Signal déterministe (MAA107) Cours et Exercices · 7.2.7 Dérivée de la transformée 161 7.2.8 Transformée de l’intégrale 162 7.2.9 Intégration de transformée 162 7.2.10 Fonctions

2014

ISSAE, Le cnam-Liban

Signal déterministe (MAA107)

Cours et Exercices

Noureddine ASSAAD

TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos ii

Chapitre 1 Les nombres complexes 1

1.1 Généralités 1

1.2 Définition et propriétés 3

1.2.1 Représentation d’un nombre complexe 3

1.2.2 Module et argument 4

1.2.3 Nombres complexes particuliers 5

1.3 Opérations sur les nombres complexes 5

1.3.1 Egalité 6

1.3.2 Multiplication par un nombre réel 6

1.3.3 Addition et soustraction 6

1.3.4 Multiplication et division 7

1.3.5 Rotation 9

1.3.6 Conjugué d’un nombre complexe 10

1.4 Formule de De Moivre 10

1.5 Racines d’un nombre complexe 11

1.6 Exercices 12

Chapitre 2 Calcul intégral 15

2.1 Notion de primitive, intégrale indéfinie 15

2.1.1 Intégrale indéfinie 16

2.1.2 Primitives usuelles 17

Le Cnam-Liban ii Dr. N. A. Assaad

2.2 Méthodes générales de calcul 18

2.2.1 Changement de variable 18

2.2.2 Intégration par parties 19

2.2.3 Intégrations de quelques types de fonctions rationnelles 20

2.2.4 Intégration des fonctions trigonométriques 30

2.3 Intégrales définies 33

2.3.1 Propriétés 35

2.3.2 Calcul de l’intégral définie 36

2.4 Applications du calcul intégral 38

2.4.1 Calcul des aires limitées par courbe 38

2.4.2 Longueur d’un arc 40

2.4.3 Aire et volume d’un solide de révolution 42

2.4.4 Centre de gravité 45

2.4.5 Moment d’inertie 48

2.5 Intégrale généralisée 50

2.5.1 Définition 50

2.5.2 Techniques pour établir la convergence 50

2.5.3 Quelques propriétés 52

2.5.4 Intégrales dépendant d’un paramètre 53

2.6 Exercices 54

Chapitre 3 Suites et Séries 56

3.1 Suite numérique 56

3.1.1 Limite d’une suite. Convergence et divergence 57

3.1.2 Définition par récurrence 62

3.1.3 Suites bornées 62

3.1.4 Suite monotone 63

3.1.5 Quelques limites usuelles 63

3.2 Séries numériques 65

3.2.1 Série géométrique 66

Signal déterministe MAA107

Le Cnam-Liban iii Dr. N. A. Assaad

3.2.2 Théorèmes généraux 67

3.2.3 Tests de convergence 69

3.3 Série des fonctions 72

3.3.1 Suite de fonctions 72

3.3.2 Convergence simple et convergence uniforme 72

3.3.3 Séries de fonctions 75

3.3.4 Série entières 77

3.4 Application : les équations différentielles 86

3.4.1 Généralité 86

3.4.2 Méthode générale en un point régulier 88

3.5 Exercices 92

Chapitre 4 Représentation vectorielle de signaux 95

4.1 Classification des signaux 96

4.1.1 Energie et puissance 96

4.2 Notion de limite 97

4.2.1 Convergence ponctuelle 98

4.2.2 Convergence uniforme 98

4.2.3 Convergence au sens de l’énergie 100

4.3 Espace de signaux 101

4.3.1 Ensembles négligeables 101

4.3.2 Espaces L1(I) et L2(I) 102

4.3.3 Approximation d’un signal dans L2(I) 105

4.4 Exercices 109

Chapitre 5 Séries de Fourier 112

5.1 Préliminaires et rappels 113

5.2 Série trigonométrique 115

5.3 Série de Fourier d’une fonction de L2[0, T] 115

5.3.1 Développement en série réelle de Fourier 116

5.3.2 Série complexe de Fourier 120


Le Cnam-Liban iv Dr. N. A. Assaad

5.4 Convergence des séries de Fourier 124

5.4.1 Vitesse de convergence de la série de Fourier 125

5.5 Calcul de l’énergie, formule de Parseval 126

5.6 Spectre 127

5.7 Propriétés de série de Fourier 128

5.7.1 Série dérivée 128

5.7.2 Séries de sinus et de cosinus 129

5.7.3 Phénomène de Gibbs 129

5.7.4 Translatée d’une fonction 130

5.8 Exercices 131

Chapitre 6 Transformation de Fourier 134

6.1 Intégrale de Fourier 134

6.2 Transformation de Fourier 136

6.2.1 Fonctions définies par une intégrales à paramètres 137

6.3 Propriétés des transformations de Fourier 138

6.3.1 Linéarité 139

6.3.2 Homothétie (théorème de concentration-dilatation) 139

6.3.3 Théorème de retard 140

6.3.4 Théorème de modulation 141

6.3.5 Transformée de la dérivée 142

6.3.6 Dérivée de la transformée 143

6.3.7 Représentation complexe 144

6.4 Produit de Convolution 144


6.4.2 Transformée de Fourier et convolution 147

6.5 Transformée inverse de Fourier 148

6.6 Densité spectrale 148

6.7 Exercices 149

Chapitre 7 Transformation de Laplace 152


Le Cnam-Liban v Dr. N. A. Assaad

7.1 Transformation de Laplace des fonctions 152

7.1.1 Abscisse de convergence 154

7.1.2 Conditions d’existence et unicité 155

7.1.3 Exemples 155

7.2 Propriétés des transformées de Laplace 156

7.2.1 Linéarité 157

7.2.2 Translation 158

7.2.3 Modulation 158

7.2.4 Homothétie 159

7.2.5 Produit de convolution 159

7.2.6 Transformées des dérivées 160

7.2.7 Dérivée de la transformée 161

7.2.8 Transformée de l’intégrale 162

7.2.9 Intégration de transformée 162

7.2.10 Fonctions périodiques 163

7.2.11 Théorèmes de la valeur finale et de la valeur initiale 164

7.3 Transformation de Laplace inverse 165

7.3.1 Formule d’inversion de Mellin-Fourier 165

7.3.2 Méthode du théorème de Résidus 166

7.3.3 Décomposition en éléments simples 168

7.4 Applications aux équations différentielles 168

7.4.1 Equations linéaires à coefficients constantes 169

7.4.2 Equations linéaires à coefficients variables 170

7.4.3 Systèmes différentiels 171

7.5 Tableau de transformées de Laplace 172

7.6 Exercices 174

Chapitre 8 Transformée en Z 179

8.1 Rappels d’analyse complexe 179

8.1.1 Fonction de la variable complexe 179


Le Cnam-Liban vi Dr. N. A. Assaad

8.1.2 Dérivation complexe 180

8.1.3 Intégration le long d’un chemin 183

8.1.4 Résidu 185

8.2 Transformée en z unilatérale 188

8.2.1 Commentaires 189

8.3 Transformée en z inverse 190

8.3.1 Calcul de la transformée inverse par les résidus 192

8.3.2 Transformée en z de quelques signaux importants 193

8.3.3 Transformée en z des systèmes élémentaires 194

Chapitre 9 Notion de distribution 196

9.1 Exemples d’application 196

9.1.1 Charge ponctuelle 196

9.1.2 Masse ponctuelle 197

9.1.3 Choc entre deux solides 197

9.1.4 L’impulsion 198

9.1.5 Fonctionnelle de Dirac 199

9.1.6 Naissance d’une nouvelle théorie 200

9.2 Les distributions 200

9.2.1 L’idée de Base 201

9.2.2 L’ensemble des fonctions tests 201

9.2.3 Espace D des fonctions tests 202

9.2.4 Définition et exemples de distributions 203

9.2.5 Peigne de Dirac 206

9.3 Opérations sur les distributions 207

9.3.1 Opérations élémentaires dans D′ 207

9.4 Dérivation dans D′ 211

9.4.1 Définitions et propriétés 211

9.4.2 Dérivées de δ 214

9.4.3 Equation gT = S 215


Le Cnam-Liban vii Dr. N. A. Assaad

9.5 Dérivée au sens des distributions 216

9.5.1 La distribution VP(

1t

)219

9.6 Convergence dans D 220

9.6.1 Définitions et exemples 220

9.6.2 Convergence au sens des distributions 221

9.6.3 Application sur les séries trigonométriques 223

9.6.4 Développement en série de Fourier du peigne de Dirac 224

9.7 Convolution des distributions 225


9.8 Exercices 228

Chapitre 10 Transformation de Fourier des Distributions 233

10.1 Les distributions tempérées 233

10.1.1 Fonctions à décroissance rapide 233

10.1.2 Distributions tempérées : Définitions 234

10.1.3 Distributions tempérées : Propriétés 235

10.1.4 Exemples 235

10.2 Transformation de Fourier 235

10.2.1 Transformée usuelle des fonctions de S 235

10.2.2 Transformation de Fourier des distributions 236


10.2.4 Quelques tranformations importantes 238

10.2.5 Transformation de Fourier des distributions périodiques 241

10.3 Exercices 243

Chapitre 11 Introduction à la transformation en ondelettes 244

11.1 Les limites de l’analyse de Fourier 244

11.1.1 Fréquence instantanée d’un signal analytique 245

11.1.2 Localisation temps-fréquence 245

11.1.3 Transformée de Fourier à fenêtre glissante 246


Le Cnam-Liban viii Dr. N. A. Assaad

11.2 Formules de Gabor 248

11.2.1 Bilan sur les méthodes de Fourier et Gabor 249

11.3 Transformée en ondelettes continues 251

11.3.1 Validité des formules et calculs 254

11.4 La transformée en ondelettes discrète 255

11.4.1 Le système de Haar 255

11.4.2 Filtres à reconstruction parfaite. 258

11.4.3 Ondelettes biorthogonales 259

11.5 Transformée d’une image 261

11.5.1 Passage à deux dimensions 261

11.5.2 Analyse de l’image 261

Annexe A Fonctions Trigonométriques et Hyperboliques 264

A.1 Les FonctionsTrigonométriques 264

A.1.1 Définitions 264

A.1.2 Valeurs des Fonctions des angles particuliers 266

A.1.3 Intervalles des valeurs 266

A.1.4 Graphes 266

A.1.5 Fonctions des angles en Terms des angles du Quadrant I 267

A.2 IdentitésTrigonométriques 267

A.2.1 Identités de Pythagore 267

A.2.2 Périodicité 268

A.2.3 Formules d’Addition 268

A.2.4 Théorèmes 269

A.3 Fonctions hyperboliques 269

A.3.1 Définitions 269

A.3.2 Formules de bases 270

A.3.3 Relations avec les fonctions trigonométriques 271

A.3.4 Fonctions réciproques 271

A.4 L’alphabet grec 271


Le Cnam-Liban ix Dr. N. A. Assaad

Annexe B Dérivées 272

B.1 Définition 272

B.2 Règles de Différentiation 272

B.3 Formules de Dérivation 272

B.3.1 Fonctions Algébriques 273

B.3.2 Fonctions Trigonométriques 273

B.3.3 Fonctions Trigonométriques Inverses 273

B.3.4 Fonctions Exponentielles et Logarithmiques 273

B.3.5 Fonctions Hyperboliques : 274

B.3.6 Fonctions Hyperboliques Inverses 274

Annexe C Table des Intégrales 275

C.1 Primitives usuelles 275

C.2 Racines des Expressions Quadratiques 276

C.2.1 Formes avec√

a2 + u2, a > 0 276


a2 − u2, a > 0 276


u2 − a2, a > 0 277


2au− u2 277

C.2.5 Formes avec a + bu 277

C.2.6 Fonctions Trigonométriques 278

C.2.7 Fonctions Trigonométriques Inverses 279

C.2.8 Fonctions Exponentielles et Logarithmiques 280

C.2.9 Fonctions Hyperboliques 280

Annexe D Longueurs, Surfaces, Volume 281

D.1 Polygone régulier de n côtés 281

D.2 Cercle 282

D.3 Autres formes géométriques 283


AVANT-PROPOS

CE cours couvre le programme de l’UE :MAA107 Signal déterministe à l’usage des audi-teurs du cnam. Les notions discutées dans ce cours seront utilisées dans les cursus defilière : Génie électrique ; Options électronique et Télécommunication

Le programme du cnam est en trois parties :

1. Analyse de Fourier des Signaux d’énergie finie : Représentation des fonctions par sé-rie,espaces L1 et L2 des signaux, Série de Fourier, Transformation de Fourier, Trans-formation de Laplace. Transformée en Z

2. Introduction à la théorie des distributions : Dérivation, convergence, impulsions ap-prochées.Transformée de Fourier, applications au flitrage et à l’étude des spectres...

3. Indications sur la représentation conjointes en temps et fréquence : transforamtion enOndelettes

Les deux premiers chapitres ; Les nombres complexes et le calcul intégral sont au titre deréférence.

Certains chapitres sont suivis d’une séries des exercices illustrent systématiquement lesnotions discutés dans le cours. Mais, des autres T.D. peuvent être traités.

Ces notes de cours sont des clés, des autres ressources sont bien nécessaires pour uneconnaissance plus approfondie

Cet ouvrage est rédigé avec Scientific WorkPlace 5.5 (Build 2960).Des "Latex packages" non inclues dans Scientific WorkPlace sont installés

c©N. ASSAAD.Le cnam-Liban 2013

CHAPITRE 1

LES NOMBRES COMPLEXES

LA notion de nombre complexe a été introduite par les mathématiciens italiens Jé-rôme Cardan, Raphaël Bombelli et Tartaglia comme intermédiaire de calcul pourtrouver des solutions aux équations polynomiales du troisième degré. Il semble-rait que ce soit Héron d’Alexandrie qui ait inventé le nombre impossible. L’aspect

géométrique des nombres complexes ne se développe qu’à partir du XIXe siècle chez l’abbéBuée et Jean-Robert Argand (plan d’Argand), puis ensuite chez Carl Friedrich Gauss et chezAugustin Louis Cauchy.

La notion complexe et ses propriétés sont très utiles dans divers domaines de physique :

1. En électricité : Fonctionnement d’un circuit en régime sinusoïdal forcé.

2. En optique : Etude des interférences et de diffractions lumineuses et les ondes électro-magnétiques.

3. En mécanique : Régime sinusoïdal forcé d’un oscillateur harmonique, les phénomènesvibratoires.

1.1 Généralités

Considérons l’ensemble R2 = (x, y) avec x ∈ R et y ∈ R . On définit sur R2 les deuxlois de composition interne :

L’addition (+) : (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y+ y′)La multiplication (·) : (x, y) · (x′, y′) = (xx′ − yy′, xy′ + yx′)

De plus si a est un nombre réel, alors pour tout (x, y) ∈ R2 on a :

a (x, y) = (ax, ay)

On démontre que les deux lois (+) et (·) sont :– commutatives– associatives– chacune admet un élément neutre– chaque élément de R2 admet un symétrique ( sauf (0, 0) pour la multiplication)– et la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

Le Cnam-Liban 2 Dr. N. A. Assaad

Ces propriétés démontrent donc que(R2,+, ·

)est un corps commutatif

Considérons en particulier les éléments de la forme (x, 0) et (0, y) , chaque couple (x, y)s’exprime sous la forme :

(x, y) = (x, 0) + (0, y) et de plus (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1)

Dans toutes les opérations qui peuvent être effectuées (x, 0) est équivalent au nombreréel x

en effet :– (x, 0) + (x′, 0) = (x+ x′, 0)⇐⇒ (x) + (x′) = x+ x′

– (x, 0) · (x′, 0) = (xx′ − 0.0, x.0+ 0.x′) = (xx′, 0)⇐⇒ (x)× (x′) = xx′

– (x, 0) · (x, 0) =(x2, 0

)⇐⇒ (x)× (x) = x2

– (1, 0) · (x, 0) = (1.x, 0) = (x, 0)⇐⇒ (1)× (x) = x

– a (x, 0) = (ax, a.0) = (ax, 0)⇐⇒ a× (x) = ax

– (x, 0) · (0, y) = (x.0− y.0, x.y+ 0.0) = (0, xy)⇐⇒ x× (0, y) = (0, xy)

Donc on peut remplacer le couple (x, 0) de R2 par le nombre réel x, par suite le couple(1, 0) est équivalent au nombre 1.

Mais y a-t-il un nombre qui remplace le couple (0, y)?. Supposons qu’il existe un nombrej = (0, 1)

on a :

– (0, y) = y (0, 1) = yj = jy

– (0, y) + (0, y′) = (0, y+ y′)⇐⇒ jy+ jy′ = j (y+ y′)

– a (0, y) = (0, ay)⇐⇒ a (jy) = jay

– (0, y) · (0, y′) = (0− yy′, 0.y+ y′.0) = (−yy′, 0)⇐⇒ (jy)× (jy′) = j2yy′ = −yy′

– (0, y) · (0, y) =(−y2, 0

)⇐⇒ (jy)× (jy) = j2y2 = −y2

– (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0)⇐⇒ j× j = j2 = −1

On remarque, alors, que le nombre j n’est pas un nombre réel car l’équation x2 = −1 n’apas une solution dans R. Le nombre j est donc un nombre imaginaire.

Quand même, si on écrit le couple

(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x (1, 0) + y (0, 1) = x+ jy

rien ne se change et les opérations effectuées dans R2 se conservent.

Le nombre x+ jy ainsi défini est un nombre complexe



1.2 Définition et propriétés

Définition 1.1 On appelle nombre complexe tout nombre z qui peut se mettre sous la forme :

z = x+ jy (1.1)

Où x et y sont des nombres réels et j un nombre purement imaginaire défini par :

j =√−1 ou j2 = −1 (1.2)

x est la partie réelle de z et on note : x = Re(z)y est la partie imaginaire de z et on note : y = Im(z)

Définition 1.2 On désigne par C l’ensemble des nombres complexes :

C = z ; z = x+ jy, x ∈ R et y ∈ R (1.3)

L’ensemble C muni de l’addition et de la multiplication est un corps commutatif et il est équi-valent au corps

(R2,+,×

).

1.2.1 Représentation d’un nombre complexe

a) Représentation cartésienne

Soit M est un point du plan xOy défini par ses coordonnées x et y, le couple (x, y) descoordonnées cartésiennes définit le point M, alors que le nombre complexe z = x+ jy définiaussi le point M. Donc, chaque nombre complexe z = x+ jy représente un point M (x, y)du plan (Oxy)

M(z)

θ

Oxe

ye

x

y

Re z

Im z

r

FIG. 1.1 – Représentation géométrique

Le nombre compelxe z s’appelle l’affixe de M et le point M (z) est l’image du nombre zdans la plan xOy.

L’écriture z = x+ jy d’un nombre complexe z est une représentation cartésienne.Le plan complexe est l’ensemble des points M d’affixe z = x+ jy. On pourra remarquer

qu’il y a une parfaite correspondance entre le plan vectoriel muni d’un repère orthonorméet le plan complexe.

Pour y = 0 on a z = x = Re z et pour x = 0 on a z = jy , alors l’axe (Ox) est l’axe desréels (Re z) et l’axe Oy celui des imaginaires (Im z) (Figure 1).



b) Représentation polaire

Soient −→ex et −→ey deux vecteurs unitaires portés par les axes Ox et Oy respectivement, etM(x, y) un point du plan complexe (figure.1). Au point M on fait associer le rayon vecteur :

−→r =−−→OM = x−→ex + y−→ey

soit θ l’angle que fait le vecteur−−→OM avec l’axe Ox et r la norme (ou module) de −→r(

r =∣∣∣−−→OM

∣∣∣) . La géométrie de la figure 1 montre que

x = r cos θy = r sin θ

(1.4)

Remplaçons x et y par leurs valeurs dans z, le nombre complexe s’écrit :

z = x+ jy = (r cos θ) + j (r sin θ)

ou finalement :

z = r (cos θ + j sin θ) (1.5)

cet écriture est une représentation trigonométrique (ou polaire ) du nombre complexe.

c) Représentation exponentielle

En utilisant les formules d’Euler :

cos θ =ejθ + e−jθ

2

sin θ =ejθ − e−jθ

2j

(1.6)

on trouve :

e±jθ = cos θ ± j sin θ (1.7)

Si on remplace cos θ + j sin θ par ejθ on obtient une représentation en une forme expo-nentielle de z :

z = rejθ (1.8)

1.2.2 Module et argument

Soit z un nombre complexe donné tel que :

z = x+ jy = r cos θ + jr sin θ = rejθ

Il est claire que :

|z| =√

x2 + y2 = r

arctan(y

x

)= θ = arg(z)

(1.9)



Définition 1.3 La quantité r est le module du vecteur−−→OM ; r est donc le module de z et θ est dite

l’argument de z :r = |z| θ = arg(z)

Si z est un nombre imaginaire pur (z = jy) alors :

Re (z) = x = 0 =⇒ θ = arg (z) = (2k+ 1)π

2

Si z un nombre réel pur :

(z = x) Im (z) = y = 0 =⇒ arg (z) = kπ

avec k un entier relatif.

1.2.3 Nombres complexes particuliers

I z = 1 = 1.1+ j.0 =⇒ x = 1 et y = 0

en forme polaire : 1 = rejθ =⇒ r = |1| = 1 et θ = arg(1) = 0± 2kπ :

exp (±2jkπ) = 1

I −1 = −1.1+ j.0 =⇒ |−1| = 1, arg(−1) = π + 2kπ :

exp [± (2k+ 1)π] = −1

I z = j = 0.1+ j.1 =⇒ x = 0 et y = 1

en forme polaire : j = ρejϕ =⇒ ρ = |j| = 1 et ϕ = arg(j) =π

2± 2kπ :

exp(

j(π

2± 2kπ)

)= j

I z = −j =1j=⇒

∣∣∣∣1j∣∣∣∣ = |−j| = 1 , arg(−j) = arg

(1j

)= −π

2± 2kπ :

exp(−j(

π

2± 2kπ)

)= −j =

1j

1.3 Opérations sur les nombres complexes

L’ensemble des nombres complexes muni de l’addition et de la multiplication commesera défini plus bas détermine un corps commutatif.



1.3.1 Egalité

Deux nombres complexes sont égaux si et seulemnt si leurs parties réelles et imaginairessont, respectivement, égales.

En effet :On a noté que chaque nombre complexe z = x+ jy est l’image d’un point M (x, y) , par

suite si z et z′ = x′ + jy′ sont égaux, donc ils représentent le même point M (x, y) ce quidonne x = x′ et y = y′.

∀(z = x+ jy) ∈ C, ∀(z′ = x′ + jy′) ∈ C, si z = z′ =⇒ x = x′et y = y′

par suite |z| = |z′| et arg(z) = arg(z′) + 2kπ

z = z′ ⇔ Re (z) = Re(z′)

et Im (z) = Im(z′)

z = z′ ⇔ |z| =∣∣z′∣∣ et arg(z) = arg(z′) + 2kπ

1.3.2 Multiplication par un nombre réel

En multipliant un nombre complexe z par un un réel a, les parties réelle et imaginaire dez seront multipliées par a :

∀z = x+ jy et ∀a ∈ R : az = a (x+ jy) = ax+ jay

Re (az) = a Re (z)Im (az) = a Im (z)

En particulier, pour a = −1 :

−z = − (x+ jy) = −x− jy

1.3.3 Addition et soustraction

Considérons les deux nombres complexes : z1 = x1 + jy1 et z2 = x2 + jy2.Soit à calculer Z = z1 + z2. On a :Z = z1 + z2 = x1 + jy1 +x2 + jy2 = x1 + x2 + jy1 + jy2 = (x1 + x2) + j (y1 + y2)C’est-à-dire :

Re (z1 + z2) = Re (z1) + Re (z2)Im (z1 + z2) = Im (z1) + Im (z2)



on déduit :

|Z| =√(x1 + x2)

2 + (y1 + y2)2

arg Z = arctan(

y1 + y2

x1 + x2

)

L’opération de soustraction des nombres complexes z1 et z2 est en fait une additionde z1 avec (−z2)

z1 − z2 = z1 + (−z2) = (x1 + jy1) + (−x2 − jy2) = (x1 − x2) + j(y1 − y2)

a) Propriétés de l’addition

Soient z = x + jy, z′ = x′ + jy′,et z′′ = x′′ + jy′′ trois nombres complexes. On a pardéfinition : z+ z′ = x+ x′ + j (y+ y′) , c’est-à-dire l’addition dans C est une combinaisonde deux additions dans R, par suite toutes les propriétés de l’addition des réels sont valablesdans l’ensemble C :

1. L’addition des nombres complexes est commutative :

z+ z′ = z′ + z

2. L’addition dans C est associative : ∀ z, z′, z′′ ∈ C on a :

z+ (z′ + z′′) = (z+ z′) + z′′ = z+ z′ + z′′

3. Le nombre zéro (0 = 0+ j0) est l’élément neutre :

∀z ∈ C, z+ 0 = 0+ z = z

4. Chaque nombre complexe z = x+ jy admet un opposé : z′ = x′+ jy′ tel que z+ z′ = 0,donc :

z′ = −z = −x− jy⇐⇒ x′ = −x et y′ = −y

1.3.4 Multiplication et division

Soient deux nombres complexes : z1 = x1 + jy1 et z2 = x2 + jy2.Le produit effectué directement donne :

z1z2 = (x1 + jy1) (x2 + jy2) = x1 (x2 + jy2) + jy2 (x2 + jy2) = x1x2 + j2y1y2 + j(x1y2 + x2y1)

Or j2 = −1,donc :

z1z2 = (x1x2 − y1y2 + j(x1y2 + x2y1)



dans le cas où z1 et z2 sont exprimés en formes polaires : z1 = r1ejθ1 et z2 = r2ejθ2 :

z1z2 =(

r1ejθ1) (

r2ejθ2)= r1r2ejθ1 ejθ2 = r1r2ej(θ1+θ2)

donc :

|z1z2| = |z1| × |z2|arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)

Diviser deux nombres complexes z1par z2 6= 0, c’est de trouver la nombre complexe

Z = X+ jY tel que Z =z1

z2c’est-à-dire : z1 = Zz2, ou bien :

x1 + jy1 = (X+ jY) (x2 + jy2) = Xx2 −Yy2 + j (Xy2 +Yx2)

ce qui ramène à résoudre le système d’équations linéaires :x2X− y2Y = x1y2X+ x2Y = y1

La solution du système nous donne :

Re(

z1

z2

)=

x1x2 + y1y2

x22 + y2

2(1.10)

Im(

z1

z2

)=

x2y1 − x1y2

x22 + y2

2(1.11)

En forme polaires on aura :

z1

z2=

r1ejθ1

r2ejθ2=

r1

r2ej(θ1−θ2) =

r1

r2. (cos (θ1 − θ2) + j sin(θ1 − θ2))

par suite

∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ = |z1||z2|

(1.12)

arg(

z1

z2

)= arg z1 − arg z2 (1.13)

En particulier

∣∣∣∣1z∣∣∣∣ = 1|z| et arg

(1z

)= − arg (z) (1.14)



On déduit alors :

1.∣∣∣∣ N

∏n=1

zn

∣∣∣∣ = N∏

n=1|zn| ⇐⇒ |z1 × z2 × ....× zN | = |z1| × |z2| × ....× |zN |

2. Il découle : |zn| = |z|n

3. arg(

N∏

n=1zn

)=

N∑

n=1arg (zn)⇔ arg(z1 × · · · × zN) = arg(z1) + · · ·+ arg(zN)

4. arg(zn) = n arg(z)5. arg(−z) = arg(z) + π

a) Propriétés de la multiplication

On vérifie simplement les propriétés suivantes : ∀ z1, z2, z3 ∈ C :

1. La multiplication des nombres complexes est commutative :

z1 × z2 = z2 × z1

2. La multiplication des complexes est associative :

z1 × (z2 × z3) = (z1 × z2)× z3 = z1 × z2 × z3

3. Le nombre 1 est l’élément neutre pour la multiplication :

1× z = z× 1 = z

4. La multiplication dans C est distributive par rapport à l’addition :

z1 × (z2 + z3) = z1 × z2 + z1 × z3

5. Chaque nombre complexe non nul est inversible :∀ z ∈ C−0 , ∃ z′ ∈ C tel que :

z′ × z = 1 =⇒ z′ =1z=

x− jyx2 + y2

1.3.5 Rotation

Soit M(x, y) un point d’affixe z = x+ jy = rejθ . Le vecteur−−→OM , caractérisé par z, est de

module|z| = r =∣∣∣−−→OM

∣∣∣ et il fait un angle θ avec l’axe des réels (Ox) tel que θ = arg (z) .

q

y

x

M(z)

r

r

q

a

y

x

M(zejα)

M(z)

r

r

q

Rotation Conjugué

FIG. 1.2 – Rotation et conjugué

La multiplication par le nombre complexe a = ejα nous donne le nombre az = rej(θ+α)

tel nombre complexe caractérise le vecteur−→ON de même module que

−−→OM mais l’angle que



fait−→ON avec Ox est (α+ θ) ce qui veut dire que la multiplication par un nombre complexe

de module 1 et d’argument α entraine la rotation du vecteur image d’un angle α.

En particulier, la multiplication par j entraine une rotation de π/2 et la multiplicationpar (−1) entraine la rotation de π.

1.3.6 Conjugué d’un nombre complexe

Définition 1.4 On appelle conjugué d’un nombre complexe z = x+ jy nombre complexe ayantmême module que z mais d’argument opposé.

On note le conjugué par z tel que : Re (z) = Re (z) et Im (z) = − Im (z) .

z = x− jy = r(cos θ − j sin θ) = re−jθ (1.15)

a) Propriétés

On admet les propriétés suivantes :

1. ∀ z ∈ C : (z) = z

2. ∀ z1, z2 ∈ C : (z1 ± z2) = z1 ± z2

3. ∀ z1, z2 ∈ C : (z1.z2) = z1.z2

4. ∀ z ∈ C : zn = (z)n

5. ∀ z1, z2 ∈ C :(

z1

z2

)=

z1

z2

6. Re(z) =z+ z

2et Im(z) =

z− z2j

7. si z = x+ jy alors z× z = x2 + y2 = |z|2

Dans la division des nombres complexes on introduit la notion de conjugué. En multi-

pliant par z2 le numérateur et le dénominateur du fractionz1

z2

z1

z2=

z1

z2.z2

z2=

z1z2

|z2|2=(x1 + jy1) . (x2 − jy2)

(x2 + jy2) . (x2 − jy2)

=x1x2 + y1y2 + j(x2y1 − x1y2)

x22 + y2

2= X+ jY

1.4 Formule de De Moivre

C’est une formule liant les nombres complexes en formes trigonométriques, mais elletrouve des applications importantes



Soit z = ejθ = cos θ + j sin θ alors zn =(ejθ)n

= (cos θ + j sin θ)n

D’autre part on a(ejθ)n

= ejnθ = cos nθ + j sin nθPar comparaison on trouve :

(cos θ + j sin θ)n = cos nθ + j sin nθ (1.16)

Cette formule s’appelle formule de De Moivre.En utilisant la formule de De Moivre on peut déterminer de relations trigonométriques

de types cos nθ et fonction de cos θ et sin θ.

Exemple 1.1 (cos θ + j sin θ)2 = cos2 θ − sin2 θ + 2j cos θ sin θ= cos 2θ + j sin 2θSoit

cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

Exemple 1.2 (cos θ + j sin θ)3 = cos3 θ + 3j cos2 θ sin θ + j3 sin3 θ + 3j2 cos θ sin2 θ= cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ + j

(3 cos2 θ sin θ − sin3 θ

)= cos 3θ + j sin 3θ

cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ

sin 3θ = 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ

1.5 Racines d’un nombre complexe

Un nombre complexe ω est appelé racine nieme d’un nombre complexe z si ωn = z oubien si ω = n

√z.

Si ω est de la forme : ω = ρ (cos ϕ+ j sin ϕ) et z = r(cos θ + j sin θ), on a ωn = z doncd’après la formule de De Moivre :

r(cos θ + j sin θ) = ρn(cos ϕ+ j sin ϕ)n = ρn(cos nϕ+ j sin nϕ) (1.17)

L’égalité dans C entraîne :

cos θ = cos nϕsin θ = sin nϕ

=⇒ nϕ = θ + 2kπ

d’où :

ρ = n√

r et ϕ =θ + 2kπ

n

avec k = 0, 1, 2, 3, ...n− 1



ϕ peut prendre n valeurs : ϕk ; k = 0, 1, 2, ...n− 1 ( pour k = n on retrouve ϕ0).Par suite, dans C, il existe n racines nieme d’un nombre complexe z .

ωk = n√

r (cos ϕk + j sin ϕk)

ϕk =θ + 2kπ

n(1.18)

Exemple 1.3 L’unité a deux racines carrées : ω0 = 1 et ω1 = −1 et trois racines cubiques :en effet z = 1 est un nombre complexe de module r = 1 et d’argument θ = 0les racines cubiques sont ωk avec k = 0, 1 et 2 .

ϕk =θ + 2kπ

n=

0+ 2kπ

3

donc :Pour k = 0, ϕ0 = 0 =⇒ ω0 = 1

pour k = 1, ϕ1 =2π

3=⇒ ω1 =

(cos

2π

3+ j sin

2π

3

)= −1

2+ j√

32

Pour k = 2, ϕ2 =4π

3=⇒ ω2 =

(cos

4π

3+ j sin

4π

3

)= −1

2− j√

32

D’une façon générale les racines nieme de l’unité sont données par la formule :

n√

1 = cos2kπ

n+ j sin

2kπ

n, k = 0, 1, 2 · · · n− 1 (1.19)

1.6 Exercices

Exercice 1.1 Trouver l’ensemble des valeurs de z tels que :∣∣∣∣ z− 3z+ 3

∣∣∣∣ = 2

Exercice 1.2 Trouver les racines carrées de z = −15− 8j et en déduire les racines de l’équationz2 + (2j− 3).z+ 5− j = 0.



Exercice 1.3 Si u est une racine de l’unité, autre que 1, et un = 1,

Exercice 1.4 Calculer l’expression :

E = 1+ u+ u2 + ...+ un−1

Exercice 1.5 Soient z et z′deux nombres complexes.

1. Déterminer z de manière que z, 1/z et (1− z) aient le même module.

2. Si z et z′ sont deux nombres complexes de module 1, montrer quez+ z′

1+ zz′est réel.

3. Si z+ 1/z = 2 cos t où t est un réel, calculer zn + 1/zn.

Exercice 1.6 Soit z =1+ j tan ϕ

1− j tan ϕ

1. Calculer le module et l’argument de z

2. En déduire les expressions de sin 2ϕ , cos 2ϕ et tan 2ϕ en fonction de tan ϕ .

3. Calculer tan(π/8)

4. Utiliser ces résultats ainsi que le changement de variable u = tan(x/2), pour calculer

l’intégrale I =π/4∫

0

dxcos x

Exercice 1.7 Déterminer l’ensemble des nombres complexes z qui vérifient :

|1+ jz| = |1− jz| (E)

Soit α un nombre réel. Montrer que les solutions z de l’équation (E) telles que :(1+ jz1− jz

)n

=1+ jα1− jα

sont des nombres réels.Résoudre l’équation (E).

Exercice 1.8 m étant un paramètre réel, on considère le nombre complexe :

zm =− 1

2 +m+ j√

32

− 12 −m+ j

√3

2

1. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de zm.



2. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles la partie réelle de zm est nulle.

3. Calculer le module et l’argument de zm pour chacune des valeurs de m obtenues.

4. Résoudre dans C l’équation . (z+ j)3 =1√3

z−1 . ( z−1 désigne zm pour m = −1)


CHAPITRE 2

CALCUL INTÉGRAL

LE calcul intégral joue un rôle fondamental en physique pour faire des calculs sur desgrandeurs continues (aires, volumes, flux, moment d’inertie,...) dans de nombreuxdomaines : mécanique, électrostatique, thermodynamique... Le développement ducalcul intégral a commencé avec le calcul des aires comme limites d’une somme

infinie. Ces calculs ont invités l’étude de cas plus généralisé qu’on l’appelle intégraleL’objectif du ce chapitre est discuter les méthodes de calcul de certains types des inté-

grales indéfinies fréquement utilisées en physique, en mécanique et en électronique, ainsiquelques applications importantes des intégrales définies.

2.1 Notion de primitive, intégrale indéfinie

Connaissant une fonction f (x) continue sur un intervalle I on sait bien comment cher-cher la dérivée de cette fonction en un point quelconque x ∈ I. Dans la suite nous allons deconsidérer le problème réciproque : connaissant la dériveé f (x) on va essayer de déterminerla fonction originale F (x) telle que F′ (x) = f (x) .( Figure 1).

f(x) F(x)

dxd

∫

FIG. 2.1 – Dérivée et primitive

Définition 2.1 Une fonction F (x) , de la variable réelle x, est dite primitive de la fonction f (x)sur l’intervalle [a, b] si en tout point de cet intervalle F′ (x) = f (x) ou bien dF = f (x) dx.

La dérivée d’une constante arbitraire C est égale à zéro, donc elle peut être considéréecomme primitive de 0 par suite F (x) +C est une primitive de f (x) , en effet : [F (x) + C]′ =F′ (x) + C′ = F′ (x) + 0 = f (x)

Donc toute fonction de la forme F (x) + C est une primitive de la fonction f (x).

Exemple 2.1 x3 + 2, x3 − 5, x3 + 405, ... sont toutes de primitives de 3x2.Soit donc x3 + C la primitive de 3x2.


Théorème 2.1 Deux primitives, F (x) et G (x) , de la même fonction f (x) sur l’intervalle[a, b] se diffèrent d’une constante.

DémonstrationOn a F′ (x) = f (x) et G′ (x) = f (x)=⇒ F′ − G′ = (F− G)′ = f − f = 0=⇒ F− G = const.

2.1.1 Intégrale indéfinie

Définition 2.2 On appelle intégrale indéfinie de la fonction f (x) toute fonction de la formeF (x) + C où F (x) est une primitive de f (x) et on note :∫

f (x) dx =∫

dF = F (x) + C (2.1)

Le symbole∫

est le signe somme ou signe intégrale représente la limite de la sommeinfinie des quantités infiniment petites dF.

La formule (1) démontre que l’intégrale définit une famille des courbes translatées l’unede l’autre le long de l’axe Oy.

Exemple 2.2 La figure (2) illustre les courbes des primitives :x3

3,

x3

3− 20,

x3

3+ 20,

x3

3+ 30

de la fonction f (x) = x2.

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

2

2

4

x

y

FIG. 2.2 – Courbes de x3

3 , x3

3 − 2, x3

3 + 2, x3

3 + 3, x3

3 − 3

Il est claire que chaque fonction continue sur l’intevalle [a, b] possède une primitive surcet intervalle.

Théorème 2.2 (Propriétés) Soient f (x) et g (x) deux fonctions continues et possèdent desprimitives sur le segment [a, b] , soient α et β deux constantes on a :

1.∫(α f (x) + βg (x)) dx = α

∫f (x) dx+ β

∫g (x) dx



2. Si∫

f (x) dx = F (x) + C =⇒∫

f (αx) dx =1α

F (αx) + C

3. Si∫

f (x) dx = F (x) + C =⇒∫

f (αx+ β) dx =1α

F (αx+ β) + C

Démonstration

1. On ad

dx(∫

f (x) dx)= f (x) et

ddx(∫

g (x) dx)= g (x) par suite

ddx(α∫

f (x) dx+ β∫

g (x) dx)= α

ddx(∫

f (x) dx)+ β

ddx(∫

g (x) dx)= α f (x)+ βg (x)

2.d

dx

(1α

F (αx) + C)=

1α

ddx

F (αx) +dCdx= F (αx)

3.d

dx

(1α

F (αx+ β) + C)=

1α

ddx

F (αx+ β) +dCdx= F (αx+ β)

2.1.2 Primitives usuelles

Les primitives sont, par définition, des "anti-dérivées", alors à partir des dérivées on peutdéduire immédiatement les primitives de certaines fonctions usuelles.

Voici les primitives de certaines fonctions usuelles :

1.∫

xndx =xn+1

n+ 1+ C

2.∫

sin axdx = −cos axa

+ C

3.∫

cos axdx =1a

sin ax+ C

4.∫ dx

cos2 x=∫ (

1+ tan2 x)

dx = tan x+ C

5.∫ dx

sin2 x= − cot x+ C

6.∫

eaxdx =1a

eax + C

7.∫ dx

x= ln x+ C

8.∫ dx

a2 + x2 =1a

arctanxa+ C

9.∫ dx√

a2 − x2=

1a

arcsinxa+ C

10.∫

sinh axdx =1a

cosh ax

11.∫

cosh axdx =1a

sinh ax

Exemple 2.3 La dérivée de la fonction F (x) = xn+1 est f (x) = (n+ 1) xn ou bien :dxn+1

dx= (n+ 1) xn ⇐⇒ 1

n+ 1dxn+1

dx= xn

=⇒ ddx

(xn+1

n+ 1+ C

)= xn

donc on peut déduire la primitive de xn :xn+1

n+ 1+ C



Exemple 2.4 De mêmed

dx

(−cos ax

a+ C

)= sin ax

=⇒∫

sin axdx = −cos axa

+ C.

2.2 Méthodes générales de calcul

Dans la suite nous allons de discuter deux méthodes générales de calcul des intégralesindéfinies, ces méthodes sont basées à la connaissance des primitives des fonctions usuelleset par suite elles servent de transformer la fonction à intégrer en une forme usuelle dontnous connaissons la primitive.

2.2.1 Changement de variable

Le principe général de cette méthode est de transformer l’intégrale∫

f (x) dx en uneforme

∫g (t) dt où g (u) est une fonction usuelle de u. Il faut donc faire un chagement de

variable : x → t tel que x = u (t) d’une façon d’avoir la fonction g (t) .Notons que le choix de la fonction u (t) n’est pas toujours évident, mais il faut à coté

considérer l’existance de la quantité dx = dudt dt.

Pour fixer l’idée, considérons la fonction composée f (x) avec x = u (t), f (x) est unefonction continue de x et x = u (t) une fonction continue de t, donc u (t) est dérivable parrapport à t. dx = u′ (t) dt et f (x) a une primitive par rapport à x, alors :∫

f (x) dx =∫

f (u (t)) u′ (t) dt (2.2)

La forme∫

f (u (t)) u′ (t) dt est alors une intégrale par rapport à la variable t .

Si la fonction est initialement donnée sous la forme∫

f (u (t)) u′ (t) dt, donc en posant

x = u (t) et dx = du = u′dt on obtient l’intégrale∫

f (x) dx.

Il est parfois commode de choisir le changement de variable sous la forme t = v (x)donc dt = v′dx.On peut aussi effectuer le changement de variable deux ou plusieurs fois

Remarque

Exemple 2.5 Soit à calculer I =∫ √

sin x cos xdx

Si on pose : t = sin x on aura : dt = cos xdx

par suite I =∫ √

sin x cos xdx =∫ √

tdt =23

√t3 =

23

√sin3 x+ C



Exemple 2.6 J =∫ xdx

1+ x2

Posons t = 1+ x2 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx =12

dt

J =∫ xdx

1+ x2 =12

∫ dtt=

12

ln (t) =12

ln(1+ x2)+ C

Exemple 2.7 K =∫(ln x)3

xdx

On pose ln x = t⇒ dt =dxx

K =∫(ln x)3

xdx =

∫t3dt =

t4

4=

14(ln x)4 + C

2.2.2 Intégration par parties

L’intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l’intégrale d’unproduit de fonctions en d’autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

Soient u (x) et v (x) sont deux fonctions dérivables de la variable x.La différentielle de la fonction produit uv est :

d (uv) = udv+ vdu = uv′dx+ vu′dx (2.3)

en intégrant d (uv) , on trouve :

uv =∫

d (uv) =∫

uv′dx+∫

vu′dx

ou bien :

∫

udv = uv−∫

vdu (2.4)

Cette dernière formule, appelée formule d’intégration par parties, elle permette de pas-ser de la forme

∫udv vers la forme : uv−

∫vdu où

∫vdu est une intégrale plus simple que∫

udv.Cette formule est souvent utilisée pour calculer les intégrales du produit d’un polynôme

par une fonction usuelle (sin x, cos x, ex, ln x, ...)

– On détermine généralement la fonction v à partir de la différentielle dv avec uneconstante égale à zéro.

– Pour la plupart des intégrales, nous pouvons être obligés d’intégrer plusieurs fois parparties.

– Parfois on effectue tout d’abord un changement de variable puis on passe à l’intégra-tion par parties

Remarque



Exemple 2.8 I =∫

xexdx

on pose u = x ⇒ du = dx, et dv = exdx ⇒ v = ex∫xexdx = xex −

∫exdx = xex − ex + C = (x− 1) ex + C

Exemple 2.9 J =∫

x2 sin xdx

on pose u = x2 ⇒ du = 2xdx et dv = sin xdx ⇒ v = − cos x∫x2 sin xdx = −x2 cos x− 2

∫x (− cos x) dx

= −x2 cos x+ 2∫

x cos xdx

Intégrons deuxième fois par parties :∫

x cos xdx

u1 = x ⇒ du1 = dx et dv1 = cos xdx ⇒ v1 = sin x∫x cos xdx = x sin x−

∫sin xdx = x sin x+ cos x

⇒∫

x2 sin xdx = −x2 cos x+ 2 (x sin x+ cos x)=(−x2 + 2

)cos x+ 2x sin x+ C

Exemple 2.10 K =∫

x3ex2dx

on pose t = x2 donc dt = 2xdx

⇒∫

x3ex2dx =

∫x2.x.ex2

dx

=∫

tet dt2=

12∫

tetdt =t− 1

2et + C

=x2 − 1

2ex2+ C

Exemple 2.11 L =∫

eax sin bxdx

Soit u = eax ⇒ du = aeaxdx et dv = sin bx ⇒ v =− cos bx

b

⇒ L =∫

eax sin bxdx = −cos bxb

eax +ab∫

eax cos bxdx

u = eax, du = aeax, dv1 = cos bxdx ⇒ v1 =sin bx

b

⇒ L = −cos bxb

eax +ab

(sin bx

beax − a

b∫

eax sin bx)

= −cos bxb

eax +a sin bx

b2 eax − a2

b2 L

⇒ L =a sin bx− b cos bx

a2 + b2 eax + C

2.2.3 Intégrations de quelques types de fonctions rationnelles

Dans ce paragraphe on donne les méthodes générales d’intégration de quelque fonctionsparticulières



a) Intégration de fractions rationnelles P(x)Q(x)

Définition 2.3 Une fonction rationnelle est de la forme f (x) =P (x)Q (x)

où Pp et Qq sont deux

polynômes de degrés p et q respectivement.On dit que la fraction est régulière si p < q. Sinon on dit que la fraction est irrégulière, et par

division eucludienne on transforme la fraction sous la forme :

f (x) = R (x) +P1 (x)Q (x)

où P1(x)Q(x) est une fraction régulière et R (x) est un polynôme de degré (p− q) , résulte de la division

des polynômes P (x) et Q (x).

Pour calculer∫

f (x) dx on décomposer f (x) en fraction simples.Tout d’abord on cherchera les racines réelles a1, a2, ..., am de Q (x) d’ordres de mulitpli-

cité k1, k2, ..., km respectivement ; (k1 + k2 + ...+ km = q)donc Q (x) s’écrit sous la forme :

Q (x) = (x− a1)k1 (x− a2)

k2 ... (x− am)km (2.5)

et on fait décomposer f (x) en éléments simples de fractions, elle s’écrit :

f (x) = R (x) +A11

x− a1+ · · ·+ A1k1

(x− a1)k1+

A21

(x− a2)+ · · ·+ Am

(x− am)+ · · ·

Les coefficients Aij se déterminent par identification.On a donc :

∫f (x) dx =

∫R (x) dx+

∫ A11dxx− a1

+ · · ·+∫ A1k1 dx

(x− a1)k1+∫ A21dx(x− a2)

+ · · · (2.6)

avec :

∫ Ax− a

dx = ln |x− A|+ C∫ A

(x− a)k dx =A

(1− k) (x− a)k−1 + C(2.7)

Dans le cas où Q (x) admet des racines complexes les fractions simples sont de la forme :

Ax+ B

(x2 + ax+ b)k



Exemple 2.12 I =∫ x2 + 2

(x+ 1)3 (x− 2)dx

la fraction est régulière donc on passe directement vers la décomposition en fractions simples :

x2 + 2

(x+ 1)3 (x− 2)=

Ax+ 1

+B

(x+ 1)2+

C

(x+ 1)3+

Dx− 2

=A (x+ 1)2 (x− 2) + B (x+ 1) (x− 2) + C (x− 2) + D (x+ 1)3

(x+ 1)3 (x− 2)

x2 + 2 = D− 2B− 2C− 2A+ 3xD+ Ax3 + Bx2 + 3x2D+ x3D− 3Ax− Bx+ Cx

Par identification on trouve :A+ D = 0B+ 3D = 1

−3A+ 3D− B+ C = 0D− 2B− 2C− 2A = 2

=⇒ A = −29

, B =13

, C = −1, D =29

La fraction s’écrit donc :

x2 + 2

(x+ 1)3 (x− 2)= − 2

9 (x+ 1)+

1

3 (x+ 1)2− 1

(x+ 1)3+

29 (x− 2)

=⇒ I = −29

∫ dxx+ 1

+13

∫ dx

(x+ 1)2−∫ dx

(x+ 1)3+

29

∫ dxx− 2

= −29

ln (x+ 1)− 13 (x+ 1)

+1

2 (x+ 1)2+

29

ln (x− 2) + C

= − 2x− 1

6 (x+ 1)2+

29

ln∣∣∣∣ x− 2x+ 1

∣∣∣∣+ C

Exemple 2.13 J =∫ xdx(x2 + 1) (x− 1)

x(x2 + 1) (x− 1)

=Ax+ Bx2 + 1

+C

x− 1=

12 (x− 1)

− 12

x− 1x2 + 1

J =12

∫ dx(x− 1)

− 12

∫ x− 1x2 + 1

dx =12

∫ dx(x− 1)

− 12

∫ xdxx2 + 1

+12

∫ dx1+ x2

=12

ln |x− 1| − 14

ln∣∣x2 + 1

∣∣+ 12

arctan x+ C

Exemple 2.14 K =∫ x4

(x− 1)2dx

x4

(x− 1)2= x2 + 2x+ 3+

4x− 1

+1

(x− 1)2



K =∫ (

x2 + 2x+ 3)+ 4

∫ dxx− 1

+∫ dx

(x− 1)2

=x3

3+ x2 + 3x+ 4 ln (x− 1)− 1

x− 1+ C

b) Intégrales de la forme∫ Ax+B

ax2+bx+c dx

La technique générale est de transformer l’intégrale sous la forme :∫ du

u et (ou) de mettreax2 + bx+ c en forme d’une carrée parfait.

On pose u = ax2 + bx+ c alors u′ = 2ax+ b⇒ x =u′ − b

2a,

On écrit Ax+ B sous la forme :

Ax+ B = Au′ − b

2a+ B =

A2a(2ax+ b) + B− Ab

2a

⇒ I =∫ Ax+ B

ax2 + bx+ cdx =

∫ A2a (2ax+ b) + B− Ab

2aax2 + bx+ c

dx

=A2a

∫ 2ax+ bax2 + bx+ c

dx+(

B− Ab2a

) ∫ dxax2 + bx+ c

=A2a

I1 +

(B− Ab

2a

)I2

I1 =∫ 2ax+ b

ax2 + bx+ cdx =

∫ duu= ln u = ln

∣∣ax2 + bx+ c∣∣+ k

Pour l’intégrale I2 :

ax2 + bx+ c = a(

x2 +ba

x+ca

)= a

(x2 + 2

b2a

x+(

b2a

)2

−(

b2a

)2

+ca

)

= a

[(x+

b2a

)2

+

(ca− b2

4a2

)]= a

(t2 ±m2)

où on a posé : t = x+b

2a, donc dx = dt

etca− b2

4a2 = ±m2 selon le signe deca− b2

4a2

⇒ I2 =1a

∫ dtt2 ±m2

– Sica− b2

4a2 > 0⇒ I2 =1a

∫ dtt2 +m2 =

1am

arctantm+ C

– Sica− b2

4a2 < 0⇒ I2 =1a

∫ dtt2 −m2 =

12am

ln∣∣∣∣m− tm+ t

∣∣∣∣+ C

Finalement :

∫ Ax+ Bax2 + bx+ c

dx =A2a

ln∣∣ax2 + bx+ c

∣∣+(B− Ab2a

)I2



Exemple 2.15∫ x− 1

x2 − x− 1dx =

∫ 12 (2x− 1)− 1

2x2 − x− 1

dx

=12

∫ 2x− 1x2 − x− 1

dx− 12

∫ dxx2 − x− 1

♦ I1 =∫ 2x− 1

x2 − x− 1dx, On pose : u = x2 − x− 1 =⇒ du = (2x− 1) dx

I1 =12

∫ duu=

12

ln |u| = 12

ln∣∣x2 − x− 1

∣∣♦ I2 =

∫ dxx2 − x− 1

1x2 − x− 1

=1(

x− 1+√

52

) (x− 1−

√5

2

)

= − 1√5

1

x+12

√5− 1

2

− 1√5

112

√5+

12− x

I2 = −1√5

∫ dxx+ 1

2

√5− 1

2

− 1√5

∫ dx12

√5+ 1

2 − x

=1√5

ln(

x− 12

√5− 1

2

)− 1√

5ln(

x+12

√5− 1

2

)+ C

= − 1√5

ln

∣∣∣∣∣2x− 1−√

52x− 1+

√5

∣∣∣∣∣+ C

Finalement on trouve :

I =12

ln∣∣x2 − x− 1

∣∣− 12√

5ln

∣∣∣∣∣2x− 1−√

52x− 1+

√5

∣∣∣∣∣+ C

c) Intégrales de la forme∫ Ax+B√

ax2+bx+cdx

La méthode du calcul est identique à celle de la forme précédente,on obtient donc :∫ Ax+ B√

ax2 + bx+ cdx =

A2a

∫ 2ax+ b√ax2 + bx+ c

dx+(

B− Ab2a

) ∫ dx√ax2 + bx+ c

=A2a

∫ du√u+

1√a

(B− Ab

2a

) ∫ dt√t2 ±m2

avec t = x+b

2a, et

ca− b2

4a2 = ±m2



dans le cas particulier∫ dx√

ax2+bx+cil est plus commode de transformer directement

le trinôme ax2 + bx+ c sous la forme t2 ±m2

On peut aussi utiliser un changement de variable pour transformer l’intégrale en fonc-tion rationnelle– Si a < 0, on pose

√ax2 + bx+ c = t (x− α) où α est une racine du trinôme

– Si a > 0, on pose√

ax2 + bx+ c = x√

a+ t

Remarque

Exemple 2.16 I =∫ dx√−2x2 + 3x+ 2

Faisons mettre −2x2 + 3x+ 2 sous la forme t2 ±m2 :

−2x2 + 3x+ 2 = −2(

x2 − 32

x− 1)= −2

(x2 − 2

34

x+916− 9

16− 1)

= −2

((x− 3

4

)2

− 2516

)= 2

(2516−(

x− 34

)2)

L’intégrale s’écrit :

I =1√2

∫ dx√2516−(

x− 34

)2=

1√2

arcsin4x− 3

5+ C

Exemple 2.17 I =∫

(x+ 3)√x2 + 2x+ 2

dx =∫

(x+ 1) + 2√x2 + 2x+ 2

dx

=12

∫ 2x+ 2√x2 + 2x+ 2

dx+ 2∫ dx√

(x+ 1)2 + 1

=√

x2 + 2x+ 2+ 2 ln(

x+ 1+√

x2 + 2x+ 2)+ C

d) Intégrales de la forme∫ Ax+B(x2+px+q)k

dx

Effectuons les transformations :

Ik =∫ Ax+ B

(x2 + px+ q)k dx = A∫ xdx

(x2 + px+ q)k + B∫ dx

(x2 + px+ q)k

=A2

∫ 2x+ p− p

(x2 + px+ q)k dx+ B∫ dx

(x2 + px+ q)k

=A2

∫(2x+ p) dx

(x2 + px+ q)k +

(B− Ap

2

) ∫ dx

(x2 + px+ q)k =A2

I +(

B− Ap2

)Jk



Soit : x2 + px+ q = x2 + 2p2

x+ q+p2

4− p2

4=(

x+p2

)2+ q− p2

4

Posons d’autre part : y = x+p2

et h2 = q− p2

4Dans l’intégrale I =

∫(2x+p)dx(x2+px+q)k

on pose : t = x2 + px+ q⇒ dt = (2x+ p) dx

donc :

I =∫ dt

tk =t−k+1

1− k=

(x2 + px+ q

)1−k

1− k=

(y2 + h2)1−k

1− k

Calculons l’intégrale Jk =∫

dx(x2+px+q)k

:

En introduisant y et h, Jk s’écrit sous la forme :

Jk =∫ dy

(y2 + h2)k =1h2

∫ y2 + h2 − y2

(y2 + h2)k dy

=1h2

∫ dy

(y2 + h2)k−1 −∫ y2dy

(y2 + h2)k =1h2 (Jk−1 − J)

avec J =∫ y2dy

(y2 + h2)k

on intègre par parties :

u = y⇒ du = dy

dv =ydy

(y2 + h2)k ⇒ v =(y2 + h2)−k+1

2 (−k+ 1)

donc : J = uv−∫

vdu =y(y2 + h2)−k+1

2 (−k+ 1)−∫ (y2 + h2)−k+1

2 (−k+ 1)dy

=y

2 (−k+ 1) (y2 + h2)k−1 −1

2 (−k+ 1)

∫ dy

(y2 + h2)k−1

=y

2 (−k+ 1) (y2 + h2)k−1 −1

2 (−k+ 1)Jk−1

Par suite :

Jk =1h2 (Jk−1 − J) =

1h2

(Jk−1 −

y

2 (−k+ 1) (y2 + h2)k−1 +1

2 (−k+ 1)Jk−1

)et on obtient la relation de récurrence

Jk =1

2h2 (k− 1)

(y

(y2 + h2)k−1 + (2k− 3) Jk−1

)(2.8)

En appliquant successivement ce procédé on arrive à la forme :

J1 =∫ dy

y2 + h2 =1h

arctan(y

h

)+ C



Finalement, l’intégrale Ik devient :

Ik =A2

I +(

B− Ap2

)Jk

=A

2 (1− k) (y2 + h2)k−1 +(2B− Ap)4h2 (k− 1)

(y

(y2 + h2)k−1 + (2k− 3) Jk−1

)

Exemple 2.18 I =∫ x− 1

(x2 + 2x+ 5)2dx

I =∫ x− 1

(x2 + 2x+ 5)2dx =

∫ x− 1

(x2 + 2x+ 1+ 4)2dx =

∫ x− 1((x+ 1)2 + 4

)2 dx

Posons y = x+ 1 =⇒ x = y− 1 et dx = dy

I =∫ y− 2

(y2 + 4)2dy =

∫ y

(y2 + 4)2dy− 2

∫ 1

(y2 + 4)2dy = J − 2K

J =∫ ydy

(y2 + 4)2=

12

∫ d(y2 + 4

)(y2 + 4)2

= − 12 (y2 + 4)

I = − 12 (y2 + 4)

− 2K

K =∫ 1

(y2 + 4)2dy =

14

∫ 4

(y2 + 4)2dy =

14

∫ 4+ y2 − y2

(y2 + 4)2dy

=14

∫ dyy2 + 4

− 14

∫ y2dy

(y2 + 4)2

∫ dyy2 + 4

=12

arctan12

y

=⇒ K =18

arctany2− 1

4

∫ y2dy

(y2 + 4)2

I = − 12 (y2 + 4)

− 14

arctany2+

12

∫ y2dy

(y2 + 4)2

soit L =∫ y2dy

(y2 + 4)2=∫ y ydy

(y2 + 4)2

Intégrons par parties :

posons u = y =⇒ du = dy et dv =ydy

(y2 + 4)2=

12

d(y2 + 4

)(y2 + 4)2

=⇒ v = − 12 (y2 + 4)

L = − y2 (y2 + 4)

+12

∫ dyy2 + 4

= − y2 (y2 + 4)

+14

arctany2



I = − 12 (y2 + 4)

− 14

arctany2+

12

(− y

2 (y2 + 4)+

14

arctany2

)+ C

= − y+ 24 (y2 + 4)

− 18

arctany2+ C

= − x+ 34 (x2 + 2x+ 5)

− 18

arctanx+ 1

2+ C

e) Intégration des fonctions irrationnelles

La méthode générale est de ramener la fonction à intégrer en une fonction rationnelle :

La forme∫

R(

x, xmn , x

pq , ....

)dx

R est une fonction rationnelle de x, xmn , x

pq , ...

On pose x = tk ⇒ dx = ktk−1dt où k est dénominateur commun des fractionsmn

,pq

, ...,

Chaque puissance en fraction de x devient une puissance entière de t, par suite on ob-tient une fonction rationnelle ordinaire en t .

Exemple 2.19 I =∫ √

x4√

x3 + 1dx

Les fractions puissances sont :12

et34

, leur dénominateur commun est 4

on pose : x = t4 ⇒ dx = 4t3dt ,√

x = t2 et 4√

x3 =4√

t12 = t3

I =∫ t2

t3 + 14t3dt = 4

∫ t5

t3 + 1dt = 4

∫ (t2 − t2

t3 + 1

)dt

=43

t3 − 43

ln∣∣t3 + 1

∣∣ = 43

(4√

x3 − ln∣∣∣ 4√

x3 + 1∣∣∣)+ C

La forme∫

R[

x,(

ax+bcx+d

) mn

,(

ax+bcx+d

) pq

, ...]

dx

On fait le changement de variableax+ bcx+ d

= tk où k est le dénominateur commun des

fractionsmn

,pq

..., on ramène alors l’intégrale à la forme d’une fraction rationnelle

Exemple 2.20 I =∫ √x+ 1

xdx

On pose x+ 1 = t2 ⇒ x = t2 − 1 et dx = 2tdt

⇒ I = 2∫ t2

t2 − 1dt = 2

∫ (1+

1t2 − 1

)dt =

∫ (2+

1(t− 1)

− 1(t+ 1)

)dt

= 2t+ ln∣∣∣∣ t− 1t+ 1

∣∣∣∣ = 2√

x+ 1+ ln

∣∣∣∣∣√

x+ 1− 1√x+ 1+ 1

∣∣∣∣∣+ C



f) Intégration par substitutions trigonométriques

Soit l’ntégrale∫

R(

x,√

ax2 + bx+ c)

dx où R est fonction rationnelle de x et√

ax2 + bx+ c.

