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Calcul et sens des opérations au cycle 3
Circonscription de Saint-Rémy
2021
Cécile Berrouillercecile.berrouiller@univ-amu.fr
1
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Mise en place des techniques opératoires
La mise en place des techniques opératoires doit se placer en aboutissement de tout un travail qui commence par :- L’appropriation du sens de l’opération, ou de ses différents sens, à travers des problèmes, depuis la maternelle- Introduction du signe opératoire, dans le niveau fixé par l’institution, grâce à un ou des problèmes appropriés- Élaboration d’un premier catalogue de résultats- Découverte des propriétés de cette opération
PREAMBULE
Mise en place des techniques opératoires
- Élaboration de techniques de calcul réfléchi pour des nombres de plus en plus grands en se servant des premiers résultats et des propriétés de l’opération et des nombres ;- Organisation des résultats connus en tables pour l’addition et la multiplication ;- La mise en place de la technique opératoire, qui permet des calculs sur tous les nombres.
CE PROCESSUS DOIT PRENDRE PLUSIEURS MOIS, DANS L’IDEAL IL DEVRAIT METTRE PLUS D’UNE ANNEE SCOLAIRE, TOUT EN CONTINUANT LA RESOLUTION DE PROBLEMES
PREAMBULE
TITRE DE LA PRÉSENTATION> TITRE DE LA PARTIE
Introduction
Autour du sens des opérations
4
En lien avec :
- résolu1on de problèmes arithmé1ques
- situa1ons de référence (jeux de la boîte, bus, enveloppes…)
- Calcul mental
- Calcul en ligne
Sens et propriétés des opéra.ons
5
Les objec.fs du calcul mental
o Lier calcul et raisonnement en meEant en jeu les propriétés des nombres (aspect décimal de la numéra1on) et des opéra1ons
o Susciter la réflexion sur le calcul
o MeEre en évidence la diversité des façons possibles d’aborder un calcul
o Susciter des formula1ons, des généralisa1ons, des preuves
• « Élaborer ou choisir des stratégies, expliciter les procéduresu6lisées et comparer leur efficacite » (BO : 26/07/18)
Automatisation
des procédures
« No1on » de nombre :- Habileté dans la décomposi1on - Es1ma1on
Mémorisa1on des faits
numériques
12 = 10 + 212 = 2 x 6 12 = 2 x 2 x 39 = 10 – 1 25 = 100 / 4…
…
Passage à la dizaine supérieureDistribu1vité…
DoublesCompléments à 10Tables add. et mult.25 (x2, 3 et 4)50 (x2)
La programmation prévue par les programmes (techniques opératoires)
« L’apprentissage (des techniques opératoires) doit être conduit avec le souci qu’en soit assurée la compréhension. L’objectif d’automatisation des techniques repose sur une pratique progressive, régulière et bien comprise du calcul. Dans tous les cas, les élèves doivent être entraînés à utiliser des moyens de contrôle des résultats de leurs calculs. »
• C’est traiter avec le support de l’écrit des calculs• Même sec1on que le calcul mental dans les programmes• Travail sur les propriétés des nombres et des opéra1ons• Mise en évidence des procédures u1lisées
« Calculer avec le support de l’écrit, en u1lisant des écritures en ligne addi1ves, soustrac1ves, mul1plica1ves, mixtes » (BO 26/07/18)
Calcul en ligne
9
Ø Calcul mental : raisonnement sur les nombres et les propriétés des opérations
Ø Calcul en ligne : raisonnement sur les nombres et les propriétés des opérations
Ø Calcul posé : raisonnement sur les chiffres
Ø Calcul instrumenté
Calcul
10
TITRE DE LA PRÉSENTATION> TITRE DE LA PARTIE
1. L’addition
11
L’addition traduit un ajout, une augmentation, un gain.
