- 2 droites sont parallèles ? - 2 droites sont perpendiculaires Comment démontrer que : - un...

- 2 droites sont parallèles ?

- 2 droites sont perpendiculaires

Comment démontrer que :

- un triangle est rectangle ?

Comment rédiger une démonstration ?

- 2 droites ne sont pas parallèles ?

- un triangle n’est pas rectangle ?

- un triangle est isocèle ?- un triangle est équilatéral ?- un quadrilatère est un parallélogramme- un … est un rectangle ?- un … est un losange ?- un quadrilatère est un carré ?- un point est le milieu d’un segment ?- une droite est médiane, médiatrice,hauteur ou bissectrice ?

- un point est un point particulier ?

- calculer la longueur d’un segment ?

- deux angles sont égaux ?

K

I

J

C

Soit un cercle C de diamètre [IJ]et K un point de ce cercle. Montrerque le triangle IJK est rectangle.

1. En écrivant la propriété

2. Sans écrire la propriété

donc le triangle IJK est rectangleen K.

K

I

J

C

• On écrit les hypothèses :[IJ] est un diamètre du cercle C.K est un point du cercle C.• On écrit la propriété :Si un côté d’un triangle est le diamètre d’un cercle et si le 3ème

sommet est sur ce cercle alorsce triangle est rectangle.• On donne la conclusion :

K est un point du cercle de diamètre[IJ] donc le triangle IJK est rectangle en K.

K

I

J

C

On écrit précisément les hypothèseset on donne directement la conclusion sans réciter la propriétéque l’on utilise :

Comment démontrer que deux droites sont parallèles ?

1. Avec les droites P P2. Avec les angles P P3. Avec les transformations P P

5. Avec la droite des milieux4. Avec les quadrilatères P

P6. Avec la réciproque de la propriété de Thalès

P Ex

1. Avec les droites

P Si deux droites sont parallèles à une même troisième alorselles sont parallèles entre elles.

d1

d2

d3

1. Avec les droites

P Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alorselles sont parallèles entre elles.

d1

d3

d2

2. Avec les anglesP Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égauxalors elles sont parallèles.

d

d'

2. Avec les angles

d

d'

P Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égauxalors elles sont parallèles.

3. Avec les transformationsP Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles.

d

d'

3. Avec les transformationsP. Si une droite est l’image d’une droite par une translation alorsces deux droites sont parallèles.

d

d'

4. Avec les quadrilatèresP Si un quadrilatère est un parallélogramme quelconque, un losange, un rectangle ou un carré alors ses côtés opposés sont parallèles.

//

//

5. Avec la droite des milieuxP Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèleau troisième côté.

6. Avec la réciproque de la propriété de Thalès

P Si dans les triangles AMN et ABC : - A, M et B sont alignés dans le même ordre que A, N et C ;

alors (MN) et (BC) sont parallèles.

=AMAB

ANAC

Exemple

Exemple : Démontrer que (JK) et (ML) sont parallèles.

Dans les triangles IML et IJK :- J, I et L sont alignés dans le même ordre que K, I et M.

I

L

M

K

J 12 cm

8 cm

5 cm

7,5 cm

I

L

M

K

J 12 cm

8 cm

5 cm

7,5 cm

=IMIK

58

=ILIJ

7,512et

5 12 = 60 et 8 7,5 = 60 Les produits en croix sont égaux donc IM

IK= IL

IJ

-

=IMIK

58

=ILIJ

7,512et

5 12 = 60 et 8 7,5 = 60 Les produits en croix sont égaux donc IM

IK= IL

IJ

-

D’après la réciproque de la propriété de Thalès, (JK) et (ML)sont parallèles.

Comment démontrer que deux droites ne sont pas parallèles ?

6 cm

8 cm4

cm5 cm

R

VU

TS

6 cm

8 cm

4 cm

5 cm

R

VUT

S- R, U et S sontalignés dans lemême ordre que R, V et T.

