-
1
Problèmes sur les séries de Fourier
1. Phénomène de Gibbs : le toit d’usine.
2. Phénomène de Gibbs : l’onde carrée.
3. Contre-exemple de Féjer.
4. Un développement en série de Fourier.
5. Formule de Parseval, via le noyau de Poisson.
6. Noyau de Poisson, théorème de Bochner.
7. Noyaux de Fourier, Féjer, Jackson.
8. Nombres de Bernoulli et calcul des ζζζζ(2n).
9. Applications géométriques des séries de Fourier.
10. Etude de quelques courbes planes.
11. Fonction thêta de Jacobi, formule de Poisson.
12. Sommes de Gauss.
13. Constantes de Lebesgue.
14. Inégalité de Bernstein.
15. Une série trigonométrique.
16. Séries trigonométriques.
17. Théorie de Riemann.
18. Fonctions presque périodiques de H. Bohr.
19. Transformation de Fourier.
20. Série de Riemann-Gerver.
21. Fonctions de Rademacher.
22. Ondelettes de Haar.
23. Fonctions de Weierstrass et ondelettes.
Pierre-Jean Hormière _________
-
2
Problèmes de concours portant sur les séries de Fourier XM' 1976
: Représentation d’une fonction par une série trigonométrique : th
de Riemann ENS Saint-Cloud 1980 : inégalités isopérimétriques Capes
1986 : Noyaux de Fourier, Fejer, Jackson XP' 1986 : Théorèmes de
Bernstein et Markov sur les polynômes trigonométriques ENSET 1986 :
Convolution, espaces vérifiant une propriété d’équivalence des
normes ENSET 1990 : Approximation uniforme et en moyenne
quadratique d’une fct cont périodique XM' 1992 : Séries
trigonométriques ∑ bn sin(nx) où bn ↓ 0 Mines 1997, pb 1 :
Approximation des fcts périodiques par le noyau de Jackson Mines
1997, pb 2 : Fonctions de Bessel modifiées de 1ère espèce Centrale
MP 1999 : Transformation de Fourier, et équations d’échelle
Centrale PSI 1999 : Fonction ζ de Riemann prolongée et son équation
fonctionnelle XM' 1999 : Noyau de Cauchy et transformation de
Fourier Mines 2001 : Approximation uniforme par des polynômes
Centrale 2002 : Approximation uniforme par des polynômes (séries de
Tchebychev) Agrégation interne 2002 : Sections d’aire maximale d’un
hypercube Agrégation interne 2003 : Lemme de Cantor, th de Riemann,
problème de Dirichlet Mines 2004 : Calcul de l’intégrale ∫
∞
−0 .1arctan dte
ttπ
CCP 2004 : Contre-exemple de Fejér, fonctions à variation
bornée, théorème de Jordan Centrale 2005 : Fonctions presque
périodiques de Bohr X PC 2007 : Convexes, inégalité
isopérimétrique, Steiner-Minkowski, roues ENS 2007 : Fonctions de
Weierstrass et ondelettes E3a 2011 : Equivalent d’une série
trigonométrique
-
3
Problème 1 : Phénomène de Gibbs, toit d’usine Question
préliminaire. Calculer Sn(θ) = cos θ + cos 2θ + … + cos nθ pour θ ∈
R−2πZ. En déduire :
Sn(θ) = )2/sin()2/sin(
θθn
.cos( θ21+n ) =
2sin.2
)21sin(
θθ+n
− 21 =
21 sin(n+1)θ.cotg
2θ − cos2( θ
21+n ) (*)
A. Première partie : étude d’une suite de polynômes
trigonométriques.
On pose, pour n ≥ 1, An(θ) = sin(θ) + 21 sin(2θ) + … +
n1 sin(nθ) .
1) Etudier les variations de An(θ). Montrer que, sur [0, π], An
admet un maximum local aux points
an,k = π112
++
nk , et un minimum local aux points bn,k = πn
k2 , où 0 ≤ k ≤ 2n .
2) Démontrer que An(an,k) − An(an,k−1) ≤ 21 ∫ +
+
+− +
π
π112
112
.2
cot.)1sin(nk
nk
dttantn < 0 .
[ On pourra poser (n + 1).t = 2kπ + u ].
En déduire que les maxima locaux de An diminuent sur [0, π], et
que maxθ∈[0,π] An(θ) = An( 1+nπ ).
3) Vérifier que An( 1+nπ ) = An+1( 1+n
π ) .
En déduire que la suite n → αn = maxθ∈[0,π] An(θ) est
croissante. Montrer à l’aide de sommes de Riemann que, si k est
fixé,
limn→∞ An(an,k) = ∫+ π)12(
0.sin
kdt
tt et limn→∞ An(bn,k) = ∫
πkdt
tt2
0.sin .
4) Constante de Gibbs.
Que vaut G = limn→∞ αn ? Montrer que ∀t ∈ ]0, π[ ttsin > 1 −
π
t ; en déduire G > 2π .
Montrer que G = ∑+∞
=
+
++−0
12
)!12)(12(.)1(
p
pp
ppπ
. En déduire une valeur approchée de G à 10−3
près.
B. Deuxième partie : limite des polynômes An(θθθθ) .
1) Convergence simple.
a) Montrer que ϕ(t) = t1−
)2/sin(.21
t peut être prolongée en une fonction C
1 sur [0, 2π[.
b) En déduire que ∀θ ∈ ]0, 2π[ limn→∞ ∫ +−θ
0.)
21sin().
)2/sin(.211( dttn
tt = 0 .
c) On rappelle que J(x) = ∫x
dtt
t0
.sin tend vers une limite finie I quand x → +∞.
Montrer que ∀θ ∈ ]0, 2π[ limn→∞ An(θ) = I − 2θ , puis que limn→∞
An(θ) = 2
θπ − .
d) Applications : Montrer que :
1 − 31 +
51 −
71 +
91 −
111 + … =
4π .
1 − 21 +
41 −
51 +
71 −
81 + … =
33π .
1 + 21 −
41 −
51 +
71 +
81 + … =
332π .
-
4
2) Convergence uniforme. Reprenant, en le précisant, le calcul
fait en B.1.b), montrer que la convergence de la suite (An) est
uniforme sur tout intervalle [α, 2π−α] (0 < α < π). Est-elle
uniforme sur [0, 2π] ? Sur ]0, 2π[ ? Est-elle dominée ?
Représenter sur un même graphe les fonctions A1(θ), A2(θ), A3(θ)
et 2θπ − sur [0, 2π] .
3) Convergence en moyenne quadratique.
Montrer que la suite (An) converge en moyenne quadratique vers
h(θ) = 2θπ − sur [0, 2π], i.e.
limn→∞ θθθπ
dAh n )]².()([2
0−∫ = 0 . En déduire limn→∞ θθ
πdAn ).(
2
0
2∫ , puis la valeur de ∑+∞
=1 ²1
n n.
4) Soit f une fonction réglée 2π-périodique de R dans C.
Pour tout n ∈ N*, on pose bn = π1 ∫
πθθθ
2
0).sin().( dnf . Montrer que ∑
+∞
=1n
n
nb = π
1 ∫ −π
θθθπ2
0).(.
2df .
C. Troisième partie : applications.
1) Montrer que la fonction B(θ ) = ∑+∞
=1 ²)cos(
n nnθ
est définie et continue sur R. Calculer B(θ).
Soit Bn(θ) = ∑=
n
k kk
1 ²)cos( θ
. Calculer ∫π
θθπ2
0)².(
21 dBn , et en déduire ∑
+∞
=14
1n n
= 90
4π.
2) Montrer que la fonction C(θ) = ∑+∞
=+
1
)sin().11ln(n
nn
θ est définie sur R. En quels points est-elle
continue ? C est-elle continue par morceaux ? __________
Problème sur le phénomène de Wilbraham Gibbs
Quand on développe en série de Fourier une fonction périodique f
discontinue mais C1-par
morceaux, Dirichlet a montré que la série de Fourier de f
converge simplement, en chaque point, vers la demi-somme des
limites à droite et à gauche de f. Mais au voisinage des
discontinuités, la convergence est de mauvaise qualité en raison
d’un phénomène de « grésillement », observé par Wilbraham en 1848
et par Gibbs en 1898, et généralisé par Bôchner en 1906.
Ce problème met en évidence ce phénomène dans le cas particulier
du « toit d’usine ». La somme de
la série trigonométrique ∑+∞
=1
sinn n
nθ a été calculée par Euler en 1744, comme en témoigne une
lettre à
Goldbach. Abel note en 1825 qu’elle fournit un exemple de suite
de fonctions continues tendant simplement vers une fonction
discontinue, réfutant ainsi une erreur de Cauchy.
Question préliminaire. Soit θ ∈ R−2πZ.
Sn(θ) = cos θ + cos 2θ + … + cos nθ = Re ∑=
n
k
ike1
θ = Re θ
θθ
i
nii
eee−
− +
1
)1(
= Re 2/
)12/(
θ
θ
i
ni
ee +
2/2/
2/2/
θθ
θθ
ii
inin
eeee
−−
−
−
= Re θ
21+ni
e)2/sin(2)2/sin(2
θθ
ini
−−
= )2/sin()2/sin(
θθn
.cos( θ21+n )
=
2sin.2
)21sin(
θθ+n
− 21 en vertu de la formule sin a.cos b =
21 [sin(a + b) + sin(a − b)] .
= 21 sin(n+1)θ.cotg
2θ − cos2( θ
21+n ) en notant que sin(n +
21 )θ = sin[(n +1)θ −
2θ ], etc.
-
5
A. Première partie : une suite de polynômes
trigonométriques.
1) Variations de An(θθθθ). La fonction An est (2π)−périodique,
impaire et C
∞ . Il suffit d’étudier ses variations sur [0, π].
Or An’(θ) = Sn(θ) = )2/sin()2/sin(
θθn
.cos( θ21+n ) , forme-produit propice à l’étude du signe.
Or sin2θ est > 0, sin
2θn s’annule en changeant de signe aux points
nkπ2 , cos( θ
21+n ) s’annule en
changeant de signe aux points π112
++
nk ; de plus, les suites
nkπ2 et π
112
++
nk s’entrelacent.
θ 0
1+nπ
nπ2
13+nπ
nπ4 …
1)12(
+−
nk π
nkπ2
1)12(
++
nk π
… π
sin2θn 0 + 0 − 0 (−1)
k−1 0 (−1)k
cos θ21+n + 0 − 0 + 0 (−1)
k 0
An’(θ) n + 0 − 0 + 0 − 0 0 − 0 + 0 An(θ)
Conclusion : Sur [0, π], An admet un maximum local aux points
an,k = π112
++
nk , et un minimum local
aux points bn,k = πnk2 , où 0 ≤ k ≤
2n .
2) Décroissance des maxima locaux sur [0, ππππ].
An(an,k) − An(an,k−1) = ∫ ++
+−
π
π112
112
).('nk
nk n
dttA ≤ 21 ∫ +
+
+− +
π
π112
112
.2
cot.)1sin(nk
nk
dttantn (3ème forme de la dérivée)
= )1(2
1+n ∫
+
− +++
π
πππ du
nkuanku ).
)1(22(cot).2sin( après changement de variable (n+1).t = 2kπ + u
.
= )1(2
1+n ∫
+
− ++π
ππ du
nkuanu ).
)1(22(cot).sin( =
)1(21+n ∫ ∫
+
− +++
π
ππ
0
0).
)1(22(cot).sin( dun
kuanu .
Posons v = − u dans la seconde intégrale, puis u = v, autrement
dit « plions » l’intégrale.
Il vient : )1(2
1+n ∫
+
+−−+
+π ππ0
)].)1(2
2(cot))1(2
2().[cotsin( dun
ukann
ukanu .
Cette intégrale est ≤ 0, car la cotangente décroît sur [0, 2π
].
Elle est même < 0 en tant qu’intégrale d’une fonction
continue, négative et non nulle.
