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L'intégralité du travail sur les séries de Fourier
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Dédramathisons
TFE
Séries de Fourier et applications
Rédacteurs :Antoine EtesseFrederic JacobsJie-Fang Zhang
1er avril 2011
Sommaire
I Introduction et théorie 2
1 Situation problème 31.1 Approximation de cette sinusoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Vers les séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Elaborer une théorie à partir de l’exemple 82.1 Construction de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Calcul d’intégrales intéressantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Calcul des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.4 Exemple : Fonction carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.5 Ecriture complexe des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Convergence des séries trigonométriques, des séries de Fourier, et Théorèmede Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.3 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.4 Convergence des séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.5 Théorème de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.6 Analyse d’une fonction qui répond aux hypothèses du théorème de
Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II Applications de l’analyse harmonique 37
1 Synthèse numérique d’un son à partir de l’addition des séries de Fourier 38
1
2 Applications informatiques 392.1 FFT : Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Compression JPEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1 Pourquoi Fourier ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.2 Le JPEG, c’est quoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.3 Quelle couleur ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.4 Alors quelle avancée l’analyse de Fourier a-t-elle permis ? . . . . . 48
3 Digital Signal Processing, un large domaine d’applications 513.1 Applications en télécommunications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1 Confondre l’information. Sans la mélanger. . . . . . . . . . . . . . 523.1.2 Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.3 Suppression de l’écho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.4 La Blue Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A Joseph Fourier et ses précurseurs 54A.1 Les précurseurs de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.2 Biographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.3 Son oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2
Première partie
Introduction et théorie
3
Chapitre 1
Situation problème
Comment peut-on produire un son particulier ?Tout d’abord, on sait qu’un son est une onde sonore, plus ou moins périodique, qui se
propage dans l’air. C’est d’ailleurs ce qui le différencie de ce qu’on appelle communémentun bruit.
Figure 1.1 – Un son, caractérisé par une certaine répétition.
Figure 1.2 – Du bruit, rien n’est ordonné ou répétitif.
Ainsi, la réponse à notre question initiale se déduit aisément : il nous suffit de créer
4
des déformations périodiques dans l’air. Cependant, la question s’avère être plus complexecar nous désirons obtenir un son spécifique. Par exemple, le son la 440Hz correspond enréalité à 440 déformations par seconde.Pourtant, il existe des milliers de la 440Hz différents, empreints de leur spécificité, ettout le monde peut, par exemple distinguer un son d’une fréquence de 440Hz issu d’undiapason de celui provenant d’un piano. Cette différence sonore que l’on perçoit découlede la dissimilitude du timbre des deux notes.L’illustration graphique de ces deux sons (amplitude-fréquence), témoigne de la dissemblancedes deux notes en questions. Voici la même note jouée sur des instruments différents.
Figure 1.3 – Une note jouée sur un Piano UNSW c©
Figure 1.4 – Même note jouée sur une guitare UNSW c©
Remarquez la forte corrélation entre les deux instruments jouant la même note.Ainsi émerge une nouvelle question, de loin plus intéressante : comment peut-on
produire un timbre particulier ?La réponse est en fait relativement simple, et facilement imaginable. Pour commencer,
on peut se pencher sur les instruments de musique. Nous savons que lorsqu’on joue unenote sur un instrument, on produit non seulement la note jouée, mais également ce qu’onappelle les harmoniques de la note. On dira que la note a une fréquence fondamentale f ,
5
et que ses harmoniques possèdent des fréquences multiples de celle-ci, nf avec n ∈ Z. Il vade soi que l’amplitude des harmoniques peut être nulle, ou non-nulle. On peut représenterla note sous un graphique (amplitude-fréquence). Comme ceux utilisés pour représenterles deux sons ci-dessus .
Nous pouvons facilement déduire que dans ce cas, les notes que l’on peut entendrecorrespondent bien à la superposition de l’onde fondamentale et ses harmoniques. Laforme de l’onde, donc son timbre, concorde avec la somme des amplitudes de toutes lesharmoniques de l’onde. Aussi la fréquence de deux sons peut-elle très bien être similaire,chacun possédant ses harmoniques spécifiques, la forme de l’onde diffèrera clairement.
Figure 1.5 – Concept d’addition de sinusoïdes par Denis Auquebon
La méthode expérimentale de représentation d’un son quelconque consiste donc àajouter à l’onde sonore fondamentale de fréquence déterminée f , les ondes harmoniquesde fréquence 2f , 3f , 4f ,... et ainsi de suite. La combinaison de la fondamentale et desharmoniques forment le son, parfois simple, souvent compliqué, dont la fréquence estévidemment celle du son fondamental. Nous pouvons ainsi créer tout une gamme de sons,suivant que l’on omette l’harmonique de fréquence 2f , 5f ,... ou que l’on prenne deux foisl’harmonique de fréquence 3f quatre fois celle de fréquence 8f ,...
Nous arrivons donc à la conclusion que nous pouvons créer toute une série de sonà l’aide d’une addition d’onde fondamentale et des ses harmoniques. Mais inversement,peut-on décrire tout son comme la somme d’harmoniques ? Afin d’apporter une réponse,nous devons nous pencher sur les séries de Fourier.
6
Figure 1.6 – My normal approach is useless here
1.1 Approximation de cette sinusoïde
1.2 Vers les séries de Fourier
Revenons quelque peu à l’historique, afin d’en savoir un peu plus sur l’émergence decette idée géniale.
Joseph Fourier, qui travaillait sur la propagation de la chaleur sur des corps solides,a remarqué que la propagation de la chaleur sur un anneau ressemble à un mouvementharmonique. En physique, nous donnons une expression plus générale à ce phénomène
y(x, t) = A sin(2πx
λ− 2πt
T+ φ)
où y est le déplacement périodique de la vibration de l’objet , λ la période dans l’espace,T la période dans le temps et φ la phase, qui est constante.
En fait, lors d’une expérience simple, il a remarqué que la source de chaleur passecycliquement, mais brusquement, d’une valeur extrême à une autre. Il a été ainsi amenéà soupçonner le rôle très important des fonctions trigonométriques et admettre qu’ellespouvaient être les constituants élémentaires de tout Si nous fixons la variable x, nous avonsici une fonction f(t) périodique de période T . L’idée de Fourier fut alors d’approximerle phénomène observé par une somme finie, constituée des harmoniques de la périodefondamentale T .
7
L’approximation estN∑n=1
An sin(2πn
Tt+ φn)
où N un naturel et An et φn deux constantes qui varient en fonction de n.Nous pouvons développer le sinus, ce qui nous donne :
An sin(2πn
Tt+ φn) = An(sin(
2πn
Tt) cos(φn) + cos(
2πn
Tt) sin(φn))
= An sin(φn) cos(2πn
Tt) +An cos(φn) sin(
2πn
Tt)
= an cos(2πn
Tt) + bn sin(
2πn
Tt)
puisque An sin(φn) et An cos(φn) sont constantes, on peut alors poser quean = An sin(φn) et bn = An cos(φn), et si on ajoute un terme constant
a02, on obtient,
a02
+
N∑n=1
(an cos(2πn
Tt) + bn sin(
2πn
Tt))
On a choisi le terme constant comme étanta02
pour une raison bien précise que l’ondétaillera au moment convenu.
8
Chapitre 2
Elaborer une théorie à partir del’exemple
2.1 Construction de la théorie
2.1.1 Périodicité
Tout d’abord, nous devons définir ce qu’est la périodicité d’une fonction.Une fonction est périodique de période p s’il existe un nombre réel positif le plus petit
possible p tel que f(x) = f(x+ p). Le nombre p doit être le plus petit possible parce quepour satisfaire cette relation, il nous suffit de prendre tous les multiples entiers de p, cequi nous donne f(x+ np) = f(x) où n ∈ Z.Penchons-nous à présent sur la somme des fonctions périodiques.
Si on a trois fonctions périodiques de période1
4π, 2π et 4π respectivement, alors la somme
de ces trois fonctions sera-t-elle périodique ? Si oui, quelle est sa période ?Afin de faciliter la compréhension, nous pouvons représenter cette fonction somme (s(x) =
sin(4x) + sin(x) + sin(1
4x)) et ainsi voir facilement que s(x) est périodique de période de
4π.Ainsi, nous déduisons que la période de la somme correspond à la plus grande période deses fonctions initiales, dans ce cas-ci, 4π.Cependant, la somme des fonctions périodiques n’est pas toujours périodique. On peutprendre comme exemple s(x) = sinx+sin(πx). Bien que les deux fonctions initiales soientpériodiques de période respectives 2π et 2, s(x) n’est pas périodique. Pour ce genre decas, on peut approximer s(x) par s′(x) = sinx+ sin(3, 1415x), qui est périodique.Mais ne nous tracassons pas trop, étant donné que nous allons travailler avec des périodes
9
simples et entières.
Démontrons un lemme sur la périodicité, qui nous sera utile par la suite.Soit f une fonction continue par morceau périodique de T .
L’intégrale∫ a+T
a
f(x) dx ne dépend pas du réel a. Autrement dit,
∫ a+T
a
f(x) dx =
∫ T
0
f(x) dx =
∫ T2
−T2
f(x) dx = · · ·
Pour démontrer ceci, nous allons exploiter l’additivité de l’intégrale.∫ a+T
a
f(x) dx =
∫ 0
a
f(x) dx+
∫ T
0
f(x) dx+
∫ a+T
T
f(x) dx
Changeons de variable. Soit x = y + T , ce qui implique dx = dy.
Alors on a∫ a+T
T
f(x) dx =
∫ a
0
f(y + t) dy =
∫ a
0
f(y) dy puisque f(y + T ) = f(y).
On peut voir que∫ 0
a
f(x) dx+
∫ a
0
f(y) dy = 0, ce qui nous donne :
∫ a+T
a
f(x) dx =
∫ T
0
f(x) dx
Cette dernière expression est indépendante de aEn vue de ce que l’on a pu dire dans l’introduction, peut-on dire qu’une fonction f(x)
périodique de période T peut s’écrire sous la forme d’une somme
f(x) =a02
+
N∑n=1
(an cos(2πn
Tx) + bn sin(
2πn
T)x)?
Certainement pas, car nous n’avons pas encore montré les conditions pour que lesdeux membres soient équivalents. De plus, on n’a pas encore trouvé les expressions desconstantes
a02, an et bn, qui différencient une série d’une autre.
Pour trouver les expressions de ces constantes, nous allons utiliser les outils d’intégralesur la période de la fonction que l’on désire étudier.(Et de par le lemme que nous avonsdémontré, on voit bien que la restriction à une période suffit).Pour faciliter la compréhension, nous allons d’abord faire les démonstrations avec unefonction f(x) qui a une période 2π, puis ensuite étendre la démonstration pour despériodes quelconques.
