Automatique des systèmes

Electronique, Robotique et Informatique Industrielle 4ème Année

AAuuttoommaattiiqquuee ddeess ssyyssttèèmmeess nnoonn lliinnééaaiirreess

André CROSNIER

LIRMM - 04 67 41 86 37 crosnier@lirmm.fr

2

Chapitre 1 Introduction

Objectifs du cours • Modélisation et analyse des systèmes non linéaires • Introduction à la commande non linéaire

Chapitre 1 : introduction Chapitre 2 : modélisation des systèmes non linéaires Chapitre 3 : analyse des systèmes non linéaires Chapitre 4 : introduction à la commande non linéaire

Système non linéaire

Commande (linéaire ou non

linéaire)

3

Commande non linéaire (nombreuses recherches…) : pourquoi? • La synthèse de commandes linéaires s’appuie des modèles linéaires. S’il

est possible de se ramener à des modèles linéaires par linéarisation locale, la robustesse de la commande résulte d’une bonne connaissance des points de fonctionnement.

• Les commandes linéaires se révèlent complètement inefficaces face à des

systèmes à forte non linéarité.

• La synthèse de commande linéaire présuppose une bonne connaissance du modèle. Il est alors difficile de prendre en compte les incertitudes liées au modèle : o Incertitude liée aux paramètres (changement de valeur) o Incertitude liée à la structure (changement de modèle)

4

• La synthèse de commande linéaire n’est pas nécessairement plus simple à mettre en œuvre. L’évolution des technologies constitue un facteur supplémentaire au développement des techniques de commande non linéaire.

Bibliographie

SLOTINE J.J, LI W., « Applied non linear control », Prentice Hall

ISIDORI A., « Non linear Control Systems », Springer

CROSNIER A. et al. « Ingénierie de la commande des systèmes. Techniques de base », Ellipses

BORNE P. et al., «Analyse et régulation des processus industriels »,

Technip

5

Chapitre 2 Modélisation des systèmes non

linéaires

Comportement non linéaire des systèmes Typologie Intrinsèquement, la plupart des systèmes physiques ont un comportement non linéaire. Les non linéarités peuvent être de nature différentes :

• Non linéarité naturelle (systèmes physiques) : ces non linéarités induisent souvent des effets indésirables

• Non linéarité artificielle (systèmes de commande) : elles sont mises en œuvre dans le but de compenser les effets induits par les non linéarités naturelles

6

Une autre classification des non linéarités repose sur les propriétés mathématiques de la non linéarité : continue ou discontinue. Exemple :

Tout Ou Rien

Hystérésis Amplificateur avec seuil

7

Définition Il est possible de donner comme définition d’un système non linéaire, tout système ne vérifiant pas les propriétés mathématiques des systèmes linéaires stationnaires (LTI : Linear Time Invariant). Considérons le système linéaire défini par l’équation d’état :

x Ax Bu= + Ce système se caractérise par les propriétés suivantes :

• Il possède un point d’équilibre unique solution de l’équation 0x= ; la solution générale de l’équation différentielle d’état s’écrit : ( ) (0)Atx t e x= (essai de lâcher)

• Le point d’équilibre est stable si toutes les valeurs propres de A sont à partie réelle négative, et ceci de façon indépendante des conditions initiales

8

• Le système vérifie le principe de superposition par rapport à l’entrée de commande ( )u t .

• Enfin, si l’entrée est sinusoïdale, la sortie est aussi sinusoïdale à la même fréquence, caractérisant ainsi la propriété de stationnarité du système.

Exemple : considérons le système (véhicule sous-marin) caractérisé par l’équation différentielle suivante :

v vv u+ = où v est la vitesse du véhicule et u l’entrée de commande (poussée du système de propulsion).

9

Le système ne vérifie pas le principe de superposition (cf. courbe de réponse pour différentes entrées).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

u(t)

(2)

(1)

v(t)

(2)

(1)

10

Caractéristiques du comportement des SNL Points d’équilibre multiple Très souvent, les SNL se caractérisent par plusieurs points d’équilibre. Exemple : système du 1er ordre défini par l’équation suivante :

2y y y=− +

Le système possède deux points d’équilibre :

0y = et 1y = . Avec un état initial

0(0)y y= , on a :

0

0 0( )

1

t

ty e

y ty y e

−

−=− +

.

11

Cycles limites Certains SNL présentent des oscillations d’amplitude et de période constante avec entrée nulle. Ces oscillations sont appelées cycles limites (auto-oscillation). Exemple : le système décrit par l’équation de Van der Pol :

22 ( 1)my c y y k y u+ − + = avec m, c et k des constantes positives. Ce système est équivalent par exemple à un circuit RLC avec résistance non linéaire.