Dans les trianglesRUV et RST :

RURS

RVRT= =4

658

4 8 = 326 5 = 30

Les produits en croix ne sont paségaux donc RU

RSRVRT

donc

(UV) et (ST) ne sont pas parallèles.

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires ?

1. Les droites

2. La tangente à un cercle

3. Les droites remarquables

Avec :

4. Les quadrilatères

P

P

P P

P P

1. Avec les droitesP Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’une alorselle est perpendiculaire à l’autre.

d1

d2

d3

2. Avec la tangente à un cercle

P Si une droite est la tangenteà un cercle alors elle est perpendiculaire au rayon au point de contact.

A

O d

C

3. Avec les droites remarquables du triangleP Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et elle passe par son milieu.

d

3. Avec les droites remarquablesAvec les droites remarquables du triangle du triangleSi dans un triangle une droiteest une hauteur alors elle passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

d

4. Avec les quadrilatères

P Si un quadrilatère est unun losange alors sesdiagonales sont perpendiculaires.

4. Avec les quadrilatères

P Si un quadrilatère est unun carré alors ses diagonales sontperpendiculaires.

Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?

1. Avec les angles

2. Avec un cercle

3. Avec la réciproque du théorème de Pythagore

P

P

P Ex

1. Avec les angles

P Si un triangle a deux angles complémentaires (leur somme est égale à 90°) alors il est rectangle.

C

B

A

ABC + ACB = 90°

2. Avec un cercleP Si un côté d’un triangle est le diamètre d’un cercle et si le 3ème sommet est sur ce cercle alors ce triangle est rectangle.

A

OB

C

C

3. Avec la réciproque du théorème de Pythagore

P Si un côté d’un triangle est le diamètre d’un cercle et si le 3ème sommet est sur ce cercle alors ce triangle est rectangle.

B

A CBC²=AB²+AC²

plus grand côté

Exemple

Exemple : Démontrer que le triangle RST est rectangle.

4 cm

T

5 cm

3 cm

R

S

4 cmDans le triangle RST, [RT] est le plus long côté.

RT² = 5² ST²+SR² = 3²+4²RT² = 25 ST²+SR² = 9+16

ST²+SR² = 25

RT² = ST² + SR²

D’après la réciproque du théorèmede Pythagore, le triangle RST est rectangle en S.

T

5 cm

3 cm

R

S

Comment démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle ?

Exemple : Démontrer que le triangle EFG n’est pas rectangle.

12 cm

9 cm8 cm

GF

E

Dans le triangle EFG, [FG] est le plus long côté.

12 cm

9 cm8 cm

GF

E

FG² = 5² EF²+EG² = 8²+9²FG² = 25 EF²+EG² = 64+81

EF²+EG² = 145

FG² EF² + EG²

donc le triangle EFG n’est pasrectangle.

Comment démontrer qu’un triangle est isocèle ?

1. Avec les côtés

2. Avec les angles

1. Avec les côtés

P Si un triangle a deux côtés égaux alors il est isocèle.

Sommetprincipal

Base

2. Avec les angles

P Si un triangle a deux angles égaux alors il est isocèle.

Comment démontrer qu’un triangle est équilatéral ?

1. Avec les côtés

2. Avec les angles

1. Avec les côtés

P Si un triangle a trois côtés égaux alors il est équilatéral.

2. Avec les angles

P Si un triangle a trois angles égaux alors il est équilatéral.

Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ?1. Avec la définition2. Avec les diagonales3. Avec les côtés opposés

1 2

4. Avec les angles

5. Avec un centre de symétrie6. Avec les vecteurs

1 2

7. Avec une translation

1. Avec la définition

P Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors

c’est un parallélogramme.

//

//

2. Avec les diagonales

P Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent

en leur milieu alors c’est un parallélogramme.

3. Avec les côtés opposés (1)

P Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueuralors c’est un parallélogramme.

3. Avec les côtés opposés (2)

P Si un quadrilatère (non croisé)a 2 côtés opposés parallèles

et de même longueuralors c’est un parallélogramme.

//

4. Avec les angles

P Si un quadrilatère a sesangles opposés égaux alorsc’est un parallélogramme.