L’addition : principal sens
12
Ecrire un problème dont la solution serait :
54 + 18 = 72
L’addition
13
- La réunion de n collections d’éléments
- Le résultat d’une transformation positive, le résultat d’un ajout
- L’état initial d’une transformation négative, la quantité de départ avant un retrait
- …
L’addition sert à trouver :
14
TITRE DE LA PRÉSENTATION> TITRE DE LA PARTIE
Calcul posé et techniques opératoires
15
La numération intervient dans le calcul posé, ne serait-ce par l’alignement vertical des chiffres de même valeur dans les différentes techniques.
C’est alors l’aspect positionnel qui est en jeu.
Mais l’aspect décimal est caché.
Calcul posé
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• Situation 1 : Le PE explique sa technique en s’appuyant sur les savoirs des fractions. Il fait ensuite le lien entre savoir-faire ancien et nouveau (additions en colonne).
• Situation 2 : Lecture d’un énoncé au tableau : « Pour construire une grande frise chronologique, des enfants mettent bout à bout deux bandes de carton. La première mesure 1,45m et la seconde 2,7 m. Quelle est la longueur de la bande ainsi obtenue ? » Travail individuel ou par groupe. Ecriture des démarches sur une grande feuille qui sera affichée au tableau synthèse collective.
• Situation 3 : Par groupe, deux baguettes de longueurs connues et affichées : 1,45m et 2,7m. Consigne : « Je vous demande de trouver la longueur de la baguette obtenue en mettant ces deux baguettes bout à bout. » Les élèves disposent de mètres. Ils mesurent et trouvent la longueur totale. Synthèse collective.
• Situation 4 : Dans la classe des baguettes de longueurs connues et affichées : 1,45m et 2,7m. Consigne : « Prévoyez par le calcul la longueur de la baguette obtenue lorsque l’on mettra ces deux baguettes bout à bout »
Travaux sur les décimaux 17
18
TITRE DE LA PRÉSENTATION> TITRE DE LA PARTIE
2. SOUSTRACTION
19
- La recherche d’un reste
- La recherche d’un complément
- La recherche d’une différence, d’un écart (cas des comparaisons)
La soustraction : sens principaux
20
Ecrire un problème dont la solution serait :
34 - 15 = 19
La soustraction
21
- Une partie d’une collection
- Le résultat d’une transformation négative(sens du retrait)
- L’état initial d’une transformation positive
- L’écart entre 2 nombres, entre 2 moments, la valeur d’une comparaison
- …
La soustraction sert à trouver :
22
La soustrac.on : calcul mental
123 – 56
Calculer en « reculant », retrait : 123 – 23 – 33 = 100 – 33 = 67
Calculer en « avançant », complément :56 + (4 + 60 + 3) = 123
Calculer en conservant l’écart :123 – 56 = (123 + 4) – (56 + 4) = 127 – 60 = 67
Pour comprendre les techniques opératoires « à la russe » et « compensation »
- La droite numérique ou la bande numérique.
Soustraction : les outils
24
4 techniques :
• « addition à trou »• « de l’emprunt »• « à la russe »• « par compensation »
Soustraction : calcul posé
25
635 – 379 =
je pose : 3 7 9+ . . .
6 3 5
Soustraction :technique « de l’addition à trou »
26
De 3 unités, on ne peut pas soustraire 5 unités.On échange donc une dizaine contre 10 unités.On considère alors qu’on a 4 dizaines et 13 unités.On peut soustraire 5 unités de 13 unités, Résultat : 8 unités.
Même processus pour soustraire 8 dizaines…
La soustrac.on : par « emprunt »
27
6 10+4
7 5 10+3
- 8 5
6 6 8
Exemple : 753 - 85
635 – 379636 - 380656 - 400
Je calcule en ligne ou mentalement
656 – 400 = 256
Soustraction : technique « à la russe »
28
+ 20+ 20
379 635400 656
Basée sur la conservation de l’écart
De 3 unités, on ne peut soustraire 5 unités.On choisit d’ajouter 10 unités au 1er terme, et donc de considérer 13 unités. Pour ne pas changer la différence, il faut aussi ajouter10 unités au 2ème nombre : on le fait sous la forme d’une dizaine.
