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Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI 1 Modélisation en champ de phase Valentin Chapuis 12.12.2008 Modélisation des procédés et des microstructures

Phase Field

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The phase-field method is briefly described. The phase-field equations are derived from both thermodynamic and kinetic arguments. The application to solidification is discussed.

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Modélisation en champde phase

Valentin Chapuis12.12.2008

Modélisation des procédés et des microstructures

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Plan• Applications• Champ de phase

– Définitions– Modèle thermodynamique

• Modéliser la solidification– Un modèle simple : métal pur

• Complexifications– Anisotropie– Alliages binaires AB

• Modèle géométrique– Solidification d’un alliage binaire

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Applications

• Solidification

• Transformations à l’état solide

• Coalescence et croissance de grains

• Propagation de fissures

• Dynamique des dislocations

• …

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Champ de phase – définitions (I)

• « Modèle qui traite une interfacemicroscopiquement abrupte comme une zone diffuse immergée dans la zone de calcul », Beckermann and al., [2]

• « Méthode qui utilise des argumentsthermodynamiques et cinétiques pour décrire l’évolution d’une microstructure sans suivre l’interface », L.Q. Chen, [1]

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Champ de phase – définitions (II)

• « Méthode qui utilise une variable de phase, fonction du temps et de l’espace, pour décrire l’état du matériau. Le comportement de cette variable est gouvernée par une équation couplée aux équations de conservations traditionnelles »,W.J. Boettinger and al., [3]

• « Méthode qui décris une microstructure (i.e. les domaines et les interfaces) comme un tout en untilisant une ou plusieurs variables de champ », L.Q. Chen, [1]

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Variable de phase Φ (I)

• Décrit localement l’état du matériau (phase, paramètre d’ordre, orientation, …)

• Varie d’une manière rapide mais continue sur les interfaces

Boettinger et al., [3] x

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Variable de phase Φ (II)

Boettinger et al., [3]

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Modèle thermodynamique

• L’évolution d’une microstructure mène toujours à une augmentation de l’entropie totale du système S, donc à une diminution de l’énergie libre totale , qui peut contenir plusieurs contributions (interfaces, déformation élastique, magnétisation, …)

• On cherche la valeur de Φ qui localement permet de diminuer/minimiser l’énergie libre F, sous l’action d’un champ externe appliqué (température, champ électrique, contrainte,…)

TSUF

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Energie libre totale

• Considérons le cas (simple) d’une variable de champ unique évoluant sous l’effet des champs de température et de concentration.

• f(Φ,c,T) = énergie libre locale

• ε = coefficient de gradient

V

c cTcfF

2222

22),,(

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Fonction d’énergie libre locale (I)

• Le choix de f est arbitraire et dépend du phénomène à modéliser, mais toujours une fonction contenant plusieurs états d’équilibre séparés par une barrière d’énergie

)(sin)( 2ff

i ij

ji

i i

iiff 2242

214

1

2

14,...),(

•Dynamique des dislocations :

•Décomposition d’une phase:

•Croissance de grains :

42

4

1

2

14)( ff

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Fonction d’énergie libre locale (II)

• Solidification (0=solide, 1=liquide)

– Beaucoup de fonctions différentes, dépendantes du type de solidification

– Souvent, deux contributions principales• Fonction « double-well » g(Φ) Différencie les phases

• Fonction d’interpolation p(Φ) Effet d’un champ appliqué

– Exemple: composé pur

mTTTfTfG ),0(),1(

mTTfTf 5322

5

1

3

2

8

15)1(4),(

)()()(),( vGpgWvf

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Fonction d’énergie libre locale (III)

• Formes de la fonction double puits g(Φ) et de la fonction d’interpolation p(Φ)

Boettinger et al., [3]

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Equations de champ de phase

• Situations non-stationnaires– Si les coefficients de gradient sont constant

Allen-Cahn Cahn-Hilliard

)()1( 22 cc

fccM

t

ccc

22fM

t

),(

),(

tr

FL

t

tr

q

pq

p

),(

),(

trc

FM

t

trc

j

iji

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Solidification d’un métal pur (I)

