13 octobre 2005 Thèse de Doctorat Spécialité: Physique ...€¦ · Modèles « empiriques » :...

Modélisation d’endommagement

Cyril Kazymyrenko, ERMES

Formation Aster GC 2018

Endommagement du béton

Béton : matériau fragile adoucissant

2/42

EDF R&D

Adoucissement => snap-back

– Comportement endo typique :

• linéaire jusqu’à la valeur critique

• adoucissement post-pic

• linéaire en décharge

– Seul le maillon faible se rompe => problème?

s=sc

état initial

rupture

traction max

Régime dissipatif

Régime linéaires

e

sc

Régime linéaire endommagé

Traction d’une barre 1D

s

e

Comportement simplifié :

sc

ec

Bimatériau à caractéristiques proches

S

l1

Soit les deux barre s’endommagent simultanément

Equation d’équilibre => contrainte constante dans la barre

1 2 1 1 2 2/ /l l l le e= = =

ef

si

( ) si

c

f c

E

E

e e es

e e e e

=

III

l2

Réponse force-déplacement

Régime dissipatif

Régime linéaire

F

l

/ elastique

( / ) endof

SE l lF

SE l le

=

Energie dissipée

Energie dissipée :2

diss cJ Fdl SE le= =

Traction d’une barre 1D

Barre II

Barre Is

e

Comportement simplifié :

sc

ec

Bimatériau à caractéristiques proches

S

l1

Soit la barre II s’endommage seule

Equation d’équilibre post pic => égalité de contraintes

2

2

1

1

2 21 1( ) ; f

l

l

l

lE Ee ees e e

= == =

2 1 2( ) /( )fF S S l ll lEs e= =

ef

si

( ) si

c

f c

E

E

e e es

e e e e

=

III

l2

1 12 2/ ( / )fl ll ll E Es e s =

donc

Réponse force-déplacement

Energie dissipée diminueF

l

Analyse EF d’une barre homogène

Etude de convergence en fonction de finesse de maillage

ec

Régime dissipatif

Régime linéaire

ef

Plusieurs mailles, mais seul le maillon faible s’endommage

/l l

/F S

La réponse est homogène,

identique à la réponse locale

Une seule maille QUAD8

ec ef

/l l

/F S

2 mailles

ec ef

/l l

/F S

5 mailles

•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir

Exemple : endommagement

Comportement endo

Seul le maillon faible se rompe

état initial

rupture

Elément endommagé

Tout élément sain

s

e

•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir

Exemple : endommagement

Comportement endo => rupture du maillon faible

Concentration de déformation sur une maille

rupture

x

deplacement u(x)

•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir

Exemple : endommagement

Concentration de déformation sur une maille

Déformation discontinue

rupture

x

déformation e(x)

=

i

j

j

iij

x

u

x

u

2

1e

1 ( )d

dux

dxe =

•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir

Exemple : endommagement

Raffinement de maillage

Concentration de déformation sur une maille

rupture

x

deplacement u(x)

•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir

Exemple : endommagement

Raffinement de maillage

Déformation discontinue

rupture

x

défo e(x)

=

i

j

j

iij

x

u

x

u

2

1e

1 ( )d

dux

dxe =

•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir

Exemple : endommagement

Raffinement de maillage

Saut de déplacement

Pic de déformation

Le champs de déplacement n’est plus une fonction dérivable

rupture

x

1 ( )d

dux

dxe =

depl u(x)

Sensibilité à la taille et à l’orientation de maillage

Modélisation 2D axis-symétriqueEprouvette en traction simple

Test sur une éprouvette entaillée

Différents maillages testés

Maillage droit Maillage coude

Maillage est orienté dans la

partie centrale de l’éprouvette

« Accrochage » de fissures

au maillage

Maillage droit

Maillage coude

Test sur une éprouvette entaillée : trajet de fissuration

Test sur une éprouvette entaillée: réponse force-depl

snap-back global n’est pas identique pour différentes finesses

Particularité des modèles endo

Sensibilité à la taille de maille

L’énergie de dissipation tend vers zéro avec la finesse de maillage

Sensibilité à l’orientation de maillage

Trajets de fissuration varie pour les maillages réguliers

Solutions multiples

Les équations d’équilibre mécanique perdent leur ellipticité => pas d’unicité. Etude de

la stabilité et de bifurcation est nécessaire.

