Cours master phys sc chap 2 2015

Le semiconducteur

hors équilibre 2

2

LE SEMICONDUCTEUR HORS

ÉQUILIBRE

2-1

2-2Recombinaison et génération

Phénomènes de transport

Phénomènes de transport dans

Les semiconducteurs 2-1

Phénomènes de transport

• Mouvement thermique

• Mouvement de dérive

• Mouvement de diffusion

Chap: II -4-

Mobilité-conductivité

Mouvement thermique

Approche classiqueSoit un cristal Sc contenant des e- et des trous libres de densité n et p. Si on ajoute un kT, cette énergie va augmenter l'agitation thermique. Si vth est la vitesse moyenne d'agitation thermique, l'énergie cinétique d'agitation thermique vaut :

2

0

3 1

2 2thE kT m v

5

0

310 /

300th

kT Tv m s

m

A 300K, on obtient vth ≈ 105 m/s (soit 400 000 km/h). Les porteurs ont ainsi une vitesse thermique moyenne, orientée dans toutes les directions de l’espace.Les trajectoires sont très complexes Interaction avec la réseau

Chap: II -5-

En l’absence d'un champ électrique E, la vitesse moyenne d'entraînement est nulle

thv

Trajectoire linéaire entre

choc

Dans l’approximation classique l’électron subit des collisions.

On définie:

< >: Le temps caractéristique représente le temps moyen entre deux collisions.

<ℓ>: le libre parcours moyen , ou distance moyenne parcourue entre deux collisions

on a <ℓ> = vth<>

0thv

Chap: II -6-

Collisions multiples dues à l’agitation thermique d’origines:

- atomes du réseau- impuretés ionisées- défauts

Pour Si: <> = 0.1 à 1 ps, <ℓ> = 10 à 100 nm

E

Mouvement de dérive

Appliquer champ électrique sur le semiconducteurs:E ≡ champ électrique [V cm-1] ⇒ force nette

2

0

1 3

2 2thm v kT 510 /thv m s

0thv

0v

2

0

1 3

2 2m v kT

Chap: II -7-

Chap: II -8-

Condition: faible champ électrique E

temps moyen entre deux collisions constant, accroissement

de vitesse dû au champ reste faible par rapport à vth,

redistribution isotrope des vitesses après chaque collision.

Soit la force F=qE agissant sur le mouvement des porteurs

composante de vitesse parallèle à la direction du champ E

qui s’ajoute à la composante thermique

Conductivité sous l’effet d’un champ électrique.

En présence d'un champ électrique E constant et uniforme, La force à laquelle est soumis l’électron est :

F = Fappliquée + Flocale

Cette dernière est due à toutes les interactions avec le réseau (vibration thermique).

0 0l

dvF qE F m m

dt

0 0

1( ) l

qv t Et F dt

m m

Les porteurs ont une vitesse thermique moyenne, orientée dans toutes les directions de l’espace qui est légèrement modifiée en imposant une direction statistique préférentielle par la présence du champ électrique.

Trajectoire incurvée

entre choc

Chap: II -9-

Conductivité sous l’effet d’un champ électrique.

0

qv E

m

La vitesse d'entraînement vaut donc:

0 0

1( ) 0l

qv t v E car F dt

m m

Soit la mobilité:

Pour les Semiconducteurs:

n nv E nv Vitesse moyenne des électronsE

qE

p pv E pv Vitesse moyenne des trous qE

E

*n

n

q

m

*p

p

q

m

*

pm *

pmet sont les masses effectives de conduction

Si v << vth ou E faible

(cm2/Vs)

-10-Chap: II

Cristal

À T=300Kn(cm

2/Vs) p(cm2/Vs)

GaAs 8000 300

InAs 30000 450

Diamand 1800 1200

Si 1350 480

Ge 3600 1800

PbS 550 600

In0.53Ga0.47As 11000

-11-Chap: II

La mobilité est une grandeur déterminante pour les composants électroniques → performances des dispositifs Elle est inversement proportionnelle à la masse effective et dépend des collisions dans le cristal Ces collisions peuvent être dues aux impuretés, aux phonons, aux autres porteurs, et à tout autre défaut La mobilité s’exprime en cm2/Vs, (Rq: en MKSA m2/Vs = 1/T)

La masse effective des électrons est plus faible que celle des trous et le temps de relaxation est plus long → mobilité des électrons est supérieur à la mobilité des trous

Le temps de collision augmente quand la température diminue, du moins dans un semiconducteur pur

-12-

• Pour faible niveau de dopage, μ est limitée par les collisions avec les réseaux. Si la Température augmente; μ diminue.• Pour le dopage moyen et haut niveau de dopage, μ est limitée par les collisions avec les impuretés ionisées.• Trous "plus lourd" que les électrons: Pour le même niveau de dopage, μn> μp

Chap: II

Mobilité en fonction de la température

Densité de courant et Mobilité

Courant causé par le champ électrique due aux électrons:

nqn tAQj

A t A t

Loi d’Ohm : j E2

*

nn n

n

nqqn

m

q

A

vnt

(due aux électrons seulement)

(A/cm2)

-13-Chap: II

2

*

nn n

n

nqj qn E nq E

m


Courant total due aux électrons et aux trous:

n p n pj qn qp nq pq E E

n pqn qp

p( est la mobilité des trous)*

p

p p

p

qE E

m

Pour les trous,

jn et jp sont les courants de dérive dans le champ électrique.

-14-Chap: II

*

0

2

5

? 300 1.18

? 1000 / 0.15 / ( )

31.08 10 / s

150 / s

th e

d

th th

d d

V T K m m

V E V m m V s

kTV V m

m

V E V m

Exercice: Calculer la vitesse d'un électron dans un morceau desilicium de type n causée par son énergie thermique àtempérature ambiante et sa vitesse due l'application d'un champélectrique de 1000 V / m à travers le morceau de silicium.

Chap: II -15-

• Importance de la mobilité sur les composants

– Mobilité la plus élevée possible => vitesse plus grande pour un même E

– Facteurs limitant:

• Dopage

• Défauts (cristallins, structuraux, …)

• Température

• Champ électrique de saturation + géométrie


-16-Chap: II

• Vitesse de saturation des électrons

– La relation linéaire vitesse – champ valide uniquement pour:

• Des champs électrique pas trop élevés

• Porteurs en équilibre thermique avec le réseau

– Sinon:

• Au-delà d’un champ critique, saturation de la vitesse

• Apparition d’un autre phénomène: « velocity overshoot » pour des semiconducteurs multivallée.

• Régime balistique: pour des dispositifs de dimensions inférieures au libre parcours moyen (0.1µm)

-17-Chap: II


-18-Chap: II

Influence du champ électrique sur la mobilité

• Pour des champs électriques faibles, la loi de proportionnalité (vitesse–champ) est valable la courbe réelle est linéarisée et la pente définit la mobilité

• Dès que les champs électriques deviennent importants (quelques kilovolts), la vitesse sature et converge vers la vitesse thermique. Bien que les trajectoires entre chocs soient suffisamment incurvées pour prendre la direction du champ, l’énergie thermique reste très supérieure à l’énergie apportée entre ces chocs et la mobilité décroît

n nv E n nj qn E

Vitesse de saturation

-19-Chap: II

Dans le cas du GaAs, la situation est plus complexe dès que l’on dépasse un certain champ électrique critique, car le semiconducteur est « multi-vallée »

Dès que l’énergie de l’électron se rapproche de EL ou EX , les porteurs transfèrent de la vallée centrale vers les vallées satellites et voient leur masse effective changer et augmenter. En conséquence, leur mobilité diminue.

En général* * *

1 2 3,m m m

Vitesse de saturation

Survitesse

(« overshoot »)

Différents comportement

en fonction du SC

-20-Chap: II

Le GaAs présente une meilleure mobilité (rapport 5) et une survitesse qui est exploitée dans la réalisation de certains composants très rapides HF

-21-Chap: II

Influence de la température sur la mobilité

L’augmentation de température se traduit par une agitation thermique plus importante dans le réseau cristallin et, de ce fait, le temps de relaxation va diminuer car la probabilité de chocs avec les atomes augmente.

Il s’en suit une diminution de la mobilité qui suit une loi empirique de la forme:

3/2T

est un coefficient qui dépend de la nature du matériau et du type de porteur

2

*

nn n

n

nq EJ E

m

2

*

p

p p

p

pq EJ E

m

La loi d'Ohm locale (microscopique) :

pour les électrons, et

pour les trous.

21 1

*

2

1 1

*

( )

( )

nn n

n

p

p p

p

nqnq cm

m

pqpq cm

m

n p n pqn qp

Def: Les conductivités électriques s'écrivent :

Le courant total étant la somme des courants de trous et d'électrons, la conductivité totale du matériau s'écrit naturellement:

pour les électrons, et

pour les trous.

-24-Chap: II

n p n pqn qp

22

* *

( )

pnn p

n p

n p

pq Enq EJ J J

m m

E E

1 1( )

( )

1

1

n p

n

n

p

p

cmq n p

si n pqn

si p nqp

Le courant total étant la somme des courants de trous et d'électrons,

la conductivité totale du matériau s'écrit naturellement:

La résistivité d’un matériau est l’inverse de la conductivité

-25-Chap: II

Resistance

t

wL

pn qpqn

1

wt

L

wt

L

I

VR

IIV

Pour calculer R, Il faut trouver de la concentration des électron et des trous, et après utiliser les dimensions

de l’échantillon

-26-Chap: II

-27-Chap: II

Cas du silicium dopé à 300K :

n=280 cm²/V.s et p=90 cm²/V.s

n=ND=1018 cm-3 et p=2,2 102 cm-3

=2,2 10-2 cm et

= 48 -1 cm-1

Cas du silicium intrinsèque à 300K :

n=1350 cm²/V.s et p=480 cm²/V.s

p=n=ni=1,5 1010 cm-3

=3,4 105 cm et

= 2,9 10-6 -1 cm-1

Résistivité

La concentration en impuretés peut cependant différée de la concentration réelle en porteurs :

Exemple : cas du silicium dopé p (Gallium) avec NA=1017 cm-3, on peut montrer qu’il y a en réalité 23% d’accepteurs non-ionisés ce qui fait une concentration réelle de porteurs de 7,7 1016 cm-3 !

Même pour de très forts dopages la résistivité du semi-conducteur reste très supérieure à celle d’un métal dont l’ordre de grandeur est le µ.cm.

-28-Chap: II

La concentration en impuretés d’un semi-conducteur peut être obtenue si sa résistivité est connue.

