, pour leur patience durant les longues heures de discussion, leurs

suggestions stimulantes, leur excellent encadrement et le soutien permanent qu’il m’ont

apporté durant toute la période de recherche.

Je tiens à exprimer ma reconnaissance à l’École Polytechnique de Montréal pour leur

aide financière.

Je veux aussi remercier mes parents, ma famille pour leur patience et leur encouragement

RÉSUMÉ

Ce mémoire présente les différentes méthodes de la résolution du problème géométrique

direct MGD des manipulateurs parallèles de topologie 3PRPcR et STAR. L’objectif

général de ce mémoire est de démontrer que le nombre de solutions du MGD dépend des

paramètres géométriques du manipulateur et qu’il est possible d’en avoir plus que deux.

Le premier chapitre de ce mémoire présente les définitions de base et les notions

générales nécessaires à la compréhension des chapitres suivants. Par la suite, une étude

cinématique sur les manipulateurs de topologie 3PRPcR. Cette étude comporte, la

solution du problème géométrique inverse MGI, la détermination de la matrice

jacobienne ainsi que son utilisation pour la résolution numérique du MGD, la

présentation d’une méthode algébrique pour la solution du MGD et finalement, des

exemples numériques. Le chapitre 3 traite une étude cinématique sur toutes les

géométries des manipulateurs de topologie STAR. Cette étude contient, la solution du

MGI, la détermination de la matrice jacobienne, la formulation des équations

mathématiques décrivant le MGD et finalement des exemples numériques illustrants

l’application de la matrice jacobienne pour la résolution du MGD. Le chapitre 4 présente

une méthode numérique permettant la solution du MGD, ainsi que des exemples

numériques pour la validation de cette méthode. Ces exemples numériques porteront sur

plusieurs géométries des manipulateurs de la famille STAR. On va également extraire

une règle empirique sur le nombre de solutions du MGD en fonction des paramètres

géométriques du manipulateur.

ABSTRACT

This thesis presents the differents ways to resolve the direct kinematic of the 3PRPcR and

the STAR-like topology. The principal goal of this work is to demonstrate that the

3PRPcR can’t have more than tow solutions of the DK problem, and also to demonstrate

that the STAR can have more than two assembly modes. The first chapter of this memory

presents the basic definitions and the general notions necessary to comprehension of the

following chapters. Thereafter, a kinematic study on the 3PRPcR manipulators. This

study includes

• the solution of the inverse kinematic problem;

• the determination of the jacobian matrix;

• the numerical resolution of the DK problem based on the jacobian matrix;

• the algebraic solution of the DK;

• And finally, some numerical examples.

The third chapter contains a kinematic study for all the STAR-like topology. It includes

the first, second, third and fifth points of the chapter 1. Adding to that, it contains the

algebraic formulation which describes the mathematical equations of the DK problem.

The chapter 4 presents a graphical method to resolve the DK for the all STAR-like

topology, and some numerical examples. This method allows us to find all of the points

solutions and then all of the STAR assembly modes.

TABLE DES MATIÈRES

REMERCIEMENTS

RÉSUMÉ

ABSTRACT

TABLE DES MATIÈRES

LISTE DES TABLEEAUX

LISTE DES FIGURES

LISTE DES NOTATIONS ET DES SYMBOLES

INTRODUCTION

CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS

1.1 Définitions

1.1.1 Chaîne cinématique

1.1.2 Manipulateur sériel et parallèle

1.1.3 Degré de liberté

1.1.4 Modèle géométrique

1.1.5 Espace de travail

1.1.6 Matrice jacobienne et singularité

1.1.7 Topologie et paramètres géométriques

1.1.8 Configurations

1.1.9 Synthèse géométrique

1.1.10 Mode d’assemblage

1.2 Travaux Précédents

1.3 Sujet de recherche

CHAPITRE 2 MGD DES MANIPULATEURS 3PRPcR

2.1 Définition du problème

2.2 Modélisation mathématique

2.3 Interprétation géométrique

2.4 Solution algébrique du problème

2.5 Exemples numériques

2.6 Solution numérique du problème

2.6.1 Matrice jacobienne

2.6.2 Algorithme de résolution

2.6.3 Exemple numérique

CHAPITRE 3 MGD DES MANIPULATEURS STAR


3.2 Modélisation mathématique

3.3 Interprétation géométrique

3.4 Méthode de résolution

3.4.1 MGI

3.4.2 Equation algébrique de l’intersection des surfaces S1 avec S2 et S3

3.4.3 Solutions du MGD

3.4.5 Exemples numériques

3.4.6 Configurations du manipulateur

3.5 Conclusion

3.6 Solution numérique du problème en utilisant la matrice jacobienne


3.6.2 Algorithme de résolution

3.6.3 Exemple numérique

CHAPITRE 4 Solution graphique du MGD pour les STAR et exemples numériques

4.1 Solution du MGD pour un manipulateur YSTAR

4.1.1 Géométrie 1

4.1.2 Géométrie 2

4.2 Solution du MGD pour un manipulateur STAR

4.2.1 Géométrie à axes perpendiculaires

4.2.2 Géométrie à axes parallèles

CONCLUSION

LISTE DES NOTATIONS ET DES SYMBOLS

MS : Manipulateur sériel.

MP : Manipulateur parallèle.

DDL : Degré de liberté.

MGD : Modèle géométrique direct.

MGI : Modèle géométrique inverse.

J : Matrice Jacobienne.

Ei : Centre du curseur i.

Bi : Centre du guide parallèle au curseur i.

A : Système d’axes de référence fixé sur la base.

B : Système d’axes fixé sur la plate-forme mobile.

p : Vecteur position de l’origine de B dans A.

qi : Vecteur déplacement de l’écrou i par rapport à sa position initiale.

ai0 : Vecteur position de Ai dans A.

ai : Vecteur position de Ei dans A.

θi : Angle de rotation du moteur i dans le cas des manipulateurs STAR.

vi : Vecteur position de l’écrou i à l’état initiale du manipulateur.

mi : Vecteur membrure reliant l’écrou au curseur.

bi : Vecteur position de Bi par rapport à B.

αi, βi : Paramètre géométriques de la base du manipulateur [32].

γi, φi : Paramètres géométriques de l’effecteur du manipulateur [24].

CA : Coordonnées articulaires.

CS : Coordonnées cartésiennes.

Rx(θ) : Matrice carrée d’ordre 3*3 exprimant la rotation autour de l’axe x par

l’angle θ et s’exprime tel que

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθ−θ=θ

cossin

sincos)(

0

0

001

xR .

Ry(θ) : Matrice carrée d’ordre 3*3 exprimant la rotation autour de l’axe y par

l’angle θ et s’exprime tel que

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθ−

θθ=θ

cossin

sincos

)(

0

010

0

yR .

Rz(θ) : Matrice carrée d’ordre 3*3 exprimant la rotation autour de l’axe z par

l’angle θ et s’exprime tel que :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθ−θ

=θ100

0

0

cossin

sincos

)(z

R .

i : Vecteur unitaire tel que i = [1 0 0]T.

j : Vecteur unitaire tel que j = [0 1 0]T.

k : Vecteur unitaire tel que k = [0 0 1]T.

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1.1 : Différents types de singularités dans les MP

Tableau 1.2 : Couples cinématiques inférieurs

Tableau 2.1 : Solution du MGD et nombre d’itérations pour MP1 en fonction de

l’erreur et du point de départ de la boucle

Tableau 3.1 : Solutions du MGD et nombre d’itérations pour MP2 en fonction de


Tableau 4.1 : Les huit solutions du MGD pour MP3

Tableau 4.2 : Vérification numérique des solutions du MGD pour MP3 avec la

méthode du MGI


méthode du MGI

Tableau 4.3 : Les douze solution du MGD pour MP4

LISTE DES FIGURES

Figure 1.1: Manipulateur sériel PUMA

Figure 1.2: Manipulateurs parallèles à 6 ddl avec trois chaînes

Figure 1.3: Relation entre l’espace articulaire et l’espace des coordonnées

cartésiennes de l’effecteur

Figure 1.4: Manipulateur parallèle Gough

Figure 1.5: Plate-forme de Gough améliorée

Figure 1.6: Manipulateur parallèle HEXA

Figure 1.7:

Figure 1.8: Le robot plan 3-RPR

Figure 1.9: Les deux modes d’assemblages possibles pour un manipulateur

parallèle plan

Figure 1.10: Manipulateur parallèle DELTA

Figure 1.11: Différentes solutions du MGD pour le DELTA

Figure 1.12: Manipulateur parallèle MANTA

Figure 1.13 : Solutions du MGD pour le MANTA

Figure 1.14: Solutions du MGD pour la plate forme de STEWART-

GOUGH

Figure 2.1 : Manipulateur parallèle 3PRPcR et ses composantes principales

Figure 2.2 : Paramètres géométriques de la base pour les manipulateurs 3PRPcR

Figure 2.3 : Boucle cinématique d’une jambe d’un manipulateur 3PRPcR

Figure 2.4 : Configuration initiale du manipulateur MP1

Figure 2.5 : Première solution du MGD pour MP1

Figure 2.6 : Deuxième solution du MGD pour MP1

Figure 2.7 : Évolution de l’erreur en fonction du nombre d’itérations pour MP1

Figure 3.1 : Manipulateur parallèle YSTAR

Figure 3.2 : Paramètres γi et φi


Figure 4.1 : Surfaces décrites par les points Bi pour MP3

Figure 4.2 : Surfaces Sui représentant les surfaces décrites pas les points Bi

translatées par les grandeurs bi pour MP3

Figure 4.3 : Courbes d’intersection des surfaces Su1 avec Su2 et Su1 avec Su3,

ainsi que les points solution du MGD pour MP3

Figure 4.4 : Organigramme de la vérification numérique des solutions du MGD

par le MGI

Figure 4.5 : Configuration initiale du manipulateur du MP4

Figure 4.6 : Première configuration du MGD pour MP4

Figure 4.7 : Deuxième configuration du MGD pour MP4

Figure 4.8 : Troisième configuration du MGD pour MP4

Figure 4.9 : Quatrième configuration du MGD pour MP4

Figure 4.10 : Cinquième configuration du MGD pour MP4


Figure 4.11 : Sixième configuration du MGD pour MP4

Figure 4.12 : Septième configuration du MGD pour MP4

Figure 4.13 : Huitième configuration du MGD pour MP4

Figure 4.14 : Configuration 9 du MGD pour MP4












INTRODUCTION

La plupart des manipulateurs existants actuellement sont des robots sérielles qui