La soustraction : technique de « compensation »
29
7 10+5 10+3
- +1 8+1 5
6 6 8
Exemple : 753 - 85
85 753
753 - 85
763 - 95
+ 1 dizaine + 10 unités
Avec le matériel :
Comme on ne peut pas soustraire 5 cubes unités à 3 cubes unités, on ajoute 10 cubes unités à la collection du haut, mais pour ne pas changer la différence on ajoute aussi 10 cubes à la collection du bas mais cette fois groupés en une barre de 10 cubes.
La soustraction : par « compensation »
30
Exemple : 753 - 85
• Avantages et difficultés potentielles pour chaque technique, de nature différente
• Bien connaître et comprendre les points de vigilance spécifique
• Pour un calcul facile, éviter le recours à l’opération posée, privilégier le calcul en ligne ou mental
Soustraction : analyse des techniques
31
• technique « emprunt» s’appuie davantage sur les connaissances de la numération décimale
• technique « à la russe » et par « compensation » s’appuient sur la conservation des écarts
• technique de l’addition à trou s’appuie sur le lien entre addition et soustraction
• technique « à la russe » s’appuie sur les connaissances des compléments à 10
Soustraction : analyse des techniques
32
Les travaux sur l’enseignement de la soustraction ont montré que les connaissances mobilisées par les techniques de « l’emprunt » ou par celle de « l’addition à trou » font intervenir des connaissances plus faciles à construire que celles liées à la propriété de conservation des écarts.
Soustraction : analyse des techniques
33
• Technique « traditionnelle » économique en termes d’écritures des chiffres et des retenues dans la gestion des retenues quand elle est maîtrisée.
Soustraction : analyse des techniques
34
• La technique « de l’emprunt » : simulation et explicitation aisée grâce à un matériel de numération ou grâce au recours à un tableau de numération.
• La technique « par compensation » ou celle dite « à la russe » nécessite le recours à la droite numérique pour illustrer la propriété de la conservation des écarts. Délicat
Soustraction : analyse des techniques
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• Problème de type partie-partie-tout , addition à trou, plus facile
• Un problème de transformation portant sur la recherche de l’état initial permet aussi d’illustrer la relation entre addition et soustraction.
• La technique « de l’emprunt » peut être reliée à un problème de transformation dans le cas de la recherche de l’état final.
• Les techniques « par compensation » et « à la russe » renvoient davantage à des problèmes de comparaison.
Soustraction : analyse des techniquesLien avec les problèmes
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• La technique « par compensation » : la plus enseignée à l’école élémentaire en France.
• La technique « de l’emprunt » : technique enseignée officiellement dans de nombreux pays, minoritaire en France.
• La technique « par addition à trou » : longtemps recommandée par plusieurs manuels et documents ressources mais minoritaire.
• La technique « à la russe » très proche d’une technique de calcul mental ou de calcul en ligne : peu connue en France, susceptible de donner du sens à la propriété de conservation des écarts, préparant ainsi l’introduction de la technique « par compensation ».
Technique et statut social
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• Quelle que soit la technique choisie, il est nécessaire d’amener les élèves à vérifier leur résultat soit en se référant à un ordre de grandeur, soit en mobilisant une addition ou tout autre moyen calcul.
• L’équipe d’enseignants doit donc faire un choix de technique et si possible gérer ce choix sur l’ensemble du cycle 2, en veillant à une cohérence dans ce que l’on écrit et ce que l’on dit lors de la mise en œuvre de l’algorithme.
Soustraction : analyse des techniques
38
TITRE DE LA PRÉSENTATION> TITRE DE LA PARTIE
3. MULTIPLICATION
40
La multiplication traduit une répétition, une itération à l’identique.
La multiplication : sens principal
41
Ecrire un problème dont la solution serait :
12 x 5 = 60
La multiplication
42
- Les possibles, du nombre de combinaisons possibles
- Le nombre d’éléments d’une configuration rectangulaire
- Le résultat d’une comparaison multiplicative
- Le résultat d’une addition itérée
- ….