Bilan : An(an,1) > An(an,2) > … > An(an,k) > ... Les
maxima locaux de An diminuent entre 0 et π.
En particulier Max θ∈[0,π] An(θ) = An( 1+nπ ) .
Remarques : 1) Plusieurs variantes existent. Le célèbre
Jean-Nicolas Dénarié l’a montrée en utilisant la seconde formule de
la moyenne. On peut aussi intégrer par parties. 2) On pourrait de
même étudier la suite des minima locaux : ils diminuent aussi.
3) Croissance des maxima globaux, limites des extrema
locaux.
• Tout d’abord, An( 1+nπ ) = ∑
= +n
k nk
k1)
1sin(1 π = ∑
+
= +1
1
)1
sin(1n
k nk
kπ = An+1( 1+n
π ).
-
6
Donc αn+1 = Max θ∈[0,π] An+1(θ) ≥ An+1( 1+nπ ) = An( 1+n
π ) = αn .
La suite des maxima globaux est croissante.
• Limites des k-ièmes extrema locaux. Notant f(t) = t
t)sin(, qui est continue en 0, il vient :
An(an,k) = An( π112
++
nk ) = ∑
= ++n
p npk
p1)
1)12(sin(1 π = π
112
++
nk ∑
= ++n
p npkf
1
)1)12(( π tend vers ∫
+ π)12(
0).(
kdttf
quand n → +∞, comme somme de Riemann de f associée à la
subdivision ( πpnk
112
++ )1≤p≤n de [0,
(2k+1)π], dont le pas tend vers 0.
An(bn,k) = An( nkπ2 ) = ∑
=
n
p nkp
p1)2sin(1 π =
nkπ2 ∑
=
n
p nkpf
1
)2( π tend vers ∫πk
dttf2
0).( quand n → +∞,
comme somme de Riemann de f associée à la subdivision (1
2+n
kpπ )1≤p≤n de [0, 2kπ].
Conclusion : limn→∞ An(an,k) = ∫+ π)12(
0.sin
kdt
tt et limn→∞ An(bn,k) = ∫
πkdt
tt2
0.sin .
4) Constante de Wilbraham-Gibbs.
a) Il découle de 3) que G = limn→∞ αn = limn→∞ An(an,0) = ∫π
0.sin dt
tt .
L’inégalité ∀t ∈ ]0, π[ t
tsin > 1 − πt s’écrit aussi sin t − t + π
²t > 0.
Elle se montre en étudiant les variations de f(t) = sin t − t +
π²t sur ]0, π[.
Maple confirme que sin x est au-dessus de la parabole x − π²x
sur [0, π].
> with(plots):f:=plot(sin(x),x=0..Pi,color=blue,thickness=2):
g:=plot(x-x^2/Pi,x=0..Pi):display({f,g});
Par suite, la fonction
ttsin − 1 + π
t est continue positive et non nulle sur [0, π].
Son intégrale est > 0 par le lemme aux 9 hypothèses, donc G
> 2π .
b) Valeur approchée de G. Je dis que G = ∫ ∑ +−+∞
=
π
0
2
0
.)!12(
)1( dtpt p
p
p = ∑+∞
=
+
++−0
12
)!12)(12()1(
p
pp
ppπ
.
En effet, la série ∑+∞
= +−
0
2
)!12()1(
p
pp
pt
est normalement convergente sur le segment [0, π].
La série obtenue obéit au critère des séries alternées, et est
très rapidement convergente.
| G −∑=
+
++−n
p
pp
pp0
12
)!12)(12()1(
π| ≤
)!32)(32(
32
+++
nn
nπ ≤ 10−3 pour n = 5, ≤ 10−8 pour n = 10. D’où :
G ≈ 1,852 à 10−3 près, et G ≈ 1,85193705 à 10−8 près.
-
7
Avec Maple : >
Digits:=10;u:=k->Pi^(2*k+1)/((2*k+1)*(2*k+1)!);
s:=n->sum((-1)^k*u(k),k=0..n); evalf(Si(Pi)); >
evalf(u(5));evalf(s(5));evalf(u(10));evalf(s(10));
> for n from 0 to 10 do evalf(s(n));od;
B. Deuxième partie : convergence des polynômes An(θθθθ) vers le
toit d’usine.
1) Convergence simple.
a) La fonction ϕ(t) = t1 −
)2/sin(.21
t est C
∞ sur ]0, 2π[.
Un développement limité de ϕ(t) en 0 donne ϕ(t) = −24t + O(t3)
.
Donc ϕ peut être prolongée par continuité en 0 par ϕ(0) = 0, et
alors ϕ’(0) = − 241 .
Un développement limité de ϕ’(t) en 0 donne ϕ’(t) = −241 + O(t2)
.
Donc, après prolongement, ϕ est de classe C1 sur [0, 2π[. >
phi:=t->1/t-1/(2*sin(t/2));series(phi(t),t=0,3); >
D(phi)(t);series(D(phi)(t),t=0,4);
Autre solution : ϕ est développable en série entière au
voisinage de 0, donc C∞ au V(0).
En effet, par réduction au même dénominateur ϕ(t) = )2/sin(2
)2/sin(2tt
tt − =
)(²)(3
tBttAt
= t)()(
tBtA
, où A(t) et B(t)
sont des séries entières de rayon de convergence infini, et B(0)
= 1. )()(
tBtA
est DSE au V(0).
b) Montrons que ∀θ ∈ ]0, 2π[ limn→∞ ∫ +−θ
0.)
21sin().
)2/sin(.211( dttn
tt = 0 .
Fixons θ ∈ ]0, 2π[. Une intégration par parties donne :
∫ +θϕ
0.)
21sin().( dttnt =
θ
ϕ0
2/1)2/1cos()(
++−
ntnt + ∫ +
+θϕ0 2/1
))2/1cos(().(' dtn
tnt
donc |∫ +θϕ
0.)
21sin().( dttnt | ≤
2/12+nM +
2/11
+n ∫θϕ
0.)(' dtt , où M = supt∈[0, θ] | ϕ(t) |.
Remarque : Ce résultat est un cas particulier du lemme de
Riemann-Lebesgue, qui s’énonce ainsi :
• Si f : [a, b] → C est réglée, alors lim x→±∞ ∫b
adtxttf ).sin().( = 0 , et, plus généralement encore :
• Si f : [a, b] → C est réglée, et p : R → C réglée T-périodique
(T > 0), alors :
lim x→±∞ ∫b
adtxtptf ).().( = ∫ )( ).(
1T
dttpT ∫
b
adttf ).( .
c) Convergence simple de (An(θ)) vers le « toit d’usine ».
− + 124
t ( )O t3 − + 124
( )O t2− + 1t2
14
cos
12
t
sin
12
t2
.0006700391779 1.851902598.256793556110-10 1.851937052
3.141592654 1.419021727 1.929054535 1.843445316 1.852572637
1.851902598 1.851938467 1.851937006 1.851937053 1.851937052
1.851937052
-
8
Fixons θ ∈ ]0, 2π[. An(θ) = ∫θ
0).(' dttAn = ∫
θ
0[
2sin.2
)21sin(
t
tn+ −
21 ].dt = ∫
θ
0
2sin.2
)21sin(
t
tn+.dt −
2θ
= ∫ +θ
0))
21sin(( tn [
2sin.21
t−
t1].dt + dt
t
tn.
)21sin(
0∫+θ
− 2θ .
La première intégrale tend vers 0 quand n tend vers +∞, en vertu
de B.1.b).
La seconde vaut duu
un .)sin()2/1(
0∫+ θ
. Elle tend vers I. Du coup, An(θ) tend vers I − 2θ .
Pour évaluer I, prenons θ = π ; An(π) = 0, donc I = 2π .
∀θ ∈ ]0, 2π[ limn→∞ An(θ) = ∑+∞
=1
)sin(n n
nθ =
2θπ − .
La suite (An(θ)) tend simplement sur R vers la fonction h
2π-périodique définie par :
h(0) = 0 , h(θ) = 2θπ − pour θ ∈ ]0, 2π[ .
d) Applications :
Si l’on particularise θ, on obtient une foule de valeurs de
séries numériques.
θ = 2π donne 1 −
31 +
51 −
71 + … =
4π , résultat déjà connu.
θ = 3
2π donne 1 − 21 +
41 −
51 +
71 −
81 + … =
33π .
θ = 3π donne 1 +
21 −
41 −
51 +
71 +
81 + … =
332π .
θ = 6π et
65π donnent également des résultats intéressants. Notons Sp =
∑
+∞
= +−
06)1(
k
k
pk pour 1 ≤ p ≤ 6.
θ = 6π donne
21 (S1 + S5) + 2
3 (S2 + S4) + S3 = 125π .
θ = 6
5π donne 21 (S1 + S5) − 2
3 (S2 + S4) + S3 = 12π .
Or S3 = 12π ; donc S1 + S5 = 3
π et S2 + S4 = 33
π .
Maple confirme ces résultats mais passe par la fonction
eulérienne ψ. >
S:=p->sum((-1)^k/(6*k+p),k=0..infinity);S(p);
> for p from 1 to 6 do S(p);od;
> S(1)+S(5);S(2)+S(4); 2) Etude de la convergence uniforme.
Reprenons le calcul fait en B.1.b).
:= S → p ∑ = k 0
∞ ( )-1 k
+ 6 k p −
112
Ψ +
12
112
p112
Ψ
112
p
− 112
Ψ
712
112
Ψ
112
+ 118
π 316
( )ln 2112
π
− + 16
( )ln 2118
π 3 − 112
Ψ
1112
112
Ψ
512
16
( )ln 2
− + − 112
Ψ
712
112
Ψ
112
112
Ψ
1112
112
Ψ
512
19
π 3
-
9
D’une part duu
un .)sin()2/1(
0∫+ θ
→ I = 2π uniformément en θ si θ ≥ α > 0.
D’autre part ∫ +θϕ
0.)
21sin().( dttnt → 0 uniformément en θ sur [α, 2π−α] (0 < α
< π).
car |∫ +θϕ
0.)
21sin().( dttnt | ≤ |
θ
ϕ0
2/1)2/1cos()(
++−
ntnt | + |∫ +
+θϕ0 2/1
))2/1cos(().(' dtn
tnt |
≤ 2/1
2+nM +
2/11
+n ∫−απ
ϕ2
0.)(' dtt , où M = supt∈[0, 2π−α] |ϕ(t)|.
Du coup, la convergence de la suite (An) est uniforme sur tout
intervalle [α, 2π−α] (0 < α < π). La convergence n’est pas
uniforme sur [0, 2π], car la limite est discontinue.
Elle n’est pas davantage uniforme sur ]0, 2π[, car supθ∈]0, 2π[
| An(θ) − h(θ) | = G − 2π .
Mais elle est dominée, car (∀n) (∀θ) |An(θ)| ≤ G.
Remarque : On peut aussi démontrer la convergence uniforme de
(An) sur tout segment [α, 2π−α] (0 < α < 2π), au moyen d’une
transformation d’Abel.
3) Montrons que (An) converge en moyenne quadratique vers h(θ) =
2θπ − sur [0, 2π].
En effet An(θ) − h(θ) tend simplement vers 0, et il y a
domination |An(θ) − h(θ) | ≤ 2G.
En vertu du théorème de convergence dominée, limn→∞ θθθπ
dAh n )]².()([2
0−∫ = 0 .
Du coup, θθπ
dAn ).(2
0
2∫ = 2 θθθπ
dAh n ).()(2
0∫ − θθπ
dh ).(2
0
2∫ + o(1) → θθπ
dh )².(2
0∫ = 12²π ,
toujours par convergence dominée ( ou bien via | || f ||2 − || g
||2 | ≤ || f − g ||2 ).
Par ailleurs, θθπ
dAn ).(2
0
2∫ = 21 ∑
=
n
k k1 ²1 en vertu des relations d’orthogonalité des sinus.