sont composés d’une chaîne cinématique ouverte. Ces manipulateurs sont

capables d’atteindre un grand espace de travail, mais ne peuvent garantir une

grande précision quand à la position et l’orientation de son organe terminal. En

effet, les erreurs de positionnement et d’orientation s’additionnent de la base à

l’effecteur. Les manipulateurs sériels présentent aussi l’inconvénient d’un faible

rapport charge/poids par rapport à l’unité (de l’ordre de 1/35 pour les robots

électriques [1]). En effet, en plus du poids des membrures, s’ajoute le poids des

moteurs qui sont placés au niveau des articulations. D’un autre coté, ces

manipulateurs présentent des faiblesses au niveau de la rigidité, vu que les

membrures supportent le poids des moteurs qui entraîne une déformation en

flexion. Les manipulateurs sériels ne devraient donc pas être conçus pour des

applications nécessitants une grande vitesse, une grande rigidité et charge. À cet

effet, une autre classe de manipulateurs a vu le jour qui est les manipulateurs

parallèles. Ces manipulateurs jouissent d’une grande précision, rigidité et rapport

charge/poids [2]. En effet, les membrures ne supportent pas le poids des moteurs

ce qui améliore la rigidité et la précision. En plus, et grâce à leur chaîne

cinématique fermée, les erreurs de positionnement et d’orientation ne

s’additionnent pas mais s’annulent. La première architecture des manipulateurs

parallèles fut naître en 1947 par Gough [3], [4] qui consistait en un manipulateur

à 6 degrés de libertés servant à orienter et positionner une plate forme pour tester

des pneus. En 1965, Stewart [5] s’est inspiré de l’architecture de Gough pour

concevoir un mécanisme semblable actionné pas six vérins linéaires et dont le

but était de simuler le vol d’un avion. Le problème géométrique direct MGD (

[6] - [18]) consiste à déterminer la position et l’orientation de l’organe terminal

connaissant les coordonnées articulaires. Ce problème est en général très

compliqué à résoudre pour les manipulateurs parallèles. En effet, la modélisation

mathématique mène en général à un système d’équations non linéaires ce qui

correspond géométriquement à l’intersection de n surfaces complexes. La

méthode la plus connue pour la résolution du MGD pour les MP consiste à

transformer le système d’équations en un polynôme mono-variable [19], ce qui

permet de déduire le nombre de solutions maximal ainsi que les modes

d’assemblages. À titre d’exemples, dans le cas des manipulateurs parallèles

plans, Freudenstein [20] a confirmé que le nombre de modes d’assemblages est

fini et que le problème géométrique direct peut se mettre sous forme d’un

polynôme mono-variable. La plupart des chercheurs se sont limités à la

résolution numérique [21], [22] à cause de la complexité du problème. D’autres

méthodes numériques se basant surtout sur la matrice jacobienne ont été étudiées

par des chercheurs durant les dernières décennies. Ces méthodes présentent

l’inconvénient qu’elles ne permettent pas de déterminer toutes les solutions ainsi

que les modes d’assemblage. Aussi des techniques graphiques ou semi

graphiques [23], [24] ont été utilisées à ce but. Le travail de ce mémoire présente

plusieurs méthodes de résolution du MGD pour deux topologies de MP qui sont

le 3PRPcR est le STAR. Cependant, on va utiliser la méthode du polynôme

mono-variable pour résoudre algébriquement le MGD pour les 3PRPcR. En plus,

on va utiliser la méthode de la matrice jacobienne pour résoudre numériquement

le MGD pour les deux topologies. Finalement, on va se servir d’une méthode

graphique pour les STAR.

CHAPITRE 1

GÉNÉRALITÉS

Ce chapitre introduit les notions et définitions de base de robotique permettant la

compréhension des chapitres suivants.

1.1 Les manipulateurs sériels

Un manipulateur sériel se compose d’un ensemble de membrures montées en série et

reliées par des liaisons prismatiques, rotoïdes ou des combinaisons de celles ci,

comme le montre la figure 1.1. Ces manipulateurs possèdent un grand espace de

travail. D’un autre coté, à cause de leur structure en porte-à-faux, ils souffrent d’une

faible rigidité et de faibles performances dynamiques. Pour les manipulateurs

sériels, le problème géométrique direct est simple à résoudre. Par contre, le

problème géométrique inverse est souvent compliqué à résoudre sauf dans le cas où

la géométrie du manipulateur est telle que les degrés de liberté de rotation sont

découplés des degrés de liberté de translation, dans ce cas, le problème géométrique

inverse peut être résolu explicitement .

Figure 1.1: Manipulateur sériel PUMA

1.2 Manipulateurs parallèles

Un manipulateur parallèle est un mécanisme à chaîne cinématique fermée, composé

d’un organe terminal possédant n degrés de liberté, souvent appelé ``plate-forme``,

d’une base fixe et de plusieurs sous chaînes cinématiques indépendantes reliant

cette dernière à la plate forme. Chaque sous-chaîne se compose de segments

articulées et motorisée par un actionneur à un degré de liberté qui peut être linéaire

(prismatique) ou rotatif (rotoïde). La figure 1.2 montre un manipulateur à 6 degrés

de liberté, pour lequel la plate-forme mobile est reliée à la base par l'intermédiaire de

3 pattes constituée chacune d'un mécanisme à 5 barres. Pour chacune des pattes, les

deux membrures proximales du parallélogramme sont montées sur la structure en

utilisant des articulations de type rotoïde, procurant deux degrés de liberté. De plus,

chaque patte possède un mouvement de rotation autour d'un axe vertical passant par

le point d'attache de cette patte à la base, ce qui procure un troisième degré de liberté

pour la patte. Cette dernière rotation inclut également les points d'attache des

ressorts à la base de telle sorte que, qu’elles que soit la configuration de la plate-

forme mobile, les ressorts sont toujours situées dans le plan du parallélogramme.

Finalement, la membrure distale de chaque patte est reliée à la plate-forme mobile

par l'intermédiaire d'une articulation sphérique. Étant donné que six des articulations

rotoïdes sont actionnées, en l'occurrence deux articulations par patte, le manipulateur

parallèle possède donc 6 degrés de liberté.

Figure 1.2: Manipulateur parallèle à 6 ddl avec trois chaînes

Les manipulateurs parallèles jouissent :

• d’une excellente rigidité structurelle. Aussi la possibilité de déporter les

actionneurs vers la base du manipulateur permet d’envisager des actionneurs

plus puissants puisque ceux-ci n’ont plus à être déplacés par le manipulateur

lui même mais sont fixés en général à la base.

• D’une excellente précision de positionnement.

• D’un problème géométrique inverse simple à résoudre.

En contrepartie, l’espace de travail de ces manipulateurs est réduit et le problème

géométrique direct est en général très difficile à résoudre. Ce dernier conduit, en fait

à un système d’équations non linéaires et couplées.

1.3 Modèle géométrique

Désignons par

q ≡ [q1…………qm]T

le vecteur des cordonnées articulaires (CA) d’un manipulateur à n degrés de liberté,

ainsi que

x ≡ [x1…………xn]T

les coordonnées cartésiennes (CC) de son Ef . Le modèle géométrique inverse (MGI)

et tel que montré à la figure 1.3 consiste à déterminer les (CA) connaissant les (CC).

Le modèle géométrique direct (MGD) consiste à déterminer les (CC) pour des (CA)

connus.

Figure 1.3:Relation entre l’espace articulaire et l’espace des coordonnées

cartésiennes de l’effecteur

1.4 Matrice jacobienne et singularité

La matrice jacobienne exprime la relation entre les vitesses articulaires et le torseur

de vitesse t ≡ [vT wT] T de l’effecteur, où vT et wT sont respectivement le vecteur

vitesse de l’origine et le vecteur vitesse angulaire du référentiel lié à l’effecteur.

En général, cette relation s’exprime par :

.

qBAt = (1.1)

où A est la matrice jacobienne parallèle et B est la matrice jacobienne sérielle. Dans

le cas des MS, A est toujours la matrice identité. L’équation 1.1 s’écrit alors

Espace Articulaire q

Coordonnées Cartésiennes x

MGD

MGI

.

qBt = (1.2)

Dans le cas des manipulateurs pleinement parallèle, B est diagonale. B est inversible

si les éléments de la diagonale ne sont pas nuls. Ainsi l’équation 1.1 devient

AtBq.

1−= (1.3)

Des configurations singulières [25]-[28] apparaissent lorsque le DDL de l’effecteur

est différent de la dimension de l’espace de travail auquel il évolue [29]. Gosselin et

Angeles [30] ont montré que les singularités des chaînes cinématiques fermées

peuvent être divisées en trois groupes principaux. Leur méthode est basée sur la

détermination des racines du déterminant des deux matrices jacobiennes sérielle et

parallèle. Le tableau 1.1 résume les différents types de singularités dans les MP.

Type de singularité Équation Caractéristiques

Parallèle Det (A)=0 L’organe terminal peut se déplacer

tout en fixant les coordonnées

articulaires

Sérielle Det (B)=0 L’organe terminal ne peut pas se

déplacer même si on change les

coordonnées articulaires

Parallèle/Sérielle Det(A)=0

et

Det (B)=0

Il est possible de déplacer l’organe

terminal en fixant les coordonnées

articulaires et inversement.

Structurelle Le MGD admet une infinité de

solutions

Tableau 1.1 : Différents types de singularités dans les MP

1.5 Mode d’assemblage

La notion du mode d’assemblage est associée aux différentes solutions du MGD.

Pour les MS, il existe toujours une seule solution au MGD, et donc un seul un mode

d’assemblage. Par contre les MP peuvent posséder plusieurs modes d’assemblage

[31] dépendamment du nombre des solutions du MGD.

1.6 Mode opératoire

La notion du mode opératoire est associée aux différentes solutions du MGI.

Contrairement au MGD, les MS peuvent avoir plusieurs modes opératoires. À titre

d’exemple, un RR plan possède deux modes opératoires. Pour les manipulateurs

pleinement parallèles, la matrice jacobienne parallèle est diagonale et chaque

élément de la matrice est associé à une jambe. Un mode opératoire correspond aux

différentes configurations où les termes Bii gardent le même signe sans s’annuler.