5. Avec un centre de symétrie

P Si un quadrilatère a un centre de symétrie

alors c’est un parallélogramme.

6. Avec les vecteurs (1)

P Si AB = CD alors ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

D

BA

C

6. Avec les vecteurs (2)

P Si AB + AC = ADalors ABDC est

un parallélogramme.

D

C

B

A

7. Avec une translation

P Si D est l’image de C par la translation de vecteur AB alorsABDC est un parallélogramme

D

BA

C

Comment démontrer qu’un … est un rectangle ?

1. Avec la définition

2. Avec les diagonales

3. Avec un angle droit

1. Avec la définition

P Si un quadrilatère a trois angles droits alors

c’est un rectangle.

2. Avec les diagonales

P Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur

alors c’est un rectangle.

3. Avec un angle droit

P Si un parallélogrammea un angle droit alors

c’est un rectangle.

Comment démontrer qu’un …est un losange ?

1. Avec la définition

2. Avec les diagonales

3. Avec les côtés

1. Avec la définition

1. Avec la définition

P Si un quadrilatère a quatre côtés égaux

alors c’est un losange.

2. Avec les diagonales

P Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires

alors c’est un losange.

3. Avec les côtés

P Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux

alors c’est un losange.

Comment démontrer qu’un quadrilatère est un carré ?

P Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange

alors c’est carré.

1. Avec la symétrie centrale

3. Avec les droites remarquables du triangle :

4. Avec un milieu et une parallèle

5. Avec un parallélogramme

6. Avec les vecteurs

2. Avec le centre d’un cercle

Médiatrice - Médiane

21

Comment démontrer qu’un point est le milieu d’un segment ?

P Si deux points A et A’sont symétriques par rapport à O alors O est le milieu de [AA’].

A

A’

O

1. Avec la symétrie centrale

2. Avec le centre d’un cercle

P Si un triangle est rectangle alorsle centre de son cercle circonscritest le milieu de son hypoténuse.

A

B

C

O

3. Avec les droites remarquables du triangle (1)

Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est

perpendiculaire à ce segment et elle passe par son milieu.

d

3. Avec les droites remarquables du triangle (2)

P Si dans un triangle une droite est une médiane

alors elle passe par un sommet et par le milieu du côté opposé

d

4. Avec un milieu et une parallèle

P Si dans un triangle une droitepasse par le milieu d’un côté et si

elle est parallèle à un 2ème côtéalors elle passe par le milieu du 3ème côté.

//

5. Avec un parallélogramme

P Si un quadrilatère est un parallélogramme alors

ses diagonales se coupent en leur milieu.

P Si AM = MB alors M est le milieu de [AB].

6. Avec les vecteurs (1)

A

BM

6. Avec les vecteurs (2)

P Si AB = DC alors [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.

D

B C

A

Comment montrer qu'une droite est médiane, médiatricehauteur ou bissectrice ?

Médiane

Médiatrice

Bissectrice d'un angle

Hauteur

"Média"

"Bi"

Médiane

Une médiane et une médiatrice passent par un milieu :

leur nom contient "média"

A B

C

Médiane

On montre qu'elle passe par un sommet et par le milieu d'un côté. On montre qu'elle passe par le milieu d'un côté et par le point d'intersection de 2 médianes. On montre qu'elle passe par unsommet et par le point d'intersection de 2 médianes.

qu'elle est perpendiculaire à uncôté et qu'elle passe par le point d'intersection de 2 médiatrices.

Médiatrice

C

O

qu'elle passe par le milieu d'un côté et qu'elle est perpendiculaire à ce côté. qu'elle passe par le milieu d'uncôté et par le point d'intersectionde 2 médiatrices.

Bissectrice d'un angle

Une bissectrice partage en angle en2 angles égaux : son nom contient

"bi" qui veut dire deux".

Bissectrice

On montre qu'elle passe par un sommet et qu'elle partage l'angleen 2 angles égaux.

• On montre qu'elle passe par unsommet et par le point d'intersection de 2 bissectrices.

