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Préparation aux épreuves de bacChapitre 2 : Fonctions ln
Description
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Fonction ln
1. Définition et dérivées
xx
1)(ln'
Ln est la primitive de la fonction x -> 1/x
En d’autres termes :
Plus généralement :
)(
)('))((ln'
xf
xfxf
xx
1)ln(
)ln( x
x
32 ))ln(( xx
2
11
xx
2))(ln(
1)ln(
x
xxx
222 ))ln(()1
)ln(2(3 xxx
xxx
)ln( 2x
)ln( x
)ln(2xe
2
11
xx
x
x2
1
2
2
2x
x
e
ex
Exercices
Dérivez les fonctions suivantes sur leurs ensembles de définition :
)ln(1 x
)ln(2 xx
)ln( x
x
6100065 )3)((ln xex x
)1ln( x
)1ln( 35 xx
)ln(
2
x
x
6164 ))2
((ln xex
Correction
)ln(1 x
)ln(2 xx
)ln( x
x
6100065 )3)((ln xex x
)1ln( x
)1ln( 35 xx
)ln(
2
x
x
6164 ))2
((ln xex
x
11
)ln2()1
( 2 xxx
x
))((ln
)1
())ln(2
1(
2 x
xxx
x
510006599964 )3)((ln)30006)(ln1
5(6 xexxexx
xx
1
1
x
1
3535
24
xx
xx
)ln(
2
1
)ln(2 2
x
x
xxxx
5164163 ))2
((ln)6)2
(ln
2
2
1
4(6 xx ex
ex
x
Fonction ln
2. Graphe et limite
1 e
1
-∞
+∞
A retenir :ln(1) = 0ln(e) = 1
0)ln(x
)ln(x
Fonction ln
0)ln(x
)ln(x
)ln( 2x
)1
ln( 35
xxx
)1ln( 78 xx
)ln( xe
0)1
ln(x
02)ln(x
035 )ln( xxx
078 )ln( xx
)ln( xe
)1
ln(x
Exercices
)1ln( 25 xx
)5ln( 2 xx
)
3
1ln(
3
78
xx
xx
)3ln( xe
3)3
1ln(
x
05 )1)1ln(( x
)
1ln(
35
2
xxx
x
0)15ln( x
)1
1ln(
2x
)1
1ln(
4 xx
Rappel:
3
8
33
3
88
78
3
78
)3
1(
)1
1(
3
1
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Correction
)1ln( 25 xx
)5ln( 2 xx
)
3
1ln(
3
78
xx
xx
)3ln( xe
3)3
1ln(
x
05 )1)1ln(( x
)
1ln(
35
2
xxx
x
0)15ln( x
)1
1ln(
2x
)1
1ln(
4 xx
Fonction ln
1)ln( e
0)1ln(
0)ln( 12 x
0)1
1ln(
x
0)ln( 023 xxex
0
2
)2
1
2ln(
x
x
e
e
2)ln( 2 e
xxxe xxx 35)ln(35
78)ln(78
xxe xx
xe x )ln(
xe x
1)ln(
1
Fonction ln
0)2ln( 27
x
xx
)ln( 10000003 xx
01
)1ln(23
1245
xx
xx
3. Limites particulières et croissances comparées
0)ln(
x
x
0)ln( 0100000002 xx
0)1
ln(1
xx
0)ln( 0xx
11
)ln( 1x
xCF : définition de la dérive en un point
Fonction ln
)ln()ln()ln( baba
4. Propriété de la fonction ln
)ln()ln()/ln( baba
)ln()1
ln( aa
)ln()ln( anan
)21
51
31
1ln()ln(5)253ln(5432
235
xxxxxxxxx
)1ln()ln()1
ln( xxx
x
xxex x )2ln()ln( 2
)ln()1
ln( xx
Expliquez :
)7ln()7
1ln( 5
5
x
x