Résistivité

Temps pour la dérive à travers L = 0,1 m

Très rapide

610 /dn thv cm s v

der

n th n

EJ qnv qn E E

3 24.8 10 /der

nJ A cm

10d

th

Lt ps

v

Chap: II

Exercices-1

Soit le Silicium avec ND = 3 x 1016 cm-3 à la température ambiante μn ≈ 1000 cm2 / V • s, ρ n ≈ 0.21 Ω • cm, n ≈ 3X 1016 cm-3

Appliquer E = 1 kV / cm

Solution Exercice 1-

Exercices-2

-30-Chap: II

Quelle est la résistivité d'un morceau de silicium de type n avec

n = 1 000 cm2V-1s-1 et p = 100 cm2V-1s-1 ? La densité de porteurs

due au dopage de type n = 1017 cm-3. ni = 1.5x 1010 cm-3

Conductivité (type n seulement, pourquoi?)

Résistivité

17 3 2 1 1 19 1 110 1000 1.6 10 16 ( )

n nnq

cm cm V s Coulombe cm

1 10.0625 ( )

16n

cm

Solution Exercice 2

Exercice-3

-31-Chap: II

Un échantillon de Si est dopé avec 1018 atomes/cm3 /. Quelle est la

concentration p de trou d'équilibre à 300 K? Où est EF par rapport à Ei?

Solution Exercice 3

Ec

Ev

Ei

EF0.465 eV

Concentration de trous à l'équilibre

18

10

ln

100.025 ln 0.465

1.5 10

F i

i

nE E kT

n

eV

2 203

18

2.25 10225

10

inp cm

n

Niveau de Fermi

Exercice 4

-32-Chap: II

Vrai ou faux:

• Quant masse affectifs augmente, la mobilité diminue

• Mobilité pour un semi-conducteur particulier restera constant dans

chaque direction

•Pour un semi-conducteur de type n, le niveau de Fermi EF sera toujours

plus près de la bande de conduction qu’au centre de la bande interdite Ei

•Quant la bande interdite d'un semi-conducteurs augmente, la densité des

paires trou-électron généré thermiquement diminue

•Le produit de la concentration d'électrons et la concentration de trous dans

un semiconducteur est constante indépendamment de la température

Vrai

Faux

Faux

Faux

Vrai

61019 1039.4105.11830106.1 ipni nq (Ω.cm)-1

51028.21

i

i

(Ω.cm)

Pour le Silicium intrinsèque : mn = 1350 et mp = 480 cm2/V-s .

Ainsi, étant donné que : n = p = ni

Calculer la résistivité intrinsèque du Silicium à 300 K

-33-Chap: II

Exercice-5

Solution Exercice 5

Exercice 6-

En considérant une erreur maximale admissible de 1% , déterminer à partir de quel dopage on peut considérer que, dans le calcul de la résistivité, seul les porteurs majoritaires interviennent. Application numérique au cas du Germanium, Silicium et Arséniure de gallium.On donne:

Germanium n = 4500 cm2/V.s p = 2000 cm2/V.s

Silicium n = 1500 cm2/V.s p = 600 cm2/V.s

Arséniure de Gallium n = 7500 cm2/V.s p = 300 cm2/V.s

-34-Chap: II


-35-Chap: II

La résistivité d’un matériau semi-conducteur s’exprime par la relation:

La conductivité est l’inverse de la résistivité. Elle vaut donc:

Le matériau étant à l’équilibre, les densités de porteurs sont reliées par la loi d’action de masse

En utilisant cette dernière relation, on peut exprimer la conductivité en fonction d’un seul type de

porteurs, par exemple les électrons.

Il s’en suit

En développant cette relation, on obtient une équation du second degré qui permet de relier n et s.

Les solutions de cette équation peuvent se mettre sous la forme:

1

n pq n p

n pq n p

2

inp n

2

in p

nq n

n

2 2 0p

i

n n

n n nq


-36-Chap: II

Les solutions de cette équation peuvent se mettre sous la forme:

Le terme est très petit devant l’unité.

La racine carrée est donc de la forme .

Le développement limité au premier ordre de ce terme est .

La solution peut donc se mettre sous la forme:

2 2

21 1 4

2

i n p

n

q nn

q

1 12

2 2

24

i n pq n

2 2

21 1 4

2 2

i n p

n

q nn

q

1


-37-Chap: II

Une seule des solutions est physiquement réaliste. C’est celle qui correspond au signe +. Le signe –

donnerait la densité des électrons dans le cas ou ils sont minoritaires. On obtient donc:

L’erreur commise en négligeant les porteurs minoritaires est donc égale à: .

Pour une erreur inférieure à 1%, on aura:

On obtient donc:

ou encore, en repassant à la résistivité:

On peut donc calculer cette valeur pour chacun des matériaux les plus couramment utilisés. Dès que la

résistivité sera inférieure à cette valeur, on pourra considérer que la résistivité dépend exclusivement

de la concentration des porteurs majoritaires.

2 2

21

i n p

D

n

q nn N

q

2 2

2

i n pq n

2 2

2

210

i n pq n

10 i n pq n

1

10 i n pq n


-38-Chap: II

Applications numériques

2 2

13 3 1

4500 / 2000 /

2.510 8.3

n p

i

Gremanium cm V s cm V s

n cm cm

2 2

10 3 1

1500 / 600 /

1.510 41.1

n p

i

Silicium cm V s cm V s

n cm cm

2 2

7 3 1

: 7500 / 300 /

10 33.9

n p

i

Arséniure de Gallium cm V s cm V s

n cm cm


-39-Chap: II

Applications numériques suite

Si la résistivité satisfait à la condition énoncée ci dessus, on pourra écrire:

Matériau de type P

Matériau de type N

Dans la réalité, cette condition sera TOUJOURS respectées et la résistivité (ou la

conductivité) ne dépendront que de la densité des porteurs Majoritaires.

21

, ,iA

A A p

np N n

N qN

21

, ,iD

D D n

nn N p

N qN

-40-Chap: II

Exercice 7- Calculer la résistivité maximale de ces trois matériaux. Comparer cette valeur avec la résistivité intrinsèque . Conclusion.

Exercice 8- La pureté maximale possible avec les technologies actuelles étant de 1013 cm–3, calculer les conductivités correspondantes pour les trois corps étudiés précédemment.

Exercice 9- On dope un barreau de silicium avec du phosphore. Donner le type et la valeur du dopage pour obtenir un matériau derésistivité = 0,6 .cm.Quelle est la masse de phosphore nécessaire pour doper un lingot de 40 cm de long et de 15 cm de diamètre. Sachant que l’on peut garantir la pesée du phosphore au 1/100ème de milligramme, quelle est l’erreur maximale commise sur le dopage?


Si la résistivité passe par un maximum, la conductivité passera par un

minimum. Celle ci s’exprime en fonction d’un seul type de porteurs par la

relation (Exercice n° 6):

Cette fonction passera par un minimum pour la valeur de n qui annulera la

dérivée;

On obtient donc: = m . On peut remarquer que cette valeur est inférieure à n i

car p < n. Le matériau présentant la résistivité maximale serait donc de type P.

En reportant cette valeur de la densité dans l’expression de , on obtient:

2

in p

nq n

n

2

20i

n p

nq

n n

p

i

n

n n

max

1

2i

i n pqn

-41-Chap: II


-42-Chap: II


2 2

13 3 1

max

4500 / 2000 /

2.510 41.7

n p

i i


n cm cm

2 2

10 3 1

max

1500 / 600 /

1.510 205

n p

i i


n cm k cm

2 2

7 3 1

max

: 7500 / 300 /

10 169.5

n p

i i


n cm M cm


-43-Chap: II

La résistivité Intrinsèque s’exprime par la relation:


2 2

13 3 1

4500 / 2000 /

2.510 38.5

n p

i t


n cm cm

2 2

10 3 1

1500 / 600 /

1.510 186

n p

i t


n cm k cm

2 2

7 3 1

: 7500 / 300 /

10 70.2

n p

i t


n cm M cm

1

i n pqn

On pourra remarquer que le matériau le plus résistif n’est pas l’intrinsèque;

Cela est dû à la différence des mobilités


La pureté maximale permettant d’obtenir des dopages de 1013 cm-3 on pourra, dans le

cas du Germanium, obtenir un matériau Intrinsèque. Pour les deux autres, cela ne

sera pas possible. Les résistivités limites que l’on pourra obtenir seront donc:

21 1

: , ,iA

A A pn p

nTyp P p N n

N qNq n p

21 1

: , ,iD

D D nn p

nTyp N n N p

N qNq n p

1 1: 1 ; : 417typ P k cm typ N cm

Application numérique pour le Silicium

1 1: 1.56 ; : 73.5typ P k cm typ N cm

Application numérique pour l’Arséniure de Gallium

Les dopages couramment utilisés en technologie étant toujours nettement supérieurs

à cette valeur de 1013 cm-3 , la résistivité ne dépendra que des majoritaires.

La valeur de la résistivité que l’on souhaite obtenir est nettement inférieure à la valeur pour laquelle

on peut considérer que seuls les porteurs majoritaires interviennent. Le phosphore étant de type N

on aura donc:

On peut tirer la valeur de ND de cette relation. Cela nécessite toutefois la connaissance de n.


1

D nqN

15 3

19

1 1710

1.610 0.6 1500D

n

N cmq

On pourra résoudre le problème en

procédant par approximations

successives.

-On se donne une valeur de la

mobilité et on en déduit le dopage. De

cette valeur du dopage on tire une

valeur de mobilité à l’aide de l’abaque

correspondant et on recommence le

calcul jusqu’à obtenir deux valeurs

consécutives dont l’écart est inférieur

à l’erreur que l’on peut tolérer.

Si par exemple on se fixe une mobilité de 1500 cm2/Vs, on obtient un dopage qui vaut:

Ce dopage donne une mobilité qui vaut sensiblement 1100 cm2/Vs. On peut donc

recalculer la nouvelle valeur du dopage qui vaut: 9,5 1015 soit une mobilité de 1050

approximativement et un nouveau dopage de 1016 cm-3. Vu l’écart entre ces deux

dernières valeurs, on s’arrêtera là.

Il faudra donc introduire sensiblement 1 atome de Phosphore tous les 1 Million

d’atomes de Silicium.

Dans ce type de calculs, l’important est de déterminer la puissance de

10 car on travaille sur des grands nombres. Une erreur de quelques

pourcents sur le résultat est tout à fait acceptable.


Calcul du poids de Phosphore utilisé.

Le lingot est cylindrique de longueur 40 cm et de diamètre 15 cm. Son volume est donc:

V = p r2 h = p * 7,52 * 40 = 7068 cm3.