Pour rendre l’intégrale en une forme rationnelle , on écrit√

ax2 + bx+ c sous l’une desformes : √

x2 + h2,√

x2 − h2,√

h2 − x2

selon les signes de a et b.Pour éliminer les racines, il est mieux de transformer l’argument sous signe racine en

forme carrée parfait, dans le cas d’une somme des carrées, les fonctions trigonométriques,ou hyperboliques sont bien appropriées.

Selon le cas on peut fair le changement convenable de variable :

– si on a la forme√

h2 − x2 on pose x = h cos t ou x = h sin t


x2 + h2 on pose x = h tan t ou x = h sinh t


x2 − h2 on pose x =h

cos tou x = cosh t

Exemple 2.21 I =∫ √1− x2

x2 dx.

On pose x = sin t⇒ dx = cos t dt

I =∫ √1− sin2 t

sin2 tcos t dt =

∫ cos2 tsin2 t

dt =∫ 1− sin2 t

sin2 tdt

=∫ dt

sin2 t−∫

dt = − cot t− t+ C = −√

1− x2

x− arcsin x+ C

Exemple 2.22 I =∫ xdx√

1+ x2.

Posons x = tan t⇒ dx =(1+ tan2 t

)dt =

dtcos2 t

√1+ x2 =

√1+ tan2 t =

√1

cos2 t=

1cos t

I =∫ ( tan t

1/ cos t

)(dt

cos2 t

)=∫ sin tdt

cos2 t

= −∫ d (cos t)

cos2 t=

1cos t

+ C =√

1+ x2 + C



2.2.4 Intégration des fonctions trigonométriques

a) Fonctions trigonométriques rationnelles

Dans le cas d’intégration de fonctions rationnelles de la forme

P (cos x, sin x)Q (cos x, sin x)

où P et Q sont des polynômes, on utilise souvent le changement de variable t = tanx2

aubut de se ramener en une fonction rationnelle ordinaire :

t = tanx2⇐⇒ x = 2 arctan t⇒ dx =

2dt1+ t2

– sin x = 2 sinx2

cosx2=

2 sin x2 cos x

2

cos2 x2 + sin2 x

2

=2 tan x

2

1+ tan2 x2=

2t1+ t2

– cos x = cos2 x2− sin2 x

2=

cos2 x2 − sin2 x

2

cos2 x2 + sin2 x

2

=1− tan2 x

2

1+ tan2 x2=

1− t2

1+ t2

– tan x =sin xcos x

=2t

1− t2

En remplaçant sin x, cos x, et dx, en fonction de t, dans la fonction initiale on obtient unefonction rationnelle de t.

Exemple 2.23 I =∫ dx

sin x

On pose t = tanx2=⇒ dx =

2dt1+ t2 et sin x =

2t1+ t2

=⇒ I =∫ 2dt

1+ t2 ×1+ t2

2t=∫ dt

t

= ln |t|+ C = ln∣∣∣tan

x2

∣∣∣+ C

Si les fonctions sin x et cos x ne figurent qu’aux puissances paires on peut passer versla variable t = tan x :

– x = arctan t⇒ dx =dt

1+ t2

– sin2 x =sin2 x

sin2 x+ cos2 x=

tan2 x1+ tan2 x

=t2

1+ t2

– cos2 x =cos2 x

cos2 x+ sin2 x=

11+ tan2 x

=1

1+ t2

Remarque



Exemple 2.24 I =∫ dx

4− sin2 xOn pose t = tan x

I =∫ dt

1+ t2

4− t2

1+ t2

=∫ dt

4+ 3t2

=14

∫ dt1+ 3

4 t2=

14

∫ dt

1+(√

32 t)2 =

√3

6arctan

(√3

2 t)+ C

b) Intégrales de la forme∫

sinm x cosn xdx

m et n sont des entiers relatifs et posons Imn =∫

sinm x cosn xdxTrois cas à considérer :

1. m ou n est impaire

Soit m = 2k+ 1Imn =

∫sinm x cosn xdx =

∫sin2k x sin x cosn xdx

= −∫ (

1− cos2 x)k cosn xd (cos x) = −

∫ (1− t2)k tndt

On obtiendra une intégrale analogue si n est impaire.

Exemple 2.25 I =∫

sin3 x cos2 xdx

=∫

sin2 x cos2 x sin xdx = −∫ (

1− cos2 x)

cos2 xd (cos x)

= −∫ (

1− t2) t2dt = −∫ (

t2 − t4) dt = − t3

3+

t5

5+ C

= −cos3 x3

+cos5 x

5+ C

Lorsqu’une puissance est négative, le même procédure transforme la fonction àintégrer en fonction rationnelle en t.

Exemple 2.26 I =∫ cos3 x

sin4 xdx

=∫ cos2 x cos x

sin4 xdx =

∫ 1− sin2 xsin4 x

cos x dx

=∫ 1− t2

t4 dt =∫ dt

t4 −∫ dt

t2 =1t− 1

3t3 + C =1

sin x− 1

3 sin3 x+ C



2. m et n sont paires et positifs

Soit m = 2p et n = 2q. En utilisant les formules :

sin2 x =1− cos 2x

2cos2 x =

1+ cos 2x2

sin x cos x =sin 2x

2

on transforme l’intégrale sous la forme :

Imn =1

2p+q

∫(1− cos 2x)p (1+ cos 2x)q dx

En appliquant successivement les transformations indiquées on arrive à des intégralesde la forme

∫cos kxdx.

Exemple 2.27 I =∫

sin4 xdx =14∫(1− cos 2x)2 dx

=14∫ (

1− 2 cos 2x+ cos2 2x)

dx =14∫ (

1− 2 cos 2x+1+ cos 4x

2

)dx

=14

(3x2− sin 2x+

sin 4x8

)+ C

3. m et n sont paires et m ou n négatif

Dans ce cas on pose t = tan x et on transforme l’ntégrale en celle de fonction ration-nelle en t.

Exemple 2.28 I =∫ sin2 x

cos6 xdx

I =∫ sin2 x

cos2 x cos4 xdx =

∫ tan2 x

(cos2 x)2dx =

∫tan2 x

(1+ tan2 x

)2 dx

=∫

t2 (1+ t2)2 dt1+ t2 =

∫t2 (1+ t2) dt = 1

5 t5 + 13 t3 + C

=15

tan5 x+13

tan3 x+ C

c) Intégrales de produits

Les intégrales des produits des fonctions trigonométriques de types :∫sin mx cos nxdx∫sin mx sin nxdx∫cos mx cos nxdx



avec m 6= n se transforment en des intégrales des sommes à l’aide des identités :

sin mx sin nx =cos (m− n) x− cos (m+ n) x

2

cos mx cos nx =cos (m− n) x+ cos (m+ n) x

2

sin mx cos nx =sin (m+ n) + sin (m− n) x

2

Exemple 2.29 I =∫

cos 3x sin 5xdx =12∫[sin (3+ 5) x+ sin (5− 3) x] dx

=12∫(sin 8x+ sin 2x) dx =

12

[−cos 8x

8− cos 2x

2

]+ C

2.3 Intégrales définies

On a noté que l’intégrale est une généralisation du calcul d’aire comme somme infinie.Pour fixer l’idée on va donner la définition de l’intégrale définie à partir de cette idée.

Considérons une fonction y = f (x) définie et continue sur l’intervalle [a, b] et soit (C) lacourbe représentative de f (x) .

FIG. 2.3 – Décomposition du domaine

Divisons l’intervalle [a, b] en n intervalles élémetaires ; [x0, x1] , [x1, x2] , . . . , [xn−1, xn] (Fi-gure 3), avec x0 = a et xn = b, et on décompose la zone limitée par la courbe (C), l’axe ox etles droites x = a et x = b en n trapèzes curvilignes des aires élémentaires Si; i = 1, 2, · · · , n.

alors l’aire de la zone indiquée est S =n∑

i=1Si.

Une valeur approximative de S se détermine en considérant les aires des rectangles delargeurs ∆xi = xi − xi−1 et longueur yi = f (xi) :

S′i = yi∆xi = f (xi)∆xi

alors l’aire de la zone considérée est S = S =n∑

i=0Si′



Plus la largeur ∆xi est faible, c’est-à-dire n grand, plus la valeur de S′i est proche de lavaluer de Si

Si n → ∞ alors ∆xi → dx une quantité infiniment petite et la somme devient unesomme infinie dont la limite, si elle existe, est une intégrale.

Etant donné que la fonction f (x) est continue et donc bornée sur l’intervalle [a, b] , alors∃ m et M tels que pour point xi ∈ [a, b] on a :

m ≤ f (xi) ≤ M =⇒ m∆xi ≤ f (xi)∆xi ≤ M∆xi

=⇒ ∑i

m∆xi ≤ ∑i

f (xi)∆xi ≤ ∑i

M∆xi

=⇒ m ∑i

∆xi ≤ ∑i

f (xi)∆xi ≤ M ∑i

∆xi

⇐⇒ m (b− a) ≤ ∑i

f (xi)∆xi ≤ M (b− a)

Ce qui démontre que la somme Sn =n∑

i=0f (xi)∆xi est bornée donc elle a une limite

lorsque n→ ∞.

Définition 2.4 Une fonction f est dite intégrable sur un intervalle fermé et fini [a, b] si la limite

limn→∞

n∑

i=0f (xi)∆xi existe et ne dépend pas de la partitions de [a, b] ou du choix des points xk des

sous-intervalles [xi, xi+1]. Lorsque c’est le cas, nous noterons la limite par le symbole

b∫a

f (x) dx = limn→∞

n

∑i=0

f (xi)∆xi (2.9)

qui s’appelle l’intégrale définie de f de a à b puisque pour i = 0 : x0 = a et pour i = n : xn = b.Les nombres a et b sont respectivement la limite inférieure et la limite supérieure d’intégration, etf (x) est appelée la fonction à intégrer.

La somme qui apparaît dans la définition est appelée une somme de Riemann, etl’intégrale définie est parfois appelée l’intégrale de Riemann

Historiquement, l’expression ” f (x) dx a été interprétée comme l’aire infinitésimale"

d’un rectangle de hauteur f (x) et de largeur infiniment petit dx. Par «sommation»des aires infinitésimales, toute l’aire de la zone sous la courbe a été obtenue. Le symboled’intégrale ”

∫” est un "s allongée " utilisé pour indiquer cette sommation.

Théorème 2.3 Fonctions intégrables sur [a, b] :

1. Si f (x) est une fonction continue sur l’intervalle [a, b] alors f (x) est intégrable sur cetintervalle.

2. Une fonction bornée sur [a, b] et possédant un nombre fini de points de discontinuité estintégrable sur cet intervalle.

3. Une fonction monotone et bornée sur l’intervalle [a, b] est intégrable sur [a, b] .



2.3.1 Propriétés

Soient f (x) et g (x) deux fonctions intégrables sur l’intervalle [a, b], α et β deux constantesréelles. On admet, sans démonstration, les propriétés suivants :

Proposition 2.1 Linéarité :

b∫a

[α f (x) + βg (x)] dx = α

b∫a

f (x) dx+ β

b∫a

g (x) dx (2.10)

Proposition 2.2 On a :

1.a∫

b

f (x) dx = −b∫

a

f (x) dx (2.11)

2. Si c est un point de [a, b] et f (x) intégrable sur [a, c] et sur [c, b] alors :

b∫a

f (x) dx =c∫

a

f (x) dx+b∫

c

f (x) dx (2.12)

3.a∫

a

f (x) dx = 0 (2.13)

Proposition 2.3 Le produit f (x) g (x) est intégrable sur [a, b] .

Proposition 2.4 Pour tout x ∈ [a, b] on a

1. si f (x) ≥ 0 alorsb∫

a

f (x) dx ≥ 0. (2.14)

2. Si f (x) ≥ g (x) sur [a, b] alors

=⇒b∫

a

f (x) dx ≥b∫

a

g (x) dx (2.15)

Proposition 2.5 Pour a < b on a :∣∣∣∣∣∣b∫

a

f (x) dx

∣∣∣∣∣∣ ≤b∫

a

| f (x)| dx (2.16)

Proposition 2.6 1. Si f (x) ≥ 0 et | f (x)| intégrable sur [a, b] alors la fonction h (x) =√f (x) est intégrable sur [a, b].

2. La fonction1

f (x)est intégrable sur [a, b] si f (x) 6= 0 en tout point de [a, b] .



a) Théorème de la moyenne

Théorème 2.4 Si f (x) et g (x) sont deux fonctions intégrables sur l’intervalle [a, b] avec a <b, et si f (x) est bornée (c’est-à-dire m ≤ f (x) ≤ M ) et g (x) garde le signe constant sur [a, b] ,il existe alors un nombre k, (m ≤ k ≤ M) tel que :

b∫a

f (x) g (x) dx = kb∫

a

g (x) dx (2.17)

DémonstrationSi g (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] et m ≤ f (x) ≤ M

=⇒ mg (x) ≤ f (x) g (x) ≤ Mg (x)

=⇒b∫

amg (x) dx ≤

b∫a

f (x) g (x) dx ≤b∫

aMg (x) dx

⇒ ∃ k; m ≤ k ≤ M ;b∫

af (x) g (x) dx = k

b∫a

g (x) dx

En particulier :

– Si f (x) est continue sur [a, b] donc il existe un point c ∈ [a, b] tel que k = f (c) etpar suite

b∫a

f (x) g (x) dx = f (c)b∫

a

g (x) dx

– Si g (x) = 1 alorsb∫

ag (x) dx =

b∫a

dx = b− a par suite :

b∫a

f (x) dx = f (c) (b− a)

– Si de plus f (x) est continue, on définie la valeur moyenne de f (x) sur [a, b] par :

〈 f (x)〉 = 1b− a

b∫a

f (x) dx (2.18)

2.3.2 Calcul de l’intégral définie

a) Formule de Newton-Leibniz

Dans l’intégraleb∫

af (x) dx, fixons la borne inférieure a et faisons varier la borne supé-

rieur b, soit x un point quelconque de [a, b], considérons l’intégrale F (x) =x∫a

f (t) dt qui se

présente, ainsi comme fonction de la borne supérieure x.



On a : F (x)− F (x0) =x∫a

f (t) dt−x0∫a

f (t) dt =x∫

x0

f (t) dt

D’après le théorème de la moyenne, si f (x) est continue, il existe c ∈ [x0, x] tel quex∫

x0

f (t) dt = (x− x0) f (c) , donc :

F (x)− F (x0) = (x− x0) f (c)⇒ F (x)− F (x0)

x− x0= f (c)

f (c)→ f (x0) si x → x0 ce qui implique que F′ (x) = f (x) sur [a, b] c’est-à-dire F (x) est

une primitive de f (x) sur [a, b] alorsx∫a

f (t) dt = F (x) + C.

Pour x = a :a∫

af (t) dt = F (a) + C = 0⇒ C = −F (a) et :

x∫a

f (t) dt = F (x)− F (a)

D’où :

b∫a

f (x) dx = F (x)|ba = F (b)− F (a) (2.19)

Cette dernière formule s’appelle la formule de Newton-Leibniz.

Exemple 2.30 I =1∫

0

(ax2 + bx+ c

)dx = a

x3

3+ b

x2

2+ cx

∣∣∣∣10

=

(a3(1)3 +

b2(1)2 + c (1)

)−(

a3(0)3 +

b2(0)2 + c (0)

)=

13

a+12

b+ c

b) Changement de Variable

Si x = φ (t) est une fonction continue et dérivable sur [α, β] et f (x) continue sur [a, b] etsi de plus φ′ (t) conserve le signe sur [α, β] alors a = φ (α) et b = φ (β) et dans ces conditionson a la formule de changement de variable

b∫a

f (x) dx =

ϕ−1(b)∫ϕ−1(a)

f (φ (t)) φ′ (t) dt (2.20)

Exemple 2.31 Soit I =a∫

0

√a2 − x2dx

Faisons le changement de variable : x = a sin t

dx = a cos tdt et√

a2 − x2 =√

a2 − a2 sin2 t = a cos t

Pour x = 0⇒ a sin t = 0→ t = 0 et si x = a⇒ a sin t = a⇒ sin t = 1→ t =π

2donc



I =π/2∫0(a cos t) (a cos t) dt =

π/2∫0

a2 cos2 tdt =a2

2

π/2∫0

(1+ cos 2t) dt

=a2

2

(t+

sin 2t2

∣∣∣∣π/2

0

)=

a2

2

(π

2+

sin π

2− 0− sin 0

2

)=

a2π

4

c) Intégration par parties

Soient u (x) et v (x) deux fonctions continues et dérivables sur l’intervalle [a, b]. On a :

d (uv) = (uv)′ dx = udv+ vdu = uv′dx+ u′vdx ⇒b∫

a(uv)′ dx =

b∫a

uv′dx+b∫

au′vdx d’où la

formule d’intégration par parties

b∫a

udv = uv|ba −b∫

a

vdu (2.21)

Exemple 2.32 I =1∫

0xexdx

Posons : u = x ⇒ du = dx et exdx = dv⇒ v = ex alors :

1∫0

xexdx = xex|10 −1∫

0exdx = xex|10 − ex|10 = (e)− (e− 1) = 1

2.4 Applications du calcul intégral

Les applications du calcul intégral sont multiples et variées, en voici quelques exemplesen analyse, géométrie et physique.

– Applications en analyse : recherche de primitive, études de suites, études de fonctionsdéfinies par une intégrale, résolution d’équations différentielles .

– Applications géométriques : calcul de grandeurs telles que aire d’une surface plane,volume limité par une surface fermée, volume des solides de révolution, longueurd’un arc de courbe.

– Applications physiques : calcul de la valeur moyenne d’une fonction en électricité, cal-cul de la valeur efficace d’une fonction périodique sur un intervalle, détermination descoordonnées du centre d’inertie d’un solide, calcul du moment d’inertie d’un solide.

2.4.1 Calcul des aires limitées par courbe

a) En coordonnées cartésiennes

On a noté, que par définitionb∫

af (x) dx représente l’aire de la zone (trapèze curviligne)

limitée par la courbe de la fonction f (x) , l’axe Ox et les droites x = a et x = b.



A

FIG. 2.4 – zone limitée par deux courbes

– Si f (x) ≥ 0 sur le segment [a, b] alors l’intégraleb∫

af (x) dx est égale à l’aire du trapèze

indiqué.

– Si f (x) ≤ 0 sur [a, b] alorsb∫

af (x) dx ≤ 0 donc sa valeur absolue est égale à l’aire du

trapèze correspondant.Si f (x) change le signe sur [a, b], on décomposera l’intégrale sur [a, b] en intégrales par-

tielles positives et négatives, et donc l’aire du domaine est égales à la somme des valeursabsolues des intégrales partielles.

Si le domaine est limité par les courbes de deux fonctions f (x) et g (x) (Figure 4) alorsl’aire du domaine est :

A =

∣∣∣∣∣∣b∫

a

[ f (x)− g (x)] dx

∣∣∣∣∣∣

Exemple 2.33 L’aire de la zone limitée par les deux courbes y = sin x et y = cos x dans

l’intervalle[

π

4,

5π

4

]est :

A =5π/4∫π/4

(sin x− cos x) dx = 2√

2

1 2 3 4

1

0

1

x

y

b) En coordonnées polaires

En coordonnées polaires, une courbe est définie par l’équation r = f (θ) où f (θ) est unefonction continue pour θ ∈ [α, β].



αβ

dθ

rdθ

A

h

a

FIG. 2.5 – Zone dans le plan polaire

L’air d’un triangle de base a et de hauteur h est : S =a× h

2(Figure 5), de même l’aire du

triangle curviligne élémentaire de côté r et d’angle au sommet dθ est dS =12

r× rdθ =12

r2dθ

et par suite l’aire du secteur circulaire d’angle (β− α) et de rayon r est :

A =12

β∫α

r2dθ =12

β∫α

[ f (θ)]2 dθ (2.22)

Exemple 2.34 L’aire de la zone limitée par la courbe r = 1+ cos θ pour θ ∈ [0, π] est :

A =12

π∫0

(1+ cos θ)2 dθ =34

π

x

y

1+ cos θ

2.4.2 Longueur d’un arc

Un arc est dit rectifiable si on peut décomposer cet arc en des arcs élémentaires infini-ment petits d’une façon qu’on peut confondre chaque arc élémentaire avec la corde corres-pondante.

M

NA

B

yM

yN

a bxNxM

FIG. 2.6 – Arc élémentaire



On décompose l’arc AB en n arcs élémentaires infiniment petits.Soit MN un arc élémentaire, tel que MN ≡ MN. La longueur du segment MN est

égale au module du vecteur−−→MN

−−→MN = (xN − xM)

−→i + (yN − yM)

−→j

⇒∣∣∣−−→MN

∣∣∣ = √(xN − xM)2 + (yN − yM)

2

Lorsque le nombre des arcs est infiniment petit, les points M et N sont très proches telque : xN − xM = dx et yN − yM = dy alors

∣∣MN∣∣ = d` =

√(dx)2 + (dy)2 (2.23)

a) En coordonnées cartésiennes

Si la courbe est définie par une équation cartésienne y = f (x) on a dy = f ′ (x) dx donc :

d` =√(dx)2 + (dy)2 = dx

√1+ f ′2 (x)

Si xA = a et xB = b alors la longueur de l’arc AB est :

` =

b∫a

√1+ f ′2dx (2.24)

b) En coordonnées polaires

Si la courbe est définie en coordonnées polaires par r = r (θ), avec

x = r cos θ et y = r sin θ (2.25)

on a :dx = cos θdr− r sin θdθdy = sin θdr+ r cos θdθ

(2.26)

donc :d` =

√(dx)2 + (dy)2 =

√(cos θdr− r sin θdθ)2 + (sin θdr+ r cos θdθ)2

= dθ

√(r′ cos θ − r sin θ)2 + (r′ sin θ + r cos θ)2

(r′ cos θ − r sin θ)2 = r2 sin2 θ − 2rr′ cos θ sin θ + (r′)2 cos2 θ

(r′ sin θ + r cos θ)2 = r2 cos2 θ + 2rr′ cos θ sin θ + (r′)2 sin2 θla somme nous donne :(r′ cos θ − r sin θ)2 + (r′ sin θ + r cos θ)2 = r′2 + r2

d’où :

d` = dθ√

r′2 + r2 (2.27)



Pour les valeurs de θ ∈ [α, β], la longueur est :

` =

β∫α

√(drdθ

)2

+ r2dθ (2.28)

2.4.3 Aire et volume d’un solide de révolution

Considérons la courbe de la fonction y = f (x) ( ou x = g (y) ) dans l’intervalle [a, b]( ou pour y ∈ [c, d] ). La rotation autour d’un axe implique que chaque point de la courbedécrit un cercle centré sur l’axe de rotation, par suite on obtient un cylindre curviligne.

a) Rotation autour de l’axe Ox

La rotation de la courbe y = f (x) autour de l’axe Ox détermine un volume de révolu-tion.

Une section plane

FIG. 2.7 – Rotation autour de l’axe Ox

Chaque point M (x, y) de la courbe décrit, dans une section plane, un cercle centré surl’axe Ox et de rayon R = y = f (x) ( figure 7), l’aire du cercle est S = πy2, le volumedu cylindre élémentaire de hauteur dx est dV = πy2dx, par suite le volume du corps derévolution est :

VX = π

b∫a

y2dx (2.29)

Pour calculer la surface externe du solide on reprend le cylindre élémentaire dans unesection plane ( figure 7).

Le perimètre du cercle et L = 2πy et la longueur d’un arc élémentaire est d` =√1+ y′2dx et donc l’aire de la bande engendrée par rotation de cet arc élémentaire est

dS = Ld` = 2πy√

1+ y′2dx

La surface externe du solide est donc donnée par :

SX = 2π

b∫a

y√

1+ y′2dx (2.30)



b) Rotation autour de l’axe Oy

Considérons la courbe de la fonction y = f (x) définie et continue sur l’intervalle ]a, b[ .On démande de calculer le volume du solide obtenu par rotation de la courbe de f (x) autourde l’axe Oy.

Un rectangle élémentaire, au voisinage d’un point d’abscisse x, de largeur dx et hauteury, (figure 8) détermine par rotation autour de Oy un cylindre de rayon de base x, de hauteury = f (x) et d’épaisseur dx.

dx

FIG. 2.8 – cylindre élémentaire de révolution du rectangle

En découpant le cylinder de haut en bas, on obtient une forme parallélépipède (figure 9)de longueur égale au périmètre de base (2πx) , de hauteur y et d’épaisseur dx. Le volumede ce parallélépipède est alors dV = (2πx) ydx

Le volume total du solide de révolution (fig.10) est donné par l’intégrale :

VY = 2πb∫

axydx (2.31)

Épaisseur

Périmètre debase

hauteur

FIG. 2.9 – Découpe du cylindre élémentaire

FIG. 2.10 – Rotation autour de l’axe Oy

L’aire élémentaire de ce corps est dSY = 2πxd`

SY = 2π

b∫a

x√

1+ y′2dx (2.32)



Si le corps de révolution est généré par rotation de la courbe x = g (y) limitée par lesdroites y = c et y = d autour de Oy ( figure 11) alors le volume peut être calculer par laformule :

VY = π

d∫c

x2dy. (2.33)

FIG. 2.11 – Rotation de la courbe g (y) autour de Oy

Exemple 2.35 Calculons le volume Vx et la surface externe Sx du solide obtenu par révolutionautour de Ox du segment de droite y = 1+

x3

avec 0 ≤ x ≤ 12.

Sectioncirculaire

rayon

Le rayon du cercle de révolution est r = y = 1+x3

donc l’aire d’une section circulaire dans

un plan perpendiculaire à l’axe Ox est : S = πy2 = π(

1+x3

)2et le volume élémentaire est

dV = Sdx = π(

1+x3

)2dx = π

(19

x2 +23

x+ 1)

dx

=⇒ Vx = π

b∫a

y2dx =12∫

0

π

(19

x2 +23

x+ 1)

dx = 124π

y = 1+x3=⇒ y′ =

13

=⇒ d` =√

1+ y′2dx =√

1+19

dx =√

103

dx

Sx = 2π

b∫a

y√

1+ y′2dx =2π√

103

12∫0

(1+

x3

)dx = 24

√10π



Exemple 2.36 Calculons le volume de solide de révolution obtenu par rotation de la courbey = 4− x2 pour : −2 < x < 2 autour de la droite x = 3.

La courbe y = 4− x2 s’exprime aussi sous la forme x = ±√

4− y avec y ∈ ]0, 4[Dans un plan perpendiculaire à Oy chaque point de la branche x =

√4− y décrit un cercle

centré sur x = 3 et de rayon r1 = 3− x = 3−√

4− y le volume correspondant est :

V1 = π

4∫0

(3−

√4− y

)2 dy = 12π

Les points de la branche x = −√

4− y décrivent les cercles de rayons r0 = 3+√

4− ydont le volume de révolution est V0 :

V0 = π

4∫0

(3+

√4− y

)2 dy = 76π

Le volume démandé est V = V0 −V1 = (76− 12)π = 64π

2.4.4 Centre de gravité

Le barycentre de barus (poids) et centre est initialement le centre des poids. C’est doncune notion physique et mécanique.

Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids (ce qu’on appellede nos jours le centre de gravité) est le mathématicien et physicien Archimède. Il est un despremiers à comprendre et expliciter le principe des moments, le principe des leviers et leprincipe du barycentre. Il écrit dans son traité sur le centre de gravité de surface plane :

Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corpspeut être considéré comme concentré.

Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement lebarycentre de deux points de masses m1 et m2 différentes. ( Figure 12)

FIG. 2.12 – Balance entre deux masses



Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments m1d1 et m2d2 soient égaux.Cette condition se traduit de nos jours par l’égalité vectorielle :

m1−→d1 +m2

−→d2 =

−→0

D’après Christiaan Huygens (1654) :

Le barycentre d’un système matériel se meut comme si toute la masse du système y étaittransportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre.

Autrement dit c’est un point virtuel (G) tel que sa masse est équivalente à la masse dusystème et son moment est égale à la résultante de tous les moments du système :

(m1 +m2 + · · ·mn) dG = m1d1 +m2d2 + · · ·mndn

où mi sont les masses des points matériels et di sont les distances au point de rotation, ontrouve donc :

dG =m1d1 +m2d2 + · · ·mndn

m1 +m2 + · · ·mn=

n∑

i=1midi

n∑

i=1mi

En réalité le système est un ensemble continu des points matériels repartis sur certaindomaine D. Le système se decompose en un nombre inifini des éléments de masse dm doncle signe ∑ sera remplacé par le signe

∫. La masse totale est

m = limn→+∞

n

∑i=1

mi =∫D

dm

La distance dG peut être considérée comme coordonnées du centre de gravité G, alors :

XG =1m∫

D xdm

YG =1m∫

D ydm

où :

n

∑i=1

mixi →n→∞

∫D

xdm etn

∑i=1

miyi →n→∞

∫D

ydm

a) Centre de gravité d’une courbe plane pesante

Soit une courbe matérielle définie par y = f (x) et de densité linéaire de masse ρ = ρ (x) .La masse de chaque arc élémentaire de longueur d`, est dm = ρd`, tel que

d` =√

1+ y′2dx



dl

a bx

y

FIG. 2.13 – courbe matérielle

la masse de courbe est

m =

b∫a

dm =

b∫a

ρ√

1+ y′2dx

donc les coordonnées du centre de gravité sont :

XG =1m

b∫a

xdm =1m

b∫a

xρ√

1+ y′2dx

YG =1m

b∫a

ydm =1m

b∫a

yρ√

1+ y′2dx(2.34)

b) Centre de gravité d’une figure plane

Soit un domain matériel dans le plan (xOy) limité par la courbe y = f (x) et les droitesx = a et x = b et l’axe Ox et de densité surfacique de masse ρ = ρ (x) .

y=f(x)

dx

y

x

a b

FIG. 2.14 – Figure matérielle plane

L’aire d’un rectangle élémentaire de largeur dx et de longueur y = y (x) est ds = ydx samasse est alors dm = ρds = ρydx.

La masse totale du domaine est

m =

b∫a

dm =

b∫a

ρydx

Le centre de gravité de la figure est donné par :

XG =1m

b∫a

xdm =b∫

aρxydx

YG =1m

b∫a

ydm =1m

b∫a

ρy2dx(2.35)



Exemple 2.37 Déterminer le centre de gravité de la branche parbolique y = x2; 0 ≤ x ≤ 1 dedensité linéaire de masse ρ (x) =

x8

0.0 0.5 1.00.0

0.5

1.0

x

y

y = x2

La longueur d’un arc élémentaire de la courbe est

d` =√

1+ y′2dx =√

1+ 4x2dx

sa masse est :dm = ρd` =

x8

√1+ 4x2dx

La masse de la courbe est

m =

1∫0

ρ (x) d` =1∫

0

x8

√1+ 4x2dx =

5√

5− 196

= 0.106 045 2

Mx =b∫

axdm =

1∫0

x2

8

√1+ 4x2dx

=9

256

√5− 1

512ln(√

5+ 2)= 7. 579 216 4× 10−2

XG =Mx

m=

7. 579 216 4× 10−2

0.106 045 21= 0.714 715 58

My =b∫

aydm =

1∫0

x3

8

√1+ 4x2dx

=5

192

√5+

1960

= 5. 927 260 4× 10−2

YG =My

m=

5. 927 260 4× 10−2

0.106 045 21= 0.558 937 12

2.4.5 Moment d’inertie

Le moment d’inertie d’un point matériel de masse m par rapport à axe ∆ est défnie par :I∆ = mr2 où r est la distance à l’axe ∆ (figure 14).

Le moment d’inertie d’un système matériel de n points des masses mk est alors :

I∆ =n

∑k=1

mkr2k

cette dernière relation se généralise pour un corps en considérant la somme continue(∫ )

aulieu de somme discrète (∑) .

Soit (C) une courbe de densité de masse linéaire ρ = ρ (x) et définie par l’équationy = f (x) ,pour x ∈ [a, b] , en rotation autour d’un axe ∆. Le moment d’inertie d’un élément



∆

mr

FIG. 2.15 – Rotation autour d’un axe

de masse dm = ρd` par rapport à ∆ est :

dI∆ = λ2dm = λ2ρd` = λ2ρ√

1+ f ′2 (x)dx (2.36)

où λ est la distance à l’axe de rotation.Alors le moment d’inertie de la courbe (C) est :

I∆ =

b∫a

λ2ρ

√1+ f (x)′2dx (2.37)

En particulier si la rotation se fait autour de l’axe Ox (respectivement Oy ) la distanceest λ = y (respectivement λ = x ), on aura :

IX =b∫

ay2ρd` =

b∫a

y2ρ√

1+ y′2dx

IY =b∫

ax2ρd` =

b∫a

x2ρ√

1+ y′2dx(2.38)

D’autre part si la rotation se fait autour de l’origine O alors la distance est λ =√

x2 + y2

par suite :

IO =

b∫a

(x2 + y2) ρd` =

b∫a

(x2 + y2) ρ

√1+ y′2dx (2.39)

Pour une figure plane limitée par la courbe y = f (x), l’axe Ox et les droites x = a etx = b, on a dm = ρydx alors :

I∆ =

b∫a

λ2ρ f (x) dx (2.40)



2.5 Intégrale généralisée

2.5.1 Définition

Définition 2.5 Soit f localement intégrable sur [a, b[. On dit que l’intégrale de f sur [a, b[

converge ou existe si limx→b−

x∫a

f (t) dt existe (au sens de limite finie).On note cette limiteb∫

af (t) dt

ce qui est nouvelle notation. On appelle cette limite intégrale impropre de f sur [a, b[

Notons que cette nouvelle notation est parfaitement compatible avec l’ancienne, il suffitde regarder ce qui se passe quand f est continue sur [a, b[ .

Définition 2.6 Soit f localement intégrable sur [a,+∞[ . On dit que l’intégrale de f sur

[a,+∞[ converge ou existe si limx→+∞

x∫a

f (t) dt existe (au sens de limite finie). On note cette li-

mite+∞∫a

f (t) dt ce qui est nouvelle notation. On appelle cette limite intégrale impropre de f sur

[a,+∞[

Quand une intégrale ne converge pas, on dit qu’elle diverge.

Définition 2.7 :

1. l’intégrale de f est absolument convergente , si l’intégrale de | f | converge absolument.

2. l’intégrale de f est semi convergente sur un intervalle I si : l’intégrale de f sur I converge,et l’intégrale de | f | sur I diverge

La nature d’une intégrale généralisée est le fait qu’elle converge ou qu’elle diverge.

2.5.2 Techniques pour établir la convergence

Quand on a une intégrale, il nous faut maintenant déterminer, au départ, s’il s’agit d’uneintégrale simple ou d’une intégrale généralisée :

– A une borne infinie, c’est toujours une intégrale généralisée.– A une borne finie, il faut regarder au moins si la fonction est définie, ou pas.Voici quelques méthode pour déterminer la nature d’une intégrale impropre :

a) Par passage à la limite

On peut toujours essayer de travailler en primitive, sans bornes aux intégrales, et calculerau bout du compte les limites de ces primitives... Cela est même quelquefois indispensable,en particulier avec les intégrations par parties. Après tout, on ne fait alors que revenir à ladéfinition qu’on vient de donner.

Pour calculer→b∫a

f (t) dt on fait calculerx∫a

f (t) dt, avec a < x < b, comme une intégrale

classique. Enfin on effectue un passage à la limite pour faire tendre x vers b, ce qui nousamène au résultat.



b) Majoration

Si on arrive à trouver une fonction g (x) telle que pour tout x ∈ [a, b[ , | f (x)| ≤ g (x) etb∫

ag (t) dt est convergente alors

b∫a

f (t) dt est convergente.

c) Équivalence

Si f et g sont équivalentes au voisinage de b et de signe constant, alors les 2 intégralesb∫

ag (t) dt et

b∫a

f (t) dt sont de même nature.

Exemple 2.38 I (α) =1∫

0

dxxα

est convergente si α < 1.

on a1∫

0

dxxα= x1−α

1−α

∣∣∣10

si α < 1⇐⇒ 1− α > 0 et x1−α → 0 si x → 0si α > 1⇐⇒ 1− α < 0 et x1−α → ∞ si x→ 0

On a la même chose en un point a :b∫

a

dx|x−a|α est convergente si α < 1.

Exemple 2.39+∞∫0

eγtdt est convergente si γ < 0 et divergente si γ ≥ 0

+∞∫0

eγtdt = limx→+∞

(e−γt

γ

)x

0= lim

x→+∞

eγx − 1γ

γ = 0 :+∞∫0

eγtdt =+∞∫0

dt = limx→+∞

t∣∣∣∣x0= +∞

Si γ < 0 alors eγx →x→+∞

0 =⇒+∞∫0

eγtdt = − 1γ

Si γ > 0 alors eγx →x→+∞

+∞ =⇒+∞∫0

eγtdt→ +∞

Enfin, on veillera donc à ne pas confondre : la convergence de la fonction au point consi-déré, et la convergence de son intégrale.

Exemple 2.40 f (x) =1√x

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

1√x= 0

lima→+∞

a∫1

dx√x= lim

a→+∞

(2√

a− 2)= +∞ divergente

D’autre part : f (x) =1√x→ +∞ si x → 0



mais lima→0

1∫a

dx√x= lim

a→0

(2− 2

√a)= 2

2.5.3 Quelques propriétés

a) Relation de Chasles des intégrales convergentes

Théorème 2.5 Si f (x) est localement intégrable sur [a, b[ et c ∈ [a, b[ alorsc∫

af (x) dx et

b∫c

f (x) dx sont de même nature, et si elles convergent, on a :

b∫a

f (x) dx =c∫

a

f (x) dx+b∫

c

f (x) dx (2.41)

b) Cas de problème aux deux bornes

Il se peut que l’intégrale soit généralisée aux 2 bornes. Il faut traiter une borne à la fois.On coupe l’intégrale en 2 arbitrairement en un point cOn dira que l’intégrale converge alors chacune des 2 intégrales converge.

Par exemple si+∞∫−∞

f (x) dx est convergente alors0∫−∞

f (x) dx et+∞∫0

f (x) dx convergent.

c) Linéarité des intégrales convergentes

Théorème 2.6 Soient f et g deux fonctions dont les intégrales convergent sur I, et λ et µ

deux constantes, alors∫I

(λ f (t) + µg (t)) dt est une intégrale convergente sur I et

∫I

(λ f (t) + µg (t)) dt = λ∫I

f (t) dt+ µ∫I

g (t) dt (2.42)

d) Limite finie en un point fini (faux problème)

Théorème 2.7 soit f localement intégrable sur [a, b[, borneé, telle que f est prolongeable par

continuité en b, c’est à dire f a une limite finie en b−, alors :b∫

a

f (x) dx converge.

Par exemple1∫

0

sin xx

dx est convergente.



e) Intégration par parties

u et v de classe C1 sur I = [a, b[ et limx→b

u (x) v (x) existe et est finie alorsb∫

a

u′ (x) v (x) dx

etb∫

a

u (x) v′ (x) dx sont de même nature et si elles convergent

b∫a

u (x) v′ (x) dx = [u (x) v (x)]ba −b∫

a

u′ (x) v (x) dx (2.43)

De même si I = [a,+∞[ ou I = ]−∞, b]

2.5.4 Intégrales dépendant d’un paramètre

C’est une intégrale de la forme F : x 7→b∫

af (x, t) dt où x est un paramètre et t est la

variable.Soit J l’intervalle de variation de x. et I = [a, b[ est l’intervalle de variation de t

a) Continuité

Soit F (x) =b∫

a

f (x, t) dt avec f continue sur J × I. S’il existe ϕ (t) telle que : ∀x ∈ J,

∀t ∈ I, | f (x, t)| ≤ ϕ (t) etb∫

aϕ (t) dt converge alors F (x) est définie et continue sur J. Il en

est de même si I = [a,+∞[ ou I = ]−∞, b]Il faut vérifier avec soin les hypothèses du théorème. La convergence de cette intégrale

quand x est fixé s’obtient directement par convergence absolue et comparaison à la fonction.Le théorème, quand il s’applique, montre donc cette convergence.

Exemple 2.41 Soit F définie par F(x) =+∞∫0

dtx2 + t2 dont on va montrer qu’elle est continue

sur R∗+ = ]0,+∞[ .

La fonction f (x, t) =1

x2 + t2 est bien continue sur R∗+ × R+ comme fonction de 2 va-

riables.Soit a > 0 alors

∣∣∣∣ 1x2 + t2

∣∣∣∣ ≤ 1a2 + t2 = ϕ (t) ( qui ne dépend pas de x )

d’autre part+∞∫0

dta2 + t2 =

12

π√a2

est convergente,

Ceci prouve que F est continue sur tous les intervalles [a,+∞[ avec a > 0 alors F estcontinue sur R∗+

Si, de plus, f (x, t) admet une dérivée partielle∂ f∂x

continue sur J × I et s’il existe ψ (t)

telle que∣∣∣∣∂ f (x, t)

∂x

∣∣∣∣ ≤ ψ (t) etb∫

aψ (t) dt converge alors F′ (x) =

b∫a

∂ f ( x, t)∂x

dt est continue

sur J × I et on dit que alors F est de classe C1.



Il est important que ϕ et ψ , ne dépendent pas de x. Ce sont des fonctions réelles posi-tives dont les intégrales convergent.

Remarque

Exemple 2.42 F(x) =+∞∫0

dtx2 + t2

alors F′ (x) =+∞∫0

−2x

(x2 + t2)2dt

2.6 Exercices

Exercice 2.1 Soit n un entier positif ou nul . On considère la fonction définie par l’intégrale :

gn (x) =1∫

0

tnejtxdt

1. Expliciter g0(x) pour x 6= 0, puis pour x = 0. La fonction g0(x) est elle continue enx = 0 ?

2. Ecrire les parties réelles et imaginaires de g0(x).

3. Ecrire la dérivée g′n−1(x) à l’aide de gn(x) pour n ≥ 1 .

4. En déduire une relation entre gn et la dérivée neme de g0 .

5. Déduire de ce qui précède une représentation à l’aide d’intégrale de

dn

dxn

(sin x

x

)et de

dn

dxn

(1− cos x

x

)

Exercice 2.2 Soient F et G deux fonctions définies sur [0.∞[ par :

F (x) =

x∫0

exp(−u2) du

2

et G (x) =1∫

0

exp[−x2 (1+ t2)]

1+ t2 dt

1. Calculer F′(x) + G′(x).

2. Calculer la limite de G(x) lorsque x → ∞

3. En déduire la valeur de l’intégrale∞∫0

exp(−x2) dx

Exercice 2.3 On considère l’intégrale :In =π/2∫0

sinn xdx =π/2∫0

cosn xdx où n est un entier

positif .



1. Démontrer la formule de récurrence : nIn = (n− 1) In−2

2. Exprimer In en fonction de I0 ou I1 .

3. Calculer I9 et I10

Exercice 2.4 On considère la fonction Γ (x) =∞∫0

tx−1e−tdt pour x > 0 définie, continue et

indéfiniment dérivable.

1. Calculer Γ(x+ 1) en fonction de Γ(x) . En déduire Γ(n) pour n ∈N

2. Calculer l’intégrale I =∫∫D

exp[−(x2 + y2)] dxdy où D est le domaine du plan

défini par x > 0 et y > 0 .

3. En déduire J =∞∫0

exp(−x2) dx K =

∞∫−∞

exp(−ax2) dx ; a > 0

4. Calculer Γ (1/2) et Γ (3/2)

Exercice 2.5 Soit l’intégrale : β (x, y) =1∫

0tx−1 (1− t)y−1 dt où x et y sont deux réels stricte-

ment positifs

1. En intégrant plusieures fois par parties, calculer β (x, y) en fnction de x et y

2. Exprimer en fonction de β l’intégrale :π/2∫0

sin2n−1 u cos2m−1 udu m et n sont positifs .

3. Calculer , en passant, vers les coordonnées polaires : Γ (x)× Γ (y) et en déduire la formule :

β (x, y) =Γ (x) Γ (y)Γ (x+ y)

4. Calculer les intégrales convergentes suivantes :

a)∞∫

0

x3e−xdx b)∞∫

0

x6e−2xdx c)∞∫

0

x2m−1e−x2dx

d)1∫

0

dx√− ln x

e)2∫

0

x2√

2− xdx f)

π/2∫0

tanα xdx g)π/2∫0

√tan xdx


CHAPITRE 3

SUITES ET SÉRIES

NOtre vie quotidienne est fortement basée sur la transmission de l’information. Ondemande une grande quantité d’information, à grande vitesse de transmissionet de très bonne qualité, etc. En considérant tous ces demandes les physiciensont invités le développement de domaines scientifiques et techniques conve-

nables : Le traitement numérique du signal. Les signaux qui représentent les informations,en première approximation, sont transformés en une suite des signaux élémentaires et leursomme constitue une série des signaux.

Bien que les notions de suite et de série sont très anciennes mais elles trouvent des bonnesapplications comme modèles mathématiques dans notre technique moderne et en particu-lier la série de Fourier.

L’objectif du présent chapitre est de définir les séries et ses propriétés.

3.1 Suite numérique

Considérons une tige de longueur L0, et la découpons en deux parties égales, la longueurde chaque partie est donc L0/2. Si on découpe une partie en deux les longueurs seront L0/4.En continueant à découper une partie en deux on obtient donc les longueurs L0, L1 = L0/2,L2 = L0/4 = L0/22, . . . , Ln = L0/2n. L’ensemble des longueurs obtenues (Ln) est une suite .

L0L1

L2

L3

Ln

On appelle suite tout ensemble ordonné des objets. En mathématiques ces objets peuventêtre des nombres on a alors une suite numérique, s’il s’agit des fonctions la suite est unesuite des fonctions.

Définition 3.1 On appelle suite numérique, toute application qui fait associer à un entier natureln un nombre réel an = a (n), d’une façon qu’à chaque valeur de n on peut calculer la valeurcorrespondante de an.

La suite numérique est une fonction de l’entier naturel n dont le domaine de définitionest l’ensemble des entiers naturels tels que n ≥ n0 où n0 est un entier donné.


Les nombres a1, a2, a3, ..., an sont les termes de la suite. On distingue le premier terme etan = a (n) est le terme général de la suite

Exemple 3.1 :

1. an =12n , on a n ∈N.

a0 = 1 est le premier terme, a1 =12

, a2 =14

, ..

2. bn =n

n− 1: n ∈ 2, 3, 4, ...,

b2 = 2 est le premier terme, b3 =32

, b4 =43

0 5 100.0

0.5

1.0

n

an =12n

0 10 20 301.0

1.5

2.0

n

bn =n

n− 1

3. un =(−1)n (n− 1)

n: n ∈N∗

u1 = 0, u2 =12

, u3 = −23

, u4 =34

..

4. vn = n2

v0 = 0, v1 = 1, v2 = 4, ...

5 10 15 20

1

0

1

n

un =(−1)n (n− 1)

n

0 2 4 6 8 100

50

100

n

vn = n2

3.1.1 Limite d’une suite. Convergence et divergence

En étudiant une suite numérique, une question évidente mais importante se pose : que-ce qu’il passe si on augmente la valeur de n indéfiniment ?. En fait, c’est une question delimite.

On distingue deux cas :– Si la limite à l’infini est une valeur finie et bien déterminée on dit que la suite est

convergente.– Autrement la suite est dite divergente.Dans l’exemple précédent on remarque que les termes de la suite an se rapprochent de

zero en augmentant n. La suite bn est plus proche de 1 autant que n est grand. Ces deuxsuites sont dites convergentes



Les termes de la suite un oscillent entre +1 et −1. Les valeurs de la suite vn augmenteavec n, alors un et vn divergent

Définition 3.2 On appelle limite d’une suite numérique an, le réel A tel que : quelque soit lenombre infiniment petit donné ε, il existe un entier N tel que pour tout n > N on a |an − A| < ε,on note :

∀ ε > 0, ∃ N ∈N ; n > N ⇒ |an − A| < ε (3.1)

A = limn→∞

an ou an →n→∞A (3.2)

L’inégalité |an − A| < ε s’écrit : A− ε < an < A+ ε, ce qui implique, que pour n grand,an est dans le voisinage de A, et il existe un nombre entier N tel que tous les termes an quiont n > N se trouvent dans l’intervalle ]A− ε, A+ ε[ , alors seul un nombre fini de termesa1, a2, a3, ..., aN peut être à l’extérieur de l’intervalle. Par suite, on aura une suite stationnairedont les termes sont toutes égales à A et la limite est égale à A.

Exemple 3.2 Considérons la suite an =n+ 1

nlimn→∞

n+ 1n

= limn→∞

(1+

1n

)= 1 c’est une suite convergente de limite A = 1

|an − 1| =∣∣∣∣n+ 1

n− 1∣∣∣∣ = ∣∣∣∣1+ 1

n− 1∣∣∣∣ = 1

n< ε =⇒ n > N =

1ε

En générale N dépend de ε.Sur le graphe suivant, on a pour N = 10 : ε = 0.1,et tous les termes de la suite an tels que

n > 10 se trouve entre les droites y = 1.1 et y = 1.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

1.0

1.5

2.0

n

Pour trouver la limite d’une suite il faut travailler comme dans le calcul de la limited’une fonction à une variable réelle, mais fait attention que la variable dans ce cas est unentier naturel.

Théorème 3.1 Si limx→∞

f (x) = L alors il en est de même f (n) : limn→∞

f (n) = L

Exemple 3.3 Soit f (x) =x+ 1

ex et an =n+ 1

en = f (n)

on a limx→∞

f (x) = limx→∞

x+ 1ex =

∞∞

Appliquons la règle d’Hospital :

limx→∞

x+ 1ex = lim

x→∞

1ex =

1∞= 0 Alors lim

n→∞

n+ 1en = 0



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.5

1.0

x, n

f(x), f(n)

La réciproque du théorème précédent est fausse.

Remarque

Exemple 3.4 Considérons la suite an = f (n) = cos (2πn) puisque n est un entier naturelalors cos (2nπ) = 1 ∀n. donc c’est une suite convergente dont la limite est 1

0 2 4 6 8 100.0

0.5

1.0

x

y

graphe de cos (2nπ)

2 4 6 8 10

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

x

y

graphe de cos (2πx)

La fonction f (x) = cos (2πx) fait des oscillations entre les valeurs (−1) et (+1) sa limiten’existe pas.

Théorème 3.2 Si an est une suite convergente de limite L et f (x) une fonction continue aupoint x = L alors lim

n→∞f (an) = f (L)

Exemple 3.5 Soit la suite an =1n

, on a : limn→∞

1n= 0

et soit f (x) = 2x, c’est une fonction continue au point x = 0limn→∞

f (an) = limn→∞

(21/n) = 20 = f (0) = 1

a) Théorèmes généraux sur la limite

Théorème 3.3 (Unicité de la limite) La limite d’une suite convergente est unique, c’est-à-dire une suite numérique convergente ne peut avoir deux limites distinctes.



DémonstrationSoit an une suite numérique convergente et A la limite de an,donc lim

n→∞an = A

Si an a une autre limite B alors on a aussi limn→∞

an = Bpar suite :

A− B = limn→∞

an − limn→∞

an

= limn→∞

(an − an) = limn→∞

0 = 0 =⇒ A = B

Théorème 3.4 (propiétés de la limite) Si an et bn sont deux suites convergentes aveclimn→∞

an = A et limn→∞

bn = B 6= 0 et si α et β sont deux nombres constants finis, alors :

1. La suite [αan + βbn] est une suite convergente et

limn→∞

(αan + βbn) = α limn→∞

an + β limn→∞

bn = αA+ βB (3.3)

En particulierlimn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn = A+ B

limn→∞

(an − bn) = limn→∞

an − limn→∞

bn = A− B (3.4)

2. La suite [an × bn] est convergente et

limn→∞

(an × bn) =(

limn→∞

an

)×(

limn→∞

bn

)= A× B (3.5)

3. La suite[

an

bn

]est convergente et

limn→∞

(an

bn

)=

limn→∞

an

limn→∞

bn=

AB

(3.6)

Définition 3.3 Soit une (an) suite réelle ; on dit que (an) est une suite de Cauchy ou vérifie lecritère de Cauchy si

∀ε > 0, ∃N ∈N : ∀n, m ∈N |an − am| < ε (3.7)

Cette définition ressemble beaucoup à celle d’une suite convergente. La grande diffé-rence est que l’on n’y mentionne pas de limite ! On ne dit plus que les termes de la suites’approchent d’un nombre l donné mais qu’ils deviennent de plus en plus proches entreeux. Le théorème suivant dit que, dans les cas de suites de nombre réels, les notions de suiteconvergente et de suite de Cauchy sont équivalentes.



Théorème 3.5 Une suite numérique converge vers une limite finie si et seulement si elle est deCauchy.

DémonstrationLe fait que toute suite de Cauchy converge vers un nombre réel découle de la définition

même de R (R est l’ensemble de suites de Cauchy de nombres rationnels). On va accepterce fait comme un axiome.

Supposons maintenant que (an) converge vers ` et montrons que cette suite est de Cau-chy. Prenons ε > 0 quelconque. Alors, par définition de la convergence, il existe un entier Ntel que pour tout n > N |an − `| < ε/2

Par conséquent,

∀n, m ∈N |an − am| ≤ |an − `|+ |am − `| <ε

2+

ε

2

Donc, (an) est une suite de Cauchy

Notons que ce théorème n’est pas vraie dans Q : il existe des suites de Cauchy denombres rationnels qui ne converge vers aucune limite rationnelle.

Théorème 3.6 Si [an]∞n=n0

et [bn]∞n=n0

sont deux suites convergentes vers la même limite L. S’ilexiste un entier n1 ≥ n0 telque pour tout n ≥ n1 : an ≤ cn ≤ bn alors la suite [cn]

∞n=n0

estaussi convergente vers L.

Exemple 3.6 Considérons la suite cn =sin n

n2 , elle est définie pour n ≥ 1 :[

sin nn2

]∞

n=1.

5 10 15 200.0

0.1

0.2

nGraphe de sin n

n2

Le graphe de cette suite montre qu’elle est convergente et sa limite est L = 0. Mais on nepeut pas calculer la limite de cette suite par les méthodes déja notées.

On a : −1 ≤ sin n ≤ +1 ∀ n ∈N

Divisons par n2,on trouve : − 1n2 ≤

sin nn2 ≤ +

1n2

Remarquons que limn→∞

1n2 = lim

n→∞

−1n2 = 0 donc lim

n→∞

sin nn2 = 0



3.1.2 Définition par récurrence

Une suite numérique peut aussi être définie par une relation entre des termes succes-sifs, connaissant le premier terme ( ou parfois quelques premiers termes). Cette relation deréccurence nous permet de calculer un terme de la suite à partir des termes précédents parexemple :

an+1 = an + 6; a0 = 0an+1 =

√k+ an ; a1 = 1 et k > 0

an+1 =12

(an +

α

an

), a1 > 0

Notons que le calcul de la limite n’est pas toujours évident– an+1 =

√k+ an ; a1 = 1 et k > 0

Si limn→∞

an = ` > 0 alors limn→∞

an+1 = `

soit ` =√

k+ ` =⇒ `2 = k+ `on aura : `2 − `− k = 0

Le discriminant ∆ =√

1+ 4k =⇒ ` =1+√

1+ 4k2

Si k = 12 on a ` = 4

– an+1 =12

(an +

α

an

), a1 > 0, α > 0

Si limn→∞

an = L > 0 alors limn→∞

an+1 = L

L =12

(L+

α

L

)=

L2 + α

2L=⇒ 2L2 = L2 + α =⇒ L =

√α

3.1.3 Suites bornées

Une suite numérique est dite majorée s’il existe un nombre fini M tel que ∀ n : an ≤ M Une suite numérique est dite minorée s’il existe un nombre fini m tel que ∀ n an ≥ m Une suite numérique est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée c’est-à-dire ∀

n : m ≤ an ≤ M.Dans ce cas tous les termes de la suite sont dans l’intervalle [m, M], par exemple les termes

de la suiten+ 1

nsont dans l’intervalle [1, 2] ∀ n.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

n

Parfois on utilise une autre définition de suite bornée : Une suite est dite bornée s’il existeun nombre K tel que |an| ≤ K

La suite [an] est bornée⇐⇒ ∃ K > 0 ; ∀ n, |an| ≤ K (3.8)

et pour la suite non bornée

La suite [an] est non bornée⇐⇒ ∀ K > 0 ; ∃ n, |an| ≥ K (3.9)

Par exemple la suite [2n] est non bornée. En effet pour tout K > 0, il existe n tel que 2n > Kc’est-à-dire n > log2 K.



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5e+5

1e+6

n

2n

Théorème 3.7 Toute suite convergente est une suite bornée.

Ce théorème implique pour qu’une suite soit convergente il est nécessaire, mais n’est passuffisante, qu’elle soit bornée.

3.1.4 Suite monotone

Une suite [an] est dites :

1. Croissante si a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an ≤ an+1 c’est une suite minorée, si elle est de plusmajorée elle sera donc bornée.

2. Décroissante si a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ an+1 c’est une suite majorée, si elle est deplus minorée elle sera donc bornée.

3. Monotone croissante si a1 < a2 < a3 < · · · < an < an+1.

4. Monotone décroisante si a1 > a2 > a3 · · · > an > an+1.

Toute suite monotone et bornée a une limite.

Exemple 3.7 La suite1n2 est monotone décroisante : 1 >

14>

19>

116> ...

3.1.5 Quelques limites usuelles

Dans la suite on va donner, et démontrer les valeurs de limites de certaines suites numé-riques fréquemment utilisées dans les exercices :

1. limn→∞

ln nn= 0

La forme est∞∞

donc on peut appliquer le théorème d’Hospital :

limn→∞

ln nn= lim

n→∞

1/n1= lim

n→∞

1n= 0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.0

0.1

0.2

0.3

n

ln n /n



2. limn→∞

n√

n = 1

Soit an = n√

n = n1/n,alors ln (an) =1n

ln n

mais limn→∞

ln nn= 0 c’est-à-dire lim

n→∞ln (an) = 0 par suite lim

n→∞an = 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001.01.11.21.31.4

nn√

n

3. limn→∞

x1/n = 1 (x > 0)

Posons an = x1/n =⇒ ln (an) =1n

ln x

Pour x fixé ln x est constante, et1n→ 0 si n→ ∞ donc

1n

ln x → 0 si n→ ∞

x1/n = an = eln an → e0 = 1

0 10 20 300.5

1.0

1.5

2.0

n

21/n

4. limn→∞

xn = 0 si |x| < 1 : ε1/n → 1 si n→ ∞ car1n→ 0

Mais |x| < 1 alors il existe un entier N tel que ε1/N > |x|Autrement :

∣∣xN∣∣ = |x|N < ε⇐⇒ lim

n→∞xn = 0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.000

0.005

0.010

n

3−n

5. limn→∞

(1+

xn

)n= ex

Soit an =(

1+xn

)n=⇒ ln (an) = n ln

(1+

xn

)=

ln (1+ x/n)1/n

limn→∞

ln (an) = limn→∞

ln (1+ x/n)1/n

∣∣∣∣règle d’Hospital

= limn→∞

(1

1+ x/n

)(− x

n2

)−1/n2 = lim

n→∞

x1+ x/n

= x

limn→∞

ln (an) = x =⇒ limn→∞

an = elim

n→∞ln(an) = ex



0 5 10 15 20 25 302.02.22.42.62.8

n

(1+ 1/n)n

6. ∀x on a limn→∞

xn

n!= 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

n

3.2 Séries numériques

Considérons un rectangle d’aire A = 1. En découpant le rectangle au moitié on obtientdeux rectangles chacun d’aire 1/2,découpons un de demi rectangles obtenus au moitié onaura deux rectangles d’aires 1/4, en continuant, n fois, à diviser un de demi rectangles en

deux on obtient des rectangles d’aires :12

,14

,18

,1

16,...,

12n , etc.

1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

FIG. 3.1 – Le rectangle divisé au moitié n fois

C’est-à-dire, si on fait augmenter indéfiniment le nombre des rectangles, on obtient une

suite des rectangles d’aires : an =

[12n

]∞

n=1.

L’aire du rectangle initial est la somme des aires élémentaires an :

A =∞

∑n=1

an =∞

∑n=1

12n = 1

La somme ainsi définie est une série des termes an.



Définition 3.4 On appelle série de terme générale un la suite (Sn) des sommes partielles

Sn =n

∑k=0

uk (3.10)

1. Les premiers termes de la série sont :S0 = u0, S1 = u0 + u1 = S0 + u1, · · · Sn = u0 + u1 + · · ·+ un = Sn−1 + un.

2. La série peut être définie sur N ou à partir d’un rang n0

La quantité :

S = limn→∞

Sn = limn→∞

n

∑k=0

uk =∞

∑k=0

uk (3.11)

n’est pas une somme au sens direct du mot mais c’est la limite, si elle existe, de la suitedes sommes partielles.

Si telle limite existe et elle est finie, on dit que la série est convergente, dans le cas contrairela série est divergente.