La multiplication sert à trouver :
43
La multiplication par 10, 100, 1000
44
Objectif : établir le lien entre la multiplication par 10, 100, 1000 et les conversions entre les unités
23C = 2M + 3C = 2300U61D = 6C = 1D = 610U
Multiplier un nombre par 100 revient à ce que les unités deviennent des centaines et donc revient à écrire un zéro pour les dizaines et un zéro pour les unités.
Multiplier par 10 revient à ce que les unités deviennent des dizaines et donc revient à écrire un zéro pour les unités.
La mul.plica.on par 10, 100, 1000
45
La multiplication par 10, 100, 1000
46
Un outil : le « glisse-nombre »(cf, document ressource C3 à adapter C2, existe sur internet)
MATHÉMATIQUESNOMBRES ET CALCULS
Informer et accompagner les professionnels de l’éducation CYCLES 2 3 4
eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Novembre 2016 1
Retrouvez Éduscol sur
Fractions et nombres décimaux au cycle 3Annexe 4 : Le glisse-nombre1
Le « glisse-nombre » est un outil permettant d’illustrer le fait que lorsque l’on multiplie ou divise un nombre par une puissance de 10 ce n’est pas la virgule qui se déplace mais les chiffres qui composent le nombre qui prennent une valeur 10 fois supérieure ou 10 fois inférieure.
L’outil présente l’avantage de donner à voir, physiquement, les chiffres se déplacer dans la colonne de gauche où leur valeur sera dix fois plus grande, ou dans la colonne de droite où leur valeur sera dix fois plus petite et permet ainsi d’éviter que les élèves construisent des procédures erronées conduisant à des erreurs régulièrement rencontrées comme 3,15 × 10 = 30,15 ou encore 3,15 × 10 = 3,150.
1. « Glisse-nombre » est une traduction littérale de l’expression « number slide » utilisée dans les pays anglo-saxons pour cet outil.
RAPPEL« Utiliser la même règle de multiplication par 10, 100, 1000 avec les entiers et avec les nombres décimaux : multiplier par 10, c’est donner à chaque chiffre une valeur 10 fois plus grande, le chiffre des unités devient donc le chiffre des dizaines, le chiffre des dixièmes devient celui des unités, etc. 12,37 c’est 12 unités, 3 dixièmes et 7 centièmes 12,37 × 10 c’est donc 12 dizaines, 3 unités et 7 dixièmes, donc 123,7. Il est important que les élèves ne construisent pas la représentation d’une virgule qui se déplace. En l’occurrence, ce sont les chiffres qui se « déplacent ». »
Consulter le documentcadre de la ressource
« Fractions et décimaux au cycle 3 ».
Points de vigilance sur des obstacles créés au cycle 2
CeEe règle appliquée aux nombres décimaux donne :17,42 × 10 = 17,420ou 17,42 × 10 = 170,42
« Pour mulAplier par 10, il faut ajouter un zéro à droite»
456 × 10 = 4560
ü« Quand on multiplie un nombre par 10, il devient 10 fois plus grand, chacun de ses chiffres prend une valeur 10 fois plus grande, le chiffre des unités devient donc le chiffre des dizaines
456× 10 = 4560. »
62 X 45
x 2 62 45 /2124 22248 11496 5992 21984 1
1984 + 496 + 248 + 62 = 2790
62 x 45 = 2790
Multiplication : technique russe
49
La multiplication
50
La mul.plica.on
51
20 7
8
10200 70
160 56
200+ 70+ 160+ 56
486
27x 18
56+ 160+ 70+ 200
486
27x 18
216+ 270
486
1er cas : Multiplication par un nombre à un chiffre
C'est l'aspect décimal qui permet de comprendre la signification des retenues.
On utilise une décomposition de 543 en 5 centaines + 4 dizaines + 3 unités et on multiplie par 6 chacun des trois termes.Cela fait alors intervenir les relations entre les unités au niveau des retenues.
