Cours Coniques

c Christophe Bertault - MPSI

Coniques

Historiquement, les coniques ont t dfinies comme intersection dun cne et dun plan dans lespace do leur nom. Aumoyen de quelques dessins, vous vous convaincrez facilement que cest bien l un point de vue naturel sur les coniques. Cela dit,nous dfinirons pour notre part les coniques en les observant non pas dans lespace, mais dans le plan.

1 Dfinition par excentricit, foyer et directrice

Dfinition (Conique dfinie par son excentricit, un foyer et une directrice) Soient F un point, D une droite necontenant pas F et e > 0. On appelle conique dexcentricit e, de foyer F et de directrice associe D lensemble C des points Mdu plan tels que :

MF = e d(M,D).

Ellipse Parabole Hyperbole

Si e < 1, on dit que C est une ellipse. Si e = 1, on dit que C est une parabole. Si e > 1, on dit que C est une hyperbole.

Explication

Tchons de rcrire cette dfinition un peu abstraite. Soit M un point du plan. Notons H leprojet orthogonal de M sur D. Alors d(M,D) = MH . Du coup :

M C MF = eMH.

Peut-on avoirMH = 0 siM C ? Si ctait le cas, on aurait aussi MF = 0 donc F = M = H Dcontrairement aux hypothses. Ansi MH 6= 0 quand M est un point de la conique.

b

bb

d(M,D)

MF

H

F

D

M

Conclusion : C est lensemble des points M du plan tels que MFMH

= e, i.e. la ligne de niveau e de la fonction M 7 MFMH

; cest

parfois ainsi quon la dfinit.

Donnons-nous, pour toute cette partie, un point F , une droite D ne contenant pas F et e > 0. Notonsen outre C la conique dexcentricit e, de foyer F et de directrice associe D et P le projet orthogonalde F sur D et d = FP > 0. Par dfinition, le produit p = ed est appel le paramtre de C et la droite(PF ) est appel son axe focal.

Notons en outre ~I =

PF

det ~J lunique vecteur pour lequel (F, ~I, ~J) est un repre orthonormal direct

du plan. Pour tout point M de coordonnes (x, y) dans (F, ~I, ~J), dont H dsigne le projet orthogonalsur D :

M C MF = eMH MF 2 = e2MH2 x2 + y2 = e2(x+ d)2

(1 e2)x2 + y2 2epx p2 = 0.

bb

d F

D

P

~J~I

Dfinition (Conique centre) On suppose ici que e 6= 1, i.e. que C est soit une ellipse soit une hyperbole. Alors C possde un unique centre de symtrie appel le centre de C. Notons ce centre et F (resp. D) le symtrique de F (resp. D) par rapport . Alors C est aussi la conique

dexcentricit e, de foyer F et de directrice associe D. En outre F et F sont les deux seuls foyers de C et D et D ses deuxseules directrices associes. Pour une illustration de tout ceci, tournez quelques pages.

En pratique Vous devez savoir dterminer le centre dune conique centre. Le rsultat est donc connatre avecsa dmonstration.

1


Dmonstration Contentons-nous de dmontrer lexistence dun centre de symtrie. Nous partons de lquation(1e2)x2+y22epxp2 = 0 obtenue prcdemment dans le repre (F, ~I, ~J). Par hypothse e 6= 1, donc e21 6= 0.Reconnaissant le dbut dune identit remarquable, nous en dduisons que lquation :

(1 e2)(x ep

1 e2)2

+ y2 =p2

1 e2est galement une quation cartsienne de C.Introduisons alors le point de coordonnes

(ep

1 e2 , 0)

dans le repre (F, ~I, ~J) et travaillons dsormais dans

le repre (, ~I, ~J). Pour tout point de coordonnes (x, y) dans (F, ~I, ~J) et (x, y) dans (, ~I, ~J), nous avons les

formules de changement de repre :

{x = x ep

1 e2y = y

. La prcdente quation cartsienne de C devient

donc, dans le repre (, ~I, ~J) : (1 e2)x2 + y2 = p2

1 e2 .Dduisons-en pour finir que est comme annonc un centre de symtrie de C. Soit donc M C de coordonnes(x, y) dans (, ~I, ~J). Le symtrique M deM par rapport a pour coordonnes (x,y) dans (, ~I, ~J). Est-illui aussi un point de C ? Bien sr que oui, car il satisfait lquation prcdente :

(1e2)(x)2+(y)2 = (1e2)x2+y2 MC= p2

1 e2 . Cest termin.