Conclusion : ∑+∞
=1 ²1
n n =
6²π .
Remarques : 1) (An) converge aussi en moyenne vers h(θ). Dans
l’un et l’autre cas, il s’agit de la convergence dominée « du
pauvre », que l’on peut justifier par cassage en deux de
l’intégrale. 2) On retrouve tout ceci en développant en série de
Fourier la fonction h : comme fonction réglée, elle obéit à
Parseval ; comme fonction C
1 par morceaux, elle obéit à Dirichlet.
4) Soit f une fonction réglée 2π-périodique de R dans C.
Pour tout n ∈ N* , on pose bn = π1 ∫
πθθθ
2
0).sin().( dnf .
π1 ∫ −
πθθθπ
2
0).(.
2df = π
1 ∫ ∑+∞
=
πθθθ
2
0 1
).(.)sin( dfnn
n
= π1 ∫∑
+∞
=
πθθθ
2
01
).().sin(1 dfnnn
= ∑+∞
=1n
n
nb
en vertu du théorème de convergence dominée appliqué à la suite
de fonctions (An(θ).f(θ)), puisque | An(θ).f(θ) | ≤ G || f ||∞
.
C. Troisième partie : applications.
1) La fonction B(θθθθ) = ∑+∞
=1 ²)cos(
n nnθ .
La série trigonométrique ∑+∞
=1 ²)cos(
n nnθ converge normalement sur R, car |
²)cos(
nnθ | ≤
²1n
.
-
10
Elle est donc absolument et uniformément convergente. Sa somme
B(θ) est donc définie et continue sur R. B est bien sûr paire et
2π-périodique. Calculons B(θ) par deux méthodes : 1ère méthode :
Fixons θ ∈ ]0, 2π[.
Par convergence uniforme de∑+∞
=1
)sin(n n
nθ sur [π, θ] ou [θ, π], on a ∫ ∑
+∞
=
θ
π 1.)sin(
n
dtnnt
= ∑∫+∞
=1.)sin(
n
dtnntθ
π
Le premier membre vaut ∫ −θ
ππ dtt.2
= − 4
)²( θπ −.
Le second membre vaut ∑+∞
=
−+−1 ²
)1()cos(
n
n
nnθ
= − B(θ) + ∑+∞
=
−1 ²
)1(
n
n
n = − B(θ) −
12²π . Ainsi :
∀θ ∈ ]0, 2π[ B(θ) = 4²θ −
2πθ +
6²π , B(0) = B(2π) =
6²π .
On a évité la difficulté en 0 car il n’y pas convergence
uniforme de ∑+∞
=1
)sin(n n
nθ au voisinage de 0.
2ème méthode : Fixons θ ∈ [0, 2π]. La série ∑+∞
=1
)sin(n n
nθ obéit au théorème de convergence dominée
sur [0, θ], car ses sommes partielles sont bornées en valeur
absolue par la constante de Gibbs et convergent simplement vers une
fonction continue par morceaux (il y a même convergence dominée
du pauvre). On peut donc écrire : ∫ ∑+∞
=
θ
0 1
.)sin(n
dtnnt
= ∑∫+∞
=1 0.)sin(
n
dtnntθ
, c’est-à-dire :
Le premier membre vaut ∫ −θ π0
.2
dtt = −4²θ +
2πθ , le second vaut : ∑
+∞
=
−1 ²
)cos(
n nnθ = − B(θ). Cqfd.
Application au calcul de ζ(4).
Soit Bn(θ) = ∑=
n
k kk
1 ²)cos( θ
la somme partielle de cette série trigonométrique.
On a ∫π
θθπ2
0)².(
21 dBn = 2
1 ∑=
n
k k1 41 en vertu des relations d’orthogonalité des cos kθ.
Par convergence uniforme, cette suite tend vers ∫π
θθπ2
0)².(
21 dB . C’est Parseval !
Donc ∑+∞
=14
1n n
= ∫π
θθπ2
0)².(1 dB =
90
4π , après calculs, si l’on en croit Maple :
>
B:=theta->theta^2/4-Pi/2*theta+Pi^2/6;1/Pi*int(B(theta)^2,theta=0..2*Pi);
190
π4
2) La fonction C(θθθθ) = ∑+∞
=+
1
)sin().11ln(n
nn
θ .
Procédons par superposition (i.e. par linéarité) : écrivons ln(1
+ n1 ) =
n1 + an , où an = O( ²
1n
).
Ainsi, C(θ) = ∑+∞
=1
)sin(
n nnθ + ∑
+∞
=1)sin(.
n
n na θ = h(θ) + k(θ), où h est la dent de scie étudiée en I et
II, et
k est la somme d’une série trigonométrique normalement
convergente. Donc C est continue par morceaux sur R, continue sur
R−2πZ, discontinue en les 2kπ, avec un saut égal à π, car C(0+) −
C(0−) = π.
NB : On a même C(θ) = ∑+∞
=1
)sin(
n nnθ −−−−
21 ∑
+∞
=1 ²)sin(
n nnθ + ∑
+∞
=1)sin(.
n
n nb θ , où bn = O( 31n ).
Ainsi C est la somme de deux séries trigonométriques qui se
calculent élémentairement, et d’une fonction 2π-périodique de
classe C1.
-
11
Avec Maple :
>with(plots):f:=x->Pi/2-x/2+floor(x/(2*Pi))*Pi; >
S:=(n,x)->sum(sin(k*x)/k,k=1..n);
>
p:=n->plot(S(n,x),x=-2*Pi..2*Pi,thickness=2,color=COLOR(HUE,0.15*n)):
g:=plot(f(x),x=-2*Pi..2*Pi,colour=black,thickness=2): >
display([g,seq(p(n),n=0..9)]);
> with(plots): > G:=Si(Pi);evalf(G); >
plot([sin(t)/t,1-t/Pi],t=0..Pi,thickness=2);
> F:=t->t-2*Pi*floor(t/(2*Pi));
g:=t->F(t)^2/4-Pi*F(t)/2+Pi^2/6;B:=(n,t)->sum(cos(k*t)/k^2,k=1..n);
>
p:=plot(g(t),t=-3*Pi..3*Pi,color=black,thickness=2):q:=n->plot(B(n,t),t=-3*Pi..3*Pi,color=COLOR(HUE,0.3*n),thickness=2);
> display({p,seq(q(n),n=1..6)});
>
C:=(n,t)->sum(ln(1+1/k)*sin(k*t),k=1..n):r:=n->plot(C(n,t),t=-Pi..3*Pi,color=COLOR(HUE,0.1*n),thickness=3);
> display(seq(r(n),n=1..6));
:= f → x − + 12
π12
x
floor
12
xπ π
:= S → ( ),n x ∑ = k 1
n ( )sin k xk
1.851937052
:= G ( )Si π
:= g → t − + 14
( )F t 212
π ( )F t16
π2 := F → t − t 2 π
floor
12
tπ
:= B → ( ),n t ∑ = k 1
n ( )cos k t
k2
-
12
Références :
Mathsoft : Constante de Wilbraham-Gibbs ____________ Problème 2
: Phénomène de Gibbs, onde carrée (énoncé à revoir, et
terminer)
A. Première partie : étude d’une suite de polynômes
trigonométriques.
On pose, pour n ≥ 1, Sn(θ) = sin θ + 3)3sin( θ
+ … + 12
))12sin((−−
nn θ
.
1) a) Réduire l’intervalle d’étude de Sn(θ) .
b) Calculer Sn’(θ). On trouvera Sn’(θ) = θθ
sin.2)2sin( n
pour θ ≠ kπ.
c) Etudier les variations de Sn(θ) sur [0, π].
On notera an,k = πnk2
12 + et bn,k = πnk
22 , où 0 ≤ k ≤
2n .
d) Représenter sur un même graphe Sn(θ) sur [−π, π], pour 1≤ n ≤
10, avec Maple.
2) a) Démontrer que si 1 ≤ k ≤ [21−n ] , Sn(an,k) − Sn(an,k−1) ≤
2
1 ∫−
kn
kn
a
adt
tnt,
1,
.sin2
)2sin( < 0 .
En déduire que les maxima locaux de Sn diminuent entre 0 et 2π ,
et maxθ∈[0,π/2] Sn(θ) = Sn( n2
π ).
b) Démontrer de même que si 2 ≤ k ≤ [2n ] , Sn(bn,k) −
Sn(bn,k−1) > 0 .
En déduire que les minima locaux de Sn croissent entre 0 et 2π ,
et minθ∈[π/2n,π/2] Sn(θ) = Sn( n
π ).
3) A l’aide de sommes de Riemann, établir pour tout k ∈ N :
limn→∞ Sn(an,k) = 21 ∫
+ π)12(
0.sin
kdt
tt et limn→∞ Sn(bn,k) = 2
1 ∫πk
dtt
t20
.sin .
En déduire les limites des suites αn = maxθ∈[0,π/2] Sn(θ) et βn
= minθ∈[π/2n,π/2] Sn(θ) .
4) Constante de Gibbs.
Que vaut G = limn→∞ αn ? Montrer que ∀t ∈ ]0, π[ ttsin > 1 −
π
t ; en déduire G > 2π .
Obtenir un développement en série de G. En déduire une valeur
approchée de G à 10−3
près.
B. Deuxième partie : limite des polynômes An(θθθθ) .
1) a) Montrer que ϕ(t) = t1−
tsin1 peut être prolongée en une fonction C1 sur [0, 2π[.
b) Montrer que ∀θ∈]0, π[ limn→∞ ∫ −θ
0).2sin().
sin.21
21( dtnt
tt = 0 .
c) On rappelle que l’intégrale impropre I = ∫+∞
0.sin dt
tt converge.
Montrer que ∀θ ∈ ]0, 2π[ limn→∞ An(θ) = I − 2θ , puis limn→∞
An(θ) = 2
θπ − .
2) Reprenant, en le précisant, le calcul fait en B.1.b), montrer
que la convergence de la suite (An) est uniforme sur tout
intervalle [α, 2π−α] (0 < α < π). Est –elle uniforme sur [0,
2π] ? Sur ]0, 2π[ ?
Représenter sur un même graphe les fonctions A1(θ), A2(θ), A3(θ)
et 2θπ − sur [0, 2π] .
-
13
3) Montrer que la suite (An) converge en moyenne quadratique
vers h(θ) = 2θπ − sur [0, 2π], i.e.
limn→∞ θθθπ
dAh n )]².()([2
0−∫ = 0 . En déduire limn→∞ θθ
πdAn ).(
2
0
2∫ , puis la valeur de ∑+∞
=1 ²1
n n.
___________
Solution Avec Maple : >
with(plots):f:=x->(-1)^floor(x/Pi); >
S:=(n,x)->(4/Pi)*sum(sin((2*k+1)*x)/(2*k+1),k=0..n);
:= S → ( ),n x 4∑ = k 0
n ( )sin ( ) + 2 k 1 x + 2 k 1
π
>
p:=n->plot(S(n,x),x=-5..5,thickness=2,color=COLOR(HUE,0.15*n)):g:=plot(f(x),x=-5..5,colour=black,thickness=2):
> display([g,seq(p(n),n=0..9)]);
Références :
Mathsoft : Constante de Wilbraham-Gibbs ____________
-
14
Problème 3 : Contre-exemple de Fejér (1905)
Soit f : R → R la fonction paire, 2π-périodique, vérifiant ∀x ∈
[0, π] f(x) = ∑+∞
=+
1
)2
)12sin((.²
1 3
p
p xp
.
1) a) Vérifier que f est définie et continue sur R.
b) Représenter graphiquement la fonction f sur [0, 2π], avec
Maple, à l’aide des premières sommes partielles de la série
précédente.
2) On pose, pour p, k et q entiers naturels : Ip,k = ∫ +π
0).