La multiplication : technique usuelle
52
1er cas : MulAplicaAon par un nombre à un chiffre
Avec le matériel :6 fois 3 cubes unités c'est 18 cubes unités soit 1 barre de 10 cubes et 8 cubes isolés.
La multiplication : technique usuelle
53
2nd cas : Multiplication par un nombre à deux chiffres
On utilise une décomposition de 26 en 2 dizaines + 6 unités.543 × 26 = 543 × (2 dizaines + 6 unités) = 543 × (2 dizaines) + 543 × (6 unités) = (543 × 2) dizaines + (543 × 6) unités.
On retrouve donc deux multiplications par des nombres à 1 chiffre, pour lesquelles on va utiliser la technique posée par un nombre à un chiffre, puis ajouter les deux résultats.Cependant comme la première multiplication donne un nombre de dizaines, nous écrirons un 0 à droite de se nombre pour le convertir en unités.L'aspect décimal intervient également dans la gestion des retenues pour l'addition finale.
La multiplication : technique usuelle54
1er cas : Multiplication par un nombre à un chiffre
On utilise la une décomposition de 543 en 5 centaines + 4 dizaines + 3 unités et on multiplie par 6 chacun des 3 termes.
3u x 6 = 18 u = 1d + 8u4d x 6 = 24 d = 2c + 4 d5c x 6 = 30 c = 3m + 0c
Il reste ensuite à ajouter, les dizaines et les centaines entre elles.Seule les retenues des additions de chaque unité sont à gérer.
La mul.plica.on : technique « per gelosia »
55
2ème cas : Multiplication par un nombre à deux chiffres
La multiplication : technique « per gelosia »
56
Cette technique ne vise pas à remplacer la technique « usuelle » mais vient en complément.
Avantages : – constitue une autre approche de la multiplication, et permet d’éclairer la technique classique– plus simple à mettre en œuvre– erreurs faciles à détecter – pas de gestion des retenues de multiplication, seulement d’addition– on peut s’arrêter et reprendre quand on veut– pas de décalage de ligne à gérer– pas de difficulté pour les zéros intercalés comme dans 205.
Analyse de la technique « per gelosia »
57
Inconvénients :
– une certaine lourdeur de mise en œuvre car il faut dessiner un tableau (ce qui peut constituer aussi, un bon exercice !)
- Peu ou pas connu (notamment des familles)
Analyse de la technique « per gelosia »
58
Se base sur le calcul « en rectangle »Multiplication : technique indienne
59
Multiplication : technique indienne60
Multiplication : technique indienne61
Multiplication : technique japonaise
62
Multiplication : comparaison des techniques
63
Nombre d’opérations pour le calcul de 62 x 45
Technique Traditionnelle : 9
Technique Per gelosia : 8
Technique Russe : 10
Technique Indienne : 7
Multiplication : comparaison des techniques
64
Nombre d’opérations pour le calcul de 345 x 207
Technique Traditionnelle : 12
Technique Per gelosia : 14
Technique Russe : 19
Technique Indienne :
Multiplication : SynthèseConnaissances en jeu
65
TradiAonnelle Per gelosia Indienne RusseConnaîtrelesprincipesd’écritured’unnombreentiernatureldansnotresystèmedenumération
oui non oui non
Connaîtrelesrelationsliantlesdifférentesunitésdenumérationdansnotresystèmedenumération
oui non oui non
Connaîtrelestatutspécifiqueduzérodansl’écrituredesnombresdansnotresystèmedenumérationetsonrôledanslesopérations
oui non non non
Connaîtreousavoircalculerlesdoublesetmoitiés non non non oui
Connaîtreles« faitsnumériquesdelamultiplication » oui oui oui non
Connaîtrelespropriétésdécompositiondelamultiplication oui non oui non
Savoirmultiplierunnombrepar10,100,1000… oui non non non
Savoiradditionner oui oui oui ouiConnaîtrelarelationliantmultiplicationetdivision non non non oui
Multiplication : analyse comparée des techniques 66
Avantages Inconvénients
Technique traditionnelle
Opérations intermédiaires simples mentalement
Besoin de poser un « 0 » dans les calculs intermédiairesBesoin de savoir poser et aligner les nombresNécessité de bien aligner les nombres des résultats intermédiairesGestions des retenues (effacer)
Technique per gelosia
Opérations intermédiaires simplesPas de retenues à gérerArrêter et reprendre le calcul quand on veutErreur facile à détecter
Tracer le tableau en alignant bien les diagonales
Technique Indienne
Schéma de calcul visuel, aisé à mémoriser
Besoin de faire de mémoire les calculs intermédiaires ou de les écrire à part
Technique Russe
Besoin que de calculer double et moitié
Besoin de bien savoir poser et calculer une additions lourdesDifférencier nombres pairs et impairs
TITRE DE LA PRÉSENTATION> TITRE DE LA PARTIE
multiplication de décimauxavec matériel
67
Consigne 1 :
Avec le matériel de votre choix (que vous présenterez), proposez une ou des manipulation(s) permettant d’illustrer chacune des multiplications suivantes (sans nécessairement en donner le résultat).