Remarque On peut montrer que les paraboles (cas e = 1) nont pas de centre de symtrie et quelles possdent un uniquefoyer et une unique directrice associe.

Thorme (Ellipse) On suppose ici que e < 1, i.e. que C est une ellipse de centre .

Il existe alors deux rels a et b vrifiant 0 < b < a pour lesquelslquation

x2

a2+

y2

b2= 1 est une quation cartsienne de C dans le

repre (, ~I, ~J). Cette quation est appele lquation rduite de C. Le rel a est appel le demi-grand axe de C et b son demi-petit

axe. Leurs doubles 2a et 2b sont appels respectivement le grand axeet le petit axe de C. Les points A,A, B,B de la figure ci-contre sontappels les sommets de C.

Si c = F , alors a2 = b2 + c2, e = ca

et P =a

e.

b bb bb

b

b

bb

F F

AA

B

B

P P

~J

~I

C

DD

a

c

b

a

e

a

p

Dmonstration

Partons de lquation de C (1 e2)x2 + y2 = p2

1 e2 obtenue prcdemment dans le repre (,~I, ~J).

Multiplions-la par1 e2p2

et posons a =p

1 e2 > 0 et b =p

1 e2 > 0 cest possible car 0 < e < 1.

Lquation devient aussittx2

a2+

y2

b2= 1, et puisque e > 0, on a b = a

1 e2 < a comme voulu.

Jusquici, nous navons pas expliqu pourquoi les ellipses ont la forme quelles ont. Pour le justifier prsent,paramtrons C. Pour tout point M de coordonnes (x, y) dans (, ~I, ~J) :

M C (xa

)2+( yb

)2= 1 t R/

(xa,y

b

)= (cos t, sin t)

t R/ (x, y) = (a cos t, b sin t).

Ceci montre que C est le support de la courbe paramtre f :{

R R2t 7 a cos t ~I + b sin t ~J . Comme

f(t + pi) = f(t) pour tout t R, on peut se contenter dtudier f sur un intervalle de longueur pi condition deffectuer la fin une symtrie par rapport . Choisissons lintervalle

[pi

2,pi

2

]puisque le

cosinus est pair et le sinus impair. Alors nous pouvons mme nous contenter de lintervalle[0,pi

2

]si nous

effectuons la fin une symtrie par rapport la droite passant par dirige par ~I.

Ltude des variations est triviale : t 7 a cos t est strictement dcroissante sur[0,pi

2

]et t 7 b sin t

strictement croissante. En calculant f , on montre aisment que f est rgulire sur R et que f (0) = b ~J et

f (pi2

)= a ~I (tangentes verticale et horizontale respectivement). Le trac de C sen dduit.

2


Quand nous avons montr lexistence de , nous avons montr que ses coordonnes dans (F, ~I, ~J) sont(ep

1 e2 , 0), de sorte que c = F =

ep

1 e2 . Etant donnes les expressions de a et b en fonction de e et p,

on montre sans difficult que a2 = b2 + c2 et que e =c

a.

Lgalit FB = FB = F B = F B = a reprsente sur la figure est une consquence immdiate du thormede Pythagore.

Thorme (Parabole)

On suppose ici que e = 1, i.e. que C est une parabole. Notons S le milieu du segment [FP ].Alors dans le repre (S, ~I, ~J), lquation y2 = 2px est une quation cartsienne de C appeleson quation rduite et S est un point de C appel son sommet.

b bb

SP

F ~I

~J

C

D

p

2

p

2

Dmonstration Pour commencer, remarquons que dans le cas de la parabole o e = 1, on a p = ed = d = PF .

Partons de lquation (1 e2)x2 + y2 2epx p2 = 0 de C dans le repre (F, ~I, ~J). Comme ici e = 1,elle scrit en fait y2 = 2px + p2 = 2p

(x+

p

2

). Notons alors S le milieu de

[PF

], de coordonnes(

d2, 0

)=(p2, 0)dans (F, ~I, ~J). Dans le repre (S, ~I, ~J), lquation prcdente de C scrit y2 = 2px.

Cest ce que nous voulions.