212sin().cos( dttkpt et Tq,k = ∑
=
q
pkpI
0, .
a) Calculer l’intégrale Ip,k .
b) Déterminer un réel positif ck tel que Tq,k = ck + ∑+
−= +qk
qkj j 121 , et en déduire que Tq,k ≥ 0.
c) Déterminer un équivalent simple de ∑= +N
k k0 121 quand N tend vers +∞.
d) En déduire que Tk,k ∼ 2lnk quand k tend vers +∞.
3) Montrer que pour tout entier naturel non nul p, ap(f) = π2
∑
+∞
=−
1 2,13.²
1n p
nIn.
4) Soit Sn(x) = 2)(0 fa + ∑
=
n
kk kxfa
1
)cos().( la somme partielle d’indice p de la série de Fourier de
f.
Montrer que pour tout entier p ≥ 1, 132
−pS (0) ≥ − 2)(0 fa +
²2pπ 1313 2,2 −− pp
T .
[ On remarquera que 20a + ∑
=
N
kka
1
= −20a + ∑
=
N
kka
0
.] Conclure que la suite (Sn(0)) diverge.
__________ Solution
On se propose d’indiquer une fonction continue 2π-périodique de
R dans R dont la série de Fourier diverge en 0. Il s’agit de la
fonction f : R → R paire, 2π-périodique, vérifiant :
∀x ∈ [0, π] f(x) = ∑+∞
=+
1
)2
)12sin((.²
1 3
p
p xp
.
1) a) La série trigonométrique ∑+∞
=+
1
)2
)12sin((.²
1 3
p
p xp
converge normalement sur [0, π].
Sa somme est donc continue sur ce segment.
b) Représentons graphiquement, avec Maple, les premières sommes
partielles sur [0, 2π]. >
with(plots):f:=(n,x)->1/n^2*sin(abs(x)/2*(2^(n^3)+1));s:=(n,x)->sum(f(p,x),p=1..n);
> p:=n->plot(s(n,x),x=-Pi..Pi,numpoints=1000,
color=COLOR(HUE,0.5*n));display({p(1),p(2)});
:= f → ( ),n x
sin
12
x ( ) + 2( )n3
1
n2 := s → ( ),n x ∑
= p 1
n
( )f ,p x
-
15
2) Les intégrales Ip,k = ∫ +π
0).
212sin().cos( dttkpt et les sommes Tq,k = ∑
=
q
pkpI
0, .
a) Ip,k = 21 ∫ +−+++
π
0)].).
21sin(()).
21[sin(( dttpktpk =
1221
++ pk + 1221
+− pk .
b) Tq,k = ∑= ++q
p pk0 1221 + ∑
= +−q
p pk0 1221 = ck + ∑
+
−= +qk
qkj j 121 , où ck = 12
1+k . On en déduit Tq,k ≥ 0.
c) Montrons que : ∑= +N
k k0 121 ∼
2lnN quand N tend vers +∞.
En effet, on sait que HN = ∑=
N
k k11 = ln N + γ + o(1). Donc ∑
= +N
k k0 121 = H2N − 2
1 HN + 121+N = ….
Variante : ∑= +N
k k0 121 = 1 + ∑
= +N
k k1 121 ∼
21 ∑
=
N
k k11 ∼
21 ln N en vertu du T.S.R.C.
d) Conclusion : Tk,k = 121+k + ∑= +
k
j j
2
0 121 ∼
21 ln(2k) ∼
2lnk quand k tend vers +∞.
3) Pour tout entier p ≥ 1 : ap(f) = π2 ∫
π
0).cos().( dxpxxf = π
2 ∑+∞
=−
1 2,13.²
1n p
nIn.
L’échange de limites vient de ce que ∑+∞
=+
1
)2
)12sin((.²
1 3
n
n xn
cos(px) converge normalement sur [0, π].
4) Prenons n de la forme n = 13
2−p
.
Alors : Sn(0) = 2)(0 fa + ∑
=
n
kk fa
1
)( = −2
)(0 fa + ∑=
n
kk fa
0
)( = −2
)(0 fa + π2 ∑
=
n
k 0∑+∞
=−
1 2,13.²
1h k
hIh
= −2
)(0 fa + π2 ∑
+∞
=−
1 2,13.²
1h n
hTh ≥ −
2)(0 fa +
²2pπ 1313 2,2 −− pp
T , en minorant les autres Tr,s par 0.
En vertu de 2.d), ²
2pπ 1313 2,2 −− pp
T ∼ π2ln
²13
pp −
.
La suite 132
−pS (0) tend vers +∞ par entraînement, donc la suite (Sn(0))
diverge.
Références :
A. Guichardet : Calcul intégral, 3.9.7 p. 125 (Armand Colin)
J.–M. Arnaudiès, H. Fraysse : Cours, t. 3, n° 25 p. 145 (Dunod) CCP
MP 2004, Maths I, 2ème partie
__________
-
16
Problème 4 : Un développement en série de Fourier
Soient a > 0, et f la fonction définie sur R par : f(x) =
∑+∞
−∞= −+n nxa )²2(²1
π .
1) Montrer que f est définie, continue, périodique et paire.
2) Exprimer les coefficients de Fourier de f sous la forme
d’intégrales an(f) = ∫+∞
∞−dt... .
3) Pour tout x réel, on pose F(x) = ∫+∞
∞− + dttxt .²1
)cos(.
a) Montrer que F est définie, continue et paire.
b) Montrer que F est C1 sur ]0, +∞[, et que ∀x > 0 F’(x) =
−2∫
+∞
+0 .²1)sin(. dt
txtt
( intégrale semi-convergente ).
c) On admet que ∫+∞
0.sin du
uu =
2π . Montrer que ∀x > 0 π + F’(x) = 2∫
+∞
+0 .²)1()sin( dt
ttxt
.
d) En déduire que F est de classe C2 sur ]0, +∞[, et que ∀x >
0 F’’(x) = F(x).
e) Quelles sont les limites de F et de F’ en 0+ ? Conclure que
∀x ∈ R F(x) = π e−|x| .
4) a) Expression élémentaire des coefficients an(f) ?
Développement en série de Fourier de f ?
b) Préciser le lien entre f et sa série de Fourier.
c) Expression élémentaire de la fonction f . Cas où x = 0 ?
__________ Solution 1) Une fonction définie comme somme d’une
série.
Fixons x réel. La série
∑+∞
−∞= −+n nxa )²2(²1
π = ²²1
xa + + ))²2(²1
)²2(²1(
1 ππ nxanxan +++−+∑
+∞
= = ∑
+∞
=0)(
n
n xu
est à termes positifs et convergente (règle de
l’équivalent).
Sa somme est paire, car les un(x) sont paires, et 2π-périodique
(réindexer la somme sur Z). Il y a convergence normale sur [−2π,
2π], ce qui assure la continuité sur [−2π, 2π], donc sur R par
périodicité. En effet pour n ≥ 2 et |x| ≤ 2π : | x ± 2nπ | = | 2nπ
± x | ≥ 2nπ − | x | ≥ 2(n − 1)π. Donc 0 ≤ un(x) ≤ ²)²1(4²
2π−+ na . Cqfd.
Remarque : On peut montrer dès à présent que f est C∞
. Il faut pour cela la présenter sous la forme :
f(x) = ia21 ∑
+∞
−∞= −−n ianx π21( −
ianx +− π21 )
et lui appliquer le théorème de dérivation terme à terme des
séries.
2) Coefficients de Fourier de f .
Par parité, les bn(f) sont tous nuls. Et, pour tout n ∈ N,
an(f) = dxkxanx
k
.)²2(²
)cos(1 20∫ ∑
+∞
−∞= −+π
ππ = π1 ∑∫
+∞
−∞= ++kdx
kxanx .
)²2(²)cos(2
0 ππ
= π1 ∑∫
+∞
−∞=
+
+kk
kdu
uanu .
²²)cos()1(2
2
π
π = π
1 ∫+∞
∞− + duuanu .
²²)cos(
= πa1 ∫
+∞
∞− + dttnat .²1
)cos( .
-
17
3) Une transformée de Fourier intégrale : F(x) = ∫+∞
∞− + dttxt .²1
)cos(.
Le calcul de F est aisé si l’on utilise la formule d’inversion
de Fourier. Si l’on procède élémentai-rement, c’est assez délicat,
car on tombe sur des intégrales semi-convergentes.
a) F est définie, continue et paire.
Pour tout x, la fonction t → ²1
)cos(txt
+ est continue et intégrable sur R, car | ²1)cos(
txt
+ | ≤ ²11t+ .
La fonction g : (x, t) → ²1
)cos(txt
+ est continue en x, continue en t et |g(x, t)| ≤ ²11t+ .
En vertu du théorème de convergence dominée, F est continue. De
plus, elle est évidemment paire.
b) F est C1 sur ]0, +∞[, et ∀x > 0 F’(x) = − 2∫
+∞
+0 .²1)sin(. dt
txtt .
Formellement, F(x) = 2∫+∞
+0 .²1)cos( dt
txt
et F’(x) = − 2∫+∞
+0 .²1)sin(. dt
txtt
, mais le théorème de dérivation
des intégrales à paramètres ne s’applique pas car l’intégrale
∫+∞
+0 .²1)sin(. dt
txtt
est semi-convergente.
En effet, il n’y a pas de problème en 0 et ²1
)sin(.txtt
+ = txt)sin(
+ O(²1t
) au V(+∞).
Revenons alors aux segments, et considérons la suite de
fonctions : Fn(x) = 2∫ +n
dttxt
0.
²1)cos(
.
Ces fonction sont C1 et Fn’(x) = − 2∫ +
ndt
txtt
0.
²1)sin(.
→ G(x) = − 2∫+∞
+0 .²1)sin(. dt
txtt
.
De plus, la convergence est uniforme sur toute demi-droite [a,
+∞[, a > 0.
Par parties : G(x) – Fn’(x) = − 2∫+∞
+n dttxtt .²1
)sin(. = − 2
²)1()cos(.
nxnxn
+ − 2∫+∞
+−
ndt
tt
xxt .
²)²1(²1.)cos(
D’où : | G(x) – Fn’(x) | ≤ a2
²1 nn
+ + a2 ∫
+∞
+−
ndt
tt .²)²1(²1 → 0 uniformément en x.
Le théorème de dérivation des suites de fonctions s’applique et
dit que F est C1 et a pour dérivée G.
Remarque : Aurélien Doitrand évite tout cela en intégrant par
parties directement :
F(x) = 2∫+∞
+0 .²1)cos( dt
txt
= x4 ∫
+∞
+0 .²)²1()sin(. dt
txtt
.
Sous cette forme, il est facile de montrer que F est C1 .
c) Admettant que ∫+∞
0.sin du
uu =
2π , montrons que ∀x > 0 π + F’(x) = 2∫
+∞
+0 .²)1()sin( dt
ttxt
.
En effet : π + F’(x) = 2∫+∞
0.sin dt
txt − 2∫
+∞
+0 .²1)sin(. dt
txtt
= 2∫+∞
+0 .²)1()sin( dt
ttxt
.
d) Montrons que F est de classe C2 sur ]0, +∞[, et que ∀x > 0
F’’(x) = F(x).
C’est ici plus facile, car h(x, t) = ²)1()sin(
ttxt
+ a pour dérivée partielle ),( txxh
∂∂ =
²1)cos(
txt
+ .
Elles admettent des majorantes intégrables, la première sur [0,
A], car |h(x, t)| ≤ ²)1( tt
xt+ ≤ ²1 t
A+ , la
seconde sur R. Le théorème de dérivation s’applique et
conclut.
e) Il découle de a) que F(x) est continue en 0 et F(0) = π.
De plus | π + F’(x) | ≤ 2∫+∞
+0 .²)1( dtttxt = πx , donc F’(x) → −π quand x → 0.
Donc si x > 0 , F(x) = a.ch x + b.sh x = π.(ch x – sh x) =
π.exp x . Par parité, il vient :
-
18
∀x ∈ R ∫+∞
∞− + dttxt .²1
)cos( = π e−|x| .
