Chapitre II: Théorie élémentaire de probabilités
Otheman Nouisser
Ecole Nationale de Commerce et GestionKénitra
3 octobre 2011
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Plan
I. Notions générales (Vocabulaire probabiliste)
II. Notion de probabilités
III. Théorème des probabilités totales
IV. Probabilités composées et conditionnelles
V. Problèmes relatifs aux calculs des probabilités
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notions générales :(Vocabulaire probabiliste)
1- Epreuve aléatoire :
C’est une expérience qu’on peut répéter dans les mêmes conditionset qui donne plusieurs résultas.
Exemple
Lancer un dé- le jeu de pile ou face.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notions générales (Vocabulaire probabiliste)
2- L’univers des éventualités :C’est l’ensemble des résultats possibles d’une épreuve et on le notepar Ω ( On l’appelle aussi l’ensemble fondamental).
Exemple
Si on lance un dé, l’univers Ω est l’ensemble Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notions générales :(Vocabulaire probabiliste)
3- Evénement :C’est la réalisation d’une ou plusieures éventualités lors de l’examendes résultats d’une épreuve. Autrement dit, c’est un sous-ensembleou partie de l’univers Ω.Si un évenement contient un seul élément, on l’appelle événementélémentaire.
Exemple
Si on lance un dé, l’univers Ω peut être décomposé en deuxévénements :
chiffre pair : E1 = 2, 4, 6.chiffre impair : E2 = 1, 3, 5.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notions générales :(Vocabulaire probabiliste)
Remarque
- Un événement impossible noté ∅, n’est jamais réalisé.- L’événement Ω est appelé événement certain (car il est toujoursréalisé).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Relations logiques entre les événements
1- Evénement complémentaire :
DéfinitionSoit A une partie de Ω. Le complémentaire de A, également partie deΩ noté A, est l’ensemble des résultats qui conduit à la réalisation del’événement contraire de A. c.à.d., A est réalisé si et seuleument si An’est pas réalise.
⇓
A = CAΩ = Ω \ A.
A est appelé aussi l’événement contraire.
Exemple
Soit l’épreuve qui consiste à lancer un dé. Désignons A l’événement〈〈 obtenir un nombre pair 〉〉.
A = 2, 4, 6 ⇒ A = 1, 3, 5.Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Relations logiques entre les événements
1- Evénement complémentaire :
DéfinitionSoit A une partie de Ω. Le complémentaire de A, également partie deΩ noté A, est l’ensemble des résultats qui conduit à la réalisation del’événement contraire de A. c.à.d., A est réalisé si et seuleument si An’est pas réalise.
⇓
A = CAΩ = Ω \ A.
A est appelé aussi l’événement contraire.
Exemple
Soit l’épreuve qui consiste à lancer un dé. Désignons A l’événement〈〈 obtenir un nombre pair 〉〉.
A = 2, 4, 6 ⇒ A = 1, 3, 5.Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Relations logiques entre les événements
2- Intersection d’événements- Evénements incompatibles :
DéfinitionL’intersection de deux événements A et B d’un même univers Ω, notéA ∩ B, est l’événement qui est réalisé si A et B sont réalisés.
Exemple
On lance un dé et on note la face visible. Soient les événements- A : 〈〈 Obtenir un nombre pair 〉〉, i.e., A = 2, 4, 6,- B : Obtenir un nombre > 3 , i.e., B = 4, 5, 6.Alors l’événement A∩B : Obtenir un nombre pair et > 3 =4, 6.
DéfinitionDeux événements A et B d’un même univers Ω, sont ditsincompatibles (ou exhaustifs) si A ∩ B = ∅. (c.à.d., leur réalisationsimultannée est impossible).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Relations logiques entre les événements
2- Intersection d’événements- Evénements incompatibles :
DéfinitionL’intersection de deux événements A et B d’un même univers Ω, notéA ∩ B, est l’événement qui est réalisé si A et B sont réalisés.