Exemple 3.8 Estimer la convergence de la série numérique :∞

∑k=1

1k (k+ 1)

Solution : Sn =n∑

k=1

1k (k+ 1)

=n∑

k=1

(1k− 1

k+ 1

)=(1− 1

2

)+( 1

2 −13

)+( 1

3 −14

)+ · · ·

( 1n−1 −

1n

)+( 1

n −1

n+1

)= 1− 1

n+1

∞∑

k=1

1k(k+1) = lim

n→∞

(1− 1

n+1

)= 1

3.2.1 Série géométrique

Définition 3.5 On appelle série géométrique toute série de la forme

Sn = a+ aq+ aq2 + · · ·+ aqn + · · · =∞

∑n=0

aqn

avec a et q sont deux réels fixes. a 6= 0 est le premier terme et q s’appelle la raison de la série,elle peut être positive ou négative.

Exemple 3.9 S =∞

∑n=0

(12n

): a = 1, q =

12

S =∞

∑n=0

(2 (−1)n

3n

): a = 2, q = −1

3



a) Somme partielle de la série géométrique

Soit à calculer la somme partielle Sn = a+ aq+ aq2 + · · ·+ aqn d’une série géométriqueet q 6= 1.

Si on fait multiplier Sn par q on trouve : qSn = aq+ aq2 + aq3 + · · ·+ aqn+1

Calculons par suite la différence Sn − qSn :

Sn − qSn = (a+ aq+ · · ·+ aqn)−(aq+ · · ·+ aqn + aqn+1) = a− aqn+1

=⇒ (1− q) Sn = a(1− qn+1) d’où :

Sn = a1− qn+1

1− q(3.12)

– Si |q| < 1 : qn+1 → 0 quand n→ ∞ et la série est convergente :

limn→∞

Sn =∞

∑n=0

aqn =a

1− q(3.13)

– Si |q| > 1 : qn+1 → ∞ quand n→ ∞ et la série est divergente.

Exemple 3.10 S =∞

∑n=0

(12n

)=

11− (1/2)

= 2

Exemple 3.11 Considérons le nombre : 3.3333333 · · · · · ·On peut écrire ce nombre sous la forme d’une série géométrique telle que a = 3 et q = 0.1,en effet :

3.3333333 = 3+ 0.3+ 0.03+ 0.003+ 0.0003+ ...= 3+ 3× (0.1) + 3× (0.1)2 + · · ·+ 3× (0.1)n + · · ·

=3

1− 0.1=

30.9

=103

.

3.2.2 Théorèmes généraux

Théorème 3.8 Pour que ∑n≥0

un converge il est nécessaire que limn→∞

un = 0.

cette condition est nécessaire mais elle n’est pas suffisante.Démonstration

Supposons que la série Sn =n∑

k=0uk est convergente donc lim

n→∞Sn = S où S est un nombre

fini et fixe ;



mais on a aussilimn→∞

Sn−1 = S

car n et (n− 1) tendent vers l’infini en même temps, par suitelimn→∞

Sn − limn→∞

Sn−1 = S− S = 0

= limn→∞

(Sn − Sn−1) = limn→∞

(n∑

k=0uk −

n−1∑

k=0uk

)= lim

n→∞[(u0 + · · ·+ un−1 + un)− (u0 + · · ·+ un−1)] = lim

n→∞un.

La réciproque de ce théorème n’est pas vraie

Remarque

Exemple 3.12 la série∞

∑n=1

1n

est divergente même que1n→ 0 quand n→ ∞

Théorème 3.9 Si limn→∞

un 6= 0 alors la série∞

∑n=1

un est divergente

Exemple 3.13 La série∞

∑k=1

kk+ 1

est divergente

En effet : limk→∞

ak = limk→∞

kk+ 1

= 1 6= 0

Théorème 3.10 (Condition de Cauchy) La série S =∞

∑n=0

un converge si et seulement si la

suite Sn des sommes partielles est une suite de Cauchy c.à.d. :

∀ ε > 0, ∃ N(ε) : ∀ p, q ≥ N(ε) =⇒∣∣Sp − Sq

∣∣ ≤ ε (3.14)

cette condition est alors nécessaire et suffisante.

Théorème 3.11 Si Sn =n∑

k=0uk est une série à termes positifs et si on a Sn ≤ M, avec M

indépendant de n alors∞∑

n≥0un converge.

C’est une condition nécessaire et suffisante de convergence.



3.2.3 Tests de convergence

Lorsque nous étudions une série (Sn), l’une des questions fondamentales est celle de laconvergence ou de la divergence de cette série.

Si une série converge, son terme général un tend vers zéro lorsque n tend vers l’infini. Cecritère est nécessaire mais non suffisant pour établir la convergence d’une série.

Par contre, si ce critère n’est pas rempli, on est absolument sûr que la série ne convergepas (donc elle diverge !).

Des méthodes sont proposées pour approfondir le critère de convergence

Théorème 3.12 (test et comparaison de l’intégrale) Soit f (x) une fonction continue et mo-

notone décroissante, si x → +∞ , alors : ∑n≥N

f (n) et∞∫N

f (x)dx sont de même nature.

Exemple 3.14 Etudions la convergence de la série :∞∑

n=0

11+ n2

On considère la fonction f (x) =1

1+ x2 c’est une fonction continue ∀ x ∈ R

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.0

0.5

1.0

n

f(n)

d fdx= − 2x

(x2 + 1)2≤ 0 pour x ≥ 0 donc f (x) est monotone décroissante ∀ x ∈ R+

∞∫0

f (x) dx =∞∫0

dx1+ x2 = arctan x|∞0 =

π

2

∞∫0

f (x) dx est convergente donc la série∞∑

n=0

11+ n2 est convergente

Théorème 3.13 (Séries de comparaison de Riemann) :

La série∞∑

n=1

1nα

converge si α > 1 et diverge si α ≤ 1.

Démonstration

Considérons la fonction f (x) =1xα

, elle est continue et monotone décroissante pour

x ≥ 1, et étudions la nature de l’intégrale∞∫1

dxxα

.



∞∫1

dxxα= lim

X→∞

X∫1

dxxα= lim

X→∞

x−α+1

−α+ 1

∣∣∣∣X1= lim

X→∞

X−α+1

−α+ 1− 1

1− α

– Si α > 1 alors −α+ 1 < 0 et X−α+1 → 0 quand X → ∞

=⇒∞∫

1

dxxα=

1α− 1

: convergente

– Si α ≤ 1 donc −α+ 1 ≥ 0 et X−α+1 → ∞ quand X → ∞

=⇒∞∫

1

dxxα

est divergent

Théorème 3.14 (Comparaison des séries) Soient deux séries ∑n>0

un et ∑n>0

vn. Si l’on a pour

n ≥ N l’inégalité un ≤ vn, alors :

– ∑n>0

vn diverge si ∑n>0

un diverge

– ∑n>0

un converge si ∑n>0

vn converge

Exemple 3.15 S =∞∑

n=1

1n4 + 7n

on a n4 < n4 + 7n =⇒ 1n4 >

1n4 + 7n

Or la série S′ =∞∑

n=1

1n4 est convergente d’après le test de Riemann

et puisque S′ > S donc S est convergente

Théorème 3.15 (Equivalence des séries) Si limn→∞

vn

un= λ 6= 0 alors ∑

n≥0un et ∑

n≥0vn sont

de même nature (toutes deux divergentes ou toutes deux convergentes).

Exemple 3.16 Etudions la convergence de la série S =∞∑

n=1

1n3 − 7n

=∞∑

n=1an

Comparons avec la série : V =∞∑

n=1

1n3 =

∞∑

n=1bn qui est une série convergente

limn→∞

an

bn= lim

n→∞

n3

n3 − 5n

= limn→∞

n3

n3 (1− 5n−2)= lim

n→∞

1(1− 5n−2)

= 1

on déduit que S est convergente.



Théorème 3.16 (Règle de Cauchy) Soit la série Sn = ∑ unn≥0

. Supposons que n√

un a une limite

finie pour n→ ∞ telle quelimn→∞

n√

un = `

Alors :– Sn converge si ` < 1– elle diverge si ` > 1– Si ` = 1 on ne peut rien dire.


n=1

(n− 1

2n+ 6

)n

limn→∞

(un)1/n = lim

n→∞

((n− 1

2n+ 6

)n)1/n

= limn→∞

n− 12n+ 6

=12< 1

S =∞∑

n=1

(n− 1

2n+ 6

)n

est convergente.

Théorème 3.17 (Règle de D’Alembert) Supposons que limn→∞

un+1

un= q alors : avec à nou-

veau les mêmes considérations que pour la règle de Cauchy :

– Si q < 1 la série ∑n≥0

un converge.

– Si q > 1 la série ∑n≥0

un diverge.

– Si q = 1 Rien à dire.


n=1

(−1)n n2n

limn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣∣ (−1)n+1 (n+ 1)2n+1

2n

(−1)n n

∣∣∣∣∣= lim

n→∞

∣∣∣∣ (−1) (n+ 1)2n

∣∣∣∣ = 12< 1 =⇒ la série est convergente

Définition 3.6 Une série est dite alternée si le produit : (un+1) (un) est négatif pour tout n

Théorème 3.18 (de Leibniz) Soit ∑n

un une série alternée telle que :

i) |un| est monotone décroissante,

ii) limn→∞

un = 0.

alors elle converge et son reste rn =∞∑

k=nuk est majoré par |un| : |rn| ≤ |un|



3.3 Série des fonctions

Dans la suite de ce chapitre on va étudier quelques types des séries utiles pour l’ap-proximation de certaines fonctions, en particulier la série entière. La série de Fourier sera enparticulier traitée dans un autre chapitre.

3.3.1 Suite de fonctions

On a défini la suite de réels ou de complexes comme étant une application u : N→ R ;n ∈N 7−→ un = u (n) .Par analogie, on définira ainsi une suite de fonctions :

Définition 3.7 On appelle suite de fonctions sur R (ou sur C ) et on note ( fn) toute applicationn ∈N 7−→ fn = f (n, x) où x est une variable réelle dans le domaine de définition de la fonctionf .

Exemple 3.19 Soit I le domaine de définition de la fonction f

1. On peut définir la suite de fonctions réelles de terme général : fn (x) = 2n sin nx, avecn ∈N et I = R

f0 (x) = 0 f1 (x) = 2 sin x f2 (x) = 4 sin 2x · · ·2. On peut définir la suite de fonctions réelles gn (x) = nxn I = R n ∈N

g0 (x) = 0 g1 (x) = x g2 (x) = 2x2 · · ·

3. La suite des fonctions hn (x) =nx

1+ nxest définie ∀n ∈N et pour x ∈ R−

− 1

n

h0 (x) = 0 h1 (x) =

x1+ x

(x 6= −1) h2 (x) =2x

1+ 2x

(x 6= −1

2

)· · ·

3.3.2 Convergence simple et convergence uniforme

On désigne par fn (x) une suite de fonctions de I dans R (ou C) et f (x) une fonctionégalement définie sur I

Définition 3.8 (Convergence simple) On dit que la suite de fonctions fn converge simple-ment vers f sur I lorsque n tend vers l’infini si pour tout x de I la suite de réels fn(x) convergevers f (x).

La convergence simple de fn vers f sur I se traduit donc par

(∀x ∈ I,∀ε > 0, ∃N > 0) | (∀n ≥ N, | fn(t)− f (t)| ≤ ε)

On note :lim

n→+∞fn (x) = f (x)

oufn (x)

CS→n→∞

f (x)

On utilise aussi l’expression suivante : fn converge ponctuellement vers f au lieu de fnconverge simplement vers f .



Exemple 3.20 Soit fn(t) = sin(t+1n) une suite de fonctions définie pour t ∈ R.

Fixons t, (t + 1/n) a pour limite t quand n tend vers +∞, comme la fonction sinus estcontinue, sin(t+ 1/n) a pour limite sin t.

Ainsi : fn(t) = sin(t+1n) converge ponctuellement sur R vers la fonction f (t) = sin t.

Théorème 3.19 (Propriétés) Soient ( fn) et (gn) deux suites de fonctions qui convergent sim-plement sur I vers f et g respectivement.

1. Si fn (x) converge simplement, alors la limite f (x) est unique.

2. La suite (| fn (x)|) converge simplement vers | f (x)| .3. Pour tous scalaires α, β la suite (α f + βg) converge simplement vers α f + βg.

4. Si les fonctions fn (x) et gn (x) sont à valeurs positives avec fn ≤ gn à partir d’un certainrang, alors f ≤ g.

5. Si les fonctions fn (x) sont à valeurs positives et croissantes à partir d’un certain rang,alors f est croissante.

6. Si les fonctions fn (x) sont à valeurs positives et convexes à partir d’un certain rang, alorsf est convexe.

Définition 3.9 (Convergence uniforme) On dit que la suite fn converge vers f uniformé-ment sur I lorsque n → ∞ si la suite de réels mn = sup | fn(x)− f (x)| a pour limite zéro. Ondit aussi que f est la limite uniforme de la suite fn sur I.

Par définition de la limite d’une suite de réels cela peut s’écrire ainsi :

(∀ε > 0, ∃N > 0) | ∀n ≥ N, ∀x ∈ I, sup | fn(x)− f (x)| ≤ ε

Il faut bien noter que pour ε fixé on peut rendre | fn(x)− f (x)| ≤ ε pour toutes lesvaleurs x de I dès que n ≥ N(x) alors que pour une limite ponctuelle on peut rendre| fn(x)− f (x)| ≤ ε dès que n ≥ N(x), l’indice N dépend de x et il n’est pas toujours possiblede trouver un entier N tel que | fn(x)− f (x)| ≤ ε pour tous les x dès que n ≤ N .

La relation | fn(x)− f (x)| ≤ ε s’écrit aussi f (x) − ε ≤ fn(x) ≤ f (x) + ε, donc s’il y aconvergence uniforme sur I, la courbe représentative de fn est dans la bande délimitée pourcelles de f (x)− ε et f (x)− ε dès que n ≥ N .

Le mot uniforme signifie que : la valeur de N à partir de laquelle la quantité | fn − f | ≤ εne dépend pas de x mais est identique pour tous x ∈ I.

On notera bien que si fn converge vers f uniformément sur I alors fn converge simple-ment vers f sur I mais que la réciproque est fausse.

Exemple 3.21 Nous avons démontré que la suite de fonctions fn(t) = sin(t + 1n ) converge

ponctuellement vers sin t sur R ;

fn(t)− f (t) = sin(t+1n)− sin t = 2 sin

12n

cos(

t+1

2n

)alors

| fn(t)− f (t)| = 2∣∣∣∣sin

12n

cos(

t+1

2n

)∣∣∣∣ ≤ 2∣∣∣∣sin

12n

∣∣∣∣Signal déterministe MAA107


et comme |sin x| < x pour tout x on a

| fn(t)− f (t)| ≤ 2(1

2n) =

1n

donc mn ≤1n

et mn a pour limite 0 de sorte que fn converge vers sin t uniformément sur R

lorsque n tend vers +∞.

On remarquera qu’on a pas calculé explicitement mn puisque la majoration mn ≤1n

suffit pour conclure.

Remarque

Le théorème suivant exprime une des propriétés importantes des suites de fonctions quiconvergent uniformément.

Théorème 3.20 Soit fn, n ∈ N, une suite de fonctions qui converge uniformément sur unintervalle I vers une fonction f . On suppose que chacune des fonctions fn est continue sur I,alors leur limite f est aussi continue sur I.

Ce théorème permet d’affirmer qu’une suite de fonctions continues qui converge ponc-tuellement vers une fonction discontinue sur un intervalle I ne converge certainementpas uniformément car la limite serait continue.On notera toutefois que ce théorème n’exprime pas une condition nécessaire et suffi-sante pour que la limite d’une suite de fonctions soit continue

Remarque

Exemple 3.22 Posons fn(u) = u arctan[nu− 1

2n

]ln(1+ n2u2), on vérifie très facilement que

la suite fn, n ∈ N converge ponctuellement sur R lorsque n tend vers +∞ vers la fonction fdéfinie par : f (u) =

π

2|u| . Cette fonction n’est pas dérivable, pourtant la suite des dérivées

f ′(u) = arctan (nu) est une suite convergente.

Lorsque la suite des dérivées converge uniformément on a par contre une limite déri-vable comme l’énonce le théorème suivant.

Théorème 3.21 Soit fn, n ∈ N une suite de fonctions dérivables sur I et qui converge ponc-tuellement vers une fonction f sur I. On suppose que la suite f ′n, n ∈ N des dérivées convergeuniformément sur I vers une fonction g, alors la limite f est dérivable et f ′ = g.

Si dans le théorème (7.20) on suppose seulement que fn est continue pour tout n su-périeur à un entier donné n0, la limite f est continue pour vu que la convergence defn vers f soit uniforme. De la même façon pour le théorème (7.21) il suffit de suppo-ser fn dérivable pour tout n > n0 pour que la limite f soit dérivable pour vu que laconvergence de fn vers f soit uniforme.

Remarque



La convergence uniforme d’une suite fn permet aussi de démontrer la convergence desprimitives.

Théorème 3.22 Soit fn, n ∈ N une suite de fonctions qui converge uniformément sur un

intervalle I vers une fonction f et soit a un point de I pour tout x ∈ I , alors la suitex∫a

fn(t)dt a

pour limitex∫a

f (t)dt et la convergence est uniforme sur tout segment de I.

Théorème 3.23 (interversion de limites) Soit fn (x) une suite des fonctions uniformémentconvergente vers une fonction f (x) sur I et que lim

x→afn (x) = `n existe et est finie. Alors

limx→a

f (x) = limn→∞

`n

autrement ditlimx→a

(limn→∞

fn (x))= lim

n→∞

(limx→a

fn (x))

(3.15)

Notons que a pourrait être ±∞

3.3.3 Séries de fonctions

La série numérique est définie par sommation à partir d’une suite numérique : on com-mence par former la suite des sommes partielles et, étudier la convergence de la série, c’estpar définition étudier la convergence de la suite numérique des sommes partielles.

Il s’agit des séries de fonctions dont les termes ne sont plus des nombres mais des fonc-tions de la variable indépendante x ou t,etc.

Soient f (x) et g (x) deux fonctions définies sur un même intervalle I , on peut définirleur somme f + g qui est encore une fonction définie sur I par :

∀x ∈ I ( f + g) (x) = f (x) + g (x)

Comme pour les séries numériques, nous allons de même procéder par sommes succes-sives pour obtenir, à partir d’une suite ( fn) de fonctions, la série de fonctions ∑ fn.

Définition 3.10 On appelle (Sn) , série de fonctions, une suite du type

Sn =n

∑k=n0

fk

où fn est une suite des fonctions sur l’intervalle I.(Sn) est une suite de fonctions, dont nous savons définir et étudier la convergence simple ou

uniforme.

Il est évident que la limite dans ce cas, si elle existe, est une fonction



Exemple 3.23 :

Sn =n

∑k=1

sin(

x+1k

)= sin (x+ 1) + sin

(x+

12

)+ · · ·+ sin

(x+

1n

)

limn→∞

sin(

x+1n

)= sin x

Vn =n

∑k=1

sin (kωt) = sin ωt+ sin 2ωt+ sin 3ωt+ · · ·+ sin nωt

Définition 3.11 On dit qu’une série de fonction ∑ fn converge simplement (resp. uniformément)sur I si et seulement si la suite des sommes partielles Sn converge simplement (resp. uniformément)sur I.

Exemple 3.24 La série des fonctions de terme général fn =1

x− n− 1

x− n− 1est simplement

convergente et de somme S =1x

En effet :n∑

k=0fk =

(1x− 1

x− 1

)+

(1

x− 1− 1

x− 2

)+ · · ·+

(1

x− n− 1

x− n− 1

)=

1x− 1

x− n− 1

limn→+∞

n∑

k=0fk = lim

n→+∞

(1x− 1

x− n− 1

)=

1x

Définition 3.12 On dit qu’une série de fonction ∑ fn converge absolument sur I si et seulement

si la suite des sommes partiellesn∑

k=n0

| fk| converge simplement sur I.

Définition 3.13 On dit que la série de fonctions ∑ fn converge normalement sur I si et seulements’il existe une série numérique ∑ un convergente telle que | fn| ≤ un pour tout n ∈ N et toutx ∈ I.

Théorème 3.24 Pour que la série ∑ fn soit uniformément convergente sur I, il suffit qu’elle soitnormalement convergente sur I.

Exemple 3.25 Soit fn (x) = sin(nx

n!

)On a | fn (x)| ≤

1n!

La sa série numérique ∑1n!

converge. Alors ∑ fn converge normalement



Exemple 3.26 Soit fn (x) = nx2e−x√

nsur R+

La série ∑ fn converge simplement mais pas normalement sur R+. En effet, pour tout n fixé,on a

f ′n (x) = nx(2− x

√n)

e−x√

n

Le tableau de variation de la fonction fn (x) montre que

‖ fn‖∞ = fn

(2√n

)= 4e−2

Par suite la série numérique ‖ fn‖∞ diverge et donc ∑ fn ne converge pas normalement sur R+

Pourtant, pour un réel a > 0 et un entier N ≥ 0 tel que a >2√N

on a bien

supx>a| fn (x)| = fn (a) = na2e−a

√n

et donc on a la convergence normale de la série ∑ fn sur tout [a,+∞[

Notons aussi que comme ‖ fn‖∞ = 4e−2 9 0 alors la série ∑ fn ne converge pas uniformé-ment sur R+ Mais, elle converge uniformément sur tout [a,+∞[ , a > 0

a) Propriétés des séries de fonctions

Théorème 3.25 (Continuité) On suppose que pour tout entier n la fonction fn est continuesur I, et la série ∑ fn converge uniformément sur tout segment de I vers f . Alors la fonction fest continue sur I.

Théorème 3.26 (Intégration) On suppose que pour tout entier n la fonction fn est intégrablesur I = [a, b] et que la série ∑ fn converge uniformément sur tout segment de I vers f . Alors fest intégrable sur I et vérifie

+∞

∑n=0

b∫a

fn (x) dx =b∫

a

f (x) dx

Théorème 3.27 (Dérivation) si la série ∑ fn converge simplement sur I vers la fonction f etpour tout entier n la fonction fn est dérivable sur I et que la série ∑ f ′n des dérivées convergeuniformément sur tout segment de I vers une fonction g. Alors f est dérivable sur I et, pour toutx ∈ I, f ′ (x) = g

3.3.4 Série entières

Les séries entières sont des séries de fonctions de forme particulière. Elles sont bien adap-tées à l’opération de dérivation, et donc à la résolution d’équations différentielles.

Nous faisons ici l’étude des séries entières réelles ou complexes en appliquant les théo-rèmes sur les séries numériques et les séries de fonctions.



a) Définition

Définition 3.14 On appelle série entière (ou série de puissances) toute série de fonctions de laforme :

S =∞

∑n=0

anzn

où z est une variable complexe et an sont généralement les termes d’une suite numérique réelle oucomplexe.

Si z et an sont réels on a une série entière à termes réelles

Exemple 3.27 :

•∞

∑n=0

(−1)n z2n = 1− z2 + z4 − z6 + · · · est une série entière

•∞

∑n=0

zn

n!= 1+ z+

z2

2+

z3

6+ · · · est une série entière

• Toute fonction polynomiale est une série entière associée à une suite (an)n∈N nulle à partird’un certain rang.

La somme de (n+ 1) premiers termes

Sn =n

∑k=0

akzk = a0 + a1z+ · · ·+ anzn (3.16)

est un polynôme de degré n ; la somme de cette série, lorsqu’elle est convergente, définieune fonction f de la variable complexe z. Les fonctions f ainsi définies par des séries entièresapparaissent comme une généralisation des fonctions polynômes.

Exemple 3.28 Considérons le cas où an = 1 ∀n.Remarquons que pour chaque valeur fixe de z la série (Sn) est une série géométrique. En effet,

supposons que z est fixée on a :

S =n

∑k=0

zk = 1+ z+ z2 + · · ·+ zn

Le premier terme est 1 et la raison q = z donc la somme est :

S =1− qn+1

1− q=

1− zn+1

1− z

Cette série se converge si |q| = |z| < 1 dans ce cas on a :

∞

∑n=0

zn =1

1− z(3.17)

Pour les valeurs de z telles que |z| ≥ 1 la série se diverge.



b) Rayon de convergence

Représentons le nombre complexe z par son image le point M (z) dans le plan complexe(fig.2) et étudions la convergence de la série suivant les valeurs de z,c’est-à-dire les positionsde M.

xO

y

M

R

M0

FIG. 3.2 – Domaine de convergence

Pour cette étude le lemme suivant,dû à Abel, nous sera très utile

Lemma 3.28 (Lemme d’ABEL) Si la série converge pour z0, elle est absolument convergente pourtoute valeur de z telle que |z| < |z0|

c’est-à-dire pour tout point M intérieur au disque de centre O et de rayon OM0

DémonstrationSi la série de terme général vn = anzn

0 converge, alors vn →n→∞0 et il en est de même son

module : |vn| = |anzn0 | = |an| |z0|n .

ε étant un nombre positive donné, il existe donc un entier N tel que n > N =⇒|an| |z0|n < ε ( donc |an| <

ε

|z0|n)

Soit un = anzn; nous avons

|un| = |an| |z|n < ε

∣∣∣∣ zz0

∣∣∣∣nLa condition |z| < |z0| entraine

∣∣∣∣ zz0

∣∣∣∣ < 1 et par suite la convergence de la série(

ε∣∣∣ z

z0

∣∣∣n)n∈N

.

Celle de la série (∑ |un|) en résulte d’après le théorème de comparaison. La série (∑ un)elle-même est absolument convergente.

Définition 3.15 On appelle rayon de convergence de la série entière ∑ anzn l’élément de R+

défini parR = sup r ≥ 0 | |anrn| est bornée

Alors R ≥ 0, fini ou infini.



Théorème 3.29 Pour n’importe quelle série entière donnée∞∑

n=0anzn, trois cas possibles :

1. La série se converge ∀ z ∈ C alors le rayon de convergence est R = ∞.

2. La série se converge seulement si z = 0 , le rayon de convergence est R = 0.

3. La série se converge si |z| < R et se diverge pour |z| ≥ R avec 0 < R < ∞.

Exemple 3.29 Considérons la série à termes réelsN∑

n=0(x− 1)n

Elle est convergente si |x− 1| < 1 c’est-à-dire si 0 < x < 2 le rayon de convergence estr = 1

limN→∞

N∑

n=0(x− 1)n =

12− x

avec 0 < x < 2

Sur la figure ci-déssous on représente la fonction f (x) =1

2− xet les polynômes :

P1 (x) = 1+ (x− 1) = xP2 (x) = 1+ (x− 1) + (x− 1)2 = x2 − x+ 1

P5 (x) =5∑

n=0(x− 1)n = x5 − 4x4 + 7x3 − 6x2 + 3x

P8 (x) =8∑

n=0(x− 1)n = 1− 4x+ 16x2 − 34x3 + 46x4 − 40x5 + 22x6 − 7x7 + x8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40

2

4

6

8

10

12

x

y

P1

P2

P5P8f(x)

c) Détermination du rayon de convergence

La détermination du rayon de convergence R de la série entière ∑ anzn ne dépend que ducomportement de la série numérique ∑ |anzn| : R est l’unique réel tel que ∑ |an| rn convergesi 0 < r < R et diverge grossièrement si r > R. On se ramène alors à l’étude de séries àterme réels positifs.

En pratique, on pourra entre autres utiliser :– un équivalent de |an|– la règle de d’Alembert ou celle de Cauchy pour les séries numériques à termes réels

positifs

Théorème 3.30 (Application de la règle de d’Alembert) Soit ∑ anzn une série entière telle que

an 6= 0 à partir d’un certain rang. Si limn→∞

∣∣∣∣ an+1

an

∣∣∣∣ = ` alors le rayon de convergence de cette

série est R =1`

avec les conventions :10= ∞ et

1∞= 0



En effet : Soit un = |anzn| on a :

limn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣ an+1zn+1

anzn

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣ an+1

an

∣∣∣∣ |z| = ` |z|la série converge si ` |z| < 1 donc si |z| < 1

`

Théorème 3.31 (Application de la règle de Cauchy) Soit ∑ anzn une série entière telle quean 6= 0 à partir d’un certain rang. Si lim

n→∞n√|an| = ` alors le rayon de convergence de cette

série est R =1`

avec les conventions :10= ∞ et

1∞= 0

Exemple 3.30 :

– Soit la série entière de terme général un =zn

n∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ zn+1

n+ 1nzn

∣∣∣∣ = nn+ 1

|z|

La série est convergente si limn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ < 1

c’est-à-dire si limn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = limn→∞

nn+ 1

|z| < 1

limn→∞

nn+ 1

= 1 =⇒ La série converge si |z| < 1 par suite R = 1.

– Soit la série entière de terme général un =zn

2n on a donc n

√∣∣∣∣ zn

2n

∣∣∣∣ = ∣∣∣ z2 ∣∣∣La série converge si

∣∣∣ z2

∣∣∣ < 1⇐⇒ |z| < 2 donc R = 2.

d) Opérations sur les séries entières

Soient Sa = ∑ anzn et Sb = ∑ bnzn deux séries entières de rayons de convergence respec-tifs Ra et Rb.

On admet les propriétés suivantes :

1. Si an ∼ bn alors Ra = Rb

2. Si an = λbn ; λ ∈ C alors Ra = Rb

3. Si |an| ≤ |bn| alors Ra ≥ Rb

4. Si an = nbn alors Ra = Rb

5. Soit la série somme :Sa+b = ∑ anzn + ∑ bnzn = ∑ (an + bn) zn son rayon de conver-gence est Rc ≥ inf (Ra, Rb) , si Ra 6= Rb alors Rc = inf (Ra, Rb)

6. La série produit Sab = (Sa) (Sb) = ∑ cnzn avec cn =n∑

k=0akbn−k a un rayon de conver-

gence Rab ≥ inf (Ra, Rb) .

7. Soit ∑ anzn une série entière de rayon de convergence R 6= 0 . Alors∞∑

k=0akzk est une

fonction continue dans le domaine de centre O et de rayon Ra



8. Soit ∑ anxn une série entière réelle de rayon de convergence R 6= 0. Alors pour toutα, β tels que [α, β] ⊂ ]−R, R[ on a

β∫α

(∞

∑n=0

anxn

)dx =

∞

∑n=0

β∫α

anxndx

La série et sa primitive ont le même rayon de convergence.

9. La série S =∞

∑n=0

anzn est indéfiniment dérivable sa dérivée d’ordre p est

S(p) =∞

∑n=0

anzn =∞

∑n=0

(n+ 1) (n+ 2) · · · (n+ k) anzn =∞

∑n=0

(n+ k)!n!

anzn

∞∑

n=0anzn et

∞∑

n=0an+1zn+1 ont le même rayon de convergence.

Exemple 3.31 f (z) =1

1− z= 1+ z+ z2 + · · ·+ zn + · · ·

1

(1− z)2= 1+ 2z+ 3z2 + 4z3 + 5z4 + · · ·+ (n+ 1) zn + · · ·

1

(1− z)3= 1+ 3z+ 6z2 + 10z3 + · · ·+ (n+ 1) (n+ 2)

2zn + · · ·

1(1− z)p = 1+ pz+ · · ·+ (n+ 1) (n+ 2) · · · (n+ p− 1)

(p− 1)!+ · · ·

e) Fonctions développables en série entière

Soit∞

∑n=0

anzn une série entière de domaine de convergence D ; on définit une fonction sur

D en posant :

∀z ∈ D, f (z) =∞

∑n=0

anzn

et on rappelle que, dans le cas où le rayon de convergence R de cette série entière est nonnul, D contient le disque ouvert de centre O et de rayon R

Réciproquement, on s’intéresse ici aux fonctions définies sur un voisinage ouvert de Odans le plan complexe qui peuvent s’écrire comme somme d’une série entière.

Définition 3.16 On dit qu’une fonction f définie sur un disque ouvert D(0; R) de centre O et derayon R > 0 du plan complexe est développable en série entière au voisinage de 0 s’il existe unesérie entière ∑ anzn et un réel r ∈ ]0, R] tels que

∀z ∈ D (0, r) , f (z) =∞

∑n=0

anzn (3.18)

Dans un premier temps, on constate que si une fonction est développable en série entièresur un disque ouvert D(0; r) elle est alors continue sur ce disque. En réalité elle estmême indéfiniment dérivable.



f) Série de Taylor

Les séries de Taylor représentent un des outils de base pour calculer les fonctions à uneou plusieurs variables. Elles permettent de plus de faire l’analyse fine des fonctions.

Définition 3.17 La série de Taylor est une série entière associée à la fonction f (x) indéfinimentdérivable dans un intervalle I telle que le polynôme

P (x) =n

∑k=0

Ak (x− a)k

vérifie la propriété suivante :dmPdxm

∣∣∣∣x=a

=dm fdxm

∣∣∣∣x=a

c’est-à-dire : P (a) = f (a) , P′ (a) = f ′ (a) , P′′ (a) = f ′′ (a) , ...

Le problème donc c’est de trouver les coefficients Ak.Considérons une fonction f (x) dérivable jusqu’à l’ordre (n+ 1) dans un intervalle I.Soit à chercher un polynôme P (x) de degré n tel que au point a ∈ I on a P (a) = f (a),

P′ (a) = f ′ (a) , P′′ (a) = f ′′ (a) etc.

Soit P (x) =n∑

k=0Ak (x− a)k = A0 + A1 (x− a) + A2 (x− a)2 + ...+ An (x− a)n .

Calculons les dérivées, jusqu’à l’ordre n de P (x) :

P′ (x) = A1 + 2A2 (x− a) + 3A3 (x− a)2 + ...+ nAn (x− a)n−1

P′′ (x) = 2A2 + 2.3A3 (x− a) + ...+ n (n− 1) An (x− a)n−2

P′′′(x) = 2.3A3 + 2.3.4A4 (x− a) ...+ n (n− 1) (n− 2) An (x− a)n−3

...P(n) (x) = n (n− 1) (n− 2) (n− 3) · · · 2.1.An

Pour x = a on aura :f (a) = P (a) = A0 = A0 =⇒ A0 = f (a)

f ′ (a) = P′ (a) = A1 = 1!A1 =⇒ A1 =f ′ (a)

1!

f ′′ (a) = P′′ (a) = 2A2 = 2!A2 =⇒ A2 =f ′′ (a)

2!...

f (n) (a) = P(n) (a) = n (n− 1) (n− 2) · · · 2.1.An = (n!) An =⇒ An =f (n) (a)

n!Alors :

P (x) = f (a) +f ′ (a)

1!(x− a) +

f ′′ (a)2!

(x− a)2 + · · ·+ f (n)

n!(x− a)n (3.19)

Théorème 3.32 Le développement de la fonction f (x) en série entière de Taylor, s’il existe, estunique. Ses coefficients sont déterminés par la relation

an =f (n) (a)

n!



La série de Taylor est une représentation approximative de la fonction f (x) , par suite ilexiste une certaine erreur lors de cette approximation.

Soit Rn (x) la différence entre P (x) et f (x) alors :

f (x) = P (x) + Rn (x) (3.20)

Le reste Rn (x) est une quantité infiniment petite et elle est égale à

Rn (x) =(x− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1) [a+ θ (x− a)] (3.21)

où 0 < θ < 1 .D’où la formule de Taylor (avec ε = a+ θ (x− a))

P (x) = f (a) +f ′ (a)

1!(x− a) + · · ·+ f (n) (a)

n!(x− a)n +

(x− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1) [ε] (3.22)

Exemple 3.32 Chechons la série de Taylor au voisinage de x = 1 de la fonction f (x) = ln x

Solution : On fait calculer les dérivées de f (x) jusqu’à l’ordre k au point x = 1

f ′ (x) =1x

f ′′ (x) = − 1x2 f ′′′ (x) =

2x3 f (4) (x) = −3.2

x4 = −3!x4

La dérivée d’ordre k est :

f (k) (x) =(−1)k+1 (k− 1)!

xk

alors quef (k) (1) = (−1)k+1 (k− 1)! ; k ≥ 1

avec f (1) = 0, la série de Taylor associée s’écrit :

Pn (x) =n

∑k=1

f (k) (1)k!

(x− 1)k =n

∑k=1

(−1)k+1 (k− 1)!k!

(x− 1)k

ou bien :

Pn (x) =n

∑k=1

(−1)k+1

k(x− 1)k

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.00.0

0.5

1.0

x

y P1f(x)

P4

graphe de ln x et P1 (x) et P4 (x)



g) Série de Maclaurin

C’est un cas particulier de série de Taylor, pour la quelle on choisit a = 0.

P (x) = f (0) +f ′ (0)

1!x+

f ′′ (0)2!

x2 · · ·+ f (n) (0)n!

xn +xn+1

(n+ 1)!f (n+1) [θx] (3.23)

Exemples du développement en série de Maclaurinde quelque fonctions usuelles :

1. sin (x) = ∑n≥0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!= x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · · (∀x ∈ R)

2. cos (x) = ∑n≥0

(−1)n x2n

(2n)!= 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · · (∀x ∈ R)

3. exp (x) = ∑n≥0

xn

n!= 1+ x+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ · · · (∀x ∈ R)

4. ln (1+ x) = ∑n≥1

(−1)n+1 xn

n= x− x2

2+

x3

3− x4

4+ · · · (|x| < 1)

5. sinh (x) = ∑n≥0

x2n+1

(2n+ 1)!= x+

x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+ · · · (∀x ∈ R)

6. cosh (x) = ∑n≥0

x2n

(2n)!= 1+

x2

2!+

x4

4!+

x6

6!+ · · · (∀x ∈ R)

7. (1+ x)m = 1 + mx +m (m− 1)

2!x2 + · · · + m (m− 1) · · · (m− n+ 1)

n!xn

(|x| < 1, m /∈N)

8. arctan x = ∑n≥0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)= x− 1

3x3 +

15

x5 − 17

x7 +19

x9 + · · ·

9.1

1− x=

∞∑

n=0xn = 1+ x+ x2 + x3 + · · · (|x| < 1)

10.1√

1+ x= 1− x

2+

(12

.32

)x2

2!+

(−1

2.32

.52

)x3

3!+ ..

On peut déduire des autres développement, à partir de ces séries par dérivation ou parintégration.

Remarque

h) Calcul numérique d’intégrales

Soit f une fonction développable en série entière

f (x) =∞

∑n=0

anxn

∀x ∈ ]−R, R[ .



Soient α et β deux réels tels que −R < α < β < R.D’après les théorèmes de continuité des séries (7.20) et de primitive (7.22) on a :

β∫α

f (x) dx =

β∫α

(∞

∑n=0

anxn

)dx =

∞

∑n=0

β∫α

anxndx

=∞

∑n=0

anxn+1

n+ 1

∣∣∣∣βα

Alorsβ∫

α

f (x) dx =∞

∑n=0

an

n+ 1

(βn+1 − αn+1

)(3.24)

Exemple 3.33 Appliquons ce résultat pour calculer une approximation à 0.01 près l’intégrale :

I =π∫

0

sin xx

dx

On a :

sin x = ∑n≥0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!(∀x ∈ R)

alorssin x

x= ∑

n≥0(−1)n x2n

(2n+ 1)!

Donc I = ∑n≥0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1

2n+ 1

∣∣∣∣π0= ∑

n≥0

(−1)n

(2n+ 1)!π2n+1

2n+ 1

Soit Sn =n

∑k=0

(−1)k

(2k+ 1)!π2k+1

2k+ 1Nous avons, d’après le théorème des séries alternées :

|I − Sn| ≤1

(2n+ 3)!π2n+3

2n+ 3

Pour avoir la précision demandée il suffit de choisir n tel que1

(2n+ 3)!π2n+3

2n+ 3≤ 1

100

on trouve n = 3 carπ9

9!× 9= 9. 127 3× 10−3

Donc S3 − 9. 127 3× 10−3 ≤ I ≤ S3 + 9. 127 3× 10−3 comme

S3 =3

∑k=0

(−1)k

(2k+ 1)!π2k+1

2k+ 1= π − 1

18π3 +

1600

π5 − 135 280

π7 = 1. 843 4

on a 1. 843 4 ≤ I ≤ 1. 8523

On obtient ainsi I = 1.85 avec une erreur inférieure à 0.01.

3.4 Application : les équations différentielles

3.4.1 Généralité

Dans les cours de calcul différentiel et intégral nous avons vu des équations différen-tielles à variables séparables, homogènes, linéaires du premier et du second ordre, de Ber-



noulli, etc. pouvaient être résolues par des méthodes analytiques conduisent à des solutionss’exprimant par un nombre fini des fonctions élémentaires telles que les fonctions poly-nômes, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques.

Cependant en mathématiques appliquées, en sciences physiques et en génie, il y en ades équations différentielles, en particulier ceux à coefficients variables, les méthodes clas-siques d’intégration nous ne permettent pas de déterminer la solution exacte sous forme defonctions élémentaires

Mais, il est possible de trouver des solutions en termes de séries.Par exemple, l’équation différentielle de Bessel

x2 d2ydx2 + x

dydx+(x2 − ν2) y = 0

où ν est un nombre quelconque réel ou complexe.

L’équation différentielle de Bessel trouve de nombreuses applications en physique, enparticulier la conduction de chaleur dans un objet cylindrique, la vibration d’une membranecirculaire, la propagation des ondes électromagnétiques dans un guide d’onde cylindrique.L’équation de Bessel ne peut être résolu exactement en termes de fonctions élémentaires,elle peut être résolu en utilisant des séries, qui ont d’abord été définie par Daniel Bernoulli,puis généralisée par Friedrich Bessel et sont connus comme les fonctions de Bessel.

Cette méthode conduit généralement à des solutions qui ne sont pas égales à des fonc-tions élémentaires

La somme d’un nombre fini de termes de cette série est approximativement égale à lasolution particulière cherchée.

a) Point régulier et point singulier

Définition 3.18 Une fonction f (x) est dite analytique au point x0si on peut l’exprimer par undéveloppement en série de puissances au voisinage de ce point c’est-à-dire s’il existe une suite antelle que

f (x) =∞

∑n=0

an (x− x0)n

la série se converge pour |x− x0| < R avec R = limn→+∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣Définition 3.19 Soit l’équation différentielle

Pn (x) y(n) + · · ·+ P1 (x) y′ + P0 (x) y = Q (x)

Si les fonctions Pk (x) /k = 0, · · · , n et Q (x) sont analytiques au point x0 alors x0 est dit pointordinaire (ou régulier), si non x0 est un singulier.

Théorème 3.33 Une équation différentielle

Pn (x) y(n) + · · ·+ P1 (x) y′ + P0 (x) y = Q (x)



dont les coefficients Pk (x) sont analytiques en point x0 admet une solution unique sous la forme∞∑

n=0an (x− x0)

n analytique au point x0 et vérifie les conditions initiales y(k−1) (x0) = Ak−1.

Les coefficients an sont donnés par

an =1n!

f (n) (x0)

Si x0 = 0 alors la solution à chercher au voisinage de 0 est sous la forme

f (x) =∞

∑n=0

anxn (3.25)

L’indice de sommation k, p ou n dans les séries infinies n’est qu’une commodité denotation, pour signifier à nous même, qu’il doit seulement prendre des valeurs entières.Le choix de la lettre alphabétique n’a aucune conséquence sur l’issue de la somme.Aussi, il ne faut pas hésiter à changer le point de départ de l’indice en le renommants’il le faut, afin de démarrer le nouvel indice de sommation à partir de zéro ou de un.Ou encore lui donner une autre lettre afin de ne pas mêler deux indices qui varientindépendamment. Voyons cela avec quelques illustrations :

∞

∑n=1

an (x− x0)n =

∞

∑k=0

ak+1 (x− x0)k+1

∞

∑n=2

(n+ 2) (n+ 1) an (x− x0)n−2 =

∞

∑k=0(k+ 4) (k+ 3) ak+2 (x− x0)

k

Remarque

3.4.2 Méthode générale en un point régulier

Soit à chercher une solution particulière de l’équation différentielle du second ordre :

y′′ = F(x, y, y′

)

avec y = f (x) et les conditions initiales : y0 = f (x0) et y′0 = f ′ (x0) .Supposons que la solution y = f (x) existe et qu’elle admet un développement en série

de Taylor au voisinage de x0, donc :

y = f (x) = f (x0) + f ′ (x0)x− x0

1!+ f ′′ (x0)

(x− x0)2

2!+ · · ·

Il faut trouver f (x0) , f ′ (x0) , f ′′ (x0) , ...Il résulte des conditions initiales

f (x0) = y0 et f ′ (x0) = y′0



Par suite :f ′′ (x0) = y′′0 = F

(x0, y0, y′0

)Dérivant les deux membres de l’équation (11.20) par rapport à x :

y′′′ = F′x(x, y, y′

)+ y′F′y

(x, y, y′

)+ y′′F′y′

(x, y, y′

)=⇒ f ′′′ (x0) = y′′′0

Dérivons la dernière relation on touve y(4)0 = f (4) (x0) et ainsi de suite.

Exemple 3.34 Déterminons la solution de l’équation : y′′ = −yx2 satisfaisant aux conditionsinitiales y (0) = 1 et y′ (0) = 0

Solution : On a : y (0) = 1 et y′ (0) = 0 et on déduit de l’équation donnée :

y′′ (0) = −y (0) .0 = 1.0 = 0

Les dérivées de l’équation différentielle nous donne :y′′′ = −y′x2 − 2xy =⇒ y′′′ (0) = 0y(4) = −y′′x2 − 4xy′ − 2y =⇒ y(4) (0) = −2y(5) = −y′′′x2 − 6xy′′ − 6y′ =⇒ y(5) (0) = 0y(n) = −y(n−2)x2 − 2 (n− 2) xy(n−3) − (n− 2) (n− 3) y(n−4)

=⇒ y(n) (0) = − (n− 2) (n− 3) y(n−4) (0)D’où :y(4) (0) = − (4− 2) (4− 3) y (0) = −2.1.1 = 1y(5) (0) = − (5− 2) (5− 3) y′ (0) = −3.2.0 = 0y(6) (0) = − (6− 2) (6− 3) y′′ (0) = −4.3.0 = 0y(8) (0) = − (8− 2) (8− 3) y(4) (0) = −6.5. (−2) = 60...y(4k) = (−1)k (1.2) (5.6) (9.10) .... (4k− 2) (4k− 3)

y(4k+1) (0) = y(4k+2) (0) = y(4k+3) (0) = 0

Substituant les valeurs trouvées dans la série de Maclaurin, on obtient :

y (x) = 1− 2x4

4!+ 60

x8

8!− 5400

x12

12!+ · · ·

a) Cas d’une équation linéaire

Lorsque l’équation est linéaire, on cherche la solution sous la forme :∞∑

n=0anxn et on dé-

termine les coefficients inconnus an par identification des coefficients de même puissance dex.

La méthode consiste à faire : (x0 = 0)

1. Poser y =∞

∑n=0

anxn

2. Chercher une relation de récurence vérifiée par la suit an

3. Résoudre cette relation de récurence

4. Remplacer an dans l’expression de y et déterminer le rayon de convergence

5. Exprimer, quand-il est possible, la solution y (x) à l’aide de fonctions usuelles



Exemple 3.35 y′ − y = 0 avec la condition y (0) = kLes coefficients sont respectivement 1 et−1 deux fonctions constantes alors analytiques ∀x ∈

R et en particulier en x0 = 0.

On propose,donc, la solution sous la forme y =∞

∑n=0

anxn

y′ =dydx=

ddx

(∞

∑n=0

anxn

)=

∞

∑n=1

nanxn−1

on a y′ − y = 0 alors∞

∑n=1

nanxn−1 −∞

∑n=0

anxn = 0⇐⇒∞

∑n=1

nanxn−1 =∞

∑n=0

anxn

ou bien avec a0 = y (0) = ka1 + 2a2x+ 3a3x2 + 4a4x3 · · · = k+ a1x+ a2x2 + a3x3 + · · ·En identifaints les coefficients de xn on trouve :a0 = k ⇐⇒ a0 = k

a1 = k ⇐⇒ a1 =k1!

2a2 = a1 ⇐⇒ a2 =a1

2=

k2!

3a3 = a2 ⇐⇒ a3 =a2

3=

k2!× 3

=k3!

· · ·

d’où :an =

kn!

La solution s’écrit :

y (x) =∞

∑n=0

kn!

xn

connaissant le développement de ex au voisinage de x0 = 0 on trouve la solution sous la forme :

y (x) = kex

Exemple 3.36 Trouver la solution de l’équation différentielle :

y′′ = 2xy′ + 4y

vérifiant les conditions initiales : y (0) = 0 et y′ (0) = 1SolutionPosons : y = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + a4x4 + · · ·+ anxn + · · ·=⇒ y′ = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + 4a4x3 · · ·+ nanxn−1 + · · ·

En tenant compte les conditions initiales, on trouve :a0 = y (0) = 0 et a1 = y′ (0) = 1.=⇒ y = x+ a2x2 + a3x3 + a4x4 + · · ·+ anxn + · · ·et y′ = 1+ 2a2x+ 3a3x2 + 4a4x3 · · ·+ nanxn−1 + · · ·=⇒ y′′ = 2a2 + 3.2a3x+ 4.3a4x2 + · · ·+ n (n− 1) anxn−2 + · · ·Substituant dans l’équation différentielle :2a2 + 3.2a3x+ 4.3a4x2 + · · ·+ n (n− 1) anxn−2 + · · ·= 2x

(1+ 2a2x+ 3a3x2 + · · ·+ nanxn−1)+ 4

(x+ a2x2 + a3x3 + · · ·+ anxn)

=⇒ 2a2 + 3.2a3x+ · · ·+ n (n− 1) anxn−2 = 6x+ 8a2x2 + · · ·+ (2n+ 4) anxn



d’où :

2a2 = 0 =⇒ a2 = 0 ; 3.2a3 = 6 =⇒ a3 = 1 ; 12a4 = 8a2 =⇒ a4 = 0...n (n− 1) an = 2 (n− 2) an−2 + 4an−2 =⇒ an =

2an−2

n− 1Par conséquent :

a5 =2a3

4=

12=

12!

a6 =2a4

5= 0

a7 =2a5

6=

13

.12!=

13!

a8 =2a6

7= 0

a2k+1 =1k!

; a2k = 0

La solution s’écrit :

y (x) =∞

∑k=0

x2k+1

k!

convergente ∀x ∈ R.

Or, et =∞

∑k=0

tk

k!

La série y (x) s’écrit : y (x) = x∞

∑k=0

x2k

k!= x

∞

∑k=0

(x2)k

k!soit

y (x) = x exp(x2)

cette solution est une solution particulière développables en série entière

Exemple 3.37 Considérons l’équation différentielle

xy′′ + 2y′ − xy = 0 (E)

Cherchons des solutions y développables en série entière de la forme y = ∑n≥0

anxn

y′ = ∑n≥1

nanxn−1 et y′′ = ∑n≥2

n (n− 1) anxn−2

xy′′ + 2y′ − xy = x ∑n≥2

n (n− 1) anxn−2 + 2 ∑n≥1

nanxn−1 − x ∑n≥0

anxn = 0

ou bien : ∑n≥2

n (n− 1) anxn−1 + 2 ∑n≥1

nanxn−1 − ∑n≥0

anxn+1 = 0

Soit : ∑n≥2

n (n− 1) anxn−1 + 2a1 + 2 ∑n≥2

nanxn−1 = ∑n≥0

anxn+1

⇐⇒ ∑n≥2

(n (n− 1) + 2n) anxn−1 + 2a1 = ∑n≥0

anxn+1

Par identification on trouve

a1 = 0 , a0 quelconque etan =

an−2

n (n+ 1)

comme a1 = 0 alors a3 =a1

3 (4)= 0 et de même on trouve ∀n : a2n+1 = 0

a2 =a0

2 (3)=

a0

3!



a4 =a2

4 (5)=

a0

3!× 4× 5=

a0

5!

d’où :a2n =

a0

(2n+ 1)!

En reportant dans l’expression de y on obtient

y (x) =∞

∑n=0

a0x2n

(2n+ 1)!

Le rayon de convergence de cette série est +∞

Pour x 6= 0 on a :

y (x) =a0

x

∞

∑n=0

x2n+1

(2n+ 1)!= a0

sinh xx

on a limx→0

sinh xx

= 1 soit

y (x) =

a0sinh x

xsi x 6= 0

a0 si x = 0

Mais l’ensemble des solutions d’une équation différentielle est un espace vectoriel de dimension 2.Ici on trouver une seule solution développable en série entière. Ceci entraine que l’autre solutionn’est pas développable en série entière. Pour trouver l’autre solution on applique la méthodede variation de la constante qui consiste à chercher les solution de (E) sous la forme y (x) =a (x) y1 (x). avec

y1 (x) =

sinh xx

si x 6= 0

1 si x = 0

En utilisant l’expression de y dans (E)) on obtient

y (x) = −Acosh x

x+ a0

sinh xx

C’est la solution générale de l’équation E.

3.5 Exercices

Exercice 3.1 On considère la série géométrique définie par le terme général un = xn pour tout

entier n ≥ 0 avec x un nombre réel ou complexe .On désigne par Sn =n∑

k=0xk la somme parielle

de n premiers termes.

1. Calculer (1− x) Sn et déduir la somme Sn

2. Etudier la convergence de cette série suivant les valeurs de x (x > 1, x = 1et x < 1)

Exercice 3.2 Soit x un nombre réel et soit P (X) = aX2 + bX + c un polynôme à coéfficientsréels.

1. Démontrer que la série∞∑

n=0

xn

n!est convergente



2. Montrer que la série de terme généraleP (n)

n!xn est convergente et calculer sa somme.

Exercice 3.3 En utilisant le développement en série calculer :

1)1∫

0

sin xx

dx 2)1∫

0

exp(−x2) dx 3)

1∫0

ln (1+ x)x

dx 4)1∫

0

sin(x2) dx

5)x∫

0

cos xx

dx 6)x∫

0

11+ x2 dx 7)

x∫0

11+ x4 dx 8)

x∫0

ln (1+ x)x

dx

Exercice 3.4 Trouver les solutions, sous forme d’une série, des équations différentielles suivantesvérifiants les conditions initiales indiquées :

1. y′′ = xy y (0) = 1 et y′ (0) = 0

2. y′′ + xy′ + y = 0 y (0) = 0 et y′ (0) = 1

3.(1+ x2) y′′ + 2xy′ = 0 y (0) = 0 et y′ (0) = 1

4. y′′ = xyy′ y (0) = 1 et y′ (0) = 1

5. y′′ + y = 0 Chercher une solution générale

Exercice 3.5 On considère l’équation différentielle

4xy′′ + 2y′ − y = 0

1. Déterminer une solution y (x) développable en série entière.

2. Exprimer y (x) à l’aide des fonctions usuelles pour x > 0 et x < 0

Exercice 3.6 Soit l’équation différentielle :

xy′′ + 2y′ +ω2xy = 0 (E)

où ω est une constante donnée

1. En utilisant le chagement de variabel : z = xy,montrer que (E) s’exprime :

z′′ +ω2z = 0 (E’)

2. Trouver une série entière dont la somme z (x) soit solution de (E′) ,telle que : z (0) = 0 etz′ (0) = A

3. Exprimer z (x) à l’aide de fonctions élémentaires

4. Déduire la solution de (E) .



Exercice 3.7 On considère l’équation différentielle suivante :

x2y′′ + 4xy′ +(2− x2) y = 1 (E)

1. Déterminer une solution y (x)de (E) développable en série entière.

2. Préciser son rayon de convergence R

3. Exprimer y (x) avec les fonctions usuelles.


CHAPITRE 4

REPRÉSENTATION VECTORIELLE DESIGNAUX

La théorie du signal est un chapitre de la théorie de la communication. La communica-tion est la transmission de messages d’information. Elle met en relation orientée à traversun canal, un système de départ (source ou émetteur de messages) et un système d’arrivée(destinataire ou récepteur des messages).

Ce qui est communiqué est une information - au sens le plus large - qui modifie l’étatou l’évolution du destinataire. Celui-ci apprend ”quelque chose ” qu’il ne savait pas, si nonla communication perd son objet. Le message est l’expression de cette information dans unlangage intelligible par le destinataire.

En fait, il n’y a pas lieu de distinguer entre information et message, car, même concep-tuelle, l’information utilise déjà un langage. Celui-ci est un codage au sens large. La trans-cription codée, au sens technique du mot (Morse, binaire...), conserve le message. Aussienvisage-t-on plus simplement le message par son expression : succession de lettres (texte)ou de signes conventionnels d’un code. Ce peut être aussi une fonction sur un ensemblecontinu (parole, image...).

La théorie de l’information est l’étude statistique des messages. Elle mesure des quantités,des débits, des pertes, etc. d’information. Le signal est le moyen qui rend la communicationtechniquement possible. C’est d’abord une grandeur de nature physique quelconque (acous-tique, optique, électrique...) et généralement variable, par exemple au cours du temps. Elleest le revêtement physique des messages. Ainsi, en télégraphie, le message est constitué parun texte en clair ou chiffré, puis codé en Morse, par exemple, et le signal par une tension surune ligne ou par une onde hertzienne modulée. Dans le cas de la commande d’une machine(machine-outil, ordinateur...), le message est le programme d’instructions codées sur cartesou rubans perforés, aujourd’hui surtout sur disques, et le signal est un signal électrique par”tout ou rien ”.

La théorie du signal fait une abstraction de la nature physique des grandeurs. Elle consistedans l’étude des modèles mathématiques qui représentent le plus commodément le signalet rendent compte de sa transformation par les systèmes de transmission. Le rôle des élec-troniciens dans son développement s’explique par la double raison suivante : d’une part,l’électronique a apporté son extraordinaire souplesse dans ce qu’on appelle le traitementdu signal et, d’autre part, le signal est la raison d’être de cette discipline. En effet, les com-posants, les circuits, les systèmes de l’électronique ne sont étudiés que pour aboutir à lafabrication de signaux de communication.

Le signal ne peut être étudié qu’en relation avec les systèmes qui le transmettent. Ceux-ciinterviennent de deux façons : ils permettent de ”traiter ” le signal (amplificateurs, modula-teurs, détecteurs, etc.), ou bien ils apportent une détérioration indésirable (bande passanteinsuffisante, bruit).


4.1 Classification des signaux

Il y a diverses manières de classer les signaux temporels :F Selon le rôle du hasard dans leur détermination, on distingue entre signaux certains

(ou déterministe ) et signaux aléatoires. La situation la plus courante est celle du si-gnal déterministe, porteur de l’information, corrompu par un ”bruit ” de nature aléa-toire. Toutefois, celui-ci peut être un parasite certain, la fréquence du secteur, ou unbrouillage, par exemple. A l’inverse, l’information utile peut être portée par un signalaléatoire. C’est le cas de la radioastronomie, où l’on reçoit du ”bruit dans du bruit ”.F Si la variation du temps est continue le signal est représenté par une fonction f défi-

nie sur un intervalle I, chacun des points de cet intervalle représente un instant où lesignal est défini, sa valeur à l’instant t est f (t) pour tout t de I.Si la variation du temps est discontinue en ne prenant qu’une suite de valeurs t1, t2,tn le signal est représenté par la suite de ses valeurs aux différents instants tn la valeurà l’instant tn est notée f (n). Le plus souvent les instants tn sont équidistants et pourde nombreuses opérations de traitement de signal on n’a pas besoin de préciser l’écartentre les instants, on ne considère alors que la suite f (n), n ∈ N ou n ∈ Z. En généralf (t) et f (n) sont des réels, mais les physiciens trouvent souvent commode d’utiliserdes signaux à valeur complexe. Lorsque t varie continuement le signal f est qualifiéd’analogique, lorsqu’il varie discontinuement il est qualifié de numérique.F Une troisième classification des signaux est basée sur leur énergie. L’information que

transmet un signal est portée par son énergie, les appareils de mesure et de détectionne prennent en compte que des signaux qui transporter de l’énergie.

4.1.1 Energie et puissance

En électricité, on définit la puissance instantanée, p(t), dans un dipôle, comme le produitde la tension v(t) par le courant i(t) circulant dans le dipôle :

p (t) = v (t) i (t) (4.1)

Si le dipôle est une simple résistance R, à chaque instant t on a v (t) = Ri (t), d’oùl’expression

p (t) = Ri2 (t) =v2 (t)

R

L’énergie dissipée dans le dipôle entre deux instants t1 et t2 vaut alors

E =t2∫

t1

p (t) dt = Rt2∫

t1

i2 (t) dt =1R

t2∫t1

v2 (t) dt (4.2)

et la puissance moyenne sur l’intervalle est égale à

P =E

t2 − t1=

1t2 − t1

t2∫t1

p (t) dt (4.3)



Définition 4.1 (Energie et puissance moyenne sur un intervalle) Soit un signal analogique réelcaractérisé par la fonction réelle f (t) sur l’intervalle I = [t1, t2], on appelle énergie (normalisée)ou puissance moyenne (normalisée) d’un signal sur I les grandeurs suivantes

E f =

t2∫t1

| f (t)|2 dt (4.4)

et

Pf =1

t2 − t1

t2∫t1

| f (t)|2 dt (4.5)

Pour un signal numérique, l’énergie dissipée entre les instants n1 et n2 est

E f =n2

∑n1

| f (p)|2 (4.6)

et la puissance dissipée entre les instants n1 et n2 :

P =1

n2 − n1

n2

∑n1

| f (p)|2 (4.7)

Remarque

Dans la définition précédente, l’adjectif normalisé est précisé pour souligner que l’éner-gie ou la puissance sont définies à un facteur près qui dépend de la nature du signal (courantou tension, dans le cas d’un signal électrique).

