L-P-Bourguiba de Tunis Durée : 2 H Devoir de Mathématiques n°3 Prof : Ben Jedidia Chokri Date : 24/2/2011 Classe : 4M8 EXERCICE 1 : ( 4 points)

Répondre par vrai ou faux 1.Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si p2 1− est premier alors p est premier. 2. La division Euclidienne de a = 2011 par b = -23 donne :

Comme quotient q=a

E( ) 1 87b

+ = − et comme reste r = 20

3. L’entier A= 2 3 4 2010 20111 3 3 3 3 ....... 3 3+ + + + + + + est divisible par 10 . 4. On considère l’équation dans ℤ : 6x 8(mod10) ≡

L’ensemble des solutions est S={ }3 10k,k+ ∈ℤ EXERCICE 2 : (6 points)

Soit dans le plan orienté un carré ABCD de sens direct de centre O

tel que [ ](AB,AD) 22

→ → π≡ π .

On désigne par I et J les milieux respectifs des segments [ ] [ ]ADet AB 1.a/ Justifier qu'il existe un unique antidéplacement f telle que f(A)=D et f(B)=A b/Montrer que f est une symétrie glissante.

Et donner les éléments caractéristiques de f.

2.On pose R=foSAB Montrer que R est une rotation. Préciser son angle son centre 3.Soit S la similitude directe S telle que S(J)=A et S(A)=B

a)Déterminer le rapport et l’angle de S

b)Construire son centre ω

c)Montrer que [ ]JBω∈

b) Déterminer S(I) et S(O).

4. Soit g la similitude indirecte telle que : g=SABoS a/ Vérifier que gog(J)=B b/Caractériser g EXERCICE 3(2points)

Le plan P est rapporté à un ROND ( )v,u,o .On considère la fonction g

qui à tout M d’affixe z associe M’ d’affixe Z’ défini par : z'=2iz+1

1Montrer que g est une similitude indirecte de centre Id’affixe 1 2

i3 3

− − de rapport 2

2.Ecrire l’équation de l’axe ∆ de g

EXERCICE 4 : (8 points)

Soit la fonction f définie sur ] [ 10,2 par: f(x) =

x(2-x)

On désigne par Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un même repère orthonormé( )o i j, ,

� �.

1-Montrer que la droite x=1 est un axe de symétrie de Cf . 2-Dresser le tableau de variation de f. 3-Construire Cf

4-Soit la fonction F définie sur 02

,π

par : F(θ )=

1 sin

1f (x)dx

− θ

∫ .

a .Montrer que F est dérivable sur 02

,π

et déterminer sa fonction dérivée

b. Montrer que pour tout réel θ de 02

,π

F( )= - θ θ

5- En déduire la valeur de A=1

1

2

f (x)dx∫ Que représente la valeur trouvée.

6- L’espace est muni d’un repère orthonormé ( )k,j,i,O .

a. Vérifier que pour tout x de ] [ 2 1 1 10,2 (f(x)) = ( )

2 x 2-x−

b. En déduire le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de l’arc AB autour l’axe de ( )i,O

� ( ) 1AB M x,y tels que y f (x) et a= x b=1

2 = = ≤ ≤