Le trac de C ne pose aucune difficult. Dans le repre orthonormal direct (S, ~J, ~I), lquation de C est toutsimplement y =

x2

2p, car on a les formules de changement de repre

{x = yy = x

. On a donc affaire

une parabole au sens bien connu du terme bref, une fonction polynomiale de degr 2.

Thorme (Hyperbole) On suppose ici que e > 1, i.e. que C est une hyperbole de centre .

Il existe alors deux rels a > 0 et b > 0 pour lesquels lquationx2

a2 y

2

b2= 1 est une quation cartsienne de C dans le repre (, ~I, ~J).

Cette quation est appele lquation rduite de C. Le rel a est appel le demi-axe de C et son double 2a laxe de

C. Les points A,A de la figure ci-contre sont appels les sommets deC.

Si c = F , alors c2 = a2 + b2, e = ca

et P =a

e.

Les droites dquation y = bax dans le repre (, ~I, ~J) sont

asymptotes de C.

b bb bb bb

FF AA PP

~I

~J

CDD

a

e

p

b

c

a

Dmonstration

Partons de lquation de C (1 e2)x2 + y2 = p2

1 e2 obtenue prcdemment dans le repre (,~I, ~J).

Multiplions-la par1 e2p2

et posons a =p

e2 1 > 0 et b =p

e2 1 > 0 cest possible car e > 1.

Lquation devient aussittx2

a2 y

2

b2= 1.

Jusquici, nous navons pas expliqu pourquoi les hyperboles ont la forme quelles ont. Pour le justifier prsent, paramtrons C. Pour tout point M de coordonnes (x, y) dans (, ~I, ~J) :

M C (xa

)2( yb

)2= 1 x = a

y2

b2+ 1 (poser prsent y = t)

t R/ (x, y) =(a

t2

b2+ 1, t

)ou t R/ (x, y) =

(a

t2

b2+ 1, t

).

3


Ceci montre que C est la runion des supports de deux courbes paramtres, f :

R R2

t 7 a

t2

b2+ 1 ~I + t ~J

et g :

R R2

t 7 a

t2

b2+ 1 ~I + t ~J

. Ces deux supports tant symtriques par rapport la droite pas-

sant par dirige par ~J , nous pouvons ntudier que f . Un raisonnement sur les parit/imparit montreque ltude peut tre faite sur R+ seulement. Nous devrons effectuer au final une symtrie par rapport auxdroites passant par diriges par ~I et ~J .

Ltude des variations est triviale : les deux coordonnes de f sont strictement croissantes sur R+ pasbesoin de calculer les drives ici, un raisonnement sur la composition de fonctions monotones fait laffaire.En calculant f , on montre aisment que f est rgulire sur R et que f (0) = ~J (tangente verticale).

Pour la branche infinie au voisinage de , cest un simple calcul de limites :

t

a

t2

b2+ 1

=

b

a1 +

b2

t2

t

b

a, puis :

t ba a

t2

b2+ 1 = t

t2 + b2 =

(tt2 + b2)(t+t2 + b2)

t+t2 + b2

=t2 (t2 + b2)t+

t2 + b2

=b2

t+t2 + b2

t

0,

ce qui montre bien que la droite y =b

ax est asymptote de f au voisinage de . Le trac de C sen dduit.

Quand nous avons montr lexistence de , nous avons montr que ses coordonnes dans (F, ~I, ~J) sont(ep

1 e2 , 0), de sorte que c = F =

ep

e2 1 (car e > 1). Etant donnes les expressions de a et b en fonction

de e et p, on montre sans difficult que c2 = a2 + b2 et que e =c

a.

Explication Comment lexcentricit dune conique sinterprte-t-elle gomtriquement ? Nous avons laiss cettequestion de ct jusquici. Les figures suivantes illustrent la faon dont, mesure que e crot partir de 0, lellipse se tranformeen parabole puis aussitt en hyperbole. Dans tous les cas, la conique reprsente a pour directrice la droite D dquation x = 1et pour foyer le point F = (0, 0).

b

F

D

e = 1

e =1

2

e =1

4

e =3

4

e = 2e = 2 e = 4e = 4

4


2 Dfinition bifocale des coniques centre

Thorme (Dfinition bifocale de lellipse) Soient F et F deux points distincts et a un rel vrifiant 2a > FF . Lensembledes points M du plan tels que MF +MF = 2a est lellipse de foyers F et F et de demi-grand axe a.