Exemple
On lance un dé et on note la face visible. Soient les événements- A : 〈〈 Obtenir un nombre pair 〉〉, i.e., A = 2, 4, 6,- B : Obtenir un nombre > 3 , i.e., B = 4, 5, 6.Alors l’événement A∩B : Obtenir un nombre pair et > 3 =4, 6.
DéfinitionDeux événements A et B d’un même univers Ω, sont ditsincompatibles (ou exhaustifs) si A ∩ B = ∅. (c.à.d., leur réalisationsimultannée est impossible).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Relations logiques entre les événements
2- Intersection d’événements- Evénements incompatibles :
DéfinitionL’intersection de deux événements A et B d’un même univers Ω, notéA ∩ B, est l’événement qui est réalisé si A et B sont réalisés.
Exemple
On lance un dé et on note la face visible. Soient les événements- A : 〈〈 Obtenir un nombre pair 〉〉, i.e., A = 2, 4, 6,- B : Obtenir un nombre > 3 , i.e., B = 4, 5, 6.Alors l’événement A∩B : Obtenir un nombre pair et > 3 =4, 6.
DéfinitionDeux événements A et B d’un même univers Ω, sont ditsincompatibles (ou exhaustifs) si A ∩ B = ∅. (c.à.d., leur réalisationsimultannée est impossible).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Relations logiques entre les événements
3- Réunion des événements :
DéfinitionLa réunion de deux événements A et B d’un même univers, notéeA ∪ B, est l’événement qui est réalisé si A ou B sont réalisés.
Exemple
Un dé est lancé et on note le chiffre de la face invisible.- Soit l’événement A : obtenir un chiffre pair, i.e., A = 2, 4, 6.- Soit l’événement B : obtenir un chiffre divisible par 3 i.e.,B = 3, 6.Alors l’événement A ∪ B = 2, 3, 4, 6 : obtenir un chiffre pair oudivisible par 3 .Considérons maintenant l’événemnt C : obtenir un chiffreinférieure ou égal à 2 = 1, 2. Alors l’événementB ∪ C = 1, 2, 3, 6.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Relations logiques entre les événements
3- Réunion des événements :
DéfinitionLa réunion de deux événements A et B d’un même univers, notéeA ∪ B, est l’événement qui est réalisé si A ou B sont réalisés.
Exemple
Un dé est lancé et on note le chiffre de la face invisible.- Soit l’événement A : obtenir un chiffre pair, i.e., A = 2, 4, 6.- Soit l’événement B : obtenir un chiffre divisible par 3 i.e.,B = 3, 6.Alors l’événement A ∪ B = 2, 3, 4, 6 : obtenir un chiffre pair oudivisible par 3 .Considérons maintenant l’événemnt C : obtenir un chiffreinférieure ou égal à 2 = 1, 2. Alors l’événementB ∪ C = 1, 2, 3, 6.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilité
DéfinitionUn ensemble σ, non vide, d’événements de Ω est une algèbred’événements si :
∀A ∈ σ, A ∈ σ
∀A ∈ σ,∀B ∈ σ, A ∪ B ∈ σ
Remarque
Dans le cas où Ω est fini, P(Ω) est une algèbre d’événements.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilité
DéfinitionSoit σ une algèbre d’événements de Ω. On dit que σ est une tribu si :Pour toute suite infinie dénombrable A1, A2, · · · , An, · · · d’éléments de
σ alors∞⋃i=1
Ai ∈ σ.
Conséquence :∞⋂i=1
Ai ∈ σ
On appelle espace probabilisable un couple (Ω, σ) constitué d’unensemble Ω et d’une tribu d’événements σ de parties de Omega.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilité
Définition
Soit (Ω, σ) un espace probabilisable. Une probabilité P est uneapplication P : σ → [0, 1] telle que :
P(Ω) = 1∀A ∈ σ, ∀B ∈ σ tels que A ∩ B = ∅ on a
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Si A0, A1, · · · , An, · · · est une suite dénombrable d’événementsincompatibles deux à deux, alors :
P
(∞⋃i=1
Ai
)=∞∑i=0
P(Ai).