Robustesse

Matrice tangente varie en permanence, ce qui perturbe la convergence de l’algorithme

de Newton => convergence difficile

Performance

Les calculs sont très longs

Notion d’endommagement

Kachanov (1954), Lemaître (1955)

Définition de l’endommagement : Taux irréversible de fissuration α évoluant

de 0 pour un matériau sain à 1 lorsqu’une fissure apparaît,

Notion d’endommagement

L’endommagement permet de représenter la perte de rigidité du matériau :

0 ) 1

1 ) 0

α A(α

α A(α

= =

= =

Es e=1

2Es e=

endommagement

( ) (, )A Es e e =

variable d’endommagement

La loi élastique est complétée par une loi d’évolution de variable endo α

sain

endommagé

0 α < 1

s

e

sc

Par exemple : A(α) =1-α

Modèles « empiriques » : exemple loi de Mazars (1984)

Loi ajustée sur comportements simples (traction 1D)

Endommagement est piloté par la déformation maximale

Modèles énergétiques : Marigo (1989)

Loi basé sur le principe de minimisation d’énergie totale

Endommagement est supposé croissant

Modèle standard généralisé (MSG) : Halphen et Son (1975)

Loi basé sur le seconde principe de la thermodynamique

Etat d’endommagement est définit en imposant la dissipation positive

Modèles micro-macro

Loi obtenue par homogénéisation de l’état microscopique

Modèles générales à seuil

La fonction seuil décrivant l’évolution d’endommagement est postulée

Lois multi-physiques : loi Sellier, RAG etc.

Etat d’endommagement est piloté par un phénomène physique complexe

Évolution d’endommagement( ) (, )A Es e e =

Modèles « empiriques » : exemple loi de Mazars (1984)

Loi ajustée sur comportements simples (traction 1D)

Endommagement est piloté par la déformation maximale

• Modèles énergétiques : Marigo (1989)

Loi basé sur le principe de minimisation d’énergie totale

Endommagement est supposé croissant

• Modèle standard généralisé (MSG) : Halphen et Son (1975)

Loi basé sur le seconde principe de la thermodynamique

Etat d’endommagement est définit en imposant la dissipation positive

Modèles micro-macro

Loi obtenue par homogénéisation de l’état microscopique

• Modèles générales à seuil

La fonction seuil décrivant l’évolution d’endommagement est postulée

• Lois multi-physiques : loi Sellier, RAG etc.

Etat d’endommagement est piloté par un phénomène physique complexe

Classifications : I type

1. Liens forts avec l’expérimental

2. Premiers modèles reproduisant bien les comportements simples

3. Largement utilisés par l’ingénierie et les équipes expérimentales

( ) (, )A Es e e =

( ) ( ))

0

(

( )

EAs e e e

e

=

Modèles « empiriques » : exemple loi de Mazard (1984)

Loi ajustée sur comportements simples (traction 1D)

Endommagement est piloté par la déformation maximale

Modèles énergétiques : Marigo (1989)

Loi basé sur le principe de minimisation d’énergie totale

Endommagement est supposé croissant

Modèle standard généralisé (MSG) : Halphen et Son (1975)

Loi basé sur le seconde principe de la thermodynamique

Etat d’endommagement est définit en imposant la dissipation positive

Modèles micro-macro

Loi obtenue par homogénéisation de l’état microscopique

• Modèles générales à seuil

La fonction seuil décrivant l’évolution d’endommagement est postulée

• Lois multi-physiques : loi Sellier, RAG etc.