4.2 Notion de limite

Nous venons d’indiquer qu’un signal est la superposition de signaux sinusoïdaux, nousapprendrons par exemple que dans certaines conditions f (t) est la somme d’une suite infiniede signaux de la forme cp exp(jωpt) avec p ∈ Z . Soit :

fn =n

∑−n

cp exp(

jωpt)

un signal dont la limite lorsque n tend vers l’infini est f , ce qu’on exprime aussi ainsi : lasuite fn, est une suite de signaux qui approximent d’autant mieux f que n est grand ce quipermet de reconstituer f avec une précision fixée à condition de choisir n assez grand. Pourl’instant la signification de ces différentes phrases n’est pas bien définie : elles reviennent àdire que le signal ( fn − f ) peut être rendu aussi petit qu’on veut en faisant croître n maiscomme ( fn − f ) n’est pas un nombre on ne sait pas ce que veut dire ” fn − f est petit”.Suivant le point de vue qu’on adopte, l’appareil de mesure qu’on utilise on obtient diversdéfinitions.1

1D’après :Hervé Reinhard, Eléments de mathémtiques du signal, Dunod, 1995



4.2.1 Convergence ponctuelle

Définition 4.2 Soit I un intervalle de R, fn (t) , (n ∈N) une suite de fonctions définies sur Iet f (t) une fonction également définie sur I. La suite fn converge vers f ponctuellement sur Ilorsque n tend vers l’infini si pour tout t de I la suite de réels fn(t) converge vers f (t). On utiliseaussi l’expression suivante : fn converge simplement vers f au lieu de fn converge ponctuellementvers f .

Exemple 4.1 Soit fn(t) = n(t− 1)e−n|t−1| une suite de fonctions définie ∀t ∈ R.Fixons t :Si t 6= 1 alors (−n |t− 1|) a pour limite −∞ Si n tend vers +∞, et n(t− 1)e−n|t−1| a pour

limite 0 d’après les théorèmes de croissance comparées :Si t 6= 1 =⇒ fn(t) →n→∞

0

Si t = 1 alors fn(t) = 0 pour tout n donc Ainsi pour tout t : fn converge ponctuellementsur R vers 0.

Exemple 4.2 Soit fn(t) = sin(t+1n) une suite de fonctions définie pour t ∈ R.

Fixons t, (t + 1/n) a pour limite t quand n tend vers +∞, comme la fonction sinus estcontinue, sin(t+ 1/n) a pour limite sin t.

Ainsi : fn converge ponctuellement sur R vers la fonction sin t.

4.2.2 Convergence uniforme

Soit I un intervalle de R et fn, (n ∈N) une suite de fonctions définies sur I et f unefonction également définie sur I. Soit mn = sup | fn(t)− f (t)| ;

Définition 4.3 On dit que la suite fn converge vers f uniformément sur I lorsque n tend versl’origine si la suite de réels mn a pour limite zéro. On dit aussi que f est la limite uniforme de lasuite fn sur I.

Par définition de la limite d’une suite de réels cela peut s’écrire ainsi :

∀ε > 0, ∃N > 0 telque ∀n ≥ N, ∀t ∈ I, sup | fn(t)− f (t)| ≤ ε (4.8)

ou

∀ε > 0, ∃N > 0 telque ∀n ≥ N, mn ≤ ε (4.9)

Il faut bien noter que pour ε fixé on peut rendre | fn(t)− f (t)| ≤ ε pour toutes les valeurs tde I dès que n ≥ N(t) alors que pour une limite ponctuelle on peut rendre | fn(t)− f (t)| ≤ εdès que n ≥ N(t), l’indice N dépend de t et il n’est pas toujours possible de trouver unentier N tel que | fn(t)− f (t)| ≤ ε pour tous les t dès que n ≤ N .

La relation | fn(t)− f (t)| ≤ ε s’écrit aussi f (t) − ε ≤ fn(t) ≤ f (t) + ε, donc s’il y aconvergence uniforme sur I, la courbe représentative de fn est dans la bande délimitée pourcelles de f (t)− ε et f (t)− ε dès que n ≥ N .



Le mot uniforme signifie que :la valeur de N à partir de laquelle la quantité | fn(t)− f (t)| ≤ ε ne dépend pas de tmais est identique pour tous les t de I.

Si fn converge vers f uniformément sur I alors fn converge vers f sur I mais que laréciproque est fausse.

Exemple 4.3 Nous avons démontré que la suite de fonctions fn(t) = sin(t+ 1n ) converge ponc-

tuellement vers sin t sur R ;

fn(t)− f (t) = sin(t+1n)− sin t = 2 sin

12n

cos(

t+1

2n

)alors

| fn(t)− f (t)| = 2∣∣∣∣sin

12n

cos(

t+1

2n

)∣∣∣∣ ≤ 2∣∣∣∣sin

12n

∣∣∣∣et comme |sin x| < x pour tout x on a

| fn(t)− f (t)| ≤ 21

2n=

1n

donc mn ≤1n

et mn a pour limite 0 de sorte que fn converge vers sin t uniformément sur R

lorsque n tend vers +∞.

On remarquera qu’on a pas calculé explicitement mn puisque la majoration mn ≤1n

suffitpour conclure.

Le théorème suivant exprime une des propriétés importantes des suites de fonctions quiconvergent uniformément.

Théorème 4.1 Soit fn, n ∈N une suite de fonctions qui converge uniformément sur un inter-valle I vers une fonction f . On suppose que chacune des fonctions fn, n ∈ N est continue surI, alors leur limite f est aussi continue sur I.

Ce théorème permet d’affirmer qu’une suite de fonctions continues qui converge ponc-tuellement vers une fonction discontinue sur un intervalle I ne converge certainement pasuniformément car la limite serait continue.

On notera toutefois que ce théorème n’exprime pas une condition nécessaire et suffi-sante pour que la limite d’une suite de fonctions soit continue, en d’autres termes on remar-quera qu’il existe des suites de fonctions continues qui convergent ponctuellement vers unefonction continue bien que cette convergence ne soit pas uniforme : c’est le cas de la suiten (t− 1) exp (|t− 1|) dont la limite est 0 mais la convergence n’est pas uniforme.

Exemple 4.4 Posons fn(u) = u arctan[nu− 1

2n

]ln(1+ n2u2), on vérifie très facilement que

la suite fn, n ∈ N converge ponctuellement sur R lorsque n tend vers +∞ vers la fonction fdéfinie par

f (u) =

π

2u si u ≥ 0

−π

2u si u < 0



Cette fonction qui est égale àπ

2|u| n’est pas dérivable, pourtant la suite des dérivées f ′(u) =

arctan (nu) est une suite convergente.

Lorsque la suite des dérivées converge uniformément on a par contre une limite déri-vable comme l’énonce le théorème suivant.

Théorème 4.2 Soit fn, n ∈ N une suite de fonctions qui converge vers une fonction f ponc-tuellement sur un intervalle I. On suppose que chacune de ces fonctions est dérivable et que lasuite f ′n, n ∈ N des dérivées converge vers une fonction g uniformément sur I ; alors la limite fest dérivable et f ′ = g.

Si dans le théorème 5 on suppose seulement que fn est continue pour tout n supérieurà un entier donné N0, la limite f est continue pour vu que la convergence de fn vers fsoit uniforme. De la même façon pour le théorème 6 il suffit de supposer fn dérivablepour tout n supérieur à un entier donné pour que la limite f soit dérivable pour vuque la convergence de fn vers f soit uniforme. La convergence uniforme d’une suite fnpermet aussi de démontrer la convergence des primitives.

Remarque

Théorème 4.3 Soit fn, n ∈N une suite de fonctions qui converge uniformément sur un inter-

valle I vers une fonction f et soit a un point de I pour tout x ∈ I , alors la suitex∫a

fn(t)dt a pour

limitex∫a

f (t)dt et la convergence est uniforme sur tout segment de I.

4.2.3 Convergence au sens de l’énergie

Soit fn , n ∈ N une suite des signaux définis sur un intervalle I et f un autre signalégalement défini sur I. Pour comparer fn et f on peut former ( fn − f ) et mesurer l’énergiede ce signal. Cela conduit à la définition suivantes :

Définition 4.4 Soit fn , n ∈N une suite des signaux dont l’énergie dissipée sur l’intervalle I estfinie . Soit f un autre signal ayant la même propriété, notons I = [T1, T2]. On dit que la suite fn

converge vers f au sens de l’énergie sur I siT2∫

T1

| fn(t)− f (t)|2 dt a pour limite zéro si n tend vers

l’infini.

Exemple 4.5 Considérons la suite fn = sin(t + 1n ) définies sur I = [0, 1] , montrons qu’elle

converge au sens de l’énergie vers f (t) = sin t .

1∫0

|sin(t+ 1/n)− sin t|2 dt = 41∫

0

sin2(1

2n) cos2

(t+

12n

)dt



cette quantité est majorée par 4 sin2(1/2n) puisque1∫

0

cos2(

t+1

2n

)dt ≤ 1. Or la limite

quand n tend vers l’infini de sin2(1/2n) est zéro donc

1∫0

|sin(t+ 1/n)− sin t|2 dt →n→∞

0.

4.3 Espace de signaux

4.3.1 Ensembles négligeables

Les segments sont des parties de R dont on ne peut facilement évaluer la taille : nousappellerons naturellement mesure de [a, b] la longueur de ce segment ce qui nous écrironsm[a, b] = b− a.

Définition 4.5 Un sous ensemble A de R est dit négligeable ou de mesure nulle si pour toutε > 0 il existe une suite In , n ∈N de segments tels que : A ⊂⋃

nInet ∀p ∈N on a

p

∑k=1

m(Ik) ≤ ε

Cela entraîne que les mesures du segment [a, b] et des intervalles [a, b[, ]a, b] et ]a, b[ sonttoutes égales à b− a .

La mesure d’une suite -même infinie- des points est encore nulle.

Définition 4.6 On dit qu’une propriété est vraie presque partout (pp) sur un intervalle I sil’ensemble des points pour lesquels cette propriété est fausse est un ensemble négligeable c.à.d demesure nulle.

Définition 4.7 Soient f et g deux fonctions définies sur le même intervalle I.

1. On dit que f = g presque partout sur I si l’ensemble des points t de I tels que f (t) 6= g(t)est un ensemble négligeable, on écrit alors

fpp= g sur I

2. On dit que resp. f (t) ≤ g(t) presque partout sur I si l’ensemble des points t de I tels quef (t) < g(t) est un ensemble négligeable, on écrit alors

fpp≤ g sur I

3. On dit que la suite fn, n ∈N converge presque partout vers f sur I si l’ensemble des pointst de I tels que fn(t) n’aie pas pour limite f (t) est négligeable, et on écrit

fpp−→

n→∞g sur I



Théorème 4.4 propriétés

1. Si fpp= g sur I et g

pp= h sur I alors f

pp= h sur I.

2. Si fpp= g sur I alors

∫I

f (t)dt =∫

Ig(t)dt

3. Si fpp≤ 0 sur I et

∫I

f (t)dt = 0 alors fpp= 0

4. Si∫

I| f (t)− g(t)| dt = 0 et

∫I| f (t)− g(t)|2 dt = 0 alors f

pp= g sur I

4.3.2 Espaces L1(I) et L2(I)

Définition 4.8 Soit p ∈ R∗+ et I un intervalle de R. On appelle Lp(I) l’espace des fonctionsf (t) : de I sur R (ou C) mesurables et | f (t)|p est intégerable sur I alors que

f (t) ∈ Lp(I)⇐⇒∫

I| f (t)|p dt existe (4.10)

On distingue, en particulier :

1. L1(I) : l’ensemble des fonctions sommables sur I, c’est l’ensemble des signauxstables

f (t) ∈ L1(I)⇐⇒∫

I| f (t)| dt est convergente

2. L2(I) : l’ensemble des signaux d’énergie finie sur I

f (t) ∈ L2(I)⇐⇒∫

I| f (t)|2 dt est convergente

1. Dans L1(I) et L2(I) on convient de confondre deux fonctions égales presque par-tout sur I. Ainsi f = g dans L2(I) signifie f ∈ L2(I), g ∈ L2(I) et f

pp= g sur

I.

2. La fonction ”zéro” dans L1(I) ou L2(I) est constituée de toutes les fonctions nullespresque partout, en d’autres termes on ne distingue pas ces fonctions de la fonc-tion nulle.

3. si I ⊂ J et si f ∈ L2(J) alors f ∈ L2(I), de même si f ∈ L2(J) =⇒ f ∈ L2(I).

Remarque

a) Produit scalaire dans L1(I) et L2(I)

Théorème 4.5 Soient f et g deux fonctions de L2(I), α et β deux nombres complexes alorsα f + βg est aussi un élément de L2(I). En d’autres termes L2(I) est un sous-espace vectoriel del’espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes et définies sur I.

Définition 4.9 Un espace vectoriel normé dans lequel toute suite est convergente est dit complet.On l’appelle aussi espace de Banach



Définition 4.10 (Espace de Hilbert) Un espace de Hilbert est un espace vectoriel normé com-plet (espace de Banach) dont la norme ‖· · · ‖ découle d’un produit scalaire ou hermitien 〈· · · , · · · 〉par la formule 〈u, u〉 = ‖u‖2

Un espace de Hilbert est la généralisation en dimension quelconque d’un espace vecto-riel euclidien ou hermitien.

On rappel dans la suite la définition et les propriétés du produit scalaire :

Définition 4.11 Soit E un espace vectoriel complexe, on définit un produit scalaire en associantà tout couple u, v d’éléments de E un complexe noté 〈u, v〉 et nommé produit scalaire de u et v.

On a :

1. 〈u, u〉 ≥ 0 ∀u ∈ E

2. 〈u, u〉 = 0 si et seulement si u = 0

3. 〈u1 + u2, v〉 = 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉 pour tout triple u1, u2, v de E

4. 〈au, v〉 = a 〈u, v〉 pour tout complexe a

5. ‖u‖ =√〈u, u〉 s’appelle la norme de u

6. ‖u− v‖est la distance de u à v

7. On dit que la suite un d’éléments de E a pour limite, au sens de la norme, l’élé-ment u de E si ‖un − u‖a pour limite 0 lorsque n tend vers l’infini.

8. |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ ( inégalité de Schwarz ).

9. |‖u‖ − ‖v‖| ≤ ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖10. |‖u‖ − ‖v‖| ≤ ‖u− v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖

Définition 4.12 Si f et g sont deux éléments de L2(I), on définit sur L2(I) le produit scalairepar :

〈 f , g〉 =∫I

f (t)g?(t)dt (4.11)

où g?(t) est le conjugé complexe de g(t)Si f et g sont deux fonctions réelles alors

〈 f , g〉 =∫I

f (t)g(t)dt =∫I

g(t) f (t)dt = 〈g, f 〉

Exemple 4.6 On pose :

fn(t) = cos2πnt

Tet gn(t) = sin

2πntT∀n ∈N

Alors :

H 〈 fn, fm〉 = 〈gn, gm〉 = 0 ∀n 6= m



H 〈 fn, gm〉 = 0 ∀n et ∀m

H 〈 f0, f0〉 = T, 〈 fn, fn〉 = 〈gn, gn〉 = T/2 si n > 0

En utilisant les formules élémentaires de trigonométrie on démontre très facilement ces for-mules.

b) Théorème de Pythagore

Définition 4.13 En géométrie euclidienne, deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit sca-laire est nul. Par analogie, on dira que deux signaux sont orthogonaux si leur produit scalaire estnul, c’est-à-dire si

〈 f , g〉 =∫I

f (t)g?(t)dt = 0

Le choix de l’intervalle I est important : 〈 f , g〉 = 0 dans I n’entraîne pas l’orthogonalitédans tous les intervalles

Théorème 4.6 Soient f et g deux fonctions orthogonales entre elles sur I et f + g leur somme.alors on a

‖ f ‖2 + ‖g‖2 = ‖ f + g‖2

DémonstrationCes trois fonctions sont dans une situation respective analogue à celle des trois cotés d’un

triangle rectangle dont f + g serait l’hypoténuse, en comparant leurs normes on retrouve lethéorème de Pythagore.

‖ f + g‖2 = 〈 f + g, f + g〉 = 〈 f , f 〉+ 〈 f , g〉+ 〈g, f 〉+ 〈g, g〉 = ‖ f ‖2 + ‖g‖2

〈 f , g〉 = 〈g, f 〉 = 0 car f et g sont orthogonales.

En général, soient f1, f2, ... fn des fonctions orthogonales deux à deux alors :

‖ f1 + f2 + f3 + ...+ fn‖2 = ‖ f1‖2 + ‖ f2‖2 + ...+ ‖ fn‖2

En effet :

‖ f1 + f2 + f3 + ...+ fn‖2 =

⟨n

∑1

fp ,n

∑1

fq

⟩=

n

∑1

⟨fp, fp

⟩+ ∑

p 6=q

⟨fp, fq

⟩=

n

∑1

∥∥ fp∥∥2

La relation précédente exprime que

L’énergie de la somme de signaux orthogonaux deux à deux est la somme de leurs énergies.



Ainsi, lorsque f et g sont deux signaux orthogonaux il n’existe dans l’énergie de f + gaucun terme de “couplage” qui ferait intervenir à la fois f et g, ce qui constitue une sorted’indépendance entre f et g du point de vue de l’énergie en ce sens que si on augmentel’énergie de f on augmente d’autant l’énergie de f + g la contribution de g restant identique.

c) Représentation discrète

Définition 4.14 Une base hilbertienne orthonormée de L2(I) est une suite d’éléments de I, ortho-gonaux deux à deux et de norme 1 telle que le seul élément de L2(I) orthogonal à tous les élémentsde la suite est la fonction nulle.

Si on note e0, e1, ..., en... les éléments de la suite, elle forme une base hilbertienne ortho-normée si ⟨

ep, eq⟩=

0 si p 6= q1 si p = q ∀p, q ∈N

d’autre part⟨

f , ep⟩= 0 , ∀p ∈N, si et seulement si f = 0.

Très souvent on n’utilise pas l’expression complète ”base hilbertienne orthonormée”, onse contente de ”base orthonormée”.

On peut représenter un signal f (t) sur une base de signaux (fonctions) déterminésB = e1, e2, · · · en

f (t) =n

∑k=1

αkek (t) (4.12)

Le vecteur F = (α1, · · · , αn) est une représentation du signal f (t) dans la base B

Dans le cas général, la base ek est de dimension infinie– Pour certaines classes de signaux, on peut chercher des approximations comportant un

nombre limité de signaux de base ek (t) ;– La représentation discrète a est l’unique moyen d’aborder le traitement numérique du

signal

4.3.3 Approximation d’un signal dans L2(I)

Soit B = e1, e2, · · · en une base orthonormée d’un sous-espace vectoriel E de L2(I) etf (t) une fonction de L2(I)

On définit dans E une approximation ,notée f (t) , d’ordre n de f (t) :

f (t) =n

∑k=1

αkek (4.13)

L’erreur d’approximation est définie par :

e (t) = f (t)− f (t)

l’erreur quadratique est :

‖e (t)‖2 =∥∥∥ f (t)− f (t)

∥∥∥2



La meilleure approximation f (t) dans ce sous-espace est atteinte si les coefficients αksont choisis de façon à minimiser ‖e (t)‖c’est-à-dire si ‖e (t)‖ = 0

Théorème 4.7 (Théorème de la projection) La distance

d(

f , f)=

√∥∥∥ f (t)− f (t)∥∥∥2

entre la fonction f (t) et son approximation f (t) est minimale si l’erreur d’approximatione (t) = f (t)− f (t) est orthogonale aux fonctions ek (t) , c’est-à-dire à f (t) elle-même

DémonstrationSoit l’approximation

f (t) =n

∑k=1

αkek

telle que l’erreur e (t) est orthogonale à ek (t) ∀k = 1, · · · , n.

Considérons une autre approximation f1 (t) =n∑

k=1βkek et calculons : d2

(f , f)

d2(

f , f)= d2

(f − f , f1 − f

)=∥∥∥ f − f

∥∥∥2+∥∥∥ f1 − f

∥∥∥2− 2 Re

⟨f − f , f1 − f

⟩or, f1 (t)− f (t) =

n∑

k=1(βk − αk) ek donc :

Re⟨

f − f , f1 − f⟩= Re

⟨e,

n

∑k=1(βk − αk) ek

⟩= Re

n

∑k=1(βk − αk) 〈e, ek〉

puisque l’erreur e (t) est orthogonale à ek (t) alors 〈e, ek〉 = 0.

Par conséquent, on a :⟨

f − f , f1 − f⟩= 0 d’où d2

(f , f)=∥∥∥ f − f

∥∥∥2+∥∥∥ f1 − f

∥∥∥2qui

est minimale si et seulement si f1 = f

f

f ffe ˆ−=

E

a) Calcul des coefficients αk

Lorsque l’erreur e = f − f est minimale, compte tenu de son orthogonalité avec ek, etcompte tenu de l’expression de f , on peut écrire :

〈e, ek〉 = 0 =⇒⟨

f − f , f⟩=⟨

f , f⟩−⟨

f , f⟩=⟨

f , f⟩−∥∥∥ f∥∥∥2= 0 =⇒

⟨f , f⟩=∥∥∥ f∥∥∥2

Pour chaque produit scalaire⟨f − f , ek

⟩= 〈e, ek〉 = 0⇐⇒ 〈 f , ek〉 =

⟨f , ek

⟩On a f (t) =

n

∑k=1

αkek donc⟨

f , ek

⟩=

n

∑p=1

αp⟨ep, ek

⟩



La base B = e1, e2, · · · en est orthonormée c’est-à-dire :

⟨ek, ep

⟩=

1 si k = p0 si k 6= p

ce qui entraîne⟨

f , ek

⟩= 〈 f , ek〉 = αk

αk =⟨

f , ek

⟩= 〈 f , ek〉 , ∀k = 1, · · · , n

L’approximation s’écrit alors

f (t) =n

∑k=1〈 f , ek〉 ek (4.14)

f = 〈 f , e0〉 e0 + 〈 f , e1〉 e1 + ...+ 〈 f , en〉 en (4.15)

Théorème 4.8 La norme∥∥∥ f (t)− f (t)

∥∥∥ décroît vers zéro lorsque n tend vers l’infini.

En d’autres termes f converge dans L2(I) vers f lorsque n tend vers l’infini et l’erreurque l’on commet en confondant f avec f diminue lorsque n croît et peut être rendue aussifaible qu’on le souhaite en choisissant n assez grand. Comme e0, e1, ..., en sont orthogonaleset de norme 1,on a : ∥∥∥ f

∥∥∥2= |〈 f , e0〉|2 + |〈 f , e1〉|2 + ...+

∣∣⟨ f , ep⟩∣∣2 (4.16)

cela exprime que ‖ f ‖2 est la somme de la série de terme générale |〈ϕ, ek〉|2. ou bien

‖ f ‖2 =+∞

∑k=1|αk|2 (4.17)

C’est l’égalité de ParsevalD’autre part : f a pour limite f dans L2(I) ; donc par analogie on note :

f =∞

∑k=0〈 f , ek〉 ek (4.18)

Il faut bien prendre garde qu’il ne s’agit pas d’une convergence ponctuelle mais d’une

convergence dans L2(I), on dit alors que∞

∑k=0〈 f , ek〉 ek est le développement en série de ϕ

dans L2(I) par rapport à la base ek ; k ∈N.

b) Exemples de fonctions orthogonales

Il existe de nombreuses familles de fonctions orthogonales. Nous en donnons ici quelques

Exemple 4.7 (Fonctions rectangulaires décalées) Ce sont des fonctions de la forme

fn (t) = rect(

t− naa

)f1 (t) =

1 si |t| ≤ 1/20 si |t| > 1/2



2 1 0 1 2 3 4 5

0.5

1.0

t

f

Exemple 4.8 (Fonctions de Rademacher) ces sont des fonctions translatée de la fonction

ψ (t) =

1 si 0 < t <

12

−1 si12< t < 1

0 si non

0.5 1.0 1.5 2.0

1

0

1

t

Exemple 4.9 (Fonctions de Walsh) Les fonctions de Walsh sont un ensemble de fonctions quiforment une base orthogonale sur l’intervalle [0, 1]

f1 (t) =

1 si 0 < t < 10 si non , f2 (t) =

1 si 0 < t <

12

−1 si12< t < 1

0 si non

(4.19)

Exemple 4.10 La famille Pn ;∀ n ∈N définie par :

Pn(t) =√

n+ 1/22nn!

dn

dtn

[(t2 − 1

)n]

est une famille de polynômes qui forme une base orthonormée de L2[−1, 1]. Ces polynômess’appellent les polynômes de Legendre.

Exemple 4.11 La famille fn, ∀n ∈N définie par :

fn =

(−1)n exp(

t2

2

)√

2nn!√

π

dn

dtn

(e−t2

)est une base orthonormée de L2(R).



Exemple 4.12 Dans l’espace des vecteurs geométriques, les vecteurs unitaires−→

i ,−→j ,−→k

forment une base orthonormée :⟨−→i ,−→j⟩=

⟨−→i ,−→k⟩=⟨−→

k ,−→j⟩= 0,⟨−→

i ,−→i⟩=

⟨−→j ,−→j⟩=⟨−→

k ,−→k⟩= 1

Soit−→V = A

−→i + B

−→j + C

−→k ;

on a :−→V .−→i = A ,

−→V .−→j = B,

−→V .−→k = C

donc :−→V =

(−→V .−→i)−→

i +(−→

V .−→j)−→

j +(−→

V .−→k)−→

k

4.4 Exercices

Exercice 4.1 Soit f un signal d’énergie E f < ∞ défini sur l’intervalle I . Pour k > 0 on poseg (t) = f (kt)

1. Préciser suivant que k > 1ou k < 1 si g représent le signal f accélérée ou ralenti dans lerapport k pour I = [a, b].

2. Calculer l’énergie Eg en fonction de E f sur I = R

3. Calculer les puissances des signaux f (t) et g (t) dans les cas suivantes :

(a) f (t) = 2t k = 3 I = [−1, 1]

(b) f (t) = sin (πt) k = 2/π I = [0, 1]

(c) f (t) = et k = 0, 5 I = [−2, 2]

(d) f (t) =1t

k = 1 I = [1, 2]

Exercice 4.2 Trouver des intervalles sur lesquels la fonction f (t) est dans L1, dans L2 ou dansL1 ∩L2

1. f (t) =1

(1+ t)√

t2 − 1

2. f (t) = sin(

1t2

)3. f (t) =

(1+ t2) e1/t

4. f (t) =1

1+ t2

Exercice 4.3 Soit la fonction :

f (t) =

1+ t si −1 ≤ t ≤ 01− t si 0 ≤ t ≤ 1

à partir de quelle on définit sur R la suite gn (t) = f (nt)



1. Tracer le graphe de gn (t)

2. Etudier la convergence ponctuelle et au sens de l’énergie de gn (t)

3. Même question pour hn (t) = f (t/n) et pour kn (t) = f (t− n)

Exercice 4.4 Etudier les convergences ponctuelles , uniformes et dans L2 sur I des suites designaux suivants :

1) fn (t) =√

t+1n

I = [0, 1] 2) fn (t) =(

1+tn

)√n

I = [0, 1]

3) fn (t) = tn I = [0, 1] 4) fn (t) =n2 sin nt

2πI =

[−π

n,

π

n

]

Exercice 4.5 Etudier les convergences ponctuelles des suites suivantes sur l’intervalle indiqué :1) fn (t) = tne−nt t ∈ R+ 2) fn (t) = nte−nt t ∈ R+ 3) fn (t) =

nπ (1+ n2t2)

t ∈ R

Exercice 4.6 Soit les fonctions de Walsh

f1 (t) =

1 si 0 < t < 10 si non ; f2 (t) =

1 si 0 < t < 1

2−1 si 1

2 < t < 1

f3 (t) =

1 si 0 < t < 1/4−1 si 1/4 < t < 1/21 si 1/2 < t < 3/4−1 si 3/4 < t < 1

1. Tracer les graphes

2. Montrer que ces fonctions sont orthonormées

3. Calculer les composantes ai; i = 1, 2, 3, suivant la base f1, f2, f3 , de la fonction g (t) =2t définie sur [0, 1]

4. On désigne par g (t) = a1 f1 + a2 f2 + a3 f3 la meilleur approximation de g (t) dans labase fi .Tracer sur le même graphe g (t) et g (t)

5. Calculer l’énergie de g (t)

6. Calculer l’erreur relative de cette énergie e =‖g− g‖‖g‖

Exercice 4.7 On considère les polynômes : P0 = a , P1 = bx+ c , P2 = dx2 + ex+ f

1. Déterminer les coefficients a, b, c, d, e, f d’une façon que ces polynômes constituent unefamille orthonormée de L2 (I) ; I = [−1, 1]

2. Soit la fonction définie sur I par f (x) = ex et nulle ailleurs. Déterminer f , la meilleurapproximation au sens de l’énergie de la fonction f (x) par cette famille.

3. Tracer sur même graphique les courbes représentatives de f et f

4. Soient E et E les énergies de f et f respectivement. Calculer l’erreur relatifE− E

E.



Exercice 4.8 On considère les polynômes :

P1 (t) =√

3t

P2 (t) =√

5(

4t2 − 5t+43

)P3 (t) =

√7

2(5t3 − 3t

)1. Montrer que B = P1 (t) , P2 (t) , P3 (t) est une famille orthonormée de L2 (0, 1)

2. Soit la fonction f (t) = et. Montrer que f (t) ∈ L2 (0, 1) et f (t) ∈ L1 (0, 1)

3. Déterminer f (t) la meilleur approximation de la fonction f (t) dans la base B.

4. Montrer que l’énergie E de f (t) s’exprime : E =3∑

i=1α2

i où αi sont les composantes de

f (t) dans la base B.

5. Calculer E et en déduire l’erreur relative∆EE=

E− EE

.

Exercice 4.9 On considère les polynômes :

P1 (x) =√

2e−x; P2 (x) = −4e−x + 6e−2x; P3 (x) = 3√

6e−x − 12√

6e−2x + 10√

6e−3x

1. Montrer que P1, P2, P3forment une famille orthonormée de L2 (0, ∞)

2. Soit f (x) = e−4x ∈ L2 (0, ∞) .Déterminer f la meilleur approximation au sens de l’éner-gie de f par cette famille.

3. Déterminer∥∥∥ f∥∥∥2

2et en déduire e ( f ) =

∥∥∥ f − f∥∥∥2

2

Exercice 4.10 Pour tout n ∈N∗et T > 0 et ω =2π

T. , On considère la famille de fonctions :

f0 =1√T

, fn =

√2T

cos nωx, gn =

√2T

sin nωx

Montrer que cette famille est orthonormée dans L2 [0, T]


CHAPITRE 5

SÉRIES DE FOURIER

DAns de nombreux domaines de la physique on rencontre l’étude de systèmes quià chaque signal d’entrée e(t) font associer une réponse à la sortie s(t) et quel’on peut modéliser de la manière suivante (Fig.1).

Système physiqueEntrée

e(t) s(t)

Sortie

FIG. 5.1 – Modèle d’un système physique

Une modélisation plus poussée conduit à envisager des systèmes dits ”linéaires ” quiont entre autres propriétés celle de superposition, c’est-à-dire que le signal de sortie s(t) dûà l’existence de plusieurs signaux d’entrées est égal à la somme des signaux de sorties dus àchacun des signaux d’entrées pris isolément. La figure 2 illustre cette propriété.

Système linéaire

e1(t)e2(t)

S(t)=e1(t)+ … +en(t)

en(t)

FIG. 5.2 – Système linéaire

Du point de vue mathématique, un signal d’entrée est souvent modélisé par une fonc-tion périodique, de période T, mais non nécessairement sinusoïdale, comme par exemple lesignal représenté sur la figure 3.

x

y

FIG. 5.3 – Signal périodique

Les séries de Fourier ont été introduites par Joseph Fourier en 1822, mais il fallut unsiècle pour que les analystes dégagent les outils d’étude adaptés .

En analyse, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l’étude des fonctionspériodiques. C’est à partir de ce concept que s’est développée la branche des mathématiquesconnue sous le nom d’analyse harmonique.

L’étude d’une fonction périodique par les séries de Fourier comprend deux volets :

1. L’analyse, qui consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier.


2. La synthèse, qui permet de retrouver, en un certain sens, la fonction à l’aide de la suitede ses coefficients.

Les séries de Fourier se rencontrent usuellement dans la décomposition de signaux pé-riodiques, dans l’étude des courants électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse so-nore, le traitement d’images, etc.

5.1 Préliminaires et rappels

Définition 5.1 On dit que la fonction f (t) d’une variable réelle est T−périodique si et seulementsi : f (t) = f (t+ kT) où k est un entier,

Exemple 5.1 cos ωt est T =2π

ω−périodique

cos t

Théorème 5.1 Si f est une fonction T−périodique et continue par morceaux sur R ; à valeurs

dans C ; alors l’intégraleα+T∫α

f (t) dt ne dépend pas de α

DémonstrationOn a ∀α ∈ R :

α+T∫α

f (t) dt =0∫

α

f (t) dt+T∫

0

f (t) dt+α+T∫T

f (t) dt

dans la dernière intégrale, en faisant le changement de variable u = t− T on trouve

α+T∫T

f (t) dt =α∫

0

f (u) du = −0∫

α

f (t) dt

Doncα+T∫α

f (t) dt =T∫

0

f (t) dt

Définition 5.2 Une fonction f (t) est dite paire si et seulement si f (−t) = f (t)

Exemple 5.2 f (t) = t2 est une fonction paire



4 2 0 2 4

10

20

30

t

f(t)

f (t) = t2

Définition 5.3 Une fonction f (t) est impaire si et seulement si f (−t) = − f (t)

Exemple 5.3 f (t) = t3 + t est une fonction impaire

6 4 2 2 4 6

200

200

t

f(t)

Définition 5.4 On dit qu’une fonction T−périodique, f : R −→ R, est continue par morceauxs’il existe une subdivision de l’intervalle I = [α, α+ T]

α = a0 < a1 < · · · < an = α+ T

avec n ∈N∗, telle que f soit continue sur chaque intervalle ]ak, ak+1[ ; 0 < k < n− 1 et admetteune limite à droite et à gauche en chaque point de discontinuité (s’il en existe).

Si f est continue par morceaux, on notera en tout point de discontinuité a de f (s’il enexiste) :

f(a+)= lim

t→a+f (t) et f

(a−)= lim

t→a−f (t)

Lorsque f (a+) et f (a−) existent et sont différents on dit que f admet en a une disconti-nuité de première espèce ou un saut d’amplitude

∆ f (a) = f (a+)− f (a−).

a

f(a+)

f(a−)

FIG. 5.4 – Discontinuité de première espèce



Définition 5.5 Une fonction périodique f est continue par morceaux si elle est continue sauf enun nombre fini de points sur chaque période et qu’en ces points elle présente une discontinuité depremière espèce. On dit aussi que f est de classe C0 par morceaux.

Définition 5.6 On dit que f est C1 par morceaux si f et f ‘ sont C0 par morceaux.

5.2 Série trigonométrique

Définition 5.7 On appelle série trigonométrique toute série de fonctions (particulières) de laforme

∑n∈Z

Cnejnωt

oua0 + ∑

n∈N∗(an cos nωt+ bn sin ωt)

avec ω > 0, Cn une suite de nombres complexes, an et bn des suites de nombres réels.

Rappelons que Cnejnωt + C−ne−jnωt = (Cn + C−n) cos nωt + j (Cn − C−n) sin ωt cequi permet de passer des Cn à an et bn.

Théorème 5.2 (Convergence normale sur R des séries trigonométriques) Si les séries numé-riques ∑ an et ∑ bn sont absolument convergentes alors la série trigonométrique a0 +

∞∑

n=1(an cos nωt+ bn sin ωt) est normalement convergente sur R ; donc absolument et unifor-

mément convergente sur R.

C’est évident puisque |an cos nωt+ bn sin ωt| ≤ |an|+ |bn|On a le même théorème pour la série ∑

n∈Z

Cnejnωt.

Théorème 5.3 Supposons que les séries numériques ∑ Cn et ∑ C−n sont absolument conver-gentes et soit S la somme de la série trigonométrique ∑ Cnejnωt + C−ne−jnωt

alors la fonction S (t) est périodique de période T =2π

ω.

5.3 Série de Fourier d’une fonction de L2[0, T]

Dans la plupart des domaines de la physique, en électricité, optique, acoustique, ther-mique, mécanique, ... on a souvent affaire à des fonctions périodiques, mais de forme quel-conque. Sous certaines conditions, on peut considérer ces signaux comme la superposition



de fonctions périodiques simples que sont les fonctions sinus et cosinus. Le signal apparaitalors comme la somme d’une série trigonométrique appelée série de Fourier.

Les signaux périodiques que l’on rencontre en physique ne sont pas franchement sinu-soïdaux : signaux issus d’un hacheur, d’un redresseur, d’un onduleur.

Faire une décomposition en série de Fourier va nous permettre de savoir de combien lesignal que l’on étudie est éloigné du signal sinusoïdal, grâce à la décomposition en série deFourier une analyse spectrale du signal pourra être effectuée. Elle permettra de savoir si ledispositif étudié répond aux normes de pollution harmonique, CEM, filtrage, etc . . .

On retrouve alors dans de nombreux domaines de la physique la notion de spectre fré-quentiel : électricité, électronique, médecine, radar-sonar, hifi, géologie, traitement du si-gnal. . .

O α+T α+2T α+3T

f(t)

tα

FIG. 5.5 – Fonction périodisée

Un signal physique, périodique, peut être modélisé par une fonction f (t) T−périodiquequi est l’unique fonction de période T qui coïncide sur l’intervalle I =[α, α + T] avec unefonction usuelle ϕ (t) ∈ L2(I) sur l’intervalle (fig.5) d’énergie :

E =α+T∫α

|ϕ(t)|2 dt

La puissance moyenne P de f est égale à la puissance dissipée sur une période qui vaut :

P =1T

α+T∫α

| f (t)|2 dt

comme ϕ et f coïncident sur [0, T] on a donc P =ET

.

Réciproquement à toute fonction f (t) de période T et de puissance moyenne P on asso-cie l’unique fonction ϕ définie sur [0, T] par ϕ(t) = f (t), alors l’énergie E de ϕ vaut

T∫0

| f (t)|2 dt = PT. (5.1)

5.3.1 Développement en série réelle de Fourier

Le problème qu’on va résoudre dans la suite est le suivant :Cherchons une approximation d’une fonction f (t) , T−périodique et coïncide avec la

fonction ϕ (t) ∈ L2(0, T),suivant les fonctions :

f0 =1√T

, fn(t) =

√2T

cos nωt, gn(t) =

√2T

sin nωt



qui constituent une base hilbertienne orthonormée de L2(0, T), où n > 0 et ω =2π

T,

en effet, pour n 6= m :

〈 fn, fm〉 =

T∫0

fn(t) f ?m(t)dt =2T

T∫0

cos nωt cos mωtdt

=1T

T∫0

[cos (n+m)ωt+ cos (n−m)ωt] dt

=1T

[sin (n+m)ωT

n+m+

sin (n−m)ωTn−m

− 0− 0]= 0

de même :

〈gn, gm〉 =

T∫0

gn(t)g?m(t)dt =2T

T∫0

sin nωt sin mωtdt

=1T

T∫0

cos (n−m)ωt− cos (n+m)ωt

dt

=1T

[sin (n−m)ωT

n−m− sin (n+m)ωT

n+m− 0− 0

]= 0

donc les fonctions fn et les fonctions gn sont orthogonales.D’autre part :

‖ fn‖2 = 〈 fn, fn〉 =T∫

0

f 2n(t)dt =

2T

T∫0

cos2 nωtdt =2T

T∫0

1+ cos 2nωt2

dt

=1T

[t+

sin 2nωt2nω

]T

0=

1T

(T +

sin 2nωT2nω

)=

TT= 1

et

‖gn‖2 = 〈gn, gn〉 =T∫

0

g2n(t)dt =

2T

T∫0

sin2 nωtdt =2T

T∫0

1− cos 2nωt2

dt

=1T

[t− sin 2nωt

2nω

]T

0=

1T

(T − sin 2nωT

2nω

)=

TT= 1



et aussi :

‖ f0‖2 = 〈 f0, f0〉 =T∫0

f 20 (t)dt =

1T

T∫0

dt = 1

ce qui montre que la base f0, fn, gn est orthonormée.Comme f (t) est un vecteur de l’espace L2[0, T], donc elle se développe suivant cette base

et par suite

la fonction f est la limite dans L2[O, T] de :

f (t) = α0 f0 +N

∑n=1

(αn fn + βngn)

lorsque N tend vers l’infini.

f (t) est aussi la meilleur approximation de f en moyenne quadratique donc au sens del’énergie.

On a alors

α0 = 〈ϕ, f0〉 =T∫

0

ϕ (t) f0 (t) dt =1√T

T∫0

ϕ (t) dt

αn = 〈ϕ, fn〉 =T∫

0

ϕ (t) fn (t) dt =

√2T

T∫0

ϕ (t) cos nωtdt

et

βn = 〈ϕ, gn〉 =T∫

0

ϕ (t) gn (t) dt =

√2T

T∫0

ϕ (t) sin nωtdt

Les termes de la série s’écrivent d’une autre facon :

α0 f0 =1√T

T∫0

ϕ (t) dt

1√T=

1T

T∫0

ϕ (t) dt

αn fn =

√2T

T∫0

ϕ (t) cos nωt dt

√ 2T

cos nωt =

2T

T∫0

ϕ (t) cos nωt dt

cos nωt

βngn =

T∫0

ϕ (t)

√2T

sin nωt dt

√ 2T

sin nωt =

2T

T∫0

ϕ (t) sin nωt dt

sin nωt

Par suite, la série s’écrit :

a0 +N

∑n=1

(an cos nωt+ bn sin nωt)



Définition 5.8 Les coefficients

a0 =1T

T∫0

ϕ (t) dt

an =2T

T∫0

ϕ (t) cos nωt dt

bn =2T

T∫0

ϕ (t) sin nωt dt

(n > 0) (5.2)

s’appellent les coefficients réels de Fourier, ils représentent les composantes de ϕ(t) suivant labase f0, fn, gnn∈N.

Définition 5.9 La fonction h0 définie par h0(t) = a0 s’appelle la moyenne de ϕ ou l’harmoniquede rang zéro de ϕ.

La fonction hn définie par

hn = an cos(nωt) + bn sin(nωt) (5.3)

s’appelle l’harmonique de rang n de f .L’harmonique de rang 1

h1 (t) = a1 cos ωt+ b1 sin ωt (5.4)

est le fondamental.

En posant

An =√

a2n + b2

n, tan φn =an

bn(5.5)

l’harmonique de rang n s’écrit aussi

hn(t) = An sin(nωt+ φn) (5.6)

Notons que si la fonction ϕ (t) est définie sur l’intervalle [α, α+ T] , ∀α ∈ R, et elle estpériodique de période T alors les coefficients de Fourier se déterminent par :

a0 =1T

α+T∫α

ϕ (t) dt (5.7)

an =2T

α+T∫α

ϕ (t) cos nωt dt (5.8)

bn =2T

α+T∫α

ϕ (t) sin nωt dt (5.9)



Définition 5.10 Soit f (t) un signal,T−périodique, d’énergie finie et continue par morceau surtout intervalle [α, α+ T] . Soient a0, an, bn les coefficients de Fourier de f , l’expression :

S (t) = a0 +∞

∑n=1

(an cos nωt+ bn sin nωt) (5.10)

s’appelle la série de Fourier réelle de la fonction f (t).

5.3.2 Série complexe de Fourier

Soit

S =

fn (t) ; fn(t) =exp(jnωt)√

T, n ∈ Z

une famille de L2(α, α+ T) avec ω = 2π/T . S est l’ensemble des exponentielles complexesqui a les propriétés suivantes :

1. Tous les éléments de S sont des fonctions T−périodiques. En effet : cos ωt et sin ωt

sont périodiques de période T =2π

ω2. Les éléments de S sont orthogonaux deux à deux :

si n 6= m on a :

〈 fn, fm〉 =

α+T∫α

fn(t) f ∗m(t)dt =1T

α+T∫α

exp(jnωt). exp(−jmωt)dt

=1T

α+T∫α

exp [j (n−m)ωt] dt =1T

[exp [j (n−m)ωt]

j (n−m)ω

]α+T

α

=exp [j (n−m)ω (α+ T)]− exp [j (n−m)ωα]

j (n−m)ωT

=exp (j (n−m)ωT)− 1

2jπ (n−m)exp j (n−m)ωα

=1− 1

2jπ (n−m)exp j (n−m)ωα = 0

puisque n−m = k est un entier et ωT = 2π alors

exp j (n−m)ωT = exp (2jkπ) = cos 2kπ − j sin 2kπ = 1

3. Les éléments de S sont tous normés (de norme 1) :

∀n ∈ Z on a :

‖ fn‖2 = 〈 fn, fn〉 =1T

α+T∫α

exp(jnωt). exp(−jnωt)dt

=1T

α+T∫α

dt =(α+ T)− α

T= 1

La famille S est, donc, une base orthonormée de L2(α, α+ T).



a) Développement en série complexe

Définition 5.11 Comme S est une base orthonormée de L2[α, α + T] chaque fonction f (t)T−périodique et coïncide sur [α, α+ T] avec ϕ(t) de L2[α, α+ T] peut se mettre sous la forme :

f (t) =+∞

∑−∞

Cn exp (jnωt) (5.11)

Cette expression s’appelle la série complexe de Fourier et les coefficients Cn qui représentent lescomposantes de f (t) dans la base S sont les coefficients complexes de Fourier.

Le calcul des coefficients Cn peut se faire grâce au produit scalaire dans L2[α, α + T]puisque S est une base orthonormée :

Cn = 〈ϕ(t), fn〉 =1T

α+T∫α

ϕ (t) exp (−jnωt) dt (5.12)

en effet, multiplions l’expression de ϕ(t) par( 1

T exp(−jmωt))et intégrons-la sur une

période :

1T

α+T∫α

ϕ(t) exp(−jmωt)dt = 1T

α+T∫α

[+∞∑

n=−∞Cn exp (jnωt)

]exp(−jmωt)dt

= 1T

+∞∑

n=−∞

[α+T∫α

Cn exp (jnωt) exp(−jmωt)dt

]α+T∫α

exp (jnωt) exp(−jmωt)dt =

0 si m 6= nT si m = n

donc dans la somme+∞∑

n=−∞Cn le seul terme non nul est celui pour n = m.

Par suite

Cn =1T

α+T∫α

ϕ(t) exp(−jnωt)dt

b) Relations entre les coefficients complexes et réels

En considérant la relation d’Euler : e±jx = cos x± j sin x, on écrit le coefficient complexeCn pour n ≥ 0 sous la forme :

Cn =1T

α+T∫α

ϕ(t) exp(−jnωt)dt =1T

α+T∫α

ϕ(t) (cos nωt− j sin nωt) dt

=1T

α+T∫α

ϕ(t) cos nωtdt− j1T

α+T∫α

ϕ(t) sin nωtdt =an

2− j

bn

2

d’où :

Cn =an − jbn

2



Dans le cas où n ∈ ]−∞, 0] : Cn = C−n =an + jbn

2

Remarque

Pour n = 0 on a C0 =1T

α+T∫α

ϕ(t)dt = a0 alors :

an = 2 Re (Cn)

bn = 2 Im (Cn)

a0 = C0

Exemple 5.4 Soit, f (t) la fonction 4−périodique et coïncide sur ]−2, 2[ avec la fonction porte :

φ (t) =

0 si −2 ≤ t < −11 si −1 < t < 10 si 1 < t ≤ 2

2 0 2

0.5

1.0

φ (t)

On a T = 4 alors ω =2π

T=

π

2.

Les coefficients complexes de Fourier associés à f (t) sont :

Cn =1T

α+T∫α

f (t) exp (−jnωt) dt =14

−2∫−2

f (t) exp (−jnωt) dt

=14

1∫−1

1. exp(−jn π

2 t)

dt =14

exp(−jn π

2 t)

−jn π2

∣∣∣∣∣1

−1

=1

nπ

12j[exp

(jn π

2

)− exp

(−jn π

2

)]=

sin(n π

2

)nπ

– Pour les valeurs paires de n : n = 2k, avec k entier non nul,sin(n π

2

)= sin (kπ) = 0 donc C2k = 0

– Pour les valeurs impaires de n (n = 2k+ 1) :

sin(n π

2

)= sin

((2k+ 1)

π

2

)= (−1)k , alors Cn =

(−1)k

(2k+ 1)π

– Pour n = 0 : C0 =1T

T2∫

− T2

φ (t) dt =14

2∫−2

φ (t) dt =14

1∫−1

dt =12

La série complexe de Fourier est :

SC (t) =12+

+∞

∑k=−∞

(−1)k

(2k+ 1)πexp

((2k+ 1)

jπ2

t)



Les coefficients réels sont :

– a0 = C0 =12

– an = 2 Re Cn =2(−1)k

(2k+ 1)π– bn = −2 Im Cn = 0La série réelle de Fourier est :

SR (t) =12+

2π

+∞

∑k=0

(−1)k

(2k+ 1)cos

((2k+ 1)

π

2t)

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Somme de 100 premiers termes

Exemple 5.5 Soit la fonction 2π-périodique définie par :

f (t) =−1 pour −π ≤ t ≤ 01 pour 0 ≤ t ≤ π

3 2 1 1 2 3

1

1

t

f(t)

f (t)

c’est une fonction impaire alors a0 = an = 0T = 2π =⇒ ω = 1

bn =2T

α+T∫α

f (t) sin (nωt) dt =1π

0∫−π

(−1) sin (nt) dt+π∫

0

(1) sin (nt) dt

=

1π

cos nt

n

∣∣∣∣0−π

− cos ntn

∣∣∣∣π0

=

2nπ

(1− cos nπ)

=2

nπ

[1− (−1)n] = 0 si n = 2k

4nπ

si n = 2k+ 1

La série de Fourier de la fonction considérée s’écrit :

S (t) =4π

∞

∑k=0

sin (2k+ 1) t2k+ 1



Cette égalité est exacte sauf aux points de discontinuité.Sur les figures suivantes on représente la fonction f (t) sur une période et les graphes des

sommes des premiers harmoniques , on remarque comment les sommes partielles représentent,avec précision croissante, la fonction f (t) lorsque n augment.

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

1

t

S1,S5

Les courbes de h0 + h1 et h0 + h1 + ...+ h5

3 2 1 1 2 3

1

1

t

S(t)

4π

50∑

k=0

sin(2k+1)t2k+1

5.4 Convergence des séries de Fourier

Critère 5.1 ( de Dirichlet) Une fonction f (t) vérifie le critère de Dirichlet si et seulement si :– f (t) est une fonction bornnée.– f (t) est une fonction de classe C1par morceaux sur chaque intervalle de longueur d’une

période.– Les Maxima et minima de f (t) sont de en nombre limité.

Dans la pratique les signaux que l’on rencontre satisfont le critère de Dirichlet saufl’impulsion de Dirac.

Théorème 5.4 (de Fourier) Si f (t) est une fonction périodique, de période T, de classe C1 parmorceaux sur R et vérifie le critère de Dirichlet, alors f (t) possède une décomposition en sériede Fourier, de plus :

1. La série Sn (t) = a0 +∞

∑n=1

(an cos nωt+ bn sin nωt) associée converge vers f (t) en tout

point où f (t) est continue

2. Si t0 est un point de discontinuité de première espèce la série Sn(t0) a pour limitef(t+0)+ f

(t−0)

23. Sur tout segment où f (t) est continue Sn (t) converge uniformément vers f sur R.



5.4.1 Vitesse de convergence de la série de Fourier

Dans la pratique, lorsqu’on synthétise un signal à partir des coefficients de Fourier Cnon utilise un ordinateur dont les capacités numériques sont limitées. C’est-à-dire au lieu decalculer la somme

S (t) =∞

∑n=−∞

Cn exp (jnωt)

on va calculer la somme

SN (t) =N

∑n=−N

Cn exp (jnωt)

La question qui se pose alors est de savoir comment la différence eN = f (t)− SN (t) évolueen fonction de N.

a) Comparaison des vitesses de convergence

On compare la vitesse de convergence par rapport à des puissances de 1n .

1n tends vers zéro moins vite que 1

n2 ; par conséquent une série qui converge comme 1n2

convergera plus rapidement qu’une série qui converge comme 1n .

4 2 2 4

2

1

1

2

x

y

FIG. 5.6 – Courbes de :1n

,1n2 et

1n3

b) Comment trouver la vitesse de convergence ?

Pour une fonction réelle f (t) on peut mettre la série de Fourier sous la forme :

∞

∑n=−∞

Cn exp (jnωt) =∞

∑n=−∞

(An cos nωt− Bn sin nωt)

– Si on arrive à montrer que |An| <kni et |Bn| <

kni pour n suffisamment grand, on dira

alors que Sn converge comme1ni

– Si |An| <kni et |Bn| <

knj pour n suffisamment grand, on dit alors que Sn (t) converge

comme1

nαtel que α = inf(i, j).

Les mêmes résultats sont valables pour an et bn.– Si f (t) n’est pas continue, alors la convergence se fait comme pour 1/n.– Si f (t) est continue et f ′ (t) n’est pas continue, la convergence se fait comme 1/n2.– Si f et f ′ sont continues et f ” n’est pas continue, la série converge comme 1/n3.



5.5 Calcul de l’énergie, formule de Parseval

Il est facile de calculer l’énergie de l’harmonique hn de la série de Fourier, puisquecos(nωt) et sin(nωt) sont orthogonales entre elles, ce qui entraîne que l’énergie de hn estla somme de celle de an cos (nωt) et de celle de bn sin(nωt), or l’énergie de cos(nωt) et cellede sin(nωt) sont égales à T/2 pour n > 0 : l’énergie de hn pour n > 0 est donc, (d’après lethéorème de Pythagore), et celle de h0 est E0 = Ta2

0.

En effet :

En =

α+T∫α

|hn|2 dt =T∫

0

(an cos nωt+ bn sin nωt)2 dt

= a2n

T∫0

cos2 nωt dt+ b2n

T∫0

sin2 nωt dt+ 2anbn

T∫0

cos nωt sin nωt dt

On aT∫

0

cos2 nωt dt =T∫

0

sin2 nωt dt =T2

etT∫

0

cos nωt sin nωt dt = 0

Par suite :

En = a2n

(T2

)+ b2

n

(T2

)+ 2anbn (0) =

T2(a2

n + b2n)

(5.13)

Le principe de conservation de l’énergie montre que

E = E0 +∞

∑n=1

En

c’est-à-dire :

E = Ta20 +

T2

∞

∑n=1

(a2

n + b2n)

(5.14)

Cette formule est dite formule de Parseval

E =α+T∫α| f (t)|2 dt est l’énergie du signal.

La formule de Parseval, au sens de puissance, s’écrit :

P =1T

α+T∫α

| f (t)|2 dt = P0 +∞

∑n=0

Pn = a20 +

∞

∑n=1

a2n + b2

n2

(5.15)

Pour la série complexe la formule de Parseval s’écrit :

P =1T

α+T∫α

| f (t)|2 dt =∞

∑n=−∞

|Cn|2 (5.16)



Si hn (n > 0) est donné sous la forme hn = An cos(nωt + φn), la formule de Parsevals’écrit :

P =1T

α+T∫α

| f (t)|2 dt = a20 +

∞

∑n=0

A2n (5.17)

Exemple 5.6 Soit un circuit avec une seule résistance R = 1Ω auquel on applique une tensionpériodique V(t). La puissance instantanée sera donnée par :

P (t) = V (t) .i (t) =V2 (t)

R= V2(t)

Si on cherche maintenant à calculer la puissance sur une période nous aurons :

P =1T

α+T∫α

P (t) dt =1T

α+T∫α

V2 (t) dt

ce qui montre que la définition introduit pour la puissance a un sens physique.

5.6 Spectre

Si dans la série de Fourier d’une fonction périodique f (t), on pose

an = An cos φn

bn = An sin φn

le développement de la fonction f (t) prend la forme :

f (t) = a0 +∞

∑n=1

An cos (nωt− φn) (5.18)

la fonction f (t) est ainsi développée en une somme des composantes sinusoïdales (compo-santes harmoniques ) qui constituent le spectre de fréquences de la fonction f (t) ; An et ϕnsont, respectivement, l’amplitude et la phase de l’harmonique du rang n. Graphiquement,alors, chaque harmonique peut être représentée par un vecteur de module An et d’angle dephase ϕn

An =√

a2n + b2

n et tan ϕn = −bn

an(5.19)

Définition 5.12 On appelle spectre d’un signal l’ensemble des termes de la décomposition har-monique du signal.

En termes des fréquences c’est l’ensemble des fréquences– La représentation de An en fonction de la fréquence nous donne le spectre d’amplitude– La représentation de ϕn en fonction de la fréquence nous donne le spectre de phases

Pour un signal périodique, le spectre est discontinu, il est formé de "raies spec-trales".

Si on écrit les coefficients complexes de Fourier sous la forme polaires :

Cn = |Cn| exp(jθn)



|Cn| est l’amplitude et θn est la phase de l’harmonique du rang n.Les analyseurs de spectre sont des appareils sur les écrans desquels on voit apparaître

sous forme des raies ces répartitions et on dit qu’une fonction périodique a un spectre deraies.

Au titre d’exemple on représente sur la figure 7 le spectre d’amplitude du signal portepériodisée.

0 11 223 3

|Cn|

n

FIG. 5.7 – Spectre d’amplitude du signal porte

Egalement on peut représenter les puissances ( ou énergies) des harmoniques en fonctiondes fréquences cette représentation est le spectre de puissance (fig.8).

P(n)

n

FIG. 5.8 – Spectre de puissance

5.7 Propriétés de série de Fourier

5.7.1 Série dérivée

Soit f une fonction de période T, continue par morceaux, et dérivable. Sa dérivée f ′(t) estun élément de L2(0, T), par suite elle admet un développement en série de Fourier. Soientαn les coefficients de Fourier complexes de f ′ alors :

αn =1T

T∫0

f ′ (t) exp (−jnωt) dt

L’intégration par parties nous donne :

αn = −jnω

T[ f (t) exp (−jnωt)]T0 +

jnω

T

T∫0


or f (0) = f (T) puisque f est une fonction continue, et exp (0) = exp (−jnωT) = 1,

alors, [ f (t) exp (−jnωt)]T0 = 0 et on a αn = jnωCn, d’après l’égalité de Parseval :∞∑0|αn|2 est

convergente donc∞∑0

n2 |Cn|2est convergente.



Théorème 5.5 :

1. Si f est k fois dérivable =⇒∞

∑0

n2k |Cn|2 est convergente.

2. f est C∞ si et seulement si np |Cn| tend vers zéro pour tout entier p lorsque n tend versl’infini.

La relation entre les coefficients de Fourier αn de f ′ et Cn de f sont liés, donc l’har-monique de rang n de f ′ est la dérivée de l’harmonique de rang n de f puisque ce sontrespectivement

αn exp (−jnωt) + αn exp (jnωt) et Cn exp (−jnωt) + Cn exp (jnωt)

Si on restreint f et f ′ à [α, α + T], f est donc la limite au sens de l’énergie de Sp =p∑−p

Cn exp (−jnωt) et f ′ celle de S′p =p∑−p

jnωCn exp (−jnωt) . On dit que la série de Fourier

de f ′ s’obtient en dérivant terme à terme celle de f .Comme f est continue et de classe C1 par morceaux Sp converge uniformément vers f

mais pour f ′ dont on a seulement supposé qu’elle soit de classe C0 par morceaux on ne peutrien affirmer relativement à la convergence ponctuelle si on ne sait rien sur f ′′ ? Le théorèmesuivant remédie à cela.

Théorème 5.6 Soit f une fonction de période T continue et de classe C1 par morceaux. La sériede Fourier de f ′ s’obtient en dérivant terme à terme celle de f , elle donne lieu à une convergencedans L2(0, T). On suppose de plus que f ” existe sauf en un nombre fini de points par période

alors en tout point t0 où f ”(t0) existep∑o

h′p (t) a pour limite f ′(t0) lorsque p tend vers l’infini.

5.7.2 Séries de sinus et de cosinus

La série de Fourier associée à la fonction f (t) est une une image de cette fonction et àla limite cette série se converge vers la fonction f (t) .Par suite S (t) et f (t) sont de mêmeparité .

Définition 5.13 Si f (t) est une fonction paire alors sa série de Fourier doit être paire c’est-à-direne contient que des termes pairs, (les termes en cos nωt), et par suite bn = 0 ∀n. La série deFourier est dite série de cosinus.

Définition 5.14 De même si la fonction f (t) est une fonction impaire alors seuls les termessin nωt figurent dans la série, an = 0 ∀n, la série est dite série de sinus.

5.7.3 Phénomène de Gibbs

Le phénomène de Gibbs est, en quelque sorte, un « défaut d’approximation » pour unefonction continue de classe C1 par morceaux. Pour une telle fonction f , le théorème de Diri-chlet assure que la série de Fourier de f converge simplement vers la fonction f sur l’inter-valle où f est C1 par morceaux. En tout point t de continuité la somme de la série de Fourierest f (t).



Au niveau du point de discontinuité t0, la somme SN (t) subit une forte oscillation, une

sorte de « ressaut » qui se mesure en comparant les valeurs en t0 −π

Net t0 +

π

N. En effet,

toujours d’après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge aussi simple-ment aux points de discontinuités mais vers la régularisée de Dirichlet, ie la demi-sommedes valeurs de f de part et d’autre du point de dicontinuités. Lorsque N devient grand,l’amplitude de ces oscillations tend vers une limite strictement plus grande que l’amplitudede la discontinuité, alors que la largeur de la zone d’oscillation tend vers 0.

Définition 5.15 On observe que quel que soit le nombre fini d’harmoniques, SN oscille au voi-sinage de chaque discontinuité et que l’amplitude de cette oscillation ne s’amortit pas lorsque Naugmente mais admet une limite non nulle cela s’appelle le phénomène de Gibbs.

Reprenons la fonction

f (t) =−1 pour −π < t < 01 pour 0 < t < π

de l’exemple (9.5) elle a une discontinuité au voisinage de 0 et , on remarque que la sommedes premiers harmoniques a un maximum plus grand que f (t), mais lorsque le nombre desharmoniques devient très grand la somme tends vers f (t).