On appelle espace probabilisé un triplet (Ω, σ, P).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilité
Remarque
La probabilité de l’événement certain est égale à 1., c.à.d., P(Ω) = 1,et ce qui implique que pour tout événement A on a :
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Dans la suite on suppose que (Ω, σ, P) est un espace probabilisé,c.à.d, P une probabilité sur Ω.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilités
Probabilité de l’événement contraire
Soit un événement A et son contraire A. Alors
P(A) = 1− P(A)
Preuve.
On a A et A sont deux événements incompatibles et doncP(A ∪ A) = P(A) + P(A).Or
A ∪ A = Ω
⇓
P(A) + P(A) = 1
D’où le résultat.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilités
Probabilité de l’événement contraire
Soit un événement A et son contraire A. Alors
P(A) = 1− P(A)
Preuve.
On a A et A sont deux événements incompatibles et doncP(A ∪ A) = P(A) + P(A).Or
A ∪ A = Ω
⇓
P(A) + P(A) = 1
D’où le résultat.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilités
Remarque
la probabilitée de l’événement impossible est nulle, c.à.d., P(∅) = 0.
Preuve
Soit l’événement impossible ∅, et un événement quelconque A. AlorsA et ∅ sont deux événements incompatibles puisque A ∩ ∅ = ∅.Donc :
P(A ∪ ∅) = P(A) + P(∅)
OrA ∪ ∅ = A =⇒ P(A ∪ ∅) = P(A) = P(A) + P(∅)
D’oùP(∅) = 0.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilités
Remarque
la probabilitée de l’événement impossible est nulle, c.à.d., P(∅) = 0.
Preuve
Soit l’événement impossible ∅, et un événement quelconque A. AlorsA et ∅ sont deux événements incompatibles puisque A ∩ ∅ = ∅.Donc :
P(A ∪ ∅) = P(A) + P(∅)
OrA ∪ ∅ = A =⇒ P(A ∪ ∅) = P(A) = P(A) + P(∅)
D’oùP(∅) = 0.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilités
Probabilité d’un événementLa probabilité d’un événement A est égale à la somme desprobabilités des événements élémentaires qui constituent cetévénement. Autrement dit : Soit A = w1, w2, · · · , wp comportant pévénements élémentaires, alors
P(A) =
p∑i=1
P(wi).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilités
Exemple
Un dé pipé (dé non équilibré) a été lancé un grand nombre de fois.Les probabilités des événements suivants ont été relevées :
événement 1 2 4 5 chiffre pairProbabilité de l’événement 0, 1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 6
Quelle est la probabilité de l’événement A : Obtenir un chiffre pairou égal à 5 ?
Solution
Dans ce cas A = 2, 4, 5, 6 et doncP(A) = P(2) + P(4) + P(5) + P(6).Considérons l’événement B : Obtenir un chiffre pair , on a alors :
P(B) = P(2) + P(4) + P(6) = 0, 6
ce qui donne que P(6) = 0, 3 et par conséquent P(A) = 0, 8.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Notion de probabilités
Exemple
Un dé pipé (dé non équilibré) a été lancé un grand nombre de fois.Les probabilités des événements suivants ont été relevées :
événement 1 2 4 5 chiffre pairProbabilité de l’événement 0, 1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 6
Quelle est la probabilité de l’événement A : Obtenir un chiffre pairou égal à 5 ?
Solution
Dans ce cas A = 2, 4, 5, 6 et doncP(A) = P(2) + P(4) + P(5) + P(6).Considérons l’événement B : Obtenir un chiffre pair , on a alors :
P(B) = P(2) + P(4) + P(6) = 0, 6
ce qui donne que P(6) = 0, 3 et par conséquent P(A) = 0, 8.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Théorème des probabilités totales
L’objectif est de calculer P(A ∪ B) dans le cas où les deuxévénements A et B sont non incompatibles, puisque dans ce casl’axiome des probabilités ne s’applique pas.
ThéorèmeSoient A et B deux événements quelconques d’un univers Ω. Alors
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Théorème des probabilités totales
L’objectif est de calculer P(A ∪ B) dans le cas où les deuxévénements A et B sont non incompatibles, puisque dans ce casl’axiome des probabilités ne s’applique pas.