Etat d’endommagement est piloté par un phénomène physique complex

Classifications : II type

1. Modèles basés sur les principes physiques générales

2. Dépendance de peu de paramètres

3. Possibilité d’introduire la régularisation commune

= xxaxa d))(),((),(F εε

1( , ) () : )

2(A aa E ae e e =

(( , ) )a EA as e ee

= =

Modèles « empiriques » : exemple loi de Mazars (1984)

Loi ajustée sur comportements simples (traction 1D)

Endommagement est piloté par la déformation maximale

Modèles énergétiques : Marigo (1989)

Loi basé sur le principe de minimisation d’énergie totale

Endommagement est supposé croissant

• Modèle standard généralisé (MSG) : Halphen et Son (1975)

Loi basé sur le seconde principe de la thermodynamique

Etat d’endommagement est définit en imposant la dissipation positive

Modèles micro-macro

Loi obtenue par homogénéisation de l’état microscopique

Modèles générales à seuil

La fonction seuil décrivant l’évolution d’endommagement est postulée

Lois multi-physiques : loi Sellier, RAG etc.

Etat d’endommagement est piloté par un phénomène physique complexe

Classifications : III type

1. Loi de comportements très complexes

2. Dépendance au jeu important de paramètres

3. Problème d’identification fréquent

Modèles énergétiques : Halphen et Son (1975), Marigo (1989)

Principe : le système minimise son énergie totale

21( , ) (1 ) :

2a a E kae e e =

Endommagement scalaire

Energie libre de Helmholz

Energie élastique

Energie d’endommagement

(1 )( , )a Eas e ee

= =

1

: 22

E kaa

e e

=

( , ) ( , ) :total a ae e s e e a

Modèle ENDO local : paramètrisation

Régime dissipatifs

e

sc

21( , ) (1 ) :

2a a E kae e e =

Ceux sont des lois à un seul paramètres : on ne peut contrôler qu’une

seule propriétés physiques soit

Régime dissipatif

Régime linéaires

sc

21( , ) (1 ) :

2a a E kae e e =

; c fGs

Il faut introduire les lois dépendant de plus de paramètres afin de pouvoir

capter les phénomènes physiques plus complexes

21( , ) : / 2

1k

aa E a

ae e e

=

e

Zone élastique en 2D/3D

zone élastique réelle

Loi dépendante que de 2 paramètres:

Seuil en traction

Energie de rupture (Griffith)

21( , ) : / 2

1k

aa E a

ae e e

=

s2

s1

zone élastique numérique0a

=

Zone élastique en 2D/3D

1. Lois peu robustes

2. Energie de rupture dépendante de

la taille de maille

3. Zone élastique non réaliste

Loi dépendante que de 2 paramètres:

Seuil en traction

Energie de rupture (Griffith)

21( , ) : / 2

1k

aa E a

ae e e

=

s2

s1

Zone élastique numérique

Correction pragmatique : contrôle de l’énergie dissipée

Ajustement taille de maille ou paramètre matériau

Energie dissipée au point matériel

Taille de maille

Expression de l’énergie de fissuration Gf : énergie pour créer 1 m2 de fissure)

s

e

ETE

21 1

2

cdiss

T

JE E

s =

pour le Béton

=

=

=

=

mmNG

MPa

MPaE

MPaE

c

c

T

/1.0

3

20000

30000

s

mmh 270=

diss fJ h G =

Energie dissipée

h

s

e

Correction pragmatique : Hillerborg

Ajustement de la taille de maille ou du paramètre matériau

Energie dissipée au point matériel

Taille de maille

diss fJ h G =

Energie dissipée

h

s

e

1. Lois très peu robustes

2. Energie de rupture dépendante de

la taille de maille

3. Fissure s’accroche aux maillages

Modélisation régularisée :

Loi avec gradient d’endommagement

1( , ) ( ) : ( )

2

1.