5.7.4 Translatée d’une fonction

Soit f (t) une fonction périodique de période T et qu’elle admet un développement ensérie de Fourier. Considérons la fonction g(t) s’appelle translatée de f (t) par h définie par :g(t) = f (t− h) où h est une constante.

Le graphe de g(t) s’obtient en translatant le graphe de f de la longueur algébrique hparallèlement à l’axe des x.

La fonction g(t) est aussi périodique de même période T et développable en série deFourier.Les coefficients complexes de Fourier de g(t) sont :

Cn (g) =1T

α+T∫α

g (t) exp (−jnωt) dt =1T

α+T∫α

f (t− h) exp (−jnωt) dt

Posons x = t− h donc t = x+ h , pour t = α on a x = α− h = β d’où :

Cn (g) =1T

α+T−h∫α−h

f (x) exp (−jnω (x+ h)) dt

=1T

exp (−jnωh)

β+T∫β

f (x) exp (−jnωx) dx

d’où :

Cn[ f (t− h)] = Cn[ f (t)] exp(−jnωh) (5.20)

On remarque que la série de Fourier complexe de g s’écrit :

∑n∈Z

Cn (g) exp (jnωt) = ∑n∈Z

Cn ( f ) exp [jnω (t− h)] (5.21)

On peut déduire également les coefficients réels de Fourier.



5.8 Exercices

Exercice 5.1 On considère le signal f (t) ,caractérisé par le graphe suivant, f (t) est périodiqueet confondu sur un intervalle I avec une fonction usuelle ϕ (t)

4 3 2 1 0 1 2 3 4

1

2

t

f(t)

1. Donner l’expression de la fonction ϕ (t) , et préciser l’intervalle I

2. Déterminer la période T et la pulsation (ω) du signal f (t)

3. Développer en série de Fourier la fonction f (t)

Exercice 5.2 Développer en série de Fourier les fonctions 2π− périodique dans les cas sui-vantes :

1. f (t) = t sur ]−π, π[

2. f (t) =

0 si 0 < t < π1 si π < t < 2π

3. f (t) = |sin t|4. f (t) = |cos t|5. f (t) = e−t sur ]−π, π[

6. f (t) =

cos t si cos t ≥ 00 si cos t < 0

Exercice 5.3 Soit f (t) une fonction périodique de période 2 définie sur l’intervalle ]0, 2] par :

f (t) = t+ 1.

1. Tracer le graphe de f (t) dans l’intervalle ]−4, 4[ .

2. Calculer les coefficients de Fourier de f (t) et donner le développement en série de Fourier

3. Calculer l’énergie du signal f (t)

4. Calculer l’énergie de l’harmonique hn.

5. Déduire la somme∞

∑n=1

1n2



Exercice 5.4 Soit f (t) une fonction 2π−périodique, impaire, définie par :

f (t) =−π si 0 < t < π

0 si t = nπ, ∀n ∈ Z

1. Tracer le graphe de f (t) sur ]−3π, 3π[

2. Montrer que f (t) est développable en série de Fourier.

3. Chercher la série réelle de Fourier S (t) associée à f (t) .

4. Calculer l’énergie du signal caractérisé par f (t)

5. Déduire les somme :

S1 =+∞

∑n=0

(−1)n

2n+ 1, S2 =

+∞

∑n=0

1

(2n+ 1)2

Exercice 5.5 Soit f un signal périodique de période 2a, définie par :

f (t) = exp(t) sur]− a, a[

et a > 0

1. Tracer le graphe de f sur [−3a, 3a].

2. Calculer la série de Fourier S de f .

3. Calculer l’énergie de f

4. Quelle est la somme des séries

S1 =∞

∑n=1

(−1)n

1+ n2 etS2 =∞

∑n=1

11+ n2

Exercice 5.6 Soit f un signal périodique de période T, défini sur [0, T[ par :

f (t) = at(T − t), a > 0

1. Montrer que f est paire .

2. Calculer sa série de Fourier (S)

3. Calculer la dérivée f ′(t) de la fonction f (t) .

4. Calculer la série (S′) de f ′(t) et la comparer avec la dérivée de S .

5. En déduire les sommes :

S1 =∞

∑n=1

1n2 ; S2 =

∞

∑n=1

(−1)n

n2 ; S3 =∞

∑n=1

1n4 ; S4 =

∞

∑p=0

(−1)p

2p+ 1

Exercice 5.7 Soit α un réel et α /∈ Z . On désigne par f (t) la fonction 2π−périodique quicoincide sur [−π, π] avec cos (αt) .

1. Vérifier f est continue pour tout t.



2. Calculer les coefficient de Fourier de f .

3. Préciser la convergence de la série de Fourier.

4. Démontrer que :

απ

sin απ= 1+ 2α2

∞

∑n=1

(−1)n

α2 − n2 etαπ

tan απ= 1+ 2α2

∞

∑n=1

1α2 − n2

Exercice 5.8 Soit la fonction 2π−périodique définie par :

f (t) =

π − t pour 0 < t < π−π − t pour −π < t < 0

1. Tracer le graphe de f sur [−3π, 3π]

2. Calculer les coefficients de Fourier et la série réelle associée

3. En déduire la somme :∞

∑k=0

(−1)k

2k+ 1

Exercice 5.9 Soit la fonction 2π− périodique définie par

f (t) = t2 si t ∈ [−π, π]

1. Tracer le graphe de f (t) sur [−2π, 2π]

2. Développer f (t) en série complexe de Fourie. Déduire la série réelle R f de f (t)

3. Soit la fonction 2π− périodique g(t) = t si t ∈ ]−π, π[ .

(a) Trouver la relation entre f (t) et g(t) et en déduire la série réelle Rg de g(t) .

(b) La série Rg converge-t-elle vers g(t) partout. Quelle condition faut-il imposer surg(t) pour que Rg(t) = g(t) partout.

4. Déduire le développement en série réelle de la fonction périodique de période 2 : h(t) = tsi t ∈ ]−1, 1[

5. Calculer les énergies des signaux caractérisés par f (t), g(t) et h(t)

6. Déduire les sommes :

S1 =∞

∑n=1

1n2 ; S2 =

∞

∑n=1

(−1)n

n2 ; S3 =∞

∑k=0

(−1)k

(2k+ 1)et S4 =

∞

∑n=1

1n4


CHAPITRE 6

TRANSFORMATION DE FOURIER

EN analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries deFourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectreen fréquences. On cherche ensuite à obtenir l’expression de la fonction comme «somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment

son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d’intégrale.1

Nous allons voir comment on peut passer de l’analyse que nous avons faite sur les fonc-tions périodiques à une analyse qui s’applique à toutes les fonctions. C’est la transformationde Fourier qui permet de définir le spectre d’une fonction intégrable non périodique et, danscertains cas, d’en faire la synthèse.

L’analyse non standard permet de la présenter sous forme d’une série et justifie le pointde vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base del’analyse harmonique.

6.1 Intégrale de Fourier

Considérons une fonction f (t) de L1(R), f (t) est sommable sur R c’est-à-dire que :

limA→+∞

A∫−A| f (t)| dt = ` finie et bien déterminée

Donc,∞∫−∞| f (t)| dt est absolument convergente.

Exemple 6.1∞∫−∞

dt1+ t2 = arctan t|∞−∞ = π

=⇒ f (t) =1

1+ t2 ∈ L1(R).

Exemple 6.2∞∫−∞

tdt =t2

2

∣∣∣∣∞−∞

indéfinie

=⇒ f (t) = t /∈ L1(R).

1Extrait de Wikipédia


Si f (t) est une fonction T−périodique et vérifie les conditions de Dirichlet, elle admet,

donc, un développement en série de Fourier et on écrit :(

avec ω =2π

T

)

f (t) =∞

∑−∞

Cn exp (jnωt)

et posant :

Cn =1T

T/2∫−T/2


La série complexe de Fourier s’écrit :

f (t) = ∑n∈Z

1T

T/2∫−T/2


exp (jnωt) (6.1)

Posons ωn = nω la fréquence de l’harmonique d’ordre n.L’intervalle fréquentiel entre deux harmoniques successifs est :

∆ω = ωn+1 −ωn = (n+ 1)ω− nω = ω

alors ω représente l’accroissement ∆ω =2π

T.

Une fonction non-périodique peut être considérée comme périodique mais de périodeinfinie, dans ce cas, quand T tend vers l’infini et ∆ω devient infiniment petit et égale à dω.

On écrit :lim

T→∞

1T= lim

T→∞

∆ω

2π=

dω

2π(6.2)

Par suite la série complexe de Fourier de la fonction f (t) s’écrit :

f (t) =∞

∑n=−∞

∆ω

2π

T/2∫−T/2

f (t) exp (−jωnt) dt

exp (jωnt)

Passons à la limite quand T tend vers l’infini :

T → +∞ =⇒

∆ω → dω et ωn → ω ∈ R

∞

∑n=−∞

(· · · ) ∆ω

2π→

∞∫−∞

12π(· · · ) dω

f (t) = limT→∞

(∞∑−∞

[∆ω2π

T/2∫−T/2

f (t) exp (−jωnt) dt

]exp (jωnt)

)alors :

f (t) =1

2π

∞∫−∞

∞∫−∞

f (t) exp (−jωt) dt

exp (jωt) dω (6.3)

Définition 6.1 La dernière intégrale s’appelle l’intégrale de Fourier.



Si on introduit la fréquence linéaire ν :

ω = 2πν =⇒ dω = 2πdν ou bien dν =dω

2π

l’intégrale de Fourier s’écrit :

f (t) =∞∫−∞

∞∫−∞

f (t) exp (−2jπνt) dt

exp (2jπνt) dν (6.4)

6.2 Transformation de Fourier

Dans la suite, f (t) est une fonction définie et absolument intégrable sur R.

Définition 6.2 On appelle transformée de Fourier de la fonction f (t), la fonction F(ν) définiepar l’intégrale :

F (ν) =∞∫−∞

f (t) exp (−2jπνt) dt (6.5)

L’intégrale qui définie F(ν) est bien absolument convergente puisque f (t) est sommableet :

| f (t) exp (−2jπν)| ≤ | f (t)|

On note

F [ f (t)] = F(ν)

Exemple 6.3 Cherchons la transformée de Fourier du signal porte (rectangulaire) :

PA(t) =

1 si −A/2 ≤ t ≤ A/20 si non

t

P(t)

D’après la définition :

F [PA(t)] = F(ν) =∞∫−∞

PA (t) exp (−2jπνt) dt =A/2∫−A/2

exp (−2jπνt) dt

=exp (−2jπνt)−2jπν

∣∣∣∣A/2

−A/2=

exp (−jπνA)− exp (jπνA)−2jπν

=sin (πνA)

πν

F [PA(t)] = Asin (πνA)

πνA(6.6)



Exemple 6.4 Calculons la transformée de Fourier du signal triangulaire définie par :

∆B(t) =

1− |t|B

si −B ≤ t ≤ B

0 si non

Graphe de ∆B(t)

Appliquons la définition : F (ν) =∞∫−∞


On a :

f (t) =

1+

tB

si −B ≤ t ≤ 0

1− tB

si 0 ≤ t ≤ B

0 si non

Alors :

F (ν) =0∫−B

(1+

tB

)exp (−2jπνt) dt+

B∫0

(1− t

B

)exp (−2jπνt) dt

= 214 −

14 cos 2πνBπ2ν2B

+ j

(12 πνB− 1

4 sin 2πνBπ2ν2B

+− 1

2 πνB+ 14 sin 2πνB

π2ν2B

)

= −12−1+ cos 2πνB

π2ν2B= B

(sin Bπν

Bπν

)2

Graphe de(

sin(πν)πν

)2

6.2.1 Fonctions définies par une intégrales à paramètres

Définition 6.3 La formule

F (λ) =∫I

f (t, λ) dt

définie une fonction F au moyen d’une intégrale sur l’intervalle I à paramètre λ .



Telles fonctions ont les propriétés suivantes qu’on les admet sans démonstrations :

1. Si f (t, λ) est une fonction définie pour t ∈ I et λ ∈ J et elle est continue sur J et s’ilexiste une fonction g(t) sommable sur I telle que | f (t, λ)| ≤ |g(t)| pour tout t de I ettout λ de J alors F(λ) est continue sur J.

2. Si ∂ f (t,λ)∂λ existe pour tout t de I et s’il existe une fonction h(t) sommable sur I, telle

que∣∣∣ ∂ f (t,λ)

∂λ

∣∣∣ ≤ h(t) alors F(λ) est dérivable et

dFdλ=∫I

∂ f (t, λ)

∂λdt (6.7)

6.3 Propriétés des transformations de Fourier

Théorème 6.1 Soit f (t) une fonction de L1 (R) et F (ν) sa transformée de Fourier, alors

1. F(ν) est normalement convergente.

2. F(ν) est bornée.

3. F (ν) tend vers zéro lorsque ν tend vers l’infini.

Démonstration

1. C’est immédiat car | f (t) exp (−2jπν)| ≤ | f (t)| et f (t) est sommable sur R par hypo-thèse.

2. |F (ν)| =∣∣∣∣∣ ∞∫−∞


∣∣∣∣∣ ≤ ∞∫−∞| f (t) exp (−2jπνt)| dt ≤

∞∫−∞| f (t)| dt

3. Posons I(a) =a∫−a

| f (t)| dt alors lima→+∞

I (a) = M existe.

Soit ε > 0.Il existe alors b > 0 tel que |M− I (b)| = M− I (b) ≤ ε

2

|F (ν)| =∣∣∣∣∣ ∞∫−∞


∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ −b∫−∞

f (t) exp (−2jπνt) dt+b∫−b

f (t) exp (−2jπνt) dt+∞∫b


∣∣∣∣∣≤

b∫−∞| f (t)| dt+

∣∣∣∣∣ b∫−b


∣∣∣∣∣+ ∞∫b| f (t)| dt

donc |F (ν)| ≤ I − I (b) +

∣∣∣∣∣ b∫−b


∣∣∣∣∣Or f (t) est localement sommable alors lim

ν→±∞

b∫−b

f (t) exp (−2jπνt) dt = 0

Il existe alors N > 0 tel que pour tout |ν| > N on a

∣∣∣∣∣ b∫−b


∣∣∣∣∣ ≤ ε

2

et donc limν→±∞

F (ν) = 0



6.3.1 Linéarité

Si F(ν) et G(ν) les transformées de Fourier des fonctions f (t) et g(t) et α et β sont deuxconstantes réelles ou complexes, on a alors :

F [α f (t) + βg(t)] = αF(ν) + βG(ν) (6.8)

En effet :

F [α f (t) + βg(t)] =∞∫−∞

[α f (t) + βg(t)] exp (−2jπνt) dt

= α

∞∫−∞

f (t) exp (−2jπνt) dt+ β

∞∫−∞

g(t) exp (−2jπνt) dt

= αF(ν) + βG(ν)

6.3.2 Homothétie (théorème de concentration-dilatation)

Théorème 6.2 Si F (ν) = F ( f (t)) est la transformée de Fourier de f (t) et k un constanteréelle alors :

F [ f (kt)] =1|k|F

(ν

k

)(6.9)

DémonstrationSoient k une constante positive et F(ν) la transformée de Fourier de la fonction f (t)On considère la fonction g(t) définie par : g(t) = f (kt) dont G(ν) est sa transformée de

Fourier.

G (ν) =∞∫−∞

g (t) exp (−2jπνt) dt =∞∫−∞

f (kt) exp (−2jπνt) dt

On fait le changement de variable, posons u = kt donc du = kdt et t =uk

alors l’intégrales’écrit :

G (ν) =∞∫−∞

f (kt) exp (−2jπνt) dt =1k

∞∫−∞

f (u) exp(−2jπν

uk

)du

=1k

∞∫−∞

f (u) exp(−2jπ

ν

ku)

du =1k

F(ν

k

)Si k est une constante négative on obtient : G (ν) = −1

kF(ν

k

)D’où la formule : F [ f (kt)] =

1|k|F

(ν

k

)

En particulier pour k = −1 on a :

F [ f (−t)] = F(−ν)



6.3.3 Théorème de retard

Théorème 6.3 Si F (ν) = F ( f (t)) est la transformée de Fourier de f (t) et a un constanteréelle alors on a :

F [ f (t− a)] = exp (−2jπντ) F (ν) (6.10)

DémonstrationSoit à chercher la transformée de Fourier de g(t) = f (t− a) connaissant F (ν) où a est

une constante donnée.

Par définition on a : G (ν) =∞∫−∞

f (t− a) exp (−2jπνt) dt

Posons x = t− a =⇒ t = x+ a et dt = dx et aussi x → ±∞ si t→ ±∞ alors :

G (ν) =∞∫−∞

f (x) exp [−2jπν (x+ a)] dx =∞∫−∞

f (x) exp (−2jπνx) exp (−2jπνa) dx

= exp (−2jπνa)∞∫−∞

f (x) exp (−2jπνx) dx = exp (−2jπνa) F (ν)

d’où : F [ f (t− a)] = exp (−2jπνa) F (ν)

Exemple 6.5 La transformée de Fourier du signal porte

P (t) =

1 si −1

2< t <

12

0 Ailleurs

estF (ν) =

sin πν

πν

Soit g (t) = P (t− 1/2)

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

0.5

1.0

t

P(t)

P (t)

0 1

0.5

1.0

t

g(t)

g (t) = P (t− 1/2)

D’après le théorème de retard :

G (ν) = exp (−2jπνa) F (ν)|a=1/2 = exp (−jπν) F (ν) = exp (−jπν)sin πν

πν



6.3.4 Théorème de modulation

Théorème 6.4 Si F (ν) = F ( f (t)) est la transformée de Fourier de f (t) et a un constanteréelle alors la transformée de Fourier de la fonction exp (2jπαt) f (t) est F (ν− a)

F [exp (2jπαt) f (t)] = F (ν− a) (6.11)

DémonstrationSoit g(t) la fonction définie par : g(t) = exp (2jπαt) f (t) et α une constante donnée. La

transformée de g (t) est :

G (ν) =∞∫−∞

g (t) exp (−2jπνt) dt =∞∫−∞

exp (2jπαt) f (t) exp (−2jπνt) dt

=

∞∫−∞

f (t) exp (−2jπ (ν− α) t) dt = F (ν− α)

Si g(t) = f (t) cos(2παt) ou g(t) = f (t) sin (2παt) en utilisant les formules d’Euler entreles fonctions trigonométriques et l’exponentiel, on trouve :

F [ f (t) cos (2παt)] =F (ν− α) + F (ν+ α)

2F [ f (t) sin (2παt)] =

F (ν− α)− F (ν+ α)

2j

(6.12)

Remarque

Exemple 6.6 Soit f (t) = e−|t| ∀t ∈ R.

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

F (ν) =+∞∫−∞

e−|t|e−2jπνtdt =0∫

−∞

ete−2jπνtdt++∞∫0

e−te−2jπνtdt

=

0∫−∞

e(1−2jπν)tdt++∞∫0

e−(1+2jπν)tdt =e(1−2jπν)t

1− 2jπν

∣∣∣∣∣0

−∞

− e−(1+2jπν)t

1+ 2jπν

∣∣∣∣∣∞

0

=1

1− 2jπν+

11+ 2jπν

=2

1+ 4π2ν2



Exemple 6.7 Soit g (t) = e−|t| cos 2πt, d’après l’exemple précédant :F (ν− 1) =

2

1+ 4π2 (ν− 1)2

F (ν+ 1) =2

1+ 4π2 (ν+ 1)2

G (ν) =F (ν+ 1) + F (ν− 1)

2=

1

1+ 4π2 (ν+ 1)2+

1

1+ 4π2 (ν− 1)2

6.3.5 Transformée de la dérivée

Théorème 6.5 Soit f (t) une fonction de L1(R) et dérivable et sa dérivée f ′ est aussi un élémentde L1(R).

La transformée de Fourier de f ′ (t) est alors

F[

f ′ (t)]= 2jπνF (ν) (6.13)

En générale si f (t) est p fois dérivabl et f (p) (t) ∈ L1(R) alors

F[

f (p) (t)]= (2jπν)p F (ν) (6.14)

Démonstration

Comme f ′ est dans L1(R) alorsA∫0

f ′(t)dt converge lorsque A tend vers l’infini, or cette

intégrale vaut f (A)− f (0) donc f (t) a une limite finie quand t tend vers +∞, mais puisquef est sommable cette limite ne peut être que zéro, de même la limite de f (t) est zéro lorsquet→ −∞ .

Calculons la transformée de Fourier de f ′ (t) en fonction de F (ν) :

F[

f ′ (t)]=

∞∫−∞

f ′ (t) exp (−2jπνt) dt

En intégrant par parties, et en posant :u = exp (−2jπνt) =⇒ du = −2jπν exp (−2jπνt)

f ′ (t) dt = dv =⇒ v = f (t)

on trouve :

F [ f ′ (t)] = [ f (t) exp (−2jπνt)]∞−∞ − (−2jπν)

∞∫−∞


Si f (t) →t→±∞

0 alors [ f (t) exp (−2jπνt)]∞−∞ = 0

On a∞∫−∞

f (t) exp (−2jπνt) dt = F (ν) donc F [ f ′ (t)] = 2jπνF (ν)



6.3.6 Dérivée de la transformée

Théorème 6.6 Soit F (ν) la transformée de Fourier de f (t), et F (ν) dérivable. Alors

F (t f (t)) = − 12jπ

dFdν

(6.15)

de plus si F (ν) est k fois dérivable et elle est de classe Ck alors :

F[tk f (t)

]=

( −12jπ

)k dkF (ν)dνk (6.16)

DémonstrationPar définition :

dFdν=

ddν

∞∫−∞


Or F (ν) est convergente et les variables t et ν sont indépendantes alors on écrit :

dFdν=

∞∫−∞

ddν[ f (t) exp (−2jπνt)] dt = −2jπ

∞∫−∞

t f (t) exp (−2jπνt) dt

Remarquons que si la fonction g (t) = t f (t) est sommable sur R alors sa transformée

de Fourier est G (ν) =∞∫−∞

t f (t) exp (−2jπνt) dt, c’est-à-dire connaissant la transformée de

Fourier de f (t) , on peut déduire celle de la fonction t f (t) , par dérivation de F (ν) :

F (t f (t)) = − 12jπ

dFdν

Les dérivées successives de F (ν) nous donne F[tk f (t)

]=

( −12jπ

)k dkF (ν)dνk

Exemple 6.8 La transformée de Fourier de la fonction f (t) = e−|t| est

F (ν) =2

1+ 4π2ν2

Alors la transformée de Fourier de g (t) = te−|t| est

G (ν) = − 12jπ

dFdν

dFdν=

ddν

(2

1+ 4π2ν2

)= − 16π2ν

(4π2ν2 + 1)2

donc :F(

te−|t|)= − 8jπν

(4π2ν2 + 1)2



6.3.7 Représentation complexe

La transformée de Fourier F (ν), d’une fonction réelle f (t) , est généralement une fonc-tion complexe, et elle peut être représentée sous des formes cartésinne ou polaires :

Notation cartésienne :F (ν) = A (ν) + jB (ν) (6.17)

Notation polaires :F (ν) = |F (ν)| exp [jθ (ν)] (6.18)

avec |F (ν)| =√

A2 + B2 et tan θ =BA

Notons que :X) Si f (t) est réelle alors F∗ (ν) = F (−ν) . C’est une symètrie hermitienne.X) A (ν) et |F (ν)| sont paires . B (ν) et θ (ν) sont impaires.X) F (ν) est réelle et paire si et seulement si f (t) est paireX) F (ν) est imaginaire pure et impaire si et seulement si f (t) est impaire

6.4 Produit de Convolution

N’importe quel appareil électronique est un système de traitement des signaux, à chaquesignal d’entrée e(t) il fait associer un signal de sortie s(t). Si l’appareil est caractérisé par unecertaine fonction de transformation T, alors s(t) = T(e)(t) et on dit que s(t) est la réponsedu système à l’entrée e(t) ou c’est l’image de e(t) par la transformation T (par analogie avecles instruments optiques et les transformations géométriques ).

Un filtre linéaire est un cas particulier du système, il est caractérisé par :

I Le principe de superposition : c’est-à-dire que si sk (k = 1, · · · , n) sont les réponses aux en-

trées ek alors la réponse de l’entréen∑

k=1akek est

n∑

k=1aksk

I L’invariance dans le temps : c.à.d. T(e(t− a)) = s(t− a)

I La continuité : si une suite des signaux d’entrée en (n ∈ N) a pour limite l’entrée e alorsles réponses T(en) ont pour limite T(e).

Suivant les choix qu’on adopte pour les signaux susceptibles d’être mis à l’entrée d’unfiltre on obtient différentes classes des filtres. La principale est constituée par les filtres deconvolution. Dans ce cas les filtres sont déterminés par une fonction h et l’entrée e et la sorties sont liés par :

s (t) =∞∫−∞

h (t− x) e(x)dx (6.19)

On intègre par rapport à x la fonction de deux variables f (t, x) = h(t − x)e(x), x est lavariable et t est un paramètre . On dit que s est une fonction définie par une intégrale àparamètre.

Définition 6.4 Lorsque l’intégrale :∞∫−∞

f (t− x) g (x) dt est convergente, elle définie une fonc-

tion notée f ∗ g appelée produit de convolution de f et g



Ainsi par définition :

f ∗ g =∞∫−∞

f (t− x) g (x) dx (6.20)

Définition 6.5 Une fonction f (t) est dite fonction causale si f (t) = 0 pour t < 0.Le produit de convolution des fonctions causales sera définie Par :

f ∗ g =t∫

0

f (t− x) g (x) dx (6.21)

en effet, le signal est défini pour u ≥ 0 et pour t− u ≥ 0 donc t ≥ u et par suite 0 ≤ u ≤ tTous les signaux utilisés dans l’électronique sont des signaux causaux.

6.4.1 Propriétés

On vérifie simplement les propriétés suivantes ∀ f , g, h des fonctions sommables

1. Commutativité :

f ∗ g = g ∗ f (6.22)

Par changement de variable : u→ t− x =⇒ du = −dx et x = t− u

( f ? g) (t) =∞∫−∞

f (t− x) g (x) dx =−∞∫∞

f (u) g (t− u) (−du)

=∞∫−∞

f (u) g (t− u) du = (g ∗ f ) (t)

2. Associativité :

f ∗ (g ∗ h) = ( f ∗ g) ∗ h = f ∗ g ∗ h (6.23)

La démonstration de cette dernière propriété d’associativité est un peu technique. Ellesuppose qu’on puisse intervenir l’ordre d’intégration.

3. Distributivité par rapport à l’addition :

f ∗ (g+ h) = f ∗ g+ f ∗ h (6.24)

f ? (g+ h) =∞∫−∞

f (t− x) [g (x) + h (x)] dx

=∞∫−∞[ f (t− x) g (x) + f (t− x) h (x)] dx

=∞∫−∞

f (t− x) g (x) dx+∞∫−∞

f (t− x) h (x) dx = f ∗ g+ f ∗ h



4. Elément neutre :

f ∗ δ = f (6.25)

La distribution de Dirac est définie par :

δ (t− u) =

1ε

si − ε

2≤ t− u ≤ ε

20 si non

et∞∫−∞

δ (t− u) du = 1

et ∀ f (t) on a : f (t) δ (t) = f (0) δ (t)

=⇒∞∫−∞

f (t)δ (t) dt =∞∫−∞

f (0)δ (t) dt = f (0)∞∫−∞

δ (t) dt = f (0)

=⇒ f ∗ δ =∞∫−∞

f (u)δ (t− u) du =∞∫−∞

f (t)δ (t− u) du

= f (t)∞∫−∞

δ (t− u) du = f (t)

5. Déplacement dans le temps :si f (x) ∗ g (x) = h (t) alors

f (x− τ) ∗ g (x) = f (x) ∗ g (x− τ) = h (t− τ) (6.26)

f (x− τ) ∗ g (x) =∞∫−∞

f (x− τ)g (t− x) dx

on pose u = x− τ

=⇒ f (x− τ) ∗ g (x) =∞∫−∞

f (u)g (t− τ − u) du = h (t− τ)

La deuxième égalité se démontre en utilisant la commutativité du produit de convo-lution.

6. Dérivation

f (x) ∗ g (x) = h (t) =⇒ dh (t)dt

=d fdx∗ g = f ∗ dg

dx(6.27)

En effet :ddt( f ∗ g) (t) =

ddt

∞∫−∞

f (x) g (t− x) dx

=∞∫−∞

∂

∂t[ f (x) g (t− x)] dx =

∞∫−∞

f (x)∂

∂tg (t− x) dx .

On fait le changement de variable u = t− x

=⇒ ddt( f ∗ g) (t) =

∞∫−∞

f (t− u)ddt[g (u)] du

ddt[g (u)] =

dgdu

dudt=

dgdu

car pour la dérivation, x est comme une constante.

D’où :ddt( f ∗ g) (t) =

∞∫−∞

dg (u)du

f (t− u) du



7. En généralf ∗ 1 6= f (6.28)

Par exemple si f = t et g (t) = 1 sont deux fonctions causales alors

t ∗ 1 =x∫

0

t× 1dt =t2

2

∣∣∣∣x0=

x2

2

8. f ∗ f n’est pas généralement une fonction positive.

6.4.2 Transformée de Fourier et convolution

Théorème 6.7 Si f et g sont deux fonctions de L1 (R) alors f ∗ g existe et aussi sommable. Latransformée de Fourier de f ∗ g est donnée par l’intégrale :

F [ f ∗ g] =∞∫−∞

( f ∗ g) (t) exp [−2jπνt] dt = F [ f ]×F [g] (6.29)

Démonstrationpuisque f et g sont sommables, on peut écrire :

F [ f ∗ g] =∞∫−∞( f ∗ g) (t) exp [−2jπνt] dt

=∞∫−∞

[∞∫−∞

f (t− x) g (x) dx

]exp [−2jπνt] dt

=∫∫R2

f (t− x) g (x) exp (−2jπνt) dt

la dernière intégrale est convergente puisque f et g sont sommables.Faisons le changement de variable :

t→ u+ x =⇒ dt = du et u = t− x, par suite :

F [ f ∗ g] =∫∫R2

f (u) g (x) exp (−2jπν (x+ u)) dt

=∞∫−∞

∞∫−∞

f (u) g (x) exp (−2jπνx) exp (−2jπνu) dxdu

=

(∞∫−∞

f (u) exp (−2jπνu) du

)(∞∫−∞

g (x) exp (−2jπνx) dx

)= F [ f ]F [g]

Exemple 6.9 Si f (t) = exp (− |t|) alors F (ν) =2

1+ 4π2ν2

et si g (t) = P1 (t) alors G (ν) =sin πν

πνSoit h = f ∗ g = e−|t| ∗ P1 sa transformée de Fourier est H (ν) = F (ν)G (ν)

F(

e−|t| ∗ P1

)=

2 sin πν

πν (1+ 4π2ν2)



D’autre part si F ( f ) , F (g) et f g sont dans L1(R) alors on démontre que :

F ( f g) = F ( f ) ∗ F (g) (6.30)

Remarque

6.5 Transformée inverse de Fourier

On a trouvé que la fonction f (t) peut être définie à l’aide de l’intégrale de Fourier :

f (t) =∞∫−∞

[∞∫−∞


]exp (2jπνt) dν

or F (ν) =∞∫−∞

f (t) exp (−2jπνt) dt donc, si F(ν) ∈ L1(R), on peut écrire :

f (t) =∞∫−∞

F (ν) exp (2jπνt) dν

Définition 6.6 La dernière formule définie la fonction originale f (t) à partir de sa transforméede Fourier F(ν) et on l’appelle transformée inverse de Fourier, on note :

F−1 [F] =∞∫−∞

F (ν) exp (2jπνt) dν = f (t) (6.31)

∗ Si f (t) est continue alors cette égalité est vraie pour tout t .∗ Si f est une fonction sommable et dérivable, et si f et f ′ sont bornées alors :

f (t) = limT→∞

T∫−T

F (ν) exp (2jπνt) dν

∗ Si f est bornée et de classe C1 par morceaux alors f (t+) et f (t−) existent en toutpoint t et :

f (t+) + f (t−)2

= limT→∞

T∫−T

F (ν) exp (2jπνt) dν (6.32)

La formule de transformée inverse nous montre simplement que :

F [F(t)] = f (−ν) (6.33)

Remarque

6.6 Densité spectrale

La série de Fourier nous permet de déterminer le spectre d ’une fonction périodiquealors la transformée de Fourier nous donne celui d’une fonction non périodique . Dans lepremier cas le spectre est discret tandis que le deuxième est un spectre continue.



Ainsi f est déterminer soit dans l’espace des temps par f (t) soit dans l’espace des fré-quences par F(ν).

Pour les séries de Fourier, nous avions introduit la notion de puissance (respectivementénergie) moyenne sur une période. Comme ici nous n’avons plus des fonctions périodiques,il n’y a aucun intérêt à prendre une puissance moyenne. Nous allons donc tout simplementprendre la puissance totale du signal ; c’est-à-dire son énergie totale. Si la fonction f (t) estun élément de L2(R) c’est-à-dire d’énergie finie, son énergie est :

E =∞∫−∞

| f (t)|2 dt (6.34)

Puisque F(ν) représente aussi le signal f (t) dans l’espace des fréquences donc l’énergiede f s’exprime par :

E =∞∫−∞

|F (ν)|2 dν =1

2π

∞∫−∞

|F (ω)|2 dω (6.35)

c’est le principe de conservation de l’énergie, Alors ‖ f (t)‖2 = ‖F (ν)‖2 .

Définition 6.7 |F (ν)|2 s’appelle la densité spectrale de l’énergie.

Nous pouvons aussi définir l’énergie contenue dans une bande de fréquence [ν1, ν2] ;

E (ν1 < ν < ν2) =

ν2∫ν1

|F (ν)|2 dν (6.36)

Dans le cas d’une fonction réelle le spectre d’énergie est pair.

6.7 Exercices

Exercice 6.1 Calculer les produits de convolution suivants

1. f ∗ f avec f (t) = √

t si t ≥ 00 st t < 0

2. f ∗ f avec f (t) =

1√

tsi t ≥ 0

0 st t < 0

Exercice 6.2 Soit la fonction : Γ (x) =∞∫

0

tx−1 exp (−t) dt définie, continue et indéfiniment

dérivable pour x > 0



1. Calculer Γ(x+ 1) en fonction de Γ(x) . En déduire Γ(n) ; n ∈N

2. Calculer l’intégrale I =∫∫

Dexp

(−x2 − y2) dxdy où D est le domaine du plan défini

par x ∈ [0,+∞[ et y ∈ [0,+∞[

3. Déduire la valeur des intégrales

J1 =

∞∫0

exp(−ax2) dx et J2 =

∞∫−∞

exp(−ax2) dx, a > 0

4. Déduire Γ(

12

)et Γ

(32

)5. Soit la fonction f (t) =

1√2π

exp(− t2

2

), calculer f ∗ f .

Exercice 6.3 On note p, g1 et g2 les fonctions définies par :

p (t) =

1 si t ∈]−1

2,

12

[0 si ailleurs

g1 (t) =

1 si t ∈ ]0, 1[0 si ailleurs g2 (t) =

1 si t ∈ ]−1, 0[0 si ailleurs

1. Tracer les graphes de g1, g2 et p

2. Calculer la transformée de Fourier de la fonction p(t).

3. Exprimer g1 et g2 en fonction de p et en déduire ses transformées de Fourier.

Exercice 6.4 On considère les fonctions :

f (t) =

12a

si |t| < a

0 si |t| > aet g(t) =

2a− |t|a2 si |t| ≤ 2a

0 si |t| > 2a

1. Tracer f (t) et g(t)

2. Calculer les transformées de Fourier F(ν) et G(ν) des fonctions f (t) et g(t). ComparerF(ν) et G(ν).

3. Soient f1(t) et g1(t) deux fonctions définies à partir de f (t) et g(t) respectivement commeles limites quand a → 0. Déduire les transformées de Fourier F1(ν) et G1(ν) de f1(t) etde g1(t) .

4. Déduire la valeur de l’intégrale :∞∫−∞

sin2 xx2 dx

Exercice 6.5 Soit la fonction f (t) définie par f (t) = exp(−at) pour a > 0 et t > 0 et soientles signaux g(t) et h(t) définis par : g(t) = f (t) + f (−t) et h(t) = f (t)− f (−t).

1. Tracer les graphes des fonctions f (t), g(t) et h(t) .



2. Déterminer les transformations de Fourier des ces fonctions .

3. En déduire la valeur des intégrales :

I =∞∫0

cos (ωx)1+ x2 dx et J =

∞∫0

x sin (ωx)1+ x2 dx

Exercice 6.6 Soit le signal définie par : f (t) = exp(−πt2); On désigne par F (ν) sa transfor-mée de Fourier

1. Calculer la dérivéedFdν

en fonction de F (ν). Résoudre l’équation différentielle ainsi obtenue

pour déterminer la forme générale de F (ν) .

2. Sachant que :∞∫−∞

exp(−πx2) dx = 1 déduire F(ν).

3. En déduire la transformée de exp(−at2)

Exercice 6.7 Calculer les transformées de Fourier de signaux suivants :

1. a) f1 (t) = exp (− |t|) b) g1 (t) = PA (t) c)h1 (t) = exp(−t2)

2. a) f2 (t) =1

1+ t2 b) g2 (t) =1

t2 − 2t+ 2c) h2 (t) =

t

(1+ t2)2

3. a) f3 (t) =sin (πt)

πtb) g3 (t) = πt exp

(−πt2) c) h3 (t) = e−πt2

sin (πt)

Exercice 6.8 Soient f (t) et g (t) deux fonctions admettants des transformées de Fourier F (ν)et G (ν) respectivement et :

d2 fdt2 + λ2 f = g (t) ((E))

où λ est une constante.

1. Calculer la transformée de Fourier de l’équation (E) et en déduire une expression de F (ν) .

2. Démontrer que :

f (t) =1

2π

∞∫−∞

G (x)λ2 − x2

ejxtdx

3. Déterminer f (t) si g (t) = 4π2t2e−πt2et λ =

√2π. Sachant que e−πν2

est la transforméede Fourier de la fonction e−πt2

.


CHAPITRE 7

TRANSFORMATION DE LAPLACE

LE calcul symbolique est né au XIXe siècle d’une succession de démarches heuris-tiques et il a été particulièrement développé par Heaviside pour l’étude des cir-cuits électriques. Si l’on désigne par p la dérivation, p2 désignera naturellementla double dérivation, 1/p l’intégration (encore faut-il choisir convenablement la ”

constante d’intégration ”). L’opérateur qui à la fonction f (t) fait correspondre la fonctionf (t− a) pourra, compte tenu de la formule de Taylor, être représenté par exp(−ap) . En faittous les opérateurs représentés ainsi symboliquement ont la propriété de permuter avec lestranslations dans le temps. Physiquement, cela signifie que ces opérateurs sont liés à desorganes linéaires invariants dans le temps : si on décale dans le temps l’action exercée surun tel organe, sa réponse subit le même décalage. Dans la terminologie moderne, ce sontdes opérateurs de convolution. Par exemple, la dérivation est la convolution par la déri-vée de la mesure de Dirac. Le calcul symbolique a été justifié sur le plan théorique grâce àl’utilisation de la transformation de Laplace. Celle-ci associe à une fonction à support positifune fonction d’une variable complexe p. Un opérateur de convolution se transforme en unopérateur de multiplication par une fonction F de la variable complexe p. Enfin, grâce à lathéorie des distributions, cette fonction F peut elle-même être considérée comme la transfor-mée de Laplace de l’élément par lequel se fait la convolution. La transformation de Laplaceopérant sur des éléments (fonctions ou distributions) à support positif, c’est à l’étude desrégimes transitoires que le calcul symbolique est utilisé. Pour les systèmes à temps discret,une forme analogue de calcul symbolique a été développée sous le nom de transformationen z.

7.1 Transformation de Laplace des fonctions

Définition 7.1 On dit qu’une fonction f (t)(ou un signal) de la variable t est une fonction causale(ou un signal causal) si, pour tout t strictement négatif, on a f (t) = 0

f causale ⇐⇒ f (t) = 0 si t < 0

Exemple 7.1 (Fonction échelon unité ou fonction de Heaviside) la fonction échelon unité oula fonction de Heaviside : une fonction égale à +1 pour t ≥ 0 et nulle pour t < 0 :

u (t) =+1 si t > 00 si t < 0


4 2 0 2 4

0.5

1.0

t

u(t)

La fonction de Heaviside

La fonction u (t) n’est pas continue en 0, elle est continue à droite au voisinage de 0.On rend une fonction quelconque f causale, en la multipliant par l’échelon unité (cf.exemple

suivant)

Exemple 7.2 (Fonction rampe unité) La fonction rampe unité est définie sur R par

f (t) =

t si t ≥ 00 si t < 0

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

10

t

f(t)

Alors, pour tout réel t, on a f (t) = tu (t)

Exemple 7.3 (Fonction retardée) Tous les signaux ne débutent pas à l’instant t = 0 mais à uninstant t > 0.

Pour une fonction f définie sur R la fonction g définie sur par g (t) = f (t− a) est appeléefonction retardée de a.

Dans le plan, muni d’un repère orthonormé(

O,−→i ,−→j)

la courbe représentative de la fonc-

tion g se déduit de celle de la fonction f par la translation de vecteur a−→i

u (t− a) =+1 si t > a0 si t < a

La représentation graphique de la fonction échelon unité retardée de 2 est

4 2 0 2 4

0.5

1.0

t

u(t)

u (t− 2)



Exemple 7.4 (Fonction créneau) Une fonction créneau est une fonction f définie sur R par

f (t) = λ (u (t− a)− u (t− b))

où λ, a et b sont des réelsLa représentation graphique de f (t) = 3 (u (t− 1)− u (t− 3)) est

2 1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

t

f(t)

Définition 7.2 On appelle transformée de Laplace, la fonction F notée : £ ( f ) (p) de la variablecomplexe p définie par l’intégrale :

£ ( f ) (p) = F(p) =∫ ∞

0f (t)e−ptdt (7.1)

Au lieu du symbole £ pour représenter la transformation de Laplace, on utilise souventun symbole, par exemple (⊃) pour relier les expressions analytiques d’une fonction etde sa transformée de Laplace. On écrira par exemple :

F(p) ⊃ f (t)u(t)

dans de nombreux ouvrages on sous-entend le facteur u(t).

7.1.1 Abscisse de convergence

En fait, la transformée de Laplace d’une fonction f (t) n’est définie que pour les valeursde p telles que la fonction exp(−pt) est intégrable par rapport à t.

Définition 7.3 Il existe un nombre a tel que l’intégrale∫ ∞

0f (t)e−ptdt soit absolument conver-

gente pour Re(p) > a et non convergente pour Re(p) < a, en désignant par Re (p) la partieréelle de p. Le nombre a est appelé abscisse de convergence.

a domaine d'existence

Re(p)

Im(p)



Pour une fonction f (t) , on supposera f intégrable sur tout intervalle fini, de sorte quel’intégrale (1) est absolument convergente si Re(p) > a , et, si Re(p) < a , cette intégralen’est pas absolument convergente (elle peut être divergente ou ” semi-convergente ”).

Le domaine d’existence de la la transformée de Laplace est le demi-plan droit tel queRe(p) > a

Exemple 7.5 si f (t) = u(t)eλt

La transformée de Laplace de cette fonction est donnée par :

F(p) =∫ ∞

0f (t)e−ptdt =

∫ ∞

0eλte−ptdt =

∫ ∞

0e(λ−p)tdt

=exp(λ− p)t

λ− p

∣∣∣∣∞0=

1p− λ

si Re(p) > Re(λ)

7.1.2 Conditions d’existence et unicité

Théorème 7.1 La fonction f (t) admet une transformée de Laplace si elle vérifie les conditionssuivantes :

C1 : Si f (t) est une fonction continue presque par tout sur l’intervalle [0, N], et s’il existe desconstantes réelles M > 0 et γ, telles que pour t > N on a | f (t)| < Meγt, alors latransformée de Laplace F(p) de cette fonction existe.

C2 : si tn f (t) → 0 quand t → 0 pour 0 < n < 1 et si f (t) vérifie la condition C1 alors lafonction F(p) existe.

Théorème 7.2 Soient f1 et f2 deux fonctions continues par morceaux dont les transforméesde Laplace sont définies sur un même domaine. S’il existe un α0 ∈ R tel que ∀p, Re p ≥α0, £ [ f1] (p) = £ [ f2] (p) les fonctions f1(t) et f2(t) sont égales sauf peut-être aux points dediscontinuité de l’une ou de l’autre .

f1(t) = f2(t)⇐⇒ £ [ f1] (p) = £ [ f2] (p) (7.2)

7.1.3 Exemples

Dans tous les exemples suivants, on suppose que la fonction f (t) vérifie les conditionsd’existences et cette fonction est définie pour t ≥ 0 .

Exemple 7.6 f (t) = u (t)

F(p) =∫ ∞

0 f (t)e−ptdt =∫ ∞

0 e−ptdt

= limX→∞

(− 1

pe−pt

∣∣∣∣X0

)= − 1

plim

X→∞

(e−Xt − 1

)Si Re X > 0 =⇒ lim

X→∞e−Xt = 0 et F(p) =

1p

l’abscisse de convergence est a = 0.



Exemple 7.7 f (t) = eat

F(p) =∞∫0

f (t)e−ptdt =∫ ∞

0 eate−ptdt =∫ ∞

0 e(a−p)tdt

= limX→∞

− e(a−p)t

p− a

∣∣∣∣∣X

0

=1

p− apour Re(p) > a,

l’abscisse de convergence est α0 = a

Exemple 7.8 f (t) = tn

F(p) =∫ ∞

0 f (t)e−ptdt =∫ ∞

0 tne−ptdt

on fait l’intégration par parties :u = tn donc du = ntn−1dt

dv = e−ptdt alors v = (−1/p)e−pt

d’où : ∫ ∞0 tne−ptdt = lim

X→∞

(− 1

ptne−pt

∣∣∣∣X0

)+

np∫ ∞

0 tn−1e−ptdt

= limX→∞

(− 1

pXne−pX

)− 0+

np∫ ∞

0 tn−1e−ptdt =np

£(tn−1) (p)

l’intégration n fois par parties nous donne finalement :

£(tn) (p) =n!

pn+1 (7.3)

Exemple 7.9 La distribution de Dirac elle sert à représenter en physique une action s’exerçantsur un instant très court (impulsion), elle est définie par

δ(t) =

limε→0

1ε si 0 ≤ t ≤ ε

0 si t > εet∫ +∞

−∞δ(t)dt = 1.

£ [δ] =∫ ∞

0δ(t)e−ptdt = lim

ε→0

∫ ε

0

1ε

e−ptdt = limε→0

[− e−pt

εp

]ε

0= lim

ε→0

1− e−εp

εp= 1

£ [δ] (p) = 1

7.2 Propriétés des transformées de Laplace

Une fois établies quelques propriétés pratiques de la transformée de Laplace, on étudierales propriétés fondamentales qui permettent de relier les opérations de dérivation (respecti-vement, d’intégration) par rapport au temps t, à la multiplication (respectivement, la divi-sion) par la variable p



7.2.1 Linéarité

Théorème 7.3 Soient f (t), g(t) deux fonctions définies pour t > 0 et vérifient les conditionsd’existences de transformées de Laplace, et soient F(p), G(p) ses transformées de Laplace. Si α, βsont deux constantes quelconques alors :

£ (α f (t) + βg(t)) = α£ [ f (t)] (p) + β£ [g(t)] (p)

Démonstration

£(α f + βg) =∫ ∞

0(α f (t) + βg(t)) e−ptdt

= α∫ ∞

0f (t)e−ptdt+ β

∫ ∞

0g(t)e−ptdt

= αF(p) + βG(p)alors la transformée de Laplace est linéaire et on a :

£(∑ αi fi (t)

)= ∑ αi£ ( fi (t)) (7.4)

Exemple 7.10 Les fonctions trigonométriques :Connaissons la transformée de Laplace de la fonction f (t) = eat on peut déduire les trans-

formées des fonctions cos at et sin at, en utilisant la linéarité de la transformation de Laplace :

£ (cos at) = £[

ejat + e−jat

2

]=

12(£[ejat]+ £

[e−jat])

=12

[1

p− ja+

1p+ ja

]=

pp2 + a2

£ (sin at) = £[

ejat − e−jat

2j

]=

12j(£[ejat]− £

[e−jat])

=12j

[1

p− ja− 1

p+ ja

]=

ap2 + a2

Exemple 7.11 Les fonctions hypeboliques :

£ (cosh at) = £(

eat + e−at

2

)=

12

(1

p− a+

1p+ a

)=

pp2 − a2

£ (sinh at) = £(

eat − e−at

2

)=

12

(1

p− a− 1

p+ a

)=

ap2 − a2

Exemple 7.12 La transformée de Laplace de

f (t) = 3t3 + 5t2 − t+ 2+ 4 sin 5t

est F (p) = 33!p4 + 5

2p3 −

1p2 +

2p+ 4

5p2 + 25

=18p4 +

10p3 −

1p2 +

2p+

20p2 + 25



7.2.2 Translation

Théorème 7.4 Soit f (t) une fonction causale ayant F(p) comme transformée de Laplace et g(t)une fonction définie par g(t) = f (t− a) avec a une constante complexe. Alors la transformée deLaplace de g (t) est

£ [ f (t− a)] = e−ap£ [ f (t)] (p) (7.5)

Démonstration

G(p) =∫ ∞

0g(t)e−ptdt =

∫ ∞

0f (t− a)e−ptdt

Posons x = t− a =⇒ t = x+ a et dx = dt

G(p) =∫ ∞

0f (x)e−p(x+a)dx = e−ap

∫ ∞

0f (x)e−pxdx = e−apF(p)

Exemple 7.13 La transformation de Laplace de u (t) est £ (u (t)) =1p

alors £ (u (t− a)) =e−ap

p

Exemple 7.14 La transformation de Laplace de cos t estp

p2 + 1

alors £ (cos (t− 5)) =e−5p pp2 + 1

7.2.3 Modulation

Théorème 7.5 Si F (p) est la transformée de Laplace de la fomction f (t) alors F (p− a) est latransformée de eat f (t)

£[eat f (t)

]= £ [ f ] (p− a) = F(p− a) (7.6)

DémonstrationSoit h(t) = eat f (t) et F (p) = £ ( f (t)) .

H(p) =∫ ∞

0h(t)e−ptdt =

∫ ∞

0f (t)eate−ptdt =

∫ ∞

0f (t)e−(p−a)tdt

Or F (p) =∫ ∞

0f (t)e−ptdt

Donc : H (p) =∫ ∞

0f (t)e−(p−a)tdt = F (p− a)



Exemple 7.15 La transformée de Laplace de f (t) = sin ωt est F (p) =ω

p2 +ω2

Alors la transformée de h (t) = eat sin ωt est F (p− a)

£(eat sin ωt

)=

ω

(p− a)2 +ω2

7.2.4 Homothétie

Théorème 7.6 Si F (p) = £ ( f (t)) est la transformée de Lapalce de f (t) et k un constantepositive alors :

£[ f (kt)] =1k

F( p

k

)(7.7)

DémonstrationSoit g(t) = f (kt) avec k est une constante réelle positive.La transformée de Laplace de g(t) est par définition :

G(p) =∫ ∞

0g(t)e−ptdt =

∫ ∞

0f (kt)e−ptdt

en faisant le changement de variable : x = kt =⇒ dx = kdt on obtient :

G (p) =1k

∫ ∞

0f (x) exp

(−p

xk

)dx =

1k

F( p

k

)

Exemple 7.16 La transformée de Laplace de f (t) = cos t est F (p) =p

p2 + 1Alors la transformée de cos ωt est

1ω

(p/ω)

(p/ω)2 + 1=

p

ω2

(p2

ω2 + 1) = p

p2 +ω2

7.2.5 Produit de convolution

Théorème 7.7 La transfromée de Laplace du produit de convolution de deux fonctions est égaleau produit des transformées

£ [ f ∗ g] (p) = £ [ f ] (p)× £ [g] (p) (7.8)



DémonstrationSoit la fonction h(t) définie comme le produit de convolution des f (t) et g(t) :

h (t) = f ∗ g =∫ ∞

0f (t− u)g(u)du

f (t) et g(t) sont deux fonctions causales. La transformée de Laplace de h(t) est :

H (p) =∫ ∞

0h(t)e−ptdt =

∫ ∞

0

[∫ ∞

0f (t− u)g(u)du

]e−ptdt

Posons dans la seconde intégrale t = x+ u alors dt = dx

H(p) =∫ ∞

0

∫ ∞

0f (x)g(u)e−p(x+u)dudx

=∫ ∞

0

(∫ ∞

0f (x)g(u)e−pue−pxdu

)dx

=

(∫ ∞

0f (x)e−pxdx

)(∫ ∞

0g(u)e−pudu

)= £ ( f )× £ (g)

7.2.6 Transformées des dérivées

Théorème 7.8 Si f (t) est une fonction causale, localement sommable, continue au point t = 0et admet une dérivée continue et localement sommable et par f (n)(t) sa dérivée d’ordre n alors latrandformée de la Laplace de f ′ (t) est par définition

£( f ′(t)) =∫ ∞

0f ′(t)e−ptdt = − f (0) + p£ [ f ] (p) (7.9)

De plus, si la fonction f (t) est n fois dérivables et les dérivées sont sommables et continuessur R+ alors

£[

f (n)]= pn£ [ f ]− pn−1 f (0)− pn−2 f ′(0)− ...− p f (n−2)(0)− f (n−1)(0) (7.10)

DémonstrationOn cherchera à exprimer £( f ′) en fonction de £( f )

Intégrons par parties, en posant

u = e−pt =⇒ du = −pe−ptdtdv = f ′(t)dt =⇒ v = f (t)

Soit :

£( f ′) =∫ ∞

0f ′(t)e−ptdt = f (t)e−pt

∣∣∞0 + p

∫ ∞

0f (t)e−ptdt

=[

f (∞)e−p∞ − f (0)e−p.0]+ p∫ ∞

0f (t)e−ptdt

La quantité £( f ′) existe si f (∞) = 0 et Re (p) > 0 dans ce cas on aura

£( f ′) = − f (0) + pF(p)



Si f (t) est deux fois dérivables sur R+, alors on a f ′′ = ( f ′)′ , en utilisant la relationprécédente pour f ′ et f ′′ :

£[

f ′′](p) = − f ′(0) + p£

[f ′]= − f ′ (0) + p (− f (0) + p£ [ f ])

on trouve :£[

f ′′]= p2£ [ f ]− p f (0)− f ′ (0) (7.11)

De plus, si la fonction f (t) est n fois dérivables et les dérivées sont sommables et continuessur R+ on démontre par réurrence la formule générale

£[

f (n)]= pn£ [ f ]− pn−1 f (0)− pn−2 f ′(0)− ...− p f (n−2)(0)− f (n−1)(0)

Exemple 7.17 Si f (t) = sin t alors F (p) =1

p2 + 1et f (0) = 0

f ′ (t) = cos t =⇒ £( f ′) = pF(p)− f (0) =p

p2 + 1

7.2.7 Dérivée de la transformée

Théorème 7.9 Si f (t) est une fonction ayant une transformée de Laplace pour Re (p) > α,alors pour tout entier n la fonction tn f (t) admet une transformée de Lapalace donnée par

£ [tn f ] (p) = (−1)n dn£ ( f )dpn

DémonstrationSoit £ [ f ] = F (p) =

∫ ∞0 f (t)e−ptdt, pour Re (p) > α alors

dFdp=

ddp

[∫ ∞

0f (t)e−ptdt

]La convergence de cet intégrale nous permet de fair l’interchange des opérations : dérivationet intégration, et alors op peut dériver sous le signe intégral, par consequant :

dFdp=

∞∫0

∂

∂p(

f (t) e−pt) dt = −∞∫

0

t f (t) e−ptdt = −£ [t f ] (7.12)

pour Re p > α

La dérivée seconde est :d2Fdp2 =

ddp

(dFdp

)=

ddp(−£ [t f ]) = − (−£ [t (t f )]) = (−1)2 £

[t2 f]

D’où pour tout n ∈N :

£ [tn f ] (p) = (−1)n dn£ ( f )dpn



Exemple 7.18 En utilisant la transformée de u (t) , comme une fonction causale égale 1, onobtient par dérivation de £ (u), la transformée de tn

£ (u) = £ (1) =1p

alors £ (t) = − ddp

(1p

)=

1p2

De même £(t2) = (−1)2

d2

dp2

(1p

)=

2p3

En dérivant n fois, on obtient :

£ (tn) = (−1)n dn

dpn

(1p

)=

n!pn+1

7.2.8 Transformée de l’intégrale

Théorème 7.10 Soit F(p) la transformée de Laplace d’une fonction intégrable f (t) et est saprimitive est g(t) =

∫ t0 f (x)dx . Alors la transformée de Laplace de la fonction g(t) est

£[∫ t

0f (x)dx

](p) =

1p

£ [ f ] (p) (7.13)

Démonstration

Par définition G(p) =∞∫

0

g(t)e−ptdt

g(t) est la primitive de f (t) alors f (t) = g′(t)La régle de dérivée nous donne :

£[g′]= £ [ f ] = F(p) = −g(0) + pG (p)

Donc G(p) =F(p)

p+

g(0)p

Or g(0) =∫ 0

0f (x)dx = 0 par suite G(p) =

F(p)p

7.2.9 Intégration de transformée

Théorème 7.11 Si f (t) satisfait à la condition pour l’existence d’une transformée de Laplace etque lim

t→0+f (t)

t existe, alors l’intégrale de la transformée existe et vaut :

∫ ∞

p£ [ f ] (p) dp = £

[f (t)

t

](p) (7.14)



DémonstrationSi l’intégrale de la transformée existe alors∫ ∞

pF(p)dp =

∫ ∞

p

[∫ ∞

0f (t)e−ptdt

]dp

=∫ ∞

0

[∫ ∞

pf (t)e−ptdp

]dt

=∫ ∞

0

[−1

tf (t)e−pt

∣∣∣∣∞p

]dt

=∫ ∞

0

f (t)t

e−ptdt

7.2.10 Fonctions périodiques

Théorème 7.12 Si f (t) une fonction T− périodique et définie sur ]0, T[. Alors, la transforméede Laplace de la fonction f (t) est F(p) telle que :

F (p) =

∫ T0 f (u)e−pudu

1− e−pT (7.15)

DémonstrationPar définition :

F(p) =∫ ∞

0f (t)e−ptdt

Mais f (t) est T−périodique alors on peut écrire la dernière intégrale sous la forme d’unesomme infinie des intégrales :

F(p) =∫ T

0f (t)e−ptdt+

∫ 2T

Tf (t)e−ptdt+ · · ·+

∫ (k+1)T

kTf (t)e−ptdt+ · · ·

ou bien

F(p) = limn→∞

n

∑k=0

[∫ (k+1)T

kTf (t)e−ptdt

](7.16)

Dans chacune des intégrales

Ik =∫ (k+1)T

kTf (t)e−ptdt

faisons le changement de variable :u = t− kT =⇒ du = dtt = u+ kT =⇒ e−pt = e−pue−kpT



Par suite u = 0 pour t = kTu = T pour t = (k+ 1)T

comme f (u+ kT) = f (u) d’où

Ik =∫ T

0f (u+ kT)e−p(u+kT)du = e−pkT

∫ T

0f (u)e−pudu (7.17)

Alors

F(p) = limn→∞

n

∑k=0

[∫ (k+1)T

kTf (t)e−ptdt

]= lim

n→∞

n

∑k=0

[e−pkT

∫ T

0f (u)e−pudu

]=(∫ T

0 f (u)e−pudu)(

limn→∞

n∑

k=0e−pkT

)=

(∫ T

0f (u)e−pudu

)limn→∞

1− e−npT

1− e−pT

=

(∫ T

0f (u)e−pudu

)1

1− e−pT

n∑

k=0e−pkT = 1+ e−pT + e−2pT + · · ·+ e−npT est la somme d’une suite géométrique, du

premier terme a0 = 1 et de raison q = e−pT alors cette somme vaut :

1− e−(n+1)pT

1− e−pT

Remarque

7.2.11 Théorèmes de la valeur finale et de la valeur initiale

Soit f (t) une fonction définie pour t ≥ 0 et ayant pour transformée de Laplace F(p).

Théorème 7.13 (Théorème de valeur initiale) Si f (t) a une limite à droite pour t → 0 ,alors on a :

limt→0+

f (t) = limp→∞

pF(p), p ∈ R (7.18)

Démonstration

On a £ [ f ′] =∫ ∞

0f ′(t)e−ptdt = pF(p)− f (0)

=⇒ limp→∞

∫ ∞

0f ′(t)e−ptdt = lim

p→∞[pF(p)− f (0)]

=⇒∫ ∞

0f ′(t)

[limp→∞

(e−pt)] dt = 0 = lim

p→∞pF(p)− f (0)

=⇒ limp→∞

pF(p) = f (0) = limt→0

f (t)



Si limt→0+

f (t)g(t)

= 1 c’est-à-dire f (t) ∼ g(t) pour t→ 0 et alors on a de même F(p) ∼ G(p)

quand p→ ∞.

Remarque

Théorème 7.14 (Théorème de la valeur finale) Si f (t) a une limite pour t→ ∞ alors l’abs-cisse de convergence absolue est négative ou nulle, et l’on a :

limt→+∞

f (t) = limp→0

pF(p), p ∈ R (7.19)

Démonstration

limp→0

∫ ∞

0f ′(t)e−ptdt = lim

p→0[pF(p)− f (0)]

=⇒∫ ∞

0f ′(t)dt = lim

p→0pF(p)− f (0)

=⇒ f (t)|∞0 = f (∞)− f (0) = limp→0

pF(p)− f (0)

=⇒ limt→∞

f (t) = f (∞) = limp→0

pF(p)

Si f (t) ∼ g(t) quand t→ +∞ alors de même F(p) ∼ G(p) quand p→ 0

Remarque

7.3 Transformation de Laplace inverse

La transformation de Laplace inverse consiste à chercher la fonction temporelle f (t) quicorrespond à une fonction F(p) donnée.