• Pas de 3ème possibilité !

qu'elle est perpendiculaire à un côté et qu'elle passe par le point d'intersection de 2 hauteurs.

Hauteur

• qu'elle passe par un sommet et qu'elle est perpendiculaire au côté opposé. qu'elle passe par un sommet et par le point d'intersection de 2 hauteurs.

Comment montrer qu'un point est un point particulier d’un triangle ?

Centre de gravité

Centre du cercle circonscrit

Centre du cercle inscrit

Orthocentre

Centre de gravité

On montre que c’est le point d’intersection de 2 médianes.

Centre de gravité G

Centre du cercle circonscrit

O

Centre du cercle circonscrit(autour du triangle)

On montre que c’est le point d’intersection de 2 médiatrices.

Centre du cercle inscrit

Centre du cercle inscrit(à l’intérieur du triangle)

I

On montre que c’est le point d’intersection de 2 bissectrices.

Orthocentre

Orthocentre H

On montre que c’est le point d’intersection de 2 hauteurs.

Comment montrer que deux segments ont la même longueur ?

1. Avec un triangle

2. Avec un quadrilatère

3. Avec un polygone régulier

4. Avec une médiatrice5. Avec une transformation

1. Avec un triangle

On montre qu'ils sont les côtés d’un triangle isocèle.• On montre qu'ils sont les côtés d’un triangle équilatéral.

On montre qu'ils sont les côtés opposés d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange oud’un carré.

2. Avec un quadrilatère

On montre qu'ils sont les côtésconsécutifs d’un cerf-volant, d’un losange ou d’un carré.

P Si un polygone est régulier alors tous ses côtés sont égaux.

3. Avec un polygone régulier

P Si un point appartient à lamédiatrice d’un segment alors

il est à la même distancedes extrémités du segment.

4. Avec une médiatrice A

B

d

M

5. Avec une transformation

P L’image d’un segment par une transformation (symétrie axiale ou centrale, translation, rotation) est un segment de même longueur.

P L’image d’un cercle par unetransformation (symétrie axiale oucentrale, translation, rotation) est

un cercle de même rayon.

5. Avec une transformation

Comment calculer la longueur d’un segment ?

1. Avec 2 milieux2. Avec une médiane3. Avec un centre de gravité4. Avec la propriété de Thalès5. Avec le théorème de Pythagore

Calculer la longueur de l’hypoténuse

6. Avec la trigonométrie Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

Calculer la longueur de l’hypoténuseCalculer la longueur d’un côté de l’angle droit

P Si dans un triangle un segment a pour extrémités

les milieux de 2 côtés alors il a pour longueur la moitié du 3ème côté.

1. Avec 2 milieux

2. Avec une médiane

P Si un triangle est rectangle alors la médiane issue

de l'angle droit a pour longueur la moitié de l'hypoténuse.

OA

B

C

P Le centre de gravité est situé au 1/3 de chaque médiane à partir du milieu d’un côté.

3. Avec un centre de gravité

Centre de gravité

G A’

A

13

23

Centre de gravité

G A’

A

13

23

G est situé au de AA’ à partir de A’13

GA’ =

G est situé aux de AA’ à partir de A 

GA =

Calculer GA’ et GA

sachant que AA’ = 6 cm.

13

6 = 2 cm

6 = 4 cm23

4. Avec la propriété de Thalès

AM

N C

B

A

M

N

C

B

Triangles "emboîtés"

Triangles "en papillon"

AM

N C

B A

M

N

C

B

Si dans les triangles AMN et ABC :

P

AMAB

ANAC

alors ==MNBC

- (MN) et (BC) sont parallèles.

- A, M et B sont alignés - A, N et C sont alignés

4. Avec la propriété de Thalès

4. Avec la propriété de Thalès(JK) // (RP).

3,5

cm

S

K

J

P

R

7 cm

5 cm

4 cm Calculer JK et RS

Dans les triangles SJK et SRP :

- (JK) et (RP) sont parallèles. - K, S et R sont alignés - J, S et P sont alignés

SJSP

SKSR

alors == JKRP

4. Avec la propriété de Thalès

(JK) // (RP).