La masse atomique du silicium est de 28.1 g/mole et celle du phosphore vaut 31 g/mole

(voir tableau de Mendeleïev).

Le nombre d’atomes par mole est égal à 6,02 1023 (nombre d’Avogadro).

La densité d’atomes de Silicium est de 5,02 1022 cm-3.

La masse de phosphore utilisée vaut donc:

On peut rapprocher cette valeur du poids du lingot de silicium qui vaut:

Le poids du dopant est donc infiniment petit par rapport à celui du lingot.

Si l’erreur absolue sur la pesée du Phosphore est de 1/100ème de mg, l’erreur relative

vaut: 0,01/3,64 c’est à dire 2,7 10-3. L’erreur sur le dopage sera la même car la densité

d’atomes dopants est directement proportionnelle au poids. Cette précision est illusoire

car les variations du process ne permettent pas d’atteindre de telles précisions.


16

23

7068 1031 3.64

6.0210PM g mg

22

23

7068 5.021028.1 16.56

6.0210SiM g kg

Solution Exercice 10-Pour obtenir un matériau de type opposé, le dopant utilisé

devra être un accepteur c’est-à-dire appartenir à la colonne III de la classification

périodique des éléments. Pour le silicium, le dopant généralement utilisé est le Bore.

Le processus sera le même que celui décrit ci-dessus pour le phosphore. Toutefois,

le matériau n’étant pas intrinsèque au départ de l’opération, il faudra d’abord injecter

une quantité d’atomes de Bore égale à celle du phosphore pour compenser le

matériau. On obtiendra du silicium « Intrinsèque par compensation ». A partir de ce

matériau compensé, on appliquera le même raisonnement que précédemment.

Le nombre de trous dans ce matériau sera donc: p = NA – ND

La résistivité s’écrit:

On obtient NA = 1016 + 6,25 1015 = 1,625 10 16 cm-3.

Qui correspond à un poids de 2,06 mg de Bore.

1 1 1

A D

p A D p p

et donc N Nqp q N N q

Exercice 10- A partir du semi-conducteur précédent, on souhaite obtenir un matériau de type opposé. Quel dopant va-t-on utiliser et quelle est la concentration et le poids nécessaire permettant d’obtenir un matériau de résistivité égale à 2 cm.

-49-Chap: II

Exercice 11- Calculer le rapport du courant d’électrons et de trous correspondant au matériau de l’exercice n° 9. Conclusion.

Solution Exercice 11-Le matériau étant homogène, le courant est dû à la conduction. On peut donc écrire:

Application numérique: ce rapport vaut 0.78 1012 ce qui revient à dire que le

courant de conduction est le courant d ’électrons c’est-à-dire le courant des porteurs

majoritaires.

2

2 2

n n n n n n

iP P P p i pp

I J qn n n

nI J qp n

n

Solution Exercice 12-Le courant de conduction s’écrit:

:

: 9000 /

n n D

D

D

D

I j S S E q n S E q n v S

I IDonc v

q n S q N S

AN v cm s

Exercice 12- On considère un barreau de silicium de 2 cm de long et 0,1 cm2 de section . Le silicium est de type N (ND = 5 1015 cm-3 ). On applique aux bornes de ce barreau une tension de 12 Volts et on mesure un courant de 720 mA. Calculer la mobilité des électrons.

-51-Chap: II

Exercice 13- Comparer la vitesse des électrons dans un semi-conducteur (par exemple celui de l’exercice n° 9) à celle des électrons dans un métal qui serait parcouru par la même densité de courant. En déduire la mobilité des électrons dans le cuivre .On donne: densité atomique: 5 1022 cm-3.

Solution Exercice 13-Pour une même densité de courant, on aura:

22 3

4

5 10

' :

: 9 10 / 9 /

sc sc métal m

sc m m sc

m

j q n v et j q N v avec N cm

nD ou q n v q N v onoblient v v

N

AN v cm s soit m s

Ceci s’explique simplement par le fait que dans un métal il y a un électron libre par

atome d’ou une population extrêmement importante qui se déplacera très lentement.

Il ne faut pas confondre vitesse de déplacement des porteurs et vitesse de

propagation du courant électrique.

Exercice 14- Calculate the mean free time of an electron and mean free

path having a mobility of 1000 cm2/V-s at 300 K. Assume me = 0.26m0,

where m0 = electron rest mass = 9.1 x 10-31 kg.

31 4 2 -1 -1

19

2

5

From (5),

(0.26 9.1 10 kg)(1000 10 m .V .s )

1.6 10 C

0.148 ps

3;

2 2

310 m/s

14.8 nm

e e

th

th

m

e

s mv kTv

t

kTv

m

l v

Exercice 14- Calculate the mean free time of an electron and mean free

path having a mobility of 1000 cm2/V-s at 300 K. Assume me = 0.26m0,

where m0 = electron rest mass = 9.1 x 10-31 kg.


Exercice 15- In metals, μe = 5 x 10-3 m3/(V-s) and l = 1 cm, V = 10 volts

is applied. Find the drift velocity vD and compare to thermal velocity vth.

23

2

23

31

5

m 10 V5 10

V.s 10 cm

5 m/s

3 3 1.38 10 J/K 300K

9.1 10 kg

1.17 10 m/s

D e e

D

th

th

D th

Vv E

l

v

kTv

m

v

v v

Exercice 15- In metals, μe = 5 x 10-3 m3/(V-s) and l = 1 cm, V = 10 volts

is applied. Find the drift velocity vD and compare to thermal velocity vth.


Transport sous l’effet d’un gradient de concentration

Il apparaît un courant qui tend à homogénéiser la concentration

Ce courant est d'autant plus faible que la différence de concentration estfaible (il tend vers 0 à l'équilibre)

-56-Chap: II

( )C xI

x

négatif parce que lesparticules diffusent versles régions de plus faibleconcentration

proportionnel au gradient de concentration

Mouvement de diffusion des porteurs

Le phénomène de diffusion est lié à l’existence de gradient de concentration ou gradient de température

Il y a diffusion des régions de forte concentration vers les régions de faible concentrations

Loi de Fick : le mouvement des porteurs de charges s’effectuera dans une direction qui a tendance à uniformiser leur distribution spatiale. Ce phénomène est équivalent à celui de l’équilibre de la pression d’un gaz dans une enceinte.

CC i

x

0C

x

F D C

C : concentration de l’espèceC

i

(Loi de Fick) : D : coefficient de diffusion (cm-2s-1)

Le flux des particules F est proportionnel au gradient de concentration

Le signe( – ) vient du fait que pour qu’il y ait étalement, le gradient doit être < 0. Cette loi est générale et s’applique aussi bien aux électrons, aux trous , aux atomes et aux ions.

-57-Chap: II

Cas des électrons :

Dn : coefficient de diffusion des électrons. Par convention la densité de courant est de sens opposé au déplacement des électrons. Les électrons étant de charge <0, se déplaçant vers les x>0, le gradient de concentration <0, la densité de courant est <0.

, ,

1. .n n D n D nF J J q D n

q

Cas des trous :

Dp : coefficient de diffusion des trous

Par convention la densité de courant est dans le même sens que celui des tous. Les trous étant de charge>0, se déplaçant vers les x>0, le gradient de concentration<0, la densité de courant est>0.

, ,

1. .p p D p D pF J J q D p

q

Courants de Diffusion : En considérant macroscopiquement la diffusion desélectrons et des trous, leur déplacement est équivalent à un courant. On peutdonc exprimer les densités de courant de diffusion des électrons et des trous enmultipliant le flux des porteurs par la charge élémentaire.

-58- Chap: II

,

,

( ). .

( ). .

.( )

n D n n

p D p p

D n p

J q F q D n

J q F q D p

J q D n D p

Pour les électrons

Pour les trous

Total

Densité de courant de diffusion

-59-Chap: II

Densité de courant totale

Les coefficients de diffusion s’expriment en cm²/s. Ils sont de l’ordre de grandeur de l’unité et en général tels que Dn>Dp.

Les équations présentées ici ne sont valables que pour un semi-conducteur homogène et à température constante. Ces équations sont profondément modifiées quand le dopage, le « gap » ou la température varient.

Le modèle utilisé ici unidimensionnel permet de mener à bien des calculs analytiques.

Densité de courant total d’électrons dans un semi-conducteur :

Densité de courant total de trous dans un semi-conducteur :

Densité de courant total dans un semi-conducteur :

, ,

( )n n deriv n Dif n n

dn xJ J J q nE qD

dx

, ,

( )p p deriv p Dif p p

dp xJ J J q pE qD

dx

, ,

n p deriv diff

n p n p

J J J J J

-60-Chap: II

Relations d’Einstein

Démonstration simple de la relation d’Einstein;dan le cas à une dimension on a:

2

0

1 1

2 2thm v kT

2 0( ) nn th th th th n

m kTD v l v v v

q q

0

n

q

m

De même pour les trous:

p p

kTD

q

p n

p n

D D kT

q Relation d’Einstein

-61-Chap: II

-62-Chap: II

Equations de Maxwell

Equations de Maxwell pour des matériaux isotropes et homogènes :

Conditions statiques

E et D sont le champ et l’induction électrique.

H et B sont le champ et l’induction magnétique.

s et 0 sont la permittivité du semi-conducteur et la perméabilité du vide.

(x,y,z) est la densité de charge électrique totale, Jcond la densité de courant de conduction et Jtot la densité de courant total (incluant à la fois la conduction et la diffusion .Jtot=0).

Parmi les six équations de Maxwell, la plus importante est sans doute celle de Poisson.

, cond tot

B DE H J J

t t

00 ,B B H

( , , ) , ( , ) ( ') ( , ') 't

sD x y z D r t t t E r t dt

sD E

-63-Chap: II

Equation de Poisson

L’équation de Poisson est issue des équations de Maxwell et reste valable dans un semi-conducteur. En supposant un modèle à une dimension on peut écrire :

On peu l’écrire comme:

Concentration de charges C/m3

Permittivité du semi-conducteur en F/cm

Laplacien en V/cm²

( , , )sD E x y z

2

2

0 r

V

x

-64-Chap: II

sc

x

dx

dE

dx

Vd

)(2

2

Equation de Poisson

-65-Chap: II

)()()()(2

2

xNxNxnxpe

dx

VdAD

sc

Charge mobiles

(électrons et trous)

Charges fixes(dopants ionisés)

Dans un semi-conducteur dopé par les deux types de dopants, la concentration de charges totales tient compte des porteurs libres et des atomes ou impuretés ionisées :

Dans de nombreux cas, pour aboutir à une solution analytique, il faudra simplifier cette expression en comparant les différentes concentrations.