12

Comparaison SL et SNL :

• L’amplitude des oscillations est indépendante des conditions initiales, ce qui n’est pas le cas des systèmes linéaires

• Les cycles limites dans les SNL sont relativement peu sensibles aux variations de paramètres.

13

Bifurcations Quand les paramètres d’un SNL sont modifiés, la stabilité des points d’équilibre est susceptible d’être changée, et le nombre de points d’équilibre peut évoluer. Les valeurs critiques des paramètres induisant ce genre de phénomène sont appelées valeur critique de bifurcation. Exercice : on considère le système décrit par l’équation de Duffing suivante :

3 0y cy y yα+ + + = où c et α sont 2 paramètres. Etablir la représentation d’état. Déterminer les points d’équilibre du système pour 1c= .

• Modification du nombre de points d’équilibre en fonction du paramètre α . • Nombre de points d’équilibre : 1 point d’équilibre 0ey = pour 0α > , 3

points 0, , ey α α= − − − pour 0α < . La valeur 0α = est une valeur critique de bifurcation.

14

α

ey

Stable

Stable

Stable

Instable

15

Chaos Le comportement des SNL est très sensible aux variations des conditions initiales. La notion de chaos réside dans le coté non prédictible de la réponse d’un SNL en fonction d’une variation des conditions initiales. Exemple : 50,1 6siny y y t+ + =

16

Représentation des SNL sous forme d’état

On considère un SNL d’entrée ( )u t , d’état ( )x t et de sortie ( )y t .

Représentation d’état sous forme implicite La représentation d’état sous forme implicite donne l’évolution de l’état du SNL par une équation différentielle d’état de la forme :

, ( ), ( )x f t x t u t⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

La sortie du système s’exprime en fonction de ( )x t et de ( )u t . On a :

( ) , ( ), ( )y t h t x t u t⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

où f et h sont des fonctions vectorielles.

17

Systèmes NL affines On appelle système non linéaire affine (en état ou en commande) un système dont la représentation d’état prend l’une des formes suivantes :

• Affine en état : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x A u x t B uy C u x t D u

= += +

• Affine en commande ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x A x B x u ty C x D x u t

= += +

18

Exercice : on considère le système de régulation de niveau constitué de trois cuves connectées par un réseau de canalisations comprenant 3 vannes 13ε , 32ε ,

20ε (cf. figure).

En fonctionnement normal, le système est caractérisé par les équations suivantes :

1 1 13

2 2 32 20

3 13 32

h q q

h q q q

h q q

α

α

α

= −

= + −

= −

avec sign( ) 2

ijij i j i jq h h g h hβ ε= − − . Etablir la représentation d’état pour le

vecteur ( )1 2 3Tx h h h= . Montrer que le système est affine en commande.

13ε 32ε 20ε

1q 2q

13q 32q 20q

2h 3h

1h

19

Exercice : on considère le système décrit par l’équation différentielle suivante (équation de Van der Pol) :

20,2( 1)y y y y u+ − + = Etablir la représentation d’état avec

Tx y y⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦= et déterminer les points

d’équilibre ( 0u = ).

20

Représentation d’état sous forme explicite Pour certains SNL, il est possible d’établir l’expression de l’état du système en fonction du temps, de l’état initial et de la commande. L’expression de l’état met en évidence une fonction appelée fonction de transition d’état définie par :

0 0 0( ) , , ( ), ( ) avec ,x t t t x t u t tτ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=Φ ∈

La sortie du système s’exprime par une fonction de mesure de la forme suivante :

( ) , ( ), ( )y t t x t u t⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=Ψ

21

Linéarisation autour d’un point de fonctionnement La représentation d’état traduit à tout instant l’évolution de l’état et de la mesure autour d’un point de fonctionnement (x, u), ou plus généralement autour d’un point de consigne nominale. La linéarisation a pour objectif de déterminer une description linéaire du système autour d’un point ( x, u) en utilisant un modèle du plan tangent. Pour cela on pose : x x xδ= + , u u uδ= + et y y yδ= + avec :

( , , )

( , , )x f t x u

dx x x f t x x u udt δ δ δ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= + = + +

22

( , , )( , , )

y h t x uy y y h t x x u uδ δ δ

== + = + +

En réalisant un développement au premier ordre des fonctions f et h, lorsque cela est possible, on en déduit :

x u

x u

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

f t x x u u f t x u F t x u x F t x u uh t x x u u h t x u H t x u x H t x u u

δ δ δ δδ δ δ δ

+ + = + ++ + = + +

xi

j

fF x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∂= ∂ , u

i

j

fF u

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∂= ∂ , x

i

j

hH x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∂= ∂ et u

i

j

hH u

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∂= ∂ représentent les matrices

jacobiennes des dérivées partielles de f et h respectivement par rapport à x et u .