3,5

cm

S

K

J

P

R

7 cm

5 cm

4 cm Calculer JK et RS

SJSP

SKSR

alors == JKRP

soit encore 57

4SR

== JK3,5

4. Avec la propriété de Thalès

(JK) // (RP).

3,5

cm

S

K

J

P

R

7 cm

5 cm

4 cm Calculer JK et RS

57

4SR

== JK3,5

Calcul de JK :57

=JK3,5

JK = 5 3,57

2,5 cm=JK

donc

4. Avec la propriété de Thalès

(JK) // (RP).

3,5

cm

S

K

J

P

R

7 cm

5 cm

4 cm Calculer JK et RS

57

4SR

== JK3,5

Calcul de RS  :57

=4

SRSR = 4 7

55,6 cm=SR

donc

5. Avec le théorème de PythagoreP65 Si ABC est un triangle

rectangle en A alors

AB

CHypoténuse :côté opposé

à l'angle droitTrianglerectangle

en A

On a aussi AB² = BC² - AC²et AC² = BC² - AB²

BC² = AB² + AC²

Calculer la longueur de l’hypoténuse

Calculer RT (valeur exacte et valeur arrondie à 1 mm près).

R

T4 cm

5 cmS

Dans le triangle RSTrectangle en S, d'après le théorèmede Pythagore :RT² = + SR²ST²RT² = 4² + 5²RT² =RT² =

16 + 2541

RT = 41 cmvaleur exacteRT

valeur arrondie à 1 mm près

6,4 cm

Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

Calculer JK (valeur exacte et valeur arrondie à 1 mm près).

Dans le triangle IJKrectangle en J, d'après le théorèmede Pythagore :JK² = - JI²IK²JK² = 6² - 4²JK² =JK² =

36 - 1620

JK = 20 cmvaleur exacteJK

valeur arrondie à 1 mm près

4,5 cm

JI

6 cm

4 cm

K

P66 Dans le triangle ABC rectangle en A :

AB

C

Côté adjacentà l'angle

Hypoténuse Côté opposé

à l'angle

ABCABC

ABCsin = côté opposéhypoténuse

SOH

SOH CAH TOA

P66 Dans le triangle ABC rectangle en A :

AB

C

Côté adjacentà l'angle

Hypoténuse Côté opposé

à l'angle

ABCABC

ABCcos = côté adjacenthypoténuse

CAH

SOH CAH TOA

6.

P66 Dans le triangle ABC rectangle en A :

AB

C

Côté adjacentà l'angle

Hypoténuse Côté opposé

à l'angle

ABCABC

ABCtan = côté opposécôté adjacent

TOA

SOH CAH TOA

SOH CAH TOA

Pour tout angle aigu   :ABC

0 < sin < 1ABC

0 < tan ABC

0 < cos < 1ABC

Calculer la longueur de l’hypoténuse

Calculer BT (valeur exacte et valeur arrondie au dixième).

On connaît le

T

B U

6 cm66°

côté opposéon cherche l’hypoténusedonc on utilise : SOH

BT

T

6 cm

B U

66° Dans le triangle BUT rectangle en U :

sin =

BT= valeur exacte

sin66°

6 1

UTBT

UBT6

BT1=

BT =sin66°

6sin66°

cm

mode degrés : DEGvaleur arrondie

au dixième6,6 cm

Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

Calculer DE (valeur exacte et valeur arrondie au dixième).

On connaît le côté adjacenton cherche le côté opposédonc on utilise :

E

F

D

42°

5 cm

TAN

DE

Dans le triangle DEF rectangle en E :

tan =

DE=valeur exacte

tan 42°

5 tan 42°

DEEF

EFDDE51

=

DE =1

5 tan 42°cm

mode degrés : DEGvaleur arrondie

au dixième4,5 cm

EF

D42°

5 cm

Comment démontrer que deuxangles ont la même mesure ?