( )D Aq p n N N

Longueur de Debye

• Si on écrit l’équation de Poisson dans un type n en exprimant n en

fonction de :

• Si Nd(x) => Nd+DNd(x) , alors FFi est modifié de FFi

Fi

kTe

id

sc

Fi FienxNe

dx

d /

2

2

)(F

F

en remarquant que: V(x)=FFi cte

)(2

2

2

xNe

kT

Ne

dx

dd

sc

Fi

sc

dFi

-66-Chap: II

Longueur de Debye

• Signification physique?– Solution de l’équation différentielle du 2° degré:

– La « réponse » des bandes n’est pas abrupte mais « prend » quelques LD ( si Nd=1016 cm-3, LD=0.04µm). Dans cette région, présence d’un champ électrique(neutralité électrique non réalisée)

avecexpFi

D

xA

L

2

scD

D

kTL

e N

-67-Chap: II

Equations de continuité

Hors équilibre thermodynamique, on cherche à déterminer le taux de variation de la concentration des porteurs (électrons et trous) en fonction du temps (modèle unidimensionnel).

Soit un élément de volume d’épaisseur dx. Si le flux entrant F(x) est supérieur au flux sortant F(x+dx), la concentration des particules augmente. L’évolution du nombre de porteurs par unité de temps est donné par:

( ) ( )

( ) ( ( ) )

N CSdx

t t

F x S F x dx S

F FF x S S F x dx S dx

x x

Cdiv F

t

x

x dxdx

S

F

C(t)

-68-Chap: II

( ) ( )

( ) ( )

F F x dx F x

x x dx x

Fdx F x F x dx

x

Equations de continuité

Pour les électrons:

Variation de concentration = variation du flux + génération-recombinaison

C dFG U

t dx

Supposons que dans cet élément il soit possible de générer des paires de porteurs par des photons (taux de génération G, cm-3/s) ou d’en faire disparaître sur place par recombinaison (taux de recombinaison U , cm-3/s)

,

1

n n n n n

n

J qF J q nE qD n

ndiv J G U

t q

Pour les trous:,

1

p p p p p

p

J qF J q pE qD p

pdiv J G U

t q

-69-Chap: II

2

2

1 tot

n n n n

n nF j D nE G U

q t x x

Hors équilibre thermodynamique, on cherche à déterminer le taux de variation de la concentration des porteurs (électrons et trous) en fonction du temps (modèle unidimensionnel).

Hypothèse de faible injection i.e la densité de porteurs injectés est inférieure à la densité de porteurs majoritaires à l’équilibre le taux de recombinaison U (np-np0)/n avec np la densité de porteurs minoritaires, np0 la densité de porteurs minoritaires à l’équilibre thermodynamique et n

le temps de vie des électrons.

La même hypothèse existe pour les trous conduisant à la relation :

U (pn-pn0)/p

Si les électrons et les trous sont générés et recombinés par paires sans pièges ou autres effets similaires alors on peut écrire que:

n=p.

2

2

1 tot

p p p p

p nF j D pE G U

q t x x

-70-Chap: II

Exercice 14

Un échantillon de Si est dopé avec 1017 atomes de phosphore par cm3.

- Ce semi-conducteur est de quel type?

-Quelle est la concentration de porteur de charge majoritaire?

- Que mesurer sa résistivité?

- Quelle est la tension de Hall dans un échantillon de 100 m

d'épaisseur si Ix = 1.0 mA et ?

-71-Chap: II

5 210 /z

Wb cmB

-Puisque le phosphore est un élément de la Vème colonne il a un 1 électron

faiblement lié dans la matrice Si. Ainsi, il s'agit d'impureté donneur et le semi-

conducteur est de type n.

-Comme l'énergie de Fermi devrait être suffisamment en dessous de EC (c.-à-d

EC - EF >> kT = 0,0259 eV). Ainsi presque tous les niveaux donneurs seront ionisés

et les électrons occuperont des états dans la bande de conduction. En conséquence

-A partir des courbes données dans le cours, la mobilité des électrons est de 700

cm2/(Vs). Ainsi, la conductivité est (p0 est négligeable):

-La résistivité est:

-Le coefficient de Hall pour les électrons est donné comme

-La tension de Hall est

Solution de l’exercice 14

0 dn N

19 17 1

0 1.6 10 700 10 11.2( ) .nq n cm

1/ 0.0893 cm

3 5 23

2

10 10 /( 62.5 / ) 62.5

10

x zAB H

IV R

t

A Wb cmcm C V

cm

B

1 3

0 62.5 /HR qn

cm C

-72-Chap: II

Silicium

-73-Chap: II

Trouver la résistivité du silicium intrinsèque à la température ambiante

et le classer comme un isolant, semi-conducteur, ou conducteur.

On donne n et p

-74-Chap: II

Exercice 15

Pour le silicium intrinsèque, les densités d'électrons et de trous sont toutes

deux égales à ni.

Les inconnues: la résistivité et la classification.

Approche: Utiliser l’équation: = q(n n + p p) (cm)-1

Hypothèses: La température est indéterminée; supposent «température

ambiante» avec ni 1010/cm3.

Compte tenu de courant de dérive et de la mobilité, nous pouvons calculer

la résistivité:

jndrift = Qnvn = (-qn)(- nE) = qn nE A/cm2

jpdrift = Qpvp = (-qp)(- pE) = qp pE A/cm2

jTdrift = jn + jp = q(n n + p p)E = E

Ceci définit la conductivité électrique:

= q(n n + p p) (cm)-1

La résistivité est l'inverse de la conductivité

= 1/ (cm)

-75-Chap: II


-76-Chap: II

Phénomènes de diffusion (Exercices).

Exercice n° 16- Soit un échantillon de silicium de type N de résistivité = 0,5 cm. La

durée de vie des porteurs en excès est inversement proportionnelle au dopage et vaut

= 10 s pour N = 1016 cm-3. On génère à la surface du semi-conducteur des porteurs

en excès avec une vitesse de génération qui vaut: g = 1017 cm-3.s-1.

A) La longueur de l’échantillon est supposée infinie.

1°) Déterminer la loi de répartition des trous en fonction de la distance. Calculer la

densité des trous dans le plan x = 0 .

2°) A quelle distance l’excès de densité de trous devient-il égal au 110ème de sa

valeur en 0? Quelle est à cette distance la densité du courant de trous?

3°) Calculer la vitesse de diffusion des trous. Quelle serait la valeur du champ

électrique qui leur communiquerait la même vitesse?

4°) Calculer la quantité d’électricité emmagasinée lors de la diffusion.

B) Mêmes questions lorsque on place un contact Ohmique à la distance W = 10-4 cm.

-77-Chap: II

Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution).

Le premier travail est déterminer la densité des porteurs à l’équilibre

thermodynamique afin de savoir si la génération satisfait l’hypothèse de

faible niveau d’injection. Le matériau est de type N et sa résistivité vaut : =0,5 cm.

L’abaque des résistivités en fonction du dopage nous

permet de lire pour =0,5 cm une valeur de dopage qui est sensiblement égale à:

ND=1016 cm-3 . Compte tenu de cette valeur, on en déduit:

Dans le plan x = 0, la densité des porteurs excédentaires injectés vaut:

On peut donc vérifier que: Cette double condition satisfait donc

l’hypothèse de faible niveau d’injection.

On peut donc considérer que la densité des porteurs en excès obéit à l’équation de

conservation des porteurs qui s’écrit:

16 3

0

24 3

0

10

2.5610

D

i

D

n N cm

np cm

N

17 7 10 3

0 10 10 10 /p g paireélectron trou cm

0 0p p et p n

1p

p

p pdiv J g

t q

-78-Chap: II

Les conditions particulières liées à notre cas entraînent:

g = 0 dans le volume car la génération est localisée dans le plan x = 0.

car on se place dans le cas d’un régime permanent.

Le champ électrique est nul en volume (pas de tension appliquée).

L’équation se ramène donc à:

Les solutions de cette équation sont donc de la forme:

2 22

2 2 20 ' 0p p p p

p p

d p p d p pD qui s écrie avec L D

x x L

0dp

dt

( ) p p

x x

L Lp x Ae Be

Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)

-79-Chap: II

A) – La longueur de l’échantillon est supposée infinie.

1°)- La détermination des constantes d’intégration satisfait aux conditions aux limites

énoncées ci-dessous:

en x =0 p (0) = p = g0en x = p() =0 car à une distance infiniment grande, tous les porteurs sont

recombinés.

On en déduit donc:

Cette deuxième relation impose que B = 0 (le

terme de réflexion est nul).

Il s’en suit:

La solution s’écrit donc:

C’est la solution générale, en physique, de tout système que l’on laisse évoluer

librement.

La densité du courant de trous (lié à la diffusion) est proportionnelle à la dérivée de la

distribution des porteurs. Elle s’écrit:

En x = 0, la valeur de la densité de courant est:

/ /

( ) ( )p px L x Lp

p x p

p

D pdJ qD pe q e

dx L

0

A B p

Ae Be

A p

/( ) px L

p x Ae

(0)

p

p

p

D pJ q

L


-80-Chap: II

A) –Application Numérique: il faut donc déterminer Dp et Lp. L’abaque de mobilités

nous donne pour : p = 450 cm2/V.s

On en déduit: Dp = p * UT = 450 * 26 10-3 = 11,7 cm2/s, d’ou;

La densité de courant dans le plan origine vaut donc:

-

2°)- La densité des porteurs décroît exponentiellement. La distance pour laquelle elle

sera divisée par 10 se déduit de:

Au delà de cette distance, l’excès de densité de porteurs devient très faible. Cela

permet de relativiser l’infini pour un porteur. La densité de courant varie suivant la

même loi ce qui implique que dans un système, si on place un contact à une

distance grande devant la longueur de diffusion, la densité de courant tendra vers 0.

On comprend donc que les dimensions des composants devront être petites.

16 310DN cm

2 7 311.7 10 1.08 10 10.8p p p pL D soit L cm m

1019 3

(0) 3

11.7 101.610 17.33 /

1.08 10

p

p

p

D pJ q A cm

L

/( ) 1

ln10 2.3 24.8410

px L

p p

p x pesoit x L L qui donne x m

p p


-81-Chap: II

A) 3°)- Vitesse de diffusion des trous.

dans laquelle, est la vitesse de dérive des porteurs.