4) Développement de f en série de Fourier.
a) On a vu en 2) que an(f) = πa1 ∫
+∞
∞− + dttnat .²1
)cos( = πa
1 F(na) = a1 e−na .
Conclusion : f(x) ∼ a21 ∑
+∞
−∞=
−
n
inxna ee . = a21 +
a1 ∑
+∞
=
−
1
)cos(.n
an nxe .
b) Lien entre f et sa série de Fourier. Cette série est
normalement convergente, donc est son propre développement de
Fourier. Comme f est continue, par Parseval, la somme g de cette
série est égale à f. Ainsi :
f(x) = ∑+∞
−∞= −+n nxa )²2(²1
π = a21 ∑
+∞
−∞=
−
n
inxna ee . = a21 +
a1 ∑
+∞
=
−
1
)cos(.n
an nxe
Mais la série obtenue se calcule élémentairement, et vaut, après
calculs : a21
xchasha
cos− .
Pour tout a > 0 et tout réel x :
∑+∞
−∞= −+n nxa )²2(²1
π = a21 ∑
+∞
−∞=
−
n
inxna ee . = a21 +
a1 ∑
+∞
=
−
1
)cos(.n
an nxe = a21
xchasha
cos− .
En particulier, si x = 0, il vient :
∑+∞
−∞= +n na ²²4²1
π = a21 +
a1 ∑
+∞
=
−
1n
ane = a21
1−chasha =
a21 coth
2a .
Références :
J.-M. Arnaudiès, Problèmes de préparation à l’agrégation de
maths, tome 4, Ellipses _________
Problème 5 : Formule de Parseval, via le noyau de Poisson On
admettra les formules suivantes, pour (k, n) ∈ N×N :
• ∫ )2( ).cos().cos(π θθθ dnk = 2π si k = n = 0 , π si k = n ≥ 1
, 0 si k ≠ n.
• ∫ )2( ).sin().sin(π θθθ dnk = π si k = n ≥ 1 , 0 si k ≠ n.
• ∫ )2( ).cos().sin(π θθθ dnk = 0. où (2π) désigne un segment
quelconque de longueur 2π.
A. Première partie.
Soient (a0 , a1 , a2 , … ) et (b1 , b2 , … ) deux suites
réelles, telles que la série
20a + ))sin(.)cos(.(
1
θθ nbna nnn
+∑+∞
= converge uniformément sur R.
1) Montrer que si S(θ) est la somme de cette série, alors :
an = ∫ )2( ).cos()(1
πθθθπ dnS et bn = ∫ )2( ).sin()(
1π
θθθπ dnS
2) Montrer que :
∫ ∑=
++−)2( 1
0 ]².))sin(.)cos(.(2
()([π
θθθθ dkbkaaSn
kkk = ∫ )2( )².(π θθ dS − π [ 2
20a + )(
22
1kk
n
k
ba +∑=
] .
-
19
3) En déduire π21 ∫ )2( )².(π θθ dS = 4
20a +
21 )(
22
1kk
k
ba +∑+∞
=.
B. Deuxième partie.
1) Soient |r| < 1, ϕ réels. Démontrer ²cos.21
²1rr
r+−
−ϕ = 1 + 2 ∑
+∞
=1)cos(.
n
n nr ϕ .
2) Calculer ϕϕπ
drr
r∫ +−−2
0.
²cos.21²1 .
3) Soit θ → u(θ) une fonction continue périodique de période 2π
de R dans R.
On pose U(r, θ) = π21 αθα
απ
drr
ur∫ +−−
−)2(
.²)cos(.21
)(²).1( (0 ≤ r < 1, θ ∈ R)
a) Montrer que (∀ε > 0) (∃λ > 0) | θ1 − θ2 | ≤ λ ⇒ | u(θ1)
− u(θ2) | ≤ ε .
b) Montrer que | U(r, θ) − u(θ) | ≤ ε + ²cos.21
²)1.(2rr
ru+−
−∞
λ .
c) Comportement de U(r, θ) quand r → 1−0 ?
4) Montrer que U(r, θ) = 2
0α + ))sin(.)cos(..(1
θβθα nnr nnn
n +∑+∞
=
où αn = ∫ )2( ).cos()(1
παααπ dnu et βn = ∫ )2( ).sin()(
1π
αααπ dnu .
Domaine de convergence uniforme ?
5) Montrer que π21 ∫ )2( )².,(π θθ drU = 4
20α +
21 ).(
22
1
2kk
k
kr βα +∑+∞
=.
6) En déduire l’identité de Parseval : π21 ∫ )2( )².(π θθ du =
4
20α +
21 )(
22
1kk
k
βα +∑+∞
=.
_________ Solution : Parseval par noyau de Poisson A la mémoire
de J. Tuloup
Le but de ce problème est de démontrer la formule dite de
Parseval :
Soit u une fonction continue 2π-périodique de R dans R, ayant
pour coefficients de Fourier : an = ∫ )2( ).cos()(
1π
θθθπ dnu et bn = ∫ )2( ).sin()(1
πθθθπ dnu .
Alors π21 ∫ )2( )².(π θθ du = 4
20a +
21 )(
22
1kk
k
ba +∑+∞
=.
Il n’y a pas de preuve rapide de cette formule. Celle qui est
ici proposée procède en deux temps : Dans la 1ère partie, on montre
le résultat lorsque u est somme d’une série trigonométrique
unifor-mément convergente. Dans la 2ème partie, on passe au cas
général par une technique de convolution qui sera approfondie dans
le problème suivant.
A. Séries trigonométriques uniformément convergentes.
Soit 20a + ))sin(.)cos(.(
1
θθ nbna nnn
+∑+∞
= une série trigonométrique uniformément convergente sur R.
Sa somme S(θ) est une fonction continue 2π-périodique.
-
20
C’est le cas, par exemple, si la série ∑+∞
=+
1
)(n
nn ba converge.
1) Montrons que an et bn sont les coefficients de Fourier de
S(θθθθ).
an = ∫ )2( ).cos()(1
πθθθπ dnS et bn = ∫ )2( ).sin()(
1π
θθθπ dnS
Montrons cette dernière formule. Fixons n ≥ 1.
∫ )2( ).sin().(1
πθθθπ dnS = 2
0a ∫ )2( ).sin(1
πθθπ dn + ∫ ∑
+∞
=+
)2( 1
).sin(.))sin(.)cos(.(1π
θθθθπ dnkbkak kk
= ∫ ∑+∞
=+
)2( 1
).sin(.))sin(.)cos(.(1π
θθθθπ dnkbkak kk
= ∫∑ ++∞
= )2(1).sin())sin(.)cos(.(1
πθθθθπ dnkbka kkk
par convergence uniforme
= bn en vertu des relations rappelées en début d’énoncé. Idem
pour les an .
2) Développons : ∫ ∑=
++−)2( 1
0 ]².)sin(.)cos(.(2
()([π
θθθθ dkbkaaSn
kkk = ∫ )2( )².(π θθ dS
+ ∫ ∑=
++)2( 1
0 ))².)sin(.)cos(.(2
(π
θθθ dkbkaan
kkk − 2∫ ∑
=++
)2( 1
0 ).)sin(.)cos(.(2
).((π
θθθθ dkbkaaSn
kkk
= ∫ )2( )².(π θθ dS − π [ 220a + )(
22
1kk
n
k
ba +∑=
] après calculs fondés sur 1).
Remarque : les connaisseurs reconnaîtront le théorème de
Pythagore.
3) Parseval provisoire.
Notons Sn(θ) = 20a + ))sin(.)cos(.(
1
θθ kbka kkn
k
+∑=
la somme partielle de la série trigonométrique.
(Sn(θ)) tend vers S(θ) uniformément, donc en moyenne quadratique
sur [0, 2π].
Ainsi, ∫ −)2( )]².()([π θθθ dSS n → 0, donc π [ 220a + )(
22
1kk
n
k
ba +∑=
] tend vers ∫ )2( )².(π θθ dS .
C’est dire que la série 4
20a +
21 )(
22
1kk
k
ba +∑+∞
= converge et a pour somme ∫ )2( )².(π θθ dS .
B. Noyau de Poisson, formule de Parseval.
1) Soient |r| < 1, ϕ réels. Démontrons ²cos.21
²1rr
r+−
−ϕ = 1 + 2 ∑
+∞
=1)cos(.
n
n nr ϕ .
La série ∑+∞
=1.
n
inn er ϕ est absolument convergente, et
1 + 2 ∑+∞
=1)cos(.
n
n nr ϕ = 1 + 2 Re∑+∞
=1.
n
inn er ϕ = 1 + 2 Re ϕϕ
i
i
erer.1
.− = 1 + 2 Re ²cos21
).1(.rr
erer ii
+−− −
ϕϕϕ
= 1 + 2 ²cos21
²cosrr
rr+−
−ϕ
ϕ =
²cos.21²1
rrr
+−−
ϕ .
2) Montrons que ϕϕπ
drr
r∫ +−−2
0..
²cos.21²1 = 2π.
Il s’agit d’une fraction rationnelle en sinus-cosinus, et l’on
peut poser t = tan(ϕ/2).
Mais ici, il y a plus simple : la série ∑+∞
=1)cos(.
n
n nr ϕ est normalement convergente, donc
-
21
ϕϕπ
drr
r∫ +−−2
0.
²cos.21²1 = 2π + ∑ ∫
+∞
=1
2
0).cos(.
n
n dnr ϕϕπ
= 2π .
3) Soit θ → u(θ) une fonction continue périodique de période 2π
de R dans R.
Posons U(r, θ) = π21 αθα
απ
drr
ur∫ +−−
−)2(
.²)cos(.21
)(²).1( (0 ≤ r < 1, θ ∈ R)
a) Montrons que (∀ε > 0) (∃λ > 0) | θ1 − θ2 | ≤ λ ⇒ |
u(θ1) − u(θ2) | ≤ ε . Il s’agit de montrer que u est uniformément
continue sur R.
b) Montrons que | U(r, θ) − u(θ) | ≤ ε + ²cos.21
²)1.(2rr
ru+−
−∞
λ .
En vertu de 2), U(r, θ) − u(θ) = π21 αθα
θαπ
drr
uur∫ +−−
−−)2(
.²)cos(.21))()(²).(1(
= π21 αθα
θαπθπθ
drr
uur∫
+
− +−−−− .
²)cos(.21))()(²).(1(
= π21 αθα
θαλλ
drr
uur∫
+
− +−−−− .
²)cos(.21))()(²).(1(
+ π21 αθα
θαπθαλ
drr
uur∫ ≤−≤ +−−
−− .²)cos(.21))()(²).(1(
.
| U(r, θ) − u(θ) | ≤ π21 αθα
θαλλ
drr
uur∫
+
− +−−−−
.²)cos(.21)()(²).1(
+ π21 αθα
θαπθαλ
drr
uur∫ ≤−≤ +−−
−−.
²)cos(.21)()(²).1(
.
≤ πε
2αθα
λ
λd
rrr
∫+
− +−−− .
²)cos(.21²)1(
+ π2.2
∞u
αθαπθαλ drrr
∫ ≤−≤ +−−− .
²)cos(.21²)1(
.
≤ πε
2αθα
π
πd
rrr
∫+
− +−−− .
²)cos(.21²)1(
+ π2.2
∞u
αλπθαλ drrr
∫ ≤−≤ +−− .
²)cos(.21²)1(
= ε + ²cos.21
²)1.(2rr
ru+−
−∞
λ .
c) Lorsque r → 1−0, U(r, θ) tend uniformément vers u(θ).
Lorsque r → 1−0, ²cos.21
²)1.(2rr
ru+−
−∞
λ → 0. Donc | U(r, θ) − u(θ) | ≤ 2ε pour r assez voisin de
1.
La majoration est uniforme en θ car λ peut être choisi
indépendamment de θ en vertu de a).