10
2.1.2 Calcul d’intégrales intéressantes
Avant de déterminer les expressions de ces constantes, nous devons déterminer certainesrelations qui nous seront très utiles par la suite.(Mentionnons au préalable que nousutilisons la parité des fonctions sinus et cosinus dans notre développement.)∫ π
−πcosnx cos kx dx
∫ π
−πsinnx sin kx dx
et∫ π
−πcos(nx) sin(kx) dx où n, k ∈ Z
Si n 6= k : ∫ π
−πcosnx cos kx dx = 2
∫ π
0
cosnx cos kx dx
= 2
∫ π
0
1
2(cos((n+ k)x) + cos((n− k)x) dx
= (1
n+ ksin((n+ k)x) +
1
n− ksin((n− k)x))|π0
= (1
n+ ksin((n+ k)π) +
1
n− ksin((n− k)π)
= 0
∫ π
−πsinnx sin kx dx = 2
∫ π
0
sinnx sin kx dx
= 2
∫ π
0
−12
(cos((n+ k)x)− cos((n− k)x) dx
= (−1n+ k
sin((n+ k)x)− −1n− k
sin((n− k)x))|π0
= (−1n+ k
sin((n+ k)π)− −1n− k
sin((n− k)π)
= 0
11
Si n = k ∫ π
−πcosnx cos kx dx = 2
∫ π
0
cos2 nx dx
= 2
∫ π
0
1 + cos(2nx)
2dx
= 2(1
2x+
1
4nsin(2nx))|π0
= 2× 1
2π
= π
∫ π
−πsinnx sin kx dx = 2
∫ π
0
sin2 nx dx
= 2
∫ π
0
1− cos(2nx)
2dx
= 2(1
2x− 1
4nsin(2nx))|π0
= 2× 1
2π
= π
Et enfin, on voit que cos(nx) sin(kx) est impaire car cos(nx) sin(kx) = − cos(−nx) sin(−kx)
Donc, dans tous les cas,∫ π
−πcos(nx) sin(kx) dx = 0
En résumé, (n, k ∈ Z)
∫ π
−πcosnx cos kx dx =
{0 si n 6= k
π si n = k∫ π
−πsinnx sin kx dx =
{0 si n 6= k
π si n = k∫ π
−πcos(nx) sin(kx) dx = 0
2.1.3 Calcul des coefficients
Sans avoir montré l’existence, on suppose qu’une fonction périodique de période 2π,continue sur R et dérivable sur R est égale à sa série de Fourier. Alors,
f(x) =a02
+
N∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx))
12
Pour trouver a0, on va prendre l’intégrale de −π à π (une période entière) dans lesdeux membres, ce qui nous donne
∫ π
−πf(x) dx =
∫ π
−π
a02dx+
∫ π
−π
N∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx)) dx
∫ π
−πf(x) dx =
∫ π
−π
a02dx+
∫ π
−π
N∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx)) dx
l’intégrale d’une somme est égale à la somme de l’intégrale
=
∫ π
−π
a02dx+
N∑n=1
∫ π
−πan cos(nx) dx+
N∑n=1
∫ π
−πbn sin(nx) dx
=a02x|π−π +
N∑n=1
ann
sin(nx)|π−π +
N∑n=1
−bnn
cos(nx)|π−π
=a02× 2π
= a0π
On a alors,
a0 =1
π
∫ π
−πf(x) dx
Pour trouver an, on va multiplier les deux membres de l’égalité par cos(kx) où k un entierpositif.
f(x) cos(kx) =a02
cos(kx) + cos(kx)
N∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx))
=a02
cos(kx) +
N∑n=1
(an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx))
Ensuite, nous prendre l’intégrale de −π à π dans les deux membres, ce qui nous donne
∫ π
−πf(x) cos(kx) dx =
∫ π
−π
a02
cos(kx) dx+
∫ π
−π
N∑n=1
(an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) dx
=
∫ π
−π
a02
cos(kx) dx+
N∑n=1
∫ π
−πan cos(nx) cos(kx) dx+
N∑n=1
∫ π
−πbn sin(nx) cos(kx) dx
=a02
∫ π
−πcos(kx) dx+
N∑n=1
an
∫ π
−πcos(nx) cos(kx) dx+
N∑n=1
bn
∫ π
−πsin(nx) cos(kx) dx
13
parmi les n, il existe un et un seul n égal à k tel queN∑n=1
an
∫ π
−πcos(nx) cos(kx) dx =
N∑n=1,n6=k
(an
∫ π
−πcos(nx) cos(kx) dx)+ ak
∫ π
−πcos2(kx) dx
Par conséquent, la somme s’annule sauf pour terme k qui donne akπ.
De plus,a02
∫ π
−πcos(kx) dx et
N∑n=1
bn
∫ π
−πsin(nx) cos(kx) dx donnent aussi 0
On obtient donc∫ π
−πf(x) cos(kx) dx = akπ pour tout k entier positif ce qui revient à dire
que ak =1
π
∫ π
−πf(x) cos(kx) dx, et de façon générale nous avons ainsi :
an =1
π
∫ π
−πf(x) cos(nx) dx
Pour bn, on va réaliser le même procédé en multipliant les deux membres par sin(kx)où k est un entier positif.
f(x) sin(kx) =a02
sin(kx) + sin(kx)
N∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx))
=a02
sin(kx) +
N∑n=1
(an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx))
De même en prenant l’intégrale définie de −π à π, nous avons
∫ π
−πf(x) sin(kx) dx =
∫ π
−π
a02
sin(kx) dx+
∫ π
−π
N∑n=1
(an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) dx
=
∫ π
−π
a02
sin(kx) dx+
N∑n=1
∫ π
−πan cos(nx) sin(kx) dx+
N∑n=1
∫ π
−πbn sin(nx) sin(kx) dx
=a02
∫ π
−πsin(kx) dx+
N∑n=1
an
∫ π
−πcos(nx) sin(kx) dx+
N∑n=1
bn
∫ π
−πsin(nx) sin(kx) dx
En considérant les résultats qu’on a montré auparavant, on peut constater queN∑n=1
bn
∫ π
−πsin(nx) sin(kx) dx =
N∑n=1,n6=k
(bn
∫ π
−πsin(nx) sin(kx) dx) + bk
∫ π
−πsin2(kx) dx
la somme s’annule sauf pour bk∫ π
−πsin2(kx) dx qui donne bkπ.
eta02
∫ π
−πsin(kx) dx et
N∑n=1
an
∫ π
−πcos(nx) sin(kx) dx donnent 0.
14
Par conséquent, nous avons pour tout k entier positif, bk =1
π
∫ π
−πf(x) sin(kx) dx
Et doncbn =
1
π
∫ π
−πf(x) sin(nx) dx
Résumons quelque peu. Si une fonction périodique de période 2π peut s’écrire sousforme de série de Fourier, alors
f(x) =a02
+
N∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx))
Alors,
a0 =1
π
∫ π
−πf(x) dx
an =1
π
∫ π
−πf(x) cos(nx) dx
bn =1
π
∫ π
−πf(x) sin(nx) dx
On peut tout de suite appliquer ce que l’on vient de voir sur exemple.
2.1.4 Exemple : Fonction carrée
Prenons l’exemple d’une fonction carrée périodique de période 2π.
Alors sur l’intervalle [−π;π], on a f(x) =
{1 si 0 ≤ x < π
−1 si −π ≤ x < 0
Puisqu’elle est définie dans R et est périodique de 2π, on peut alors écrire
f(x) =
{1 si 2kπ ≤ x < (2k + 1)π
−1 si (2k + 1)π ≤ x < 2kπoù k ∈ Z
Si cette fonction peut être écrite sous la forme de série de Fourier, alors cette série est
égale àa02
+
N∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx)).
Maintenant, il faut qu’on détermine les coefficients a0, an et bn.Pour cela, nous pouvons directement appliquer ce que nous avons trouvé auparavant,
mais on doit traiter les deux parties séparément, puisque f(x) est définie différemment
15
Figure 2.1 – Graphique de la fonction carrée
sur l’intervalle [−π, π].
a0 =1
π(
∫ 0
−πf(x) dx+
∫ π
0
f(x) dx)
=1
π(
∫ 0
−π−1 dx+
∫ π
0
1 dx)
=1
π(π − π) = 0
an =1
π
∫ π
−πf(x) cos(nx) dx
=1
π(
∫ 0
−π− cos(nx) dx+
∫ π
0
cos(nx) dx)
=1
π(−1n
sin(nx)|0−π +1
nsin(nx)|π0 )
=1
π(−1n
(sin(0)− sin(−nπ)) + 1
n(sin(nπ)− sin(0)))
= 0
bn =1
π
∫ π
−πf(x) sin(nx) dx
=1
π(
∫ 0
−π− sin(nx) dx+
∫ π
0
sin(nx) dx)
=1
π(1
ncos(nx)|0−π +
−1n
cos(nx)|π0 )
=1
π(1
n(cos(0)− cos(−nπ)) + −1
n(cos(nπ)− cos(0)))
=1
π(1
n(1− cos(−nπ)) + −1
n(cos(nπ)− 1))
=2
nπ(1− cos(nπ))
16
On remarque ici que la valeur de bn dépend de la parité de n. Aussi posons-nous soitn = 2k, soit n = 2k + 1 suivant la parité de k ∈ Z.
Si n = 2k alors2
nπ(1− cos(nπ)) =
1
kπ(1− cos(2kπ)) = 0
Si n = 2k + 1, alors2
nπ(1− cos(nπ)) =
2
(2k + 1)π(1− cos((2k + 1)π)) =
4
(2k + 1)π
Donc on a bn =
0 si n est un entier pair4
nπsi n est un entier impair
Nous avons donc trouvé que la série de Fourier de f(x) est
N∑k=0
4
(2k + 1)πsin((2k + 1)x)
Figure 2.2 – Addition de termes de la fonction carrée
Mais maintenant, nous pouvons nous poser une question sur le nombre N : de quellegrandeur doit-il être afin d’obtenir exactement le graphe de la fonction désirée ?De plus, on rencontre une difficulté lorsqu’on veut construire cette fonction carrée enl’approchant avec la somme des termes consécutifs de la série que l’on vient de trouver.
17
En effet, comment peut-on construire une fonction discontinue à chaque x = kπ (où k estun entier) à l’aide de la somme de fonctions continues en tout point dans R et dérivablesdans tous ses degrés (ses fonctions dérivées de degré 1, 2, 3,...,etc. sont toutes continues,car les fonctions sinus et cosinus sont de classe Cn).Cependant, nous pouvons observer que plus on ajoute de termes dans cette somme, doncplus le nombre N croît, plus la fonction a l’air de coller au graphe de la fonction carrée.