On en tire:

On peut remarquer que la vitesse du porteur est une constante indépendante de sa

position

Le champ électrique qui communiquerait la même vitesse aux porteurs serait:

ce qui est très faible

( ) ( )p x D DJ v q p x v

Dv

( )

2

3

( ) ( )

10.8 10 /

p p

p x D D

p p

p p

D

p p p

D DJ q p x v q p x qui donne v

L L

L Lou encore v V cm

L

24.07 /pD T

D p

p p p p

Dv Uv E soit E soit E V cm

L L


-82-Chap: II

A) 4°)- Quantité d’électricité emmagasinée lors de la diffusion.

Elle s’exprime par la relation:

S est la section du barreau.

La charge par unité de surface vaut donc:

Cette valeur peut paraître faible mais on verra que dans les composants, on obtient

des valeurs beaucoup plus petites .

On peut exprimer cette charge en fonction du courant. Il vient;

La constante de temps qui intervient dans le calcul de la charge est la Durée de vie

du porteur.

Dans le régime libre, les paramètres associés au phénomène de diffusion sont

les paramètres caractéristiques dus porteurs.

/

0 0( ) px L

pQ qS p x dx qS p e dx q S p L

21.73 /p

Qq p L pCb cm

S

2 2

p p p p

p p p p

p p p p

p p

D p D p L LI J S q S or Q q S p L q S I

L L D D

donc Q I


-83-Chap: II

B) – La longueur de l’échantillon est finie, de dimension W.

La seule modification intervient sur les conditions aux limites de l’équation de

conservation. Elles deviennent:

L’annulation de l’excès de densité est due au contact Ohmique qui est recombinant.

Il s’en suit:

On a donc un système de deux équations à deux inconnues à résoudre. Cela donne:

00 (0)

( ) 0

en x p p g

en x W p W

/ /0p pW L W L

A B p

Ae Be

/ / /

/ /

/ /

1

0

1 12

p p p

p p

p p

W L W L W L

W L W L

W L W Lp

p

e e eA p p

We e shLe e

/ / /

/ /

/ /

1

0

1 12

p p p

p p

p p

W L W L W L

W L W L

W L W Lp

p

e e eB p p

We e shLe e


-84-Chap: II

B) En reportant, on obtient.

C’est la solution générale du système. On pourra vérifier que le passage à la limite x →infini nous ramène à la solution en

exponentielle.

La densité de courant peut donc se déduire de la loi de distribution des porteurs.

Pour la vitesse de diffusion des porteurs, on aura:

( )

2

p p

W x W x

L L p

p p

W xsh

Lpp x e e p

W Wsh sh

L L

( )

p p

p x p

pp

p p

W xsh

L qD pd W xJ qD p ch

W Wdx Lsh L sh

L L

( ) ( )p

p x D

pp

p

qD p W xJ qp x v ch

W LL sh

L


-85-Chap: II

B) qui donne:

La proximité du contact ohmique se traduit donc par une accélération des porteurs. La vitesse tend

théoriquement vers l’infini. En réalité, la limitation physique correspond à la vitesse thermique qui vaut

sensiblement 107 cm/s à 300 °K.

La quantité d’électricité emmagasinée s’exprime par:

Ces expressions sont relativement compliquées mais vont généralement se simplifier dans les cas

pratiques.

Dans le cas de l’exercice, W = 1m. Dans toutes les expressions précédentes, on remarque des termes

faisant intervenir des fonctions du rapport W/Lp. Ce terme intervient sous forme de sinus ou de cosinus

hyperboliques.

Dès que ce rapport sera inférieur à 1/3, on pourra simplifier. En effet:pour << , sh →; ch →1 + 2/2 … etc.

Par exemple; sh(1/3) = 0,339. On considèrera donc que dès que le rapport W/L est inférieur à 1/3 on peut

linéariser les relations en utilisant les développements limités des fonctions correspondantes

( )coth

( )

p x p p p

D

p p p

p

W xch

J D L D W xv

W xqp x L L Lsh

L

0 0

¨0

( ) 1

W

W W p p p

p

p

p p p

W x W xsh ch

L L qS pL WQ qS p x dx qS p dx qS pL ch

W W W Lsh sh sh

L L L


-86-Chap: II

B) W = 1 mm; W/L = 1:10,8 = 0,0926 <<1/3.

Compte tenu de ce qui précède, on peut donc linéariser les équations. On obtient donc:

Pour la distribution des porteurs La distribution est donc linéaire.

Le courant, qui est la dérivée de la distribution , sera donc constant (les porteurs injectés seront récupérés

au niveau du contact!)

On peut en effet se contenter d’un développement limité au 1er ordre pour le cosinus hyperbolique qui tend

donc vers 1 alors que dans le cas du calcul de la charge ou intervient un terme en 1-ch, on prendra le

développement au second ordre.

On peut remarquer que par rapport à la distance infinie, on a remplacé dans l’expression du courant, la

longueur de diffusion par la dimension du barreau. Cette dernière étant beaucoup plus petite que la

longueur de diffusion et intervenant en dénominateur d’une fraction fait que le courant devient plus

important. De plus, il est indépendant de la distance.

( ) 1p

p

W xsh

L xp x p p

W x Wsh

L

2

( ) 2

2

2

12

12

p p p

p x p

p pp p

p p p

p p

p

W xsh

L qD p qD pd W x WJ qD p ch

W W Wdx L Lsh L sh L

L L L

qD p qD pW

W L W


-87-Chap: II

B) En ce qui concerne la vitesse de diffusion, on a:

On remarque le phénomène d’accélération du au contact (sana oublier la limitation due à la vitesse

thermique).

Pour le calcul de la charge stockée, il vient:

On peut donc remarquer que pour passer de l’espace infini au barreau court, il suffit de remplacer Lp par W

sauf dans le cas de la charge stockée ou apparaît un facteur 1:2. Ce facteur provient du développement

limité au « second ordre »

( ) 1coth

( )1

p x p p p p

D

p p pp

p

J D D D DW x W xv ch

W xqp x L L L W W xL sh

L W

2

21 1 1

2 2

p p

p p

p p

qS pL qS pLW W qS pWQ ch

W WL Lsh

L L


-88-Chap: II

B) Comme dans le cas du barreau infini, on peut écrire la charge comme étant le produit d’un courant par

un temps. Il s’en suit:

Le terme qui apparaît s’exprime en secondes. Il s’agit du « temps de transit » entre le plan d’injection

et le contact.

Applications Numériques.

Densité de courant:

Vitesse de diffusion (en x = 0)

Charge stockée:

Ce cas particulier est celui que l’on retrouvera dans tous les composants actifs du type

bipolaire: Diodes à jonction et transistors bipolaires.

2 2

2 2 2

p p

p p p

p p

qD p qD pqS pW W WQ or I J S S donc Q S I

W W D D

2

2 p

W

D

( ) 2187.16

p

p x

qD p AJ

W cm

20.08

2

qS pW Q pCbQ

S cm

0

260p p

D

en x

D D cmv

W x W s


Génération et Recombinaison des porteurs de charges 2-2

Un semi-conducteur est dit à l’équilibre thermodynamique si sa température est constante, s’il est homogène et si les densités de porteurs obéissent à la loi d’action de masse:

Lorsqu’on perturbe cet équilibre , on peut définir deux cas:

- Extraction de porteurs:

- Injection de porteurs:

Le deuxième cas est le plus fréquent. L’injection peut se faire de différentes manières:

-Élévation de température,-Utilisation d’un rayonnement ionisant,-Injection à partir d’une électrode.

2

00 inpn 2

inp n

2

inp n

2

inp n

-90-

Injection ou extraction de porteurs, durée de vie

Chap: II

On désignera par n et p les densités de porteurs en excès. Les densités totales pour un matériau hors d’équilibre s’écriront alors:

On peut classer les phénomènes d’injection en deux catégories suivant la valeur de la densité des porteurs injectés par rapport à la densité des porteurs majoritaires dans le matériau.

-Faible niveau d’injection si la densité des porteurs injectés est faible par rapport à celle des majoritaires,

-Fort niveau d’injection si elle devient du même ordre de grandeur.

0 0n n n et p p p

-91-

Injection ou extraction de porteurs, durée de vie

Chap: II

n n pour type N

p p pour type P

n n pour type N

p p pour type P

Dans un matériau semi-conducteur, les densités de porteurs existant dans les bandes sont le résultat de deux mécanismes permanents d’échange entre elles. Il s’agit de la Génération et de la Recombinaison.

-92-

Phénomènes de génération recombinaison

Chap: II

Les porteurs créés passent de la bande de valence vers celle de conduction puis effectuent le chemin inverse en se recombinant. Il existe donc un flot permanent de porteurs allant de la bande de valence vers la bande de conduction et vice et versa.Les phénomènes de génération et de recombinaison sont illustrés ci-contre.A l’équilibre thermodynamique, les densités étant constantes, on peut endéduire que la génération et la recombinaison sont égales: g0 = r0.

-Si g > r, on a augmentation de la densité des porteurs, c’est à dire injection.-Si g < r, on a une diminution de la densité des porteurs, c’est à dire extraction.

Ces mécanismes d’écart par rapport à l’équilibre s’effectuent avec une constante de temps appelée durée de vie des porteurs.

fon

fon

hn>Eg

- e

- e

+ h

+ h

Génération

thermalisation

hn ~ Eg

recombinaison

Semiconducteurs hors équilibre thermodynamique

Génération des porteurs

gSi h En

gSi h En

Pas de création de paire électron /trou

Possibilité de création de

paire électron /trou

L’énergie sera

perdue par relaxation des

porteurs (thermalisation)

gh En

Soit un photon tq:

-93-Chap: II

A Noter la relation parabolique entre l'énergie et de le vecteur d’ondePour les trous, qui sont censés être à charge positive, la relation est inversée

Semiconducteurs à gap directe et indirecte: Concept de l'espace k-2

Dans l‘espace d’énergie –moment(E-k)

Gap Directe Gap indirecte

k = moment du phonon

E= énergie phononMoment

Ene

rgie

2 2

*2C

C

kE E

m

-94-

Moment

Ene

rgie 2 2

*2V

V

kE E

m

Chap: II

Phonon Les atomes vibrent autour de leur position moyenne à une

température finie. Ces vibrations produisent des ondes vibratoires à l'intérieur du cristal.

Les Phonons sont les quanta de ces ondes vibratoires. Les Phonons se déplacent avec une vitesse égale à la vitesse du son.

Leur longueur d'onde est déterminée par la constante de réseau cristallin. Phonons ne peut exister qu’à l'intérieur du cristal.

La transition qui implique des phonons sans produire des photons sont appelés transitions non radiatives.