23

On obtient un système linéaire caractérisé par le vecteur d’état xδ , le vecteur de commande uδ et le vecteur de sortie yδ . Lorsque f et h ne dépendent pas explicitement du temps, le modèle linéarisé est stationnaire et il est défini par les équations d’état suivantes :

x u

x u

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

d x F x u x F x u udty H x u x H x u uδ δ δ

δ δ δ= +

= +

24

Exercice :

1 1 2 ( )x u y u gx = f x, uβα α⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − = −

2 (Loi de Bernouilli)y gx = h (x, u)β= où g désigne l’accélération de la pesanteur. Etablir l’expression du modèle linéarisé pour le(s) point(s) de fonctionnement défini(s) par 0x = .

y

u

x

25

Exercice : on considère le système décrit par les équations suivantes :

1 2 12

2 1 2 1 2

( , )

0,2( 1) ( , )

x x f x u

x x x x u f x u

= =

=− − − + =

Etablir l’expression du modèle linéarisé autour d’un point (x, u). Exercice : On considère le système décrit par l’équation suivante :

3 0y y y yα+ + + = avec α∈ et

Tx y y⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦= . Déterminer les points d’équilibre du système. Etablir

l’expression du modèle linéarisé autour de ces points et discuter de la stabilité locale.

26

Simulation numérique (MATLAB/SIMULINK)

( ),x ux f=

( ),x uy h=

1y

MATLABFunction

h

MATLABFunction

f

1s

Integrator1u

Ecrire dans deux fichiers M-file la description des fonctions f et h.

27

Chapitre 3 Analyse des systèmes non linéaires

Objectifs Analyse du comportement des systèmes non linéaires, en particulier au voisinage des points d’équilibre. Etude de la stabilité : locale ou globale Outils :

• Plan de phase • Théorie de Lyapunov

28

Plan de phase Introduction

• Outil graphique qui permet une analyse du comportement des systèmes du second ordre en régime libre ( 0u = )

• Représenter dans l’espace d’état du système du 2nd ordre, les trajectoires obtenues pour différentes conditions initiales et analyser d’un point de vue qualitatif les caractéristiques de ces trajectoires.

Propriétés de la méthode :

• La méthode de construction du plan ne nécessite pas nécessairement la résolution analytique des équations différentielles d’état.

• La méthode s’applique à tous les types de non linéarités. • Pour de nombreux systèmes non linéaires, il est possible d’établir un

modèle approximatif du second ordre, et la méthode du plan de phase constitue une approche intéressante pour leur analyse.

29

L’extension de l’approche à des systèmes d’ordre supérieure à 2 se révèle très complexe à mettre en œuvre à la fois sur le plan du calcul et de la géométrie. Concepts de base Trajectoires La méthode du plan de phase s’appuie sur un modèle implicite du second ordre caractérisé par les équations suivantes :

1 1 1 2

2 2 1 2

( , )( , )

x f x xx f x x

==

où

1x et

2x désignent les variables d’état du système,

1f et

2f sont des

fonctions scalaires non linéaires des variables d’état.

30

1x

2x

0x

(0) (0)v x=

Pour un état initial

0(0)x x= , il est

possible de représenter graphiquement dans le plan (

1x ,

2x ), la solution

1

2

( )( )

( )x t

x tx t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= pour 0t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∈ +∞ . La

courbe obtenue est appelée trajectoire de phase. En chaque point de la trajectoire, la vitesse est définie par :

1 2

1 2

1

2

( , )( ) ( )

( , )f

f

x xv t x t

x x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= = .

31

Exemple simple : considérons le système masse-ressort défini par l’équation différentielle suivante :

0y y+ = Solution générale pour la condition initiale

0y :

0 1( ) cosy t y t x= = et

0 2( ) siny t y t x= − =

On obtient un cercle dans le plan de phase dont le rayon est fonction de la condition initiale.

32

Points singuliers Un point singulier est un point d’équilibre dans le plan de phase. Il est donc défini par le système d’équations suivant :

1 1 2

2 1 2

( , ) 00

( , ) 0f x x

xf x x

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

== ⇔

=

Une autre interprétation des points singuliers peut être donnée en analysant la tangente à la trajectoire de phase qui est définie au point (

1x ,

2x ) par le

rapport :

2 2 1 2

1 1 1 2

( , )( , )

dx f x xdx f x x=

33

• Hors des points singuliers, lorsque les fonctions 1

f et 2

f sont définies par

une valeur unique pour chaque point (1

x , 2

x ), la tangente à la trajectoire

au point (1

x , 2

x ) est unique, ce qui signifie qu’il

n’y a pas d’intersection entre les trajectoires obtenues pour différentes conditions initiales.