Mais elle ne deviendra jamais carrée puisqu’il existe toujours des courbes aux extrémités.Par cette idée intuitive, on peut déduire que la série de Fourier associée à cette fonction
carrée f(x) est∞∑k=0
4
(2k + 1)πsin((2k + 1)x)
De même, on peut étendre la série de Fourier vers une écriture plus générale. Si unefonction f(x) périodique de période 2π peut être écrite sous forme de série de Fourier,alors cette série est égale à
a02
+
∞∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx))
Par cet exemple, nous pouvons aussi observer une chose étonnante. Cette fonction carréepeut être simplement écrite par la somme de sinus. En effet, la raison pour laquelle sonexpression est uniquement sous forme de termes en sinus est simplement due à sa parité.
Cette "propriété de parité" nous dit que :– si la fonction est paire, alors sa série de Fourier est une somme de cosinus– si la fonction est impaire, sa série de Fourier est une somme de sinus
Rappelons-nous d’abord de certaines propriétés liées a la parité d’une fonction.Si une fonction est paire, alors f(x) = f(−x)et on peut simplifier l’expression de l’intégrale sur des intervalles symétriques :∫ π
−πf(x) dx = 2
∫ π
0
f(x) dx.
Si une fonction est impaire alors, f(x) = −f(−x).
et∫ π
−πf(x) dx = 0
Finalement, le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire est impaire, etle produit de deux fonctions de la même parité est paire.
18
Ainsi, si f(x) est paire, alors f(x) sinnx est impaire et f(x) cosnx est paire.
a0 =2
π
∫ π
0
f(x) dx
an =2
π
∫ π
0
f(x) cos(nx) dx
bn =1
π
∫ π
−πf(x) sin(nx) dx = 0
Si f(x) est impaire, alors f(x) sinnx est paire et f(x) cosnx est impaire.
a0 =1
π
∫ π
−πf(x) dx = 0
an =1
π
∫ π
−πf(x) cos(nx) dx = 0
bn =2
π
∫ π
0
f(x) sin(nx) dx
Par conséquent, on voit que
Si f(x) paire, la serie =a02
+
∞∑n=1
an cos(nx)
Si f(x) impaire, la serie =
∞∑n=1
bn sin(nx)
Maintenant qu’on est familier avec la série de Fourier pour une fonction de période2π, on peut se demander quelle sera la forme de la série de Fourier pour une fonctionpériodique de période T quelconque. Étudions cela :
Soit f(x) une fonction périodique de période T . On veut la développer en série de Fourier,mais on ne connait que le la série pour une période de 2π. Nous allons donc effectuer un
changement de variable x =T
2πu tel que f(
T
2πu) soit périodique de période 2π.
On le voit facilement car f(x) = f(T
2πu) et f(x+ T ) = f(
T
2π(u+ 2π)).
Et puisque f(x) = f(x+ T )⇔ f(T
2πu) = f(
T
2π(u+ 2π)) donc f(
T
2πu) est bien périodique
de 2π.
19
On connait ainsi la forme de cette série de Fourier et de ses coefficients
a02
+
∞∑n=1
(an cosnu+ bn sinnu)
Et on applique le changement de variable x = T2πu⇒ dx = T
2πdu, ce qui va nous donnercomme expression
a0 =1
π
∫ π
−πf(T
2πu) du
=1
π
∫ T2
−T2f(x)
2π
Tdx
=2
T
∫ T2
−T2f(x) dx =
2
T
∫ T
0
f(x) dx
an =1
π
∫ π
−πf(T
2πu) cos(nu) du
=1
π
∫ T2
−T2f(x) cos(
2πnx
T)2π
Tdx
=2
T
∫ T2
−T2f(x)cos(
2πnx
T) dx =
2
T
∫ T
0
f(x) cos(2πn
T) dx
bn =1
π
∫ π
−πf(T
2πu) sin(nu) du
=1
π
∫ T2
−T2f(x) sin(
2πnx
T)2π
Tdx
=2
T
∫ T2
−T2f(x) sin(
2πnx
T) dx =
2
T
∫ T
0
f(x) sin(2πn
T) dx
Et la série de Fourier d’une fonction de période quelconque T sera
a02
+
∞∑n=1
(an cos2πn
Tx+ bn sin
2πn
Tx)
Et cela satisfait également toutes les autres propriétés démontrées auparavant.
20
2.1.5 Ecriture complexe des séries de Fourier
Cette manière d’écrire la série de Fourier avec la somme de sinus et cosinus n’est pasl’unique représentation des séries de Fourier : nous pouvons aussi écrire la somme deFourier sous la forme exponentielle, ce qui simplifiera l’écriture et les calculs.
Tout d’abord, nous devons montrer la relation d’Euler qui nous sera très utile pour lasuite.
eiπ + 1 = 0
Par les séries de Taylor (plus précisément par la série de Maclaurin), on peut écrire lafonction ex sous la forme suivante :
ex = 1 + x+x2
2!+ · · ·+ xn
n!+ · · ·
Nous pouvons faire la même chose pour sinx et cosx, ce qui nous donne :
cosx = 1− x2
2!+x4
4!− x6
6!+ · · · et sinx = x− x3
3!+x5
5!− x7
7!+ · · ·
Et vu que
eiθ = 1 + iθ +(iθ)2
2!+
(iθ)3
3!+
(iθ)4
4!+ · · ·+ (iθ)n
n!+ · · ·
= 1 + iθ +−θ2
2!+−iθ3
3!+θ4
4!+ · · ·
= (1− θ2
2!+θ4
4!− · · · ) + i(θ − θ3
3!+θ5
5!)
= cos θ + i sin θ
Nous obtenons alors queeiθ = cos θ + i sin θ
ce qui veut aussi dire que eiπ = cosπ + i sinπ = −1 ou encore eiπ + 1 = 0
Comme corollaire de la relation eiθ = cos θ + i sin θ, nous pouvons déduire que
cos θ =eiθ + e−iθ
2
sin θ =eiθ − e−iθ
2i
Ainsi, on pourrait, sans se préoccuper du terme constanta02, remplacer ces expressions
21
dans la série de Fourier trigonométrique.
∞∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx)) =
∞∑n=1
(aneinx + e−inx
2+ bn
einx − e−inx
2i)
=
∞∑n=1
(an2(einx + e−inx)− ibn
2(einx − e−inx))
=
∞∑n=1
einx(an2− ibn
2) +
∞∑n=1
e−inx(an2
+ibn2
)
Au lieu de prendre tous les termes n de 1 à ∞, on
peut penser qu’on peut inverser ceci sans pour autant changer
le sens de la somme en prenant tout les n de−∞ à −1.
=
∞∑n=1
einx(an2− ibn
2) +
−1∑n=−∞
einx(a−n2
+ib−n2
)
Nous avons envie de grouper les deux sommes, pour ça, il faut qu’on trouve unerelation entre les deux.Puisque la série trigonométrique donne une fonction réelle, alors la somme de ces deuxsommes doit aussi donner quelque chose de réel. La somme des deux doit donc satisfaire lasymétrie complexe : si on veut que la somme de deux nombres complexes soit un nombreréel il faut alors que si l’un est z, l’autre soit son conjugué z.
Si l’on pose que Cn =an − ibn
2, donc on peut aussi déduire que
C−n =a−n − ib−n
2, alors on a besoin que le terme correspondant de Cn soit Cn =
an + ibn2
et que celui de C−n soit C−n =a−n + ib−n
2
Pour montrer cela nous devons d’abord montrer la relation entre les constantes trigonométriqueset a−n et b−n.
On a vu que an =1
π
∫ π
−πf(x) cos(nx) dx alors,
a−n =1
π
∫ π
−πf(x) cos(−nx) dx
=1
π
∫ π
−πf(x) cos(nx) dx
= an
22
bn =1
π
∫ π
−πf(x) sin(nx) dx
b−n =1
π
∫ π
−πf(x) sin(−nx) dx
= − 1
π
∫ π
−πf(x) sin(nx) dx
= −bn
Par ces deux relations, nous pouvons constater que,
C−n =a−n − ib−n
2
=an + ibn
2
=an − ibn
2
= Cn
Ceci nous montre bien que la somme des deux est bien réelle puisqu’elles satisfont Cn =
C−n. Par la même procédure, on peut aussi montrer que C−n = Cn.Mais avant de pouvoir les écrire sous une seule somme, on peut constater qu’il nousmanque le terme n = 0.Puisqu’on sait que Cn = C−n, alors C0 = C−0 = C0. Ca montre que C0 est un termeparticulier car il est toujours réel est égale a
a02. C’est la raison pour laquelle on a choisi,
dans la série de Fourier trigonométrique, d’introduire la constante comme étanta02.
Finalement, nous pouvons continuer notre raisonnement, et poser que
Cn =an − ibn
2et Cn =
a−n + ib−n2
a02
+
∞∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx)) =a02
+
∞∑n=1
einx(an − ibn
2) +
−1∑n=−∞
einx(a−n + ib−n
2)
=a02
+
∞∑n=1
Cneinx +
−1∑n=−∞
Cneinx
et Cn = C−n et C0 = C−0 = C0, donc
=
∞∑−∞
Cneinx
Nous avons donc que si une fonction peut être écrite sous forme de série de Fourier
23
exponentielle, alors sa série de Fourier sera
∞∑n=−∞
Cneinx
Il nous faut maintenant trouver les expressions du coefficient Cn, à l’instar de ce qu’on apu réalisé précédemment.
N’oublions pas qu’on a défini que Cn =an − ibn
2, C−n =
a−n − ib−n2
et C−0 = C0.Par ailleurs, nous avons aussi montré les expressions de an et bn, donc pour trouver Cn,il nous suffit de substituer les expressions.
Cn =an − ibn
2
=1
2(1
π
∫ π
−πf(x) cos(nx) dx− i
π
∫ π
−πf(x) sin(nx) dx)
=1
2π
∫ π
−πf(x)(cos(nx)− isin(nx)) dx
Par la relation d’Euler, on peut voir directement que cos(nx)− isin(nx) = e−inx
=1
2π
∫ π
−πf(x)e−inx dx
Cependant, cette méthode pour trouver le coefficient Cn dépend fortement de an etbn qu’on a trouvé auparavant. Donc cette méthode n’est pas très pratique.