Ainsi, un manipulateur ayant n jambes possède 2n modes opératoires.

1.7 Travaux précédents

Le but de ce paragraphe est de présenter un tour d'horizon des robots parallèles les

plus répandus, ainsi que différents travaux concernant le MGD pour les MP. La

description de ces robots est complexe car il est difficile de les représenter à l'aide

des outils normalisés utilisés dans le domaine mécanique. En effet, les symboles de

liaisons utilisés dans les schémas cinématiques sont bien adaptés pour les

mécanismes plans, mais leur mise en oeuvre est fastidieuse pour la représentation de

mécanismes spatiaux. Afin d'aider à la compréhension de cette présentation, nous

utiliserons les graphes d'agencement. Chaque pièce rigide ou assemblage rigide de

pièces est représenté par un trait. Les liaisons entre ces pièces sont représentées par

des rectangles dont la lettre inscrite correspond à la nature de la liaison. La tableau

1.2 explique les notations adoptées.

Représentation Nom de la liaison Liaison passive Liaison motorisée

Rotoïde (pivot) R R

Prismatique (glissière) P P

Universelle (cardan) U

Sphérique (rotule) S

Tableau 1.2 : Couples cinématiques inférieurs

Même si les bases mathématiques (géométrie de Grassman) utilisées dans cette

discipline remontent au XIXème siècle, les premiers mécanismes parallèles ont

moins de 50 ans. Le premier mécanisme parallèle est attribué à Gough. Il était

destiné à tester le comportement de pneumatiques. La plate-forme mobile de ce

mécanisme possède 6 degrés de liberté (les trois translations et les trois rotations de

l'espace). La nacelle (partie mobile) est reliée à la base (partie fixe) à l'aide de 6

pattes identiques. Chacune de ces pattes est connectée, d'une part à la base par un

joint de cardan et d'autre part à la nacelle par une liaison rotule. La longueur de

chacune des pattes est modifiée à l'aide d'un vérin. Plusieurs robots reposant sur ce

principe ont été proposés. Les variations par rapport à la plate-forme originale sont

liées à la position des points d'ancrage des pattes sur la base et sur la nacelle. Ce type

d'architecture est toujours d'actualité et nous pouvons citer, par exemple, les robots

F-100 et F-200i actuellement commercialisés par la société Fanuc.

Figure 1.4: Manipulateur parallel Gough

Ce principe, légèrement modifié (Figure I-3), a été repris en 1965 par Stewart pour

réaliser un simulateur de vol à 6 degrés de liberté. Cependant, de par l'architecture

retenue, nous constatons que l'objectif de la réduction des masses en mouvement

n'est pas pleinement atteint. Les plates-formes de Gough et de Stewart, souvent

appelées abusivement toutes deux " plate-forme de Stewart ", possèdent des

actionneurs mobiles et par conséquent une dynamique réduite, bien que déjà

meilleure que celle des robots série.

Figure 1.5: Plate-forme de Gough améliorée

Pour améliorer la dynamique de la plate-forme de Gough, l'idée est d'intervertir les

liaisons glissière et cardan en utilisant des barres de longueur fixe donc plus légères.

Les actionneurs sont alors disposés sur la base. Cela aboutit au prototype " main

gauche " développé à l'INRIA par Jean-Pierre Merlet. Ce robot, dont la plate-forme

mobile possède également 6 degrés de liberté , est constitué de 6 actionneurs

linéaires reliés chacun à une barre de longueur fixe par un joint de cardan. La

deuxième extrémité de ces barres est en liaison rotule par rapport à la nacelle.

L'organe terminal (nacelle) des robots que nous venons de présenter possède 6

degrés de liberté (3 translations et 3 rotations). Or, certaines tâches robotiques

n'utilisent pas la totalité de ces 6 degrés de liberté. Par exemple, les tâches de pick

and place nécessitent 3 degrés de liberté en translation (4 degrés de liberté pour du

pick and place avec orientation).

Le robot Delta, créé à l'Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne répond à ce

besoin. Les mouvements de l'organe terminal de ce robot sont les 3 translations.

L'apparition de cette structure ultra-légère a apporté un renouveau au domaine de la

robotique parallèle. Plusieurs déclinaisons de ce robot sont possibles. La

motorisation de ce robot peut être réalisée à l'aide d'actionneurs linéaires ou rotatifs.

· Les barres reliant les moteurs à la nacelle peuvent être du type doubles barres de

même longueur montées sur rotule à chacune de leurs extrémités (ou cardan à une

extrémité, rotule à l'autre) ou simples barres possédant une liaison cardan à chacune

de leurs extrémités. Dans ce cas, une condition géométrique régit la position des

axes des cardans afin d'obtenir les mouvements de translation de la nacelle. Pour les

architectures à base d'actionneurs rotatifs, on peut ajouter un mouvement de rotation

de l'organe terminal. Dans ce cas, l'actionneur est localisé sur la base afin de ne pas

pénaliser la dynamique de l'ensemble. Le mouvement est transmis à l'organe

terminal par une chaîne passive. En1991, François Pierrot propose une évolution du

concept 3 axes du robot Delta vers un concept 6 axes. Ses travaux ont débouché sur

la création du robot Hexa. Il est composé de 6 actionneurs rotatifs reliés chacun par

une liaison rotule à une barre de longueur fixe. Chacune de ces barres est reliée à la

nacelle par une liaison rotule. Tout comme le robot Delta, il s'agit d'un robot léger,

donc rapide.

Figure 1.6:

Figure 1.7: Manipulateur parallèle HEXA

Le MGD est réputé pour être difficile à résoudre pour les manipulateurs parallèles

voire impossible à évaluer. Ils comptent jusqu’à 40 solutions complexes desquelles

on peut en dénombrer jusqu’à 24 réelles. La technique de modélisation proposée par

Lazard and Faugeres consiste à rédiger un système polynomial de neuf équations

quadratiques avec neuf variables. On applique ensuite les techniques de traitement

des polynômes selon les bases de Gröbner réalisées par Faugeres. Ensuite, le

système polynomial est transformé en un polynôme monovarié selon les techniques

développées par Rouillier. La dernière étape est l’isolation des racines réelles selon

d’autres techniques proposées par Rouillier.

Une version modifiée de la méthode de résolution de Faugère and lazard a été

utilisée pour résoudre le MGD pour un robot parallèle plan. Tout robot parallèle peut

être considéré comme un mécanisme à quatre barres (voir fig. 3). Ce qui mène à 12

solutions complexes et 2 solutions réelles dans notre cas étudié.

Figure 1.8: Le robot plan 3-RPR

Figure 1.9: Les deux modes d’assemblages possibles pour un manipulateur parallèle plan

Le manipulateur DELTA est un robot en translation pure grâce à des avant bras avec

des parallélogrammes.

Figure 1.10: Manipulateur parallèle DELTA

Figure 1.11: Différentes solutions du MGD pour le DELTA

Le Manta linéaire (par Rolland) est un mécanisme constitué de 3 chaînes principales.

Chacune est doté de deux parties : l’axe linéaire de l’actionneur et la barre fixe.

Figure 1.12: Manipulateur parallèle MANTA

Figure 1.13 : Différentes solution du MGD pour le MANTA

Pour la plate-forme de Gough, on trouve huit solutions au problème du MGD dont

les postures sont représentées à la figure 1.14.

Figure 1.14: Différents solution du MGD pour la plate forme de STEWART-

GOUGH

1.8 Sujet de recherche

Ce mémoire traite de la solution algébrique du problème géométrique direct des

manipulateurs parallèles de topologie 3PRPcR et STAR. En premier lieu, on traite la

solution et la modélisation du problème géométrique direct des manipulateurs de

topologie 3PRPcR. On démontrera par la suite que le MGD des 3PRPcR revient à

résoudre l’intersection de trois sphères centrées sur les centres des écrous et décalées

d’un facteur déplacement bi. Par la suite, on s’intéressera à la modélisation

mathématique du MGD pour les manipulateurs STAR. Ceci va nous permettre de

conclure que le MGD revient à résoudre un système de six équations non linéaires à

six inconnus. On démontrera également que géométriquement, ce problème équivaut

à déterminer l’intersection de trois surfaces hélicoïdales méridiennes cycliques dont

on va établir la paramétrisation. Dans ce mémoire, on va aussi établir les matrices

jacobiennes sérielles et parallèles des deux topologies. Ceci va nous permettre de

résoudre le MGD en utilisant l’algorithme de Newton. Finalement, on va présenter

une méthode graphique en utilisant le logiciel CATIA doté d’un atelier de

conception surfacique. Pour illustrer les différentes méthodes de résolution, on va

présenter des exemples numériques dont les résultats seront vérifiés numériquement

à l’aide du MGI et géométriquement.

CHAPITRE 2

MGD DES MANIPULATEURS 3PRPcR

Ce chapitre présente une méthode de résolution du problème géométrique direct des

manipulateurs parallèles de la classe topologique 3-PRPcR [31]. Cette méthode

permet de déterminer la position de l’effecteur à partir des positions articulaires des

curseurs le long des vis commandés. Géométriquement, la solution de ce problème

équivaut à déterminer les points d’intersection de trois sphères centrées sur les axes

commandés et décalés selon la géométrie de l’effecteur. Algébriquement, ce

problème se ramène à résoudre un système de trois équations quadratiques à trois

inconnues, dont il n’existe au plus que deux solutions distinctes.

2.1 Topologie des manipulateurs 3PRPcR

les manipulateurs parallèles de topologie 3PRPcR sont composés de trois jambes de

topologie identique : soit PRPcR. Chaque jambe et comme le montre la figure 2.1,

est constituée de composantes principales :

1. Une base;

2. Un curseur motorisé en translation;

3,4. Membrures parallèles dont le rôle est d’assurer un mouvement prismatique

circulaire Pc de l’élément 5 par rapport au curseur;

5. Un guide parallèle au curseur;

6. Un organe terminal.

7. Un effecteur fixe sur l’organe terminal.

Figure 2.1 : Manipulateur parallèle 3PRPcR et ses composantes principales

En déconnectant une jambe, on remarque que cette dernière produit quatre degrés de

liberté à l’effecteur par rapport à la base, soit trois DDLs en translation et un DDL

en rotation par rapport à l’axe de la pièce 5. Le degré de liberté en rotation permet de

garder une orientation constante de l’organe terminal en amortissant la rotation de ce

dernier autour de l’axe de la base équivalent.