2c a aa A a E ae e e =

Modélisation locale :

( )1 1

( , ) : .2 2

( )a E c a aaA ae e e =

Perte de rigidité Dissipation

Régularisation par le gradient d’endommagementGRAD_VARI

Origine des oscillations numériques

Présence de nombreuses oscillations globales difficiles à suivre

Proposition :

Si modèle 1D est régulière alors la comportement totale est régulier

Solution 1D pour le choix de A(a)

Cas unidimensionnel de test

Barre chargée en déplacement aux deux extrémités

Symétrie du problème pour simplification

Objectifs

U

l

Réponse stable.

Possibilité d’atteindre l’endommagement ultime .

Lien possible entre les paramètres de la loi et des paramètres macro.

1a =

A a Es = e2

( , ) '( )'( ) '' 0

2 ( )

a A aa ca

a A a E

e s

2=

Equation (EDO) à résoudre

Nouvelle loi régularisée :

A 1D se réduit à la loi semi-analytique

Zone élastique de deuxième ordre

Loi isotrope

Bons résultats : bonne robustesse, peu de paramètres

Différentiation traction/compression

Zone élastique en fonction du choix de para

s2

s1

zone élastique modifiée

compression

traction

Loi dépendant de 4+1 paramètres :

Trois para d’endo (trac, comp, cisaille)

Energie de rupture (Griffith)

Taille de la zone endommagée (numérique)

Éprouvette cylindrique entaillée

Calcul 2D : indépendance aux maillage Calcul 3D rapide

Plaque trouée

Différence

traction/compression

Chemins de fissuration

correctes

Bonne robustesse

compression

traction

robustesse

Réponse globale

Poutre MECA

Différence traction/compression

Chemins de fissuration correctes

Bonne robustesse

Poutre MECA :

Poutre armé en flexion 3 points

Calcul Enceinte

Enceinte en béton : calcul complet avec modèle de Mazars

Câbles de précontrainte

60 Radier

57 Verticaux

98 Gamma

18 Dôme

122 Horizontaux

Nervure

SAS Matériel

SAS Exploration

SAS

Entretien

SAS Personnel

Résultats qualitatifs

Détection de la zone de danger

Evolution des lois d’endommagement

OTM 2008:

Calcul 3D est possible

sans armatures

50 000 nœuds

10 heurs de calcul

Livrable 2014:

Calcul sur PACE

armature, câble précontrainte

500 000 nœuds

10 heures de calcul

0.1 m 1 m

time

Surface de charge proche des essais pour le béton

s2

s1

s2

s1

Industrialisation

Calcul sur PACE

• Taille 2m x1m

• Armatures

• Câble de précontrainte

Stratégie de calcul industriel

• Seuil de rupture par RDM

• Trajet de fissuration par ImplEx

• Validation par ENDO réduit (membrane, barre)

• Validation ultime ENDO 3D

Suivi VERCORS

0,00E+00

1,00E-03

2,00E-03

3,00E-03

4,00E-03

5,00E-03

6,00E-03

trajet de fissuration

initiation autours du câble

ouverture de fissures

Damage model to be used

Behavior law Modelisation Usage and material type

GLRC_DM(DAMAGE) DKTG plates - Earthquake analysis

- Only reinforced concrete

ENDO_SCALAIRE

ENDO_FISS_EXP

GRAD_VARI - Concrete crack propagation

- Reinforced concrete with 1D rebars; 2D layer

ENDO_ISOT_BETON Local IMPLEX - Approximate concrete crack propagation

- Reinforced concrete with 1D rebars; 2D layer

ENDO_ORTH_BETON Local/GRAD_EPSI + Orthotropic damage

+ contact rigidity restoration

- bad numeric performance

MAZARS Local - Quasi-static analysis

- Only reinforced concrete

•Two possible regularisations for damage localization : GRAD_VARI, GRAD_EPSI

« Crack » mechanics summary

Three methods to represent cracksLinear elastic fracture mechanics (LEFM) + extended finite elements (XFEM)

Cohesive zone model (CZM)

Damage mechanics

(Dis)advantage LEFM + XFEM CZM DAMAGE

Crack initiation

Crack path

Performance

Robustness

Usage Complexity