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L-P-Bourguiba de Tunis Durée : 2 H Devoir de Mathématiques n°3 Prof : Ben Jedidia Chokri Date : 24/2/2011 Classe : 4M8 EXERCICE 1 : ( 4 points)
Répondre par vrai ou faux 1.Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si p2 1− est premier alors p est premier. 2. La division Euclidienne de a = 2011 par b = -23 donne :
Comme quotient q=a
E( ) 1 87b
+ = − et comme reste r = 20
3. L’entier A= 2 3 4 2010 20111 3 3 3 3 ....... 3 3+ + + + + + + est divisible par 10 . 4. On considère l’équation dans ℤ : 6x 8(mod10) ≡
L’ensemble des solutions est S={ }3 10k,k+ ∈ℤ EXERCICE 2 : (6 points)
Soit dans le plan orienté un carré ABCD de sens direct de centre O
tel que [ ](AB,AD) 22
→ → π≡ π .
On désigne par I et J les milieux respectifs des segments [ ] [ ]ADet AB 1.a/ Justifier qu'il existe un unique antidéplacement f telle que f(A)=D et f(B)=A b/Montrer que f est une symétrie glissante.
Et donner les éléments caractéristiques de f.
2.On pose R=foSAB Montrer que R est une rotation. Préciser son angle son centre 3.Soit S la similitude directe S telle que S(J)=A et S(A)=B
a)Déterminer le rapport et l’angle de S
b)Construire son centre ω
c)Montrer que [ ]JBω∈
b) Déterminer S(I) et S(O).
4. Soit g la similitude indirecte telle que : g=SABoS a/ Vérifier que gog(J)=B b/Caractériser g EXERCICE 3(2points)
Le plan P est rapporté à un ROND ( )v,u,o .On considère la fonction g
qui à tout M d’affixe z associe M’ d’affixe Z’ défini par : z'=2iz+1
1Montrer que g est une similitude indirecte de centre Id’affixe 1 2
i3 3
− − de rapport 2
2.Ecrire l’équation de l’axe ∆ de g
EXERCICE 4 : (8 points)
Soit la fonction f définie sur ] [ 10,2 par: f(x) =
x(2-x)
On désigne par Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un même repère orthonormé( )o i j, ,
� �.
1-Montrer que la droite x=1 est un axe de symétrie de Cf . 2-Dresser le tableau de variation de f. 3-Construire Cf
4-Soit la fonction F définie sur 02
,π
par : F(θ )=
1 sin
1f (x)dx
− θ
∫ .
a .Montrer que F est dérivable sur 02
,π
et déterminer sa fonction dérivée
b. Montrer que pour tout réel θ de 02
,π
F( )= - θ θ
5- En déduire la valeur de A=1
1
2
f (x)dx∫ Que représente la valeur trouvée.
6- L’espace est muni d’un repère orthonormé ( )k,j,i,O .
a. Vérifier que pour tout x de ] [ 2 1 1 10,2 (f(x)) = ( )
2 x 2-x−
b. En déduire le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de l’arc AB autour l’axe de ( )i,O
� ( ) 1AB M x,y tels que y f (x) et a= x b=1
2 = = ≤ ≤
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