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71')&0+1%&'Raisonnement et langage mathématiques Le développement de l’argumentation et l’entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée. À l’issue de la seconde, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant et, par exemple, à distinguer implication mathématique et causalité. Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne doivent pas faire l’objet de cours spécifiques mais doivent prendre naturellement leur place dans tous les chapitres du programme.

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/"1)'6&'0806&'*&,3$1"6'Comme en classe de seconde, les capacités d’argumentation, de rédaction d’une démonstration et de logique font partie intégrante des exigences du cycle terminal. Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne font pas l’objet de cours spécifiques mais prennent naturellement leur place dans tous les champs du programme. Il importe toutefois de prévoir des moments d’institutionnalisation de certains concepts ou types de raisonnement, après que ceux-ci ont été rencontrés plusieurs fois en situation.(spécifique en S)

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Fonction et derivee

Exercice 1 :

1. Dans chacun des cas comparer, sur l’intervalle donne, les fonctions f et g puis les fonctions f � et g�.

I f(x) g(x) Comparer f et g sur I Comparer f � et g� sur I

IR ex ex+1 f � g f � � g�

IR x ex f � g f � � g�sur ]−∞; 0], f � � g� sur [0;+∞[

]0; +∞[ ln(x) x f � g f � � g�sur ]0; 1], f � � g� sur [1;+∞[

IR x2 x2 + 2x f � g sur [0;+∞[, f � g sur ]−∞; 0] f � � g�

2. Vrai ou faux ?

Pour chacune des propositions suivantes dire si elle est vraie ou fausse en justifiant les reponses.

Proposition 1 : ”Il existe un reel a de I tel que f(a) � g(a) et f �(a) � g�(a).”

Proposition 2 : ”Il existe un reel a de I tel que f(a) � g(a) et f �(a) > g�(a).”

Proposition 3 : ”Pour tout reel x de I, (f(x) � g(x) =⇒ f �(x) � g�(x)).”

Proposition 4 : ”(Pour tout reel x de I, f(x) � g(x)) =⇒ (Pour tout reel x de I , f �(x) � g�(x))”

Resumer les reponses obtenues en completant le tableau ci-dessous par V si la proposition est vraie et F si la propositionest fausse.

I f(x) g(x) f � g f � � g� Prop 1 Prop 2 Prop 3 Prop 4

IR ex ex+1 V ... ... ... ... ...

IR x ex ... ... ... ... ... ...

]0; +∞[ ln(x) x ... ... ... ... ... ...

IR x2 x2 + 2x ... ... ... ... ... ...

3. Proposer un intervalle I sur lequel la proposition 3 est vraie.

Exercice 2 :

Soit f et g deux fonctions telles que f(0) < g(0) et f(1) < g(1).Les fonctions f et g sont decroissantes sur l’intervalle [0; 1].Peut-on affirmer que f � g ?

Terminale S 2012-2013