ThéorèmeSoient A et B deux événements quelconques d’un univers Ω. Alors
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Théorème des probabilités totales
Preuve.Soient deux événement A et B non incompatibles. Alors A ∪ B peuts’écrire A∪B = A∪ (A∩B). Or A et (A∩B) sont incompatibles. Donc
P(A ∪ B) = P(A) + P(A ∩ B), (1)
Par ailleur, B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B), puisque les deux événements(A ∩ B) et (A ∩ B) sont incompatibles on a :
P(B) = p(A ∩ B)) + P(A ∩ B),
d’oùP(A ∩ B) = P(B)− P(A ∩ B). (2)
Ainsi, en reportant l’expression de P(A ∩ B) dans l’équation (1), onobtient le résulat.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Théorème des probabilités totales
Exemple
Considérons l’expérience de l’exemple précédent. Calculer laprobabilités de l’événement : obtenir un chiffre pair ou supérieurou égal à 5 .
SolutionConsidérons les événements suivants :A l’événement : obtenir un chiffre pair ou ≥ 5 .B l’événement : obtenir un chiffre pair .D l’événement : obtenir un chiffre ≥ 5 .D’après le théorème des probabilités totales on a :
P(A) = P(B ∪ D) = P(B) + P(D)− P(B ∩ D).
Or P(B) = 0, 6, P(D) = P(5) + P(6) = 0, 5 etP(B ∩ D) = P(6) = 0, 3, ainsi on a P(A) = 0, 8.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Théorème des probabilités totales
Exemple
Considérons l’expérience de l’exemple précédent. Calculer laprobabilités de l’événement : obtenir un chiffre pair ou supérieurou égal à 5 .
SolutionConsidérons les événements suivants :A l’événement : obtenir un chiffre pair ou ≥ 5 .B l’événement : obtenir un chiffre pair .D l’événement : obtenir un chiffre ≥ 5 .D’après le théorème des probabilités totales on a :
P(A) = P(B ∪ D) = P(B) + P(D)− P(B ∩ D).
Or P(B) = 0, 6, P(D) = P(5) + P(6) = 0, 5 etP(B ∩ D) = P(6) = 0, 3, ainsi on a P(A) = 0, 8.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Théorème des probabilités totales
Exemple
Soit C, l’événement obtenir un chiffre impair ou inférieur ou égal à3 . Calculer la probabilité de C.
Solution
Soient B, l’événemnt obtenir un chiffre impair et E, l’événement obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 .Alors
P(B) = 0, 4, P(E) = P(1, 2, 3) = 0, 1 + 0, 1 + 0, 1 = 0, 3.
P(B ∩ E) = P(1, 3) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2.
P(C) = P(B ∪ E)
= P(B) + P(E)− P(B ∩ E)
= 0, 4 + 0, 3− 0, 2 = 0, 5.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Théorème des probabilités totales
Exemple
Soit C, l’événement obtenir un chiffre impair ou inférieur ou égal à3 . Calculer la probabilité de C.
Solution
Soient B, l’événemnt obtenir un chiffre impair et E, l’événement obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 .Alors
P(B) = 0, 4, P(E) = P(1, 2, 3) = 0, 1 + 0, 1 + 0, 1 = 0, 3.
P(B ∩ E) = P(1, 3) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2.
P(C) = P(B ∪ E)
= P(B) + P(E)− P(B ∩ E)
= 0, 4 + 0, 3− 0, 2 = 0, 5.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Cas particulier : équiprobabilité des événementsélémentaires
Soit Ω = w1, w2, · · · , wn un ensemble fini. L’équiprobabilitécorrespond au cas où tous les événements élémentaires de Ω ont lamême probabilité de se réaliser.Les événements élémentaires sont incompatibles, donc on a :
P(Ω) = P(w1) + P(w2) + · · ·+ P(wn) = nP(wi) = 1, ∀i = 1, · · · , n.