Ces transitions sont observées dans les semiconducteurs à bande interdite indirecte.

Ainsi, afin d'avoir LED et laser efficaces, il faut choisir des matériaux ayant des bandes interdites directes telles que le composé S / C de GaAs, AlGaAs, etc

-95-Chap: II

Pour un semiconducteur de structure de bande directe

Sous l’effet de hn l’électron va gagner cette énergie et va monter dans la bande de conduction

puis descendre en perdant a chaque fois un phonon

Conservation de l’énergie:

2 2 2 2

* *

( ) ( )

2 2

f i g f C V i

g

C V

E E E E E E E

k kE

m m

Conservation de la quantité de mouvement:

f i photon ik k k k k

E

Eg=1.46eV

Pour GaAs

B.V.

B.C

-

kx

hn

Ef,kf

Ei,ki

Car le photon n’a pas de quantité de mouvement importante

-96-Chap: II

Pour un semiconducteur de structure de bande indirecte

Les transitions sont indirectes:

La quantité de mouvement n’est pas conservée. On a besoin d’un phonon

Conservation de l’énergie:si: Ef - Ei = hn + Eq (absorption de phonon)si: Ef - Ei = hn - Eq (émission de phonon)

E

Eg

B.V.

B.C

kx

hnEf,kf

Ei,ki

Δk

k

Eq

Eg=1.12eV

Pour Si

f ik k k

Eq: énergie de phonon

Eq: énergie de phononEq= hnq

Conservation de la quantité de mouvement

f i photon i photonkk k k negligeaq q bk le -97-Chap: II

Tout le spectre électromagnétique

0 1 2 3 4

5 6 Eg (eV)

(m) 1 0.8 0.6 0.4 0.3 0.2 2 3 5 7

InSb

Ge Si CdSe

InN GaAs GaP

CdS

SiC

GaN

ZnS AlGaN AlN

Yell

ow

R

ed

Gre

en

Blu

e

Vio

let

Infrared Ultraviolet Visible

m

eVE

24.1

-98-Chap: II

Coefficient absorption

La dépendance d'énergie de photon du coefficient absorption est exprimée par le terme

1/ 2

1/ 2

( )( ) .

( ) *( ) .

g

g

h Eh A trans directe

h

h B h E trans indirecte

n n

n

n n

Le coefficient absorption augmente avec la racine carrée de l'énergie de photon et le début de l'absorption est au gap A et B* sont différent

Supposons : A = B* = 104; ils peuvent différer par ~ 5x102 (Ge / GaAs) mais même si on les prend égaux, Des différences notables ont lieu. Notons : pour hn grand , des transitions interbande peuvent aussi avoir lieu dans des semiconducteurs à gap indirects. Relation entre et intensité de la lumière I (Loi de Baer-Lambert) :

I0 : Intensité de la lumière incidentex : distance de la surface0

xI I e

-99-Chap: II

Pour un semiconducteur à base de Silicium de type N à l’équilibre thermodynamique:

nn0=1016 cm-3 ≈ ND ; pn0=104 cm-3 ,

AM1: Aire masse 1 ; c’est l’énergie solaire à midi

AM1 F ≈ 1017 photons /cm2/s. hn>Eg

1-Quel est le taux des porteurs photogénérés?

2- Quel est le nombre des porteurs ainsi créés ?

-100-Chap: II

Exercice 17

100 s pour le Si

Excitation lumineuse génération de paires électrons-trous (cas d’un semi-conducteur type n).

Soit G le taux des porteurs photogénérés:

19 3 1101/

FG F cm s

1- En 1ére approximation les photons sont absorbés dans une épaisseur de 1/

Pout le Silicium = 102 cm-1

c’est l’épaisseur du silicium ou de la lumière est absorbée

-101-Chap: II


1100 m

0

0

n n

n n

n n n

p p p

Les porteurs ainsi créés ont une durée de vie: 100 s pour le Si

19 4 15 310 10 10n p G cm

0

0

16 15 16 3

4 15 15 3

10 10 10

10 10 10

n n

n n

n

n n n cm

p p p cm

p p

Comme pn<nn0 on est en faible injection

A 100 soleils: Δn= Δp= 1017cm-3 > nno Forte injection

-102-Chap: II

Solution de l’exercice 17 suite

2-

-103-Chap: II

Exercices

Exercice n° 18- Déterminer la longueur d’onde maximale permettant de

générer une paire électron-trou dans du silicium. Même chose pour le

Germanium et l’Arséniure de Gallium. Conclusions.

Exercice n° 19- On considère le barreau de silicium représenté sur la figure

ci contre;

Les caractéristiques du matériau sont les suivantes:

•Silicium type P (dopage: NA = 1015 cm-3)

•Longueur du barreau: 1 cm; section 4 10-2 cm2.

•Durée de vie des porteurs: = 10-5 s

•On donne pour le silicium: ni = 1,6 1010 cm-3.

1- On applique entre les bornes de ce barreau une tension de 10 V. Calculer

le courant qui circule dans cette structure.

2- On éclaire ce barreau de silicium avec une radiation de longueur d’onde

telle que la vitesse de génération des porteurs soit constante dans tout le

volume du matériau. Cette vitesse de génération vaut: g= 1017 cm-3.s-1.

Déterminer la variation relative de la résistance du barreau sous éclairement.

Exercice n° 20- On considère un barreau de semi-conducteur homogène type N

(dopage ND = 1015 cm-3. ) d’épaisseur W, dont on éclaire la face avant avec une

radiation de courte longueur d’onde.

La génération suit une loi de la forme :

est une constante fonction

de et s’exprime en cm-1.

En se plaçant dans le cas de l’hypothèse de faible injection, montrer que , le système

étant isolé, il apparaît entre les deux faces du semi-conducteur une différence de

potentiel que l’on calculera.

A.N: = 0.1 cm-1 , W = 100 mm .

-104-Chap: II

Exercices

0

xg g e

-105-Chap: II

Injection de porteurs, variation de résistance (Solution).

Exercice n° 18- Pour générer une paire électron-trou dans un matériau semi-conducteur, il faut que

l’énergie du rayonnement soit supérieure ou

égale à la largeur de la bande interdite, soit: E ≥EG

Or, l’énergie transportée par un rayonnement s’exprime par la relation:

L’énergie étant inversement proportionnelle à la longueur d’onde, l’énergie minimum correspondra à

la longueur d’onde maximum permettant de générer des porteurs. La relation s’écrira donc:

Applications numériques.

Le tableau des constantes donne: h = 4,14 10-15 eV/s; c = 3 108 m/s;

Silicium: EG = 1,12 eV max = 1,1 m (c’est le proche infra rouge)

Germanium: EG = 0,67 eV max = 1,85 m (c’est l’ infra rouge)

As Ga: EG = 1,4 eV max = 0,88 m (c’est le rouge foncé)

On peut remarquer que pour les trois matériaux, le rayonnement visible sera efficace et que les

rayonnements de grande longueur d’onde ne seront pas arrêtés par ces matériaux. La longueur

d’onde maximum correspond au « seuil de transparence ».

Plus le rayonnement sera de courte longueur d’onde, plus son énergie sera importante et plus la

génération sera localisée au voisinage de la surface. Cette dernière obéira a une loi de la forme:

Le coefficient est fonction de la longueur d’onde. Il vaut 0 pour max

cE h hn

max

max

G

G

c ch E h

E

0

xg g e

-106-Chap: II


La valeur du courant va se déduire de la loi d’Ohm: V = R×I. On peut donc calculer

la résistance du barreau qui s’écrit:

En remplaçant par les valeurs, on obtient:

Le courant vaut donc:

V LR

I S

1

( )n p

avecq n p

2

2

1

( )

iA

iAn p

A

nOr p N et n

nNq p

N

20 219 14

14

1 1332

2.56 10 4 101.6 10 ( 1390 10 470)

10

R

2103 10

332

VI A

R

-107-Chap: II


Sous éclairement, il y aura génération de paires électrons-trous. La variation de

résistance va donc dépendre de la variation de la densité des porteurs. En effet, on

peut écrire:

Il faut donc calculer la conductivité en obscurité et sous éclairement.

En obscurité, la conductivité (ou la résistivité) ne dépendent que des

porteurs majoritaires (équilibre thermodynamique).

Sous éclairement, les conditions d’équilibre ne sont plus réalisées. Il faut

donc faire attention.

Les densités de porteurs sous éclairement s’écrivent:

1R Ror

R R

2

0 0i

A

A

np p p N p et n n n n de plus n p g

N

0 0

2

( )

( )

( )

obscurité n p A p

iéclairement n p n A p

A

A p n p

Donc q n p qN

net q n p q n N p

N

qN q n p

-108-Chap: II


Si à l’équilibre thermodynamique seuls les majoritaires interviennent, la

variation est due aux deux types de porteurs. On remarque en effet que c’est

la somme des mobilités qui est à prendre en compte.

3

( ) ( )

: 3.95 10

n p n p

A p A p

q n p g

qN N

RAN

R

-109-Chap: II


Exercice n° 19- La génération de porteurs sur la face avant va créer un excès de

densité de porteurs. Le fait d’utiliser une radiation de faible longueur d’onde (bleu ou

Ultra violet), génère des porteurs de manière locale. Le taux de génération va varier

avec la distance par rapport à la face avant. La densité des porteurs excédentaires va

décroître de façon exponentielle avec la distance.

Dans le cas d’une hypothèse de faible injection, on peut considérer que seuls les

minoritaires seront perturbés.

Le gradient de concentration qui apparaît entre les deux

faces du semi-conducteur va créer un phénomène de

diffusion d’ou un courant associé. Ce courant s’écrit:

La structure étant isolée, le courant total est donc nul. Il existe donc un phénomène

antagoniste qui compense la diffusion. Ce phénomène correspondra à un courant

de conduction qui va s’opposer à la diffusion.

0,

0

( )( ) x

p diff p p

x

p

d g ed p xJ qD qD

dx dx

qD g e

-110-Chap: II


L’existence d’un courant de conduction est liée à l’apparition d’un champ électrique.

