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Triangles semblables.• 1er cas. Deux triangles sont semblables
lorsqu’ils ont deux angles respectivement égaux.
• Corollaire. Deux triangles rectangles sont semblables lorsqu’ils ont un angle aigu égal.
• 2e cas. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont un angle égal compris entre des côtés proportionnels.
• Corollaire. Deux triangles rectangles sont semblables lorsque les côtés de l’angle droit sont proportionnels.
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Triangles semblables.• Théorème. Deux
triangles qui ont les côtés respectivement parallèles ou respectivement perpendiculaires sont semblables.
B
A CA’
B’
C’
A
B
CA’
B’
C’
3
Polygones homothétiques.• Polygones
homothétiques. Si on joint un point O aux sommets du polygone ABCDE et on porte sur les droites OA, OB,… des longueurs OA’, OB’,… telles que OA’/OA = OB’/OB=…=OE/OE’=k, k étant un nombre positif, on obtient un polygone P’ dit homothétique du polygone P.
AB
C
D
EA’B’
C’D’
E’
O
PP’
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Polygones semblables.• Deux polygones P et P’ sont semblables si
le polygone P1 est égal à un polygone homothétique de P.
• Les sommets correspondants des polygones semblables ou homothétiques sont appelés sommets homologues; les angles correspondants sont appelés angles homologues; les droites qui joignent deux points homologues de deux polygones homothétiques sont appelés droites homologues.
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Polygones semblables.
• Les angles homologues sont égaux. Les côtés homologues sont proportionnels.
• Théorème. Deux polygones qui ont leurs angles respectivement égaux et leurs côtés homologues proportionnels sont semblables
• Corollaire. Deux polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont égaux.
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Relations métriques dans le triangle.
• On appelle projection orthogonale d’un point sur une droite, le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite.
• Le projection d’un segment sur une droite est le segment dont les extrémités sont les projections des extrémités du segment donné.
7
Relations métriques dans le triangle rectangle.
• Théorème. Dans un triangle rectangle, les deux triangles partiels déterminés par la hauteur sont semblables entre eux et chacun d’eux est semblable au triangle total.
A
BCHa
b
m n
c
8
Relations métriques dans le triangle rectangle.
• Théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.
a2=b2+c2
A
BCHa
b
m n
c
a/b = b/n, donc b2 = an
a/c = c/m, donc c2 = am
h
b2+c2 = an+am = = a(n+m) = a*a= a2
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Relations métriques dans un triangle quelconque.
• Théorème. Dans un triangle quelconque le carré d’un côté opposé à un angle aigu égale la somme des carrés des deux côtés moins deux fois le produit de l’un d’eux par la projection de l’autre sur lui.
a2 = b2 + c2 – 2bn
10
Relations métriques dans un triangle quelconque.
a2 = m2 + h2
Dans le Cas 1: m = b – nDans le Cas 2: m = n – bAlors toujours
m2 = b2 + n2 – 2bnMais h2 = c2 – n2, alors
a2 = (b2 + n2 – 2bn) + (c2 – n2)
a2 = b2 + c2 – 2bn
A
B
CH
a
m n
ch
b
nC
B
A
c
a
b
h
m
Cas 1
Cas 2
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Relations métriques dans un triangle quelconque.
• Théorème. Dans un triangle quelconque le carré d’un côté opposé à un angle obtus égale la somme des carrés des deux côtés plus deux fois le produit de l’un d’eux par la projection de l’autre sur lui.
a2 = b2 + c2 – 2bn
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Relations métriques dans un triangle quelconque.
a2 = m2 + h2
m = b – nAlors on a
m2 = b2 + n2 + 2bnMais h2 = c2 – n2, alors
a2 = (b2 + n2 + 2bn) + (c2 – n2)
a2 = b2 + c2 + 2bn
mA
B
C
a
c
b
h
n
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