1. Avec une bissectrice2. Avec des angles opposés par le sommet3. Avec des droites parallèles

4. Avec des triangles particuliersAlternes-internes Correspondants

Isocèle Equilatéral5. Avec un parallélogramme6. Avec un polygone régulier7. Avec un cercle8. Avec une transformation

1. Avec une bissectrice

P67 La bissectrice d’un angle est la droite ou la demi-droite

qui partage cet angle en deux angles égaux.

xO

y z

2. Avec des angles opposés par le sommet

P68 Si deux angles sont opposés par le sommet

alors ils sont égaux.

O

3. Avec des droites parallèles

P69 Si deux droites parallèles et une sécante forment

des angles alternes-internesalors ils sont égaux.

d

d'

//

3. Avec des droites parallèles

P70 Si deux droites parallèles et une sécante forment

des angles correspondants alors ils sont égaux.

d

d'

//

4. Avec des triangles particuliers

P71 Si un triangle est isocèle alors ses angles à la base

sont égaux.

Base

4. Avec des triangles particuliers

P72 Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles sont

égaux à 60°.

5. Avec un parallélogrammeP73 Si un quadrilatère est

un parallélogramme (un rectangle, un losange ou un carré) alors ses angles opposés sont égaux.

6. Avec un polygone régulier

P74 Si un polygone à n côtés est régulier alors tous ses anglesau centre sont égaux à .360°

n360°

n

7. Avec un cercle

P75 Si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle

alors ils sont égaux.

Arc de cercle

8. Avec une transformationP76 L’image d’un angle par

une transformation (symétrie axiale ou centrale, translation, rotation)

est un angle de même mesure.

O

(symétrie centrale)

Comment calculer la mesure d’un angle ?

1. Avec une bissectrice

2. Dans un triangle 3a. Avec des angles complémentaires3b. Avec des angles supplémentaires4. Dans un polygone régulier

5. Dans un cercle6. Avec la trigonométrie :

1. Avec une bissectrice P77 Si une droite ou une demi-droite

est la bissectrice d’un angle alors elle partage cet angle

en deux angles égaux.

xO

y z

xOz = yOz =xOy

2

2. Dans un triangle

P78 La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.

ABC +ACB + BAC =

A

B C

180°

3. Avec des angles complémentaires

P79 Deux angles complémentaires sont deux angles dont

la somme est égale à 90°.

90°

+

3. Avec des angles supplémentaires

P80 Deux angles supplémentaires sont deux angles dont

la somme est égale à 180°.

180°

+

4. Dans un polygone régulier

P81 Si un polygone à n côtés est régulier alors tous ses anglesau centre sont égaux à .360°

n

360°n

5. Dans un cercle

P82 Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle alors l’angle inscrit est égal à la moitié l’angle au centre.

Arc de cercle

O

M

A B

6. Avec la trigonométrie :

SOHCAHTOA (rappel P66 p. 46)

On connaît le côté adjacent et l’hypoténuse donc on utilise : CAH

Exemple : Calculer ASC à 1° près.

C?5 cm

9 cm

A

S

A

S C?5 cm

9 cm

Dans le triangle SAC rectangle en C :

cos ASC = SCSA

cos ASC = 59

Cosinus de l’angleNombre entre 0 et 1

56°ASC Angle aiguentre 0° et 90°à 1° près.

Comment construire l’image d’une figure

par une transformation ?1. Par une symétrie axiale

2. Par une symétrie centrale

3. Par une translation

4. Par une rotation5. Par une composée de 2 symétries centrales

6. Par une composée de 2 translations

1. Par une symétrie axiale

d

P83

Construirel’image du

drapeau vertpar la symétrie

d’axe d.

1. Par une symétrie axiale

d

P83

Avec les lignes horizontales et verticales : 4 carreaux

vers la droite jusqu’à d

puis 4 carreaux vers le bas.

2. Par une symétrie centrale

3. Par une translation

4. Par une rotation

5. Par une composée de 2 symétries centrales

6. Par une composée de 2 translations