4) Montrons que U(r, θ) = 2
0α + ))sin(.)cos(..(1
θβθα nnr nnn
n +∑+∞
=
où αn = ∫ )2( ).cos()(1
παααπ dnu et βn = ∫ )2( ).sin()(
1π
αααπ dnu .
U(r, θ) = π21 αθα
απ
drr
ur∫ +−−
−)2(
.²)cos(.21
)(²).1( = π2
1 ααπ
d∫ )2(0 .
2 + π2
1 ααθαπ
dunrn
r∫ ∑+∞
=−
)2( 1
.).())(cos(.2
= 2
0α + π1 ∑
+∞
=1n
nr ∫ −)2( ).()).(cos(π ααθα dun = etc.
L’interversion de limites vient de la convergence normale de la
série trigonométrique (u est bornée).
5) Montrons que π21 ∫ )2( )².,(π θθ drU = 4
20α +
21 ).(
22
1
2kk
k
kr βα +∑+∞
=.
Cela découle de la première partie appliquée à la série
trigonométrique normalement convergente
U(r, θ) = 2
0α + ))sin(.)cos(..(1
θβθα nnr nnn
n +∑+∞
=
Rappelons que les suites (αn) et (βn) sont bornées par ∫ )2(
.)(1
πααπ du .
6) Identité de Parseval : π21 ∫ )2( )².(π θθ du = 4
20α +
21 )(
22
1kk
k
βα +∑+∞
=.
-
22
• Lorsque r tend vers 1, π21 ∫ )2( )².,(π θθ drU tend vers
π2
1 ∫ )2( )².(π θθ du , par convergence uniforme. Plus
précisément, si l’on munit l’espace E des fonctions continues
2π-périodiques du produit scalaire ( f | g ) = π2
1 ∫ )2( ).()(π θθθ dgf et de la norme associée,
| || U(r, . ) ||2 − || u ||2 | ≤ || U(r, . ) − u ||2 ≤ || U(r, .
) − u ||∞ → 0.
• D’autre part, 4
20α +
21 ).(
22
1
2kk
k
kr βα +∑+∞
= tend vers
420α +
21 )(
22
1kk
k
βα +∑+∞
= quand r tend vers 1, par
associativité de bornes supérieures. En effet, dans [0, +∞]
:
sup 0
-
23
b) On note Pr(θ) sa somme. Calculer cn(Pr) pour tout n ∈ Z. Que
vaut ∫ )2( ).(21
πθθπ dPr ?
c) Montrer que Pr(θ) = ²cos21²1
rrr
+−−
θ . En déduire les intégrales ∫ +−−
)2().cos(.
²cos21²)1(1
πθθθπ dnrr
r.
d) Variations de Pr(θ) sur [−π, π]. Représenter sur un même
graphe Pr pour r ∈ {¼ , ½ , ¾}.
e) Etudier la limite simple Pr(θ) lorsque r → 1−0. Domaines de
convergence uniforme ?
Pour α ∈ ]0, π[, calculer limr→1−0 π21 ∫
+
−
α
αθθ dPr ).( .
3. Régularisation.
a) Soit f un élément de E. On pose pour r ∈ ]0, 1[, gr(x) = π21
∫ +−
−−)2(
.²cos.21
²1)(π
dtrtr
rtxf .
Quelle est la série de Fourier de gr(x) ? Quel lien gr(x)
a-t-elle avec sa série de Fourier ?
b) Montrer que lorsque r → 1−0, gr(x) converge uniformément vers
f sur R.
c) Soit f un élément de E de classe Ck. Montrer que, lorsque r →
1−0, gr
(p) converge uniformé-
ment vers f(p)
sur R, pour 0 ≤ p ≤ k.
d) Déduire de b) que toute fonction f ∈ E est limite uniforme de
polynômes trigonométriques.
e) Montrer que Tr : f → gr est un endomorphisme continu de E.
Quelles sont ses valeurs et ses vecteurs propres ?
4. Formes linéaires positives sur E.
On note K l’ensemble des fonctions f ∈ E à valeurs réelles ≥ 0.
Une forme linéaire L sur E est dite positive si : ∀f ∈ K L(f) ≥ 0.
Soit L une forme linéaire positive sur E.
a) Montrer que si f ∈ E est à valeurs réelles, alors L(f) ∈ R et
| L(f) | ≤ L(| f |) ≤ L(1).|| f ||∞.
b) Soient f et g deux éléments de E. Montrer que | L( gf. ) |2 ≤
L( | f |2 ).L( | g |2 ). c) En déduire que ∀f ∈ E | L(f) | ≤
L(1).|| f ||∞ , puis que L est continue pour la norme || f ||∞.
5. Fonctions de type positif.
Une fonction ϕ : Z → C est dite de type positif si elle vérifie
la propriété suivante :
(P) ∀k ∈ N* ∀(z1, z2, …, zk) ∈ Ck
∑∑= =
−k
p
k
q
qp zzpq1 1
.).(ϕ ∈ R+.
Dans tout ce qui suit, ϕ désigne une fonction de type positif et
r un réel ∈ ]0, 1[.
a) Montrer que : i) ϕ(0) ∈ R+ . ii) ∀n ∈ Z ϕ(−n) = )(nϕ iii) ∀n
∈ Z | ϕ(n) | ≤ ϕ(0).
b) Montrer que, pour tout réel x, la série de terme général
Re(ϕ(n)e−inx).rn (n ∈ N*) converge, et
que l’application Φr , définie par Φr(x) = ϕ(0) + 2∑+∞
=
−
1
).)(Re(n
ninx renϕ , est élément de E.
c) Montrer que Φr est élément de K.
d) Soit Lr l’application définie sur E par Lr(f) = π21 ∫ Φ)2(
).()(π dtttf r .
Montrer que Lr est une forme linéaire positive sur E.
-
24
e) Montrer que, pour toute f ∈ E, la série nn
n rfcn )()(∑+∞
−∞=ϕ est convergente, et calculer sa somme en
fonction de Lr et f.
f) Montrer que ∀f ∈ E ∀r, s ∈]0, 1[ Lr(Ps ∗ f) = Ls(Pr ∗ f)
.
g) Montrer que ∀f ∈ E ∀ε > 0 ∃η ∈ ]0, 1[ ∀r, s ∈ [η, 1[ |
Lr(f) − Ls(f) | ≤ ε .
En déduire que, pour toute f ∈ E, limr→1,r < 1 Lr(f) existe.
On la note L(f) = lim r→1,r < 1 Lr(f).
h) Montrer que L est une forme linéaire positive sur E, et que,
pour tout n ∈ Z, L(en) = ϕ(n).
i) Montrer que L est la seule forme linéaire continue sur E
telle que, pour tout n ∈ Z, L(en) = ϕ(n).
j) Montrer que, si M est une forme linéaire positive sur E,
alors l’application ψ : Z → C définie par ψ(n) = M(en), est de type
positif. k) Récapituler le théorème obtenu (dû à S. Bochner).
__________ Solution : noyau d’Abel-Poisson
1) L’algèbre de convolution E.
a) L’application f ∗ g est élément de E, en vertu du théorème de
continuité des intégrales à paramètres sur les segments : la
fonction (x, t) ∈ R×[0, 2π] → f(x − t).g(t) ∈ C est continue, donc
séparément continue, et bornée. De plus f ∗ g est 2π-périodique.
Enfin (f, g) ∈ E×E → f ∗ g ∈ E est bilinéaire, et commutative en
vertu du chgt de variable s = x – t . Remarque : Si f est continue
et g réglée, f ∗ g est continue, en vertu du théorème de
convergence dominée. Mieux, même : si f et g sont réglées, f ∗ g
est encore continue, mais, pour montrer cela, il faut supposer
d’abord f en escaliers, puis passer à la limite.
b) Montrons que ∀n ∈ Z cn( f ∗ g) = cn(f).cn(g). Cela découle du
théorème « de Fubini » relatif aux intégrales doubles sur les
rectangles :
cn(f ∗ g) = π21 ∫ −)2( ).)(*(π dxxgfe
inx = ²4
1π ∫ ∫ −
−)2( )2(
).()(π π
dtdxtgtxfe inx
= ²4
1π ∫ ∫
−−− −)2(
int)(
)2().().(
π πdtdxtgetxfe txin
= π21 ∫ ∫ −−− −
π π
π2
0
2
0
int)( ).().).(21( dttgedxtxfe txin
= π21 ∫ ∫ −−
π π
π2
0
2
0
int ).().).(21( dttgedyyfe iny = cn(f ).cn(g).
c) Montrons que ∗ est associative et sans élément neutre. Soient
f, g, h trois éléments de E. Il découle aussitôt de b) que (f ∗ g)
∗ h et f ∗ (g ∗ h) ont mêmes coefficients de Fourier. Elles sont
égales, en vertu de l’injectivité de l’application f → (cn(f)),
elle-même conséquence de la formule de Parseval.
Si E admettait un élément neutre ε pour ∗ , on aurait cn(f) =
cn(ε ∗ f) = cn(ε).cn(f) pour toute f ∈ E.
-
25
En particulier, cn(en) = cn(ε) ∗ cn(en) , donc cn(ε) = 1 pour
tout n ∈ Z. Or aucune fonction continue ne peut avoir tous ses
coefficients de Fourier égaux à 1, car la suite constante égale à 1
n’est pas de carré sommable.
d) Si f est un polynôme trigonométrique, il en est de même de f
∗ g. Par linéarité, il suffit de montrer cette affirmation si f =
en , où en(x) = e
inx.
Or en ∗ f = cn(f).en car (en ∗ f )(x) = π21 ∫ −)2(
)( ).(π
dttfe txin = π2inxe∫ −)2(
int ).(π
dttfe = cn(f).en(x).
e) Si f est de classe Ck, il en est de même de f ∗ g.
Chacune des fonctions (x, t) ∈ R×[0, 2π] → f (p)(x − t).g(t) ∈ C
, 0 ≤ p ≤ k, est continue, donc séparé-ment continue, et bornée.
Par suite, f ∗ g est de classe Ck et ( f ∗ g)(p) = f (p) ∗ g .
2. Noyau de Poisson.
a) La série trigonométrique ∑+∞
−∞=n
nr .einθ = 1 + 2∑+∞
=1)cos(.
n
n nr θ est normalement, donc absolument et
uniformément convergente, sur R, car | rn.cos(nθ) | ≤ rn .
b) Coefficients de Fourier de Pr(θ). On sait qu’une série
trigonométrique uniformément convergente est la série de Fourier de
sa somme.
Du coup, pour tout n ∈ Z, cn(Pr) = r|n|
. En particulier, ∫ )2( ).(21
πθθπ dPr = c0(Pr) = 1 .
c) Calcul de Pr(θ).
Pr(θ) = 1 + 2 Re ∑+∞
=1.
n
inn er θ = 1 + 2 Re θθ
i
i
rere−1 = 1 + 2 Re ²cos21
)1(rr
rere ii
+−− −
θθθ
= 1 + 2 ²cos21
²cosrr
rr+−
−θ
θ = ²cos21
²1rr
r+−
−θ .
On en déduit les coefficients de Fourier trigonométriques en cos
(ceux en sin sont nuls) :
∫ +−−
)2().cos(.
²cos21²)1(1
πθθθπ dnrr
r = 2 r
n , pour n ∈ N.
d) Variations de Pr(θ) sur [−π, π].
θ → 1 – 2rcos θ + r2 décroit de (1 + r)2 à (1 − r)2 sur [−π, 0],
et croit de (1 − r)2 à (1 + r)2 sur [0, π].
Représentation graphique avec Maple : >
P:=(r,t)->(1-r^2)/(1-2*r*cos(t)+r^2); >
with(plots):p:=r->plot(P(r,t),t=-Pi..Pi,color=COLOR(HUE,r),
numpoints=500,thickness=2):display([seq(p(k/10),k=0..8)]); >
q:=r->plot(P(r,t),t=-3*Pi..3*Pi,color=COLOR(HUE,r),
numpoints=1000,thickness=2):display([seq(q(k/10),k=0..8)]);
e) Limite simple et uniforme de Pr(θ) lorsque r → 1−0 ;
concentration de masse.