• En un point singulier, la tangente à la trajectoire

est indéterminée. Il est alors possible d’obtenir plusieurs trajectoires se coupant en ce point.

Exercice : donner l’expression des équations d’état et déterminer les points singuliers du système décrit par l’équation différentielle suivante :

20,6 3 0y y y y+ + + =

34

Construction du plan de phase Dans ce cours, on se limite aux deux méthodes classiques :

• approche analytique • méthode des isoclines

Méthode analytique Une première technique consiste par intégration du système d’équations :

1 1 1 2

2 2 1 2

( , )( , )

x f x xx f x x

==

à trouver deux solutions fonction du temps

1 1( ) ( )x t g t= et

2 2( ) ( )x t g t= .

En éliminant ensuite le temps, il est possible d’établir une représentation implicite des trajectoires sous la forme :

( , , ) 01 2

g x x c =

où c est une constante qui dépend des conditions initiales.

35

Une deuxième approche consiste à éliminer la variable temps en calculant le rapport :

2 2 1 2

1 1 1 2

( , )( , )

dx f x xdx f x x=

Puis par intégration, on établit une relation en

1x et

2x .

Exemple : considérons le système défini par le système d’équations suivant :

1 22 1

x xx x

==− (Masse-ressort)

36

Exercice : considérons la commande d’un satellite par un propulseur fournissant un couple constant +U et –U. Le modèle mathématique du satellite s’écrit :

uθ = (moment d’inertie égal à 1)

avec si 0( )

si 0Uu t

Uθ

θ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

− >=<

1p

1p

θ 0

dθ =

θ u

37

Méthode des isoclines La tangente aux trajectoires de phase est déterminée par l’expression :

1 1 2 2 1 22 2 1 2 ( , ) ( , ) 01 1 1 2

( , ) ( , ) f x x f x x

dx f x xdx f x x λ λ − == = ⇔

On appelle isocline le lieu des points (

1x ,

2x ) caractérisé par une tangente

constante. La construction du plan de phase en s’appuyant sur les isoclines est décomposée en deux étapes :

• Construction des courbes isoclines • Construction des trajectoires de phase pour des conditions initiales

données

38

1λ = − 1λ =

λ = ∞

0λ =

Exemple : considérons le système masse-ressort défini par :

1 2

2 1

x xx x

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

==−

Exercice : tracer l’allure des trajectoires de phase, pour différentes conditions initiales, obtenues pour le système défini par :

2 0y y y+ + =

39

Exercice : on considère le système défini par : 20,2( 1) 0y y y y+ − + = (Van der Pol). Donner l’expression des courbes isoclines.

40

Analyse du plan de phase Classification des points singuliers

Cas des systèmes linéaires L’analyse des systèmes linéaires constitue une aide importante dans l’analyse des systèmes non linéaires qui ont un comportement linéaire au voisinage des points d’équilibre. Considérons un système linéaire du 2nd ordre qui a pour expression :

1 1 2

2 1 2

x ax bxx Ax

x cx dx

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

= += ⇔

= +

Les valeurs propres sont les racines de l’équation caractéristique suivante :

41

det( ) 0A Iλ− = ce qui conduit à l’équation suivante :

2 0λ αλ β+ + =

avec ( ) et a d ad bcα β=− + = − On pose : 2 4α β∆= −

• 0 et >0β∆> : 1

λ et 2

λ sont réelles et de même signe. On obtient un nœud

qui peut être stable si les 2 valeurs propres sont à partie réelle négative ou instable si les 2 valeurs propres sont à partie réelle positive. Il y a deux directions propres. La direction de la tangente aux trajectoires de phase est celle qui correspond à la plus petite valeur de λ (en valeur absolue), l’autre valeur correspond à direction asymptotique.

42

NŒUD

43

• 0 et 0β∆> < : 1

λ et 2

λ sont réelles et de signe opposé. Le point singulier

est appelé col et les deux directions propres sont orientées de façon différente.