Dans ce chapitre on se propose de résoudre le MGD de toutes les géométries [32]

des manipulateurs parallèles de topologie 3PRPcR. La résolution consiste donc à

déterminer le vecteur p en fonction des déplacements articulaires qi. Pour ce faire, un

ensemble de paramètres géométriques sont définis pour décrire toutes les géométries

des manipulateurs 3PRPcR [32]. La méthode utilisée consiste à linéariser un

système S de trois équations quadratiques à trois variables pour aboutir à une

équation mono-variable à second degré. L’obtention du système S découle du fait

que la solution du MGD revient à trouver l’intersection de trois sphères quelques

soit la géométrie du manipulateur.

Figure 2.2 : Paramètres géométriques de la base pour les manipulateurs 3PRPcR

2.3 Modélisation du problème

La détermination de l’intersection des trois sphères nécessite la connaissance de

leurs centres et rayons. Dans le cas des manipulateurs 3PRPcR, les rayons

correspondent aux longueurs des jambes tandis que les centres coïncident avec les

centres des curseurs décalés des vecteurs -ib .

2.3.1 Détermination des vecteurs orientations ei

Les vecteurs orientation ei se calculent en fonction des paramètres géométriques de

la base.

iRRe

iRe

ie

3y3x3

2y2

1

��

��

αθ=

α==

(2.1)

2.3.2 Détermination des vecteurs positions des curseurs

Les vecteurs position ai et ai0 des curseurs se calculent en fonction des paramètres

géométriques de la base ainsi que des déplacements articulaires qi.

))v(αj)(a(da

)v(αaa

va

33y33x3

22y2

iRRi

iRj

i

+β+=

+==

30

20

110

(2.2)

et

iRR

iR

i

)(α)((qaa

)(αqaa

qaa

3y3x

2y

β+=

+=+=

3303

2202

1101

(2.3)

2.3.3 Détermination des vecteurs bi

Les vecteurs bi sont des caractéristiques de la géométrie de l’organe terminal et sont

calculés à partir de la configuration initiale du manipulateur. En notant par pi le

vecteur position du point Bi à l’état initiale, on peut écrire :

321000

,,:map =+= iiii

(2.4)

Tels que mi0 sont les vecteurs membrures à l’état initial du manipulateur:

33030330

22020220

1101010

l)(R)(R)(RRm

l)(R)(R)(Rm

l)(R)(Rm

φγαβ=

φγα=

φγ=

yxy3x

yxy

yx

)(

(2.5)

L’origine de l’organe terminal est choisie comme le barycentre des points Bi. Les

vecteurs bi se calculent donc seulement en fonction de pi :

32

32

32

3213

3212

3211

/)ppp(b

/)ppp(b

/)ppp(b

++=++=++=

(2.6)

2.3.3 Système d’équations

Chaque jambe du manipulateur décrit une boucle cinématique de A à B et passant

par le point Ai sur la base, le point Ei sur le curseur et le point Bi sur

l’effecteur. L’équation de fermeture de chaque boucle s’écrit de la façon suivante :

iiiii0

q bpmea +=++ (2.7)

Figure 2.3 : Boucle cinématique d’une jambe d’un manipulateur 3PRPcR

Les termes de l’équation (2.7) peuvent être séparés en deux catégories :

- les termes constants bi et ai0, à savoir ceux contenant seulement les

paramètres géométriques et

- les termes variables qi, p et mi, c’est à dire ceux pouvant varier en fonction

du temps lorsque le manipulateur se déplace.

Parmi les trois termes variables, qi est la variable d’entrée, alors que p est la variable

de sortie. Il n’y a donc à éliminer que le vecteur membrure mi de l’équation (2.7).

Une façon de procéder est d’élever au carré l’équation afin d’obtenir le carré de la

norme du vecteur mi qui est une constante connue, dénotée li, soit :

2

ii

T

il=−− )zp()zp( (2.8)

Où iiii0i

q beaz −+≡ correspondant à la position du centre du curseur i décalé de –

bi. Ce qui correspond à un système (2.9) de trois équations quadratiques à trois

inconnus en [ ]zxx

ppp≡p :

2

3

2

3zz

2

3yy

2

3xx

2

2

2

2zz

2

2yy

2

2xx

2

1

2

1zz

2

1yy

2

1xx

lzpzpzp

lzpzpzp

lzpzpzp

=−+−+−

=−+−+−

=−+−+−

)()()(

)()()(

)()()(

(2.9)

La solution du MGD de toutes les géométries des manipulateurs 3PRPcR se ramène

donc à déterminer l’intersection de trois sphères centrées sur les origines des

curseurs, décalés de –bi, et dont les rayons correspondent aux longueurs li du

manipulateur.

2.4 Méthode de résolution

Une façon de résoudre le MGD consiste à linéariser le système (2.9). Pour ce faire

on soustrait la deuxième et la troisième de la première équation du système. Ce qui

conduit au système (2.10). On note qu’on va se servir dans ce qui suit des

coefficients A1, B1, C1, D1, A2, B2, C2, D2, E1, F1, E2, F2, G et H [31].

2

1

2

1zz

2

1yy

2

1xx

2z2y2x2

1z1y1x1

lzpzpzp

DpCpBpA

DpCpBpA

=−+−+−

=++

=++

)()()(

(2.10)

Les deux premières équations de (2.10) permettent d’exprimer px et py en fonction

de pz :

2z2y

1z1x

EpFp

EpFp

+=+=

(2.11)

En remplaçant les expressions de px et py dans la troisième équation de (2.10), on

obtient une équation au second degré à un seul inconnu en pz.

0=++ HGpp z

2

z (2.12)

Cette équation montre que le MGD des manipulateurs 3PRPcR admet :

- deux solutions distinctes si HG2

4> ;

- Une solution double si HG2

4= ;

- Aucune solution réelle si HG2

4< .

L’équation (2.12) permet donc de déterminer les deux solutions possibles du MGD :

2z22y2

1z21x2

2

z2

2z12y1

1z11x1

2

z1

EpFp

EpFp

HGGp

et

EpFp

EpFp

HGGp

+=+=

−−−=

+=+=

−+−=

2

4

2

4

(2.13)

2.4 Configuration singulières

La solution du MGD se ramène à déterminer l’intersection de trois sphères dont le

vecteur position du centre est ai0 + qiei - bi et le rayon est li. Dans le cas où le

manipulateur possède des jambes de même longueur, et selon les vecteurs de

décalage bi et les commandes articulaires qi, deux des trois sphères peuvent

coïncider. Dans ce cas l’intersection des trois sphères se réduit à l’intersection de

deux sphères, ce qui correspond à un contour de cercle. Ceci correspond à des

singularités parallèles puisqu’on peut déplacer l’effecteur le long du cercle sans

déplacer les articulations Une condition nécessaire est suffisante pour que deux

sphères coïncident est :

ai0 + qiei - bi = aj0 + qjej - bj i, j =1,2,3. (2.14)

En séparant les termes constants des variables, l’équation devient

qiei – qjej = aj0 – ai0 + bi- bj (2.15)

l’équation permet le contrôle des déplacements articulaires qi pour que le

manipulateur ne passe pas par une configuration singulière.

2.5 Mode d’assemblage

La notion de mode d’assemblage est associée aux différentes solutions du MGD. Les

manipulateurs 3PRPcR possèdent donc au maximum deux modes d’assemblage

différents. Pour certaines géométries, il existe une configuration du manipulateur qui

présente une solution double au MGD. Cela permet de passer entre les deux modes

sans désassembler le manipulateur

2.6 Exemple numérique

Comme exemple numérique, on va solutionner le MGD d’un manipulateur YSTAR

MP1 dont les paramètres géométriques de la base et de l’effecteur sont donnés par :

v1=120, v2=120, a2=0, α2=2 π /3, v3=100, d3=0, a3=0, β3=0, α3=-2 π /3, l1=100,

l2=100, l3=100. Ainsi que les 6 paramètres géométriques de l’effecteur.

Figure 2.4 : Configuration initiale du manipulateur MP1

γ10=γ20=γ30= - π /2. θ10=- π /4, θ20=- π /5 et θ30= - π /3. En plus, les déplacements

articulaires sont égales à q1=q2=q3=20. La figure 2.4 illustre le manipulateur MP1 à

l’état initial. En appliquant la méthode décrite dans le paragraphe (2.4), on détermine

les deux solutions possibles du MGD qui sont :

S1= [0.0018 ; 36.0309 ; 1.3773] et S2= [-1.4900 ; -32.9669 ; 14.5287]. L’application

du MGI pour les deux solutions S1 et S2 donne les 8 résultats possibles suivants :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

176.2494-153.1965-162.7376-SMGI

151.9786-174.4836-165.7213-SMGI

202099192

2020201

.)(

)(

Ces résultats confirment la validité de la méthode de résolution. En effet, une des

huit solutions du MGI doit être égale aux valeurs articulaires [20 20 20]. Ces deux

solutions sont illustrées dans les figures 2.5 et 2.6.

Figure 2.5 : Première solution du MGD pour MP1

Figure 2.6 : Deuxième solution du MGD pour MP1

D’après les figures, on remarque que les trois points de connexion Bi forment

toujours un triangle d’orientation fixe dans l’espace, ce qui confirme la validité de

cette méthode de résolution, puisque les manipulateurs 3PRPcR génèrent un

mouvement de translation à orientation fixe de l’organe terminal.

2.6 Solution du MGD avec la matrice jacobienne

2.6.1 MGI

Le MGI consiste à déterminer les déplacement articulaires qi connaissant le vecteur

position du centre de l’effecteur p. Connaissant les longueurs des membrures, on

peut écrire :

2

iiiii

T

iiiil)q()q( =−−+−−+ eabpeabp

00 (2.16)

En définissant ui tel que ui=p + bi- ai0, l’équation (2.16) devienne :

02 =−+− )l(q)(q 2

ii

T

iii

T

i

2

iuueu (2.17)

Ce qui donne les deux solutions possibles suivantes

)(q 2

ii

T

i

2

i

T

ii

T

iiluueueu −−±= (2.18)


La matrice jacobienne exprime la relation entre les vitesses de l’origine de l’organe

terminal [dpx dpy dpz] et les vitesses des déplacement articulaires [...