- 3 x 2 - x 2 - 2 x 1,6
68
57
69Titre
70Titre
• 3 x 2On pourra procéder trois fois à l’ajout de 2 unités ou 2 fois àl’ajout de 3 unités, quel que soit le matériel utilisé.
• 2 × 1,6 pourra être traduit comme deux fois l’ajout d’une unité et 6 dixièmes de cette même unité
• × 2
Difficile de représenter à l’aide du matériel de numération
ou la droite graduée en dixièmes et centièmes. Mais possibilité de construire une représentation en utilisant une bande unité et le guide-âne pour la partager en 7 puis prendre 5 parts.
71
57
57
Consigne 2
Calcul en ligne de différentes multiplications.
Effectuer les opérations suivantes sans les poser :
Ø 23 × 13 Ø 6 × 4,3 Ø 4,2 × 4,5
72
Pour 23 × 13 = 299 on peut faire : - 23 × 3 puis 23 × 10 - 23 × 10 et 23 × 3 - (20 + 3) × 13
Pour 6 × 4,3 = 25,8 on peut faire : - 6 ×4 = 24 et 6 × 0,3 = 1,8 - 3 × 0,3 = 0,9 puis multiplier par 2 ce qui donne 1,8 - 3 × 4,3=12,9 et le tout multiplié par 2 - 6 × 43 : 10
Pour 4,2 × 4,5 = 18,9 on peut faire : - 4,2 × 9 : 2 = (4,2 × 10 – 4,2) : 2 = 37,8 :2 = 18,9 - 4,2 × 4 = 16,8 puis 4,2 × 0,5 La moitié de 4,2 soit 2,1 et
16,8 + 2,1 - Eventuellement 4 × 4,5 puis 0,2 × 4,5 - A priori, le calcul 42 × 45 : 100, proche de la technique
posée usuelle, semble plus difficile à mettre en œuvre.
73
Consigne 3 Calcul posé, chaque groupe fait une opération différente.
Posez les multiplications suivantes et dites comment vous les expliqueriez à des élèves :
Ø523 × 305 Ø349 × 24,5
74
349 × 24,5,
la position du plus petit nombre 24,5 peut être interrogée car dans un cas, il faudra effectuer le produit de 349 par le décimal 0,5 alors que si on inverse les facteurs, on sera conduit àeffectuer le produit de 24,5 par l’entier 349.
Pour justifier la technique nous pouvons avoir des explications basées sur les différentes lecture ou décompositions possibles qui peuvent être faites de l’un ou l’autre des facteurs en jeu :
• 349 × 245/10 • 349× (2d + 4u + 5/10) • 24,5 × (3c + 4d + 9u)
75
TITRE DE LA PRÉSENTATION> TITRE DE LA PARTIE
4. La division
76
La division traduit un partage.