Il est possible d’utiliser différentes méthodes pour calculer la fonction originale f (t)connaissant la fonction image F(p).

7.3.1 Formule d’inversion de Mellin-Fourier

Si la fonction de la variable réelle f (t) vérifie les conditions d’existance de la transforméede Laplace et en particulier : | f (t)| < Meσ0t et F(p) sa transformée alors, par analogie avecla formule de transformée inverse de Fourier, on peut démontrer que la fonction originalef (t) peut être déterminée à partir de F(p) par la formule :

f (t) =1

2jπ

∫ σ+j∞

σ−j∞F(p)eptdp (7.20)

Le chemin d’intégration est n’importe quelle droite Re(p) = σ parallèle à la droiteRe(p) = σ0.



Si la fonction f (t) présente en un point t0 une discontinuité de premier espèce alors laformule d’inversion nous donne :

f (t+0 ) + f (t−0 )2

=1

2jπ

∫ σ+j∞

σ−j∞F(p)eptdp (7.21)

D’autre part, la fonction F(p) est la transformée de Laplace d’une fonction f (t) si F(p)vérifie les conditions suivantes :

(a) |F(p)| → 0 si |p| → ∞ avec arg(p) ∈[−π

2,

π

2

].

(b) ∀σ > σ0, ∃M > 0 tel que∫ σ+j∞

σ−j∞|F(x+ jy)| dy ≤ M

On remarque que le calcul avec la formule d’inversion présente une certaine difficultédans la plupart des cas, c’est pourquoi on utilise des autres méthodes pour déterminer lafonction originale.

7.3.2 Méthode du théorème de Résidus

Dans ce paragraphe on ne démontre pas la formule du théorème de résidu, on donnedirectement les formules donnant la fonction f (t) à partir de F(p).

Pour savoir plus sur le théorème de résidus, le lecteur peut consulter des cours de l’analysecomplexe.

Si F(p) est une fonction rationnelle de la forme :

F(p) =P(p)Q(p)

=

n∑

k=0ak pk

m∑

k=0bk pk

Les racines de P(p) = 0 sont les zéros de la fonctions F(p) car si α est une racine alorsF(α) = 0 et les racines de Q(p) = 0 sont les pôles de F(p) car F(p) tend vers l’infini pources points.

B Si βi est un pôle de F(p) d’ordre de multiplicité mi; (m1 +m2 + ..+ml = m).Alors la fonction f (t) original est donnée par la formule de Heaviside :

f (t) =l

∑i

1

(mi − 1)!limp→βi

dmi−1

dpmi−1

[(p− βi)

mi F(p)ept] (7.22)

B Si βi sont des pôles simples :

f (t) = ∑i

P(βi)

Q′(βi)eβit (7.23)



Exemple 7.19 Cherchons la fonction f (t) telle que sa transformée de Laplace est

F(p) =1(

p2 + β2)3 (7.24)

Les pôles de F(p) sont tels que(

p2 + β2)3= 0 donc p = ±jβ sont deux pôles d’ordre 3.

Soit ϕ1 = (p+ jβ)3 F(p)ept =ept

(p− jβ)3

d2ϕ1dp2 =

d2

dp2

(ept

(p− jβ)3

)=

ept(

t2 p2 − 2jt2 pβ− t2β2 − 6pt+ 6jβt+ 12)

(p− jβ)5

L1 = limp→−jβ

ept(

t2 p2 − 2jt2 pβ− t2β2 − 6pt+ 6jβt+ 12)

(p− jβ)5

= − 3

8β4 t cos βt+ −18 t2β2+ 3

8β5 sin βt+ j

(− 1

8 t2β2+ 38

β5 cos βt+ 38β4 t sin βt

)

soit ϕ2 = (p− jβ)3 F(p)ept =ept

(p+ jβ)3

d2ϕ2dp2 =

d2

dp2

(ept

(p+ jβ)3

)=

ept(

t2 p2 − 6pt+ 2jpt2β− t2β2 + 12− 6jβt)

(p+ jβ)5

L2 = limp→jβ

ept(

t2 p2 − 6pt+ 2jpt2β− t2β2 + 12− 6jβt)

(p+ jβ)5

= − 38β4 t cos βt−

18 t2β2− 3

8β5 sin βt+ j

(18 t2β2− 3

8β5 cos βt− 3

8β4 t sin βt)

f (t) =12(L1 + L2) =

(− t2

8β3 +3

8β5

)sin βt− 3t

8β4 cos βt.

Exemple 7.20 F(p) =1

p4 − 1La fonction image a 4 pôles simples : 1,−1, j,−j

f (t) = ∑i

P(βi)

Q′(βi)eβit

Q′(p) = 4p3 =⇒ Q′(1) = 4, Q′(−1) = −4, Q′(j) = −4j, Q′(−j) = 4j

=⇒ f (t) =et

4− e−t

4+

ejt

−4j+

e−jt

4j= −1

2sin t+

12

sinh t



7.3.3 Décomposition en éléments simples

Si la transformée de Laplace F(p) est une fonction rationnelle , on peut la décomposeren éléments simples des formes :

⊗ A

(p− α)k

⊗ Ap+ B

(p2 + ap+ b)k

En utilisant le tableau des transformées et les propriétés de la transformation de Laplaceon peut directement tirer la fonction temporelle f (t).

Exemple 7.21 Reprenons la fonction F(p) =1

p4 − 1,

les racines de p4 − 1 = 0 sont : 1,−1, j, et −j donc :

F(p) =1

p4 − 1=

Ap− 1

+B

p+ 1+

Cp+ j

+D

p− j

=1/4

p− 1+−1/4p+ 1

+1/4jp+ j

+−1/4jp− j

=14

£[et]− 1

4£[e−t]+ 1

4j£[e−jt]− 1

4j£[ejt]

=12

£[

et − e−t

2− ejt + e−jt

2j

]=

12

£ [sinh t− sin t]

=⇒ f (t) =sinh t− sin t

2

Exemple 7.22 F(p) =p+ 2

p2 + 15p+ 50=

p+ 2(p+ 5) (p+ 10)

=A

p+ 5+

Bp+ 10

= −35

1p+ 5

+85

1p+ 10

= −35

£(e−5t)+ 8

5£(e−10t)

alors f (t) = −35

e−5t +85

e−10t

7.4 Applications aux équations différentielles

La transformation de Laplace permet de remplacer une équation différentielle linéaireà coeffients constants dans le domaine temporel par une équation polynomiale dans le do-maine symbolique, cette équation permet de déterminer la transformée de Laplace de lafonction inconnue et à l’aide de la transformation inverse on peut déterminer la fonctiontemporelle.

Pour déterminer la transformée de Laplace d’une équation différentielle on utilise lestransformées de dérivées.



7.4.1 Equations linéaires à coefficients constantes

Soit l’équation différentielle d’ordre n :

any(n) + an−1y(n−1) + ...+ a1y′ + a0y = f (x) (7.25)

Sa transformée de Laplace est :

£[

any(n) + an−1y(n−1) + ...+ a1y′ + a0y]= £ [ f (x)]

donc :

an£[y(n)

]+ an−1£

[y(n−1)

]+ ...+ a1£

[y′]+ a0£ [y] = £ [ f ]

Soit Y = Y(p) = £ [y] alors

an

(pnY− pn−1y(0)− pn−2y′(0) + ..

)+ ...+ a1 (pY− y(0)) + a0Y = F(p)

Cette équation image s’appelle équation auxiliaire de l’équation différentielle dans la-quelle l’inconnue est Y(p).

En séparant l’inconnue, on écrit l’équation auxiliaire sous la forme :

Y(p).Q(p) = R(p) + F(p) (7.26)

d’où :

Y(p) =R(p)Q(p)

+F(p)Q(p)

(7.27)

et on peut alors trouver la fonction temporelle y(t) en utilisant la transformation deLaplace inverse.

Exemple 7.23 Chechons la solution de l’équation différentielles :

y′(t) + y(t) = 1 (7.28)

avec y(0) = 0.Le fait que la transformée de Laplace est linéaire, nous permet d’écrire :£ [y′(t) + y(t)] = £ [1]

=⇒ £ (y′) + £ (y) = £ (1)=⇒ p£ [y]− y(0) + £ [y] = £ [1]

=⇒ pY+Y =1p=⇒ Y(p) =

1p (p+ 1)

La décomposition en éléments simples de Y (p) nous donne :

Y (p) =Ap+

Bp+ 1

=1p− 1

p+ 1

Or :1p= £ (1) et

1p+ 1

= £(e−t)

donc Y (p) = £(1− e−t) par suite

y(t) = 1− e−t



Exemple 7.24 Soit à intégrer l’équation différentielle du second ordre :

y′′ + 5y′ + 6y = 12; y(0) = a et y′(0) = b

L’équation auxiliaire est :

£ [y′′ + 5y′ + 6y] = £ [12]⇐⇒ £ [y′′] + 5£ [y′] + 6£ [y] = £ [12]

Posons Y (p) = £ [y]On a £ [y′′] = p2Y− py(0)− y′(0)

£ [y′] = pY− y(0)L’équation image s’écrit :

p2Y− py(0)− y′(0) + 5 (pY− y(0)) + 6Y =12p

=⇒ p2Y− ap− b+ 5pY− 5a+ 6Y =12p

=⇒ Y(

p2 + 5p+ 6)=

12p+ ap+ b+ 5a =

ap2 + (5a+ b) p+ 12p

Y(p) =ap2 + (5a+ b) p+ 12

p (p2 + 5p+ 6)

On décompose Y (p) en éléments simples, on trouve :

Y (p) =3a+ b− 6

p+ 2− 2a+ b− 4

p+ 3+

2p

La solution est donc :

y (t) = Ae−2t − Be3t + 2

où A = 3a+ b− 6 et B = 2a+ b− 4

7.4.2 Equations linéaires à coefficients variables

Ces équations sont de la forme :

An(x)y(n) + An−1(x)y(n−1) + ...+ A0y = f (x)

An(x), An−1(x)....A0 sont des ploynômes de la variable x. c’est-à-dire :

(amxm + ..+ a0) y(n) +(

bkxk + ..+ b0

)y(n−1) + ..+

(clxl + ..+ c0

)y = f (x)

Pour déterminer l’équation auxiliaire on utlise la propriété suivante :

£[

xmy(n)]= (−1)m dm

dpm £[y(n)

]= (−1)m dm

dpm

(pnY− pn−1y(0)− pn−2y′(0) + ..+ y(n−1)(0)

)



On obtient une équation différentielle en Y(p) d’ordre N ;

N = sup (deg An, deg An−1, .. deg A0)

Le problème a un sens si N < n

Exemple 7.25 Considérons l’équation différentielle

xy′′ − (1+ x) y′ + 2y = 0 (7.29)

avec y(0) = y′(0) = 0

L’équation auxiliaire :

£[xy′′]− £

[(1+ x)y′

]− 2£ [y] = £

[xy′′]− £

[y′]− £

[xy′]− 2£ [y] = 0

Soit £ [y] = Y =⇒ £ [y′] = pY et £ [y′′] = p2Y

£ [xy′] = − ddp(pY) = −Y− p

dYdp

£ [xy′′] = − ddp(

p2Y)= −2pY− p2 dY

dp

=⇒(−2pY− p2 dY

dp

)− pY−

(−Y− p

dYdp

)+ 2Y = 0

=⇒(−p2 + p

) dYdp+ 3 (1− p)Y = 0

=⇒ pY′ + 3Y = 0 =⇒ Y′ = − 3p

Y

=⇒ Y(p) =Cp3 =⇒ y(x) = Cx2

7.4.3 Systèmes différentiels

La transformation de Laplace peut être aussi utiliser pour résoudre un système diffèren-tiel.

Les transformées de Laplace des équations différentielles constituant le système nousdonne le système auxiliaire, qui est un système d’équations linéaires dont les inconnuessont X, Y, Z.. les images des fonctions temporelles inconnues x, y, z, ...

Exemple 7.26 Soit à résoudre le système différentiel :3x′ + 2x+ y′ = 1x′ + 4y′ + 3y = 0

tel que x = x(t), y = y(t) avec x(0) = y(0) = 0Le système image est

(3p+ 2)X+ pY =1p

pX+ (4p+ 3)Y = 0

La solution du système linéaire est



X =4p+ 3

p (p+ 1) (11p+ 6)=

12p− 1

5 (p+ 1)− 33

10 (11p+ 6)

Y =−1

(p+ 1) (11p+ 6)=

15

(1

p+ 1− 11

11p+ 6

)Donc la solution du système différentiel est :

x(t) =12− 1

5e−t − 3

10e−

611 t et y(t) =

15

(e−t − e−

611 t)

7.5 Tableau de transformées de Laplace

a) Fonctions générales

f (t) F(p) = £ [ f ]1 ∑

kλk fk(t) ∑

kλkFk(p)

2 f (t− a) u (t− a) e−apF (p)

3 f (kt)1k

F( p

k

)4 eat f (t) F (p− a)5 f (n) (t) pnF (p)− p(n−1) f (0)− ...− f (n−1) (0)

6 tn f (t) (−1)n dn

dpn F (p)

7∫ t

0f (u)du

1p

F(p)

8f (t)

t

∫ ∞

pF(p)dp

9 f ∗ g =∫ t

0 f (τ) g (t− τ) dτ F (p)G (p)

10 f (t) : T− périodique F (p) =

∫ T0 f (u)e−pudu

1− e−pT

b) Fonctions puissances

f (t) £ [ f ] f (t) £ [ f ]

tn n!pn+1 ; n ∈N tα Γ (α+ 1)

pα+1 , α ∈ R, α > −1

t−1/2√

π

pt1/2

√π

2p3/2

1t

− ln p

c) Fonctions exponentielles

f (t) £ [ f ] f (t) £ [ f ]

eat 1p− a

tneat n!

(p− a)n+1 ; n ∈N

1√πt

e−a2/4t e−a√

p√

pa

2√

πt3e−a2/4t e−a

√p

ebt − eat

tln

p− ap− b

aeat − bebt

a− bp

(p− a) (p− b)



d) Fonctions trigonométriques

f (t) £ [ f ] f (t) £ [ f ]

sin ωtω

p2 +ω2 sin ωt+ωt cos ωt2ωp2

(p2 +ω2)2

cos ωtp

p2 +ω2 sin ωt−ωt cos ωt2ω3

(p2 −ω2)2

sin2 ωt2ω2

p (p2 + 4ω2)1− cos ωt

ω2

p (p2 +ω2)

cos2 ωtp2 + 2ω2

p (p2 + 4ω2)ωt− sin ωt

ω3

p2 (p2 +ω2)

t sin ωt2ωp

(p2 +ω2)2a sin bt− b sin at

ab (a2 − b2)

1(p2 + a2) (p2 + b2)

t cos ωtp2 −ω2

(p2 +ω2)2cos bt− cos at

a2 − b2p

(p2 + a2) (p2 + b2)

2 (1− cos ωt)t

lnp2 +ω2

p2sin at

tarctan

(ap

)

e) Echelon unité Distribution de Dirac

f (t) £ [ f ]

u (t− a)e−ap

p

f (t) £ [ f ]δ (t) 1

δ (t− t0) e−pt0

f) Fonctions hyperboliques

f (t) £ [ f ] f (t) £ [ f ]

sinh ωtω

p2 −ω2 t sinh ωt2ωp

(p2 −ω2)2

cosh ωtp

p2 −ω2 t cosh ωtp2 +ω2

(p2 −ω2)2

sinh2 ωt2ω2

p (p2 − 4ω2)

2 (1− cosh ωt)t

lnp2 −ω2

p2

cosh2 ωtp2 − 2ω2

p (p2 − 4ω2)

g) Fonctions exponentielles et trigonométriques et hyperboliques

f (t) £ [ f ] f (t) £ [ f ]

eat sin ωtω

(p− a)2 +ω2sin ωt sinh ωt

2ω2 pp2 + 4ω4

eat cos ωtp− a

(p− a)2 +ω2sin ωt cosh ωt

ω(

p2 + 2ω2)p4 + 4ω4

eat sinh ωtω

(p− a)2 −ω2cos ωt sinh ωt

ω(

p2 − 2ω2)p4 + 4ω4

eat cosh ωtp− a

(p− a)2 −ω2cos ωt cosh ωt

p3

p4 + 4ω4



7.6 Exercices

Exercice 7.1 Calculer les transformées de Laplace des fonctions suivantes

1. f (t) =

0 pour t ∈ [0, a[1 pour t ∈ ]a, ∞[

2. g(t) =

t pour t ∈ [0, 3[0 pour t ∈ ]3, ∞[

3. h(t) =

1 pour t ∈ [0, 1[2 pour t ∈ ]1, ∞[

4. k(t) =−1 pour t ∈ [0, 1[1 pour t ∈ ]1, ∞[

5. f1 (t) = cos 2t+ sin 2t− e−2t sin 4t

6. f2 (t) =(t+ t2) cos 3t

7. f3 (t) = et ∗ sin 2t

8. f4 (t) = t10e−10t

Exercice 7.2 Montrer que :

1. Si f (t) =e−at − e−bt

talors £ [ f ] (p) = ln

(p+ bp+ a

)

(a) En déduire que :∞∫

0

e−3t − e−6t

tdt = ln 2

2. Si f (t) =cos at− cos bt

talors£ [ f ] (p) =

12

ln(

p2 + b2

p2 + a2

)

(a) En déduire que :∞∫

0

cos 6t− cos 4tt

dt = ln23

Exercice 7.3 Calculer les transformées de Laplace des fonctions périodiques suivantes :

1. f (t) =

1 pour t ∈ ]0, 1[−1 pour t ∈ ]1, 2[

2. f (t) = t pour t ∈ ]0, 1[

3. f (t) =

1 pour t ∈

]0,

T2

[0 pour t ∈

]T2

, T[

4. f (t) = e−t pour t ∈ ]0, 1[

Exercice 7.4 Déterminer la fonction temporelle f (t) dont la transformée de Laplace est F(p)dans les cas suivants :



1. F (p) =1

(p+ 5)4

2. F (p) =e−2p + e−p

p3

3. F (p) =p+ 2

p2 + 4p+ 5

4. F (p) =5

p2 + 6p+ 34

5. F (p) =p− 1

p2 − 2p+ 5

6. F (p) =p

p2 + 4p+ 13

7. F (p) =2p+ 1

p4 + 4p2

8. F (p) =ωp

(p2 +ω2)2

9. F (p) =2

p5 − 2p4 − 3p3

10. F(p) =(p+ 2) e−5p

p2 + 4p+ 5

11. F(p) =(e−2p + 3e2p) (2p+ 1)

p2 (p2 + 4)

Exercice 7.5 Intégrer :

1. y”− 2y+ 1 = exp(t); y(0) = y′(0) = 0

2. y”+ 1 = t ; y(0) = y′(0) = 0

3. (t− 1)y”+ (5− 4t)y′ − 4y = 0 ; y(0) = 3, y′(0) = 12.

4. Le système : y′ − y− 3x = tx′ − y+ x = 0

; x(0) = y(0) = 0

5. t f ′(t) + 2∫ t

0f (u) sin(t− u)du = sin t, t > 0 et f (0) = 1

6. y′′ + 4y′ + 3y = 0 avec les conditions y(0) = 3 et y(0) = 1.

7. y”− 2y′ + y = exp(t); y(0) = 1 et y′(0) = 0

8. y′′ + 3y′ + 2y = δ (t− a) avec les conditions y(0) = y′(0) = 0. δ (t) est la l’impulsionde Dirac : £ (δ (t)) = 1

9. y′′′(t)− 6y′′(t) + 11y′(t)− 6y(t) = e−t avec y (0) = 1 y′ (0) = 0 y′′ (0) =−4

Exercice 7.6 Soit f (t) =√

t une fonction causale

1. Calculer f ∗ f

2. Calculer la transformée de Laplace de f ∗ f

3. Déduire la transformée de Laplace de f

4. Refaire le même exercice pour la fonction g(t) =1√

t; t > 0

Exercice 7.7 On définit La fonction de transfert p → H(p) d’un système, qui donne à chaquesignal d’entrée e(t) un signal de sortie s(t), par la relation S(p) = H(p).E(p) ; S(p) et E(p)sont respectivement les transformées de Laplace des signaux s(t) et e(t). On considère un sys-



tème de fonction de transfert H(p) =1

p2 + 4.Le signal d’entrée est défini par :

e(t) =

2t si t ∈ [0, 1]

−2t+ 4 si t ∈ [1, 2]0 si t ∈ ]−∞, 0] ∪ [2, ∞[

1. Tracer la courbe représentative de e(t)

2. Exprimer e(t) à l’aide de l’échelon unité u(t)

3. Calculer E(p)

4. Déterminer la fonction temporelle f (t) dont l’image est :

F(p) =1

p2 (p2 + 4)

5. Calculer la réponse S(p) et en déduire le signal de sortie s(t)

6. Préciser les valeurs de s(t) dans les intervalles : ]−∞, 0] , [0, 1[ , [1, 2[ , [2, ∞[

7. Tracer le graphe de s(t)

Exercice 7.8 On considère un circuit R,L auquel on applique une f.e.m e(t) ; pour t > 0 :

e(t) =

M si t ∈ ]0, a[−M si t ∈ ]a, b[

0 si t ∈ ]b, ∞[; e(0) = 0

1. Tracer le graphe de e(t)

2. Exprimer e(t) à l’aide de la fonction échelon unité

3. Calculer la transformée de Laplace E(p) de e(t)

4. Ecrire l’équation différentielle(D) qui régit le circuit

5. Calculer la fonction originale de G(p) =M exp (−αp)

p (Lp+ R), α ∈ R+.

6. Résoudre (D) à l’aide de la transformée deLaplace et donner les expressions de l’intensitédu courant i(t) dans les intervalles ]−∞, 0[ , [0, a[ , [a, b[ et [b, ∞[

7. Tracer le graphe de i(t) si M = 2V, R = 10Ω, L = 0.1H, a = 0.02s, b = 0.04s

Exercice 7.9 On définit La fonction porte fa (x) et la fonction échelon ua (x) = u (x− a) par :

fa (x) =+1 si 0 < x < a0 Ailleurs , ua (x) =

+1 si x ≥ a0 si x < a

1. Tracer la courbe de fa (x) , et calculer, par intégration, sa transformée de Laplace2. Déduire la transformée de x fa (x)3. Donner une expression de fa (x) en fonction de ua (x) et retrouver sa transformée de La-

place.

4. Donner une forme explicite, en fonction de ua (x) de ga (x) =x∫

0fa (x) fa (x− y) dy et

Montrer que £ (ga) (p) = [£ ( fa) (p)]2



5. Calculer les valeurs de ga (x) dans les intervalles ]−∞, 0[ ; ]0, a[ ; ]a, 2a[ ; ]2a,+∞[

6. Tracer la courbe de ga (x)

7. Déterminer la fonction temporelle hα (x) dont la transformée de Laplace est

Hα (p) =e−αp

p2 (Lp+ R)

avec α, L et R sont des constantes non nulles.

8. Résoudre, à l’aide de transformation de Laplace, l’équation différentielle :

Ldydx+ Ry = ga (x) ; ga (0) = 0

et exprimer y (x) à l’aide de h0 (x) , ha (x) et h2a (x) .

Exercice 7.10 Une poutre de longueur L supporte une charge par unité de longueur W (x)(pour 0 ≤ x ≤ L) qui agit verticalement. Il en résulte que l’axe de cette poutre présente, en toutpoint x, une flèche y(x) qui est solution de l’équation différentielle (D) suivante :

y(4) (x) =W (x)

EI(D)

où E est le module d’élasticité de la poutre, et I son moment d’inertie par rapport à son axe.On suppose que les extrémités de la poutre sont posées, c’est-à-dire qu’à ces extrémités x = 0

et x = L, y = y′′ = 0.

On suppose que les extrémités de la poutre sont posées, c’est-à-dire qu’à ces extrémités x = 0 etx = L : y = y′′ = 0.

Soit Y(p) la transformée de Laplace de y(x).

1. On considère la charge constante : W (x) = cte = W0.

(a) Exprimer la charge W0 en fonction de la fonction échelon uL(x) (ou u(x− L) )(b) Ecrire les transformées de Laplace des dérivées successives de y(x) en fonction de p

et de Y(p).(c) A partir de l’équation différentielle (D), donner l’expression de Y(p) en fonction de

p, y′(0) et y′′′(0).(d) Trouver l’originale de Y(p).(e) Calculer y′(0) et y′′′(0) à partir des conditions en x = L(f) Trouver y (x) pour 0 ≤ x ≤ L.

2. On suppose maintenant que la charge W (x) n’est plus constante, mais W (x) =EI sin ωx. (pour 0 ≤ x ≤ L) .Trouver dans ce cas, la flèche y(x), en considérant les conditions initiales suivantes :y′ (0) = a, y′′′ (0) = b et y (0) = y′′ (0) = 0.



Exercice 7.11 Soit f une fonction admettant une transformée de Laplace : F (p) = L ( f (t)) ,telle que :

t∫0

f (x)√t− x

dx = tn; n ∈N et t > 0

On donne : L(

1√t

)=

√π

p. et 1× 3× 5× · · · × 2n− 1 =

(2n)!2nn!

1. Trouver F (p) .

2. Calculer L(tn−1/2) à partir de L

(1√

t

), en déduire f .


CHAPITRE 8

TRANSFORMÉE EN Z

LEs techniques de transformation jouent un rôle primordial dans l’étude des sys-tèmes linéaires invariants. C’est le cas des transformées de Fourier ou Laplace pourles systèmes en temps continu. Ces transformations connaissent une particularisa-tion aux systèmes en temps discret. La transformée en z est aux systèmes en temps

discret ce que la transformée de Laplace est aux systèmes en temps continu. La propriété laplus remarquable est toujours la mise en correspondance de la convolution dans le domainedirect avec un produit dans le domaine transformé. La transformée en z présente en outrel’avantage d’être plus facilement inversible que la transformée de Fourier.

Les raisons d’introduire la transformée en z sont donc lesmêmes que celles qui ont mo-tivé l’utilisation de la transformée de Laplace : une facilité plus grande d’utilisation et d’in-version que celles offertes par la transformée de Fourier.

La transformée en Z est, alors, une adaptation de la transformée de Laplace pour l’étudedes réponses transitoires des systèmes numériques ou discrets. La transformée en Z est doncrelative aux suites numériques. Elle permet de ce fait un traitement des signaux et systèmeséchantillonnés, analogue à celui que permet la transformée de Laplace pour les signaux etsystèmes analogiques.

8.1 Rappels d’analyse complexe

8.1.1 Fonction de la variable complexe

Définition 8.1 On appelle fonction complexe de la variable complexe z toute application f de C

dans C qui fait associer à chaque nombre complexe z un nombre complexe Z tel que Z = f (z) :

z ∈ Cf→ Z = f (z) ∈ C

Z = f (z) est un nombre complexe donc il s’écrit sous la forme :

Z = f (z) = P+ jQ (8.1)

P = P(x, y) est la partie réelle de Z et Q = Q(x, y) la partie imaginaire .

Exemple 8.1 :

1. Z = f (z) = z2 = (x+ jy)2 = x2 − y2 + 2jxyDonc P = x2 − y2 et Q = 2xy


2. f (z) = z sin z = (x+ jy) sin (x+ jy)= x sin x cosh y− y cos x sinh y+ j (x cos x sinh y+ y sin x cosh y)

8.1.2 Dérivation complexe

Soit la fonction f (z) définie et continue dans un domaine simplement connexe D. Si ondonne à la variable z un accroissement ∆z = z− z0 au voisinage d’un point z0, alors quela fonction subit de même un accroissement ∆ f (z) :

∆ f = f (z)− f (z0) (8.2)

Définition 8.2 Considérons la limite du rapport∆ f∆z

lorsque l’accroissement ∆z est infiniment

petit. Cette limite, si elle existe, s’appelle dérivée de f (z) au point z0 et on la note f ′(zo).

f ′(z0) = lim∆z→0

∆ f (z)∆z

= limz→z0

f (z)− f (z0)

z− z0(8.3)

a) Fonctions analytiques (holomorphes)

Une fonction complexe est définie généralement dans une portion du plan complexe etdans ce domaine la quantité ∆z peut tendre vers zéro sur n’importe quel trajet défini par unecourbe de la forme y = y(x). La dérivée d’une fonction complexe, si elle existe, n’entraînepas nécessairement que la fonction est dérivable sauf si cette dérivée est la même quel quesoit le trajet suivi, si c’est le cas la fonction est dite fonction analytique.

Définition 8.3 Une fonction complexe est analytique si et seulement si sa dérivée en un point estindépendante du chemin suivi.

b) Conditions de Cauchy-Riemann

Théorème 8.1 Une condition nécessaire pour q’une fonction f (z) = P (x, y) + jQ (x, y) soit

analytique sur un domaine D,est que les dérivées partielles :∂P∂x

,∂P∂y

,∂Q∂x

,∂Q∂y

existent et véri-

fient en tout point de D les Conditions de Cauchy-Riemann (CCR) :

∂P∂x=

∂Q∂y

et∂P∂y= −∂Q

∂x(8.4)

DémonstrationSoit la fonction f (z) définie et continue dans un domaine simplement connexe D, cette

fonction s’écrit sous la forme : f (z) = P(x, y) + jQ(x, y) où P et Q sont les parties réelleet imaginaire de f (z) et elles sont continues dans D. On a ∆z = ∆x + j∆y et de même∆ f (z) = ∆P+ j∆Q .



D’après la définition de la dérivée on écrit :

f ′(z) = lim∆z→0

∆ f (z)∆z

= lim∆x→0,∆y→0

∆P+ j∆Q∆x+ j∆y

Cette dérivée si elle existe, est unique quelle que soit la manière (ou le trajet) dont ∆z tendvers 0

Considérons deux chemins particulièrs :

i) Si on fait tendre ∆z vers zéros suivant le chemin x = cte alors ∆x = 0, par suite :

f ′(z)∣∣i = lim

∆y→0

∆P+ j∆Qj∆y

= lim−j∆y→0

∆P∆y

+ lim∆y→0

∆Q∆y

Doncf ′(z)

∣∣i =

∂Q∂y− j

∂P∂y

(8.5)

ii) D’autre part si ∆z tend vers zéro sur le trajet y = cte c’est-à-dire ∆y = 0 on trouve :

f ′(z)∣∣ii = lim

∆x→0

∆P+ j∆Q∆x

= lim∆x→0

∆P∆x

+ j lim∆y→0

∆Q∆x

Alors :f ′(z)

∣∣ii =

∂P∂x+ j

∂Q∂x

(8.6)

La fonction f (z) est analytique si la dérivée est la même sur les deux chemins, donc ilfaut que :

∂Q∂y− j

∂P∂y=

∂P∂x+ j

∂Q∂x

Cette relation équivaut les (CCR) .

1. Les conditions de Cauchy-Reimann sont nécessaires mais pas suffisantes, il fautde plus que les dérivées partielles des parties réelle et imaginaire soient continuesdans le domaine D.

2. Pour exprimer la fonction f (x, y) = P+ jQ à l’aide de la variable z = x+ jy ilsuffit de considérer y = 0 et remplacer x par z.

Remarque

Exemple 8.2 Soit f (z) = x2 − y2 + x+ j (2xy+ y)On a : P = x2 − y2 + x et Q = 2xy+ y

Alors :

∂P∂x= 2x+ 1 =

∂Q∂y

∂P∂y= −2y = −∂Q

∂xLes dérivées partielles sont continues et vérifient les (CCR) donc f (z) est analytique.f (x, 0) = x2 + x =⇒ f (z) = z2 + z



c) Série de Taylor

Une fonction f (z) est holomorphe en un point z0 si dans un voisinage de z0 elle estreprésentée par le développement de Taylor complexe

f (z) =∞

∑n=0

f (n)

n!(z− z0)

n (8.7)

La fonction f est analytique dans le domaine D (ensemble ouvert et connexe), si elle estanalytique en tout point de D

d) Série de Laurent

Une série de fonctions de la forme :

B0 + B1

(1z

)+ B2

(1z

)2

+ ...+ Bn

(1z

)n

+ .. (8.8)

peut être considérée comme une série entière où la variable est1z

. Telle série conver-

gera donc à l’extérieur d’un certain cercle |z| = R et la convergence est uniforme dans cedomaine.

Si on combine cette série avec une série entière ordinaire en z on obtient une série de laforme :

∞

∑n=0

Anzn +∞

∑n=1

Bn

zn = A0 + A1z+ ....+ Anzn + ..+B1

z+ ..+

Bn

zn + .. (8.9)

La série (10) est dite convergente si et seulement si, séparement, les deux séries qui lacompose sont convergente.

Comme la série∞

∑n=0

Anzn converge pour |z| < R et la série∞

∑n=1

Bn

zn converge pour |z| > R′

il existe alors , si R′ < R un certain domaine de convergence de la série (10) définie parR′ < |z| < R . Dans ce domain la série représente une fonction holomorphe .

Inversement on peut représenter une fonction holomorphe,dans un domaine R′ < |z| <R (ou plus généralement R′ < |z− a| < R ), et montrer que telle fonction est la sommed’une série de la forme :

∞

∑n=0

An(z− a)n +∞

∑n=1

Bn

(z− a)n

= A0 + A1(z− a) + ....+ An(z− a)n + ..+B1

z− a+ ...

Bn

(z− a)n (8.10)

Telle série est dite : série de Laurent.



Exemple 8.3 La fonction

f (z) =1

z− 1

est analytique dans le domaine C− 1, le plan complexe entier sauf le point 1 où elle possèdeun pôle. En effet, en un point z0 6= 1on peut écrire

f (z) = − 11− z

= − 11− z0 − (z− z0)

= − 11− z0

1

1− z− z0

1− z0

=∞

∑n=0

[− (1− z0)

−(n+1)](z− z0)

n

Cette série converge de manière absolue dans le domaine |z− z0| < |1− z0| et elle représente lafonction dans ce domaine.

FIG. 8.1 – Domaine de convergence

Remarquons que la série de Taylor en aucun point parvient à représenter la fonction fdans tout son domaine d’analyticité.

Remarquons encore que

f (z) =1

z− 1=

1/z1− 1/z

=∞

∑n=0

(1z

z−n)

Cette série converge à l’extérieur du cercle unité. On peut la considérer comme dévelop-pement de Taylor autour de l’infini. Donc, f (z) est également analytique à l’infini.

C’est ce développement qui est utilisé en transformée en Z .

8.1.3 Intégration le long d’un chemin

On considère un chemin Γ dans le plan complexe, tel chemin peut être réprésenté à l’aided’un paramètre t ; sur Γ t ∈ [a, b]. La fonction z(t) est supposée d’être dérivable. On définitl’intégrale de la fonction f (z) le long du chemin Γ par

∮Γ

f (z)dz =∫ b

af (z(t))

dzdt

dt (8.11)



Exemple 8.4 On veut calculer l’intégrale de f (z) = zn le long d’un cercle de rayon R centréen O, parcouru dans le sens trigonométrique.

On a donc z(t) = Rejt =⇒ dz = Rjejtdt ; t ∈ [0, 2π]Pour n 6= −1 :∮

Γzndz =

∫ 2π

0

(Rnejnt) (Rjejt) dt

= Rn+1 j∫ 2π

0ej(n+1)tdt =

Rn+1

n+ 1ej(n+1)t

∣∣∣∣2π

0= 0

pour n = −1 :∮

Γ

dzz=∫ 2π

0

RjejtdtRejt = j

∫ 2π

0dt = 2jπ

Notons que cette intégrale ne dépend pas de R. C’est une conséquence du théorème de Cauchy.

Théorème 8.2 (Théorème de Cauchy) Soit f (z) une fonction analytique dans un domaineD qui est simplement connexe (ne comporte pas de trous) et soit Γ un contour fermé (un chemindont les deux extrémités coincident) dans D. Alors l’intégrale de f (z) le long de Γ s’annule.

DémonstrationD’après l’expression (8.11), si Γ est fermé alors t1 = a = t2 = b .Si f (z) est la dérivée d’une fonction F(z) donc f (z)dz = dF par suite :∮

Γ

f (z)dz =∫ a

adF = F(a)− F(a) = 0

Esquisse de la démonstration

FIG. 8.2 – Domaine multiplement connexe

Le domaine annulaire de la figure 2 n’est pas simplement connexe, mais en lui enlevantune mince bande connectant les deux contours, il le devient (figure 3)

FIG. 8.3 – Transformation du domaine

D’après le théorème de Cauchy, l’intégrale sur le contour fermé :

Γ = Γ1 − Γ4 − (−Γ2)− Γ3



s’annule. Quand Γ3 se rapproche de Γ4 les intégrales sur ces deux chemins se compensentet par conséquent l’intégrale sur Γ1 est égale à moins l’intégrale sur −Γ2, c’est-à-dire égale àl’intégrale sur Γ2.

1. L’intégrale d’une fonction analytique dans un domaine simplement connexe Dle long d’un chemin Γ dans D ne dépend pas de ce chemin, mais seulement desextrémités du chemin.

2. Les intégrales d’une fonction analytique dans un domaine D le long de deuxcontours fermés Γ1 et Γ2, l’un contenu dans l’autre, sont identiques, pourvu quele domaine annulaire A compris entre Γ1 et Γ2 appartient entièrement à D.

Noter

a) Application

L’intégrale de la fonction

f (z) =1

z− 1

sur un cercle de rayon R > 1 contre le sens des aiguilles d’une montre vaut∮|z|<R

1z− 1

dz

En effet, cette intégrale est égale à l’intégrale sur un petit cercle centré en 1, et cettedernière peut être ramenée par la transformation de la variable d’intégration z− 1 → z enl’intégrale de 1/z sur un petit cercle centré en 0 que l’on a calculé précédemment.

FIG. 8.4 – Chemin d’intégration de 1z−1

Ce résultat particulier peut être obtenu directement du théorème des résidus, dont laportée est beaucoup plus générale.

8.1.4 Résidu

L’étude des fonctions holomorphes aux points où elles cessent de l’être nous permet deleur découvrir de nouvelles propriétés.

Définition 8.4 Une fonction complexe f (z) est possède un zéro en un point z0 si f (z0) = 0. Sif (z) s’écrit : f (z) = (z− z0)

m g(z) alors z0 est zéro d’ordre m.



Définition 8.5 On dit que le point z0 est un pôle d’ordre m de f (z) si celui-ci est un zéro d’ordrem de 1

f (z)

Une fonction complexe f (z) est possède un pôle d’ordre m en un point z0 si dans unvoisinage de z0 elle est représentée par le série de Laurent de la forme

f (z) =∞

∑n=−m

An (z− z0)n

=A−m

(z− z0)m +

A−m+1

(z− z0)m−1 + ...+ A0 + A1 (z− z0) + ... (8.12)

Le résidu de f (z) en z0 est le coefficient d’ordre −1 :

Rz0 ( f ) = A−1

Si f n’est pas analytique en z0 et si elle ne possède pas de pôle en z0 , elle possède unesingularité essentielle en z0.

Théorème 8.3 (Théorème des résidus) Soit f : C→ C une fonction qui est analytique dansun domaine simplement connexe D, sauf en un nombre fini de points z1, z2, ... où elle possèdedes pôles. Soit Γ un contour fermé dans D qui est parcouru dans le sens contraire aux aiguillesd’une montre. Alors ∫

Γ

f (z)dz = 2jπ ∑i

Rzi( f ) (8.13)

où la sommation s’étend sur tous les pôles à l’intérieur de Γ

FIG. 8.5 – Domaine avec plusieurs pôles

a) Calcul des résidus

1. Cas d’un pôle simpleSi f possède un pôle simple en z0 , le résidu de f en est déterminé par

Rz0( f ) = limz→z0

[(z− z0) f (z)] (8.14)

Le plus souvent, il n’est pas nécessaire d’effectuer cette limite. En effet, si f est unefraction rationnelle, elle est de la forme

f (z) =P(z)

(z− z0)Q(z)

avec Q(z0) 6= 0.



Dans ce cas

Rz0( f ) =P(z0)

Q(z0)

2. Cas d’un pôle multipleOn suppose que la fonction f (z) présente en z0 un pôle multiple d’ordre m 6= 1 doncla série de Laurent associée à f (z) est :

f (z) =∞

∑n=0

An(z− z0)n +

A−1

(z− z0)+

A−2

(z− z0)2+ ..+

A−m

(z− z0)m

dans ce cas on considère la fonction ϕ(z) = (z− z0)m f (z) :

ϕ(z) =∞

∑n=0

An(z− z0)n+m + A−1(z− z0)

m−1 + A−2(z− z0)m−2 + ...+ A−m

= F(z) + A−1(z− z0)m−1 + A−2(z− z0)

m−2 + ...+ A−m

Faisons les dérivées successives de ϕ(z) jusqu’à l’ordre m− 1 :

ϕ′(z) = F′(z) + (m− 1)A−1(z− z0)m−2 + (m− 2)A−2(z− z0)m−3...+ A−m+1

ϕ′′(z) = F′′(z) + (m− 2)(m− 1)A−1(z− z0)m−3 + ...+ A−m+2

...ϕ(m−1)(z) = F(m−1)(z) + (m− 1).(m− 2)(m− 3).....2.1.A−1

= F(m−1)(z) + (m− 1)!.A−1

si z→ a =⇒ F(m−1)(z)→ 0 et ϕ(m−1)(z)→ (m− 1)!.A−1 et on trouve :

Rz0( f ) =1

(m− 1)!limz→z0

dm−1

dzm−1 [(z− z0)m f (z)]

(8.15)

Exemple 8.5 soit f (z) =z2 − 3z+ 5(z− 2) (z+ 1)

cette fonction possède aux points z = 2 et z = −1 des pôles simples. Donc :

R2( f ) = R2

(z2 − 3z+ 5(z+ 1)

)∣∣∣∣z=2

=33= 1

R−1( f ) = R−1

(z2 − 3z+ 5(z− 2)

)∣∣∣∣z=−1

=9−3

= −3

Exemple 8.6 Soit f (z) =z2 − 3z+ 5

(z− 2) (z+ 1)3

la fonction possède au point z = 2 un pôle est simple et au point z = −1 la fonction f (z) unpôle d’ordre 3

ϕ1 (z) = (z− 2) f (z) =z2 − 3z+ 5

(z+ 1)3=⇒ R2 = ϕ1 (2) =

19

ϕ2(z) = (z+ 1)3 f (z) =z2 − 3z+ 5(z− 2)



dϕ2dz

=ddz

(z2 − 3z+ 5(z− 2)

)=

z2 − 4z+ 1

(z− 2)2;

d2ϕ

dz2 =ddz

(z2 − 4z+ 1

(z− 2)2

)=

6

(z− 2)3

R−1( f ) =12!

limz→−1

ϕ′′2 = −19

8.2 Transformée en z unilatérale

Soit f (n) ; n ∈ Z un signal discret., s’il existe r ∈ R et R ∈ R ; (r < R) et les séries∞∑

n=1f (n)z−n et

∞∑

n=1f (−n)zn ont une limite finie pour r < |z| < R

Définition 8.6 On appelle transformée en Z bilatérale de la fonction f (n) la série complexedéfinie par :

F(z) = ∑n∈Z

f (n)z−n (8.16)

F(z) est définie sur la coronne de convergence r < |z| < R

Définition 8.7 La transformée unilatérale est définie par :

F+(z) =∞

∑n=0

f (n)z−n = f (0) +f (1)

z+

f (2)z2 + ..+

f (n)zn (8.17)

pour tous les z complexes pour lesquels la somme converge absolument, c’est-à-dire pour tous lesz pour lequels la somme ∑

n∈Z

| f (n)| |z|−n converge.

On appelle l’ensemble de ces z le domaine de convergence de la transformée en Z bila-térale

Exemple 8.7 f (n) = δ(n) , l’impulsion unitéOn trouve

F(z) = F+(z) = 1 (8.18)

et le domaine de convergence est le plan complexe tout entier.

Exemple 8.8 s(k) = a|k|

La transformée bilatérale s’écrit

S(z) =k=∞∑

k=−∞a|k|z−k =

k=∞∑

k=0akz−k +

−∞∑

k=−1a−kz−k

=k=∞∑

k=0akz−k +

∞∑

k=1akzkLa première somme converge absolument dans le domaine :



∣∣az−1∣∣ < 1⇐⇒ |z| > |a|

et la deuxième dans le domaine : |az| < 1⇐⇒ |z| < 1|a|

Le domaine de convergence de la transformée bilatérale est donc l’anneau |a| < |z| < 1|a|

(figure 8)et dans ce domaine, elle vaut

S(z) =1

1− az−1 +1

1− az=

zz− a

− zz− 1/a

Cette fonction est définie partout dans le plan complexe sauf aux points a et 1/a où elle possèdedes pôles. On peut donc étendre le domaine de définition de la transformée bilatérale au delà del’anneau où la série qui la définit converge absolument.

Remarquons encore que le domaine de convergence est vide si |a| est supérieur ou égal à 1.La transformée unilatérale vaut

S(z) =k=∞

∑k=−∞

a|k|z−k =k=∞

∑k=0

akz−k =1

1− az−1 =z

z− a

dans le domaine de convergence |a| < |z|On constate qu’avec 4 termes, l’approximation de u(k)s(k) est mauvaise. Par contre, avec

100 termes, l’approximation est assez proche du signal.A nouveau, la fonction complexe obtenue pour la transformée unilatérale est définie partout

dans le plan complexe sauf au pôle z = a, ce qui permet de définir la transformée unilatérale audelà du domaine de convergence de la série qui la définit.

Exemple 8.9 s(k) = u(k)ak =

0 pour k < 0ak pour k ≥ 0

où u(k) est l’échelon unité.On constate

qu’avec 4 termes, l’approximation de u(k)s(k) est mauvaise. Par contre, avec 100 termes, l’ap-proximation est assez proche du signal.

Dans ce cas, la transformée bilatérale et la transformée unilatérale coïncident et elles sontidentiques à la transformation unilatérale de l’exemple 7

En particulier si a = 1 on aura s (k) = u (k)On a donc

S(z) =z

z− 1

8.2.1 Commentaires

– Le domaine de convergence de la transformée bilatérale est toujours un anneau. L’an-neau peut dégénerer en l’extérieur (resp. l’intérieur) d’un cercle si le grand (resp. petit)cercle limitant est de rayon infini (resp. zéro) ou même en le plan tout entier avec ousans l’origine.

– Le domaine de convergence de la transformée unilatérale est toujours l’extérieur d’uncercle, ou le plan tout entier avec ou sans l’origine.

– Souvent, les transformées en z peuvent être définies au delà du domaine où les sériesqui les définissent sont absolument convergentes. En effet, les transformées en z desexemples sont des fonctions rationnelles qui sont définies en tous les points du plancomplexe sauf aux points où elles possèdent des pôles.

– Si un signal s(k) s’annule pour s(k) < 0, la transformée bilatérale et la transforméeunilatérale coïncident.



– Par la suite, nous allons utiliser seulement la transformée unilatérale, parce que nousnous intéressons aux solutions des systèmes à partir de k = 0, déterminées par desconditions initiales en k = 0. De ce fait, les valeurs des signaux en k < 0 ne jouent pasde rôle.

8.3 Transformée en z inverse

Soit s(k) un signal, et S(z) sa transformée en z unilatérale, c’est-à-dire

S(z) =k=∞

∑k=0

s(k)z−k

Soit |z| > r le domaine de convergence de cette série, et soit R > r. Alors, grâce à laconvergence absolue de la série, on peut écrire∫

|z|=R

S(z)zk−1dz =∞

∑m=0

s(m)∫|z|=R

z−m+k−1dz

et selon le théorème de Cauchy :

∞

∑m=0

s(m)∫|z|=R

z−m+k−1dz = s(k).2jπ

La transformée en z inverse est donc donnée par

s(k) =1

2jπ

∫|z|=R

S(z)zk−1dz (8.19)

où l’intégrale est à effectuer contre le sens des aiguilles d’une montre le long d’un cerclede rayon R situé à l’intérieur du domaine de convergence de la série qui définit S(z).

Si l’on applique cette formule pour k < 0, on obtient

12jπ

∫|z|=R

S(z)zk−1dz = 0

On peut résumer ces résultats de la manière suivante :

Théorème 8.4 Soit s(k) un signal et soit

S(z) =k=∞

∑k=0

s(k)z−k

sa transformée unilatérale en z .Si le domaine de convergence de la série qui définit S(z) est |z| > r, et si R > r, on a pour

tous les k

u(k)s(k) =1

2jπ

∫|z|=R

S(z)zk−1dz



Si le cercle unité se trouve dans le domaine de convergence de la transformée uni-latérale S(z), on obtient pour R = 1

u(k)s(k) =1

2jπ

∫|z|=R

S(z)zk−1dz =1

2π

∫ 2π

0S(ejΩ)ejkΩdΩ

où on a exprimer z sous la forme

z = R exp(jΩ) = exp(jΩ), alors dz = j exp(jΩ)dΩ et Ω ∈ [0, 2π]

Le signal u(k)s(k) est donc une combinaison linéaire continue de signaux ejkΩ avec co-efficients de pondération S(ejΩ). Ainsi, le signal donc représenté comme superpositionde signaux sinusoidaux (complexes) des différentes fréquences Ω. Pour cette raison onappelle l’utilisation des transformées en z ”analyse fréquentielle”.

Exemple 8.10 On considère le signal s(k) = ak dont la transformée en z unilatérale estS(z) =

zz− a

avec un domaine de convergence |z| > |a|. Vérifions la validité de la formule de

transformée inverse sur l’exemple.

La fonction S(z)zk−1 =zk

z− apossède, pour k positif ou nul, un seul pôle simple en z = a

dont le résidu est

Ra

(zk

z− a

)= lim

z→a

[(z− a)

zk

z− a

]=(

zk)

z=a= ak

Par conséquent, selon le théorème des résidus, pour R tel que |R| > |a|

12jπ

∫|z|=R

S(z)zk−1dz = Ra

(S(z)zk−1

)= ak = s(k)

ce qui confirme la formule de la transformée en z inverse pour k positif ou nul.Pour k < 0, on sait que l’intégrale s’annule. Vérifions quand-même cette propriété par le

calcul des résidus. Il y a un pôle supplémentaire en z = 0 d’ordre |k|.

La série de Laurent de la fonctionzk

z− aavec k < 0 s’écrit :

zk

z− a= − zk

a− zk+1

a2 − ...− z−1

a|k|+

1a|k|

1z− a

et par conséquent

R0

(zk

z− a

)= − 1

a|k|= −ak , (|k| = −k)

Alors, pour k < 0,

12jπ

∫|z|=R

S(z)zk−1dz = Re s0

(S(z)zk−1

)+ Re sa

(S(z)zk−1

)= −ak + ak = 0

ce qui confirme la formule de la transformée en z inverse pour k < 0.

On peut expliciter le fait que la formule d’inversion donne une représentation du signalcomme superposition de sinusiodes pour l’exemple.

Supposons que |a| < 1 et que a soit réel. Cette dernière condition implique



S(ejΩ)∗ = ( ejΩ

ejΩ − a

)∗=

e−jΩ

e−jΩ − a= S(e−jΩ)

où (.)∗ désigne le complexe conjugué.

Alors

u(k)s(k) =1

2π

∫ 2π

0S(ejΩ)ejkΩdΩ =

12π

∫ π

−πS(ejΩ)ejkΩdΩ

=1

2π

∫ π

0S(ejΩ)ejkΩdΩ+

12π

∫ π

0S(e−jΩ)e−jkΩdΩ

=1π

∫ π

0Re(S(ejΩ)ejkΩ) dΩ

D’autre part

S(ejΩ) =1

1− a exp(−jΩ)=

11− a cos(Ω) + ja sin(Ω)

= A (Ω) exp (−jϕ (Ω))

avec l’amplitude

A(Ω) =1√

1+ a2 − 2a cos Ω

et le déphasage

ϕ (Ω) = arctan(

sin Ω1− a cos Ω

)(8.20)

Par conséquent

u(k)s(k) =1π

∫ π

0Re(S(ejΩ)ejkΩ) dΩ

=1π

∫ π

0Re A(Ω) exp [j (kΩ− ϕ (Ω))] dΩ

=1π

∫ π

0A(Ω) cos [kΩ− ϕ(Ω)] dΩ

ce qui met en évidence la représentation du signal u(k)s(k) comme superposition designaux cos (kΩ)d’amplitude A (Ω) et de déphasés de ϕ (Ω).

Pour a = 0.8, on obtient l’amplitude et le déphasage de la figure 11

FIG. 8.6 – L’impulsion unité

8.3.1 Calcul de la transformée inverse par les résidus

L’exemple a montré comment on peut éviter de calculer effectivement l’intégrale dela formule d’inversion, en utilisant le théorème des résidus. Cette méthode est applicablequand S(z) est une fraction rationnelle, ce qui sera souvent le cas par la suite.



Théorème 8.5 Soit s(k)un signal tel que sa transformée en z unilatérale S(z) peut être étendueau plan complexe entier sauf aux points où S(z) possède des pôles. Alors

u(k)s(k) =N

∑k=1

Rzi

(S(z)zk−1

)

DémonstrationOn choisit un R tel que le cercle |z| = R se trouve à l’intérieur du rayon de convergence

de la série qui définit S(z).Par conséquent, les pôles de S(z) se trouvent à l’intérieur de ce cercle. Par la formule

d’inversion et le théorème des résidus, on trouve

u(k)s(k) =1

2jπ

∫|z|=R

S(z)zk−1dz =N

∑k=1

Rzi

(S(z)zk−1

)(8.21)

8.3.2 Transformée en z de quelques signaux importants

Tous les signaux discutés ici sont nuls pour k < 0.Pour cette raison, leurs transformées en Z unilatérales et bilatérales coïncident.

1. Echelon unité

h(z) =

0 pour k < 01 pour k > 0

E(z) =z

z− 1pôle simple sur le cercle unité en 1

2. Impulsion unité

δ(z) =

0 pour k 6= 01 pour k = 0

∆(z) = 1 pas de pôle

3. Exponentielle imaginaire (à partir de zéro)

s(k) = u(k) exp (kΩ) S(z) =z

z− exp (jΩ)

pôle simple sur le cercle unité en exp (jΩ)

4. Cosinusoïde (à partir de zéro)

s(k) = u(k) cos (kΩ) S(z) =12

(z

z− exp (jΩ)+

zz− exp (−jΩ)

)terme avec pôle en exp (jΩ) et terme avec pôle en exp (−jΩ)

5. Sinusoïde (à partir de zéro)

s(k) = u(k) sin (kΩ) S(z) =12j

(z

z− exp (jΩ)− z

z− exp (−jΩ)

)terme avec pôle en exp (jΩ) et terme avec pôle en exp (−jΩ)



8.3.3 Transformée en z des systèmes élémentaires

a) Idée de l’analyse fréquentielle

Au lieu d’analyser un système directement, on passe d’abord par une transformationdu signal d’entrée, la transformée en z, on calcule la réponse du système dans le domainetransformé et on revient au domaine temporel par la transformée en z inverse.

s(k) −→ S(z) −→ R(z) −→ r(k)

La complication de la transformation et la transformation inverse en z est plus que compen-sée par la simplicité de la résolution du système dans le domaine transformé.

b) Transformation d’un système

L’action du système peut être représentée dans le domaine transformé : il faut exprimerla réponse transformée R(z) en fonction du signal d’entrée transformé S(z) et des conditionsinitiales au temps t = 0 : x(0)

Transformation en z

Système dans ledomaine temporel

s(k) r(k) Système dans ledomaine fréquentiel

S(z) R(z)

Système

Transformation en z

S(z)

R1(z)

RN(z)

s(k)

r1(k)

rN(k)

Neoud

c) Propriété

1. La transformation en z est une opération linéaire :Si u(k) et v(k) sont des signaux et si U(z) et V(z)sont leurs transformées en z, et sia et b sont des nombres, la transformée du signal w(k) = au(k) + bv(k) est la mêmecombinaison linéaire des transformées de u et de v :En effet :

W(z) =∞∑

k=0w(k)z−k =

∞∑

k=0[au(k) + bv(k)] z−k

=∞

a ∑k=0

u(k)z−k +∞

b ∑k=0

v(k)z−k = aU(z) + bV(z)

On déduit de cette propriété la transformation du sommateur et de la multiplicationpar une constante.

2. Sommateur : s(k) = ∑i

si(k) S(K) = ∑i

Si(z) :

Transformation en z

s1(k)

sN(k)

r(k)=s1(k)+… + sN(k)

+R(z)=S1(z)+… + SN(z)

S1(z)

SN(z)

+



3. Multiplication par une constante : a× s(k) a× S(z)

Transformation en z

s(k) r(k)=as(k)a

S(z) R(z)=aS(z)a

Multiplicateur

4. Retard :soit r(k) = s(k− 1) la réponse d’un système.

s(k) r(k)=s(k1)T

Retard

La transformée de la réponse devient :

R(z) =∞∑

k=0r(k)z−k = r(0) +

∞∑

k=1r(k)z−k

= r(0) +∞∑

k=1s(k− 1)z−k = r(0) +

∞∑

k=0s(k)z−(k+1)

= r(0) + z−1∞∑

k=0s(k)z−k = r(0) + z−1S(z)

– Le retard transformé est donc essentiellement une multiplication par z−1. Pourcette raison, pour le retard, on utilise le plus souvent le symbôle :

z1

z−1

– Le fait que dans le domaine transformé le retard devient une simple opération li-néaire constitue l’intérêt principal de la méthode de transfomation en Z. En effet,les équations récursives pour les échantillons des signaux dans un système li-néaire discret se transforment en un système d’équations linéaires pour les trans-formées en Z des signaux.


CHAPITRE 9

NOTION DE DISTRIBUTION

LA théorie des distributions a été introduite par Laurent Schwartz en 1950. Dans sonlivre Théorie des distributions, il explique que cette théorie n’est pas absolumentune ”nouveauté révolutionnaire” et qu’elle englobe, de façon à la fois simple etcorrecte, des procédés très hétérogènes et souvent incorrects utilisés dans des do-

maines très divers ; c’est une synthèse et une simplification.La notion de distribution est un concept purement mathématique, mais il permet de

traiter des problèmes de physique avec beaucoup de rigueur, par exemple les problèmesde masse ou de charge ponctuelles, les impulsions très brèves, etc.... où les fonctions ordi-naires cessent d’être valable pour décriver ces problèmes. Avec la notion de distribution onexprime de plus l’impossibilité de calculer la valeur d’une grandeur physique en un point :On ne mesure en fait que ses valeurs moyennes dans un voisinage suffisamment restreintde ce point et on assimile la limite de la suite qu’elles forment à la valeur cherchée.

La théorie mathématique des distributions est une synthèse de tous les procédés quipermettent de donner un sens aux intégrales divergentes, aux dérivées de fonctions nondérivables etc.

Dans les derniers chapitres nous nous sommes intéressés aux fonctions ayant une éner-gie finie. Ces fonctions ont donc un sens physique. Nous allons voir ici que, pour modélisercertaines réalités physiques, il est intéressant d’introduire des fonctions généralisées appe-lées distributions qui n’ont pas nécessairement une énergie finie.

9.1 Exemples d’application

Certains phénomènes physiques sont très complexes d’un point de vue microscopique,mais peuvent être vus comme une simple discontinuité d’un point de vue macroscopique.Par exemple, une particule chargée électriquement peut être vue comme une charge ponc-tuelle si la taille de la particule est suffisamment petite par rapport aux dimensions de l’en-semble.

9.1.1 Charge ponctuelle

Un problème se pose toutefois pour le calcul de la densité de charge d’une particuleponctuelle par rapport à l’espace. En effet, cette densité vaut 0 partout sauf au point où setrouve la particule. Si on note ρ (v) la densité de charge, a le point où se trouve la particuleet q la charge positive de celle-ci, nous aurons

ρ (v) =+∞ si v = a

0 ailleurs (9.1)


Le phénomène physique vu d’un point de vue macroscopique se concrétise donc par unesimple discontinuité de la densité de charge. Cependant, on peut constater que la charge qn’apparaît pas dans la densité de la charge. De plus, il faudrait que la charge totale Q soitégale à q. Or, avec la densité de charge que nous avons définie, nous aurons

Q =∫∫ ∫

espace

ρ (v) dv = 0 (9.2)

de point de vue mathématique on ne peut pas trouver une fonction ρ (v) qui représentela densité de charge telle que cette fonction est nulle dans toute l’espace sauf à l’origine etque son intégrale étendue à toute l’espace soit non nulle.

9.1.2 Masse ponctuelle

Considérons une masse unité (m = 1) repartie uniformément , au voisinage de l’originedes coordonnées, dans une sphère centrée à l’origine et de rayon ε, la densité moyenne demasse est fε (x) telle que

fε (x) =

1

43 πε3

si |x| < ε

0 si |x| > ε(9.3)

Supposons que ε → 0 c’est à dire la masse est comprimée au point ε = 0 c’est le casd’un point matériel placé dans l’origine, ( un corps physique observé du loin, n’a pas dedimension et se présente comme un point ) dans ce cas la densité est :

fε (x) =dm∆v

=dm

4πε2 →ε→0+∞

La densité demandée à l’origine O considérée comme limite simple de la suite fε (x) est lafonction

f (x) =+∞ si x = 0

0 si x 6= 0(9.4)

mais la masse totale sera l’intégrale étendue à tout l’espace

c’est à direm =

∫espace

f (x) dx = 1 (9.5)

donc on a aussi le cas d’une fonction qui est nulle presque partout mais son intégralenon nulle et de nouveau on ne peut assimiler la densité de masse à une fonction ordinaire.

9.1.3 Choc entre deux solides

Considérons maintenant un exemple mécanique :Soit un solide (S), de masse m au repos sur une surface plane où il peut glisser sans

frottement . Entre les instants t = −h et t = +h on lui applique une force fh. Imaginonsque les poussées deviennent de plus en plus brèves (h→ 0) tout en communicant à (S) la



même énergie finale E f . Ces poussées sont de plus en plus intenses et, à la limite, on a unchoc instantané au temps t = 0.

