ANALYSENUMÉRIQUE

Chapitre I

ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

EXERCICES DE RÉVISIONS: ANALYSE NUMÉRIQUE-CHAPITRE IÉquation Non Linéaire

Une équation à une inconnue x est dite non linéaire si elle est de la forme f(x) = 0 où:la fonction f(x) est non linéaire, c�est-à-dire n�est pas de la forme de ax+ c:

Une solution r de l�équation f(x)=0 est dite de multiplicité m si f(r)=f 0(r)=...f (m�1)(r)=0; f (m)(r) 6= 0.Une équation f(x) = 0 possède une solution sur un intervalle [a; b] lorsque f(x) est dé�nie et

continue sur [a; b] et f(a)f(b) < 0: Si de plus f 0(x)>0 ou f 0(x)<0 8x 2 [a; b] : la solution est unique.

Méthode de la Bissection (ou Dichotomie)Pour trouver la solution de l�équation f(x) = 0 dans un intervalle donné [a; b] par cette méthode avecun critère d�arrêt � et le nombre maximum d�itérations N; refaire les étapes ci-dessous au plus N fois:1. Poser xm = a+b

2 :

2. Si jb�aj2jxmj < �; la solution est xm. Sinon continuer*.3. Si f(a)f(xm)<0; poser b=xm et retourner à 1. Si f(b)f(xm)<0; poser a=xm et retourner à 1.

� Le nombre d�itérations nécessaires pour atteindre une précision " donnée est N > lnjb�aj�ln "ln 2 � 1:

Méthode des Points FixesPour utiliser cette méthode, il faut transformer l�équation f(x) = 0 en une équation de la forme x = g(x).

Pour trouver alors la solution (appelée point �xe) de x = g(x) avec un critère d�arrêt �; le nombremaximum d�itérations N; et une valeur initiale x0; refaire les étapes ci-dessous au plus N fois:

1. Poser xn+1 = g(xn):2. Si jxn+1�xnjjxn+1j < �; la solution est xn+1: Sinon continuer*.3. Remplacer xn par xn+1 et retourner à 1.

� Cette méthode s�applique (converge et possède une solution unique) lorsque:8x 2 [a; b]; g(x) 2 [a; b]: Et g0(x) est dé�nie et continue. Et 9k < 1 tel que 8x 2 [a; b]; jg0(x)j 6 k.

� Si jg0(r)j < 1 et jg00(r)j 6= 0; la méthode est convergente à l�ordre 1. jg0(r)j indique la rapidité.� Si jg0(r)j = 0 et jg00(r)j 6= 0; la méthode est convergente à l�ordre 2. (convergence quadratique)...etc.� Le nombre d�itérations nécessaires pour atteindre une précision " donnée est N > ln((1�k)")�lnjb�aj

ln k :� Si la méthode est convergente à l�ordre 1, la méthode de Ste¤enson suivante accélère la convergence:

1. Poser x1 = g(x0) et x2 = g(x1) et xA = x0 � (x1�x0)2x2�2x1+x0 : (Extrapolation d�Aitken)

2. Si jxA�x0jjxAj < �; la solution est xA: Sinon continuer*.3. Remplacer x0 par xA et retourner à 1.

Méthode de Newton (ou Newton-Raphson)Soit f(x) une fonction continue et deux fois continûment dérivable sur [a; b]:

Pour trouver la solution de l�équation f(x) = 0 par cette méthode avec un critère d�arrêt �; le nombremaximum d�itérations N; et une valeur initiale x0, refaire les étapes ci-dessous au plus N fois:

1. Poser xn+1 = xn � f(xn)f 0(xn)

:

2. Si jxn+1�xnjjxn+1j < �; la solution est xn+1: Sinon continuer*.3. Remplacer xn par xn+1 et retourner à 1.

� Si f(a)f(b)<0; f 0(x) 6= 0; f 00(x)<0 ou f 00(x)>0, f(x0)f 00(x0)>0, alors la méthode converge pour x0.� Si f(a)f(b)<0; f 0(x) 6= 0; f 00(x)60 ou f 00(x)>0; jf(a)j

jf 0(a)j etjf(b)jjf 0(b)j<jb� aj, elle converge 8x0 2 [a; b]:

� Sa convergence est en général quadratique mais lorsque m > 1 elle est seulement linéaire (d�ordre 1.)

Méthode de la SécantePour trouver la solution de l�équation f(x) = 0 par cette méthode avec un critère d�arrêt �; le nombremaximum d�itérations N; et les valeurs initiales x0 et x1, refaire les étapes ci-dessous au plus N fois:

1. Poser xn+1 = xn � (xn�xn�1)f(xn)f(xn)�f(xn�1) :

2. Si jxn+1�xnjjxn+1j < �; la solution est xn+1: Sinon continuer*.3. Remplacer xn�1 par xn et xn par xn+1 et retourner à 1.

* Le critère d�arrêt est parfois dé�ni aussi par jb�aj2 < �; ou bien jxn+1 � xnj < �; ou bien jf(xn+1)j < �:

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