Dans ce cas, nous pouvons aussi montrer un autre moyen pour trouver l’expression ducoefficient Cn. Supposons que
f(x) =
∞∑n=−∞
Cneinx
alors si on multiplie les deux côtés par e−ikx ou k est un entier quelconque, on obtient
f(x)e−ikx = e−ikx∞∑
n=−∞Cne
inx
Pour la partie de droite, on a
e−ikx∞∑
n=−∞Cne
inx = e−ikx(· · ·+ C−2e−2ix + · · ·+ C1e
ix + · · ·+ Ckeikx + · · · )
nous remarquons qu’il existe un et un seul terme où n = k qui nous donnera
24
Ckeix(k−k) = Ck
donc nous pouvons écrire de façon équivalente :
e−ikx∞∑
n=−∞Cne
inx =
∞∑n=−∞,n6=k
Cnei(n−k)x + Ck
Donc on a Ck = f(x)e−ikx −∞∑
n=−∞n 6=k
Cnei(n−k)x
On peut intégrer sur une période des deux côtés,∫ π
−πCk =
∫ π
−πf(x)e−ikx dx−
∫ π
−π
∞∑n=−∞,n6=k
Cnei(n−k)x dx
Prenons un terme dans la somme que nous devons intégrer,∫ π
−πCne
ix(n−k) dx = Cn
∫ π
−πeix(n−k) dx
=Cn
i(n− k)ei(n−k)x|π−π
=Cn
i(n− k)(eiπ(n−k) − e−iπ(n−k))
par la relation d’Euler, on sait que pour m entier, eiπm = 1
Puisque n et k sont tous les deux entiers, leur différence l’est également
= 0
Finalement, on a∫ π
−πCk dx =
∫ π
−πf(x)e−ikx dx
2πCk =
∫ π
−πf(x)e−ikx dx
Pour tout k entier, on peut avoir Ck =1
2π
∫ π
−πf(x)e−ikx dx.
Donc si on peut écrire
f(x) =
∞∑−∞
Cneinx
alors,
Cn =1
2π
∫ π
−πf(x)e−inx dx
On obtient bien le même expression que ce qu’on a trouve par la première méthode.
Tout comme les séries de Fourier trigonométriques, on peut écrire les séries de Fourierexponentielles d’une fonction f(x) de période quelconque T .
25
On utilisera aussi le changement de variable x =T
2πu pour rendre f(
T
2πu).
Finalement on obtient que la série de Fourier d’une fonction périodique de T est
f(x) =
∞∑n=−∞
Cne2πinxT
où le coefficient de Fourier
Cn =1
T
∫ T2
−T2f(x)e
−2πinxT dx =
1
T
∫ T
0
f(x)e−2πinx
T dx
2.2 Convergence des séries trigonométriques, des séries
de Fourier, et Théorème de Dirichlet
Jusqu’à présent, nous avons toujours utilisé soit l’hypothèse "si la fonction égale àsa série" ou soit le terme "la série de Fourier d’une fonction" parce qu’on a pas encoremontre de manière rigoureuse, l’équivalence entre la fonction et sa série de Fourier. Pourcela, nous devons montrer la convergence de la série de Fourier vers la fonction.
La convergence est sans conteste l’aspect le plus compliqué dans la description mathématiquedes séries de Fourier. Aussi pouvons-nous seulement, avec notre modeste niveau, enaborder qu’une mince partie.
Avant toute chose, il convient d’introduire certaines notions en ce qui concerne laconvergence, afin que le vocabulaire utilisé, qui peut somme toute paraître anodin, prennetout son sens. En premier lieu, nous devons distinguer les différentes formes de convergence :la convergence simple, la convergente uniforme, la convergence en norme ainsi que laconvergence "presque partout". Nous ne nous occuperons pas des deux derniers cas, cartrop complexes.
2.2.1 Convergence simple
Définition :Soient I un intervalle de R, (fn)n∈Z une suite de fonctions définies sur I, et f définie
sur I. On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si ∀x ∈ I, la suite (fn(x))
converge vers f(x). Autrement dit :
∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃n0(ε, x) ∈ N, ∀n ≥ n0 ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε
Où la notation (ε, x) signifie que le choix du n0 dépend et de ε, et du x déterminé.Exemple : Soit sur [0, 1], fn(x) = xn. Il est clair que la fonction fn converge
simplement vers la fonction définie par f(x) = 0 si x est dans [0,1[ et f(1) = 1.
26
Figure 2.3 – Illustration de la convergence simple
On constate dèjà ici l’insuffisance de la convergence simple pour les fonctions continues :chaque fonction (fn) est continue, la suite (fn) converge simplement vers f , et pourtantf n’est pas continue. Ainsi la continuité n’est pas toujours préservée par la convergencesimple, d’où par la suite l’idée de convergence uniforme.
Une autre insuffisance d’une telle notion est que l’intégrale de la limite d’une suitefonctions intégrables n’est pas forcément égale à la limite de l’intégrale de la suite defonctions intégrables.
Soit la suite de fonctions définie sur [0,1] parfn(x) = n2x, 0 ≤ x ≤ 1
2n
fn(x) = n2( 1n − x),12n ≤ x ≤
1n
fn(x) = 0, x ≥ 1n
Montrons la convergence simple de la suite fn(x) sur [0,1].Soit x>0. 1
n → 0 lorsque n → ∞, donc à partir d’un certain rang N , on a : 1n < x.
On en déduit donc qu’à partir du même rang N , fn(x) = 0 et donc fn(x) → 0 lorsquen→∞. Ainsi, la suite (fn(x)) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1].
D’un autre côté,∫ 1
0
fn(x) =
∫ 12n
0
n2xdx +
∫ 1n
12n
n − n2xdx = 1/4 (L’intégrale est donc
indépendante de n). Ceci prouve que la suite (
∫ 1
0
fn) ne tend pas vers 0. Aussi cette
intégrale n’est-elle pas égale à l’intégrale de la fonction nulle, qui est bien entendu nulle,
et donc, limn→∞
∫ 1
0
fn(x)dx 6=∫ 1
0
limn→∞
fn(x)dx =
∫ 1
0
f(x)dx = 0.
Ces insuffisances motivent donc une nouvelle notion de convergence.
27
Figure 2.4 – Illustration de la convergence uniforme
2.2.2 Convergence uniforme
Définition :Soient I un intervalle de R, (fn)n∈Z une suite de fonctions définies sur I, et f définie
sur I. On dit que (fn) converge uniformément vers f sur I si :
∀ε > 0,∃n0(ε) ∈ N,∀x ∈ I, ∀n ≥ n0, |fn(x)− f(x)| < ε.
La convergence uniforme est donc une forme de convergence beaucoup plus exigeanteque la convergence simple, qui ne demandait que, pour chaque point x, la suite (fn(x)) aitune limite. La convergence uniforme veut que toutes les suites (fn(x)) avancent vers leurlimite respectives avec un certain mouvement d’ensemble, autrement dit, la convergencea lieu à la même vitesse pour chaque point x, d’où le fait que l’on puisse déterminer unevaleur unique n0 à partir de laquelle toutes les fn(x) dont le n est supérieur à n0 soientinférieures à un ε donné, ce indépendamment de x. A l’inverse, pour la convergencesimple, le rang à partir duquel la distance devient très petite peut fortement varier d’un x àl’autre. De façon imagée, on peut dire que pour que la convergence uniforme, il est possible,selon le n0, de former un tube plus ou moins petit autour de la fonction vers laquelle lasuite converge dans lequel tous les fn, n > n0 se trouvent. Pour la convergence simple,on aurait, toujours de façon imagée, certaines fonctions qui ferait des pics, dépassant cetube imaginaire, pour ensuite revenir vers la fonction vers laquelle la suite tend. Ceci seretrouve bien entendu dans la définition ci-dessus avec |fn(x)− f(x)| < ε.
28
Figure 2.5 – Exemple de convergence uniforme vers la fonction y = |x|
Il semble assez intuitif que toute suite de fonction qui converge uniformément convergesimplement. Nous n’allons pas le démontrer formellement. La réciproque est en généralfausse, sauf cas exceptionnels.
Réglons de suite la seconde insuffisance pour les fonctions intégrables : la définition deconvergence uniforme nous permet une majoration indépendante de x, d’où nous obtenonsl’inégalité suivante :∫ b
a
|fn(x)− f(x)|dx ≤ (b− a)max|fn − f |Ceci nous permet dès lors de permuter la position de limite sans affecter le résultat, et lalimite de l’intégrale est bien égale à l’intégrale de la limite. (Quand n tend vers l’infini, lesecond membre tend vers 0, d’où le premier également - du fait de la valeur absolu - et
limn→∞
∫ b
a
fn(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx )
Mais qu’en est-il de la première insuffisance en ce qui concerne les fonctions continues :si une suite de fonction (fn) continues sur I converge uniformément vers f , f est-ellecontinue sur I ? La réponse est oui (on s’en doute), en voici la preuve :
Nous savons que :∀ε > 0, ∃n0(ε) ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε.
Prenons x0 ∈ I, qui répond donc à l’inégalité, et fixons un nombre entier N quicaractérise la fonction fN . Nous savons d’autre part que (fN ) est continue en x0, donc :∀x ∈ I, ∃δ(ε, x) > 0, |x− x0| < δ ⇒ |fN (x)− fN (x0)| < ε
Et l’inégalité triangulaire achève la démonstration puisque|f(x)− f(x0)| < |f(x)− fN (x)|+ |fN (x)− fN (x0)|+ |fNx0 − f(x0)| < 3ε.
29
2.2.3 Convergence normale
Soient I un intervalle de R et (fn)n∈Z une suite de fonctions définies sur I. On dit que
(fn) converge normalement sur I si la série∞∑n≥0
sup|fn(x)|, x ∈ I est convergente.
La convergence normale est encore plus exigeante que la convergence uniforme, dansle sens où toute fonction qui converge normalement converge uniformément. Nous ne ledémontrerons pas.
2.2.4 Convergence des séries trigonométriques
Proposition 1
Si les séries numériques∑|an| et
∑|bn| co,nvergent, alors la série trigonométriques
S(t) =∑n≥0
ancos(2πn
Tt) + bnsin(
2πn
Tt) converge normalement (et donc uniformément)
sur RPreuveCela découle directement de l’inégalité : |ancos( 2πnT t) + bnsin(
2πnT )t)| ≤ |an|+ |bn|
CorollaireSi les séries numériques
∑|an| et
∑|bn| convergent, alors la série trigonométrique
S(t) est continue sur R.Si les séries n
∑|an| et n
∑|bn| convergent, alors la somme S(t) est continue sur R,
à dérivée continue.
Proposition 2
Si les suites numériques (an) et (bn) sont décroissantes et tendent vers 0, alors la sérietrigonométrique S(t) est convergente pour t 6= k.T où k ∈ Z
Nous ne démontrons pas cette proposition.