Explication

Ce rsultat possde une interprtation jardinire facile retenir. Quand un jardinierveut crer un parterre de fleurs de forme elliptique, il lui suffit de planter deux piquetsF et F , daccrocher les extrmits dune corde de longueur 2a > FF chacun de cespiquets, et de suivre la mthode de trac figure ci-contre :

bb b

b

F F

~I

~J

Dmonstration Notons le milieu du segment [FF ], c = F , ~I =

F

cet ~J lunique vecteur pour lequel

(, ~I, ~J) est un repre orthonormal direct. Notons enfin e =c

aet D la droite dquation x = a

edans (, ~I, ~J).

Lhypothse 2a > FF ne signifie rien dautre que a > c, i.e. e < 1.

Soit M un point de coordonnes (x, y). On suppose que MF + MF = 2a. Multipliant par MF MF ,nous obtenons MF 2 MF 2 = 2a(MF MF ). Or MF 2 = (x+ c)2 + y2 et MF 2 = (x c)2 + y2, et doncMFMF = 2cx

a= 2ex. Additionnons ce rsultat avec lgalit MF+MF = 2a. Cela donneMF = a+ex,

donc : MF 2 = (a+ ex)2.

Notons prsent H =(ae, y)le projet orthogonal de M sur D. On a : MH2 =

(x+

a

e

)2.

Il est alors facile de vrifier que MF 2 = e2MH2, i.e. que MF = eMH . Nous avons bien montr que M estun point de lellipse dexcentricit e, de foyer F et de directrice associe D comme voulu, car cette ellipseest bien lellipse de foyers F et F et de demi-grand axe a.

Rciproquement, soit M un point de lellipse dcrite linstant.Alors MF 2 = e2MH2, i.e. (x + c)2 + y2 = e2

(x+

a

e

)2. Dveloppons cette identit, retranchons-lui 4cx,

nous obtenons : (x c)2 + y2 = e2(x a

e

)2. Cette quantit se trouve tre gale MF 2. Aprs une

petite racine carre, nous avons donc prouv deux relations intressantes :

MF = ex+ a

e

et MF = e x ae

.Or M est un point de lellipse, donc nous savons que a

e6 x 6

a

e. Finalement :

MF +MF = e(x+

a

e

)+ e

(ae x

)= 2a comme voulu.

Thorme (Dfinition bifocale de lhyperbole) Soient F et F deux points distincts et a un rel vrifiant 0 < 2a < FF .Lensemble des points M du plan tels que

MF MF = 2a est lhyperbole de foyers F et F et de demi-axe a.

Dmonstration Notons le milieu du segment [FF ], c = F , ~I =

F

cet ~J lunique vecteur pour lequel

(, ~I, ~J) est un repre orthonormal direct. Notons enfin e =c

aet D la droite dquation x = a

edans (, ~I, ~J).

Lhypothse 2a < FF ne signifie rien dautre que a < c, i.e. e > 1.

Soit M un point de coordonnes (x, y) tel queMF MF = 2a. Supposons dabord que MF MF = 2a.

Multipliant par MF + MF , nous obtenons MF 2 MF 2 = 2a(MF + MF ). Or MF 2 = (x c)2 + y2et MF 2 = (x + c)2 + y2, et donc MF + MF = 2cx

a= 2ex. Additionnons ce rsultat avec lgalit

MF MF = 2a. Cela donne MF = a ex, donc : MF 2 = (a ex)2.

Notons prsent H =(ae, y)le projet orthogonal de M sur D. On a : MH2 =

(x a

e

)2.

Il est alors facile de vrifier que MF 2 = e2MH2, i.e. que MF = eMH . Nous avons bien montr que M estun point de lhyperbole dexcentricit e, de foyer F et de directrice associe D comme voulu, car cettehyperbole est bien lhyperbole de foyers F et F et de demi-grand axe a.

On procde de mme dans le cas o MF MF = 2a.

