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Chapitre 2 : La fonction de transfert
2.1 Rappels sur la Transformée de Laplace
Définition
La transformée de Laplace F(p) = L (f(t)) est la fonction de la variable complexe p définie par :
Opérateur de Laplace :p : littérature francophone s : littérature anglophone
Convention d ’écriture :fonc. temporelle = minusc. fonc. de L. = majusc.
0
)()( dttfepF pt
Principaux théorèmes - linéarité
Changement d ’échelle :
Superposition :
par contre :
)()( pFAtfAL
)()()()( 2121 pFpFtftfL
)()()()( 2121 pFpFtftfL
Principaux théorèmes - translations Translation (théorème du retard) :
Translation dans le domaine complexe :
)()( pFetfL p
)()( apFtfeL at
f(t) f(t-)
Principaux théorèmes - équa. diff.
Dérivation :
Intégration:
)0()()(' fpFptfL
)(1
)(0
pFp
dttfLt
Principaux théorèmes - extrema
Valeur initiale :
Valeur finale:
)(lim)0( pFpfp
)(lim)(0
pFpfp
2.2 Fonction de transfert
Equation différentielle de départ
Soit un système décrit par une équation différentielle :
)()( 0101 tybdt
dyb
dt
ydbtea
dt
dea
dt
eda
n
n
nm
m
m
Systèmee(t) y(t)
m
i
ii
n
j
jj teatyb
0
)(
0
)( )()(
Utilisation de la Transf. de Laplace On suppose les cond. init. nulles ; l ’application
de la TL conduit à :
d ’où la fonction de transfert (FT) :
m
i
ii
n
j
jj papEpbpY
00
)()(
n
j
jj
m
i
ii
pb
pa
pE
pYpH
0
0
)(
)()(
Un paradoxe apparent
Cette égalité pourrait être considérée comme un paradoxe, en effet :son premier membre est le rapport des transformées
de Laplace des signaux d ’entrée-sortieson deuxième membre est une fraction rationnelle ne
dépendant pas des signaux
n
j
jj
m
i
ii
pb
pa
pE
pYpH
0
0
)(
)()(H(p)e(t) y(t)
La fonction de transfert
La fonction de transfert caractérise le système et lui seul
Généralisation du concept d'impédance complexe z(j) d’un circuit
L'ordre du système est le degré du dénominateur de la fonction de transfert
Attention à respecter le principe de causalité :
)(
)()mais)()()(
pH
pSE(ppEpHpS
Le gain d ’une fonction de transfert Dans H(p), on peut factoriser a0 et b0 :
K représente le gain statique G(p) représente le régime transitoire
)(
1
1
)(
00
00
0
0 pGK
pbb
b
paa
a
pb
papH
nn
mm
n
j
jj
m
i
ii
Exemple : circuit RL
Equation différentielle :
Transfor. de Laplace :
Fonction de transfert :
Ordre du système :
Gain :p
RLRLpRpU
pIpH
1
111
)(
)()(
R
Lu(t) i(t)
0)0(;)()( idt
diLtRitu
)()()( pLpIpRIpU
R
1
1
2.3 Caractéristiques statique et dynamique
Les conditions initiales
Très souvent :les conditions initiales ne sont pas nullesle système évolue autour d ’un point de
fonctionnement qui correspond à ces conditions initiales
Systèmee(t) = e0 + e(t) y(t) = y0 + y(t)
Point de fonctionnement
Variations autour du point de fonctionnement
Caractéristique statiqueLe point de fonctionnement est déterminé par
une caractéristique statique qui n ’a aucun rapport avec la fonction de transfert
estatique
ystatique
Caractéristique statique
e0
Point de fonctionnement
y0
Caractéristique dynamique
H(p)e(t) y(t)
le modèle utilisé pour représenter le système n ’est valable qu ’autour du point de fonctionnement ; la FT relie les variations de sortie à celles d ’entrée
)(
)(
)(
)()(
teL
tyL
pE
pYpH
y
eCaractéristique statique
Point de fonctionnement
Zone de validité du modèle dynamique (FT)