2.2.5 Théorème de Dirichlet.
Avant d’entamer la démonstration, il convient de repréciser les différents types deconvergence qui interviennent dans le cadre des séries de Fourier : la convergence simple,que traite le théorème de Dirichlet, la convergence uniforme, la convergence en norme,et la convergence presque partout. Chacune de ces notions de convergence requiert deshypothèses différentes sur la fonction f(x), ainsi que différents types de preuves. Lespreuves des trois derniers cas de convergence cités sont inabordables car elles nécessitentdes notions d’analyse fonctionnelle très avancées.
Quelques notations et définitions
30
NotationNous noterons pour la suite f(a+) la limite à droite en a et f(b−) la limite à gauche
en b.Fonction continue par morceauUne fonction f : [a, b]→ C est dite continue par morceau sur [a,b] si f est continue sur
[a,b] sauf éventuellement en un nombre fini de points qui admettent des limites à gaucheet à droite. En particulier, f(a+) et f(b−) existent.
Fonction lisse par morceauxUne fonction f : [a, b]→ C est dite lisse par morceau sur [a,b] si f et f ′ sont continues
par morceaux sur [a,b]. En particulier, f ′(a+) et f ′(b−) existent.Extension sur RUne fonction f : R→ C est continue (respectivement lisse) par morceau sur R si elle
est continue (respectivement lisse) par morceaux sur tout intervalle borné [a,b]∈ R
Introduction au théorème
Expression du noyau de Dirichlet : Dn(x) =
n∑k=−n
eikx
Nous allons calculer cette somme dans un cas général afin d’alléger l’écriture. Soitdonc la somme symétrique (car allant de −n à n) de termes d’une suite géométrique deraison q. Nous allons utiliser la symétrie de la somme afin de modifier l’écriture :
n∑k=−n
qk =
2n∑k=0
q−nqk = q−nq2n+1
q − 1
Pour obtenir un terme plus homogène, multiplions numérateur et dénominateur par q−12 ,
ce qui nous donne :q−n−
12
q−12
q2n+1 − 1
q − 1=qn+
12 − q−n− 1
2
q12 − q−1
2
En remplaçant maintenant q par eix, nous trouvons :
ei(n+12 )x − e−i(n+ 1
2 )x
ei(12 )x − e−i( 1
2 )x
Et en utilisant les formules d’Euler, nous pouvons transformer l’expression en :
sin((n+ 12 )x)
sin(x2 )
Cependant, nous aurons besoin pour notre démonstration de l’intégrale de −π à π(qui équivaut soit disant passant au double de l’intégrale de 0 à π, la fonction déterminépar le noyau étant paire) de la fonction Dn(x). La primitive de l’expression trouvée étantextrêmement ardue, nous devons trouver une autre expression du noyau.
Sachant que le noyau est une fonction réelle, il nous suffit en fait de prendre en compte
uniquement les parties réelles de la sommen∑
k=−n
eikx, ce qui nous donne :
31
Dn(x) = 1 + 2
k=n∑k=1
cos(kx)
(Deux fois la somme car cosx est paire, 1 car nous considérons à part le cas où k=0)
Aussi trouvons-nous aisément que :∫ π
−πDn(x)dx = 2π, les termes en cosinus devenant
des sinus, qui s’annulent pour x = k.π.En résumé,
Dn(x) =
n∑k=−n
eikx = 1 + 2
n∑k=1
cos(kx) =sin((n+ 1
2 )x)
sin(x2 )
Et son intégrale de 0 à π équivaut à π. Passons maintenant au théorème de Dirichlet enlui-même.
Théorème(Dirichlet, 1824) Si f : R → C est 2π-périodique et lisse par morceau surR, alors :
limN→∞
SfN (x) =1
2(f(x+) + f(x−)) pour tout x.
En particulier,limN→∞
SfN (x) = f(x)
pour tout x où f est continue, avec SfN (x) la série de Fourier correspondant à la fonction.
Nous pouvons dès lors dire qu’une fonction qui vérifie les hypothèses du théorème deDirichlet converge simplement. Remarque :Il peut exister des fonctions continues dont lasérie de Fourier associée diverge pour certaines valeurs de x.
PreuveNous allons utiliser la notation complexe, et choisir le cas particulier T = 2π afin
d’alléger l’écriture. Notons Sp(x) =p∑
k=−p
ckeikx la somme partielle de la série de Fourier
en un point x fixé.
1. Calcul de Sp(x)−1
2(f(x+) + f(x−))
Calculons la somme partielle Sp(x), et précisons que f(t) correspond à la fonction quel’on a représenté sous forme de série. x étant fixé, nous utilisons la variable t afin de nepas prêter à confusion ; il ne s’agit en quelque sorte que d’une variable muette :
Sp(x) =
p∑k=−p
eikx1
2π
∫ 2π
0
e−iktf(t)dt
32
=1
2π
∫ 2π
0
p∑k=−p
eik(x−t)f(t)dt
=1
2π
∫ 2π
0
Dp(x− t)f(t)dt
=1
2π
∫ 2π−x
−xDp(u)f(u+ x)du
[Changement de variable (t=u+x) + utilisation du fait que le noyau de Dirichlet estpair.]
=1
2π
∫ π
−πDp(u)f(u+ x)du
f périodique de période 2π, donc, comme on a pu le démontrer,∫ 2π
0
=
∫ π
−π=
∫ k+2π
k
Ceci nous permet dès lors d’écrire en se souvenant que l’intégrale du noyau sur lapériode est π :
Sp(x) −1
2(f(x+) + f(x−)) =
1
2π
∫ π
−πDp(u)f(u + x)du − 1
4π
∫ π
−πDp(u)f(x
+)du −
1
4π
∫ π
−πDp(u)f(x
−)du
Ce qui nous donne en utilisant la parité du noyau de Dirichlet :
1
2π
∫ π
−πDp(u)f(u+ x)du− 1
2π
∫ π
0
Dp(u)f(x+)du− 1
2π
∫ 0
−πDp(u)f(x
−)du
=1
2π(
∫ 0
−πDp(u)(f(u+ x)− f(x−))du+
∫ π
0
Dp(u)((f(u+ x)− f(x+))du)
Il ne nous reste donc plus qu’à prouver que ces deux intégrales tendent vers 0 lorsquep tend vers l’infini, et nous aurons gagné. La démonstration étant quasi identique pourchaque intégrale, nous ne le démontrerons que pour une seule.
2. Calcul de limp→∞
∫ π
0
Dp(u)((f(u+ x)− f(x+))du
Nous avons vu dans l’introduction au théorème que Dp(x) =sin((p+ 1
2 )x)
sin(x2 )Choisissons α, 0 < α < π, tel que f soit lisse par morceau sur ]x;x+ α[ (sans oublier
que x est fixé), et décomposons∫ π
0
en∫ α
0
+
∫ π
α
2.1 Traitons d’abord le cas de la première intégrale∫ α
0
33
Notons M la borne supérieure de f ′ sur [0;α] et remarquons que u ≤ πsin(u2 ) pourtout u ∈ [0, π] Nous appliquons le théorème des accroissements finis à f sur [x;x + u] :|f(u+ x)− f(x+)| ≤Mu.
Et donc, en réinjectant dans l”intégrale dont on a pris la valeur absolu, tout en serappelant que u ≤ πsin(u2 ) , nous obtenons :∫ α
0
|sin((p+ 12 )u)|
sin(u2 )|((f(u+ x)− f(x+))|du ≤
∫ α
0
|sin((p+ 12 )u)|
sin(u2 )Mudu ≤Mπα
Ainsi, l’intégrale peut être rendue arbitrairement petite pour autant que l’on choisissebien α.
2.2 Cas de la seconde intégrale∫ π
α
Nous allons utiliser le lemme suivant afin de démontrer cela (remarquons que ce lemmemarche tout aussi bien pour le premier cas) :
LemmeToute fonction f lisse par morceau sur [a, b] vérifie :
limn→∞
∫ b
a
f(x)sin(nx)dx = 0
limn→∞
∫ b
a
f(x)cos(nx)dx = 0
Preuve
Il nous suffit d’intégrer par partie :∫ b
a
f(x)sin(nx)dx =
n−1∑k=0
∫ αk+1
αk
f(x)sinxdx =
1
n
n−1∑k=0
(f(α+k )cos(nαk)− f(α
−k+1)) +
1
n
∫ αk+1
αk
n−1∑k=0
f ′(x)cos(nx)dx
Et l’on constate bien que lorsque n→∞, l’expression → 0 (Rappelons-nous bien quel’hypothèse de départ est que f est lisse par morceau, d’où le fait que sa dérivée soitcontinue, et a fortiori bornée, ce qui justifie le fait que la seconde partie de l’expressiontende vers 0.)
Revenons-en au traitement de notre second cas.Posons g(u) = f(x+u)−f(x+)
sin(u2 ) . Il suffit maintenant simplement de constater que g(u) estlisse par morceau sur [α;π], ce qui implique que
limp→∞
∫ π
α
g(u)sin((p+1
2)u) = 0 d’après le lemme précédent, ce que l’on cherchait à
34
démontrer.
3.Synthèse de la démonstration du théorème de Dirichlet.
Nous avons donc démontré que limp→∞
Sp(x)−1
2(f(x+)+f(x−)) = 0, pour une fonction
f lisse par morceau, ce qui nous assure que qu’en tout point de discontinuité, la fonctionconverge vers une valeur, et qu’en tout autre point où f est continue, la limite de la sériede Fourier correspondant à la fonction pour p très grand tend vers la fonction.
2.2.6 Analyse d’une fonction qui répond aux hypothèses du théorèmede Dirichlet.
On se propose d’étudier la fonction f(x) = ex si x ∈]−π;π[, fonction qu’on étend parla suite sur l’ensemble des réels. D’après ce qu’on a pu démontrer sur la périodicité, nouspouvons nous contenter d’étudier la fonction sur ]− π;π[
Figure 2.6 – Graphique de f(x) = ex si x ∈] − π;π[, fonction qu’on étend par la suitesur l’ensemble des réels.
Remarquons tout de suite que la fonction est discontinue aux points x = π + k.2π,qu’elle est de période de 2π et qu’elle vérifie les hypothèses du théorème de Dirichletpuisqu’elle est clairement lisse par morceau. Ainsi, nous pouvons légitimement écrire
cette fonction sous forme de série de Fourier, c’est-à-dire f(x) = a02 +
∞∑n=0
(ancos(nx) +
bnsin(nx))
Calcul de a0
a0 =1
π
∫ π
−πexdx =
eπ − e−π
πCalcul de anan =
1
π
∫ π
−πexcos(nx)dx.
Pour trouver∫ π
−πexcos(nx)dx, deux méthodes-entre autres- s’offrent à nous : la double
intégration par partie, ou∫ π
−πex(ni+1), en considérant ensuite la partie réelle de l’intégrale.