Ce courant s’exprime par une relation du type:

Les deux termes se compensant, on peut écrire:

, 0

0

( ) ( )

( )

x

p derive p

x

p

J x v q g e E

Vq g e

W

, , 0 0( ) ( )x x

p derive p diff p p

VJ J q g e qD g e

W

p p

VD

W D’ou:

Soit; Cette tension fait apparaître un + sur la face avant .TV U W

1np

pdiv J G R

t q

En régime permanent 0np

t

Si il n y a pas de conduction de courant:1

0pdiv Jq

G RDonc :

En équilibre thermodynamiqueth thG R

G – taux de génération : nombre de paires électron-trou créé / cm3 /sR – taux de recombinaison: nombre de paires électron-trou annihilé / cm3 /s Une paires électron-trou est annihilé si un électron transite de la BC vers la BV

Durée de vie des porteurs

-111-Chap: II

Hors d’équilibre: On crée GL électrons/trous par la lumière

1np L th

pdiv J G G R

t q

R n p avec

En régime permanent et pas de courant électrique:

L thG R G U Taux net de recombinaison

1np

pdiv J G U

t q

On écrit donc:

Génération et recombinaisonautre que thermique

Origine externe

-112-Chap: II

0 0

16 4

19 3 1 16 3 5 3

10 ; 2 10 ;

10 ; 10 ; 10

n n

L n n

n p

G cm s n cm p cm

A l’équilibre thermodynamique:

0 0

2 0n n i thn p n et U

Hors d’équilibre thermodynamique:

0 00 0n n n nn p n p et U

0 0( )L n n n nU G n p n p

Exemple

Pour un semiconducteur type n

0

0 0

0

( )

1 1

n n

n n n

p p

p

n D

p p pU n p p

avecn N

est la duréede viedes porteurs minoritairesp

-113-Chap: II

Porteurs photoexcités Soit un semiconducteur type n sous illumination

hn

Si à l’instant t=0, on coupe l’excitation lumineuse alors on peut écrire :

nL

pG G U

t

U

0n n p Lp p G

Si à l’instant t> 0, on peut écrire :

0

0( ) ( )

; (0)p

n nn

p

n n

p

t

L p

p ppU

t

p p p p

t t

p A e p A G

0

/( ) pt

n n p Lp t p G e

-114-Chap: II

Injection par une face Excitation lumineuse sur une face de l’échantillon de longueur infinie

génération de paires électrons-trous (cas d’un semi-conducteur type n avec les conditions E=0).

Création de paires électrons-trous à la surface uniquement : pour hn=3,5 eV, le coefficient d’absorption (Ge, Si ou GaAs) est de 106 cm-1 i.e l’intensité lumineuse décroît de 1/e en 10 nm !

Solution à l’équilibre :

Lp=(Dpp)1/2 est la longueur de diffusion qui peut

atteindre 1 cm dans le silicium et le germanium mais n’excède pas 10-2 cm dans l’arséniure de gallium.

0

2

20

n nn np

p

p pp pD

t x

0

0 0

/( )( ) (0)

( 0) (0)

px Ln n

n n n n

n n

p x pp x p p p e

p x p Cte

-115-Chap: II

Excitation lumineuse sur une face de l’échantillon de longueur W génération de paires électrons-trous (cas d’un semi-conducteur type n avec les conditions E=0).

Création de paires électrons-trous à la surface uniquement : pour hn=3,5 eV, le coefficient d’absorption (Ge, Si ou GaAs) est de 106 cm-1 i.e l’intensité lumineuse décroît de 1/e en 10 nm !

Solution à l’équilibre :

Densité de courant de diffusion en x=W :

Relation importante dans le

cadre du transistor

0

2

20

n nn np

p

p pp pD

t x

0

0 0

0

( ) sinh( ) /( ) (0)

( 0) (0) sinh( ) /

n n p

n n n n

n n p

p x W p W x Lp x p p p

p x p Cte W L

0

1' ( ) (0)

sinh /

pnp p n n

x W p p

Dpj x qD q p p

x L W L

-116-Chap: II

EC

EV

hn~Eg

+ h

- e

radiatif Auger

+ h

- e

- E~Eg

+ h

- e

par pièges

ET

recombinaison linéaire

recombinaison quadratique

nR

2nR

recombinaison cubique (Auger)

3nR

Les mécanismes de recombinaison qui ont tendance à ramener le système à son équilibre initial

Génération et recombinaison

Chap: II


E

x

EC

EV

Génération thermique

Recombinaisonthermique

Génération radiative

Recombinaison radiative

-118-Chap: II

Les processus de recombinaison les plus importants

-119-Chap: II

EC

EV

EC

EV

Recombinaison directe

h n Eg

Recombinaison radiative Recombinaison non radiative

phonons

Recombinaison indirecte

Par pièges

k

Recombinaison par transitions radiative

Recombinaison par transition directe

0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0

, ,

( )

(( )( ) )

( )R

n n n p p p

avec n p

R np U R R np n p

U n n p p n p

pU p n p p

Cette recombinaison radiative est efficace dans les semiconducteurs à structure de bande directeIII-V ( GaAs,…)

On les utilise pour les Diodes électroluminescentes et les Laser à semiconducteurs.

0 0

1

( )R

n p p

x

génération

radiative

recombinaison

radiative

E

EC

EV

-120-Chap: II

En cas de faible injection:0 0

1

( )R

n p

Semiconducteur intrinsèque:1

2R

in

Semiconducteur type n:

Semiconducteur type p:

1R

DN

1R

AN

0 0

1

( )R

n p p

-121-Chap: II

Recombinaison Auger

Eg

k

e1

e2

h

e2’

Egap

Ee1

BC

BV

e1

e2

e2

e1

L’électron e1 passe de la BC vers la BV et disparaît.

L’électron e2 gagne Ef-Ei =Eg.

(a) (b)

Plus probable dans les semiconducteur type n fortement dopés distance entre électrons très petite

Plus probable dans les semiconducteur type p fortement dopés distance entre trous très petite

-122-Chap: II

Conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement

'1 22E +E E E Egap e h ee

1 2 ' 2e h e ek k k k

Energie de seuil

2

E ~ 1.1-1.2 Ec hhT gap gap

c hh

m mE

m m

1 2E +E E E Egap e h e T

2( ) / (1.1 1.2) /

2~ ~g T B g BE E k T E k T

c v

dn dp n pe e

dt dt N N

Pour une forte densité d’excitation n~p

3dn dpCn

dt dt

-123-Chap: II

2 2 2 2

0 0 0 0 0

0

;R n p np R n p n p

U R R

Pour un semiconducteur type n:

2 2 2 2

0 0 0 0

2 2

2

2 2

( ) ( )

( )

1 1

A

D

A A

U n p p n p n p p np

U n p n p

pU p n np

n np N

Pour un semiconducteur type p:2 21 1

A

A A

p np N

La recombinaison Auger domine au dopage fort ou injection très forte-124-Chap: II

Recombinaison par pièges

Les recombinaison par pièges sont liés aux défauts du cristal.

Ce sont les impuretés qui entraînent l’existence de centres de recombinaison..

Il existe toujours des impuretés chimiques dans un cristal réel, constituées d’atomes autres que ceux du semiconducteur considéré (S, Au, Cu, Ag, Fe, ..).

Ces impuretés induisent des niveaux d’énergie supplémentaires situés dans la bande interdite du semiconducteur et qui sont appelés centres de recombinaison

Ces niveaux peuvent se comporter comme des centres accepteurs ou donneur d’électrons.

Ces niveaux mettent en jeu des énergie plus faibles que celles correspondant à une transition bande-à-bande.

Les recombinaisons SRH (Shockley, Read, Hall) sont décrites par quatre processus: capture d’un électron, émission d’un électron, capture d’un trou, émission d’un trou.

-125-Chap: II

Niveaux d’énergie dans la Bande interdite

ET

EV

EC

Représentation Schématique de la

recombinaison par piège

Signe - indique accepteursSigne + indique donneurs

-126-Chap: II

Recombinaison indirecte (SHR)E

x

EC

EV

capture électron

émission électron

capture trou

émission trou

Centre de

recombinaison(trap)

ET

SHR = Shockley-Hall-Read

-127-Chap: II

Probabilité d’occupation d’un niveau piège:1

( )

1 expt t

t F

f EE E

kT

rn: taux de capture d’un électron Taux de recombinaison

rp: taux de capture de trous

gn: taux de génération d’électrons: émission

gp: taux d’émission de trou

en: probabilité d’émission d’électron

ep: probabilité d’émission de trou

Cn: Probabilité de capture

σn: section de capture:surface à l’intérieur de laquelle les porteurs

sont capturés

Nt: densité volumique des pièges Ntft = nombre des électrons piégés

(1-ft): probabilité d’avoir des pièges vides

Cn th nv

.

Quelque définitions

-128-Chap: II

Et EtEt Et

Avant Après Avant Après

Capture

Capture d’électron Capture de trou

15 2

(1 )

(1 )

10

n n n t t

n t t

n

r v n N f

C n N f

cm

15 210

p p p t t

p t t

p

r v p N f

C p N f

cm

-129-Chap: II

Et EtEt Et

Avant Après Avant Après

Emission

Emission d’électron Emission de trou

n n t tg e N f (1 )p p t tg e N f

-130-Chap: II

Et Et= (1 )

n n

n t t n t t

r g

C N f n e N f

exp expt F Fn n c

E E E Ee C N

kT kT

exp Fc

E En N

kT

1 /n n t te C n f f

1 / exp t Ft t

E Ef f

kT

Taux net de recombinaison à l’équilibre thermodynamique

Si Et≈ Ei émission =capture cas très dangereuxSi Et>>Ei émission prédominante pièges vides

exp i tn n i

E Ee C n

kT

-131-Chap: II

exp exp t F F Vp p v

E E E Ee C N

kT kT

exp F Vv

E Ep N

kT

1

tp p

t

fe C p

f

/ 1 exp t Ft t

E Ef f

kT

(1 )

p p

p t t p t t

r g

C N f p e N f

Taux net d’émission à l’équilibre thermodynamique

Et Et=

Si Et<<Ei Et≈EV émission des trous et prédominante pièges remplis

exp t ip p i

E Ee C n

kT

-132-Chap: II

[1 ]n n n n t t n t tU r g C N f n e N f

Un= Taux net de recombinaison des électrons

(1 )p p p p t t n t tU r g C N f p e N f

Hors d’équilibre thermodynamique

Et Et=

Un= Taux net de recombinaison des trousEt Et=

-133-Chap: II

(1 ) [1 ]

[ ]

p n

p t t P t t n t t n t t

n P t n n p p

U U U

C N f p e N f C N f n e N f

C n e f nC e pC e

n Pt

n n p p

C n ef

nC e pC e

1

p n

t

n n p p

C p ef

nC e pC e

Si Et < EV + 0.2V ep très grand ft ≈1 et 1- ft ≈0Si Et > EV + 0.2V en très grand 1- ft ≈0 et ft ≈1

Se sont les pièges profonds qui sont les plus dangereux

-134-Chap: II

2

2

( )