COL

44

• 0 ∆< : 1

λ et 2

λ sont complexes conjuguées ayant une partie réelle non

nulle : on obtient un foyer stable si 1 2

Re( ) 0 et Re( ) 0λ λ< < ou instable si

1 2Re( ) 0 et Re( ) 0λ λ< < . Lorsque la partie réelle est nulle, on obtient un sommet ou centre

FOYER

45

Classification simplifiée

0∆ =

0∆ >

0∆ <

α

β

Foyer stable

Foyer instable

Nœud stable

Nœud instable

Col Col

46

Cas des systèmes non linéaires Dans le cas de systèmes non linéaires, l’étude du comportement au voisinage des points singuliers est réalisée après linéarisation. Les points singuliers sont solutions de l’équation :

1 10 20

2 10 20

( , ) 0( , ) 0

f x xf x x

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

==

On obtient donc le modèle linéarisé suivant :

1 11 10 20 1 10 20 2

1 2

2 22 10 20 1 10 20 2

1 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

f fx x x x x x xx x

f fx x x x x x xx x

δ δ δ

δ δ δ

∂ ∂= +

∂ ∂∂ ∂

= +∂ ∂

47

Exemple : considérons le système non linéaire défini par les équations suivantes :

1 23

2 1 1

x xx x x

=

=− +

48

Exercice : On considère le système non linéaire caractérisé par l’équation différentielle suivante :

2 2 0y y y+ − = Dans le plan de phase

1 2,x y x y⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= = , donner les équations d’état du système.

Déterminer le(s) point(s) singulier(s). Etablir le modèle linéarisé du système et déduire le comportement du système au voisinage du(des) point(s) singulier(s).

49

Etude des cycles limites

Lorsqu’une trajectoire de phase se termine sur une courbe fermée que le point figuratif de l’état parcourt indéfiniment, le système devient en régime permanent le siège d’un phénomène périodique. Il y a alors présence d’un cycle limite. Il est intéressant d’un point de vue de la commande de chercher à prévoir l’existence de ces cycles et d’évaluer leurs caractéristiques. Théorème (Bendixson): Pour un système non linéaire décrit par les équations

1 1 1 2( , )x f x x= et

2 2 1 2( , )x f x x= , il n’existe pas de cycle limite dans la région Ω du plan de phase

si le terme 1 2

1 2

f fx x

∂ ∂+

∂ ∂ ne s’annule pas et ne change pas de signe.

50

Exercice : considérons le système décrit par l’équation de Van de Pol 20,2 1 0y y y y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ − + = Ecrire le système sous forme d’état. Existe-t-il des cycles limites.

51

Exercice : on considère le système décrit le schéma suivant :

1

s+1Transfer Fcn

x1

To Workspace1

x2

To Workspace

Relay

1s

Integrator

0

Constant

Etablir les équations d’état du système en boucle fermé. Tracer l’allure des trajectoires de phase. Etudier la présence éventuelle de cycle limites.

52

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

53

Point d’équilibre

Stabilité des SNL (au sens de Lyapunov) Introduction L’approche proposée par Lyapunov permet de résoudre en partie ce problème car elle propose une solution générale pour étudier la stabilité des systèmes non linéaires en présence de variations des conditions initiales.

54

Deux méthodes sont proposées pour résoudre la stabilité au sens de Lyapunov. :

• Méthode par linéarisation qui permet de conclure quant à la stabilité d’un SNL autour d’un point d’équilibre

• Méthode directe qui permet d’étudier la stabilité (locale ou globale) d’un SNL autour d’un point d’équilibre

Définitions La théorie de Lyapunov s’intéresse aux systèmes libres, c’est-à-dire ceux décrits par une équation différentielle ne faisant pas intervenir de vecteur de commande et représentés par une équation d’état continue du type :

( , )x f t x= Ces équations évoluent à partir de leur condition initiale

0x définie à l’instant

initial t0. La théorie de Lyapunov décrit la stabilité d’une solution donnée de cette équation différentielle pour des fluctuations de la condition initiale.

55

De manière informelle, cette stabilité prend la forme suivante : • Soit ( )x t une solution particulière de l’équation différentielle issue de la

condition initiale 0

x . Cette solution est dite stable au sens de Lyapunov si

une « petite » modification de la condition initiale conduit à une solution ( )z t qui reste « proche » de ( )x t . Elle est dite instable dans le cas

contraire. • Elle est dite asymptotiquement stable si elle est stable et si, de plus, cette

nouvelle solution ( )z t se rapproche indéfiniment de ( )x t .

56

Définition 1 : La solution ( )x t est stable si et seulement si pour tout 0ε > , il existe

0( , ) 0tδ ε > tel que pour toute autre solution z(t) de ( , )x f t x= , satisfaisant

0 0 0( ) ( , )z t x tδ ε− < , alors ( ) ( )z t x t ε− < pour tout t>t0.

tube de rayon ε

solution )(tx

solution )(tz

cercle de rayon δ

1x

2x

2x

57

Définition 2 : La solution ( )x t est asymptotiquement stable si et seulement si elle est stable et si de plus, il existe 0'( , ) 0tδ ε > tel que 0 0 0( ) '( , )z t x tδ ε− < implique lim ( ) ( ) 0t z t x t→+∞

− = .