Ainsi P(w1) = P(w2) = · · · = P(wn) =1n
=1
cardΩ.
En conséquence on a le résultat suivant
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Cas particulier : équiprobabilité des événementsélémentaires
Proposition
Soit Ω un ensemble fini et A ∈ P(Ω), où les événements élémentairessont équiprobables. Alors
P(A) =nombre d’éléments de Anombre d’éléments de Ω
=cardAcardΩ
=nombre de cas favorables à la réalisation de A
nombre de cas possibles.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Cas d’équiprobabilité
Exemple
On lance un dé équilibré et on note le chiffre de la face visible.Calculer la probabilité d’obtenir le chiffre 6, un chiffre < 6, le chiffre 2ou 6.
Solution
L’univers Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les événements sont équiprobables.Soient A l’événement : obtenir le chiffre 6 , B l’événement : obtenir le chiffre < 6 et C l’événement : obtenir le chiffre 2 ou 6. Alors on a :
P(A) =cardAcardΩ
=16
,
P(B) =cardBcardΩ
= 1− P(6) =56
,
P(C) =cardCcardΩ
= P(2) + P(6) = P(2, 6) =26
.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Cas d’équiprobabilité
Exemple
On lance un dé équilibré et on note le chiffre de la face visible.Calculer la probabilité d’obtenir le chiffre 6, un chiffre < 6, le chiffre 2ou 6.
Solution
L’univers Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les événements sont équiprobables.Soient A l’événement : obtenir le chiffre 6 , B l’événement : obtenir le chiffre < 6 et C l’événement : obtenir le chiffre 2 ou 6. Alors on a :
P(A) =cardAcardΩ
=16
,
P(B) =cardBcardΩ
= 1− P(6) =56
,
P(C) =cardCcardΩ
= P(2) + P(6) = P(2, 6) =26
.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
Soient (Ω, σ, P) un espace probabilisé, A ∈ σ et B ∈ σ tels queP(A) 6= 0 et P(B) 6= 0.
1- Probabilités conditionnelles :
DéfinitionLa probabilité de réalisation d’un événement A sachant qu’unévénement B est réalisé est appelée probabilité conditionnelle de Asachant B et notée P(A/B) ou PB(A) et a pour expression :
P(A/B) = PB(A) =P(A ∩ B)
P(B).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
Soient (Ω, σ, P) un espace probabilisé, A ∈ σ et B ∈ σ tels queP(A) 6= 0 et P(B) 6= 0.
1- Probabilités conditionnelles :
DéfinitionLa probabilité de réalisation d’un événement A sachant qu’unévénement B est réalisé est appelée probabilité conditionnelle de Asachant B et notée P(A/B) ou PB(A) et a pour expression :
P(A/B) = PB(A) =P(A ∩ B)
P(B).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
Exemple
1- Une carte est tirée au hasard dans un jeu qui comporte 52 cartes.Quelle est la probabilité que cette carte soit une dame sachant qu’ils’agit d’un trèfle ?
SolutionConsidérons les évenements D : Tirer une dame et T : tirerun trèfle , alors
P(D/T ) =P(D ∩ T )
P(T )=
1/5213/52
=113
.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
Exemple
1- Une carte est tirée au hasard dans un jeu qui comporte 52 cartes.Quelle est la probabilité que cette carte soit une dame sachant qu’ils’agit d’un trèfle ?
SolutionConsidérons les évenements D : Tirer une dame et T : tirerun trèfle , alors
P(D/T ) =P(D ∩ T )
P(T )=
1/5213/52
=113
.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Exemple
2- Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Untémoin l’informe qu’il s’agit d’un résultat différent de 5.Quelle est la probabilité que le résultat soit un chiffre impair ?
SolutionNotons A l’événement : Obtenir un chiffre impairet B l’événement : obtenir un chiffre différent de 5 . Alors,
P(A) = P(1, 3, 5) =36
=12
et P(B) = P(1, 2, 3, 4, 6) =56
.