321qqq ]. Les

membrures des manipulateurs 3PRPcR ont des longueurs constantes. Ce qui se

traduit par :

0=−−+−−+ )qd()q(iiii0

T

iiii0bpeabpea (2.19)

En annulant tous les termes constants, on obtient l’équation exprimant la relation

entre, dp, dqi :

0=+ pmem ddq T

iii

T

i (2.20)

ce qui se traduit de façon matricielle par l’équation 2.21.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

3

T

3

2

T

2

1

T

1

z

y

x

T

3

T

2

T

1

dq

dq

dq

dp

dp

dp

em

em

em

m

m

m

00

00

00

(2.21)

3.3 Singularités sérielles :

À partir du tableau 1.1, des singularités sérielles peuvent survenir si l’un des

éléments de la matrice jacobienne sérielle est nul. Géométriquement, ceci

correspond à des configurations où l’un des vecteurs membrures mi est

perpendiculaire à l’axe ei de sa base respective. Ceci s’explique par le fait que

l’origine de l’effecteur atteint la distance maximale de l’axe ei.

3.3 Algorithme de résolution et exemple numérique.

La méthode de résolution se base sur l’algorithme de newton qui permet de

minimiser l’écart entre les valeurs des <<inputs>> des déplacements articulaires et

les solutions du MGI du point solution du MGD. Les différentes étapes de

l’algorithme sont les suivantes :

1. Choix du point de départ de la boucle P=P0 ;

2. Test si norme(MGI(P)-qi)<ε alors MGD(qi)=P, sinon aller à 3 ;

3. ∆q= (MGI(P0)-qi)/100 ;

4. q∆=∆ −**

1 BAp ;

5. p = p-∆p ;

6. Aller à l’étape 2.

Comme exemple numérique, on va solutionner le MGD pour la même géométrie

MP1 étudiée au paragraphe 2.4.

Le tableau 2.1 regroupe les résultats obtenus en fonction du point de départ de la

boucle et de l’erreur exigée.

P0 ε MGD Nombre d’itération :n

[10 ; 50 ; 15] 0.1 [0.0385 ; 36.1057 ; 1.4224] 555

[10 ;-50 ; 15] 0.1 [-1.4383 ; -33.0697 ; 14.5337] 541

[10 ; 50 ; 15] 0.01 [0.0055 ; 36.0384 ; 1.3818] 784

[10 ;-50 ; 15] 0.01 [-1.4848 ; -32.9772 ; 14.5292] 770

Tableau 2.1 : Solution du MGD et nombre d’itérations pour MP1 en fonction de


À partir des résultats du tableau, on conclut que selon le point de départ de la boucle,

l’algorithme va converger vers l’une des deux solutions du MGD et que le nombre

d’itération dépend de l’erreur exigée.

La figure 2.7 représente l’évolution de l’erreur pour un point de départ de

[10 ;50 ;15] et pour une erreur de 0.01.


3 Conclusion

Dans de ce chapitre, on s’est intéressé à la résolution du MGD de tous les

manipulateurs de topologie 3PRPcR ce qui a permis de conclure les résultats

suivants :

• toutes les géométries des manipulateurs 3PRPcR ne peuvent admettre plus

que deux solutions au MGD et donc deux modes d’assemblage au maximum;

• Géométriquement, le problème équivaut à résoudre l’intersection de trois

sphères dont les centres correspondent aux centres des curseurs décalés par

les vecteurs bi, et dont les longueurs correspondent aux celles des jambes;

• Algébriquement, le problème se ramène à résoudre un système de trois

équations quadratiques à trois inconnues.

En plus, on s’est intéressé à la résolution numérique du MGD par l’algorithme de

newton utilisant la matrice jacobienne. Dans ce chapitre, on a pu aussi formuler les

conditions géométriques qui mènent à des configurations singulières de types

parallèles où sérielles.

CHAPITRE 3 MGD DES MANIPULATEURS STAR

Le chapitre suivant présente une modélisation mathématique du problème

géométrique direct des manipulateurs parallèles de topologie STAR [33]. Les

manipulateurs STAR se composent de trois jambes. Chacune est constituée des

composants suivants :

1. un moteur (pièce 1) fixe sur la base;

2. une vis (pièce 2);

3. un écrou mobile (pièce 3) en liaison hélicoïdale par rapport à la pièce 2;

4. deux membrures parallèles et de même longueur (pièce 4 et 5) ;

5. un curseur (pièce 6) en liaison prismatique circulaire par rapport à l’écrou;

6. un effecteur en liaison rotoïde par rapport au curseur.

Figure 3.1 : Manipulateur parallèle YSTAR

La topologie des manipulateurs STAR est donc 3RHPcR. Tout comme les

manipulateur 3PRPcR, les manipulateurs STAR génèrent un mouvement de

translation à son effecteur à orientation constante.


On a vu dans le chapitre précèdent que le MGD des manipulateurs 3PRPcR revient à

déterminer l’intersection de trois sphères et qu’il admette au maximum deux

solutions. En effet la connaissance des déplacements articulaires permet de déduire

les vecteurs positions des curseurs. Pour les manipulateur STAR, la connaissance

des rotations des moteurs ne permet pas directement de déterminer les positions des

écrous. En effet, les écrous vont se déplacer le long de leurs vis respectives en deux

étapes :

• déplacement actif qa du à la rotation des moteur;

• déplacement passif qp du à la rotation des membrures et à cause de la liaison

hélicoïdal de l’écrou par rapport à la vis.

Le déplacement résultant se calcul donc comme :

π

γ−γ+θ=+=

2

0 iiii

piaii

))ps((qqq (3.1)

La position des écrous ne peut être déterminée puisqu’elle est fonction de la variable

géométrique passive iγ . Ce phénomène complique considérablement la solution du

MGD pour les manipulateurs STAR.

3.2 Modélisation du problème

Les manipulateurs STAR génèrent un déplacement de translation à orientation

constante. Les points de connexion Bi appartenants respectivement aux curseurs

forment alors un triangle constant en orientation. Cependant, les rotations i

θ des

moteurs font déplacer les membrures de leurs positions initiales ce qui cause un

désassemblage du manipulateur puisque les points Bi ne forment plus le même

triangle. À partir de la position déplacée, le point Bi peut générer une surface

hélicoïdale méridienne circulaire. Un point de l’espace est solution du MGD si les Bi

forment leurs triangle initial après leurs déplacement suivant leurs surfaces

respectives. La solution du MGD des manipulateurs parallèles de topologie STAR

revient donc à déterminer l’intersection de trois surfaces hélicoïdales méridiennes.

En supposant que les vis du manipulateur sont de longueur infinie, on peut dire que

les manipulateurs STAR peuvent avoir plusieurs solutions puisque les surfaces sont

infinies non fermées contrairement aux manipulateurs 3PRPcR où ces surfaces

correspondent à des sphères et constituent des surfaces fermées finies. La résolution

du MGD des manipulateurs STAR nécessite donc la paramétrisation des surfaces

décrites par les points Bi.

3.3 Paramétrisation des surfaces

Les surfaces générées par les points Bi peuvent être obtenues par le déplacement

d’un cercle selon une trajectoire hélicoïdale dont le pas correspond à celui de la vis.

En effet, chaque jambe peut tourner à la fois autour de l’axe de la vis correspondante

et aussi par rapport à l’axe perpendiculaire à ce dernier. En tournant autour de l’axe

perpendiculaire, le point Bi génère un cercle de rayon correspondant à la longueur li

de sa jambe respective . Cependant, en tournant autour de l’axe de la vis, le point Bi

génère une trajectoire hélicoïdale dont le pas correspond à celui de la vis respective .

Les surfaces sont donc complètement définies avec les deux paramètres γi et φi .

Figure 3.2 : Paramètres γi et φi

3.3.1 Paramétrisation de la première surface

À partir de la définition des surfaces décrite dans la partie précédente, on

paramétrise la surface de la façon suivante :

1z111

1y111

1x111

111

blz

bly

bvl)ps(

x

−φγ=

−φγ−=

−+φ+π

γ−γ+θ=

coscos

cossin

sin2

10

(3.2)

3.3.2 Paramétrisation de la deuxième surface

La paramétrisation de la surface 2 étant la même que la première. Cependant, il faut

tenir compte de la transformation du système d’axe A2 vers A1 1 . La paramétrisation

de la surface 2 s’écrit comme :

20

2

202

2

2

a

coscos

cossin

sin)(

)(R +

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−φγ−φγ−

−φ+π

γ−γ+θ

α=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2z222

2y222

x22

22

y

bl

bl

blps

z

y

x

(3.3)

3.3.3 Paramétrisation de la troisième surface

30

3

303

33

2

a

coscos

cossin

sin)(

RR +

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−φγ−φγ−

−φ+π

γ−γ+θ

αβ=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3z333

3y333

x33

33

yx

bl

bl

blps

)()(

z

y

x

(3.4)

3.4 Système d’équations

La résolution du MGD des manipulateurs STAR revient donc à résoudre un système

(3.5) de 6 équations aux 6 inconnues γ1, φ1, γ2, φ2, γ3, φ3, tel que :

1 A1 correspond au système d’axe global

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−φγ−φγ−

−φ+π

γ−γ+θ

αβ=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−φγ−φγ−

−+φ+π

γ−γ+θ

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−φγ−φγ−

−φ+π

γ−γ+θ

α=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−φγ−φγ−

−+φ+π

γ−γ+θ

30

3

303

33

10

20

2

202

2

10

22

22

a

coscos

cossin

sin)(

)(R)(R

coscos

cossin

sin)(

a

coscos

cossin

sin)(

)(R

coscos

cossin

sin)(

3z333

3y333

x33

33

yx

1z111

1y111

1x111

111

2z222

2y222

x22

22

y

1z111

1y111

1x111

111

bl

bl

blps

bl

bl

bvlps

bl

bl

blps

bl

bl

bvlps

(3.5)

Ce système est d’une complexité considérable et ne peut être résolu algébriquement,

vu le terme γi qui apparaît dans l’expression du déplacement passif et aussi de

l’orientation des membrures. Le problème peut être approximé si on néglige les

déplacements passifs. Cette façon de faire est celle qui a été adoptée jusqu’ a

maintenant pour l’étude du STAR, et qui considère le STAR comme un 3PRPcR et

non 3RHPcR. une telle approximation n est pas souhaitable, puisqu on n a pas une

information permettant de négliger les déplacements passifs. En plus, ceci ne va pas

permettre de déterminer le nombre des solutions du MGD.