Lorsque les nombres 0( , )tδ ε et 0'( , )tδ ε ne dépendent pas explicitement de l’instant initial, on parle alors de stabilité uniforme. Lorsque 0'( , )tδ ε est infini, on parle de stabilité globale.

tube de rayon ε

solution )(tx

solution )(tz

cercle de rayon δ’

1x

2x

2x

58

Stabilité locale avec linéarisation

On considère un SNL caractérisé par l’équation d’état ( , )x f x u= ayant pour un point d’équilibre ( , )x u . Le modèle linéarisé autour du point d’équilibre en régime libre s’écrit sous la forme :

x A xδ δ= avec ,( , ) x x u ufA x ux = =

∂=∂

Théorème : Le système est stable au sens de Lyapunov si toutes les valeurs propres de la matrice A sont à partie réelle strictement négative et si celles à partie réelle nulle sont d’ordre de multiplicité au plus égal à 1.

59

Exercice : considérons le pendule décrit par la figure suivante et caractérisé par l’équation suivante :

2 sin 0MR b MgRθ θ θ+ + = Etudier la stabilité locale du système.

θ

M

60

Méthode globale La méthode globale s’appuie sur le principe physique qui consiste à dire que si l’énergie totale du système est continûment dissipée alors le système (linéaire ou non linéaire) doit d’une façon ou d’une autre rejoindre un point d’équilibre. Exemple : système masse-ressort avec amortisseur caractérisé par l’équation :

3 00 1

my by y k y k y+ + + =

L’énergie mécanique totale dans le système est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :

2 30 1

0

1( ) ( )2y

V x my k k dµ µ µ= + +∫

avec T T

1 2x x x y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = .

61

1x

2x

( )x t

( )V x

L’analyse de la stabilité et de l’énergie dans le système permet d’aboutir à plusieurs conclusions :

• L’énergie nulle correspond à un point d’équilibre du système ( 0, 0x x= = ), • La stabilité asymptotique implique la convergence de l’énergie vers zéro, • L’instabilité est liée à une augmentation de l’énergie.

Fonctions de Lyapunov Définition : si dans un voisinage D du point d’équilibre 0x= , il existe une fonction ( )V x définie positive et différentiable et si sa dérivée par rapport au temps le long d’une trajectoire est définie négative, alors la fonction

( )V x est appelée fonction de Lyapunov candidate. • ( ) 0 V x x D≥ ∀ ∈ • ( ) 0 V x x D≤ ∀ ∈

62

Théorème de Lyapunov (seconde méthode) S’il existe une fonction de Lyapunov candidate nR dans R+ telle que :

• ( ) 0 0 et (0) 0V x x V> ∀ ≠ = • ( )V x Cte= définies des courbes équipotentielles de Lyapunov

(définissent des domaines connexes emboîtés de l’espace d’état) • ( )V x est définie négative dans tout l’espace d’état :

0 0( ) 0 quand 0xV x x

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

< ∀ ≠= =

• lim ( )V x →∞ quand x →∞ alors le point d’équilibre 0x= est globalement asymptotiquement stable.

63

Exercice : considérons le système défini par les équations suivantes : 2 2

1 2 1 1 2

2 22 1 2 1 2

x x x x x

x x x x x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

=− − +

et la fonction de Lyapunov candidate 2 21 2

( )V x x x= + . Montrer que le point 0x= est un point d’équilibre. Ce point est-il globalement asymptotiquement stable ?

64

Exercice : considérons le système défini par l’équation d’état suivante :

x Ax Bu= + avec 01

0 10 1

A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= =

Le système est-il stable au sens de Lyapunov ? Déterminer la loi de commande u Lx=− pour la fonction de Lyapunov candidate :

1 22 21 2

( ) 3 2 2 TV x x x x x x Px= + + = et afin d’obtenir

2 21 2

( ) 2 2 TV x x x x Qx−=− =− . Donner les expressions des matrices P et Q.

65

Chapitre 4 Commande des systèmes non linéaires

1) Introduction Le but de ce chapitre est de présenter quelques techniques de base adaptées à la commande des systèmes non linéaires :

• Linéarisation par retour d’état • Commande avec linéarisé • Commande adaptative • Commande par régime glissant

66

2) Linéarisation par retour d’état Introduction Objectifs : 1) Synthèse d’une loi de commande par retour d’état non linéaire de la forme :

( ) ( )u x x vα β= +

2) Obtenir un système linéaire d’un point de vue entrées-sorties ou entrées-état qui est très souvent découplé Noms différents :

• Commande par découplage non linéaire (Non Linear Decoupling) • Linéarisation par retour d’état (State Feedback Linearization)

67

Hypothèses : • l’état du système est connu à tout instant soit par l’instrumentation du

système commandé à l’aide de capteurs, soit en reconstruisant le vecteur d’état (observateur d’état comme l’observateur de Kalman) quand cela est possible.