θ −π 0 +π
Pr(θ)
rr
+−
11
rr
−+
11
rr
+−
11
-
26
Lorsque r → 1−0, Pr(θ) → 0 pour θ ∉ 2πZ, Pr(θ) → +∞ pour θ ∈ 2πZ
. La convergence est uniforme sur les segments [α, 2π−α], 0 < α
< π, et sur leurs translatés. On en déduit que, pour tout α ∈
]0, π[ :
lim r→1−0 π21 ∫
π
αθθ dPr ).( = 0 , donc lim r→1−0 π2
1 ∫+
−
α
αθθ dPr ).( = 1.
3. Régularisation.
a) Soient f ∈ E, r ∈ [0, 1[, gr(x) = π21 ∫ +−
−−)2(
.²cos.21
²1)(π
dtrtr
rtxf = ( f ∗ Pr )(x) = ( Pr ∗ f )(x).
En vertu de 1.b), (∀n ∈ Z) cn(gr) = cn(f).r|n|
. Ainsi gr(x) a pour série de Fourier ∑+∞
−∞=n
inxnn erfc .).( .
gr est de classe C∞
en vertu de 1.d), donc on a égalité avec convergence normale
:
gr(x) = ( Pr ∗ f )(x) = ∑+∞
−∞=n
inxnn erfc .).( = 2)(0 fa + ∑
+∞
=+
1
))sin().()cos().(.(n
nnn nxfbnxfar
b) Montrons que lorsque r → 1−0, gr(x) converge uniformément
vers f sur R.
gr(x) – f(x) = ( f ∗ Pr )(x) − f(x) = π21 ∫
+
−−−
π
π)]()([ xftxf .Pr(t).dt
= π21 ∫
+
−−−
α
α)]()([ xftxf .Pr(t).dt + π2
1 ∫ ≤≤ −−πα t r dttPxftxf ).()].()([
D’où | gr(x) − f(x) | ≤ π21 ∫
+
−−−
α
α)()( xftxf .Pr(t)dt + π2
1 ∫ ≤≤ −−πα t r dttPxftxf ).(.)()(
≤ π21 ∫
+
−−−
α
α)()( xftxf .Pr(t)dt + π2
1 2.|| f ||∞ ∫ ≤≤ πα t r dttP ).( . Pour l’instant, α est un
réel quelconque compris entre 0 et π. Il est temps de prendre notre
ε ! Soit ε > 0 . f étant continue 2π-périodique est uniformément
continue sur R. On peut donc choisir α ∈ ]0, π[ tel que ∀(u, v) ∈
R2 | u − v | ≤ α ⇒ | f(u) − f(v) | ≤ ε. Dès lors, pour tout réel x
:
| gr(x) − f(x) | ≤ πε
2 ∫+
−
α
αdttPr ).( + π
1 || f ||∞ ∫ ≤≤ πα t r dttP ).(
≤ πε
2 ∫+
−
π
πdttPr ).( + π
1 || f ||∞ ∫ ≤≤ πα t r dttP ).( = ε + π1 || f ||∞ ∫ ≤≤ πα t r
dttP ).(
αααα étant ainsi choisi, il existe r0 tel que, pour r0 ≤ r <
1, π1 ∫ ≤≤ πα t r dttP ).( < ε.
Alors, pour tout x, | gr(x) − f(x) | ≤ ε ( 1 + || f ||∞ ) .
cqfd.
Remarque : On peut montrer que si f est réglée 2π-périodique,
gr(x) converge simplement vers (f(x+0) + f(x−0))/2 quand r →
1−0.
c) Soit f ∈ E de classe Ck. Alors, quand r → 1−0, gr(p)
(x) converge uniformément vers f(p)
sur R, pour tout 0 ≤ p ≤ k. Il suffit d’appliquer ce qui précède
à f et à ses dérivées.
d) Une preuve du théorème de Weierstrass trigonométrique.
Toute fonction f ∈ E est limite uniforme de polynômes
trigonométriques. En effet, f est limite uniforme de gr, laquelle
est limite uniforme de polynômes trigonométriques, à
savoir les ∑−=
k
kn
inxnn erfc .).( . Conclure par idempotence de l’adhérence.
Remarque : Le noyau de Poisson permettrait de retrouver d’autres
résultats du cours :
• Si f ∈ E a tous ses coefficients de Fourier nuls, alors f est
nulle.
-
27
En effet, les fonctions gr = Pr ∗ f sont alors toutes nulles,
donc leur limite f l’est aussi. • Plus généralement, la formule de
Parseval pour les fonctions f ∈ E. C’est précisément l’objet du
problème précédent…
e) Etude des applications Tr : f → gr = Pr ∗ f . Elles sont
linéaires, et continues car || Tr( f ) ||∞ ≤ || Pr ||1 . || f ||∞ =
|| f ||∞ . De surcroît, Tr(1) = 1, donc ||| Tr ||| = 1.
Valeurs et vecteurs propres. Soit ( λ, f ) un couple d’éléments
propres de Tr : f ≠ 0 et Tr(f) = λ.f . Alors pour tout n ∈ Z,
cn(Tr(f)) = cn (Pr ∗ f) = cn(Pr).cn(f) = r
|n|.cn(f) = λ.cn(f) .
Si λ ∉ { r|n| ; n ∈ Z } = { r n ; n ∈ N }, tous les cn(f) sont
nuls, donc f est nulle : impossible. Donc λ ∈ { rn ; n ∈ N }. Si λ
= 1, on trouve cn(f) = 0 pour n ≠ 0, donc f est constante. Si λ =
rn , n ∈ N*, ck(f) = 0 pour k ≠ ± n, donc f(x) = a.e
inx + b.e
−inx = c.cos(nx) + d.sin(nx).
4. Formes linéaires positives sur E.
L’ensemble K des fonctions f ∈ E à valeurs réelles ≥ 0 est un
cône convexe fermé de E. a) Restriction de L aux fonctions à
valeurs réelles.
Soit f ∈ E à valeurs réelles. Ecrivons f = f
+ − f−, où f+ = sup( f , 0) et f− = − inf( f , 0) sont continues
à valeurs ≥ 0.
On en déduit aussitôt que L(f ) = L(f+) − L(f−) est réel.
De plus si f et g sont réelles, f ≤ g ⇒ L(f) ≤ L(g) et, par
suite : − || f ||∞.1 ≤ − | f | ≤ f ≤ | f | ≤ || f ||∞.1 implique |
L(f) | ≤ L( | f | ) ≤ L(1).|| f ||∞ .
b) Montons que ∀(f, g) ∈ E×E | L( gf. ) |2 ≤ L( | f |2 ).L( | g
|2 ). Je dis que l’application Φ : (f, g) ∈ E×E → L( gf. ) ∈ C est
une forme sesquilinéaire hermitienne
positive sur E. La symétrie hermitienne découle de ce que L(f )
= )(fL (passer par partie réelle et imaginaire). Il reste à
appliquer Cauchy-Schwarz.
c) Montrons que ∀f ∈ E | L(f) | ≤ L(1).|| f ||∞ . Faisons f = 1
en b). Il vient |L(g)|2 ≤ L(1).L(| g |2) ≤ L(1).L(1).|| g2 ||∞ =
L(1)
2.|| g
||∞
2 , en vertu de a).
Donc | L(g) | ≤ L(1).|| g ||∞ . cqfd. Par suite, L est continue
pour la norme uniforme || f ||∞, de norme triple ||| L ||| = L(1),
car il y a égalité pour f = 1.
5. Fonctions de type positif.
Soit ϕ une fonction quelconque de Z dans C. Associons-lui la
suite des matrices d’ordre k :
Ak =
−−
−−−
)0(...)2()1(............
)2(...)0()1()1(...)1()0(
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
kk
kk
∈ Mk(C).
ϕ est de type positif ssi, pour tout vecteur-colonne Z ∈ Ck ,
∑∑= =
−k
p
k
q
qp zzpq1 1
.).(ϕ = t Z Ak Z ∈ R+.
a) Premières propriétés des fonctions de type positif.
i) ϕ(0) ∈ R+ . Il suffit de prendre k = 1 et z1 = 1. ii) ∀n ∈ Z
ϕ(−n) = )(nϕ , autrement dit les matrices An sont hermitiennes
positives. En effet pour tout Z ∈ Cn , t Z An Z =
tZ
tAn Z =
t Z t nA Z , en transposant, puis en conjuguant.
-
28
On en déduit que An = t
nA par la formule de dédoublement des variables relative aux
formes sesqui-linéaires 1.
iii) ∀n ∈ Z | ϕ(n) | ≤ ϕ(0). La sous-matrice
)0()()()0(
ϕϕϕϕ
nn
de An est aussi hermitienne positive.
Ses valeurs propres sont réelles ≥ 0, ainsi que son déterminant.
Cqfd.
NB : 1) Les fonctions de type positif forment un cône convexe
fermé par convergence simple. Si ϕ et ψ sont de type positif, il en
est de même de ϕ + ψ, de λϕ pour λ ≥ 0, et de ϕ’(n) = ϕ(−n). 2)
Exemples de fonctions de type positif : − la fonction constante
égale à 1, − les fonctions ϕk (k ∈ Z) définies par ϕk(n) = e
ink .
− la fonction δ(0) = 1, δ(n) = 0 pour n ≠ 0. − l’exemple
fondamental sera donné en j).
b) Les fonctions Φr. Pour x ∈ R, la série de terme général
Re(ϕ(n) e−inx ).rn (n ∈ N*) est absolument convergente, car |
Re(ϕ(n) e−inx ).rn | ≤ | ϕ(n) e−inx |.rn ≤ ϕ(0).rn .
L’application Φr, définie par : Φr(x) = ϕ(0) + 2∑+∞
=
−
1
).)(Re(n
ninx renϕ = ∑+∞
−∞=
−
n
ninx ren .)(ϕ
est élément de E, car la majoration précédente montre qu’il y a
convergence normale.
c) Montrons que Φr est élément de K.
Φr est à valeurs réelles, car )(xrΦ = ∑+∞
−∞=
−
n
ninx ren .)(ϕ = ∑+∞
−∞=
−−n
ninx ren .)(ϕ = ∑+∞
−∞=n
ninx ren .)(ϕ = Φr(x).
Reste à montrer que Φr est à valeurs ≥ 0. Montrons d’abord le
résultat général suivant :
Lemme : Toute suite (zp)p≥1 sommable de complexes est de carré
sommable, et la suite double
(ϕ(q−p) ). qp zz est sommable.
En effet, d’une part, |zp|2 ≤ |zp| , car à partir d’un certain
rang |zp| ≤ 1 (car (zp) tend vers 0) ;
D’autre part, | ϕ(q − p). qp zz. | ≤ ϕ(0).|zp|.|zq| , suite
double sommable.
Dès lors, par pliage :
S =∑∑+∞
=
+∞
=−
1 1
.).(p q
qp zzpqϕ = ϕ(0)∑+∞
=1²
p
pz + 2 Re∑>
−pq
qp zzpq .).(ϕ = ϕ(0)∑+∞
=1²
p
pz + 2 Re∑∑+∞
=
+∞
=+
1 1
.).(p n
npp zznϕ ,
et ce réel est ≥ 0 par passage à la limite. Appliquons ce
résultat à la famille zp = e
−ipx.r
p−1, qui est sommable. Il vient :
S = ϕ(0)∑+∞
=1²
p
pz + 2 Re ∑∑+∞
=
+∞
=+
1 1
.).(p n
npp zznϕ = ²1)0(
r−ϕ
+ 2 Re ∑ ∑+∞
=
+∞
=
−−
1 1
)1(2 ).(p n
ninxp renr ϕ
= ²1)0(
r−ϕ
+ ²1
2r− Re ∑
+∞
=
−
1
.).(n
ninx renϕ ≥ 0 . cqfd.
d) On en déduit aussitôt que Lr est une forme linéaire positive
sur E.