Nous allons utiliser la première pour la recherche de an et la seconde pour la recherche de
35
bn. ( A la seule différence près que cos(nx) étant subsitué par sin(nx) pour la recherhcede bn, nous devrons considérer la partie imaginaire de l’intégrale.)
Soit I =
∫excos(nx)dx. Après la première intégration par partie, nous trouvons :
I =exsin(nx)
n− 1
n
∫exsin(nx)
Intégrons maintenant par partie J =
∫exsin(nx) ; nous trouvons :
J =−excos(nx)
n+
1
n
∫ π
−πexcos(nx)
Ainsi, I =exsin(nx)
n− 1
n(−excos(nx)
n+
1
nI)
⇔ I(1 +1
n2) =
exsin(nx)
n+excos(nx)
n2
⇔ I =n.exsin(nx) + excos(nx)
n2 + 1
Dès lors,∫ π
−πexcos(nx)dx =
eπ.cos(nπ)
n2 + 1− e−π.cos(nπ)
n2 + 1=cos(nπ)
n2 + 1(eπ − e−π)
Et finalement, an =1
π(cos(nπ)
n2 + 1(eπ − e−π))
Calcul de bnbn =
1
π
∫ π
−πexsin(nx)dx = =( 1
π
∫ π
−πex(ni+1))
⇒ 1
π
∫ π
−πex(ni+1) =
eπ(ni+1)
ni+ 1− e−π(ni+1)
ni+ 1
=−ni+ 1
n2 + 1(eπenπi − e−πe−nπi)
En prenant uniquement la partie imaginaire, en considérant bien que sin(nπ) est detoute façon nul, nous trouvons :
bn =1
π(−n
n2 + 1(eπcos(nπ)− e−πcos(nx)))
Et finalement, bn =1
π(ncos(nπ)
n2 + 1(e−π − eπ))
Et en groupant le tout, nous trouvons l’expression de la série. (En considérant bienque suivant que n est pair ou impair, cos(nπ) équivaudra à 1 ou -1)
Série de Fourier associée à la fonction
f(x) =eπ − e−π
2π+
∞∑n=1
(−1)n
π(n2 + 1)(eπ − e−π)(cos(nx)− nsin(nx))
36
=eπ − e−π
π(1
2+
∞∑n=1
(−1)n
π(n2 + 1)(cos(nx)− nsin(nx))
2.3 Phénomène de Gibbs
Nous avons vu lors de l’analyse de la fonction carrée qu’au plus on additionne destermes trigonométriques, au plus la fonction tend vers une forme carrée. Mais nousremarquons aussi que sur les points anguleux de la fonction, bien qu’on puisse ajouter ungrand nombre de termes, défaut d’approximation persistera.
Figure 2.7 – Illustration du phénomène de Gibbs
Etant donné que tout terme de la série de Fourier est une fonction continue, ilest normal que la série ne puisse approcher uniformément la fonction aux points dediscontinuité. Des études ont déjà montré que l’amplitude d’oscillation autour des discontinuitésest toujours plus importante. Quantitativement, il en ressort que très régulièrement,l’oscillation y est 18% plus importante que sur le reste la fonction continue. C’est le casdans la fonction carrée. Nous verrons dans la partie traitant des applications l’importancede cette fonction carrée qui est incontournable en électronique lorsque l’on manipule desinformations binaires qui ne s’expriment qu’à l’aide de deux valeurs uniques.
37
Deuxième partie
Applications de l’analyseharmonique
38
Chapitre 1
Synthèse numérique d’un son àpartir de l’addition des séries deFourier
Nous allons voir comment l’on peut modéliser des signaux à l’aide des séries de Fourierpar addition de termes en sinus et cosinus. Nous avons développé une application quimontre visuellement et auditivement l’importance de l’addition de termes dans les sériesde Fourier pour modéliser par exemple la fonction carrée. Il faut cependant différencierplusieurs types de signaux. Les signaux harmoniques, les signaux périodiques qui correspondentà la composition de différents signaux harmoniques et les signaux non périodiques. Chacunde ces signaux seront analysés à l’aide d’outils différents. Pour les signaux harmoniques,une analyse sinusoïdale suffit. Pour des signaux composés de plusieurs harmoniques, onutilisera les séries de Fourier. Et finalement pour les signaux non périodiques on peututiliser les transformées de Fourier.
39
Chapitre 2
Applications informatiques
2.1 FFT : Fast Fourier Transform
Nous avons vu que les séries de Fourier sont des outils très pratiques afin de pouvoirmodéliser des signaux sous forme d’addition de sinusoïdes et cosinuoïdes. Il est doncpratique de disposer de ces séries mais le calcul n’est pas toujours simple et efficace.C’est pourquoi avec le développement de l’informatique sont apparus des algorithmes quipermettent de calculer les coefficients selon une méthode linéaire. Ainsi, nos processeursbinaires savent traiter bien plus rapidement l’information. Jusqu’ici on s’était intéresséà l’approche temporelle du son, c’est-à-dire que l’on se contentait de considérer le signalcomme une grandeur évoluant au fil du temps. C’est la vision la plus directe mais pasnécessairement la plus intuitive. Lorsque l’on écoute un son, l’analyse la plus simple,la plus primitive c’est, d’une part, de savoir s’il est fort ou faible en terme de volumesonore et par ailleurs s’il est grave ou aigu. 1 Nos oreilles sont essentiellement sensibles àla fréquence et à l’amplitude du son. A partir de là, il parait évident que la représentationtemporelle n’est pas la plus triviale pour “visualiser” un son de la même manière qu’onl’écoute. Nous allons donc recourir à une opération qui suit cette logique, la transformée deFourier. Une transformée est une opération consistant à faire correspondre une fonctionà une autre pour représenter la même information d’une façon différente. Dans le casde Fourier, l’idée est d’exprimer le son comme dépendant de la fréquence et non plusdu temps le tout à partir de l’hypothèse que tout signal est fondamentalement composéd’une somme de sinusoïdes de fréquences différentes. On peut distinguer assez clairementl’évolution du volume sonore mais on n’a aucune information visible sur la hauteur duson joué.
1. Pour l’oreille humaine, des sons très graves oscillent autour des 16Hz alors que des sons très aigusoscillent autour des 16kHz
40
Figure 2.1 – Représentation temporelle d’un son
Figure 2.2 – Représentation fréquentielle d’un son
Comparons les graphes.Sur la Figure 2.2 on a donc plus le temps comme abscisse mais la fréquence. Tout
de suite, le graphique est nettement moins massif. Pourquoi ? On distingue clairementque le son est très simple car composé essentiellement d’une seule fréquence (788, 5Hz,c’est presque un sol) plus deux petits pics à dans les hautes fréquences ( 3000Hz et7000Hz). Par contre il est difficile de savoir comment le son évolue au fil du temps.
41
Les deux représentations ont clairement leurs avantages respectifs en fonction de ce quel’on recherche. Nous allons maintenant énoncer la formule de base de la transformée deFourier, sans la démontrer.
F (f) : ν 7→ f̂(ν) =∫ +∞−∞ f(t) e−i2πνt dt
La transformée ainsi calculée est un signal complexe, c’est à dire en deux dimensions.Là où chaque échantillon du signal d’origine était composé d’une grandeur (l’amplitude),sa transformée associe à chaque fréquence à la fois l’amplitude 2 et la phase. 3
Nous allons maintenant analyser ce qu’il se passe lorsque nous composons un son d’unla (440Hz) et d’un ré (294Hz), respectivement déphasés de 0.7 et -0.2. L’équation de ceson est :
x(t) = 0.5 cos((2π)500t+ 0.7) + 0.25 cos((2π)294t− 0.2)
Voici ce que donne cette addition graphiquement :
Figure 2.3 – Addition du signal du La et du Ré
Traçons le graphe de la transformée de cette fonction maintenant. Deux traits sont ànouveau présents sur le graphe de la transformée. En lisant le graphique nous pouvonsdonc retrouver les deux fréquences avec leur amplitude et phase respective. Il est importantde remarquer que l’amplitude nous donne une indication sur le volume sonore de chaquefréquence alors que la phase nous renseigne sur le positionnement dans le temps. Nous
2. L’amplitude c’est le volume sonore associé à chaque fréquence3. La phase est un concept un peu plus abstrait, il s’agit du “retard” de chaque fréquence.
42
Figure 2.4 – Transformée des signaux additionnés
voyons l’utilité des transformées de Fourier dans le but d’analyser un signal, par exempleun son. Les transformées de Fourier ont pris un essor incroyable ces dernières années grâceà la révolution en électronique. Beaucoup d’appareils doivent être capables d’effectuerdes transformées de Fourier pour analyser des signaux. C’est alors que les électriciens etinformaticiens se sont penchés sur la question afin optimiser le temps de calcul de cescoefficients, et permettre ainsi de réduire la puissance des processeurs pour effectuer cescalculs. L’algorithme le plus connu et le plus répandu est sans aucun doute l’algorithmebaptisé FFT , issu de l’anglais Fast Fourier Transform. Nous ne pouvons pas développerles opérations qui se cachent derrière cette transformation rapide étant donné la complexitéde celles-ci. Cet algorithme a été mis au point par deux ingénieurs américains. D’une part,J. W. Cooley d’IBM et John W. Tukey de l’université de Princeton en 1965, après avoirredécouvert les travaux de Gauss qui avait déjà travaillé sur le problème sans apporter deréponse reconnue publiquement.
2.2 Compression JPEG
L’appareil photo a connu une grande révolution au virage des années 2000 et l’appareilphoto numérique domine maintenant largement le marché. Il faut savoir que la mise enplace et le développement aussi rapide de cette nouvelle technologie n’aurait pas étépossible sans l’analyse de Fourier. En effet, lorsqu’on déclenche l’appareil photo, il produit
43
automatiquement des transformées de Fourier.
2.2.1 Pourquoi Fourier ?
Il faut savoir qu’un appareil photo stocke les images sur une carte mémoire. Au plusde photos je stocke sur mon appareil photo, au plus de pixels sont conservés sur la cartemémoire. Pour avoir des capteurs de plus en plus précis 4 (en ayant plus de points dedétection), il faut aussi une augmentation proportionnelle de la mémoire. Bien entendu,on serait quand même parvenu à utiliser un appareil photo numérique sans se tracasserdes séries de Fourier car il ne s’agit que de la compression du format de stockage et detraitement postérieur d’image. Mais le développement de la qualité des appareils photonumériques aurait été plus lente. Nous quantifierons cette observation par la suite.
2.2.2 Le JPEG, c’est quoi
Il s’agit d’un format de stockage de photos numériques largement adopté car il a lacaractéristique d’encoder une image de même résolution en moins de bits 5 que un autreformat. Comment cela ce fait-il ? Il compresse les données reçues du capteur par le FFT . Ilfaut savoir que le capteur numérique de l’appareil photo est composé de micro-détecteursqui enregistrent chacun une couleur.