5


Rciproquement, soit M un point de lhyperbole dcrite linstant.Alors MF 2 = e2MH2, i.e. (x c)2 + y2 = e2

(x a

e

)2. Dveloppons cette identit, ajoutons-lui 4cx, nous

obtenons : (x + c)2 + y2 = e2(x+

a

e

)2. Cette quantit se trouve tre gale MF 2. Aprs une petite

racine carre, nous avons donc prouv deux relations intressantes :

MF = ex a

e

et MF = e x+ ae

.Or M est un point de lhyperbole, donc nous savons que x 6 a

eou que x >

a

e. Supposons par exemple que

x >a

e dmonstration analogue dans lautre cas :

MF MF = e(x ae

) e

(x+

a

e

) = | 2a| = 2a comme voulu.

3 Equation polaire dune conique de foyer lorigine

Dans cette partie, (O,~,~) est un repre orthonormal direct du plan.

Thorme (Equation polaire dune conique de foyer lorigine) Soient D une droite ne contenant pas O, e > 0 et C laconique dexcentricit e, de foyer O et de directrice associe D. Alors lquation :

r =p

1 + e cos( 0)est une quation polaire de C, o p est le paramtre de C et o 0 est une mesure de langle reprsent ci-dessous.

Dmonstration

Notons P le projet orthogonal de O sur D et (d, 0) un couple de coordon-nes polaires de P dans (O,~,~). On choisit d > 0, i.e. d = d(O,D).

Travaillons dabord dans le repre (O,~u0 , ~v0). Pour tout point M de coor-donnes polaires (r, ) dans ce repre, si nous notons H le projet orthogonal

de M sur D, alors MH = (r cos + d) ~u0 , et donc MH = |d r cos |.Du coup :

M C MO = eMH |r| = e|d r cos | r = e(d r cos ) ou r = e(d r cos ) r = p

1 + e cos ou r =

p1 e cos car p = ed.

b

b

b

b

O

P

M

H

~

~

D

~u0~v0

0

Notre conique C semble donc tre la runion des supports des deux courbes paramtres r1 : 7 p1 + e cos

et

r2 : 7 p1 e cos . Mais en ralit r2( + pi) = r1(), et donc le point de paramtre de r1 est gal au point

de paramtre + pi de r2. En dautres termes r1 et r2 ont le mme support, et finalement r =p

1 + e cos est

une quation polaire de C.

Dans (O,~,~), cette quation polaire est dcale de 0 et devient comme voulu r =p

1 + e cos( 0) .

6


4 Tangentes

Thorme (Tangente une conique) Soit C une conique.

(i) Si C est une ellipse dquation rduite x2

a2+

y2

b2= 1 et si M0 est un point de C de coordonnes (x0, y0), alors la

tangente C en (x0, y0) est la droite dquation : x0xa2

+y0y

b2= 1.

(ii) Si C est une parabole dquation rduite y2 = 2px et siM0 est un point de C de coordonnes (x0, y0), alors la tangente C en (x0, y0) est la droite dquation : y0y = p(x0 + x).

(iii) Si C est une hyperbole dquation rduite x2

a2 y

2

b2= 1 et si M0 est un point de C de coordonnes (x0, y0), alors la

tangente C en (x0, y0) est la droite dquation : x0xa2

y0yb2

= 1.

En pratique Ce rsultat est vraiment facile retenir. Les x2 sont remplacs par des x0x, les y2 par des y0y et le

2x = x+ x de la parabole par x0 + x.

Dmonstration

(i) Nous avons dj vu que C est le support de la courbe paramtre rgulire f :{

R R2t 7 a cos t ~+ b sin t ~ .

Si t0 est un paramtre du point M0, i.e. si f(t0) = M0, alors la tangente TM0 en M0 est dirige par le vecteurf (t0) = (a sin t0, b cos t0) =

(a y0

b, b x0

a

).

Enfin, pour tout point M de coordonnes (x, y) :

M TM0 M0M et f

(t0) sont colinaires det(M0M,f

(t0))= 0

x x0 ay0

b

y y0 bx0a

= 0 x0x

a2+

y0y

b2= 1. Voil.

(ii) et (iii) Imiter la preuve de lassertion (i). Pour (ii), on remarquera que C est le support de la courbe

paramtre f :

R R2

t 7 t2

2p~I + t ~J

.

5 Equations cartsiennes ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

Dans cette partie, nous allons gnraliser la notion de conique introduite prcdemment et ltudier ensuite. En particulier,il a pu vous sembler tonnant que les cercles naient pas t des coniques jusquici. Qu cela ne tienne, ils en seront dsormais.