3.5 Solution du MGD avec la matrice jacobienne

3.5.1 MGI

Pour les STAR, le MGI consiste à déterminer les angles de rotation i

θ des moteurs

connaissant le vecteur position du centre de l’effecteur p. Les équations (2.16) à

(2.18) restent valables aussi pour les STAR. En combinant l’équation (2.18) et (3.1),

on établie l’expression des angles i

θ de rotation des moteurs en fonction de la

position de l’origine de l’effecteur p. Les huit solutions possibles au MGI sont

données donc par l’équation (3.6).

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

γ−γ−π−−±

=θ

γ−γ−π−−±−

=θ

γ−γ−π−−±−

=θ

)(ps

))((

)(ps

))((

)(ps

))((

2

33

T

3

2

3

T

33

T

3

2

22

T

2

2

2

T

22

T

2

2

11

T

1

2

1

T

11

T

1

303

3

3

202

2

2

101

1

1

2

2

2

luueueu

luueueu

luueueu

(3.6)

Dans cette équation, apparaissent les termes iγ -0i

γ qui correspondent aux

déplacements passives des écrous. 0i

γ sont des constantes qui dépendent de la

géométrie de l’effecteur du manipulateur et de son état initial. Les termes i

γ varient

en fonction du déplacement du manipulateur et se calculent en fonction du vecteur

position de l’origine de l’organe terminal par l’équation suivante.

0

1

1

0

1

1

>−−

−−=γ

<−−

−=γ

))((si))((

))((ar

))((si))((

))((ar

i

T

ii

T

i

i

T

ii

i

T

ii

T

i

i

i

T

ii

T

i

i

T

ii

i

T

ii

T

i

i

ueeIJ:

uee

ueekcos

ueeIJ:

uee

ueekcos

(3.7)


La matrice jacobienne exprime la relation entre les vitesses de l’origine de l’organe

terminal [dpx dpy dpz] et les rotations des moteurs [...

321θθθ ]. L’équation (2.19)

exprimant l’invariabilité des longueurs des membrures reste aussi valable pour les

STAR. En combinant cette équation avec (3.1), on obtient l’équation exprimant la

relation entre, dp, dθi et dγi :

02 =+θ+γ pm)(em dπdps T

iiii

T

ii (3.8)

Ce qui se traduit de façon matricielle comme suit :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

γ+θγ+θγ+θ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

πππ

)d(

)d(

)d(

ps

ps

ps

dp

dp

dp

33

22

11

3

T

33

2

T

22

1

T

11

z

y

x

T

3

T

2

T

1

em

em

em

m

m

m

00

00

00

2

2

2

(3.9)

Dans cette équation, apparaissent les angles iγ qui correspondent aux déplacements

passifs. Cependant, il faudrait les éliminer pour exprimer une relation directe entre

dp et dθi. Une façon de faire est d’exprimer les variations dγi soit en fonction de dp

soit en fonction de dθi. Cependant, et à partir de l’équation de la fermeture de

chaque boucle , on peut écrire :

))(()(ii

T

iii

T

ii 011 abpeemee −+−=− (3.10)

ipi

T

ii )( mmee =−1 Correspond à la projection du vecteur mi sur le plan

perpendiculaire à ei. En plus, les différentiels d iγ s’expriment en fonction de dmip

par l’équation :

pee1mee1m )d()(ddT

iii

T

iiiip −=−γ= (3.11)

En projetant l’équation sur l’axe ji on obtient :

iip

T

i

T

ii

T

i dd γ=− ⊥mjp)ee1(j (3.12)

Ainsi, on peut exprimer idγ directement en fonction de dp :

p

mj

)ee1(jdd

ip

T

i

T

ii

T

i

i

⊥

−=γ

(3.13)

Le vecteur iip

T

iiip

T

iip jmkkmjm −=⊥ , étant le vecteur perpendiculaire à mip

appartenant au plan perpendiculaire à ei.

L’équation (3.8) devient alors :

02 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡π+−+θ

⊥

pm)ee1(jmj

emem d

psdps T

i

T

ii

T

i

ip

T

i

i

T

ii

ii

T

ii (3.14)

Cette relation exprime une relation directe entre les vitesses de l’origine de

l’effecteur et les vitesses de rotation des moteurs. De façon matricielle, on peut

écrire alors :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

π+−

π+−

π+−

⊥

⊥

⊥

3

2

1

333

222

111

3333

33

333

2222

22

222

1111

11

111

00

00

00

2

2

2

d

d

d

emps

emps

emps

dp

dp

dp

ps

ps

ps

T

T

T

z

y

x

TTT

p

T

T

TTT

p

T

T

TTT

p

T

T

m)ee1(jmj

em

m)ee1(jmj

em

m)ee1(jmj

em

(3.15)

3.5.3 Algorithme de résolution et exemple numérique

L’algorithme de résolution est le même utilisé pour la résolution du MGD pour les

manipulateurs 3PRPcR. Cependant, les matrices jacobiennes sérielle et parallèle

prennent les nouvelles formes des manipulateurs STAR.

1. Choix du point de départ de la boucle p=p0

2. Test, si norme (MGI (p)-ωi) <ε alors MGD (ωi)=p, sinon aller à 3 ;

3. ∆θ=(MGI (p)- θi)/100 ;

4. ∆p=A-1*B*∆θ ;

5. p=p-∆p ;

6. Aller à l’étape 2.

Comme exemple numérique, on va solutionner le MGD pour un manipulateur STAR

MP2 dont les paramètres géométriques sont :

v1=100, v2=100, a2=0, α2=2 π /3, v3=100, d3=0, a3=0, β3=0, α3=-2 π /3, l1=100,

l2=100, l3=100, ps1=140, ps2=140, ps3=140. Ainsi que les 6 paramètres géométriques

de l’effecteur2.

γ10=γ20=γ30= θ10=θ20=θ30= - π /4 . Les valeurs des angles de rotation des moteurs sont

égales à [-4rad, -4rad, -4rad]. Le tableau regroupe les résultats obtenus en fonction

du point de départ de la boucle et de l’erreur exigée.

P0 ε MGD Nombre d’itération

[20 ;-50 ; 10] 0.1 [0.6019 ;-83.5137 ; 0.0965] 298

[20 ;-50 ; 10] 0.01 [0.0706 ;-83.7235 ;-0.0074] 527

Tableau 3.1 : Solutions du MDG et nombre d’itérations pour MP2 en fonction de


Les deux solutions trouvées correspondent à la même configuration de l’effecteur.

La différence réside dans la précision exigée. On verra plus tard dans le chapitre 4

2 Les paramètres géométriques de l’effecteur permettront de déterminer la position initiale de

l’effecteur ainsi que des vecteurs de décalages bi

que cette solution est l’une des 12 solutions possibles au MGD pour MP2. La figure

3.3 présente l’évolution de l’erreur en fonction du nombre des itérations.


Conclusion

Ce chapitre a été consacré à l’étude du MGD de tous les manipulateurs de topologie

STAR. Après une formulation du problème, on a démontré que le MGD des STAR

revient à déterminer l’intersection de trois surfaces hélicoïdales méridiennes

cycliques. Ceci nous a amené à penser sur la possibilité que les STAR possèdent

plus que deux solutions, puisque ces surfaces sont théoriquement infinies à

l’encontre des manipulateurs 3PRPcR. On a démontré également que le MGD

équivaut à résoudre un système de six équations non linéaires à six inconnus. On a

également établi les matrices jacobiennes sérielles et parallèles, ce qui a permis de

résoudre numériquement le MGD par la méthode de Newton. Après les deux

chapitres 2 et 3, on peut conclure que les deux topologies peuvent paraître

semblables, mais ils sont tout à fait différents à cause des joints hélicoïdaux qui

produisent des déplacements passifs s’interférant avec ceux générés par les rotations

des moteurs. Le chapitre 4 a pour objectif de donner des exemples numériques pour

la résolution du MGD pour les STAR. Cela va nous permettre de confirmer ou non,

que les STAR ont plus que deux modes d’assemblage.

Chapitre 4 Solution du MGD et exemples numériques

Dans ce chapitre, on va présenter une méthode graphique de résolution du MGD des

manipulateurs STAR. Cette méthode se base sur la détermination de l’intersection

de trois surfaces hélicoïdales méridiennes circulaires. Pour ce faire, on va utiliser

l’atelier <<Wireframe and Surface Design>> du logiciel CATIA. En premier temps,

on va appliquer cette méthode pour un manipulateur YSTAR dont les solutions

seront validées avec les équations du MGI décrites dans le chapitre 3 et aussi en

donnant les différentes configurations géométriques du manipulateur. En second

temps, la méthode précédemment décrite sera appliquée pour un manipulateur

STAR dont les axes des vis ne sont pas dans le même plan. La troisième partie de ce

chapitre sera consacrée à établir une éventuelle relation entre les paramètres

géométriques du manipulateur et le nombre de solution du MGD. Cependant on va

se contenter de varier les pas des vis en fonction des longueurs de leurs jambes

respectives. Cette façon de faire est justifiée par le fait que la forme des surfaces

hélicoïdales méridiennes circulaires dépend seulement du pas et de la longueur de la

jambe.

4.1 Solution du MGD pour un manipulateur YSTAR

Le YSTAR [33] est un manipulateur dont les axes des vis sont coplanaires et faisant

un angle de 120 l’un par rapport à l’autre. Dans cette partie, on va étudier deux

géométries différentes de manipulateurs YSTAR dont la différence réside dans les

grandeurs vi, les longueurs li ainsi que les valeurs de rotation des moteursi

θ

représentant les <<inputs>> du problème. Les géométries des deux manipulateurs

sont respectivement définies donc par les 15 paramètres géométriques de la base :

MP3: v1=20, v2=20, a2=0, α2=2 π /3, v3=20, d3=0, a3=0, β3=0, α3=-2 π /3, l1=10,

l2=10, l3=10, ps1=140, ps2=140, ps3=140.

Et

MP4=MP1: v1=100, v2=100, a2=0, α2=2 π /3, v3=100, d3=0, a3=0, β3=0, α3=-2 π /3,

l1=100, l2=100, l3=100, ps1=140, ps2=140, ps3=140. Ainsi que les 6 paramètres

géométriques de l’effecteur3.