L’événement A ∩ B := obtenir un chiffre impair différent de 5 ,
d’où P(A ∩ B) = P(1, 3) =26
.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Exemple
2- Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Untémoin l’informe qu’il s’agit d’un résultat différent de 5.Quelle est la probabilité que le résultat soit un chiffre impair ?
SolutionNotons A l’événement : Obtenir un chiffre impairet B l’événement : obtenir un chiffre différent de 5 . Alors,
P(A) = P(1, 3, 5) =36
=12
et P(B) = P(1, 2, 3, 4, 6) =56
.
L’événement A ∩ B := obtenir un chiffre impair différent de 5 ,
d’où P(A ∩ B) = P(1, 3) =26
.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
suiteLe fait de disposer de l’information supplémentaire relative à laréalisation de l’événement B, réduit la possibilité aux chiffres1, 2, 3, 4, 6, parmi lesquels seuls 1 et 3 sont impairs. Il y a doncdeux chances sur cinq d’avoir un chiffre impair sachant que lerésultat est différent de 5.En utilisant la formule on peut aussi le vérifie :
P(A/B) =P(A ∩ B)
P(B)=
P(1, 3)P(1, 2, 3, 4, 6)
=2/65/6
=25
.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
2-Probabilités composées
Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilitécomposée de deux événements.
DéfinitionLa probabilité composée est la probabilité de réaliser simultanémentdeux événements A et B, et on la note P(A ∩ B), et on a
P(A ∩ B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
2-Probabilités composées
Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilitécomposée de deux événements.
DéfinitionLa probabilité composée est la probabilité de réaliser simultanémentdeux événements A et B, et on la note P(A ∩ B), et on a
P(A ∩ B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
Exemple
Un sac contient 10 boules indescernables au toucher : 4 boules sontblanches, 6 boules sont noires. Une personne tire l’une après l’autre,sans remise 3 boules.Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre : une blanche, unenoire, une blanche ?
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
SolutionConsidérons les événements suivants :A, l’événement tirer une boule blanche au premier tirage .B, l’événement tirer une boule noire au deuxième tirage .C, l’événement Tirer une boule blanche au troisième tirage .Le problème c’est de calculer P(A ∩ B ∩ C).Le fait d’effectuer des tirages sans remise réduit le nombre depossibilités de choix et rend les tirage successifs dépendants.
1er tirage, il y a 4 blanches parmi 10, donc P(A) =410
.
2ème tirage, il reste 3 blanches et 6 noires, donc P(B/A) =69
.
3ème tirage, il reste 3 blanches et 5 noires, donc
P(C/(A ∩ B) =38
.
AinsiP(A∩B∩C) = P(A)×P(B/A)×P(C/(A∩B)) =
410
69
38
= 0, 1 = 10%.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
3- Indépendance de deux événementsLes probabilités conditionnelles permettent de déduire la définitiond’indépendance de deux événements.Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisationde l’un n’influe pas la réalisation de l’autre, ce qui peut se traduire par
P(A) = P(A/B), ou par P(B) = P(B/A)
D’autre part, on a :
P(A/B) =P(A ∩ B)
P(B); P(B/A) =
P(A ∩ B)
P(A),
D’où
Proposition
Deux événements A et B sont indépendants si et seuleument siP(A ∩ B) = P(A)P(B).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
Remarque
1- Il est important de ne pas confondre incompatibilité (A ∩ B = ∅) dedeux événements et indépendance de deux événements, notion quise réfère à la probabilité des événements et qui permet de calculer laprobabilité de la réalisation simultanée de deux événementsindépendants, c.à.d., le calcul de P(A ∩ B).2- Il est possible de généraliser la définition de l’indépendance. Lesévénements E1, E2, · · · , En sont indépendants deux à deux siP(E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En) = P(E1)× P(E2)× · · · × P(En).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
Exemple
Une carte est tirée d’un jeu de 52 cartes. Calculer- La probabilitée de tirer un roi.- La probabilité de tirer un roi sachant que la carte tirée est un coeur.- La probabilitée de tirer le roi de coeur. Commenter.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
SolutionSoient A l’événement tirer un roi et B l’événement tirer uncoeur . Alors on a :
P(A) =4
52=
113
, P(B) =1352
, P(A ∩ B) =152
,
avec A ∩ B, l’événement tirer un roi de coeur .