Dfinition (Conique, discriminant)

On appelle conique tout ensemble de points dont une quation cartsienne dans un repre orthonormal est de la forme :

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0,

o a, b, c, d, e, f R sont tels que (a, b, c) 6= (0, 0, 0). On appelle discriminant de lquation dune telle conique le rel b2 4ac.

Exemple

De part leurs quations rduites, les coniques tudies jusquici sont des coniques au sens nouveau du terme. Les cercles sont des coniques. Par extension, on considre que ce sont des ellipses, ce qui est bien naturel.

7


Thorme Soit C une conique dquation ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 dans un certain repre orthonormal, oa, b, c, d, e, f R sont tels que (a, b, c) 6= (0, 0, 0).

Si b2 4ac < 0, alors C est soit vide, soit un point, soit une ellipse (ventuellement un cercle). On dit dans ce cas queC est du genre ellipse.

Si b2 4ac = 0, alors C est soit vide, soit une droite, soit la runion de deux droites parallles, soit une parabole. Ondit dans ce cas que C est du genre parabole.

Si b2 4ac > 0, alors C est soit la runion de deux droites scantes, soit une hyperbole. On dit dans ce cas que C estdu genre hyperbole.

$ $ $ Attention ! Dire quune conique est du genre ellipse, par exemple, ce nest pas dire quelle est une ellipse ; cestjuste une faon de parler du signe de son discriminant.

En pratique Vous devez savoir trouver lquation rduite dune conique en utilisant la mthode prsente ci-aprs.

Dmonstration Partant de lquation gnrale ax2+ bxy+ cy2+dx+ey+f = 0, nous allons peu peu annulerles coefficients en prsence : dabord b, etc. Tout cela sera trs pnible. Ces annulations de coefficients vont treobtenues au moyen de changements de repre bien choisis. On pourrait montrer que les oprations qui vonttre faites ci-dessous prservent le signe du discriminant ainsi on est sr que les ellipses ne deviennentpas soudain des hyperboles par exemple mais cela alourdirait la dmonstration qui lest dj bien assez.

Rduction au cas b = 0 : Soit C une conique dquation ax2+ bxy+ cy2 +dx+ ey+ f = 0 dans un certainrepre (O,~,~). On suppose b 6= 0. Soit un rel quelconque. Que devient lquation de C dans le repre(O,~u, ~v) ? Notant (x

, y) les coordonnes dans ce nouveau repre, nous avons les formules de changement

de repre suivantes :

{x = x cos y siny = x sin+ y cos

. Ainsi une quation de C dans (O,~u, ~v) est :

a(x cos y sin)2 + b(x cos y sin)(x sin+ y cos) + c(x sin+ y cos)2 + . . . = 0.

Le coefficient de xy vaut alors :

2a cos sin+ b( cos2 sin2 ) + 2c cos sin = (c a) sin(2) + b cos(2).Or que voulons-nous faire ? Nous aimerions bien que ce coefficient soit nul. Si a = c, cela revient dire que

cos(2) = 0 et nous pouvons choisir =pi

4; si a 6= c, cela revient dire que tan(2) = b

a c et nous pouvons

choisir =1

2Arctan

b

a c . Pour la valeur de ainsi choisie, lquation de C dans le repre (O,~u, ~v) estde la forme attendue ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0 : le coefficient de xy est nul.

Cas o a = 0 et c 6= 0 (sachant que b = 0) : Ici, le discriminant est nul.Soit C une conique dquation cy2 + dx + ey + f = 0 dans un certain repre orthonormal (O,~,~). Quitte diviser par c 6= 0, on peut en fait supposer que lquation est de la forme y2 + dx + ey + f = 0. Alors(y +

e

2

)2+ dx+ f e

2

4= 0 est encore une quation de C. Notons S le point de coordonnes

(0, e

2

)dans

(O,~,~). Dans le repre (S,~,~), lquation prcdente de C scrit y2 + dx+ f e2

4= 0.

Nous avons donc russi tuer le coefficient de y. Nous pouvons nous contenter ds lors dtudier le cas duneconique C dquation y2 + dx+ f = 0 dans un certain repre (O,~,~).