La division : sens principal
77
La programmation prévue par les programmes(techniques opératoires)
Cycle 3
- Division euclidienne : CM1 ;- Division de deux nombres entiers avec quotient décimal, à partir du CM2 ;- Division d'un nombre décimal par un nombre entier à partir du CM2.
Le sens de l’opération dès la maternelle avec des partages équitables (mais aussi inéquitables) et des distributions.
La divisionSa compréhension suppose de nombreuses connaissances préalables :• maîtrise des deux « sens » de la division :① « quelle est la valeur de chaque part ? » Diviser 2 782 par 26, revient à partager 2 782 en 26 parts égales et chercher la valeur d’une part: division partition ① «combien de fois ? » Diviser 2 782 par 26, revient à chercher combien de fois 26 est contenu dans 2 782: division quotition.
La division
• maîtrise des tables de multiplication (ce qui englobe la recherche de « combien de fois 7 dans 59 ? », qui n’est pas directement dans la table de multiplication par 7);
• capacité à prévoir le nombre de chiffres du quotient, par encadrement ou par partage d’une partie du dividende.
Définition de la division euclidienne
La division de deux entiers a et b est l’opération qui associe les deux nombres entiers : le quotient q, et le reste r tels que : a = b x q + r avec r compris entre 0 et b, b exclu d’ où b x q < a < b x (q+ 1)
a) Le résultat de la division est composé de deux nombres le quotient et le reste, alors que le résultat de tout autre opération (addition, soustraction, multiplication) est composé d’un seul nombre.
b) Le symbole divisé « ÷ » ne sert que dans le cas par1culier de la division exacte où le reste est nul (r= 0) ex : 45 ÷ 9 = 5
L’écriture suivante 47 ÷ 9 = 5 reste 2 est fausse.Dans le cas de la division avec reste on proposera l’écriture suivante : a ÷ b ? avec a = b x q+ r
c) Les problèmes relevant de la division euclidienne sont de deux catégories : • les problèmes de partage ou « division par11on » : on cherche
la valeur d’une part;• les problèmes de groupement réitéré ou « division quo11on »
: on cherche le nombre de part .
Définition de la division euclidienne
Les problèmes
• LA DIVISION PARTAGE ou DIVISION PARTITION
Les problèmes de partition correspondent à des situations de partage, de distribution où on cherche la valeur de chaque part. Combien dans chaque paquet ?
Exemple : 35 images sont partagées équitablement entre 4 enfants. Combien d’images chaque enfant aura-t-il ?
Les problèmes
• LA DIVISION GROUPEMENT ou DIVISION QUOTITION
Les problèmes de quotition correspondent à des situations de groupement réitéré où on est amené à chercher « le nombre de parts » (« Combien de paquets ? »).
Exemple : On a 53 livres et on veut former des lots de 4 livres par paquet. Combien de lot de livres peut-on faire ? Restera-t-il des livres ?• Combien de paquets de 4 avec 53 livres ?
Les problèmes
• Pour les élèves, ces problèmes s’appuient sur deux opérations mentales très différentes. Chercher le résultat du partage équitable (valeur d’une part) est un apprentissage étudié depuis la maternelle. Ce problème est plus facilement reconnu comme un problème de division.
• Chercher le résultat d’un groupement réitéré (combien de part ?) est plus difficile et donc moins facilement reconnu par les élèves comme un problème de division.
Les différents niveaux de résolution et progression
Exemple : On veut ranger 72 œufs dans des boites de 6. Combien de boites va-t-on remplir complètement ? Restera-t-il des œufs ?Pour résoudre ce problème plusieurs procédures sont possibles.
Procédure niveau 1 : • Mimer la situation • Dessiner les boites et les œufs • Compter les groupes• Utiliser du matériel pour représenter la situation.
Les différents niveaux de résolution et progression
Procédures niveau 2
a. L’addition réitérée 6 + 6 + 6 + 6 etc…. jusqu’à obtenir ou se rapprocher ou atteindre 72. On compte le nombre de fois que 6 a été ajouté et on trouve le nombre de boites.
b. La soustraction réitérée 72 – 6 = 66 on remplit une boite. Reste 66 œufs. 66 – 6 = 60 on remplit une boite.60 – 6 = 54 on remplit une boite etc…jusqu’à 0 ou un nombre < 6. On compte le nombre de fois que 6 a été retranché et on trouve le nombre de boites.