γ10=γ20=γ30= φ10=φ20=φ30= - π /4 ;

La détermination des solutions du MGD va se faire en trois étapes suivantes :

• générer les trois surfaces Su1, Su2 et Su3 décrites par chacune des jambes du

manipulateur ;

• déterminer les courbes Cr1 et Cr2 qui représentant respectivement

l’intersection de Su1 avec Su2 et Su1 avec Su3 ;

• déterminer les points d’intersection de Cr1 avec Cr2.

3 Les paramètres géométriques de l’effecteur permettront de déterminer la position initiale de

l’effecteur ainsi que des vecteurs de décalages bi

4.1.1 Géométrie 1

Figure 4.1 : Surfaces décrites par les points Bi pour MP3

La figure 4.1 représente les trois surfaces décrites par les points Bi. Cependant,

l’origine de l’effecteur4 est décalée de chaque point Bi. Les surfaces Sui sont donc

obtenues en translatant les surfaces de la figure 4.1 par les grandeurs -bi.

4 Dans toute l’étude, l’origine de l’effecteur est considéré comme étant le barycentre des points Bi.

Figure 4.2 : Surfaces Sui représentant les surfaces décrites pas les points Bi

translatées par les grandeurs-bi pour MP3

À noter que les surfaces verte, bleue et rouge représentent respectivement celles

décrites par les points B1, B2 et B3.

La génération des courbes Sui permet par la suite de déterminer les courbes Cri

illustrées dans la figure 4.3.

Figure 4.3 : Courbes d’intersection des surfaces Su1 avec Su2 et Su1 avec Su3, ainsi

que les points solution du MGD pour MP3

À partir de la figure 4.3. On constate alors que le MGD admet huit solutions

illustrées par les points noirs. La détermination des cordonnées de ces points se fait

directement par le logiciel CATIA en utilisant la fonction de mesure. Le tableau

suivant regroupe les cordonnées des huit solutions du MGD.

Points Cordonnée selon x Cordonnée selon y Cordonnée selon z

p1 3.143 -5.429 0.645

p2 1.066 -7.84 1.083

p3 0 -8.194 0

p4 0.402 -7.836 -1.474

p5 -1.024 -5.421 -3.05

p6 -1.48 -7.837 0.39

p7 -2.133 -5.429 2.407

p8 -0.004 -2.988 0.002

Tableau 4.1 : Les huit solutions du MGD pour MP3

L’équation (3.6) montre que pour une position p donnée de l’origine de l’effecteur,

θi admet deux solutions possibles. Une condition nécessaire et suffisante pour

valider la méthode utilisée est de s’assurer que l’une des solutions du MGI des

points pi est : [-2rad ;-2rad ;-2rad]. L’organigramme suivant explique la méthode de

validation numérique utilisant le MGI.

Input = [input1; input2; input3]

MGD

Solutions du MGD : pi

MGI

Inputc = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

θθθθθθ

322212

312111

Valide si Inputci1=inputi ou Inputci2=inputi. i=1,2,3

n’est pas valide sinon

Figure 4.4 : Organigramme de la vérification numérique des solutions du MGD par

le MGI

Le tableau 4.2 regroupe les solutions du MGI pour les différentes solutions du

MGD.

Points Inputc= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

θθθθθθ

322212

312111

p1 -1.4485 -1.6531 -2.0067

-2.0066 -2.0096 -2.7398

p2 -1.9103 -1.9991 -2.0027

-2.0214 -2.2768 -2.4607

p3 -1.9998 -1.9998 -1.9998

-2.2515 -2.2515 -2.2515

p4 -2.0031 -1.9088 -1.9987

-2.4622 -2.0212 -2.2762

p5 -2.0074 -1.4473 -1.6521

-2.7410 -2.0066 -2.0075

p6 -1.9990 -2.0034 -1.9093

-2.2760 -2.4626 -2.0204

p7 -1.6534 -2.0079 -1.4482

-2.0086 -2.7411 -2.0064

p8 -1.2767 -1.2769 -1.2763

-2.0062 -2.0067 -2.0058


méthode du MGI

À partir des résultats du tableau 4.2, on peut dire que la méthode utilisée est bien

validée puisque pour toutes les solutions du MGD, il existe un mode opératoire qui

coïncide avec les valeurs imposées de rotations des moteurs. En prenant à titre

d’exemple la solution p5, on trouve comme solutions possibles aux MGI les

valeurs ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2.0075- 2.0066- 2.7410-

1.6521- 1.4473- 2.0031-.

Les solutions qui coïncident avec [-2 -2 -2] est le vecteur [11

θ22

θ32

θ ]. Les erreurs

sont dues aux erreurs de génération des surfaces, puisque ces dernières ont été

approximées par une surface enveloppe passant par des courbes hélicoïdales.

4.1.2 Géométrie 2

En suivant la même procédure décrite dans l’exemple précédent, on trouve les douze

solutions possibles du MGD pour la géométrie 2 illustrée dans la figure 4.5. Les

figures suivantes montrent les différentes configurations du manipulateur dans les

différentes solutions du MGD.

Figure 4.5 : Configuration initiale du manipulateur du MP4

points x (u) y (u)

z (u)

P1 8.0150 43.8520 -65.5570

P2 -7.1760 17.6380 -62.3750

P3 -34.6600 44.5030 -16.5620

P4 0.0690 72.3290 0.0520

P5 31.7670 44.4650 -21.7240

P6 52.8330 43.7350 39.6540

P7 3.0270 44.3210 38.4120

P8 57.6660 17.5710 24.9280

P9 -60.7220 43.6030 25.9880

P10 -50.4070 17.5780 37.4510

P11 0.0360 -30.0820 0.0850

P12 0.0700 -83.6670 0.0360

Tableau 4.3 : Les douze solution du MGD pour MP4

Les solutions du MGI de ces points sont données dans le tableau suivant :

points MGI (rad)

P1 2.2851 -0.9013 -3.9981

-5.6600 -1.3709 -8.3268

P2 2.2842 1.7200 -3.9912

-6.4809 -4.0049 -8.0550

P3 -0.8596 2.2812 -2.6877

-8.3164 -5.3461 -4.0282

P4 -0.8552 -0.8608 -0.8501

-5.1255 -5.1328 -5.1333

P5 2.2856 -2.7061 -0.8580

-5.3432 -4.0163 -8.3197

P6 -0.8184 -4.0004 2.2848

-1.4494 -8.3258 -5.6651

P7 -2.6942 -0.8619 2.2900

-4.0225 -8.3281 -5.3485

P8 1.7252 -3.9969 2.2844

-4.0062 -8.0502 -6.4815

P9 -3.9993 2.2855 -0.7527

-8.3270 -5.6703 -1.5139

P10 -3.9941 2.2840 1.7239

-8.0515 -6.4820 -4.0073

P11 -0.8558 -0.8597 -0.8519

-8.1405 -8.1497 -8.1454

P12 -3.9878 -3.9945 -3.9807

-5.9873 -5.9927 -6.0031


méthode du MGI

Figure 4.6 : Première configuration du MGD pour MP4

Figure 4.7 : Deuxième configuration du MGD pour MP4

Figure 4.8 : Troisième configuration du MGD pour MP4


Figure 4.10 : Cinquième configuration du MGD pour MP4

Figure 4.11 : Sixième configuration du MGD pour MP4

Figure 4.12 : Septième configuration du MGD pour MP4

Figure 4.13 : Huitième configuration du MGD pour MP4





4.2 Solution du MGD pour un manipulateur STAR à orientation quelconque

dans l’espace

La plupart des travaux précédents ont porté seulement sur les manipulateurs YSTAR

où les axes des trois vis sont coplanaires et forment un angle de 120 degré l’un par

rapport à l’autre. Dans la première partie de ce mémoire, on a montré que tous les

manipulateurs 3PRPcR admettent au maximum 2 solutions réelles au MGD, puisque

pour toutes les géométries, ce problème revient à déterminer l’intersection de trois

sphères. La partie qui vient a pour but de compléter l’étude faite sur les deux

géométries d’un manipulateur YSTAR et étendre les résultats pour des géométries

où les axes des vis sont à orientation quelconque dans l’espace. Cependant, le fait

que le MGD revient à déterminer l’intersection de trois surfaces hélicoïdales

méridiennes circulaires reste toujours valable puisque la topologie est identique à

celle des STAR. Dans cette partie, on va s’intéresser à résoudre le MGD de deux

géométries de manipulateurs STAR. Le premier MP5 présente la caractéristique que

les axes forment un angle de 90 l’un par rapport à l’autre, alors que le second MP6

possède des vis dont les axes sont parallèles.

4.2.1 Géométrie à axes perpendiculaires

Les paramètres géométriques de la base et de l’effecteur décrivant le premier

manipulateur sont v1=20, v2=20, a2=0, α2= π /2, v3=20, d3=0, a3=0, β3= π /2, α3= π /2,

l1=10, l2=10, l3=10, ps1=140, ps2=140, ps3=140.

et γ10= -3 π /4, γ20= - π /4, γ30= π /4, φ10=φ20=φ30= - π /4 .

Les θi sont prises égales à [-4 rad. -4rad, -4rad].

Ainsi, les vecteurs ei et ai0 se calculent directement selon :

ka;ja;ia

ke;je;ie

330220110

321

vvv ======

En suivant la même procédure de résolution décrite dans la partie précédente, on

détermine les 13 solutions du MGD dont 8 sont illustrées dans les figures. Les cinq

autres solutions n’ont pas été présentées vu que leurs configurations sont

relativement identiques à celles illustrées dans les figures 4.17 à 4.24.