On constate que P(A ∩ B) = P(A)× P(B) =1
13× 13
52=
152
, ce quisignifie que les événements A et B sont indépendants. On a aussi,
P(A/B) =P(A ∩ B)
P(B)=
1521352
=113
= P(A),
Le fait de savoir que la carte est un coeur ne réduit pas lespossibilités. Les deux événement sont indépendants mais ils ne sontpas incompatibles puisque A ∩ B 6= ∅.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
4- Théorème de Bayes
Soient A et B deux événements de Ω tels qu’on sait calculerP(B); P(B); P(A/B); P(A/B)
Problème inverse : Calculer P(B/A) ?
Théorème(Formule de Bayes)
P(B/A) =P(B)P(A/B)
P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
4- Théorème de Bayes
Soient A et B deux événements de Ω tels qu’on sait calculerP(B); P(B); P(A/B); P(A/B)
Problème inverse : Calculer P(B/A) ?
Théorème(Formule de Bayes)
P(B/A) =P(B)P(A/B)
P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
Preuve.
P(B/A) =P(A ∩ B)
P(A)=
P(B)P(A/B)
P(A ∩ (B ∪ B))
=P(B)P(A/B)
P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
=P(B)P(A/B)
P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B)
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
D’une manière général, soient A1, A2, · · · , An des événementsincompatibles deux à deux (Ai ∩ Aj = ∅∀i 6= j), et tel queA1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = Ω. Soit B un événement de probabilité non nulle.Les informations connues sont :• La probabilité de chacune des événements :P(A1), P(A2), · · · , P(An).• La probabilité de réalisations de B sachant chacune desévénements Ai sont réalisés : P(B/A1), P(B/A2), · · · , P(B/An).Le théorème de Bayes permet de calculer la probabilité del’événement Ai sachant que l’événement B soit réalisé. : P(Ai/B).
Théorème
P(Ai/B) =P(Ai)× P(B/Ai)n∑
j=1
P(Aj)P(B/Aj)
.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
Exemple
Le personnel d’une entreprise est composée de 80% de femmes. Onsait que 8% de ces femmes ont une formation supérieure et que 24%des hommes ont une formation supérieure.Quelle est la proportion de personnel ayant une formationsupérieure ?Sachant qu’il a une formation supérieure, quelle est la probabilitéqu’un employé soit une femme ?
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
SolutionConsidérons les évévenements suivants : A : Etre un employéfemme .B : Etre un employé de formation supérieure .Alors, on a :P(A) = 0, 8; P(B/A) = 0, 08; P(A) = 0, 2; P(B/A) = 0, 24, et on aaussi
P(B) = P(B ∩ (A ∪ A)) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A),
= P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A),
= 0, 8.0, 08 + 0, 2.0, 24 = 0, 112.
Ainsi on aura
P(A/B) =P(A)P(B/A)
P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
Exemple
Trois machines M1, M2, M3 produisent respectivement 50%, 30% et20% de la production d’un produit. 2% des produits fabriqués par M1,3% des produits fabriqués par M2 et 5% des produits fabriqués parM3 sont défectueux. Un produit est prélevé au hasard. Quelle est laprobabilité qu’il ait été fabriqué par la machine M2, sachant qu’il estdéfectueux ?
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
SolutionConsidérons les événements suivants :M1 : Produit fabriqué par M1 , M2 : Produit fabriqué par M2 ,M3 : Produit fabriqué par M3 , D : Produit fabriqué estdéfectueux .Alors on a :
P(M1) = 0, 5; P(M2) = 0, 3; P(M3) = 0, 2,
P(D/M1) = 0, 02; P(D/M2) = 0, 03; P(D/M3) = 0, 05.
D’après le théorème de Bayes, on obtient :
P(M2/D) =P(M2)P(D/M2)
P(M2)P(D/M2) + P(M2)P(D/M2
) .