• le modèle du système est connu. Modèle

( ) ( )( )

x f x g x uy h x

= +=

où x est l’état du système commandé, u l’entrée et y la sortie. Le système considéré est affine en la commande.

68

3) Linéarisation entrées-sorties Cas d’un système SISO On a : dim (1,1)y = , dim (1,1)u = et dim ( ,1)x n= Principe : la démarche consiste à établir une relation (linéaire) liant la sortie du système à l’entrée u et donc, à travers la loi de commande, à l’entrée v. Pour cela, on dérive par rapport au temps la sortie y du système et en utilisant l’équation d’état on fait apparaître les termes d’entrée. Si l’entrée n’apparaît pas après dérivation, on réitère le processus jusqu’à obtenir la relation désirée.

( ) ( )

( ) ( )

h hy x f x g x ux x

h hy f x g x ux x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∂ ∂= = +∂ ∂

∂ ∂= +∂ ∂

69

Notations :

• Le terme 1 n

h h hx x x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂

désigne le gradient de la fonction scalaire ( )h x .

On note hh x∂∇ =∂

• Les termes ou h hf gx x∂ ∂∂ ∂

, où f et g sont des fonctions vectorielles de n

dans n , sont notés respectivement f

h f L hx∂ =∂

et gh g L hx

∂ =∂

. Ils sont

appelés dérivée de Lie de h respectivement par rapport à f et g et correspondent à une fonction scalaire de n dans . On a :

fL h h f=∇ et

gL h hg=∇ En utilisant les notations précédentes, on obtient donc :

gfy L h L h u= +

En tenant compte de l’expression de la loi de commande, on obtient :

70

( ) ( )

( ) ( )gf

g gf

y L h L h x x v

y L h L h x L h x v

α β

α β

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= + +

= + +

Pour obtenir une relation entrée-sortie linéaire, il suffit d’imposer les contraintes suivantes :

( ) 0

( ) 1gf

g

L h L h x

L h x

α

β

+ =

=

• 0gL h≠ : il existe une solution unique donnée par les équations suivantes :

,1( ) ( ) et f

g g

L hx x y vL h L hα β=− = =

• 0gL h= : il n’existe pas de solution.

71

Dans ce dernier cas, il est nécessaire de dériver à nouveau et on obtient alors :

2

ff

gf f f f

L hy x L h f gux

y L h f L h g u L h L L h u

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂= =∇ +

∂

=∇ +∇ = +

Le processus de dérivation est réitéré jusqu’à obtenir la première dérivée d’ordre r pour laquelle le terme d’entrée n’est pas nul. On obtient dans ce cas :

( ) 1r r rgf f

y L h L L h u−= +

La solution est donnée par :

( )1 1

1( ) , ( ) et r

rfr r

g gf f

L hx x y v

L L h L L hα β− −=− = =

72

Exemple : considérons le système défini par les équations suivantes :

22 1

1 2

0 et 1

xx u y xx x

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

= + =+

73

Cas d’un système MIMO carré On a : dim ( ,1)y s= , dim ( ,1)u m= avec s m= Pour chaque sortie, on détermine la première dérivée d’ordre rj s’exprimant en fonction de l’entrée u. On définit alors le vecteur suivant :

1( 1)

( )*

s

r

rs

yy

y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

En s’appuyant sur les résultats précédents, il est possible d’écrire ce vecteur sous la forme générale suivante :

0* ( ) ( )y x x u=∆ +∆

• 0( )x∆ est une fonction vectorielle de n dans n

74

• ( )x∆ est une matrice de dimension (s, s) fonction de x, appelée matrice de découplage.

Pour la loi de commande : ( ) ( )u x x vα β= + , on obtient l’équation suivante :

0

0

* ( ) ( ) ( ) ( )

* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y x x x x v

y x x x x x v

α β

α β

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=∆ +∆ +

=∆ +∆ +∆

Soit nD⊂ le domaine de l’espace d’état pour lequel on a : det ( ) 0x∆ ≠ . Sur ce domaine, il existe une solution qui permet de linéariser le système. La loi de commande est donnée par :

10

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )*

x x x

x xy v

α

β

−

−

=−∆ ∆

=∆=

75

Le système obtenu est linéaire et découplé. Il est constitué de s sous-systèmes indépendants d’ordre rj. Lorsque la matrice ( )x∆ est singulière, le système ne peut pas être découplé. Dans ce cas, une variante de la méthode consiste à introduire une ou plusieurs intégrations sur certaines entrées. Si on introduit une intégration sur l’entrée iu , on obtient :

'i iu u dt=∫

La grandeur iu devient une nouvelle variable d’état et 'iu est la nouvelle commande.