Exemple : moteur à courant continuPoint de fonctionnement :
u0 = 100 V ; n0 = 735 tr/mn
Fonction de transfert : pTpT
K
tuL
tnL
pU
pNpH m
21 11)(
)(
)(
)()(
Moteur CCu(t) = u0 + u(t) n(t) = n0 + n(t)
Tension d ’induit Vitesse de l ’arbre
Convention d ’écriture
Sauf dispositions particulières, toutes les variables manipulées correspondent à des variations autour d ’un point de fonctionnement
Aussi, pour simplifier l ’écriture, les « » seront omis :
)(
)(
)(
)()(
teL
tyL
pE
pYpH
)(
)(
)(
)()(
teL
tyL
pE
pYpH
2.4 Signaux d ’entrée
Signaux d ’entréePour définir les caractéristiques (le modèle) d ’un système,
on étudie sa réponse à des signaux d ’entrée particuliers
Approche temporelle
entrée = échelon, rampe ou impulsion
Approche fréquentielle
entrée = sinusoïde à fréquence variable
Approche temporelle
Echeloncaractérise le gain et le régime transitoire du systèmeutilisé comme entrée de test d ’une régulation
Rampedétermine l ’erreur de traînage d ’un asservissement
t
e(t) A
p
ApE )(
2)(
p
ApE
t
e(t)At
Approche temporelle
Impulsion mathématiquement, impulsion de Dirac :
physiquement :
t
e(t)1)( pE
1)( pE
t
e(t) Aire impulsion = 1
Approche fréquentielle
Sinusoïdeon fait varier la fréquence de la sinusoïde
d ’entrée de « 0 » (basse fréquence) à « l ’infini » (haute fréquence)
permet de construire le diagramme de Bode
20
200)(
p
EpEtEte 00 sin)(
20
20)(
p
pEpEtEte 00 cos)(
2.5 Schémas fonctionnels
Association série et parallèleSérie :
Parallèle : H1(p)e(t) y(t)H2(p) H1(p) H2(p)e(t) y(t)
H1(p) + H2(p)e(t) y(t)
H1(p)
e(t) y(t)
H2(p) +
+
Factorisation
H(p)+
+
H(p)
e1(t)
e2(t)
s(t)
+
+e1(t)
e2(t)
s(t)
H(p)
Principe de superposition Quand un système a plusieurs entrées (commande et perturbations) pour calculer la FT
entre une entrée particulière et la sortie, on suppose que les autres entrées sont nulles Ex :
H1(p)+
+
H2(p)
e1(t)
e2(t)
s(t)H3(p)
)()()(
)(31
1
pHpHpE
pS
)()()(
)(32
2
pHpHpE
pS
Système à retour unitaireCas d ’une régulation où K G(p) représente l ’ensemble
{correcteur + actionneur + procédé + capteur} :
e(t) y(t)KG(p)-
+Consigne
Mesure
)()(
)(
)()(
1
)()(
)(1
)(
)(
)(
)()()(1)(
)()()()(
)()()(;)()()(
pDpN
pN
pDpN
pDpN
pKG
pKG
pE
pY
pEpKGpKGpY
pYpEpKGpY
pYpEpppKGpY
urdénominate:)(
numérateur:)(
pD
pN
Système à retour non unitaireCas précédent avec un correcteur en plus dans la boucle
de retour :
)()(1
)(
)(
)(
)()()()(1)(
)()()()()(
)()()()(;)()()(
pFpKG
pKG
pE
pY
pEpKGpFpKGpY
pFpYpEpKGpY
pFpYpEpppKGpY
e(t) y(t)KG(p)-
+Consigne
Mesure
F(p)
2.6 Détermination de la réponse d ’un système
Principe
Pour évaluer le comportement d ’un système, il faut pouvoir
déterminer sa réponse temporelle à une entrée particulièreMéthode :
Détermination de la FT H(p) du système Détermination de l’entrée e(t) et de sa TL E(p) Calcul de Y(p) = H(p) E(p) Recherche de l ’original de Y(p) : y(t) = L-1(Y(p))
Quelques originaux
ab
aebetf
bpapp
abpF
tetfap
pF
tetfap
appF
etfapp
apF
etfap
pF
btat
at
at
at
at
1)())((
)(
sin)()(
)(
cos)()(
)(
1)()(
)(
)(1
)(
22
22
Exemple : circuit RL
Fonction de transfert :
Entrée :
Sortie :
Original de la sortie :
p
ApU )(
R
Lu(t) i(t) ?t
u(t) A
LpRpU
pIpH
1
)(
)()(
)()()(
LR
pp
LR
R
A
LpRp
ApI
)1()(t
L
R
eR
Ati
Fin du chapitre 2
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