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Probabilités composées et conditionnelles
suite
Or, P(M2) = 1− P(M2) = 0, 7 et
P(M2)P(D/M2) = P(D ∩M2) = P(D ∩ (M1 ∪M3))
= P(D ∩M1) + P(D ∩M3)
= P(M1)P(D/M1) + P(M3)P(D/M3)
= 0, 5× 0, 02 + 0, 2× 0, 05 = 0, 02.
Ainsi,P(M2/D) = 0, 3103.
Quelle est la probabilité qu’un produit séléctionné au hasard ait étéfabriqué par la machine M3, sachant qu’il n’est pas défectueux ?Ceci revient à calculer P(M3/D).
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Problèmes relatifs aux calculs des probabilités
1- Cas des épreuves exhaustives (sans remise).Une urne contient N boules, dont a noires et b blanches. Quelle estla probabilité de tirer au hasard et simultanément n boules dont knoires et (n − k) blanches (k ≤ n) ?
- Cas possibles : choisir n boules parmi N boules, donc il y aCn
N = Cna+b possibilités.
- Cas favorables : k boules noires et (n − k) boules blanches, alors ily a Ck
a × Cn−kb possibilités favorables.
Ainsi, la probabilité est donnée par
P =cas favorablescas possibles
=Ck
a × Cn−kb
Cna+b
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Problèmes relatifs aux calculs des probabilités
1- Cas des épreuves exhaustives (sans remise).Une urne contient N boules, dont a noires et b blanches. Quelle estla probabilité de tirer au hasard et simultanément n boules dont knoires et (n − k) blanches (k ≤ n) ?
- Cas possibles : choisir n boules parmi N boules, donc il y aCn
N = Cna+b possibilités.
- Cas favorables : k boules noires et (n − k) boules blanches, alors ily a Ck
a × Cn−kb possibilités favorables.
Ainsi, la probabilité est donnée par
P =cas favorablescas possibles
=Ck
a × Cn−kb
Cna+b
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Problème relatifs aux calculs des probabilités
2- Cas des épreuves non-exhaustives (avec remise)Une urne contient N boules, dont a noires er b blanches. Quelle estla probabilité qu’après une série de n tirages non-exhaustifs et auhasard, on obtient k boules noires et (n − k) blanches.ici on travail dans le cas équiprobable, alors :- La probabilité de tirer une boule noire est : p =
aN
.
- La probabilité de tirer une boule blanche est : q = 1− p =bN
.
i- Probabilité de tirer dans l’ordre k boules noires et (n − k) boulesblanchesDans ce cas on a la possibilité suivante :
N N N · · · N B B · · · B
et donc on a la probabilité P = pk (1− p)n−k .
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Problème relatifs aux calculs des probabilités
2- Cas des épreuves non-exhaustives (avec remise)Une urne contient N boules, dont a noires er b blanches. Quelle estla probabilité qu’après une série de n tirages non-exhaustifs et auhasard, on obtient k boules noires et (n − k) blanches.ici on travail dans le cas équiprobable, alors :- La probabilité de tirer une boule noire est : p =
aN
.
- La probabilité de tirer une boule blanche est : q = 1− p =bN
.
i- Probabilité de tirer dans l’ordre k boules noires et (n − k) boulesblanchesDans ce cas on a la possibilité suivante :
N N N · · · N B B · · · B
et donc on a la probabilité P = pk (1− p)n−k .
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Problème relatifs aux calculs des probabilités
ii- Probabilité de tirer dans un ordre quelconque ces même boules
Il y a Ckn manière de placer k boules noires dans n cases différentes.
Les (n − k) cases qui restent sont évidement occupées par desblanches. Chaque manière à pour probabilité pk (1− p)n−k . Ainsi :
P(k) = Ckn pk (1− p)n−k c’est la formule de Bernoulli.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
Problème relatifs aux calculs des probabilités
Exemple
On jette une pièce de monnaie 10 fois. Quelle est la probabilitéd’avoir 6 faces et 4 piles ?
P(pile) = 1/2, P(4) = C410(1/2)6(1/2)4 = C4
10(1/2)10.
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010