1. Définir la fonction d’énergie libre locale

2. Introduire f dans l’équation de Allen-Cahn

)()(),( pT

TTLgWTf

m

m

)10156()(

)1()(

23

22

p

g

22

2

22 )1()(30

)21)(1(2

TTT

LMWM

tm

m

Boettinger and al., [3]

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Solidification d’un métal pur (II)

m

FSLT

LSSS

LHHH FSL

GL(T)

GS(T)

-SL

-SS

TmT

SSS

LLL

HTSTG

HTSTG

)(

)(

m

m

m

SLT

TTL

T

LTLTGTGG )()(

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Solidification d’un composé pur (III)

3. Lier les paramètres W, εΦ, MΦ aux paramètres physiques

• δ = épaisseur de l’interface

• = énergie interfaciale solide-liquide

• L = chaleur latente de fusion

• μ = coefficient cinétique

3W 6L

TM m

6

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Anisotropie (I)

• Les énergies d’interface sont généralement anisotropiques et cela peut avoir un effet important sur la morphologie de croissance de la structure considérée

• Le coefficient εΦ devient une fonction de l’angle θ entre la normale à l’interface et l’axe x (cas 2D), défini par:

x

y

/

/)tan(

n

x

y

θ

Φ=1

Φ=0

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Anisotropie (II)

• L’énergie libre F devient alors

• Ce qui mène à une formulation plus complexe des équations de Allen-Cahn et Cahn-Hilliard, puisque le coefficient εΦ est maintenant fonction de la variable de phase

v

c cTcfF

2

2

2

2 )(2

1

2

1),,(

Anisotropie cubique

lors de la solidification

de Ni pur. Chen, [1]

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Alliage binaire AB

• Construction de f(Φ,c,T)1. Construire une fonction qui décris à la fois le

liquide et le solide du composé i

2. Construire la fonction qui représente une solution (ici régulière εAA ≠ εBB ≠ εAB) des composés en présence

)()())()())(1(),( gWTfpTfpTf i

l

i

s

ii

)())(1()1(

)ln()1ln()1(),(),()1(),,(

ppcc

ccccRTTcfTfcTcf

LS

BA

2

BBAAAB

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Modèle géométrique (I)

• Considérons une variable de phase Φ(x,y,z,t). L’interface est alors représenté par une valeur constante de Φ (p. ex. 0.5).

• Sa normale est donnée par

• Et sa courbure

21n

n

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Modèle géométrique (II)

• La description de l’interface liquide-solide est donnée par l’équation de Gibbs-Thomson

– Alliage binaire, énergie de surface isotrope

• La vitesse normale à l’interface est donnée par

TTcmTv kLLmkn

L

T

S

m

F

tvn

1

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Modèle géométrique (III)

• On substitue vn et κ pour obtenir

• Cette équation ne donne pas de solution unique, il est nécessaire de spécifier un profil type

Tvt

kkn

2

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Modèle géométrique (IV)

• En utilisant un potentiel en double puits pour la dérivation du modèle, on définit la variation de Φ dans la direction perpendiculaire à l’interface n comme:

2tanh1

2

1 n

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2

n

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Modèle géométrique (IV)

• On obtient alors les relations suivantes

• En substituant dans l’équation de phase

)1(

n

22

2 )21)(1(

n

)1()21)(1(2

2 Tt

kk

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Modèle géométrique (V)

• L’équation de variation de la concentration est obtenue par loi de mélange de la loi de Fick

• Les concentrations du liquide et du solide sont exprimées en fonction de la concentration nominale

LLSS cDcDt

c)1(

)1(k

ccL

)1(k

kccS

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Références

1) Phase-field models for microstructure evolution, L.-Q. Chen, Annu. Rev. Mater. Res. 2002, 32, pp.113-140

2) Modeling Melt Convection in Phase-Field Simulations of Solidification, C. Beckermann and al., Journal of Computational Physics 1999, 154, pp.468-496

3) Phase-Field Simulation of Solidification, W.J. Boettinger and al., Annu. Rev. Mater. Res. 2002, 32, pp.163-194