Les différents niveaux de résolution et progression
c. Tester des hypothèses Si les nombres sont plus grands les méthodes précédentes ne sont plus utilisables.Exemple : on veut ranger 425 œufs dans des boites de 6. Combien de boites va-t-on remplir complètement ? On pourra s’appuyer sur la table de 6 pour trouver un multiple de 6 et multiplier par 10.
6 x 10 = 60 6 x 50 = 300 6 x 60 = 360 6x70 = 420 6x 80 = 480
On remplit 70 boites et il reste 5 œufs
Les différents niveaux de résolution et progression
Procédure de niveau 3 Technique de la division euclidienne avec la potence
Nombre de chiffres du quotientDans la division de 1 234 par 5, comme on commence par faire la division de 12 par 5,il faut savoir que le 12 de 1234 correspond à 12 centaines. Or dans 12 centaines il y a 5 fois 2 centaines et il reste 2 centaines. Le premier chiffre du quotient de la division est donc un 2 au rang des centaines. Le quotient de la division sera donc un nombre à 3 chiffres.
On abaisse ...Ensuite on dit souvent « on abaisse » le 3. En effet, il faut maintenant diviser par 5 les 2 centaines qui restent : comme on ne peut pas, on va échanger ces 2 centaines contre 20 dizaines et les ajouter aux 3 dizaines de 1234, ce qui fait 23 dizaines à diviser par 5. Le fait d’abaisser le 3 permet de faire apparaître ces 23 dizaines.
La division : calcul posé92
Exemple : 1234 divisé par 5
Avec le matériel :
Pour partager 12 centaines de cubes en 5 personnes (par exemple) il faut donner 2 centaines de cubes et il reste 2 centaines. On échange ces 2 centaines contre 20 dizaines :
Cela fait donc 23 dizaines à partager en 5. On poursuit ainsi l'algorithme ...Dans 23 dizaines, il y a 5 fois 4 dizaines et il reste 3 dizaines.On échange ces 3 dizaines contre 30 unités. Il y a donc 34 unités à partager en 5 : cela fait 6 unités et il reste 4 unités.Donc 1234 = 5 x 246 + 4.
La division : calcul posé93
Exemple : 1234 divisé par 5
La division avec la potence
Ne pas oublier d’écrire les deux éléments caractéris^ques de la division euclidienne:
986 = 246× 4+2, et 2<4Vocabulaire:
986 est le dividende;4 est le diviseur;246 est le quo1ent2 est le reste.
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Pour expliquer les étapes de l'algorithme aux élèves il peut être utile d'utiliser une "feuille de partage" (ERMEL, Cap Maths, éditions Hatier)
L'addition arithmétique n'est pas un simple ajout,la soustraction arithmétique n'est pas un simple retrait,la multiplication arithmétique n'est pas une simplerépétition à l'identiqueet la division n'est pas un simple partage.
L'élève qui penserait cela pour l'une ou l'autre de cesopérations disposerait seulement de ce que certainschercheurs appellent une « conception naïve » de cetteopération (Sander, 2008)
Conclusion partielle
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Toutes les techniques présentent des avantages et des inconvénients.
Pour être mémoriser, une technique a besoin d’être entraînée et ré-entraînée dans le temps.
Nécessité de travailler en cycle ou même école pour construire se mettre d’accord (voire construire une progression)
Les techniques « exotiques » peuvent être proposées comme alternative pour répondre aux besoins de certains élèves.
CONCLUSION
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Travaux de Pascale Masselot et Denis Butlen(notamment parcours M@gistère)
Travaux de Nicolas Pinel (cf site MHM)
Travaux de Frédérick Tempier(numérationdecimale.free.fr)
Bibliographie
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