1) Si d = 0 et f > 0, alors lquation y2 + f = 0 nayant aucune solution, C = .2) Si d = f = 0, alors C est une droite, la droite dquation y = 0.3) Si d = 0 et f < 0, alors C est la runion de deux droites, les droites dquations y = f .4) Enfin, si d 6= 0, on peut crire lquation prcdente de C sous la forme x = y

2 + f

dqui est

lquation dune parabole les axes sont inverss par rapport aux conventions habituelles.

Cas o a 6= 0 et c = 0 (sachant que b = 0) : Ce cas se traite comme le prcdent.

Cas o a 6= 0 et c 6= 0 (sachant que b = 0) : Ici, le discriminant est non nul.Soit C une conique dquation ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0 dans un certain repre (O,~,~). Si nous faisonsleffort de reconnatre le dbut de deux identits remarquables, nous pouvons rcrire cette quation sous la

forme a

(x+

d

2a

)2+c(y +

e

2c

)2+f d

2

4a e

2

4c= 0. Notons alors le point de coordonnes

( d2a

, e2c

)

dans (O,~,~). Dans le repre (,~,~), lquation prcdente de C devient ax2 + cy2 + f d2

4a e

2

4c= 0.

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Nous venons de tuer les coefficients de x et y. Nous navons donc plus qu tudier le cas dune conique Cdquation ax2 + cy2 + f = 0 dans un certain repre (O,~,~). Le discriminant associ est le rel 4ac.

1) Si 4ac < 0, alors a et c sont de mme signe. Quitte multiplier lquation par 1, nous pouvonssupposer a > 0 et c > 0.

- Si f > 0, alors lquation ax2 + cy2 + f = 0 na aucune solution, et donc C = .- Si f = 0, son unique solution est le couple (0, 0), de sorte que C = {O}.- Si f < 0, introduisons les deux rels > 0 et > 0 dfinis par 2 = f

aet 2 = f

c.

Alorsx2

2+

y2

2= 1 est une quation cartsienne de C. Ainsi C est une ellipse un cercle, si = .

2) Si 4ac > 0, alors a et c sont de signe contraire. En travaillant comme dans le cas 1), on peutmontrer que C est soit la runion de deux droites scantes, soit une hyperbole.

6 Projection orthogonale

dun cercle de lespace sur un plan

Thorme (Projection orthogonale dun cercle de lespace sur un plan) Soient P et P deux plans non orthogonauxet C un cercle inclus dans P . Alors la projection orthogonale de C sur P est une ellipse ventuellement un cercle.

Remarque Dans le cas o P et P sont orthogonaux, la projection orthogonale de C sur P est un segment.

Dmonstration

Notons C la projection orthogonale de C sur P , R le rayon de C, son centre et le projet orthogonal de sur P . Soit ~n un vecteur unitaire orthogonal P et D ladroite passant par dirige par ~n. Donnons-nous alors ~ un vecteur directeur unitairede la projection orthogonale de D sur P , ~ lun des deux vecteurs pour lesquels (,~,~)est un repre orthonormal de P , et enfin ~k lunique vecteur pour lequel (,~,~,~k) estun repre orthonormal direct de lespace. Notons (0, 0, h) les coordonnes de dans cerepre.Notre vecteur ~n est alors coplanaire aux vecteurs~ et ~k et il existe un rel pour lequel~n = cos ~ + sin ~k. Peut-on avoir sin = 0 ? Certainement pas, car alors P et P seraient orthogonaux.

P

P

C

~

~k

~

~n

b

b

Dterminons prsent une quation de P dans (,~,~,~k). Pour tout point M de coordonnes (x, y, z) :

M P ~n M = 0 cos 0sin

xyz h

= 0

x cos + (z h) sin = 0 z h = x cotan , o cotan = cossin

, sachant que sin 6= 0.

Dterminons prsent une quation de C. Pour ce faire, remarquons que C est lintersection de la sphre decentre et de rayon R avec P . Pour tout point M de coordonnes (x, y, z) :

M C x2 + y2 + (z h)2 = R2 et z h = x cotan (1 + cotan2)x2 + y2 = R2 et z h = x cotan x

2

(R sin )2+

y2

R2= 1 et z h = x cotan car 1 + cotan2 = 1

sin2 .

Dterminons enfin une quation de C. Pour tout point M de coordonnes (x, y, 0) C est contenu dans leplan dquation z = 0 :

M C z R/ (x, y, z) C x2

(R sin )2+

y2

R2= 1. Cest une ellipse.

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