76

Exemple 1 : on considère le système défini par les fonctions suivantes :

1 4

3 4(1 )( )00

x xx xf x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−= , 1

0 00 0( ) 01 0

g x x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= et 1

2( )

xh x x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

Exemple 2 : on considère le robot décrit par le modèle dynamique suivant :

( ) ( , )u M q q H q q= +

avec qx q⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= et y q= .

77

Exemple 3 : on considère le système défini par les fonctions suivantes :

1 2

121

( )x x

f x x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= , 3

1 0( ) 0

0 1g x x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= et 1

2( )

xh x x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

78

Exemple 4 : on considère le processus multivariable (processus de régulation de niveau) ayant pour vecteur d’entrées : 1

2

qqu ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= , pour vecteur de sorties :

12

( )x

y h x x⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= = et défini par les équations d’état suivantes :

1 1 13

2 2 32 20

3 13 32

a x u qa x u q qa x q q

= −= + −= −

avec • sign( ) 2 ij i j i jq b x x g x x= − −

• a et b deux paramètres (sections) du processus.

Déterminer la loi de commande ( ) ( ) u x x vα β= + qui permet de

découpler le système. Donner l’expression de l’équation différentielle d’état.

13ε 32ε 20ε

1q 2q

13q 32q 20q

2h

3h

1h

79

4) Linéarisation entrées-état : système SISO

Problématique On cherche à faire la synthèse d’une loi de commande ( ) ( )u x x vα β= + permettant d’obtenir un système linéaire d’état z tel que :

• Il existe un changement de variable ( )z x=Φ où Φ est un difféo-morphisme (application Rn dans Rn admettant une application inverse 1( )x z−=Φ )

• La nouvelle entrée v satisfait le système d’équations d’état linéaire suivant :

z Az Bv= +

avec 0 1 0

10 0

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= et 0

01

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= (forme de commandabilité)

80

Schéma de commande :

Système

( )xα

( )xβ

x

x

v

( )xΦ L z

M

Placement de pôles

81

Résolution

On pose : 1( )

( )n

z xz

z x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= . On obtient le système d’équations :

1 11 2 1 1 2

2 22 3 2 2 3

1 11 1 1

gf

gf

n nn g nn n nf

n nn n g nf

z zz x z f gu L z L z u zx x

z zz x z f gu L z L z u zx x

z zz x z f gu L z L z u zx x

z zz x v f gu L z L z u vx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− −− − −

∂ ∂= = ⇔ + = + =

∂ ∂∂ ∂

= = ⇔ + = + =∂ ∂

∂ ∂= = ⇔ + = + =

∂ ∂∂ ∂= = ⇔ + = + =∂ ∂

82

Par définition de la forme de commandabilité, les variables d’état 1 1, ,

nz z

−

doivent être indépendantes de l’entrée v, et donc à travers la loi de commande, de u. Ce qui implique :

1 2 10g g g n

L z L z L z−

= = = =

On en déduit le vecteur d’état suivant :

TT1

1 1 1 1, , , , , n

n f fz z z z L z L z

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−= =

L’équation de contraintes s’écrit alors :

21 1 1

0ng g gf f

L z L L z L L z−= = = =

83

On en déduit alors l’équation caractérisant la loi de commande :

1 11 1 1 1

n n n ng gf f f f

L z L L z u v L z L L z v vα β⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− −+ = ⇔ + + =

Ce qui conduit à la loi de commande suivante :

11

1

11

( )

1( )

nfn

g f

ng f

L zx

L L z

xL L z

α

β

−

−

=−

=

On adopte en général une expression sous forme normalisée en imposant la contrainte :

11

1ng f

L L z− =

84

Exercice 1 : considérons le système défini par les équations suivantes :

22

1 2

01

xx ux x

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

= ++

85

Exercice 2 : On considère le système non linéaire suivant :

2 22 2 3

323

( ) ( )u

u

x x xx f x g x u x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

+

+ += + =

Donner les expressions des fonctions vectorielles ( )f x et ( )g x . Déterminer la loi de commande ( ) ( )u x x vα β= + pour que le changement de variables :

1 1 32

2 2 2

3 2 31 2

z x x

z x x

z x x⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

= +

= +

Conduise à la linéarisation entrée-état du système.