Si f est à valeurs ≥ 0, il en est de même de f.Φr, donc Lr(f) =
π21 ∫ Φ)2( ).()(π dtttf r ≥ 0 .
Il résulte de 4) que Lr est continue de norme triple ||| Lr |||
= Lr(1) = c0(Φr) = ϕ(0).
e) La série n
n
n rfcn )()(∑+∞
−∞=ϕ converge absolument, car | ϕ(n).cn(f).r
|n| | ≤ ϕ(0).|| f ||∞. r
|n| .
1 En fait, si Φ est une forme sesquilinéaire sur un C-ev telle
que (∀x) Φ(x, x) ∈ R, alors Φ est hermitienne. En effet, Ψ(x, y) →
),( xyΦ est aussi sesquilinéaire et (∀x) (Φ − Ψ)(x, x) = 0 donc Φ =
Ψ par dédoublement.
-
29
Lr(f) = π21 ∫ Φ)2( ).()(π dtttf r = π2
1 ∫ Φ)2( ).(.)(π dttftr , car Φr est à valeurs réelles.
= )(.)( fccn
nrn∑+∞
−∞=Φ = n
n
n rfcn )()(∑+∞
−∞=ϕ , par Parseval.
f) Si f et g sont deux éléments de E, on déduit de ce qui
précède que :
Lr( f ∗ g ) = n
n
n rgfcn )()( ∗∑+∞
−∞=ϕ = nn
n
n rgcfcn )()()(∑+∞
−∞=ϕ .
En particulier Lr( Ps ∗ f ) = nn
n
n rsfcn )()(∑+∞
−∞=ϕ = Lrs(f) = Ls( Pr ∗ f ) .
g) Montrons que ∀f ∈ E ∀ε > 0 ∃η ∈ ]0, 1[ ∀r, s ∈ [η, 1[ |
Lr(f) − Ls(f) | ≤ ε .
Diabolique ! On a : Lr(f) − Ls(f) = Lr(f) − Lr(Ps ∗ f) + Ls(Pr ∗
f) − Ls(f)
Donc | Lr(f) − Ls(f) | ≤ | Lr(f) − Lr(Ps ∗ f) | + | Ls(Pr ∗ f) −
Ls(f) |
≤ ϕ(0) [ || f − ( Ps ∗ f ) ||∞ + || ( Pr ∗ f ) − f ||∞ ] .
Il reste à choisir η ∈ ]0, 1[ tel que ∀u ∈ [η, 1[ || ( Pu ∗ f )
− f ||∞ ≤ ε …
On en déduit que r ∈ ]0, 1[ → Lr(f) satisfait au critère de
Cauchy fonctionnel au voisinage de 1. Elle a donc une limite quand
r tend vers 1 par valeurs < 1.
h) L est une forme linéaire positive sur E, comme limite simple
de formes linéaires positives. Elle est donc continue de norme
triple ≤ ϕ(0) (nul besoin de recourir à Banach-Steinhaus). De plus,
pour tout n ∈ Z, L(en) = ϕ(n).
En effet, pour tout r et tout n : Lr(en) = ∫ Φπ
π2
0
int ).(21 dtte r = c−n(Φr) = ϕ(n).
i) Montrons que L est la seule forme linéaire continue sur E
telle que, pour tout n∈Z, L(en) = ϕ(n).
Si deux formes linéaires continues sur E coïncident en les en,
elles coïncident sur les polynômes trigonométriques, donc sur les
fonctions continues, qui sont limites uniformes de polynômes
trigono-métriques.
j) Réciproque. Soit M une forme linéaire positive sur E.
L’application ψ : Z → C définie par ψ(n) = M(en) est de type
positif.
En effet ∑∑= =
−k
p
k
q
qp zzpq1 1
.).(ψ = ∑∑= =
−
k
p
k
q
qppq zzeM1 1
.).( = M (∑∑= =
−
k
p
k
q
qpqp zez1 1
.. ) ∈ R+ ,
car ∑∑= =
−
k
p
k
q
qpqp zez1 1
.. est un polynôme trigonométrique à valeurs ≥ 0 :
(∑∑= =
−
k
p
k
q
qpqp zez1 1
.. )(x) = ∑∑= =
−k
p
k
q
qxpqi
p zez1 1
)( .. = | iqxk
q
q ez.1∑
= | 2 .
k) Récapitulons le théorème obtenu, dû à S. Bochner (1932) :
Théorème : i) Les formes linéaires positives L sur E sont
continues pour la norme uniforme et telles que ||| L ||| =
L(1).
ii) Si L est une forme linéaire positive sur E, l’application ϕ
: Z → C définie par ϕ(n) = L(en) est de type positif.
iii) Réciproquement, pour toute forme linéaire positive L sur E,
il existe une unique fonction ϕ : Z → C de type positif telle que
ϕ(n) = L(en) pour tout n.
-
30
Annexe Maple : exemples de régularisation par le noyau de
Poisson On peut régulariser non seulement des fonctions continues
mais aussi des fonctions réglées 2π-périodiques à l’aide du noyau
de Poisson, comme le montrent les exemples ci-dessous : onde
carrée, toit d’usine, quinconce. Il y a alors convergence simple
vers la demi-somme des limites à droite et à gauche.
> with(plots): > f:=x->piecewise(0
p:=plot(f(x),x=-Pi..Pi,thickness=2,color=black):q:=r->plot(g(r,10,x),x=-Pi..Pi,color=COLOR(HUE,r),thickness=2):
> display({p,seq(q(u/10),u=0..9)});
> with(plots): > f:=x->piecewise(0
p:=plot(f(x),x=-Pi..Pi,thickness=2,color=black):q:=r->plot(g(r,10,x),x=-Pi..Pi,thickness=2,color=COLOR(HUE,r)):
> display({p,seq(q(u/10),u=0..9)});
> with(plots): > f:=x->abs(x-2*Pi*round(x/(2*Pi)));
>
g:=(r,n,x)->Pi/2-4/Pi*sum(cos((2*k+1)*x)*r^(2*k+1)/(2*k+1)^2,k=0..n);
:= g → ( ), ,r n x − 12
π4
∑ = k 0
n ( )cos ( ) + 2 k 1 x r( ) + 2 k 1
( ) + 2 k 1 2
π
>
p:=plot(f(x),x=-3*Pi..3*Pi,thickness=2,color=black):q:=r->plot(g(r,10,x),x=-3*Pi..3*Pi,thickness=2,color=COLOR(HUE,r)):
> display({p,seq(q(u/10),u=0..9)});
-
31
Références :
W. Rudin : Analyse réelle et complexe, p. 106 et 216 G. Chilov :
Analyse mathématique, t. 2, p. 203 V. Smirnov : Cours de math sup,
t. 2, p. 625 H. Cartan : Fonctions analytiques, p. 129 G. Choquet :
Lectures notes on analysis, t. 2, p. 101 R. E. Edwards : Functional
Analysis, § 10. 3, p. 715 Problèmes de concours : ENSAE 1976, RMS
1976 p. 76 et 248 X M’ 1979, 1ère épreuve ENSI 1984, 1ère épreuve,
RMS sept 1984, p. 80 X MP* 2007, 1ère épreuve ( ici r = e−t , t
> 0 ) _________
Problème 7 : Noyaux de Fourier, Féjer, Jackson On note CCCC
l’espace vectoriel des fonctions continues 2π-périodiques de R dans
C. Pour toute f ∈ E, on note ∫ )2( ).(π dttf l’intégrale de f sur
tout segment de longueur 2π, et
cn( f ) = π21 ∫ −)2(
int ).(π
dttfe ( n ∈ Z ) les coefficients de Fourier de f.
CCCC est muni des trois normes || f ||∞ = supx∈R | f(x) | , || f
||1 = π21 ∫ )2( .)(π dttf et || f ||2 = )( ff ,
où ( f | g ) = π21 ∫ )2( ).(.)(π dttgtf est le produit scalaire
hermitien usuel sur CCCC .
Pour tout p ∈ Z, on note ep la fonction : x → eipx
. On désigne par E le sous-espace vectoriel de CCCC
engendré par les ep, et, pour tout n ∈ N, par En le sous-espace
de E engendré par les ep, |p| ≤ n.
A. Approximation par la méthode de Fourier.
1) Soit f ∈ CCCC . Prouver que || f ||1 ≤ || f ||2 ≤ || f ||∞
.
2) Convolution. Pour tout couple ( f , g ) d’éléments de CCCC ,
on note f ∗ g la fonction définie par :
( f ∗ g )(x) = π21 ∫ −)2( ).()(π dttgtxf .
a) Montrer que f ∗ g est élément de CCCC , que f ∗ g = g ∗ f ,
et que :
|| f ∗ g ||∞ ≤ || f ||∞.|| g ||1 et || f ∗ g ||∞ ≤ || f ||2.|| g
||2 .
b) Soit f ∈ CCCC . Montrer que (∀p ∈ Z) f ∗ ep = cp( f ).ep. En
déduire que ∀h ∈ En f ∗ h ∈ En .
c) Soit ( f , g ) un couple d’éléments de CCCC . Montrer que ∀p
∈ Z cp( f ∗ g ) = cp( f ).cp( g ).
3) Sommes de Fourier.
On appelle somme de Fourier à l’ordre n de f ∈ CCCC , Sn( f ) =
∑≤np
pp efc ).( = f ∗ sn , où sn = ∑≤np
pe .
-
32
a) Montrer que (ep)|p| ≤ n est une base orthonormale de En.
b) Interpréter géométriquement l’application Sn : CCCC → En
.
4) Etude d’un exemple. On note γ la fonction définie par γ(t) =
| sin 2t | .
a) Développer γ en série de Fourier. Montrer que γ(x) = π2 −
π
4 ∑+∞
= −1 1²4)cos(
p ppx
.
b) Etablir ∀n || γ − γ ∗ sn ||∞ = | γ(0) − ( γ ∗ sn )(0) | =
π2
121+n .
5) Majoration de la norme de Sn.
Si U est un endomorphisme de CCCC continu pour la norme || ||∞,
on définit sa norme par :
|| U || = sup { || U( f ) ||∞ ; || f ||∞ ≤ 1 }.
a) Montrer que Sn est continu et que || Sn || ≤ || sn ||1.
b) Etablir que ∀t ∉ 2πZ sn(t) = )2sin()2)12sin((
ttn+
(1).
c) Prouver que u → u
usin
est bornée sur ] 0, 2π ] ; soit ρ sa borne supérieure.
Montrer que ∀n ∈ N || sn ||1 = ∫π
π 0 .)(.1 dttsn ≤ π
ρ2∫
+ π)21(
0.
sinndy
yy
.
d) Etablir ∀ X ≥ 1 ∫X
dyy
y0
.sin
≤ 1 + ln X.
e) Prouver finalement que ∃µ > 0 ∀n ≠ 0 || Sn || ≤ µ.ln(n +
1) .
6) Minoration de cette norme.
Pour tout n ∈ N, on note γn la fonction 2π-périodique paire
telle que ∀t ∈ [0, π] γn(t) = sin(2n+1) 2t .
a) Développer γn en série de Fourier. En déduire ( γn ∗ sn )(0)
= π2 ∑
= +n
q q
2
0 121 . Equivalent en +∞ ?
b) Prouver finalement que ∃ν > 0 ∀n ∈ N* || Sn || ≥ ν.ln(n +
1).
B. Approximation par la méthode de Féjer.
Cette méthode consiste à considérer la moyenne arithmétique des
sommes de Fourier. A cet effet on
pose, pour tout n ∈ N, kn = 11+n ∑=
n
p
ps0
et, pour toute f ∈ CCCC , Kn( f ) = f ∗ kn (2)
1) Calcul de la norme de l’endomorphisme Kn.
a) A l’aide de (1), montrer que