4.2.2 Géométrie à axes parallèles

CONCLUSION

Dans ce travail, on s’est intéressé à la modélisation et la résolution du model

géométrique direct de toutes les géométries des manipulateurs de topologie 3PRPcR

et STAR. Les deux géométries génèrent un mouvement de translation à l’effecteur à

orientation constante et sont relativement semblables au niveau de leurs

composantes mécaniques ainsi que la transmission du mouvement. Cependant, et à

cause des joints hélicoïdaux du STAR, le modèle cinématique change complètement

pour le MGD ainsi que le MGI. En effet, on a vu que géométriquement, le MGD

pour les STAR équivaut à trouver l’intersection de trois sphères. Les paramètres de

ces trois sphères sont fonction des paramètres géométriques du manipulateur. Ce

résultat a permis de déduire que toutes les géométries des manipulateurs 3PRPcR ne

peuvent avoir plus que deux modes d’assemblage. On a démontré également que

algébriquement, le MGD revient à résoudre un système de trois équations

quadratiques à trois inconnus. Dans ce mémoire, on s’est intéressé aussi à la

résolution du MGD des manipulateurs STAR. On a démontré que contrairement aux

3PRPcR, la connaissance des valeurs articulaires ne permet pas directement de

connaître la position des curseurs (joints hélicoïdaux) et par conséquent la position

de l’effecteur, à cause des déplacement passifs des jambes. Après une formulation

mathématique du problème, on a déduit que le MGD équivaut à

trouver l’intersection de trois surfaces méridiennes cycliques et que algébriquement,

ce problème revient à résoudre un système non linéaire de six équations à six

inconnues. Une des propriétés de ces surfaces est qu’elles sont des surfaces infinies,

ce qui nous a amené à réfléchir sur la possibilité que les STAR possèdent plus que

deux solutions au MGD. Cette constatation intuitive a été confirmée en étudiant

quelques géométries des manipulateurs STAR. Cependant, pour deux manipulateurs

YSTAR, on a trouvé respectivement 8 et 12 solutions. Aussi, on a trouvé 8 solutions

pour un manipulateur STAR où les axes des vis sont perpendiculaires l’un par

rapport à l’autre. Ce résultat présente une originalité scientifique. En effet, les STAR

ont été considérés comme des 3PRPcR ce qui menait à croire qu’ils n’admettaient

pas plus que deux solutions au MGD et donc deux modes d’assemblage. Les

différentes solutions ont été obtenues à l’aide du logiciel CATIA qui dispose d’un

atelier de conception surfacique (wireframe and surfaces design) et capable de

déterminer des intersections entre des surfaces et des courbes. Tous les résultats

obtenus ont été validés numériquement en utilisant le MGI, et géométriquement, en

assemblant le manipulateur à l’aide de CATIA en utilisant les deux ateliers

d’assemblage (assembly design) et celui de la simulation des mécanismes (kinematic

design). Dans ce mémoire, on s’est intéressé à l’utilisation de la matrice jacobienne

pour la résolution numérique du MGD. Pour les manipulateurs STAR, et à cause des

déplacement passifs, les matrices jacobiennes sérielle et parallèle prennent une

nouvelle forme différente des 3PRPcR. Apràs ce qui a été fait dans ce mémoire, il

reste à dire si on serait capable un jour de résoudre le MGD des manipulateurs

STAR algébriquement et par la suite, déterminer le nombre des modes d’assemblage

en fonction des paramètres géométriques. Ceci peut faire l’objet des travaux futurs

concernant les manipulateurs parallèles et surtout les STAR.

REFERENCES

[1] Merlet, J.P., 1987, ‘Parallel manipulators, part I: Theory, Design, Kinematics,

Dynamics and Control’, Rapport Technique # 646 INRIA, France.

[2] Passolunghi, S., 1988, ‘Modélisation dynamique des robots parallèles’, Rapport

interne, INRIA, France.

[3] Gough, V.E., 1956-57, ‘Contribution to Discussion to papers on research in

Automobile Stability and Control and in Tyre Performance, by Cornell Staff’,

Proceedings of Auto. Div. Instn mech. Engrs, 392.

[4] Gough, V.E. and Whitehall, S.G., 1962, ‘Universal Tyre Test Machine’,

Proceedings of the Ninth International Technical Congress F.I.S.I.T.A., (Institution

of Mechanical Engineers).

[5] Stewart, D., 1965, ‘A Platform with six degrees of freedom’, Proceedings of the

Institution of Mechanical Engineers, Vol. 180, No. 5, pp. 371-378.

[6] Gosselin, C.M, Sefrioui, J. et Richard, M.J., 1992, ‘Solutions polynomiaux au

problème géométrique direct des manipulateurs parallèles plan à trois degrés de

liberté’, Mechanism and Machin Theory, Vol. 27, No. 2, pp. 107-119.

[7] Innocenti, C. et Parenti-Castelli, V., 1991, ‘Direct Kinematic of the 6-4 fully

parallel manipulator with position and orientation uncoupled’, Proceedings of The

European Robotics and Intelligent Systems Conference, Corfù, Greece.

[8] Lee, K.M. et Shah, D.K, 1988, ‘Kinematic Analysis of a Three-Degrees-of

Freedom in Parallel Actuated Manipulator’, IEEE Journal of Robotics and

Automation, Vol.4, No.3, pp. 354-360.

[9] Merlet, J.P., et Gosselin, C.M., 1991, ‘Nouvelle architecture pour un

manipulateur parallèle à six degrés de liberté ‘, Mechanism and Machin Theory,

Vol. 26, No. 1, pp. 77-90.

[10] Nanua, P. et Waldrom, K.J., 1989, ‘Direct Kinematic Solution of a Stewart

Platform’, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 6, No. 4, pp. 438-

444.

[11] Merlet, J.P., 1991, ‘An Algorithm for the Forward Kinematics of General

Parallel Manipulators’, Proceedings of Fifth International Conference on Advanced

Robotics, Pisa, pp. 1136-1140.

[12] Sefrioui, J. Gosselin, C.M. et Richard, M.J., 1992, ‘Modes d’assemblages d’un

manipulateur parallèle sphérique à trois degrés de liberté avec actionneurs

prismatiques’, Comptes rendus Forum de la Société Canadienne de Génie

Mécanique, Université Concordia, pp. 454-459.

[13] Zhang, C. et Song, S.M., 1991, ‘Forward Kinematics of a Class of a Parallel

(Stewart) Platforms with Closed-form Solutions’, Proceedings of The IEEE

International Conference on Robotics and Automation, Sacramento, California.

[14] Shi, X. et Fenton, R.G., 1991, ‘Forward Kinematic Solution of a General 6 Dof

Stewart Platform on Three Point Position Data’, Proceeding of the Eighth World

Congress on The Theory of Machines and Mechanisms, Prague, Czechoslovakia, pp.

1015-1018.

[15] Wohlhart, K., 1992, ‘Direct Kinematic Solution of the General Planar Stewart

Platform’, Proceedings of the IFTOMM Symposium, Zakopone.

[16] Gosselin, C.M. et Sefrioui, J., 1991, ‘Polynomial Solution for the Direct

Kinematic Problem of Planar Three degree of Freedom Parallel Manipulators’,

Proceedings of the Fifth International Conference on Advanced Robotics, Pisa, pp.

1124-1129.

[17] Gosselin, C.M. et Sefrioui, J., 1992, ‘On the Direct Kinematics of a Class of

Spherical Three Degree of Freedom Parallel Manipulators’, Proceedings of The

ASME Mechanisms Conference, Phoenix, pp.13-19.

[18] Rong, H. et Liang, C.G., 1991, ‘A Direct Displacement Solution to the Triangle

Platform 6-SPS Parallel Manipulator’, Proceedings of the Eighth World Congress on

The Theory of Machines and Mechanisms, Prague, Czechoslovakia pp. 1237-1239.

[19] Sefrioui, J., 1992, ‘Problème géométrique direct et lieux de singularité des

manipulateurs parallèles’, Ph.D. Thèse, Université Laval, Québec, Québec, Canada.

[20] Freudenstein, F., 1962, ‘On the Variety of Motions Generated by Mechanisms’,

ASME Journal of Engineering for Industry, Vol. 84, pp. 156-160.

[21] Gosselin, C.M, 1988, ‘Kinematic analysis, Optimization and Programming of

Parallel robotic manipulators’, Ph.D. thesis, McGill University, Montréal, Québec,

Canada.

[22] Dieudonne, J.E., Parrish, R.V. et Bardusch, R.E., 1972, ‘An Actuator Extension

Transformation for a Motion Simulator and an Inverse Transformation Applying

Newton-Raphson’s Method’, NASA Technical Report TN D-7067.

[23] Angeles, J., ‘Fundamentals of Robotics Mechanical Systemes’, Springer, pp.

305-327

[24] Sayd, M., Baron, L. et Mascle, C., 2003, ‘Star Parallel Manipulators Have More

Than two Assembly Modes’, IEEE, Fourth International Conference on Control and

Automation, Montreal, Canada.

[25] Sugimoto, K. et Duffy, J., 1982, ‘Application of Linear Algebra To Screw

Systems’, Mechanism and Machin Theory, Vol. 17, No. 1, pp. 73-83.

[26] Lai, Z.C. et Yang, D.C.H., 1986, ‘A New Method for the Singularity Analysis

of Simple six Link Manipulators’, The International Journal of Robotics Research,

Vol. 5, No.2, pp. 66-74.

[27] Hunt, K.H., 1986, ‘Special Configurations of Robot-Arms Via Screw Theory,

Part 1: The Jacobian and its Matrix Cofactors’, Robotica, Vol. 4, pp. 171-179.

[28] Hunt, K.H., 1987, ‘Special Configurations of Robot-Arms Via Screw Theory,

Part 2: The Jacobian and its Matrix Cofactors’, Robotica, Vol. 5, pp. 17-22.

[29] Chablat, D. 1998, ’Domaines d’unicité et parcourabilité pour les manipulateurs

pleinement parallèles’, Thèse de Doctorat, Université de Nantes, France.

[30] Gosselin, C.M., Angeles, J., 1990, ‘Singularity Analysis of Closed-Loop

Kinematic Chains’, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 6, No. 3,

pp. 281-290.

[31] Sayd, M., Baron, L. et Mascle, C., 2002, ‘Problème géométrique direct des

manipulateurs parallèles de topologie 3PRPcR’, IDMME, 4ème Conférence

internationale sur la conception et la fabrication intégrées en mécanique, IFMA,

Clermont- Ferrand, France.

[32] Baron, L., and Bernier, G., ‘The Design of Parallel Manipulator of STAR

Topology Under Isotropic Contraint’, ASME Design Automation Conference,

Pittsburgh, USA, pp. 9-12, 2001.

[33] Hervé, J.M., ‘Dispositif pour le déplacement en translation spatiale d’un

élément dans l’espace, en particulier pour robot mécanique’, French Patent, No.

9100286, January 1991, European Patent No. 91403521.7, December 1991.

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