Si vh et γh = v′h sont respectivement la vitesse et l’accélération de (S), son énergie ciné-tique à l’instant t est

E (t) =12

mv2h (t)

une quantité qui reste constante et égale à E f à partir du temps t = h

12

mv2h (h) = E f (9.6)

vh (h) est donc constante et on a :

vh (h) =h∫−h

γh (t) dt = Cte (9.7)

La deuxième loi de Newton entraîne alors

h∫−h

fh (t) dt = Cte

En prenant une constante unité, on a donc des forces fh qui vérifient :

fh (t) = 0 si |t| > h

eth∫−h

fh (t) dt = 1

A la limite, quand h→ 0, on aura un choc f (t) qui devrait vérifier

i) ∀t ∈ R, f (t) ≥ 0ii) f (t) = 0 si t 6= 0iii)

∫R

f (t) dt = 1(9.8)

9.1.4 L’impulsion

L’impulsion est un signal (optique, électrique ou mécanique) très intense ayant une du-rée très brève, l’énergie associée à cette impulsion est élévée dans un intervalle du tempspresque nul et elle peut être considérée comme discontinue : elle passe très rapidementd’une valeur à une autre.

L’impulsion unité à l’origine serait donc, dans le cas générale, un signal idéal vérifiantles trois conditions (9.8). Or même avec l’intégrale de Lebesgue, ces trois conditions sontincompatibles pour une fonction.



9.1.5 Fonctionnelle de Dirac

Dans toutes les exemples ci-dessus, la notion de fonction était insuffisante pour décrivertel ou tel phénomène physique et par suite pour calculer les grandeurs correspondantes, lesconditions demandées (1.8) sont incompatibles pour une fonction mathématique ordinaire.L’intégrale d’une fonction presque partout nulle est nécessairement nulle, en effet

f (x) =

a si x = 00 si x 6= 0

=⇒+∞∫−∞

f (x) dx = limε→0

+ε∫−ε

adx = limε→0

2aε = 0

Face à cette question, les physiciens ne sont pas laissés arrêter par la contradiction, en1925 P. Dirac a introduit la notion d’une fonctionnelle notée δ (t) et définit par :

δ (t) =

0 si t 6= 0+∞ si t = 0

et∫R

δ (t) dt = 1 (9.9)

La représentation graphique de cette fonction est illustrée sur la figure 1.

δ(t) 1

t

FIG. 9.1 – Graphe de δ (t)

Ce formalisme est ensuite facilement exploitable, En oubliant un peu la rigueur, tout engardant en mémoire les propriétes des fonctions

Soit par exemple à calculer l’intégrale : I =∫

Rf (t) δ (t) dt. En supposant f dérivable ,

on intègre par partie en posant ce qui est, somme très naturel :

x∫−∞

δ (t) dt =

0 si x < 01 si x > 0

= u (x) (9.10)

u (0) poserait un problème mais peu importe.On obtient alors

I = [u (x) f (x)]+∞−∞ −

+∞∫−∞

u (x) f ′ (x) dx = f (+∞)−+∞∫0

f ′ (x) dx

= f (+∞)− f (+∞)− f (0) = f (0)alors :

∞∫−∞

f (t) δ (t) dt = f (0) (9.11)



9.1.6 Naissance d’une nouvelle théorie

Au début du 20eme siècle des physiciens ont dévloppé des méthodes de calculs destinéesà rendre compte des résultats de leur expérience. En 1895 Heaviside avait introduit un calculsymbolique qui donnait des résultats conformes à la réalité mais qu’on ne pouvait justifier.En 1925 Dirac avait introduit la notion de l’impulsion idéale δ (t) et Van der Pol avait reprisce travaux vers 1932. En 1936 le mathématicien soviétique S.L. Sobolev avait introduit lanotion de la dérivée généralisée d’une fonction f : g est la dérivée généralisée de f si on a :

∫R

g (t) ϕ (t) dt = −∫

Rf (t) ϕ (t) dt (9.12)

pour toute fonction régulière ϕ (t) nulle hors d’un intervalle borné.En 1946 Guelfrand en Russie et Schwartz en France ont dégagé les éléments essentiels

d’une nouvelle théorie mathématique complète, simple, générale et efficace. C’est la théoriedes distributions qui est devenue depuis d’un usage quasiment obligatoire en physiquethéorique ou en théorie du signal . Motivée au départ par l’étude des équations aux dérivéespartielles, cette théorie a eu une grande retentissement sur toute l’analyse mathématique .

On obtient avec les distributions une généralisation de la notion de fonction. Cette nou-velle généralisation permet d’englober l’impulsion, mais aussi de nombreuses autres ‹‹ fonc-tions généralisées ››. La théorie des distributions rend compte également de la nouvelle dé-rivation, appelée ‹‹ dérivation au sens des distributions›› notion globale, contrairement à ladérivation usuelle.Une distribution est toujours dérivable et même indéfiniment. Une série,divergente au sens usuel sera souvent convergente au sens des distributions, et si une sériede fonctions fn converge vers une fonction f alors les dérivées f ′n converge vers f ′,c’est lacontinuité de dérivation.

Enfin au sens des distributions on peut trouver la transformée de Fourier de n’importequelle fonction même pour celles d’énergie infinie.

9.2 Les distributions

Selon Dirichlet : une fonction f (t) est un ensemble de règles qui donne une valeur à f (t)pour toutes les valeurs de ”t” dans un ensemble de points. Telle fonction peut être définied’une façon directe à l’aide d’une formule, par exemple f (t) = sin (3t), f (t) = exp

(−t2) ,

f (t) = t3 + t cos (πt) etc. ...Mais il existe aussi d’autres façons de définition des fonctionsplus ou moins indirectes. Ainsi, une fonction deux fois dérivable peut être déterminée àl’aide d’une équation différentielle du second ordre :

y′′ − y = t =⇒ y (t) = −t+ C1et + C2e−t.

Une autre procédé c’est de définir la fonction à l’aide d’une famille des fonctions auxiliairespar exemple : une fonction périodique est entièrement déterminée par les coefficients deFourier :

cn =

α+T∫α

f (t) ϕn (t) dt

où ϕn (t) =1T

e−jnωt sur [0, T] et ϕn (t) = 0 ailleurs .

De même les transformées de Fourier, de Laplace, en Z ou autres tranformationsintégrales sont aussi de procédés de définir indirectement une fonction à l’aide desautres familles de fonctions auxiliaires.



9.2.1 L’idée de Base

La théorie mathématique des distributions est une synthèse de tous les procédés quipermettent de donner un sens aux intégrales divergentes, aux dérivées de fonctions nondérivables etc...

Les distributions sont des fonctions généralisées qui seront définie à l’aide d’une familleparticulière : les fonctions tests. L’idée de base est de considérer la fonction comme opéra-teur linéaire

(Tf)

agissant sur la fonction elle- même par intégration :

Tf (ϕ) =

+∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt (9.13)

cependant cette intégrale n’existe pas toujours. Si on veut que f puisse être à peu prèsquelconque on imposera à la fonction test ϕ (t) d’être nulle hors d’un intervalle borné affinde ne pas avoir de problème de convergence à l’infini pour l’intégrale.

Par exemple, les physiciens interprète la fonction de Dirac δ (t) comme limite d’une suite

de signaux continus positifs fn (t) nuls hors d’un intervalle]−1

n,

1n

[vérifiant

+∞∫−∞

fn (t) dt = 1

Malheureusement, aucun théorème de convergence d’intégrales n’est pas applicable ici.Toutefois, si on introduit une fonction auxiliaire ϕ (t) continue à l’origine, donc au voisi-

nage de |t| ≤ 1n

on a la formule de la moyenne

+∞∫−∞

fn (t) ϕ (t) dt = ϕ (τ)

1n∫

− 1n

fn (t) dt = ϕ (τ) −→n→∞

ϕ (0)

à la rigeur, on aura une écriture symbolique

limn−→∞

+∞∫−∞

fn (t) ϕ (t) dt =+∞∫−∞

δ (t) ϕ (t) dt = ϕ (0) (9.14)

9.2.2 L’ensemble des fonctions tests

Définition 9.1 Une fonction test est, par définition, une fonction nulle hors d’un intervalle (c’est-à-dire de support compact ) indéfininement dérivable.

Mais, ce n’est pas immédiat de trouver une telle fonction. Les fonctions usuelles commeles polynômes, les fonctions trigonométriques, hyperboliques, rationnelles sont indéfini-ment dérivables mais ne sont pas nulles hors d’un intervalle. On peut définir la fonctiontest par morceaux :

ϕ (t) =

f t.usuelle θ (t) sur]a, b[0 ailleurs



La difficulté vient alors du fait que θ (t) doit avoir toutes les dérivées nulles si t /∈]a, b[.Cependant il existe au moins un exemple explicite, c’est la fonction

ϕ (t) =

exp(− 1

1− t2

)sur]− 1, 1[

0 ailleurs(9.15)

On peut vérifier que cette fonction est dérivable même en t = ±1.

Par des translations et des homothéties sur la variable t on en déduit l’existancedes fonctions tests sur un intervalle ]a, b[ quelconque, on peut alors deconstruire uneinfinité de fonctions tests.

9.2.3 Espace D des fonctions tests

On note par D l’ensemble des fonctions tests

ϕ ∈ D ⇐⇒

i) ϕ est nulle en dehors d’un intervalle

borné qui peut varier avec ϕ

ii) ϕ est indéfiniment dérivable au sensusuel sur R

Autrement dit :

D (R) = ϕ : R 7−→ C, ϕ ∈ C∞ (R) , Supp (ϕ) borne

Notons qu’en fait nous n’utiliserons jamais la forme explicite pour une fonction test,comme définie par exemple dans (1.15) .

Théorème 9.1 si ϕ et ψ sont deux fonctions tests de D alors :

1. Pour tout couple de réels a et b, la fonction aϕ+ bψ est aussi dans D2. La fonction ϕ× ψ ∈ D3. ϕ ∗ ψ ∈ D

4. ϕ′ =dϕ

dt∈ D et donc toutes les dérivées sont dans D

DémonstrationSi ϕ ∈ D ⇐⇒ ϕ est nulle hors d’un intervalle I et que ϕ(n) existe ∀n ∈ N de même

pour ψ nulle hors d’un intervalle J et les dérivées d’ordre n existent.

1. La fonction test ϕ définie et continue sur I alors de même aϕ est définie et continuesur aI et nulle hors de aI, de même bψ est définie et continue sur bJ et nulle hors debJ, et la somme aϕ+ bψ est nulle hors de aI ∪ bJ , de plus (aϕ+ bψ)(n) = aϕ(n)+ bψ(n)

existe ∀n ∈N donc aϕ+ bψ est une fonction test et elle est dans D.



2. ϕ est nulle hors de I et ψ nulle hors de J alors ϕ× ψ est nulle hors de I× J . La derivéeneme est

dn

dtn (ϕ (t)× ψ (t)) = (ϕψ)(n) =n

∑k=0

Cnk × ϕ(n−k) × ψ(k)

donc la fonction ϕ× ψ est indéfiniment dérivable et alors elle est dans D3. ϕ ∈ D et ψ ∈ D soit K le support de ϕ ∗ ψ , K ⊂ I+ J donc ϕ ∗ ψ est nulle hors de I+ J

La dérivée du produit de convolution est (ϕ ∗ ψ)′ = ϕ′ ∗ ψ = ϕ ∗ ψ′ par récurrence ondémontre aisement que ϕ ∗ ψ est indéfiniment dérivable. et par suite est de classe C∞

elle est alors dans D.

4. Puisque ϕ est une fonction test alors sa dérivée est aussi nulle hors de I et elle estindéfiniment dérivable donc ϕ′ ∈ D.

Théorème 9.2 Une suite (ϕn (t))n∈Nde fonctions tests converge vers une fonction test ϕ (t)

lorsque n→ ∞, ∀t ∈ R si :– Il existe un ensemble borné I ⊂ R tel que Supp(ϕn) ⊂ I

– Pour tout k ≥ 0 la suite des dérivées(

ϕ(k)n

)converge uniformement sur R pour n → ∞

vers la dérivée correspondante ϕ(k).

A chaque ordre k ( et pas pour tous les k à la fois ) , il y a convergence uniforme si

ϕnD−→ ϕ quand n→ ∞ alors

ϕ′nD−→ ϕ′ quand n→ ∞

g (t) ϕnD−→ g (t) ϕ quand n→ ∞ où g est une fonction C∞.

9.2.4 Définition et exemples de distributions

Définition 9.2 Une distribution ( ou fonctionnelle) est une forme linéaire continue sur D

T : D 7−→ C ; ∀ϕ ∈ D T−→ T (ϕ) ∈ C

La variable de la distribution est donc la fonction test ϕ et la valeur T (ϕ) est un nombre complexe.

T est linéaire donc

∀ϕi ∈ D, ∀αi ∈ C on a T

(∑

iαi ϕi

)= ∑

iαiT (ϕi)

La continuité de la distribution se traduit par

T (ϕn) −→n→∞T (ϕ) si ϕn −→n−→∞

ϕ



Définition 9.3 Si f (t) est une fonction sommable sur tout intervalle fini, alors l’expression :

T (ϕ) =∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt (9.16)

définit une distribution, c’est une distribution associée à la fonction sommable ( élément de L1).Telle distribution est dite régulière et on la note Tf .

En effet

– Tf

(∑i

αi ϕi

)=

∞∫−∞

f (t)[

∑i

αi ϕi (t)]

dt =∞∫−∞

[∑i

αi f (t) ϕi (t)]

dt

= ∑i

αi

∞∫−∞

f (t) ϕi (t) dt = ∑i

αiTf (ϕi)

Alors Tf est une forme linéaire.– Soit ϕn (t) une suite de fonctions tests et converge uniformement dans D vers la

fonction test ϕ (t) : ϕn (t)D−→

n→∞ϕ (t) .

limn→∞

Tf (ϕn) = limn→∞

∞∫−∞

f (t) ϕn (t) dt =∞∫−∞

limn→∞

f (t) ϕn (t) dt

=

∞∫−∞

f (t) limn→∞

ϕn (t) dt =∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt = Tf (ϕ)

ce qui montre que Tf est continue

L’écriture

Tf (ϕ) =

∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt

rappelle la notation du produit scalaire, souvent on note Tf (ϕ) par 〈T, ϕ〉 .

Remarque

La distribution régulière est une caractéristique de la fonction f (t) localement inté-grable

(∈ L1) donc les fonctions de L1 sont des distributions particulières. On identifie en

fait deux notions tout à fait différentes, l’application f 7−→ Tf de L1dans D′ est injective(Si Tf 6= Tg =⇒ f 6= g

).

L’identification de f à son image Tf revient à traiter L1 comme une partie de D′, c’estpourquoi, parfois,on note la distribution régulière associée à la fonction f , Tf ,par

[ f ] mais pas [ f (t)]

Définition 9.4 Si T est une distribution et il n’existe pas une fonction f (t) sommable telle que

T (ϕ) =∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt on dit que T est une distribution singulière.( ou non régulière).



Théorème 9.3 L’ensemble des distributions D′ est un espace vectoriel.

Démonstration

Pour fixer l’idée, considérons les distributions régulières. Soient Tf =⟨

Tf , ϕ⟩=

∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt

et Tg =⟨

Tg, ϕ⟩=

∞∫−∞

g (t) ϕ (t) dt deux distributions de D′ et λ un nombre complexe.

I⟨

Tf + Tg, ϕ⟩=

∞∫−∞

[ f (t) + g (t)] ϕ (t) dt =∞∫−∞

f (t) ϕ (t) + g (t) ϕ (t) dt

=

∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt+∞∫−∞

g (t) ϕ (t) dt =⟨

Tf , ϕ⟩+⟨

Tg, ϕ⟩

I⟨λTf , ϕ

⟩=

∞∫−∞

λ f (t) ϕ (t) dt = λ

∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt = λ⟨

Tf , ϕ⟩

En générale, si S et T sont deux disitributions et α et β deux nombres complexes alors

〈αT + βS, ϕ〉 = α 〈T, ϕ〉+ β 〈S, ϕ〉 (9.17)

L’application f 7−→ Tf est injective alors

fpp= g =⇒ Tf = Tg

Tf = 0 =⇒ fpp= 0

Remarque

Exemple 9.1 La fonctions d’Heaviside

u (t) =

1 si t > 00 si t < 0

définit une distribution régulière. On a

Tu (ϕ) =

∞∫−∞

u (t) ϕ (t) dt =∞∫

0

ϕ (t) dt

Exemple 9.2 La fonction

f (t) =1√

t

définie pour t 6= 0 définie une distribution régulière.

Tf =

∞∫−∞

ϕ (t)√t

dt



Exemple 9.3 La fonction f (t) =1t

définie pour t 6= 0 n’est pas sommable sur aucun intrevallecontenant le point t = 0 donc elle ne définit pas une distribution.

Exemple 9.4 (Distribution de Dirac) La fonctionnelle de Dirac δ est une distribution singu-lière .

δa = 〈δa, ϕ〉 =∞∫−∞

δ (t− a) ϕ (t) dt = ϕ (a)

I⟨

δa, ∑i

αi ϕi

⟩=

∞∫−∞

δ (t− a)∑i

αi ϕi (t) dt =∞∫−∞

∑i

αiδ (t− a) ϕi (t) dt

= ∑i

αi

∞∫−∞

δ (t− a) ϕi (t) dt = ∑i

αi 〈δa, ϕi〉 = ∑i

αi ϕi (a)

I si ϕnD−→

n→∞ϕ

〈δa, ϕn〉 =∞∫−∞

δ (t− a) ϕn (t) dt = ϕn (a)D−→

n→∞ϕ (a) = 〈δa, ϕ〉

Pour toute fonction ϕ (t) définie en un point t = a la valeur de ϕ (a) est bien détermi-née, de même pour certaines classe de distributions T, on peut calculer T (ϕ) pour desfonctions ϕ (t) qui ne sont pas des fonctions tests.

Remarque

9.2.5 Peigne de Dirac

On a vu que l’ensemble D′ des distributions est un espace vectoriel, alors pour toutcouples T1 et T2 de D′ et α et β de C , αT1 + βT2 est une distribution.

Par exemple

〈αδa + βδb, ϕ〉 = α 〈δa, ϕ〉+ β 〈δb, ϕ〉 = αϕ (a) + βϕ (b)

Rien n’empêche de considérer une somme infinie de distributions de Dirac.Soit (λn)n∈Z une suite de nombres complexes et a > 0 l’écriture :

T =+∞

∑n=−∞

λnδna =+∞

∑n=−∞

λnδ (t− na) =+∞

∑n=−∞

λn ϕ (na) = T (ϕ)

est une distribution.En effet, ϕ (t) est une fonction test, elle est nulle hors d’un intervalle, plus précisement

ϕ (na) = 0 pour n > N

Pour λn = 1 on obtient la distribution ”Peigne de Dirac”

∆a =∞

∑n=−∞

ϕ (na) =+∞

∑n=−∞

δ (t− na) (9.18)



Le peigne de Dirac est une superposition d’une infinité de masse de Dirac alors on lereprésente par suite de flèches de longueur 1 placées aux points d’abscisse entière.(Figure 2)

0 a 2aa2a

FIG. 9.2 – Peigne de Dirac

9.3 Opérations sur les distributions

9.3.1 Opérations élémentaires dans D′

Du fait que D′ est un espace vectoriel les opérations élémentaires suivantes sont évi-dentes :

a) Egalité

Définition 9.5 Deux distibutions S et T sont égales si

∀ϕ ∈ D =⇒ 〈T, ϕ〉 = 〈S, ϕ〉 ⇐⇒ T (ϕ) = S (ϕ) (9.19)

Si Tf =∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt et Tg =∞∫−∞

g (t) ϕ (t) dt sont deux distributions régulières égales

alorsTf = Tg ⇐⇒ f

pp= g (9.20)

par suite

si Tf = 0⇐⇒ fpp= 0 (9.21)

b) Somme et multiplication par scalaire

Définition 9.6 Soient T et S sont deux distributions . La somme S+ T est défini par

〈T + S, ϕ〉 = 〈T, ϕ〉+ 〈S, ϕ〉 = T (ϕ) + S (ϕ) (9.22)

Exemple 9.5 :

1. 〈δ1, ϕ〉+ 〈δ, ϕ〉 = ϕ (1) + ϕ (0)

2. Tf + Tg =∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt+∞∫−∞

g (t) ϕ (t) dt =∞∫−∞( f (t) + g (t)) ϕ (t) dt



Définition 9.7 Soit α un nombre complexe et T une distribution alors αT définit une distribution

〈αT, ϕ〉 = α 〈T, ϕ〉 = αT (ϕ) (9.23)

⟨Tα f , ϕ

⟩=⟨αTf , ϕ

⟩= α

⟨Tf , ϕ

⟩(9.24)

Exemple 9.6 :

1. 〈4δ, ϕ〉 = 4 〈δ, ϕ〉 = 4ϕ (0)

2. λTf = λ∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt =∞∫−∞(λ f (t)) ϕ (t) dt

c) Translation

Définition 9.8 La translatée d’une distribution est définie par

〈T (t− a) , ϕ (t)〉 = 〈T (t) , ϕ (t+ a)〉 (9.25)

si T (t) =∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt donc T (t− a) =∞∫−∞

f (t− a) ϕ (t) dt.

Faisons le changement de variable :x = t− a =⇒ t = x+ a et dx = dt, x → ±∞ si t→ ±∞

Donc T (t− a) = T (x) =∞∫−∞

f (x) ϕ (x+ a) dx et 〈T (t− a) , ϕ (t)〉 = 〈T (t) , ϕ (t+ a)〉

Exemple 9.7〈δ (t) , ϕ (t)〉 = ϕ (0)

〈δ (t− a) , ϕ (t)〉 = 〈δ (t) , ϕ (t+ a)〉 = ϕ (a)

Définition 9.9 Une distribution T est périodique de période a si

∀ϕ ∈ D : 〈T (t− a) , ϕ (t)〉 = 〈T (t) , ϕ (t+ a)〉 = 〈T (t) , ϕ (t)〉 (9.26)

Ainsi une fonction a− périodique, sommable, définit une distribution périodique de pé-riode a.

Exemple 9.8 Soit f (t) est une fonction a−périodique; f (t+ ka) = f (t) ∀k ∈ Z, la distri-

bution régulière associée à f est : Tf (ϕ) =∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt on a donc :⟨Tf (t− a) , ϕ (t)

⟩=

∞∫−∞

f (t− a) ϕ (t) dt

=∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt =⟨

Tf (t) , ϕ (t)⟩= Tf (ϕ)



d) Homothétie

Définition 9.10 Si k est un réel non nul et T (t) une distribution alors T (kt) définit une distri-bution telle que

〈T (kt) , ϕ (t)〉 = 1|k|

⟨T (t) , ϕ

(tk

)⟩

En effet :

B Pour k > 0 : T (kt) =∞∫−∞

f (kt) ϕ (t) dt

Posons x = kt =⇒ dx = kdt et x → ±∞ quand t→ ±∞

T (kt) = T (x) =∞∫−∞

f (x) ϕ( x

k

) dxk=

1k⟨

T (x) , ϕ( x

k

)⟩B Si k < 0 : donc x → ∓∞ quand t→ ±∞

T (kt) = T (x) =−∞∫+∞

f (x) ϕ( x

k

) dxk

= −1k

+∞∫−∞

f (x) ϕ( x

k

)dx = −1

k⟨

T (x) , ϕ( x

k

)⟩on a |k| = k si k > 0 et |k| = −k si k < 0 donc en générale :

〈T (kt) , ϕ (t)〉 = 1|k|

⟨T (t) , ϕ

(tk

)⟩

Exemple 9.9 :

1. δ (kt) =1|k|

⟨δ (t) , ϕ

(0k

)⟩=

1|k| ϕ (0) =

1|k|δ (t)

en particulier δ (−t) = δ (t)

2. δa (kt) = δ (kt− a) = 〈δa (kt) , ϕ (t)〉

=1|k|

⟨δa (t) , ϕ

(tk

)⟩=

1|k| ϕ

( ak

)=

1|k|δ

(t− a

k

)3. ∆ (kt) =

∞

∑n=−∞

δn (kt) =+∞

∑n=−∞

1|k|δ

(t− n

k

)

Définition 9.11 Une distribution est dite paire si

T (−t) = T (t) (9.27)

et elle est impaire siT (−t) = −T (t) (9.28)

Exemple 9.10 δ (−t) = δ (t) alors δ (t) est une distribution paire.

Toute fonction paire sommable sur un intervale fini définit une distribution paire.



e) Support d’une distribution

Soit f (t) une fonction sommable sur l’intervalle fermé I et f (t) = 0 hors de I. Pour toutefonction test ϕ (t) nulle sur I , on a

Tf =

+∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt = 0; ∀t

alors dans ce cas Tf est une distribution nulle.

Définition 9.12 On appelle support d’une fonction f (t) , continue dans un intervalle ouvert Ω,l’intervalle fermé I ⊂ Ω sur lequel f (t) est non nulle.

Supp ( f ) = I ⊆ Ω; f (t) 6= 0 (9.29)

Une distribution n’a pas , en générale, de valeur en un point, mais on peut parler d’unedistribution nulle dans un intervalle ouvert. Soit ΩT la réunion de toutes les région d’unintervalle Ω où la distribution est nulle, en effet, si T est une distribution régulière donc Tpeut être nulle dans ΩT si f (t) ou ϕ (t) sont nulles sur ΩT. Le complementaire de ΩT sur Ωest donc un intervalle fermé qui est l’ensemble des points ( ou la réunion des régions) surlequel T est non-nulle.

Définition 9.13 On appelle support d’une distribution T, l’intervalle fermé hors du quel la dis-tribution est nulle.

Définition 9.14 Une distribution est dite causale si Supp (T) ⊆ R+. autrement T est causale siT = 0 pour tout t < a et a > 0.

Exemple 9.11 : δ (t− a) est nulle hors de a donc Supp (δa) = a

Supp

(∑

n∈Z

δ (t− n)

)= Z

Théorème 9.4 Si Tf est une distribution régulière associée à une fonction f (t) alors :

Supp(Tf)= Supp ( f )

f) Multiplication par une fonction

Soient f (t) et g (t) deux fonctions sommables sur un intervalle Ω, alors on peut définirdeux distributions régulières associées à f et à g respectivement Tf et Tg . Mais le produitf (t)× g (t) n’est pas nécessairement sommable et dans ce cas le produit Tf Tg ne définit pasune distribution.

D’autre part

⟨Tf g, ϕ (t)

⟩=

+∞∫−∞

f (t) g (t) ϕ (t) dt =+∞∫−∞

f (t) [g (t) ϕ (t)] dt =⟨

Tf , gϕ (t)⟩



définit une distribution si gϕ est une fonction test pour cela il suffit que g (t) soit indéfini-ment dérivable.

On est conduit donc à la formule :

⟨gTf , ϕ

⟩=⟨

Tf , gϕ⟩

(9.30)

Exemple 9.12 La fonction 1√t

est sommable sur tout segment, mais 1√t× 1√

t= 1

t n’est passommable sur tout segment contenant l’origine

Définition 9.15 Le produit d’une distribution par une fonction g indéfiniment dérivable est définipar

∀ϕ ∈ D ,⟨

gTf , ϕ⟩=⟨

Tf , gϕ⟩

(9.31)

Exemple 9.13 〈gδa, ϕ〉 = 〈δa, gϕ〉 = g (a) ϕ (a) = 〈g (a) δa, ϕ〉=⇒ gδa = g (a) δagδ = g (0) δd’où la formule :

tδ = 0 (9.32)

Théorème 9.5 (Propriétés) Si T est une distribution et g, h sont deux fonctions indéfinimentdérivable alors on a :

1. (g+ h) T = gT + hT

2. (gT) (t− a) = g (t− a) T (t− a)

3. (gh) T = g (hT)

4. (gT) (−t) = g (−t) T (−t)

9.4 Dérivation dans D′

L’idée de la théorie des distributions est d’étendre les règles de calcul sur les fonctionstelles que dérivation, intégration, transformation de Fourier, etc., aux fonctionnelles linéairescontinues. Pour que ces règles soient cohérentes, il faut que, lorsque la fonctionnelle s’iden-tifie à une fonction usuelle (c’est-à-dire lorsqu’elle est une intégrale avec poids), ces opéra-tions coïncident avec leur sens usuel. Par conséquent, l’extension des opérations va toujourspartir de l’analogie avec les intégrales.

9.4.1 Définitions et propriétés

Soit f (t) une fonction dérivable sur R et la dérivée f ′ (t) est sommable sur tout intervallefini. A f ′ (t) on peut associer la distribution

Tf ′ (ϕ) =

+∞∫−∞

f ′ (t) ϕ (t) dt



En inégrant par parties (u = ϕ (t) et dv = f ′ (t) dt) on obtient :

Tf ′ (ϕ) = [ f (t) ϕ (t)]+∞−∞ −

+∞∫−∞

f (t) ϕ′ (t) dt

ϕ est une fonction test, elle est nulle hors d’un intervalle, alors ϕ (−∞) = ϕ (+∞) = 0 donc[ f (t) ϕ (t)]+∞

−∞ = 0 et par suite

Tf ′ (ϕ) = −+∞∫−∞

f (t) ϕ′ (t) dt = −Tf(

ϕ′)

Cette formule peut être générlisée d’où la définition :

Définition 9.16 La dérivée d’une distribution T est définie par⟨T′, ϕ

⟩= −

⟨T, ϕ′

⟩(9.33)

En effet :

• T′(

n∑

i=1αi ϕi

)= −T

(n∑

i=1αi ϕ′i

)= −

n∑

i=1αiT (ϕ′i) =

(n∑

i=1αiT′ (ϕ)

)• Si ϕn

D→n→∞

ϕ ; T′ (ϕn) = −T (ϕ′n)D→

n→∞−T (ϕ′) = T′ (ϕ)

La définition 〈T′, ϕ〉 = − 〈T, ϕ′〉 se réduit à la dérivation ordinaire, dans le cas desfonctions sommables, est une façon sommaire d’exprimer l’égalité Tf ′ = T′f

Remarque

Théorème 9.6 Toute distribution est indéfiniment dérivable.

DémonstrationOn aT′ (ϕ) = −T (ϕ′)=⇒ T′′ (ϕ) = −T′ (ϕ′) = +T (ϕ′′)

· · · T(n) (ϕ) = (−1)n T(

ϕ(n))

.Puisque ϕ est une fonction test alors elle est indéfiniment dérivable et toutes les dérivées

ϕ(n) sont dans D donc T(

ϕ(n))

est bien une distribution.On a donc

T(n) (ϕ) = (−1)n T(

ϕ(n))

(9.34)

Exemple 9.14 (Fonction d’Heaviside) La fonction échelon unité

u (t) =

1 si t > 00 si t < 0



est une fonction sommable sur ]0,+∞[ elle définit la distribution régulière :

Tu =

+∞∫−∞

u (t) ϕ (t) dt =+∞∫0

ϕ (t) dt = Tu (ϕ)

T′u (ϕ) = −T (ϕ′) = −+∞∫0

ϕ′ (t) dt = − [ϕ (t)]+∞0

= ϕ (0)− ϕ (+∞) = ϕ (0) = δ (t)

T′u = δ (t) =⇒ T(n)u = δ(n−1) (9.35)

Notons que la dérivée usuelle de u (t) est nulle sur ]0,+∞[ et elle est indéfinie aupoint t = 0,puisque la fonction est discontinue dans ce point. d’où l’importance de

la notion de distribution.

Théorème 9.7 PropriétésSi S et T sont deux distributions , λ un nombre complexe, a un réel, et g une fonction alors

on a :

1. (S+ T)′ = S′ + T′

2. (λT)′ = λT′

3. (gT)′ = g′T + gT′

4. [T (t− a)]′ = T′ (t− a)

5. [T (at)]′ = aT′ (at)

6. Si T est une constante alors T′ = 0

Démonstration

1.⟨(S+ T)′ , ϕ

⟩= − 〈S+ T, ϕ′〉 = − 〈S, ϕ′〉 − 〈T, ϕ′〉

= 〈S′, ϕ〉+ 〈T′, ϕ〉 = 〈S′ + T”, ϕ〉2.⟨(λT)′ , ϕ

⟩= − 〈λT, ϕ′〉 = −λ 〈T, ϕ′〉 = λ 〈T′, ϕ〉

3. On a : (gϕ)′ = g′ϕ+ gϕ′ =⇒ gϕ′ = (gϕ)′ − g′ϕ⟨(gT)′ , ϕ

⟩= − 〈gT, ϕ′〉 = − 〈T, gϕ′〉 = −

⟨T, (gϕ)′ − g′ϕ

⟩= −

⟨T, (gϕ)′

⟩+ 〈T, g′ϕ〉 = 〈T′, gϕ〉+ 〈T, g′ϕ〉

= 〈gT′, ϕ〉+ 〈g′T, ϕ〉 = 〈gT′ + g′T, ϕ〉4.⟨[T (t− a)]′ , ϕ (t)

⟩= − 〈[T (t− a)] , ϕ′ (t)〉

= − 〈[T (t)] , ϕ′ (t+ a)〉 = 〈[T′ (t− a)] , ϕ (t)〉5.⟨[T (at)]′ , ϕ (t)

⟩= − 〈[T (at)] , ϕ′ (t)〉

= − 1|a|

⟨[T (t)] , ϕ′

(ta

)⟩=

1|a|

⟨[T′ (t)] , ϕ

(ta

)⟩d’autre part :

〈aT′ (at) , ϕ (t)〉 = a 〈T′ (at) , ϕ (t)〉 = − a|a|

⟨T (t) ,

[ϕ

(ta

)]′⟩=⇒

⟨[T (at)]′ , ϕ (t)

⟩= a 〈T′ (at) , ϕ (t)〉



6. Si T = k =⇒ T′ =⟨(k)′ , ϕ

⟩= − 〈k, ϕ′〉

= −+∞∫−∞

kϕ′ (t) dt = −k ϕ (+∞)− ϕ (∞) = 0

Théorème 9.8 Soit T une distribution, les seules solutions dans l’ensemble des distributions del’équation T′ = 0 sont les constantes.

DémonstrationL’équation T′ = 0 signifie que 〈T′, ϕ〉 = − 〈T, ϕ′〉 = 0 pour toute fonction test ϕ ∈ D.Soit

la fonction test ϕ1 (t) définie par ϕ1 = −ϕ′ alors que 〈T′, ϕ〉 = − 〈T, ϕ′〉 = 〈T,−ϕ′〉 =〈T, ϕ1〉 donc T′ définie une distribution. Si ϕ1 est une fonction test d’un sous espace ∆ ∈ D.

et donc ϕ ∈ ∆ si et seulement si+∞∫−∞

ϕ (t) dt = 0 ce qui signifie que ∆ est le noyau de la

distribution+∞∫−∞

ϕ (t) dt .

En effet, si ϕ = ψ′ =⇒+∞∫−∞

ϕ (t) dt = ψ (t)|∞−∞ = 0.

Inversement , l’expression ψ (t) =t∫−∞

ϕ (u) du est une fonction indéfiniment dérivable.

Si la condition+∞∫−∞

ϕ (t) dt = 0 est remplie, ψ est une fonction à support borné. Sa dérivée

est égale à ϕ (t) .Donc on peut écrire : ϕ = ϕ1 + cϕ0, où ϕ0 est une fonction test telle que+∞∫−∞

ϕ0 (t) dt = 1 soit α = 〈T, ϕ0〉 donc 〈T, ϕ〉 = 〈T, ϕ1〉+ c 〈T, ϕ0〉 = α+∞∫−∞

ϕ (t) dt c’est à dire

la distribution T telle que T′ = 0 est une constante.

Théorème 9.9 Si pour deux distributions T et S on a l’égalité T′ = S′ alors T − S = const.

Exemple 9.15 δ′a = −ϕ′ (a)tδ = 0 =⇒ tδ′ + δ = 0 =⇒ tδ′ = −δ

9.4.2 Dérivées de δ

Si T est une distribution alors on a T(n) (ϕ) = (−1)n T(

ϕ(n))

En appliquant cette défi-nition sur la distribution de Dirac δ on trouve :

δ(n) (t− a) =⟨

δ(n)a , ϕ

⟩= (−1)n ϕ(n) (a)

δ(n) =⟨

δ(n), ϕ⟩= (−1)n ϕ(n) (0)

(9.36)

Théorème 9.10 ∀n ∈N , et ∀p, q ∈N et p > q on a :

1. tδ(n) = −nδ(n−1)

2. tnδ(n) = (−1)n n!δ

3. tpδ(q) = 0



Démonstration:

1. On sait que tδ = 0 donc tδ′ + δ = 0 c’est-à-dire tδ′ = −δ

La relation est donc vraie pour n = 1.Supposons la vraie jusqu’au rang n on a donctδ(n) = −nδ(n−1) en dérivant on obtient :

tδ(n+1) + δ(n) = −nδ(n) =⇒ tδ(n+1) = − (n+ 1) δ(n)

2. tnδ(n) = tn−1tδ(n) = tn−1(−nδ(n−1)

)= −ntn−1δ(n−1)

de même : tn−1δ(n−1) = − (n− 1) tn−2δ(n−2) alors

tnδ(n) = −n[− (n− 1) tn−2δ(n−2)

]= (−1)2 n (n− 1) tn−2δ(n−2)

= (−1)2 n (n− 1)[− (n− 2) tn−3δ(n−3)

]= (−1)3 n (n− 1) (n− 2) tn−3δ(n−3)

...tnδ(n) = (−1)n n!δ

3. On a tpδ(p) = (−1)p p!δ

=⇒ tp+1δ(p) = t(

tpδ(p))= t

[(−1)p p!δ

]= (−1)p p! (tδ) = 0

9.4.3 Equation gT = S

En théorie de filtrage on doit parfois résoudre l’équation de la forme gT = S où T estune distribution inconnue, S une distribution connue et g une fonction C∞ connue .

Il ne faut pas croire que gT = S entraîne T =Sg

, car T n’a pas de valeur en un point.

D’ailleurs si g s’annule en un point alors1g

n’est pas continue etSg

n’a pas de sens. De plus il

existe toujours une infinité de solutions, par exemple l’équation tT = δ admet des solutionssous la forme T = −δ′ + kδ.

si T1 et T2 sont deux solutions de l’équation gT = S alors T1 − T2 est une solution degT = 0.

On admet les théorèmes suivants :

Théorème 9.11 Soit T0 une solution de l’équation gT = S, tout autre solution T est de la formeT = T0 +U où U est une solution de l’équation gT = 0.

Théorème 9.12 Les solutions de l’équation tT = 0 sont de la forme T = kδ où k est uneconstante



Théorème 9.13 Les solutions de l’équation tnT = 0 sont

T =n−1

∑p=0

Apδ(p) = A0δ+ A1δ′ + · · ·+ An−1δ(n−1)

où A0, A1, ...An−1 sont des constantes.

9.5 Dérivée au sens des distributions

Une fonction est dite dérivable en un point t = a si cette fonction est continue dans cepoint, alors les fonctions ordinaires ne sont pas dérivables dans les points de discontinuité.

D’autre part si cette fonction est sommable sur un intervalle fini elle définit une distri-bution régulière, et la dérivée de cette distribution existe. Telle dérivée est la dérivée au sensde distribution.

Définition 9.17 On appelle dérivée au sens de distribution d’une fonction localement sommablela dérivée de la distribution régulière associée à cette fonction.

Lorsque la fonction f (t) définit une distribution Tf on peut la noter aussi [ f ] , alors ladérivée de cette distribution sera notée [ f ]′ . Si cette fonction est dérivable et sa dérivée f ′ (t)est localement sommable elle définit une distribution régulière qu’on la noteras [ f ′] .

Alors, il faut bien distinguer la dérivée au sens de distribution [ f ]′ et la distributionassociée à la dérivée [ f ′] .

Définition 9.18 On dit qu’une fonction f (t) admet une discontinuité de première espèce en unpoint a si

limt→a+

f (t) = f(a+)6= lim

t→a−f (t) = f

(a−)

Le saut d’amplitude de f (t) au point a est

∆ f (a) = f(a+)− f

(a−)

Soit f (t) une fonction qui admet au point a une discontinuité de première espèce et soit[ f ] la distribution régulière associée :

Tf = [ f ] =+∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt (9.37)

xaO

y

f(a+)

f(a−)



Par définition on a

[ f ]′ = −+∞∫−∞

f (t) ϕ′ (t) dt = −a∫

−∞

f (t) ϕ′ (t) dt−+∞∫a

f (t) ϕ′ (t) dt

L’intégration par parties nous donne :

[ f ]′ = − f (a−) ϕ (a) +a∫−∞

f ′ (t) ϕ (t) dt+ f (a+) ϕ (a) ++∞∫a

f ′ (t) ϕ′ (t) dt

= ϕ (a) [ f (a+)− f (a−)] +∞∫−∞

f ′ (t) ϕ (t) dt

= ϕ (a)∆ f (a) + [ f ′]donc :

[ f ]′ =[

f ′]+ δa∆ f (a)

On peut aussi retrouver la même formule d’une manière différente . Pour voir ce résultaton va exploiter notre connaissance de la dérivée de l’échelon . Considèrons deux fonctionsf1(t) et f2 (t) telles que :

f (t) =

f2 (t) si t > af1 (t) si t < a

avec f1 (t) = 0 si t > a et f2 (t) = 0 si t < a donc on peut écrire :

f (t) = f1u (a− t) + f2u (t− a) (9.38)

Alors :

f ′ = f ′1u (a− t) + f1u′ (a− t) + f ′2u (t− a) + f2u′ (t− a)= [ f ′1u (a− t) + f ′2u (t− a)] + f1u′ (a− t) + f2u′ (t− a)= f ′ (t) + [ f2 − f1] u′ (t− a) = f ′ (t) + [ f (a+)− f (a−)] u′ (t− a)= f ′ (t) + ∆ f (a) δ (t− a)

Ce résultat peut être généralisé sur les fonctions ayant plusieurs points de discontinuitéak; k = 1, 2, 3 · · · n.

Théorème 9.14 Soit f (t) une fonction de calsse C1sauf aux points a1, a2, · · · an. où la fonctiona des discontinuités de première espèce avec un saut d’amplitude ∆ f (ak) = f

(a+k)− f

(a−k)

.Alors :

[ f (t)]′ =[

f ′ (t)]+

n

∑k=1

∆ f (ak) δ (t− ak) (9.39)



Théorème 9.15 Soit f (t) une fonction de calsse C2sauf aux points a1, a2, · · · an. où la fonctionf (t) et la dérivée f ′ (t) ont des discontinuités de première espèce avec saut d’amplitude :

∆ f (ak) = f(a+k)− f

(a−k)

et ∆ f ′ (ak) = f ′(a+k)− f ′

(a−k)

Alors :

[ f (t)]′′ =[

f′′(t)]+

n

∑k=1

∆ f (ak) δ′ (t− ak) +n

∑k=1

∆ f ′ (ak) δ (t− ak) (9.40)

Théorème 9.16 Si f (t) est n fois dérivable et toutes les dérivées sont discontinues au pointt = a alors

[ f (t)](n) =[

f (n) (t)]+

n−1

∑j=0

∆ f (j) (a) δ(n−1−j) (t− a) (9.41)

Exemple 9.16 Soit la fonction périodique f (t) = t définie sur ]0, 1[ et de période a = 1

2 1 0 1 2 3

0.5

1.0

t

f(t)

Cette fonction présente de discontinuités de première espèce dans les points tn = n ∈ Z.f (t+n ) = 0, f (t−n ) = 1 =⇒ ∆ f (tn) = 0− 1 = −1, f ′ (t) = 1 et f ′′ (t) = 0 donc :[ f (t)]′ = [1]− ∑

n∈Z

δ (t− n) = 1− ∆

[ f ]′′ = − ∑n∈Z

δ′ (t− n)

Exemple 9.17 Le signal rectangle est discontinu en +1/2 et en −1/2. Sa dérivée au sens desfonctions est donc définie partout sauf en +1/2 et −1/2, et Rec′ (t) = 0 pour t 6= ±1/2.



Si on regarde maintenant la fonction rectangle dans le sens des distributions : f (t) = Rec (t)admet aux points t = −1/2 et t = +1/2 des discontinuités de première espèce :

∆ f(− 1

2

)= f

(− 1

2+)− f

(− 1

2−)= 1− 0 = 1

∆ f( 1

2

)= f

(12+)− f

(12−)= 0− 1 = −1

[rec (t)]′ = δ

(t+

12

)− δ

(t− 1

2

)

9.5.1 La distribution VP(

1t

)La fonction f (t) =

1t

est une fonction définie et continue sur R sauf au point t = 0donc elle n’est pas intégrable au voisinage du point t = 0 et alors elle ne définit pas unedistribution. Si f (t) n’est pas localement sommable il n’en est pas de même sa primitiveF (t) = ln |t| . La distribution à chercher est donc tout simplement la dérivée au sens des

distributions de F (t) = ln |t| et que l’on note VP(

1t

).

Soit TF la distribution associée F (t) = ln |t| ; TF =+∞∫−∞

ln |t| ϕ (t) dt.

〈T′F, ϕ〉 = − 〈TF, ϕ′〉 = −+∞∫−∞

ln |t| ϕ′ (t) dt

= Jε = −−ε∫−∞

ln |t| ϕ′ (t) dt−+∞∫ε

ln |t| ϕ′ (t) dt

Intégrons par parties, on obtient :

Jε = − ϕ (t) ln |t||−ε−∞ +

−ε∫−∞

ϕ (t)t

dt− ϕ (t) ln |t||+∞ε +

+∞∫+ε

ϕ (t)t

dt

= [ϕ (ε)− ϕ (−ε)] ln |ε|+∫|t|≥ε

ϕ (t)t

dt

La formule des accroissements finis nous donne

ϕ (ε)− ϕ (−ε) = 2εϕ′ (c)

avec −ε < c < +ε alors (ϕ (ε)− ϕ (−ε))→ 0ε→0

et par suite :

Jε =

−ε∫−∞

ϕ (t)t

dt++∞∫+ε

ϕ (t)t

dt =+∞∫ε

ϕ (t)− ϕ (−t)t

dt

d’où :⟨VP

( 1t

), ϕ⟩= lim

ε→0

+∞∫ε

ϕ (t)− ϕ (−t)t

dt .



La fonction ϕ(t)−ϕ(−t)t n’est pas continue au point t = 0 mais

limt→0

(ϕ (t)− ϕ (−t)

t

)= lim

t→02ϕ′ (t) = 2ϕ′ (0)

donc elle est prolongeable par continuité au point t = 0 et l’intégrale+∞∫0

ϕ(t)−ϕ(−t)t dt existe

d’où la distribution :

⟨VP

(1t

), ϕ

⟩=

+∞∫0

ϕ (t)− ϕ (−t)t

dt (9.42)

9.6 Convergence dans D9.6.1 Définitions et exemples

Nous avons défini les distributions comme des formes linéaires continues, dont la conti-nuité se traduit par

T (ϕn)D′→

n→∞T (ϕ) si ϕn

D′→n→∞

ϕ

cette notion est une notion de convergence des distributions, et nous allons dans la suiteexplorer cette notion.

Définition 9.19 Soit une suite de distributions (Tn) et T une distribution. On dit que que lasuite (Tn) converge vers la distribution T dans D′si : ∀ϕ ∈ D on a :

〈Tn, ϕ〉 → 〈T, ϕ〉 quand n→ +∞ (9.43)

on note : TnD′→

n→∞T

Exemple 9.18 Si la suite réelle (xn)n∈N −→n→+∞

x , on a ∀ϕ ∈ D : ϕ (xn)D→ ϕ (x) alors

δxnD′→ δx

et Tn =n∑−n

δ (t− p) D′→n→∞

∆

Théorème 9.17 (continuité de dérivation) Si la suite de distributions (Tn) converge vers ladistribution T alors la suite de distributions dérivées (T′n) de (Tn) converge vers la dérivée T′

de T.

DémonstrationSi , par hypothèse, la suite de distributions (Tn) converge vers la distribution T alors on

a ∀ϕ ∈ D :lim

n→+∞〈Tn, ϕ〉 = 〈T, ϕ〉 . Or 〈T′n, ϕ〉 = − 〈Tn, ϕ′〉 donc :

limn→+∞

〈T′n, ϕ〉 = − limn→+∞

〈Tn, ϕ′〉 = − 〈T, ϕ′〉 = 〈T′, ϕ〉



Exemple 9.19n∑−n

δ (t− p) D′→n→∞

∆ alorsn∑−n

δ(k) (t− p) D′→n→∞

∆(k)

Théorème 9.18 (Propriétés) Si TnD′→

n→∞T , Sn

D′→n→∞

S , λ ∈ R, ∀a 6= 0 et ∀g une fonction C∞

alors :

1. (Tn + λSn)D′→

n→∞T + λS

2. Tn (at) D′→n→∞

T (at)

3. Tn (t− a) D′→n→∞

T (t− a)

4. gTnD′→

n→∞gT

Ces propriétés sont faciles à démontrer.

9.6.2 Convergence au sens des distributions

Définition 9.20 On dit qu’une suite de fonctions fn , n > 0, converge au sens des distributionsvers la distribution T quand n → +∞ lorsque la suite de distributions régulières [ fn] associéesconverge vers la distribution T.

Définition 9.21 On dit qu’une suite de fonctions fh , h ∈ R, converge au sens des distributionsvers la distribution T lorsque h → h0 si la suite de distributions régulières [ fn] associées a pourlimite, quand h→ h0, la distribution T.

On note :fn

D′→n→∞

T ou fhD′→

h→h0T

On dit fn converge vers dans D′ vers T.

Exemple 9.20 La suite des fonctions fn (t) = sin nt n’a pas une limite au sens des fonctionsmais au sens des distributions elle converge vers 0 quand n→ +∞

En effet :soit ϕ une fonction test nulle hors de [−A, A] et |ϕ (t)| ≤ M, ∀t ∈ [−A, A] alors :

〈sin nt, ϕ〉 =A∫−A

sin ntϕ (t) dt =[− 1

ncos ntϕ (t)

]A

−A+

1n

A∫−A

cos ntϕ (t) dt

Or[− 1

ncos ntϕ (t)

]A

−A= 0 et

1n

A∫−A

cos ntϕ (t) dt ≤ 1n

M.2A →n→+∞

0

donc limn→+∞

〈sin nt, ϕ〉 = 0



Théorème 9.19 Soit une suite de fonctions intégrables fn (t) telles que :

+∞∫−∞

fn (t) dt = 1 et ∀h > 0 : limn→+∞

+h∫−h

| fn (t)| dt = 1

alors la suite des distributions [ fn] converge vers δ.

Démonstration

Il suffit de former : Tn =+∞∫−∞

fn (t) ϕ (t) dt

=+∞∫−∞

fn (t) [ϕ (t)− ϕ (0)] dt− ϕ (0) , car+∞∫−∞

fn (t) dt = 1

d’après le théorème des accroissements finis |ϕ (t)− ϕ (0)| ≤ Mh sur [−h, h] alors∣∣∣∣∣∣+h∫−h

fn (t) [ϕ (t)− ϕ (0)] dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ Mhh∫−h

| fn (t)| dt

qui tend vers 0 si n→ ∞ puis h→ 0Donc

[ fn]→ ϕ (0) = δ

Exemple 9.21 Soit la suite de fonctions ( fn)n∈N définie par

fn (t) =

n si t ∈]

0,1n

[0 si non

t

f(t)

On a ∀t 6= 0, à priori dans R , limn→+∞

fn = 0 donc fnR∗→ 0.

Considérons maintenant les distributions : [ fn] =+∞∫−∞

fn (t) ϕ (t) dt, la fonction test est

continue au point t = 0 donc elle admet une limite dans ce point, et alors

∀ε > 0, ∃α > 0 si |t| < α =⇒ |ϕ (t)− ϕ (0)| < ε

Prenons n tel que1n< α, on a :

〈[ fn] , ϕ〉 =+∞∫−∞

fn (t) ϕ (t) dt = n1/n∫0

ϕ (t) dt

= n1/n∫0ϕ (t)− ϕ (0) dt+ n

1/n∫0

ϕ (0) dt



= n1/n∫0ϕ (t)− ϕ (0) dt+ ϕ (0)

=⇒ [ fn]− ϕ (0) = n1/n∫0ϕ (t)− ϕ (0) dt ≤ n

1/n∫0

εdt = ε

Pour n >1α

, |[ fn]− ϕ (0)| ≤ ε donc

limn→+∞

[ fn] = ϕ (0) = δ (9.44)

Exemple 9.22 le signal triangulaire défini par gn =(n− n2 |t|

)pour − 1

n< t <

1n

tendaussi vers δ quand n→ +∞.

Théorème 9.20 Soit fn , n ∈ N, une suite de fonctions sommables sur tout segment et f unefonction sommable sur tout segment

1. Si fn converge uniformement vers f sur tout segment quand n → +∞ alors fn convergevers f dans D′ .

2. Si fn converge vers f dans L2 (I) sur tout segment I quand n → +∞ alors fn convergevers f dans D′

3. En particulier, la somme Sn =n∑

p=0hp des n + 1 premiers harmoniques d’une fonction

développable en série de Fourier converge dans D′ vers f .

9.6.3 Application sur les séries trigonométriques

Considérons une série trigonométrique quelconque :

S =+∞

∑n=−∞

αn exp(

2jπnta

)(9.45)

où les coefficients αn ne tendent pas nécessairement vers 0. Cette série n’est pas donc, àpriori, la série de Fourier d’une fonction et n’est pas, en générale convergente au sens desfonctions. Mais on va étudier la convergence au sens des distributions.

Définition 9.22 La suite complexe (αn)n∈Z est dite à croissance lente s’il existe un réel positifA et un entier positif k tels que pour |n| assez grand

|αn| < A |n|k (9.46)

on peut dire qu’il existe une constante C et un entier k > 0 tels que

∀n ∈ Z |αn| ≤ C(

1+ |n|k)

(9.47)



Théorème 9.21 Si la suite (αn) est à croissance lente alors la série S converge dansD′ vers unedistribution périodique, de période a

Démonstration

k étant un entier positif tel que |αn| < A |n|k, et soit la série

∑n 6=0

n−k−2αn exp(

2jπnta

)D’après l’hypothèse, pour |n| assez grand, le module de son terme général est majoré parAn2 . Elle est donc uniformement convergente sur R vers une fonction F, nécessairementcontinue :

F = ∑n 6=0

n−k−2αn exp(

2jπnta

)Il résulte du théorème 9.20 que la convergence a lieu dans D′. d’où, par continuité de ladérivation, la série dérivée d’ordre k+ 2 converge vers F(k+2) au sens des distributions :

N

∑n=−N

n 6=0

(2jπ

a

)k+2

αn exp(

2jπnta

)→ F(k+2) quand N → +∞

La série S converge donc, au sens des distributions, vers la distribution

T =(

a2jπ

)k+2

F(k+2) + α0

Lorsque la série S est la série de Fourier d’une fonction périodique localement intégrable falors cette série converge au sens des distributions vers f .

Théorème 9.22 Soit (un (t))n∈N une suite de fonctions absolument continues sur tout inter-

valle borné, telle que la série∞∑

n=0un (t) converge dansD′ vers une fonction localement intégrable

f . Alors la série dérivée∞∑

n=0u′n (t) converge dans D′ vers la dérivée f ′ de f au sens des distribu-

tions.

La démonstration de ce théorème résulte directement de la continuité de la dérivation.

9.6.4 Développement en série de Fourier du peigne de Dirac

Le peigne de Dirac de maille a est la distribution définie par

∆a =+∞

∑n=−∞

δna

on a donc pour toute fonction test

〈∆a, ϕ〉 =+∞

∑n=−∞

δna =+∞

∑n=−∞

δ (t− na) =+∞

∑n=−∞

ϕ (na)



il est claire que ∆a est une distribution périodique de période a.

Le produit f ∆a est bien défini lorsque f ∈ C∞ :

f ∆a = 〈 f ∆a, ϕ〉 = 〈∆a, f ϕ〉 =+∞

∑n=−∞

f (na) ϕ (na) =+∞

∑n=−∞

f (na) δna (9.48)

c’est une suite d’impulsion qui représente l′echantillonnage du signal f toutes les asecondes.

Montrons que ∆a peut s’exprimer sous la forme de la somme d’une série de Fourier :

Soit la fonction périodique, de période a,définie sur ]0, a[ par f (t) =ta

.La série complexe de Fourier est

f (t) =12+

j2π ∑

n 6=0

1n

exp(

2jπnta

)puisque cette série converge au sens des fonctions vers la fonction f elle converge aussiau sens des distributions et par continuité de la dérivation on peut dériver terme àterme

f ′ (t) =−1a

+∞

∑n=−∞, 6=0

exp(

2jπnta

)Or d’après les théorèmes de dérivée au sens des distributions f ′ (t) =

1a− ∆a alors

∆a =1a

+∞

∑n=−∞

exp(

2jπnta

)(9.49)

La série1a

+∞

∑n=−∞

exp(

2jπnta

)est divergente au sens des fonctions mais elle est convergente au sens des distributionsvers le peigne de Dirac.

9.7 Convolution des distributions

Précédement on a étudié la convolution des fonctions de L1 (R). Comme pour les fonc-tions, la convolution des distributions n’est pas toujours possible. Nous limiterons l’étudeaux cas usuels.

Soit f et g deux fonctions sommables sur R et h = f ∗ g, désignons par T la distributionrégulière associée à f et S celle de g.

Soit U = [h] =∞∫−∞

h (y) ϕ (y) dx =∞∫−∞( f ∗ g) (y) ϕ (y) dy

=∞∫−∞

(∞∫−∞

f (t) g (y− t) dt

)ϕ (y) dy

=∞∫−∞

∞∫−∞

f (t) g (y− t) ϕ (y) dtdy =∞∫−∞

f (t)

(∞∫−∞

g (y− t) ϕ (y) dy

)dt



Posons x = y− t donc y = x+ t et dy = dx alors :

U =∞∫−∞

f (t)

(∞∫−∞

g (x) ϕ (x+ t) dx

)dt = 〈T (t) , 〈S (x) , ϕ (x+ t)〉〉

Définition 9.23 Le produit de convolution de deux distributions S et T est définie par :

∀ϕ ∈ D : T ∗ S = 〈T ∗ S, ϕ〉 = 〈T (t) , 〈S (x) , ϕ (x+ t)〉〉 (9.50)

Définition 9.24 Lorsqu’il existe la distribution

KT = T (t) ∗ T (−t) (9.51)

s’appelle l’autocorrélation de T.

En particulier– Pour toute distribution T on a :

T ∗ δa = T (t− a) (9.52)

En effet,〈T ∗ δa, ϕ〉 = 〈T (t) , 〈δ (x− a) , ϕ (x+ t)〉〉

= 〈T (t) , ϕ (t+ a)〉 = 〈T (t− a) , ϕ (t)〉– On sait que la dérivée, au sens des distributions, de la fonction de Heaviside u (t) est

δ (t) .on a donc :u ∗ δ′ =

⟨u (t) ,

⟨δ′ (x) , ϕ (x+ t)

⟩⟩= − 〈u (t) , ϕ′ (t)〉 = 〈u′ (t) , ϕ (t)〉 = 〈δ (t) , ϕ (t)〉 = ϕ (0)d’où

u ∗ δ′ = δ (9.53)

9.7.1 Propriétés

Soient S, T et U sont de distributions, α, β, a de constantes. On démontre aisement lespropriétés suivantes :

1. Commutativité : Le produit de convolution de deux distributions est commutatif

T ∗ S = S ∗ T (9.54)

La démonstration est immediate d’après la définition

2. associativité :La convolution des distributions est associative si tous les supports, saufun au plus, sont compacts et bornés de même coté, dans ce cas on a

(T ∗ S) ∗U = T ∗ (S ∗U) (9.55)



3. Elément neutre :La distribution de Dirac est neutre pour la convolution

T ∗ δ = T (9.56)

4. Linéairité : Si T ∗ S et T ∗U existent alors :

T ∗ (αS+ βU) = αT ∗ S+ βT ∗U (9.57)

5. Translation : Si T ∗ S existe alors

(T ∗ S) (t− a) = T (t− a) ∗ S = T ∗ S (t− a) (9.58)

En effet :〈(T ∗ S) (t− a) , ϕ〉 = 〈T (t) , 〈S (x) , ϕ (x+ t+ a)〉〉

= 〈T (t− a) , 〈S (x) , ϕ (x+ t)〉〉 = 〈T (t− a) ∗ S, ϕ〉= 〈T (t) , 〈S (x− a) , ϕ (x+ t)〉〉 = 〈T ∗ S (t− a) , ϕ〉

6. Homothétie : Si a est un réel alors :

(T ∗ S) (at) = T (at) ∗ S = T ∗ S (at) (9.59)

7. Dérivation : Pour toutes distributions T et S et ∀ϕ une fonction test on a :

(T ∗ S)′ = T′ ∗ S = T ∗ S′ (9.60)

En effet :⟨(T ∗ S)′ , ϕ

⟩= − 〈T ∗ S, ϕ′〉

= − 〈T (t) , 〈S (x) , ϕ′ (x+ t)〉〉= 〈T (t) , 〈S′ (x) , ϕ (x+ t)〉〉 = 〈T ∗ S′, ϕ〉

Ou bien : = 〈T′ (t) , 〈S (x) , ϕ (x+ t)〉〉 = 〈T′ ∗ S, ϕ〉En générale

(T ∗ S)(n) = T(k) ∗ S(n−k) (9.61)

8. Convolution par δ(n) : ∀T ∈ D′On a :

T ∗ δ(n) = δ(n) ∗ T = T(n) (9.62)

Pour n = 1 on a :⟨

T ∗ δ′, ϕ⟩= − 〈T ∗ δ, ϕ′〉

= − 〈T (t) , 〈δ (x) , ϕ′ (x+ t)〉〉= − 〈T (t) , ϕ′ (t)〉 = 〈T′, ϕ〉

On démontre sans difficultés que T ∗ δ(n) = T(n)

On peut aussi utliser la formule (T ∗ S)(n) = T(k) ∗ S(n−k); pour k = 0 : T(n) =(T ∗ δ)(n) = T ∗ δ(n)



9. Continuité : Si TnD′→

n→∞T et Sn

D′→n→∞

S alors

Tn ∗ SnD′→

n→∞T ∗ S

Tn ∗ S D′→n→∞

T ∗ S

T ∗ SnD′→

n→∞T ∗ S

(9.63)

10. Primitives : Soit Tu la distribution régulière associée à u (t) est la fonction de Heaviside,et S une distribution quelconque. On a :

(Tu ∗ S)′ = T′u ∗ S = δ ∗ S = S (9.64)

S est la dérivée de (Tu ∗ S) donc (Tu ∗ S) est une primitive particulière de S. On dé-montre que toutes les autres primitives n’en diffèrent que par une constante.

