Bienvenue sur la présentation de la dérivée de la composée de deux fonctions dérivables

Bienvenue sur la présentation de la dérivée de la composée de

deux fonctions dérivables

Présenté par Guillaume Delestrait.

Calcul de la dérivée

• Prenons 2 fonctions dérivables f et g.

• Quand on observe le domaine de la fonction g o f, on constate que le taux d ’accroissement de la fonction est:

(g o f)(x) - (g o f)(a)

m(x) =

x - a

• Multiplions cette fonction par un 1 bien choisi:

g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)

m(x) = .

x - a f(x) - f(a)

Ce qui nous donne:

g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)

m(x) = .

f(x) - f(a) x - a

• La dérivée de la fonction g o f en a est le nombre:

g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)

(gof)’(a) = lima . lima

f(x) - f(a) x - a

En la travaillant un peu, nous obtenons:

g(x) - g[f(a)] f(x) - f(a)

(gof)’(a) = limf(a) . lima x - f(a) x -a

• Et en considérant que:

lim x a = lim f(x) f(a) = lim X f(a)

• Nous pouvons écrire que:

(gof)’(a) = g’[f(a)] . f’(a)

• Comme f ’(a) est la dérivée de f calculée en a , nous en déduirons que g ’[f(a)] est la dérivée de g calculée en f(a).

• Nous en déduirons donc que:

(gof)’(x) = g’[f(x)] . f’(x)