( )

e et i t i

n p i t

n n p p

n p i t

E E E E

kT kTn i p i

C C np n NU

C n e C p e

C C np n N

C n n C p n

2( )

2 cos

it

t ii

np nU CN

E En p n h

kT

15 210n p n pcm C C C Approximation:

-135-Chap: II

Cas de faible injection2( )n p i t

n p

n n p p

C C np n NU U

C n e C p e

2

0 0 0 0; ; in n n p p p n p n

0 0( )n p t

n p

n n p p

C C N n p p nU U

C n e C p e

Semiconducteur intrinsèque en faible injection(important dans les jonctions p-n)

0 0; in p n p n

2

2

1 '/ 1 / '( ') ( / ')

2 2

n p t i

i in i p i i r

p t n t

C C N n n n nR

n n n nC n n C n n n

C N C N

Temps deRecombinaison

1 '/ 1 / '

2 2

i ir

p t n t

n n n n

C N C N

: 'i tE E

kTiposons n n e

-136-Chap: II

Pièges au milieu du gap

1 '/ 1 / ' 1 1

1 '/ 1 / '2 2 2 2

i ir i p i n

p t n t

n n n nn n n n

C N C N

minimise

1/ ; 1/n p p t p p p tv N v N

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

'1 1 1 1( ) '/ / ' ( )

2 2 2 2 '

p n ir p n p i n i p n p n

n i p

n nn n n n

n n

Le minimum à lieu si

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

'1

'

p n i

n i p

n n

n n

2

,min

1 1( )

2 2r p n p n p n

, ,min ,si 2 n p n p r n p

' expg t

c

E En N

kT

exp

g i

i c

E En N

kT

'

exp t i

i

n E E

n kT

La recombinaison la plus rapide:

, ln ln ;2 2

pnt opt i i

p n

CkT kTE E E

C

-137-Chap: II

Importance des pièges au milieu du gap1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

'1 1 1 '( ) 1

2 2 ' 2 '

p n i ir p n p n n

n i p i

n n n n

n n n n

r n

'

exp t i

i B

n E E

n k T

( ) 1 cosh t i

r t n

B

E EE

k T

(Et-Ei)/kBT

r/n

Taux de recombinaison

Relatif(n/r)

(Et-Ei)/kBT

-138-Chap: II

Recombinaison au milieu du gap

2

2

/ ' /'( )

( ') ( ') ( ') / ( / ')

i n pn p

t t

n p n p i

n n nC n p Cf E

C n n C p p n n p n n

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

'1

'

p n i

n i p

n n

n n

' '

' '

/ /( )

/ [ ' / ] / [ ' / ]

n p n p

F t

n p n p n p n p

n n n nf E

n n n p n n n n

Pour 1

~ ( ) ~2

n p F tf E

EtPièges effectifs Ei

Taux de recombinaison

: 'i tE E

kTiposons p n e

-139-Chap: II

Semiconducteur fortement dopé

0 0

0 0

( )

( ') ( ')

n p t

n p

n p

C C N n p p nR R

C n n C p p

p t

p

pR C N p

Type-n:

'

0 0 ,n p n

Type-p'

0 0,p n pn t

n

nR C N n

Les taux de recombinaison sont déterminés par les porteurs minoritaires.

-140-

Taux de génération dans les processus

d'absorption optique

= coefficient

d'absorption

F0

FR

FT

0F

F RR

x

T eR=x FF )1()( 0

x

F(x) F(x+dx)

S

dx

photons absorbés en dV=Sdxporteurs générés en dV=Sdx

dxeRSSddxxxSdN x FFFF )1()()( 0

dxxSdN )(F

)()( xSdx

dN

dV

dNxGG F


Diffusion, relation d’Einstein

Le phénomène de diffusion est un phénomène général en physique. Il apparaît

dès qu’il existe une différence de concentration entre deux zones, les particules

se déplaçant des zones à forte concentration vers les zones à faible

concentration. Ce phénomène crée un flux de diffusion qui, dans le cas de

particules chargées donnera naissance à un courant électrique.

( )C xI

x

Diffusion de porteurs dans un semi conducteur.

Considérons un semi-conducteur dans lequel la

densité des électrons varie comme le montre la

figure ci contre (il en serait de même avec les

trous). Nous nous placerons dans l’hypothèse

d’un modèle unidimensionnel dans lequel nous

considèrerons que les électrons se déplacent

uniquement suivant l’axe des X.

Les électrons seront considérés comme étant

monocinétiques et le temps mis pour parcourir la

distance l sera très petit par rapport à leur durée de

vie.

-142-Chap: II

Diffusion, relation d’EinsteinLa variation de concentration va créer un flux de particules F dirigé vers les x croissants

1 2

1 22 2( )2

N NN N

F x

Soit N1 le nombre de particules comprises entre x0 –l et x0 et N2 le nombre entre x0 et x0 +l à l’instant t=0. A un instant t=t0 (t>t0), onpeut considérer que statistiquement, N1 /2 particules ont leur vitesse dirigée vers la droite, de même, N2 /2 ont leur vitesse dirigée versla gauche. Le flux qui en résulte pendant le temps nécessaire pour parcourir la distance l vaut:

1 0 2 01 2

2 2

n n n nOr N et N

2

1 2( )2 2 2 R

n n nsoit F x

02 x

n dnor

dx

-143-Chap: II

Exercice• Etude de la durée de vie

Considérons un matériau semi-conducteur (Silicium) dopé phosphore dans lequel existe un niveau

recombinant Er dont les caractéristiques sont:

Position par rapport à la bande de conduction Ec – Er = 0,375 eV

Densité d’états sur le niveau recombinant: Nr = 1013 cm-3

1°) – Ecrire l’expression de la durée de vie de Hall-Schokley-Read en fonction des deux variables qui

sont:

Tracer le diagramme de bandes correspondant.

2°) – Donner l’expression de la durée de vie dans les différents cas suivants:

AN: n = 10-15 cm2 ; p = 10–16 cm2 ; vth = 107 cm/s.

3°) – Que devient la durée de vie si le centre recombinant se situe au milieu de la bande interdite?

4°) – Vers quelle limite tendrait la durée de vie s’il n’y avait pas de centre recombinant?

5°) – Tracer les variations asymptotiques de la durée de vie en fonction de la position du niveau de

fermi et déterminer les valeurs correspondant aux intersections des asymptotes. Conclusions.

,I F I rF r

E E E EU U

kT kT

) , 0

) , 0

) 0

F r F

F r F

F

a U U U

b U U U

c U

Solution de l’éxercice1°)-La durée de vie est donnée par l’expression de Hall-Schokley-Read qui s’écrit:

Avec

En reportant ces expressions dans la formule donnant la

durée de vie, on obtient:

Cette expression va se simplifier en fonction des valeurs relatives de UF et Ur.

Calcul de la valeur de Ur: à 300 °K, kT = 26 10-3eV, EG = 1,12 eV. Ur = (Ei-Er)/kT →Ur = - (0,56-0,375)/26

10-3 = -7.

2°) Le niveau de Fermi se trouve au dessous du niveau intrinsèque donc, le matériau est

de type P.

En reportant les valeurs numériques, on obtient: n = 100s; p = 10s.

Conclusion: pour un matériau de type P la durée de vie est celle des électrons (porteurs

minoritaires). =n = 100s

Solution de l’éxercice


UF >>Ur , UF£ 0 Le niveau de Fermi se trouve au dessus du niveau intrinsèque donc, le matériau est de

type N.

Conclusion: pour un matériau de type N la durée de vie est celle des trous (porteurs minoritaires).

s p t =t = 10m

UF = 0 Le niveau de Fermi est confondu avec le niveau intrinsèque donc, le matériau est Intrinsèque.

- -

A.N: t =5,49ms

3°)-Si le centre recombinant se situe au milieu de la bande interdite, Ur = 0. Il s’en suit exp(Ur) =1

d’ou:

Plan Général

UF >>Ur , UF³ 0 et UF£ 0 rien ne change; t t pour un matériau N et pour un matériau P. p = t t n =

UF = 0 exp(UF) = 1 et comme exp(Ur) =1, il s’en suit: s

p n

t =t +t =110m

4°)-S’il n’y avait pas de centre recombinant, tout se passerait comme si ce centre se trouvait dans

une des

bandes permises; à la limite sur EC ou EV.

La valeur de Ur devient alors: Ur = EI – Er = EI – EC = - EG/(2kT).

Dans le cas d’un matériau intrinsèque (UF = 0), la durée de vie devient: s

Cela correspond environ à 3 heures et 8 minutes, ce qui est énorme et inconcevable. Ce type de

matériau, s’il existait, ne

présenterait quasiment aucun intérêt car son comportement fréquentiel serait fonction de l’inverse

de la durée de vie (10 –4 Hz!!!).



5°)- Tracé du diagramme donnant la variation de la durée de vie.

Pour Ur < UF < - (Ur+2,3), la

durée de vie varie quasi

linéairement.

Pour , la

durée de vie devient constante et

égale à tn.

Pour , la durée

de vie devient constante et égale à

tp.

Le terme –(Ur+2,3) est dû au fait

que les durées de vie du type N et

P sont dans un rapport 10. Or,

UF >>Ur , UF£ 0

UF >>Ur+2,3 , UF³ 0

Plan Général

UF

10

UF = Ur UF = - (Ur + 2,3)

Ln(10) = 2,3.

.

Pour UF = Ur = 0, on obtient la variation assymptôtique tracée en bleu

eJustification des points d’intersection des assymptôtes.

Pour Ur < UF < 0, la durée de vie peut se simplifier: . L’intersection des

assymptôtes a lieu pour: e UR UF

On justifie donc la courbe tracée ci-dessus.

Position du niveau de FermiA très basse température, les échanges se

font entre le niveau donneur (ou accepteur)

et la bande voisine. Le niveau de Fermi se

situe donc entre ces deux niveaux c’est-à

dire très près du niveau EC (ou EV). Le

niveau de Fermi peut donc se situer dans

toute la bande interdite ( contrairement au

matériau Intrinsèque ou il est au milieu). Sa

position se calcule à partir de l’équation de

neutralité qui s’écrit:

Cette équation n’a pas de solution analytique et se résout donc

numériquement. Elle est très complexe.

On peut avoir une idée du résultat en traçant les variations

asymptotiques des quatre termes de cette équation.

Ces différents termes, représentés en fonction de l’énergie, dans

la bande interdite, se coupent en un point qui correspond à la

position du niveau de Fermi (neutralité).

Pour ce, on considère que la somme de deux logarithmes est le

logarithme du plus grand.

Education

Cours master phys sc chap 2 2015