2.2.3 Quelle couleur ?
Figure 2.5 – Système RGB
Le tas d’informations reçu du capteur est stockésous forme de matrice. La référence des couleursde chaque pixel est stocké sous forme de codehexadécimal. Grâce à Newton, on sait que la lumièreblanche peut se décomposer en 3 couleurs qui sont lebleu, rouge et vert. C’est ce système tri-chromatique làque les ordinateurs utilisent. Baptisé RGB, acronymede l’anglais pour "Red, Green, Blue", ces trois couleurssont les couleurs primaires en synthèse additive. Ellescorrespondent en fait à peu près aux trois longueursd’ondes auxquelles répondent les trois types de cônesde l’œil humain.
4. Certains appareils atteignent maintenant des capteurs de 30 mégapixels. C’est à dire 30×106 pixels5. Le bit est un chiffre binaire, c’est-à-dire 0 ou 1. Il est donc aussi une unité de mesure en informatique,
celle désignant la quantité élémentaire d’information représentée par un chiffre du système binaire. Onen doit l’invention à John Tukey (qui était aussi derrière la découverte du FTT !).Définition de Wikipédia
44
Figure 2.6 – Adapté d’un document de Vincent Bockaert/123di.com
Un capteur photosensible CCD ou CMOS est constitué d’une seule matrice photosensiblequi est recouverte d’un filtre coloré appelé une grille de Bayer. Contenant des élémentsde différentes couleurs, elle permet de sensibiliser les pixels aux 3 couleurs primaire : lerouge, le vert ou le bleu.
Le processeur d’image associé au capteur photosensible combine ensuite ces troiscouleurs primaires RGB pour créer par synthèse additive une image couleur et lui associeune valeur hexadécimale 6. Nous voilà donc avec une matrice pixelshorizontaux×pixelsverticaux.Pour simplifier les calculs nous allons prendre une matrice carrée 8×8 en décimales. Nousavons 64 données différentes 7 relatives aux 64 pixels. A la place d’utiliser une échelle descouleurs 24 bits, nous allons utiliser les niveaux de gris (communément appelé "Noir etblanc") qui ne prennent que 8 bits 8 alors que une photo couleur en RGB prend 24 bits 9.Pourquoi avoir choisi une matrice 8 × 8 ? Parce que le JPEG sépare une image de plusgrande taille en plusieurs matrices 8 × 8. Quand le standard JPEG a été mis au point,l’ordinateur ne pouvait que traiter 8 bytes 10 à la fois.
Prenons l’image élémentaire :C’est à dire la matrice sous forme décimale :6. Sur ce site internet, vous pouvez convertir une couleur en sa valeur hexadécimale http://
html-color-codes.com7. Les valeurs hexadécimales sont par convention notées par le préfixe "0×"8. Pour un pixel en 8 bits il existe alors 28 = 256 possibilités d’encodage. Cette combinaison de 8 bits
est tellement fréquente qu’elle définit une nouvel unité, le byte9. Pour un pixel en 24-bit, il existe 224 possibilités d’encodage
10. La distinction entre byte et octet est utilisée dans certains textes techniques. Ainsi la descriptionformelle d’un langage de programmation utilisera sciemment le mot byte si le langage ne nécessite pasqu’un byte ait une taille d’un octet. C’est par exemple le cas du langage C, où un byte peut contenir plusde huit bits. Source : Wikipédia
45
Figure 2.7 – Une image de 64 pixels correspondant à la matrice
53 51 55 60 66 70 64 73
63 59 54 89 110 85 69 71
63 60 68 113 144 104 66 73
63 58 71 122 154 106 70 69
66 60 68 103 127 88 68 70
79 65 60 70 77 68 58 75
85 71 65 59 55 61 65 83
87 79 69 69 65 76 78 95
Dans cette balance des gris, 255 correspondrait à du noir et 0 à du blanc. Toutes les
valeurs intermédiaires ne sont que des mélanges de ces deux couleurs.Afin de compresser l’images on utilise les coefficients des séries de Fourier mais aussi
le DCT 11.Nous allons transformer la matrice de la balance des gris (8 × 8) en une matrice de
coefficients de DCT (toujours 8 × 8). Cette matrice ne représente plus l’image en soi.
11. La transformée en cosinus discrète ou TCD (de l’anglais : DCT ou Discrete Cosine Transform) estune transformation proche de la transformée de Fourier discrète (DFT). Le noyau de projection est uncosinus et crée donc des coefficients réels, contrairement à la DFT, dont le noyau est une exponentiellecomplexe et qui crée donc des coefficients complexes. On peut cependant exprimer la DCT en fonctionde la DFT, qui est alors appliquée sur le signal symétrisé.
46
Chaque coefficient définit l’amplitude d’une fonction de base. L’image est compressée etl’ordinateur doit connaître l’algorithme de décompression pour pouvoir lire l’image. Pourchaque pixel de la matrice de départ nous allons effectuer le calcul suivant. x et y sontles indices spatiaux qui font référence à un certain pixel. L’index u et v font partie duspectre fréquentiel qu’on a vu précédemment dans ce chapitre. Puisqu’on travaille sur unoctet, les valeurs de tous les indices peuvent varier de 0 à 7 seulement.
b[x, y] = cos(2x+ 1)uπ
16cos
(2y + 1)vπ
16(2.1)
Pour calculer le spectre avec le DCT, on calcule la fonction de base appropriée parla matrice 8 × 8 et on additionne ensuite les produits. Ensuite, il faut multiplier les 15valeurs dans le premier rang et dans la première colonne par deux. Finalement, on divisetoutes les données par 16.
47
Le résultat est le suivant
Figure 2.8 – Voici les résultats de la transformée discrète des cosinus
Chacun de ces coefficients DCT représentent l’amplitude d’une fonction de base parrapport aux index v et u en cosinus.
Figure 2.9 – Illustration des différentes fonctions de la DCT. Extrait de The Scientistand Engineer’s Guide to DSP
Les coefficients des basses fréquences se trouvent dans le coin supérieur gauche alorsque les hautes fréquences se retrouveront dans le coin inférieur droit.
L’algorithme inverse du DCT est calculé en faisant correspondre chacune des amplitudesà la fonction de base et on additionne à nouveau les termes afin de retrouver des donnéessimilaires à celles de base. La colonne de gauche montre l’effet de réduire le nombre de
48
bits utilisés pour représenter le spectre de la fréquence. Cette marge d’erreur est obtenueen prenant la DCT inverse de la fonction et en soustrayant l’image reconstruite de l’imageoriginale. Au moins de bits sont utilisées, au plus cette marge d’erreur sera importante etla qualité d’image reconstruite mauvaise.
Nous remarquons que les chiffres sont nettement moins important après une transforméeet nous pouvons remarquer que la matrice contient des nombres beaucoup plus petits.Jusque 10 fois plus petits parfois. La taille de l’image est par conséquent divisée par 10 !Nous avons perdu les plus hautes fréquences en chemin car elles sont les plus atteintespar la transformée en DCT mais l’aspect général de l’image est le même. Le rendu resteexcellent.
La troisième colonne représente la marge d’erreur présente à cause de la transformation.Il faut aussi remarquer que cet algorithme est présent partout. Que ce soit l’histogramme
de visualisation sur Windows Media Player ou sur la chaîne Hi-Fi, ils utilisent tous cetalgorithme de transformée rapide de Fourier.
2.2.4 Alors quelle avancée l’analyse de Fourier a-t-elle permis ?
On l’a vu, la compression grâce aux transformées de Fourier permet de diviser parun facteur 10 la taille de stockage sur les appareils photos (entre autres). Mais cetteobservation est aussi valable pour les sons. Sur nos baladeurs MP3, iPods ou ordinateursportables, nous stockons des sons au format MP3. Ce format utilise lui aussi les transformationsde Fourier afin de garantir une compression sans trop de pertes. On pourrait se poser laquestion suivante : combien d’années plus tard l’appareil photo serait-il apparu si l’analysede Fourier n’existait pas ? En 1965, le co-fondateur d’Intel, Gordon Moore prédit que lacapacité de stockage binaire allait doubler tous les ans. A l’époque ce n’était qu’uneprévision aveugle. Un développement similaire serait exponentiel et donc infini. Pourtantavec une quarantaine d’années de recul, nous pouvons admettre que cette prévision estassez proche de la réalité. 10 Ans après avoir proposé ce pari risqué, un professeur deCaltech 12 donne le terme Moore’s Law à cette prédiction. On remarque aussi que cetteévolution est inversement proportionnelle au prix. Donc pour la même capacité, mondisque dur coûtera 2 fois moins cher l’année prochaine !
Revenons à Fourier. Nous avons vu que la taille de stockage d’une image peut êtreréduite d’un facteur 10. La transformée de Fourier nous a donc permis une évolutionde 2t = 10. Autrement dit, t = log2 10 ' 3.3. C’est à dire que si je voulais avoir unappareil photo qui n’utilise pas la transformée de Fourier, je devrais attendre plus detrois ans afin d’avoir la même capacité de photo. Ou je devrai débourser deux fois moinscher pour acheter un iPod de la même capacité un an plus tard (si on admet que les
12. Caltech est l’institut universitaire technologique de Californie
49
Figure 2.10 – Illustration de la prédiction de Moore. Le l’échelle de l’axe vertical estbien entendu logarithmique. Les croix représentent la capacité de stockage des produitssortis aux années respectives. Source : Wikimédia Foundation
autres composants suivent la même évolution, ce qui n’est pas le cas). D’ailleurs, c’estce que Kodak a compris. On retrouve sur leur site internet une page réservée à attirerde nouveaux investisseurs. Ils illustrent à l’aide d’un graphique que c’est un marché enpleine évolution où le prix du pixel diminue chaque année de moitié !
50
Figure 2.11 – Graphique avec une échelle logarithmique de l’évolution du prix du pixel.Source : Kodak Australia
51
Chapitre 3
Digital Signal Processing, unlarge domaine d’applications
Les séries de Fourier ont été pendant longtemps qu’un modeste outil de mathématiqueset thermodynamique 1. Les séries vont prendre leur véritable essor lors de la révolutionen électronique. La nécessité de traitement d’un signal va faire redécouvrir l’œuvre deFourier, peu enseignée jusque là. Le traitement des signaux est omniprésent. Du sonar àla conquête spatiale tout en passant par la neurologie. Nous avons décidé de montrer ladiversité de son utilisation au sein d’un même domaine : les télécommunications. Nousn’aborderons pas de manière détaillée son application mais ceci montre son large spectred’application.
3.1 Applications en télécommunications
Que sont les télécommunications ? Les télécommunications permettent de transférerde l’information d’un endroit à un autre. Cette information peut avoir diverses formes :conversations téléphoniques, chaînes de télévision, fichiers informatiques ... Pour transférercette information entre ces deux lieux, il faut une passerelle : un câble de cuivre, unsignal radio, une fibre optique ... Ces câbles sont posés par des sociétés qui ont intérêt àtransmettre le plus d’information possible à travers chaque câble. C’est ici qu’intervientl’analyse de Fourier.
1. Fourier a travaillé sur des séries trigonométriques à partir d’un problème de propagation de lachaleur dans les solides.
52
3.1.1 Confondre l’information. Sans la mélanger.
Nous avons actuellement plusieurs milliards de téléphones à l’échelle mondiale. Chacunde ceux-ci peut-être connecté en quelques secondes à un autre. Jusqu’aux années 60, lesconnections téléphoniques nécessitaient des switch manuels et chaque connexion nécessitaitun câble ! La quantité de câbles requis était donc considérable. Heureusement le système achangé depuis grâce à la numérotation numérique. Désormais, les signaux sont transformésen un flux de données numériques. Puisque ces bits 2 peuvent être facilement mélangés etséparés par la suite. Cela permet de transmettre plusieurs signaux à travers le même câbleet présente donc un avantage considérable au niveau économique pour le déploiement duréseau. De plus, les portes logiques ne coûtent pas cher par rapport aux kilomètres decâbles qui auraient dû être placés. On verra par la suite comment ces signaux peuventêtre retrouvés par une analyse fréquentielle du signa à l’aide des transformées de Fourier.
3.1.2 Compression
En général, une signal téléphonique est composé de 64 kbits/s, mais grâce aux algorithmesde la transformée de Fourier, nous pouvons compresser ce signal à 32 kbits/s sans pertesignificative de qualité auditive. Cela s’explique par la petite différence entre deux sonsfortement rapprochés vu que le téléphone enregistre le son environ 8000 fois par secondes.
3.1.3 Suppression de l’écho
L’écho est un sérieux problème lors d’appels téléphoniques sur de longues distances.Lorsque l’on parle au téléphone, le signal transmettant notre voix voyage jusqu’à l’interlocuteuroù une partie du son retourne en écho. Si j’appelle à une centaine de kilomètres, l’échon’est pas audible car il n’a un retard que de quelques millisecondes. L’oreille humaine n’estpas capable de s’apercevoir de si petits retards. Dès lors on ne perçoit rien de dérangeantet inhabituel. Mais lorsque la distance devient plus importante, l’écho devient égalementde plus en plus considérable. Sur des appels intercontinentaux, la distance peut atteindreles centaines de millisecondes. Heureusement, on peut maintenant mesurer digitalementle retard de l’écho et par conséquent générer un anti-signal qui va rendre l’écho inaudible.Cette technologie est indispensable sur des téléphones utilisant des haut-parleurs, carl’importance du signal retourné est largement plus important. Depuis 2008, de nombreuxtéléphones portables sont dotés de deux microphones. Un est situé à proximité de labouche de l’interlocuteur et l’autre à l’arrière du téléphone. Cette technologie permet de
2. Le bit est un chiffre binaire, c’est-à-dire 0 ou 1. Il est donc aussi une unité de mesure en informatique,celle désignant la quantité élémentaire d’information représentée par un chiffre du système binaire. Ondoit cette invention à à John Tukey
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supprimer le bruit ambiant répétitif comme le bruit de fond dans un métro, voiture, rue...
3.1.4 La Blue Box
Un utilisateur était seulement identifié sur le réseau téléphonique à l’aide d’un signalqu’il envoie à l’opérateur. Ce signal est comme nous l’avons vu une addition de termestrigonométriques qui contient une information. L’opérateur facturait les appels grâce àce procédé d’identification.
Une anecdote à ce sujet. Avant de pouvoir fonder Apple, Steve Jobs et Steve Wozniakavaient besoin d’argent. Ils ont décidés de construire une petite machine, appelée la Bluebox. Celle-ci permettait de moduler le signal pour faire croire à l’opérateur que l’utilisateurétait un autre, en modulant un signal différent. Le résultat était que l’on pouvait appeleraux quatre coins du monde gratuitement grâce à cette Blue Box. Steve Jobs a aussi ditque c’est grâce à la vente de ces dispositifs que lui et son ami ont pu fonder Apple.
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Annexe A
Joseph Fourier et ses précurseurs
Les séries de Fourier constituent la branche la plus ancienne de l’analyse harmoniqueet est en évolution permanente. L’étude de leurs particularités s’est développée de pairavec les progrès de la théorie de l’intégration. Afin de comprendre ce que Joseph Fourier aapporté de neuf en la matière commençons par reprendre chronologiquement les évènementsqui ont influencé Fourier dans l’élaboration de ses séries.
A.1 Les précurseurs de Fourier
C’est en 1400 qu’apparaissent chez l’indien Madhava, les premières formes de sériestrigonométriques. Ces séries n’apparaitront qu’au 17e siècle en Occident chez JamesGregory et un siècle plus tard chez Brook Taylor qui décrit dans son ouvrage "MethodusIncrementorum Directa et Inversa" l’étude systématique des cordes vibrantes et de lapropagation du son.
Quelques années plus tard éclate une controverse entre trois grands mathématiciensdu 18e siècle. D’Alembert, Euler et Bernouilli se penchent tous trois sur le problème descordes vibrantes. L’équation de l’onde ainsi que les solutions analytiques de celle-ci sontdéterminées par D’Alembert. Bernouilli obtient les même réponses mais en ayant utiliséun procédé tout à fait différent. Il présente ses solutions sous forme de décomposition enséries pour superposer des solutions élémentaires. La controverse porte sur la nécessité deconcilier ces points de vue différents.
C’est alors que Fourier intervient.
A.2 Biographie
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Figure A.1 – Joseph Fourier.c©Wikimedia
Joseph Fourier naît en 1768 à Auxerre. A 10 ansil est orphelin. Il est interné dans un pensionnat.L’évêque d’Auxerre le pousse aux études et JosephFourier rentre à l’école militaire d’Auxerre tenue alorspar des Bénédictins. Il réussit brillamment et à l’age de16 ans, il est déjà promu professeur de mathématiquesà l’école militaire d’Auxerre, ce qui lui permet decommencer ses recherches personnelles. A 17 ans, ilrédige un mémoire sur les équations algébriques àhaut degré. Il lit notamment les 6 tomes du coursde mathématiques de Bezout ainsi que l’intégralité del’œuvre de Alexis Claude Clairaut. 1 Il rentre ensuiteau séminaire, mais n’a pas vraiment de vocation. A 26ans, il intègre la prestigieuse Ecole normale supérieurede Paris. Il y rencontre de nombreux mathématiciensrenommés tels que Joseph-Louis Lagrange, GaspardMonge ou encore Pierre-Simon de Laplace. Mais
Joseph Fourier n’a pas que des ambitions mathématiques. Il participe à la révolutionde 1789 manquant de peu de se faire guillotiner durant le régime de la Terreur. Il occupeensuite plusieurs postes diplomatique importants en Égypte et en Isère. Alors préfet del’Isère, il s’intéresse à la théorie des probabilités. Il se pose notamment la question de savoirquelle ampleur un sondage doit avoir pour être qualifié de fiable. En 1810, il retourne dansle secteur académique pour devenir recteur de l’université de Grenoble. Il accumule lestitres honorifiques et devient notamment membre élu de l’Académie des sciences et del’Académie française. Il est également le précurseur de l’interprétation de l’effet de serre.En 1822, il publie son œuvre majeure la théorie analytique de la chaleur. Il meurt en 1830à Paris où il sera enterré au cimetière du Père Lachaise. Il fait partie des septante-deuxsavants dont le nom est inscrit sur la Tour Eiffel.
A.3 Son oeuvre
Retournons à l’oeuvre de Fourier dans son contexte historique. Il introduit en 1803l’équation de la chaleur dans un premier mémoire. Ces premiers travaux furent tellementcontestés sur le plan de l’analyse qu’ils ne furent pas publiés. Vingt ans plus tard, il exposeses séries et sa transformation dans son traité Théorie analytique de la chaleur. Fourierdécompose une fonction mathématique unique, mais difficile à décrire mathématiquement,
1. Aspects de l’œuvre de Fourier : les transformées Jean-Pierre Demailly
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en une somme infinie de fonctions en sinus et en cosinus. Il est alors plus facile de décrireau cours du temps l’évolution de chacune de ces fonctions, et de retrouver la températureau temps t en refaisant la somme.Cette hypothèse audacieuse est contestée par ses contemporains Laplace, Poisson etLagrange ; ce dernier se lève même en pleine séance de l’Institut des sciences et déclarequ’il tient pour fausse la théorie de Fourier. Il faut dire que, même pour les critèresde rigueur de l’époque, les conclusions de Fourier étaient hardies. Par exemple, dansun langage moderne, Fourier ne s’intéresse jamais à la convergence de ses séries. Pour lesanciens, ce qui les tracassait était plutôt le phénomène inverse : il leur semblait impossiblequ’une superposition, même infinie, de fonctions continues, puisse donner une fonctiondiscontinue.En 1829, Dirichlet donne un premier énoncé correct de convergence limité aux fonctionspériodiques continues par morceaux ne possédant qu’un nombre fini de discontinuités.Dirichlet considérait que les autres cas s’y ramenaient ; l’erreur sera corrigée par Jordanen 1881. 2
En 1848, Wilbraham est le premier à mettre en évidence le phénomène de Gibbs ens’intéressant au comportement des séries de Fourier au voisinage des points de discontinuité.
2. Wikipédia, http://fr.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier
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Bibliographie
[1] Brad Osgood The Fourier Transform and Its Applications EE261 , The Fouriertransform is ubiquitous in engineering and science and this course is appropriatefor students from across the engineering and science disciplines. This course willemphasize relating the theoretical principles to solving practical engineering andscience problems.
[2] Jean-Pierre Kahane et Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset Séries de Fourier et ondelettes,Cassini, 1998
[3] Wikipédia, l’encyclopédie libre http://tinyurl.com/633sda9
[4] MatLab Documentation Mathematical Programming Solutions
[5] Wolfram Documentation Mathematical and Programming Solutions
[6] Jean-Pierre Demailly Aspects de l’œuvre de Fourier : les transformées
[7] Wikipedia, the Free Encyclopedia Moore’s Law http://en.wikipedia.org/wiki/
Moore’s_law
[8] Wikipedia, the Free Encyclopedia Fourier’s Series, Transform, FTT, Cooley andTukey http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier
[9] Vincent Thilliez Cours de Math 2e licence math sur les séries de Fourier
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