11. Support : Si T et S sont deux distributions des supports différents, alors

Supp(T ∗ S) ⊂ Supp (T) + Supp (S) (9.65)

Théorème 9.23 Soit f une fonction nulle hors de [0, a] et g la fonction périodique de période aqui coïncide avec f sur [0, a] alors

g = f ∗ ∑n∈Z

δ (t− na) (9.66)

Théorème 9.24 Si T est une distribution nulle hors d’un intervalle, alors ∀S ∈ D′ : T ∗ Sexiste

Si T et S sont nulle hors d’un intervalle, alors T ∗ S est nulle d’un intervalleSi T et S sont causales alors T ∗ S est causale.Si ϕ est fonction test et f = ϕ ∗ T est une distribution régulière et f ∈ C∞.

9.8 Exercices

Dans tous les exercices suivants on désignera par :D : l’ensemble des fonctions tests. ϕ (t) : une fonction test.D′ : l’ensemble des distributions. T est une distribution

Exercice 9.1 Dite si les applications suivantes sont des distributions, et préciser si les distribu-tions sont régulières ou singulières

a) T1 (ϕ) =1∫

0ϕ (t) dt b) T2 (ϕ) =

1∫−1|ϕ (t)| dt

c) T3 (ϕ) =N∑

n=0ϕ(n) (k) d) T4 (ϕ) =

1∫0

ϕ(n) (t) dt

e) T5 (ϕ) =π∫−π

cos tϕ (t) dt f ) T6 (ϕ) =+∞∫0

e−x ϕ′ (t) dt



g) T7 (ϕ) =N∑

n=0ϕ(n) (0) h) T8 (ϕ) =

+∞∫0

tϕ (t) dt

i) T9 (ϕ) =1∫−1

ϕ (t+ α) dt j) T10 (ϕ) = ϕ (2)− ϕ (0)

Exercice 9.2 Soit T = aδ′ (t) + bδ (t− 1) .calculer les produits suivants :a) tT (t) b) t2T (t) c) (t− 1) T (t)d) t (t− 1) T (t) e) t2 (t− 1) T (t)

Exercice 9.3 Simplifier :

a) (sin πt) δ1 b)(

sinπt4

)δ1 c)

(sin πt

t

)δ0

Exercice 9.4 Montrer que l’application

T (ϕ) =1∫−1

(1− |t|) ϕ (t) dt++∞∫1

ln |t| ϕ (t) dt

est une distribution régulière.

Exercice 9.5 Pour tout ϕ ∈ D on pose

〈T, ϕ〉 =∫∫R2

exp(−x2 − y2) ϕ (sin xy) dxdy

1. Montrer que T est une distribution

2. Quelle est le support de T

Exercice 9.6 Calculer les dérivées des distributions suivantes :

a) T (ϕ) =+∞∫0

e−x ϕ (x) dx b) T (ϕ) =+1∫−1

x2ϕ (x) dx

c) T (ϕ) =+π∫−π

|cos x| ϕ (x) dx d) T (ϕ) =+∞∫0(x− 1) e−x ϕ (x) dx

e) T (ϕ) =+∞∫−∞

ϕ (x)1+ x2 dx f) T (ϕ) =

+∞∫0

xe−x2ϕ (x) dx

Exercice 9.7 Déterminer les limites lorsque h tend vers 0+ des distributions suivantes :

a)δ (t+ h)− δ (t− h)

2hb)

δ (t+ h)− 2δ (t) + δ (t− h)h2



Exercice 9.8 Calculer au sens de distribution les dérivées première et seconde de la fonction a−périodique g (t) = at pour t ∈ [0, a].

Exercice 9.9 Pour les fonctions f suivantes calculer [ f ]′ , [ f ]′′ et [ f ]′′′ :

1. f (x) =

1 si 0 < x ≤ 2

3− x si 2 ≤ x ≤ 30 si non

2. f (x) =

x2 si − 1 ≤ x ≤ 1

2− x si 2 ≤ x ≤ 30 si non

3. f (x) =

2+ |x| si − 1 < x < 1

x2 si 1 < x < 31 si 3 < x < 40 si non

Exercice 9.10 On désigne par P[a,b] (t) la fonction définie par

P[a,b] (t) =

1 si t ∈ [a, b]0 si non

Soient les fonctions localement sommables :

fh (t) =P[−h,h] (t)

2het gh (t) =

P[−h,0] (t)− P[0,h] (t)h2

1. Calculer les dérivées des distributions régulières [ fh] et [gh]

2. Calculer limh→0+

[ fh] et limh→0+

[gh]

Exercice 9.11 Soit la fonction f définie par

f (t) =

1− t2 |t| ≤ 10 |t| > 1

et T = [ f ] la distribution régulière associée à f

1. Calculer de trois façons différentes T′, T′′, T′′′ en utilisant successivement les définitions :

∀ϕ ∈ D,⟨

T′, ϕ⟩= −

⟨T, ϕ′

⟩(D1)

[ f ]′ =[

f ′]+∑ ∆ f (a) δa (D2)

(gT)′ = g′T + gT′ (D3)

2. Même question pour f (t) = u (t) sin t



Exercice 9.12 On désigne par u (t) la fonction de Heaviside. Calculer au sens des distributions :

T =[

ddt− λ

]u (t) eλt S =

[d2

dt2 +ω2]

u (t)sin ωt

ω

U =1

(n− 1)!dn

dtn

[u (t) tn−1] lim

h→0

[1h

T (t+ h)− T (t)]

Exercice 9.13 Soient a et b deux réels non nuls et fa,b la fonction définie par :

fa,b =

ln |at| si t > 0ln |bt| si t < 0

1. Calculer la dérivée de la fonction fa,b

2. Montrer que fa,best localement sommable

3. Calculer la dérivée de la distribution régulière [ fa,b] .

Exercice 9.14 Soit la suite

gn (x) =

n2x si 0 ≤ x ≤ 1

n−n2

(x− 2

n

)si

1n≤ x ≤ 2

n0 si non

1. Tracer le graphe de gn et calculer+∞∫−∞

gn (x) dx

2. Soit ϕ ∈ D et Tn la distribution associée à gn

(a) Montrer que : 〈Tn, ϕ〉 − ϕ (0) =+∞∫−∞

gn (x) [ϕ (x)− ϕ (0)] dx

(b) Soit ε > 0 donné, prouver qu’il existe α ∈ R tel que

|x| < α =⇒ |ϕ (x)− ϕ (0)| < ε

(c) Montrer qu’il existe un entier N tel que, pour n > N, on ait

|〈Tn, ϕ〉 − ϕ (0)| ≤ ε

3. En déduire que Tn tend vers δ dans D′.

Exercice 9.15 Soit un (t) la fonction définie par

un (t) =

t2 sin nt si − π

2n≤ t ≤ π

2n0 si non

1. Tracer le graphe de un (t)2. Montrer que un (t) converge vers la distribution nulle.



Exercice 9.16 Soit les fonctions périodiques de période 1. ∀t ∈]−1

2,

12

].

f (t) = t

g (t) =t2

2

1. Déterminer la série de Fourier trigonométrique de la fonction f (t) et préciser sa somme

2. Développer également la fonction g (t) en série de Fourier

3. Montrer que g est la somme de sa série de Fourier au sens des distributions. En déduireque f est également la somme de sa série de Fourier au sens des distributions

4. En dérivant au sens de distributions le développement de f , exprimer à l’aide du peigne+∞∑

k=−∞δk+ 1

2, la série

+∞∑

n=1(−1)n+1 cos (2πnt)

Exercice 9.17 Soit T une distribution causale et u (t) la fonction échelon.

1. Montrer que [u] ∗ T est une primitive de T

2. Soit S (t) = ∆ ∗ ∆; avec ∆ = ∑n≥0

δ (t− n) . Calculer S et calculer une primitive de S.


CHAPITRE 10

TRANSFORMATION DE FOURIER DESDISTRIBUTIONS

ON a vu que la transformée de Fourier existe si la fonction est d’énergie finie, c’est-à-dire si f (t) ∈ L2 (R) .Ces fonctions ont, donc, un sens physique. Dans la suiteon va étudier le calcul de transformation de Fourier au sens des distributionspour de fonctions même d’énergie infinie.

Soit f (t) une fonction sommable sur R(

f ∈ L1 (R))et ϕ une fonction test. La distribu-

tion régulière associée à f est Tf =+∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt, la transformée de Fourier de f est :

F (ν) =+∞∫−∞


La distribution régulière associée à F est :

TF = 〈TF, ϕ〉 =+∞∫−∞

F (x) ϕ (x) dx =+∞∫−∞

[+∞∫−∞

f (t) e−2jπxtdt

]ϕ (x) dx

=+∞∫−∞

∞∫−∞

f (t) ϕ (x) e−2jπxtdtdx =+∞∫−∞

[f (t)

+∞∫−∞

ϕ (x) e−2jπxtdx

]dt

=+∞∫−∞

f (t) ϕ (t) dt =⟨

Tf , ϕ⟩

⟨Tf , ϕ

⟩a un sens si ϕ est une fonction test. ϕ est une fonction indéfiniment dérivable,

mais est-elle nulle hors d’un intervalle ?. On verra que ce n’est jamais le cas.D’autre part la transformation de Fourier est facile pour un sous espace vectoriel des

distributions dites tempérées dont les fonctions ϕ sont à décroissance rapide.

10.1 Les distributions tempérées

10.1.1 Fonctions à décroissance rapide

Définition 10.1 On appelle S (R) l’ensemble des fonctions à décroissance rapide, les fonctionsde S sont nécessairement nulles à l’infini, indéfiniment dérivables et donc les dérivées tendent verszéro à l’infini.

Si ϕ (t) ∈ S alors ϕ (t) → 0 si t → ∞ plus vite que toute fonction(

1t

)α

∀α > 0.

Autrement dit :ϕ ∈ S ⇐⇒ lim

t→∞tn ϕ(p) (t) = 0, ∀n, p (10.1)


de plus si ϕN est une suite de S alors

tn ϕ(p)N (t) →

N→∞0 uniformement sur R (10.2)

Exemple 10.1 e−t2 ∈ S 11+ t2 /∈ S .

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Graphe de exp(−t2)

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

11+ t2

Pour tout polynôme P (t) on a P (t) ϕ (t) est borné et nul à l’infini.Toute fonction test est un élément de S donc D ⊂ SLes fonctions ϕ (t) , ϕ(p) (t) , tn ϕ (t) sont absolument intégrable sur R

Remarque

D’où une manipulation simple de leurs transformées de Fourier

10.1.2 Distributions tempérées : Définitions

Définition 10.2 On appelle distributions tempérées les formes linéaires T définies et continuessur S (R) . ∀ϕ ∈ S , 〈T, ϕ〉 est une distribution tempérée et si ϕn est une suite des fonctions àdécroissance rapide ; alors si ϕn → 0 =⇒ 〈T, ϕn〉 → 0 dans C.

L’ensemble des distributions tempérées S ′ (R) a la structure d’un espace vectoriel

D (R) ⊂ S (R) alors que S ′ (R) ⊂ D′ (R)Remarque

Proposition 10.1 Pour qu’une distribution T appartienne à S ′ (R) il faut et il suffit que T soitune forme linéaire continue sur D (R) .

Définition 10.3 On dit qu’une suite Tn converge vers 0 dans S ′ (R) si ∀ϕ ∈ S (R),lim

n→+∞〈Tn, ϕ〉 = 0



10.1.3 Distributions tempérées : Propriétés

Si T et U sont deux distributions tempérées et α un complexe alors :

1. (T +U) ∈ S ′ (R) et ∀ϕ ∈ S (R) on a 〈T +U, ϕ〉 = 〈T, ϕ〉+ 〈U, ϕ〉2. αT sont des éléments de S ′ (R) . on a : 〈αT, ϕ〉 = α 〈T, ϕ〉3. ∀k ∈N, ∀T ∈ S ′, on a : xkT ∈ S ′

4. ∀k ∈N, ∀T ∈ S ′, on a : T(k) ∈ S ′

5. Les applications : T 7−→ tkT et T 7−→ T(k) sont continues de S ′ (R) dans S ′ (R)

Définition 10.4 On appelle régularisation de la distribution tempérée, T, élément de S ′ par lafonction ϕ ∈ S , la fonction ϕ ∗ T définie par :

(ϕ ∗ T) (t) =+∞∫−∞

T (x) ϕ (t− x) dx (10.3)

Proposition 10.2 La régularisée ϕ ∗ T, de T par une fonction à décroissance rapide, est unefonction de C∞ à croissance lente avec toutes ses dérivées, lesquelles vérifient :

(ϕ ∗ T)(n) = ϕ(n) ∗ T = ϕ ∗ T(n)

10.1.4 Exemples

1. Toute fonctions f à décroissance lente est une distribution tempérées.

2. On admet que δa est une distribution tempérée puisque, si ϕ est une fonction deS (R) ,alors 〈δa, ϕ〉 = ϕ (a) conserve un sens

3. Le peigne de Dirac :

〈∆a, ϕ〉 =∞

∑k=−∞

ϕ (ka)

est également une distribution tempérée, la série du second membre est absolument

convergente car |ϕ (ka)| ≤ Kk2a2

4. Si la suite ϕn est à croissance lente, alors

T =∞

∑k=−∞

ϕnδna

est une distribution tempérée.

10.2 Transformation de Fourier

Les définitions et les propriétés des distributions tempérées nous donnent maintenant lapossibilité de définir et de calculer la transformation de Fourier d’une distribution.

10.2.1 Transformée usuelle des fonctions de SSoit ϕ (t) une fonction à décroissance rapide : ϕ ∈ S



Définition 10.5 La transformée de Fourier usuelle d’une fonction ϕ ∈ S est :

F (ϕ) =+∞∫−∞

ϕ (t) exp (−2jπνt) dt (10.4)

Définition 10.6 On peut aussi définir la transformée conjuguée de Fourier

Fc (ϕ) =

+∞∫−∞

ϕ (t) exp (2jπνt) dt (10.5)

Les transformées de Fourier F (ϕ) et Fc (ϕ) sont rapidement décroissantes et indé-finiment dérivables.

Définition 10.7 Si Φ = F (ϕ) . La transformée inverse de Fourier est définie par

F−1 (Φ) =+∞∫−∞

Φ (ν) exp (2jπνt) dν (10.6)

mais comme les variables d’intégration sont muettes on peut écrire :

F−1 (Φ) = Fc (Φ)

1. Si Φ = F (ϕ) , alors, chaque fonction tn ϕ (t) admet une transformation de Fou-rier :

F (tn ϕ) =

(− 1

2jπ

)n dnΦdνn (10.7)

2. Chaque dérivée ϕ(n) (t) a pour transformée de Fourier :

F[

ϕ(n)]= (2jπν)n F (ϕ) (10.8)

3. En combinant ces deux relations on trouve :

F(

tn ϕ(k))= (−1)k (2jπ)k−n

[νkF (ϕ)

](n)(10.9)

F (tn ϕ)(k) = (−1)k (2jπ)k−n νkF (n) (ϕ) (10.10)

Remarque

10.2.2 Transformation de Fourier des distributions

Définition 10.8 La transformée de Fourier F (T) d’une distribution tempérée T est la distribu-tion tempérée

〈F (T) , ϕ〉 = 〈T,F (ϕ)〉 (10.11)

et la transformée conjuguée〈Fc (T) , ϕ〉 = 〈T,Fc (ϕ)〉 (10.12)



Proposition 10.3 Si f (t) est une fonction sommable ou de carré sommable et F (ν) sa transfor-mée de Fourier et Tf la distribution régulière associée à f , alors⟨

F(Tf)

, ϕ⟩= 〈TF, ϕ〉 (10.13)

DémonstrationSi f (t) ∈ L1 (R) ou ∈ L2 (R) et ϕ ∈ S (R) , alors F ( f ) est une distribution. On a :

〈TF, ϕ〉 =+∞∫−∞

F (ν) ϕ (ν) dν =+∞∫−∞

(+∞∫−∞

f (t) e−2jπνtdt

)ϕ (ν) dν

=+∞∫−∞

+∞∫−∞

f (t) ϕ (ν) e−2jπνtdtdν =+∞∫−∞

(+∞∫−∞

ϕ (ν) e−2jπνtdν

)f (t) dt

=+∞∫−∞

f (t)F (ϕ) dt =⟨

Tf ,F (ϕ)⟩=⟨F(Tf)

, ϕ⟩

La transformation de Fourier est une application bijective et bicontinue sur S (R) partransposition on obtient

Théorème 10.1 La transformation de Fourier est une application bijective et bicontinue deS ′ (R) sur S ′ (R) . L’application inverse est F−1 = Fc définie par⟨

F−1 (T) , ϕ⟩= 〈Fc (T) , ϕ〉 = 〈T,Fc (ϕ)〉 ∀ϕ ∈ S (10.14)

DémonstrationIl est immédiat que l’application T 7−→ F (T) est linéaire car l’intégration est linéaire

dans S ′ (R) . Elle est continue car si Tn → 0 dans S ′ (R) alors 〈F (Tn) , ϕ〉 = 〈Tn,F (ϕ)〉 → 0quand n→ ∞. Enfin on a ∀ϕ ∈ S (R)

〈F [Fc (T)] , ϕ〉 = 〈F (T) , [Fc (ϕ)]〉 = 〈T,FF c ϕ〉 = 〈T, ϕ〉

ce qui prouve que F est bijective et F−1 = Fc

10.2.3 Propriétés

A partir de la définition on obtient les propriétés suivantes :Soit T et S deux distributions tempérées , g une fonction et a une constante

1. [F (T)](k) = (−1)k F(2jπtkT

)2. F

(T(k)

)= (2jπν)k F (T)

3. F (T (t− a)) = e−2jπνaF (T)4. F

(e−2jπaT

)= F (T) (ν− a)

5. Si Tn →n→∞T alors F (Tn) →n→∞

F (T)

6. F (T ∗ S) = F (T)F (S)7. F (g ∗ T) = F (g)F (T)8. F (gT) = F (g) ∗ F (T)



10.2.4 Quelques tranformations importantes

a) Distribution de Dirac

Par définition la transformation de Fourier de δ est

〈F (δ) , ϕ〉 = 〈δ,F (ϕ)〉 = 〈δ, Φ〉 = Φ (0) =+∞∫−∞

ϕ (t) dt = 〈1, ϕ〉

Donc :

F (δ) = 1 (10.15)

Et on obtient directement

F (1) = δ (10.16)

On a F (T (t− a)) = e−2jπνaF (T) d’où

F (δa) = F (δ (t− a)) = e−2jπνa (10.17)

et encore

F(

e2jπat)= δ (v− a) (10.18)

La transformée de Fourier de la dérivée nieme de δ se détermine, en utilisant la relation

F(

T(k))= (2jπν)k F (T)

alors :

F(

δ(k))= (2jπν)k (10.19)

F(

δ(k)a

)= (2jπν)k e−2jπνa (10.20)

b) Transformée de de Fourier de tne2jπat

On a d’après la relation (10.20) :

F(2jπt)n e2jπat

= δ

(n)(−a) (−ν) = (−1)n δ

(n)a

de sorte que



F(

tne2jπat)=

( −12jπ

)n

δ(n)a (10.21)

Ainsi

F (t) =

( −12jπ

)δ′ (10.22)

F(t2) = − 1

4π2 δ′′ (10.23)

Par conséquence on aura :

1. F(

T(n))= F

(δ(n)a ∗ T

)= F

(δ(n)a

)F (T) = (2jπν)n F (T)

2. F (T (t− a)) = F (δa ∗ T) = F (δa)F (T) = e−2jπνaF (T)

3. F (tnT) = F (tn) ∗ F (T) =( −1

2jπ

)n

δ(n) ∗ F (T) =( −1

2jπ

)n

(F (T))(n)

4. F(e2jπatT

)= F

e2jπat ∗ F (T) = δa ∗ F (T) = F (T) (ν− a)

c) Transformée de Peigne de Dirac

Nous avons vu que

∆a =∞

∑n=−∞

δ (t− na)

est dans S ′ (R) . On a par continuité de la transformation de Fourier

F (∆a) =∞

∑n=−∞

F δ (t− na) =∞

∑n=−∞

e2jπnaν (10.24)

on sait que ∆a =1a

+∞

∑n=−∞

exp(

2jπnta

)alors

∞∑

n=−∞e2jπnaν =

1a

∆ 1a

alors :

F (∆a) =1a

∆ 1a

(10.25)

Plus généralement

F

∞

∑n=−∞

δ (t− na)

=

1a

∞

∑n=−∞

δ(

t− na

)=

1a

+∞

∑n=−∞

exp(

2jπnta

)(10.26)



d) Fonction de Heaviside

La fonction échelon unité [u (t)] est d’énergie infinie et donc elle n’admet pas une trans-formée usuelle de Fourier. Au sens des distributions la dérivée de u (t) est la distributionde Dirac δ (t) .On a T′u = δ donc

F(u′)= F (δ) = 1 (10.27)

D’autre partF (T′) = 2jπνF (T) donc au sens des distribution on aF (u′) = 2jπνF (u) =1. donc une solution particulière de cette équation est la distribution T0 =

12jπ

VP(

1ν

)et

la solution générale s’écrit :

TF =1

2jπVP

(1ν

)+ kδ

Pour chercher la constante k on considère la fonction à décroissance rapide ϕ (t) =1√2π

exp(− t2

2

)telle que F (ϕ) = exp

(−2π2ν2) .

〈TF, ϕ〉 = 〈u,F (ϕ)〉 =⇒⟨

12jπ

VP(

1ν

)+ kδ, ϕ

⟩=⟨u, exp

(−2π2ν2)⟩

=⇒⟨

12jπ

VP(

1ν

)+ kδ, ϕ

⟩=

+∞∫0

exp(−2π2ν2) dν =

12

√π

2π2 =1

2√

2π

=⇒⟨

12jπ

VP(

1ν

), ϕ

⟩+ k 〈δ, ϕ〉 = 1

2√

2πEn comparant les parties réelles on obtient :

k 〈δ, ϕ〉 = 12√

2π=⇒ kϕ (0) =

1√2π

=1

2√

2π=⇒ k =

12

d’où finalement

F (u) = 12jπ

VP(

1ν

)+

12

δ (10.28)

e) Fonction signe

La fonction sgn (t) est égale au signe de l’argument :

sgn (t) =+1 si t > 0−1 si t < 0

(10.29)

4 2 2 41

1

x

y

sgn (t)

4 2 0 2 4

1

x

y

u (t)

On peut écrire la fonction échelon sous la forme :

u (t) =12

sgn (t) +12

(10.30)



On a F (u) = 12jπ

VP(

1ν

)+

12

δ

Alors F(

12

sgn (t) +12

)=

12F (sgn (t)) +

12F (1) = 1

2jπVP

(1ν

)+

12

δ et on déduit :

F (sgn (t)) =1jπ

VP(

1ν

)(10.31)

En appliquant les théorèmes de transformées inverses on trouve aussi :

F(

VP(

1t

))= −jπsign (ν) (10.32)

10.2.5 Transformation de Fourier des distributions périodiques

Soit f (t) une fonction a− périodique sommable sur ]0, a[ Les coefficients complexes deFourier sont

Cn =1a

a∫0

f (t) exp (−jnωt) d

ω =2π

aet la série complexe s’écrit :

S (t) =+∞

∑n=−∞

Cn exp (jnωt)

Si la série S était convergente et si sa limite était justement la fonction f (t) alors nouspourrions de calculer la transformée de Fourier et obtenir ainsi :

F (ν) =+∞

∑n=−∞

Cnδ(

ν− na

)Soit f0 (t) la fonction qui coincide avec f (t) sur ]0, a[ alors on remarque que f = f0 ∗ ∆a :

f0 ∗ ∆a =+∞

∑n=−∞

f0 ∗ δna =+∞

∑n=−∞

f0 (t− na) = f (t)

La transformée de Fourier est

F (ν) = F ( f0 ∗ ∆a) = F0 ×F (∆a) =1a

F0∆1/a

avec F0 = F ( f ) , soit :

F (ν) =1a ∑

n∈Z

F0

(na

)δ n

a=

1a ∑

n∈Z

F0

(na

)δ(

ν− na

)(10.33)

On remarque que

Cn =1a

F0

(na

)(10.34)

Les résultats précédents restent valables si la fonction f0 est remplacée par une distributionà support borné.



Proposition 10.4 Soit S une distribution à support borné et a > 0. Alors la distribution T ∗ ∆aest a−périodique et tempérée et donc elle se décompose en série de Fourier :

T = U ∗ ∆a =1a ∑

n∈Z

U(n

a

)exp

(2jπn

ta

)(10.35)

où U = F (U) .

Théorème 10.2 Soit T une distribution périodique de période a > 0 alors :

1. T est tempérée

2. Il existe une distribution U à support borné telle que T = U ∗ ∆a

3. T admet un développement en série de Fourier, et un seul, convergeant dans S ′ vers T :

T = ∑n∈Z

αn exp(

2jπatn

)(10.36)

et la transformée de Fourier est

T = ∑n∈Z

αnδ(

ν− na

)(10.37)

4. La suite des coefficients de Fourier (αn) est à croissance lente et on a

∀n ∈ Z, αn =1a

U(n

a

)

Définition 10.9 Si T est distribution périodique de période a et T sa transformée de Fourieralors :

1. T = ∑n∈Z

αnδ(

ν− na

)est le spectre de raies de T

2. ∑n∈Z

|αn| δ(

ν− na

)est le spectre d’amplitude de T

3. ∑n∈Z

Argαnδ(

ν− na

)est le spectre de phase de T

Définition 10.10 On appelle formule de Poisson la formule suivante :

+∞

∑n=−∞

f (t− na) =1a

+∞

∑n=−∞

F(n

a

)exp

(2jπ

na

t)

(10.38)

ou sa version duale :

+∞

∑n=−∞

G(

ν− na

)= a

+∞

∑n=−∞

g (na) exp (−2jπνna) (10.39)

avec F et G sont les transformées de Fourier de f et g respectivement



10.3 Exercices

Exercice 10.1 Pour les distributions régulières T = [ f ] suivantes Calculer T′, T′′et T′′′Déduirela transformée de Fourier F (T) ;

1. f (x) = cos x

2. f (x) =

1− x2 |x| ≤ 10 |x| > 1

3. f (x) =

2 si −2 < x ≤ −1

1+ x2 si −1 ≤ x ≤ 12 si 1 ≤ x < 2

et nulle ailleurs

4. f (x) =

x si 0 ≤ x ≤ 11 si 1 ≤ x < 20 si non

Exercice 10.2 Soit la fonction 2a−périodique définie pour |t| ≤ a par f (t) = |t| .1. Calculer [ f ]′′

2. Calculer les transformées de Fourier de [ f ]′′ puis [ f ]

3. En déduire le développement en série de Fourier de f .

Exercice 10.3 On considère la fonction f0 définie par

f (x) =|2+ x| si −3 < x ≤ 3

0 si non

1. Déterminer [ f0]′ et [ f0]

′′

2. Déterminer la transformée de Fourier de f0

3. Soit f une fonction périodique de période T = 6, égale à f0 sur [−3, 3] . Déterminer ledéveloppement en série de Fourier de f .

Exercice 10.4 On considère la fonction f0 définie par

f (x) =

x2 si −2 < x ≤ 02x si 0 ≤ x < 2

et nulle ailleurs

1. Déterminer [g0], [g0]′′ et [g0]

′′′

2. Déterminer la transformée de Fourier de g0

3. Soit g une fonction périodique de période T = 4, égale à g0 sur [−2, 2] . Déterminer ledéveloppement en série de Fourier de g.


CHAPITRE 11

INTRODUCTION À LATRANSFORMATION EN ONDELETTES

11.1 Les limites de l’analyse de Fourier

L’analyse de Fourier est la plus ancienne technique du traitement des signaux et elle ades applications dans nombreux domaines : théorie de communication, traitementd’image, analyse du son etc... L’analyse d’un signal en série ou transformée deFourier permet classiquement de représenter le contenu fréquentiel d’un signal.

Un signal périodique se décompose comme une somme de sinusoïdes harmoniquementliées.1

Fourier a montré que tout signal périodique peut se décomposer en somme de sinus enprogression harmonique :

f (t) = ∑n∈Z

cn exp (−jnωt)

les coefficients complexes de Fourier cn sont rapidement décroissantes avec n.Cette analyse semblerait convenir au codage d’un morceau de musique à raison d’une

série de Fourier par unité de tempo. Elle présente des inconvénients :

? Si le signal est régulière, alors un nombres fini de coefficient suffit pour caractériser lesignal, mais quand le signal devient irrégulière le nombre des coefficients doit êtreaugmenté.

? Il peut exister des points où la série de Fourier ne converge pas

? Un signal continu, périodique, dont la période n’est pas 2π, sera représenté comme unsignal discontinu sur ]−π, π[. Cela se traduit par une mauvaise convergence de sasérie de Fourier.

? Plus généralement, elle est incapable de représenter économiquement des signaux qui nesont pas réglés sur un tempo, comme la voix, ou les images.

Une solution consiste à utiliser une transformée où la fréquence est autorisée à variercontinûment. La série de Fourier devient transformée de Fourier. La notion de période n’aalors plus de sens, et le contenu fréquentiel est en fait un contenu sinusoïdal. La transforméede Fourier analyse le ”contenu fréquentiel” d’un signal :

F (ν) =+∞∫−∞


1d’après : C. Gasquet, P. Witomski, Analyse de Fourier et applications : Filtrage,calcul numérique et onde-lettes


Ses nombreuses propriétés la rendent adaptée à l’étude des opérateurs linéaires station-naires, notamment la dérivation. C’est une représentation globale du signal et elle permetde caractériser la régularité globale d’une fonction.

Malgré son immense succès, cette technique a plusieurs défauts, en particulier son manqueévident de localisation temporelle. En effet, l’analyse de Fourier permet de connaître les dif-férentes fréquences excitées dans un signal, c’est-à-dire son spectre, mais ne permet pas desavoir à quels instants ces fréquences ont été émises. Cette analyse donne une informationglobale et non locale, car les fonctions d’analyse utilisées sont des sinusoïdes qui oscillentindéfiniment sans s’amortir. Cette perte de localité n’est pas un inconvénient pour analyserdes signaux dont la structure n’évolue pas ou peu (statistiquement stationnaires), mais de-vient un problème pour l’étude de signaux non stationnaires. l’analyse de Fourier ne permetpas l’étude de signaux dont la fréquence varie dans le temps. De tels signaux nécessitent lamise en place d’une analyse temps-fréquence qui permettra une localisation des périodicitésdans le temps et indiquera donc si la période varie d’une façon continue.

11.1.1 Fréquence instantanée d’un signal analytique

Un signal f (t) ∈ L2 est analytique si sa transformée de Fourier est nulle sur les fré-quences négatives. La partie analytique fa d’un signal réel f (t) est donnée par sa transfor-mée de Fourier

Fa (ν) =

2F (ν) pour ν ≥ 0

0 pour ν < 0(11.1)

et fa (t) peut se décomposer (proprement) en module et phase complexe :

fa (t) = A (t) exp (jφ (t)) (11.2)

La fréquence instantanée est la dérivée positive de la phase :

ω (t) = φ′ (t) ≥ 0 (11.3)

Pour une sinusoïde, cette définition donne la fréquence habituelle. Malheureusement la fré-quence instantanée de la somme de deux sinusoïdes ordinaires est la moyenne de leursfréquences, ce qui ne correspond pas à l’analyse de Fourier. Pour discriminer chacune desfréquences superposées, on est amené à faire une analyse fréquentielle localisée non seule-ment en temps mais également en fréquence. Cela suppose de comprendre la localisationtemps-fréquence d’un signal.

11.1.2 Localisation temps-fréquence

Il n’existe aucune fonction d’énergie finie qui soit à support compact à la fois en tempset en fréquence.

La localisation en temps-fréquence se mesure en écart-type σt et σ f ;

σt × σ f ≥ 1



et se représente sous forme d’une boîte de Heisenberg. En effet, σt et σ f valent respective-ment a et 1/a (calcul décart type). Plus a est petit, moins l’ondelette est étendue temporelle-ment.

La transformée de Fourier peut être vue comme une représentation à base de sinusoïdes.Ces sinusoïdes sont très bien localisées en fréquence, mais pas en temps, car leur supportest infini. C’est une conséquence de leur périodicité.

Si on veut représenter les propriétés fréquentielles d’un signal localement en temps, ilconvient de les analyser par des signaux localisés en temps et en fréquence, par exempleen utilisant (si possible) une base constituée de fonctions à support compact en temps et enfréquence.

Autrement dit :

Dans les cas de Fourier les distributions de Dirac δ (t− a) sont très localisées enespace et très peu en fréquence, et qu’à l’inverse les t 7−→ ejωt ont des résolutions spatialenulle et fréquentielle infinie.

La question qui vient naturellement est la suivante : existe-t-il une représentation danslaquelle on puisse lire une information mixte, comme, en musique (( à tel instant, on entendun la et un do )) ? Morlet et Gabor ont cherché à concevoir des fonctions de base qui sesituent à mi-chemin entre ces extrêmes, c’est-a-dire qui ont à la fois une bonne localisationfréquentielle et une bonne localisation spatiale.

Une limite théorique dans cette perspective est bien connue : c’est l’inégalité de Hei-senberg : L’inégalité de Heisenberg est une inégalité fondamentale qui s’écrit pour toutefonction f de norme 1

∆t× ∆ν ≥ 1 (11.4)

Si on appelle ∆ν largeur fréquentielle d’une fonction f la largeur de sa transformée de Fou-rier (F) cette inégalité interdit donc d’avoir une fonction avec des largeurs temporelle etfréquentielle toutes deux aussi petites que l’on veut.

A une telle fonction, on associe un pavé tempsfréquence, c’est- a-dire un rectangle dansle plan (t, ν) de dimensions ∆t × ∆ν ≥ 1 . Ce pavé est une représentation intuitive de lacouverture en temps et en fréquence d’une fonction. On associe également à une base unpavage du plan temps-fréquence, qui est un recouvrement du plan (t, ν) par des rectanglesde couverture des fonctions de base. Si le centre des boîtes de Heisenberg est fixé commele point des centre spatial et fréquentiel de la fonction, leurs dimensions sont en généralechoisies de telle manière que les boîtes forment une partition du plan temps-fréquence. Cettereprésentation a un aspect arbitraire, d’autant qu’aucun résultat ne lie le fait qu’une famillesoit une base au fait que les pavés temps-fréquence de la famille recouvrent le plan.

11.1.3 Transformée de Fourier à fenêtre glissante

Une première idée consiste à tronquer le signal en ne le considérant que sur un intervallefini [−A, A]. C’est bien ce qu’on est contraint de faire quand on fait le calcul numérique. Cecirevient à multiplier le signal f (t) par la fonction porte P2A (t) , ou un translaté [ P2A (t) = 1si |t| < A et nulle ailleures] et donc à transformer le spectre F (ν) en

G (ν) = F (P2A (t)× f (t)) = F (P2A) ∗ F (ν) =(

sin 2πAν

πν

)∗ F (ν) (11.5)



2 1 1 2

1

2

FIG. 11.1 – Graphe de S1

La troncature du signal se traduit donc sur le spectre par une convolution avec le sinus

cardinal : SA =

(sin 2πAν

πν

)L’approximation de F (ν) par G (ν) est d’autant meilleure que A est grand, c’est-à-dire

que SA approche mieux l’impulsion de Dirac. Mais les calculs deviennent vite très volu-mineux. Surtout, le sinus cardinal s’amortit très lentement et présente des lobes importantsprès de l’origine. Afin de les diminuer, on utilise de préférence des fonctions plus régulières,toutes appelées fenêtres, concentrées autour de l’origine :

a) Fenêtre triangulaire TrA (t)

TrA (t) =

A− |t| si t ∈ [−A, A]0 ailleures

4 2 0 2 4

0.5

1.0

x

y

TrA (t) ; A = 1

2 1 0 1 2

0.5

1.0

x

y

F (TrA)

b) Fenêtre de Gauss

Ces fenêtres sont effectivement très utilisées et améliorent sensiblement le calcul duspectre.

ω (t) = A exp(−αt2)

2 0 2

0.5

1.0

x

y

ω (t) avec A = α = 1

1 0 1

0.2

0.4

F (ω (t)) ; A = α = 1

On est ainsi amené à faire glisser cette fenêtre devant le graphe du signal de façon àprendre en compte toutes ses valeurs. On obtient alors une famille de coefficients à deuxparamètres réels ν et b qui remplace les valeurs F (ν)



W f (ν, b) =+∞∫−∞

f (t)ω (t− b) e−2jπνtdt (11.6)

L’application f 7−→W f s’appelle la transformée de Fourier à fenêtre glissante.

Le paramètre ν joue le rôle d’une fréquence, localisée autour de l’abscisse b dusignal temporel.

W f (ν, b) donne ainsi une indication sur ce qui se passe autour de l’abscisse t− b pour lafréquence ν.

11.2 Formules de Gabor

Gabor dans les années 1940 découvre la première forme de représentation temps-fréquence.Sa technique consiste à découper le signal en différentes plages de longueur fixée. Chaqueplage est alors étudiée séparément des autres par l’analyse traditionnelle de Fourier. L’incon-vénient majeur de ce procédé est que la longueur de la plage étant fixée, il n’est pas possibled’analyser simultanément des phénomènes dont les échelles de temps sont différentes.

Gabor a utilisé essentiellement la fenêtre de Gauss

ω (t) =exp

(−t2/2

)4√

π(11.7)

4 2 0 2 4

0.5

x

y

FIG. 11.2 – Graphe de1

4√

πexp

(−t2/2

)On voit ici que l’on s’affranchit du fait d’avoir une fenêtre ressemblant à un créneau,

celle-ci étant nettement aplatie. Un des mérites de D. Gabor a été d’expliciter la formuleinverse donnant f (t) à partir des W f (ν, b). On a le résultat suivant :

Théorème 11.1 Soit ω (t) ∈ L1 ∩L2 une fenêtre telle que sa transformée de Fourier soit unefonction paire et ‖ω‖2 = 1 On pose (ν, b ∈ R)

ωνb (t) = ω (t− b) exp (−2jπνt)

Pour tout signal f ∈ L2 on considère les coefficients

W f (ν, b) =+∞∫−∞

f (t)ωνb (t) dt =+∞∫−∞

F (ν) ωνb (ν) dν (11.8)



avec ω (ν) = F (ωνb (t)) = F (ω (t)) (λ− ν) exp (−2jπ (λ− ν) b) .

Alors on a

1. Conservation de l’énergie :

∫∫R2

∣∣W f (ν, b)∣∣2 dνdb =

+∞∫−∞

| f (t)|2 dt (11.9)

2. La formule de reconstrtuction

f (x) =∫∫

R2W f (ν, b)ωνb (x) dνdb (11.10)

au sens suivant : Si

gA (x) =∫∫|ν|<Ab∈R

W f (ν, b)ωνb (x) dνdb (11.11)

alors gA → f quand A→ +∞

Pour la transformée de Fourier à fenêtre glissante dans L2, on a donc des formules ana-logues à la transformée de Fourier simple dans L2 : Conservation de l’énergie (formule deParseval) et formule d’inversion. Il y a une très belle harmonie dans les formules, harmoniequ’on retrouvera avec les ondelettes.

Dans les cas pratiques on prendra naturellement une fonction ω localisée autour de t =0, par exemple une gaussienne. La fonction ω (t− b) est alors localisée autour du point t = b,tandis que ωνb est localisée autour du point ν = λ alors W f (ν, b) donne une information àla fois en temps et en fréquence autour du point (b, λ) .

11.2.1 Bilan sur les méthodes de Fourier et Gabor

Ces deux transformées, qu’on peut écrire formellement

f (x) =

+∞∫−∞

F (ν) exp (2jπνx) dν

f (x) =

+∞∫−∞

W f (ν, b)ωνb (x) dbdν

peuvent s’interpréter comme la décomposition du signal f sur une famille de fonctionsjouant un rôle analogue à celui d’une base, sauf que les sommes sont remplacées par desintégrales.

Pour Fourier ce sont les fonctions sinusoïdales, et pour Gabor ce sont des sinusoïdesfortement amorties, autrement dit, des gaussiennes modulées en temps

1 1

1

1

x

y

Fonction de base de Fourier Re(e2jπνt)



1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.5

1.0

1.5

x

y

Fonction de base de Gabor W f pour b = 5

Dans l’espace des fréquences, on obtient respectivement : (Figures)

0 1 20.0

0.5

1.0

δ (ν− 1)

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

0.5

0.0

0.5

Fonction de base de Gabor W f pour λ = 2

Dans la méthode de Fourier, les ”fonctions de base” sont totalement concentrées en fré-quence (impulsions de Dirac) et totalement réparties dans le temps (sinusoïdes non amortiess’étendant de−∞ à+∞). C’est une autre façon d’expliquer que le passage dans l’espace de Fou-rier donne le maximum d’informations sur la répartition des fréquences mais perd totalement cellesrelatives au temps.

Dans la méthode de Gabor les graphiques indiquent que les informations temps fré-quence restent couplées par un compromis - limité par la relation d’incertitude - sur la loca-lisation à la fois en temps et en fréquences. Ceci met en évidence les avantages de la méthodede Gabor sur celle de Fourier.

L’exemple des signaux de durée finie est significatif de cette différence la reconstitutionde f par la formule de Fourier inverse nécessite de connaître F (ν) avec précision sur unetrès grande plage car la décroissance à l’infini peut être très lente . Les effets de toutes cessinusoïdes doivent se compenser pour finalement donner, en dehors du support de f , unevaleur nulle. Ceci nécessite une précision numérique, pour les valeurs F (ν), hors de portée.

Le phénomène est différent avec Gabor. Si f est nul sur l’intervalle ]b0 − α, b0 + α[ assezlongue et que l’on suppose ω(t) négligeable pour |t| ≥ 1, les coefficients W f (λ, b) serontnégligeables pour b voisin de b0 car

W f (λ, b) 'b+1∫

b−1

f (t)ωλb (t) dt = 0

Par contre, si f présente de fortes perturbations en t = b0, les W f (λ, b) seront grandspour b voisin de b0 et pour des valeurs de λ donnant une idée de la ”fréquence locale” de f .

Mais la méthode de Gabor présente l’inconvénient majeur d’avoir une fenêtre de lon-gueur fixe, handicap patent lorsqu’on veut traiter des signaux dont les variations peuventavoir des ordres de grandeur très variables. C’est le cas notamment en traitement du sonl’attaque de la note est une phase très brève siège de hautes fréquences et caractéristique de



l’instrument et de l’interprète, tandis que le reste de la note contient des fréquences relative-ment plus basses. C’est également le cas pour l’analyse des turbulences en mécanique desfluides où apparaissent des phénomènes significatifs à des échelles à la fois macroscopiqueset microscopiques. Le géophysicien J. Morlet a constaté ces inconvénients en prospectionpétrolière, pour l’analyse de signaux sismiques captés après réflexion sur des couches géo-logiques. Ceci l’a amené à proposer en 1983 une méthode nouvelle où la fenêtre varie partranslation mais aussi par dilatation ou contraction. C’était le début de l’utilisation des on-delettes en traitement des signaux numériques.

11.3 Transformée en ondelettes continues

L’idée de base de l’analyse par ondelettes se fait à travers la décomposition en série defonctions orthogonales ou non-orthogonales de support compact

La transformée en ondelettes remplace la sinusoïde de la transformée de Fourier par unefamille de translations et dilatations d’une même fonction, l’ondelette.

Définition 11.1 A partir d’une fonction de base ψ, appelée ondelette-mère ou ondelette analy-sante, on construit une famille de fonctions élémentaires :

ψa,b (t) =1√a

ψ

(t− b

a

)(11.12)

Les paramètres de translation (b ∈ R) et de dilatation (a > 0) sont les deux arguments de latransformée en ondelettes.

Les coefficients du signal f sont alors les nombres

C f (a, b) =⟨

f , ψa,b

⟩=

+∞∫−∞

f (t)ψa,b (t) dt (11.13)

Les caractéristiques de ψ sont assez nettement différentes de celles d’une fenêtre. Celle-ciavait plus ou moins l’allure d’un créneau. ψ au contraire sera d’intégrale nulle et oscillante.On s’efforcera ici encore d’imposer à ψ et ψ une bonne localisation, donc, à l’infini, uneconvergence vers 0 assez rapide. On obtient ainsi une fonction qui ressemble à une vagueelle oscille et s’amortit. D’où son nom.

Dans un premier temps Morlet utilisa : ψ (t) = e−t2/2 cos 5t.

Une ondelette est une fonction d’énergie finie et de moyenne nulle. La propriété la plusd’importante d’une ondelette est le nombre de ses moments nuls :

+∞∫−∞

tkψ (t) dt = 0, (0 < k < n) (11.14)

Si f est une fonction un peu plus que n fois différentiable en un point v, on peut l’ap-proximer par un polynôme de degré n. La transformée en ondelettes de ce polynômeest nulle ; autour de v, elle est donc de l’ordre de l’erreur entre le polynôme et la fonc-tion. Si cette erreur peut être estimée uniformément sur un intervalle, on obtient unoutil d’étude de la régularité sur l’intervalle.

Remarque



Théorème 11.2 Une ondelette ψ (t) à décroissance rapide a ses n moments nuls s’il existe une

fonction usuelle θ (t) à décroissance rapide telle que ψ (t) = (−1)n dnθ (t)dtn . Par conséquence

C f (a, b) = an dn

dbn θa (b) (11.15)

avec θa =1√a

θ

(−ta

).

Exemple 11.1 Dans un premier temps, Morlet utilisa

ψ (t) = cos (5t) exp(− t2

2

)(11.16)

dont la transformée de Fourier est :

Ψ (ν) =+∞∫−∞

e−t2/2 cos (5t) e−2jπνtdt

=

√π

2

[exp

(− 1

2 (2πν− 5)2)+ exp

(− 1

2 (2πν+ 5)2)]

4 2 0 2 4

0

1y

ψ (t)

2 1 0 1 2

0.5

1.0

x

y

Ψ (ν)

4 2 0 2 4

0

1y

ψ3,0 (t) : a = 3, b = 0

4 2 0 2 4

0

1y

ψ 12 ,0 (t) : a = 0.5, b = 0

Avec les ondelettes on obtient un comportement en accordéon. Contrairement aux fonc-tions de Gabor les ondelettes n’ont pas d’enveloppe rigide.

Les dérivées de gaussiennes sont aussi largement utilisées.

Remarque



Théorème 11.3 Sit ψ ∈ L1 ∩L2 une fonction , appelée ondelette-mère, vérifiant les conditionssuivantes :

1.∫R

|Ψ (ν)|2

|ν| dν = K < +∞; avec Ψ = F (ψ)

2. ||ψ||2 = 1

On construit alors les ondelettes de base : ψa,b (t) =1√a ψ(

t−ba

); (a, b ∈ R, a 6= 0) et

pour tout signal f ∈ L2 on considère les coefficients d’ondelettes

C f (a, b) =⟨

f , ψa,b

⟩=

+∞∫−∞

f (t)ψa,b (t) dt

alors on a

(a) conservation de l’énergie :

1K

∫∫R2

∣∣C f (a, b)∣∣2 dadb

a2 =∫R

| f (t)|2 dt (11.17)

(b) la formule de reconstruction

f (x) =1K

∫∫R2

C f (a, b)ψab (x)dadb

a2 (11.18)

au sens suivant : si fε (x) =1K

∫ ∫|a|≥εb∈R

C f (a, b)ψab (x)dadb

a2 alors fε → f dans L2

si ε→ 0+.

La transformée en ondelettes a donc une résolution temps-fréquence qui dépend del’échelle . Sous la condition (1) du théorème précédent.

Exemple 11.2 L’exemple le plus simple de fonction ψ est évidemment celui d’une fonctionconstante par morceaux. Soit par exemple

ψ (t) =

1 si 0 < t <

12

−1 si12< t < 1

0 si non

on a dans ce cas Ψ (ν) = je−jπν 1− cos (πν)

πν

0.5 1.0 1.5 2.0

1

0

1

x

y

ψ (t)

2 0 2

0.5

x

y

Ψ (ν)



Exemple 11.3 considérons la dérivée seconde de gaussienne :

ψ (t) =2√

3 4√

π

(1− t2) exp

(−t2

2

)sa transformée de Fourier est Ψ (ν) = 8

√23(

4√

π)9 e−2π2ν2

ν2

ψ et Ψ sont des fonctions de classe C∞à décroissance rapide ce qui est appréciable

1 0 1

1

x

y

Ψ (ν)

4 2 2 4

0.5

x

y

ψ (t)

11.3.1 Validité des formules et calculs

Contrairement à l’analyse de Fourier standard, la transformée en ondelettes ne se prêteguère à des calculs explicites, même pour f et ψ simples. Toutes les intégrales devront doncêtre calculées par approximation numérique.

On notera cependant que pour un signal sinusoïdal, on a :

f (t) = e2jπν0t → C f (a, b) =√|a|Ψ (aν0) e2jπν0b

Dans ce cas, C f (a, b) ne dépend que de a, et, lorsque ψ est réel, l’argument de C f (a, b) estproportionnel à b modulo 2π.

Il n’aura pas échappé au lecteur que dans l’exemple précédent le signal est pris hors del’espace L2

L’extension à d’autres fonctions que celles de L2, ou à des distributions, est un problèmeimportant et difficile. Contentons-nous de constater que, quand bien même ses coefficientsd’ondelettes sont définis, et tous nuls, la fonction f (t) = 1 ne donne pas lieu à la formule dereconstruction :

f (t) = 1→ C f (a, b) = 0.Pour f (t) = t, on obtient C f (a, b) = a

√|a|∫R

xψ(x)dx en supposant que xψ est intégrable,

ce qui aura lieu le plus souvent. On obtient alors

f (t) = t→ C f (a, b) = − a√|a|

2jπΨ′ (0) (11.19)

Si ψ est la dérivée d’ordre m > 2 d’une gaussienne, ces coefficients sont encore tous nuls.Enfin on notera que la transformée en ondelettes est invariante par translation du signal

g (t) = f (t− t0) =⇒ Cg (a, b) = C f (a, b− t0) (11.20)

et que l’on a pour k 6= 0 :

g (t) = f (kt) =⇒ Cg (a, b) = C f (ka, kb) (11.21)



11.4 La transformée en ondelettes discrète

On sent bien maintenant que, eu égard à la redondance d’informations donnée par lescoefficients C f (a, b) sur la ”base” des ψab, le défi était de trouver une famille, que nous no-terons encore ψjk pour simplifier (j, k ∈ Z), d’ondelettes orthogonales sur lesquelles onpourrait décomposer tout signal f ∈ L2 en série double :

f (t) = ∑j,k∈Z

⟨f , ψjk

⟩ψjk (t) (11.22)

Morlet à proposé de construire des bases ou des frames de fonctions construits sur le mo-

dèle suivant : ψa,b (t) =1√a

ψ

(t− b

a

)les valeurs possibles de a sont pris sur une echelle

géométrique et les paramètres de translation sont proportionnels à a : a = tj0 et b = ka

Une gamme d’échelles a couramment utilisée est la gamme des échelles dyadiques :

Définition 11.2 Les ondelettes dyadiques sont des ondelettes dont la dilatation vérifie une pro-priété spécifique. On agit sur les paramètres a et b pour analyser le signal. Dans le cadre d’uneanalyse multirésolution, on choisit a et b comme suit :

a = 2jet b = k2j (11.23)

où j est le niveau de résolution. Ainsi, les nouveaux paramètres sont k et j et on définit ainsi unebase orthonormale

ψjk (t) = 2−j/2ψ(

2−jt− k)

(11.24)

On représente donc un nouveau pavage fonction de j et k :

Cette propriété permet d’implémenter les transformées par des bancs de filtres. La dé-finition des ondelettes dyadiques est basée sur celle des approximations multirésolutions.Cette idée d’approximation successives à des résolutions de plus en plus fines se formalisesous la forme d’approximation (ou analyse) multirésolution.

11.4.1 Le système de Haar

En 1910, Haar proposa la première transformée en ondelette. La transformée en ondeletteest un outil qui découpe les données, les fonctions ou les opérateurs en composantes fréquentiellessuivant une résolution adaptée à l’échelle.

Une telle famille de fonctions ψjk est connue depuis le début du siècle : il s’agit du sys-tème de Haar construit à partir de la fonction

ψ (t) =

+1 si k < t < (k+ 1/2)−1 si (k+ 1/2) < t < (k+ 1)0 si non

1

1

1

x

y

Ondelette de Haar



8 6 4 2 2 4 6 8

0.5

0.5

Transformée de l’ondelette de Haar

Ces fonctions fo2rment une base orthonormée de L2. Mais l’absence de régularité de ψentraîne une faible localisation de F (ψ)

Chaque pavé est finalement un coefficient de l’ondelette. On définit alors les coefficientsd’ondelette qui dépendent de j et k :

Cjk =

+∞∫−∞

f (t)ψjk (t) dt (11.25)

où ψjk est une fonction d’échelle orthogonale de la multirésolution.

Définition 11.3 On appelle analyse multirésolution de L2 la donnée d’une suite croissante desous-espaces fermés (Vj)i∈Z de L2 ayant en outre les propriétés suivantes :

1. ∀j ∈ Z, v (t) ∈ Vj ⇐⇒ v (2t) ∈ Vj+1

2. V0 est invariant par les translations entières de la variable.

3.⋃

j∈Z

Vj est dense dans L2 et⋂j

Vj = 0

4. Il existe une fonction g dans V0 telle que la suite g (t− k) ; k ∈ Z forme une base incondi-tionnelle de V0.

Vj peut ainsi s’interpréter comme l’espace de tous les approximants possibles, à la réso-lution 2−j. La résolution r est définie par la dimension du plus petit détail visible sur le signalinitial. La propriété iii) indique, d’une part que lorsque j → +∞, la projection orthogonaleFj de f tend vers f dans L2, d’autre part que Fj tend vers 0 quand j→ −∞.

On a alors l’inclusion suivante V2 ⊂ V1 ⊂ V0 et le contraire n’est pas vrai puisqu’on perddes détails :

Ce procédé revient à une dilatation d’un facteur 2 : si f (t) appartient à Vj alors f (t/2)appartient à Vj+1.

– dilatation : a > 1– contraction : a < 1



a) Comment construire cet ensemble d’espace ?

Il existe une fonction appelée fonction d’echelle ψ qui engendre une base orthonorméedes Vj. Comme précédemment, cette fonction mère engendre une famille de fonctions ana-logues à la famille ψ .

ψj,n(t) = 2−j/2ψ(2−jt− n) (11.26)

j est la résolution et n est l’ordre de la séquence entrée (puisqu’on est en approche discrète).

On peut utiliser plusieurs fonctions ψ orthogonales entre elles pour construire desmulti-ondelettes.

Remarque

b) Comment construire l’algorithme d’analyse ?

Par construction ψ(t) est une fonction de V0 et comme V0 ⊂ V−1, on peut décomposerψ(t) sur la base de V−1, soit en fonction de ψ (t− n) :

ψ(t) =+∞

∑n=−∞

h[n]ψ (t− n) (11.27)

où h[n] est une suite numérique à N échantillons et dans le domainer fréquentielle on ob-tient :

F (ψ) (ν) =+∞

∏p=1

H (2−pν)√2F (ψ) (0) (11.28)

ψ−1,n(t) = 21/2ψ(2t− n) donc ψ(x) = ∑n

h[n]21/2ψ(2t− n)

Exprimons la famille en fonction de h :

ψj,n(t) = 2−j/2ψ(2−jt− n) (11.29)

orjψ(2−jt− n) = ∑

nh[n]21/2ψ(2(2−jt− n)− n)

doncψj,n(x) = 2−j/2 ∑

kh[k]21/2ψ(2(2−jt− n)− k)

Finalement, on peut construire la famille par récurrence.

c) Propriétés

1. Les ondelettes sont liées par une équation d’échelle :

ψ(t) =+∞

∑n=−∞

h[n]j (t− n)

2. Le changement d’échelle s’interprète comme un filtrage discret.3. Les propriétés de nullité des moments, de support, de régularité et de symétrie sont

déterminés par le filtre d’échelle.

Exemple 11.4 Voici une fonction d’échelle spline cubique et l’ondelette spline cubique de Battle-Lemarié correspondante, ainsi que leurs transformées de Fourier. L’ondelette est un spline cu-bique car combinaison linéaire localement finie de splines cubiques.2



11.4.2 Filtres à reconstruction parfaite.

Les coefficients h[n] de l’équation d’échelle déterminent ψ entièrement, et leur calculrevient à la conception d’un banc de filtres, plus des conditions de stabilité pour pouvoirengendrer L2.

Les équations d’échelle sur les fonctions d’échelle et ondelettes montrent que la décom-position et la reconstruction d’une résolution à l’autre s’implémentent par des filtres à re-construction parfaite.

De l’équation d’échelle ci-dessus on déduit que calcul des coefficients a1[n] et d1[n] d’unsignal dans Vj et Wj à partir de ses coefficients a0[n] dans Vj−1 se fait par application desfiltres h et g puis par un sous-échantillonnage :

Définition 11.4 Un banc de filtres (discrets) sous-échantillonnés à deux canaux convolue unsignal a0 avec un filtre passe-bas h1[n] = h[−n] et un filtre passe-haut g1[n] = g[−n] et sous-échantillonne par deux les sorties :

a1[n] = a0 ∗ h1[2n] (11.30)

etd1[n] = a0 ∗ g1[2n] (11.31)

Un signal reconstitué a2 s’obtient en filtrant les signaux dilatés par insertion de zéros par unfiltre passe-bas dual h2 et un filtre passe-haut dual g2. En notant z(x) le signal obtenu à partir dex en insérant un zéro tous les deux échantillons, cela s’écrit :

a2[n] = z(a1) ∗ h2[n] + z(d1) ∗ g2[n]. (11.32)

La figure suivante résume le processus de décomposition et de reconstruction.

On dit qu’on a un banc de filtres à reconstruction parfaite quand a2 = a0. Lorsqu’en plush = h2 et g = g2, on parle de filtres miroirs conjugués.

En bref, la projection du signal sur les espaces Vj engendre des coefficients de décom-position (résultat du produit scalaire du signal par la famille) aj,n. Ces coefficients vont re-présenter l’approximation du signal à une résolution donnée. Ces coefficients forment une



suite numérique, et on peut établir une récurrence de la même manière que pour ψj,n (t).Ainsi l’approximation du signal aux différentes résolutions est entièrement définie.

a) Caractérisation

Les filtres à reconstruction parfaite sont caractérisés par le théorème de Vetterli. Dans lecas où les filtres sont à réponse impulsionnelle finie, les filtres g et g2 se déduisent facilementdes filtres h et h2, et on est ramené à la résolution de

H∗ (ν)H2 (ν)H∗ (ν+ π)H2 (ν+ π) = 2 (11.33)

où h et h2 sont des polynômes trigonométriques.

b) Régularité

La régularité des ondelettes est beaucoup moins importante que la nullité de leurs mo-ments. Elle fait l’objet d’un théorème de Tchamitchian.

Notons tout de même les deux résultats essentiels suivants :

1. il n’existe pas d’ondelette orthogonale indéfiniment dérivable à support compact

2. pour les ondelettes de Daubechies avec p grand, la fonction d’échelle et l’ondelettesont Lipschitz l, avec l de l’ordre de 0, 2p. Pour de nombreuses classes d’ondelettesorthogonales, l’augmentation de la régularité passe par une augmentation du nombrede moments.

Les ondelettes de Meyer sont des ondelettes indéfiniment dérivables, de support infini.Leur implémentation se fait plutôt dans le domaine fréquentiel.

c) Symétrie

Les fonctions d’échelles et ondelettes symétriques ou antisymétriques sont importantesparce qu’elles permettent de construire des bases d’ondelettes régulières sur un intervalle,et non plus sur tout l’axe réel. Daubechies a montré que, pour qu’une ondelette sont symé-trique ou antisymétrique, le filtre h doit être à phase complexe linéaire, et que le seul filtremiroir conjugué symétrique à support fini est le filtre de Haar, qui correspond a une onde-lette discontinue à un seul moment nul. Mis à part l’ondelette de Haar, il n’y a donc pasd’ondelette orthogonale symétrique à support compact.

11.4.3 Ondelettes biorthogonales

Les ondelettes biorthogonales se définissent de manière analogue aux ondelettes ortho-gonales, mais en partant de multirésolutions biorthogonales. On écrit les décompositions :

Vj−1 = Vj ⊕Wj avec Wj ⊂(

V∗j)⊥

(11.34)

Vj−1 = V∗j ⊕W∗j avec W∗j ⊂(Vj)⊥ (11.35)

De manière analogue au cas orthogonal, un signal f de L2 peut s’écrire

f (t) = ∑n∈Z

⟨j, ψ∗j,n

⟩ψjn (t) = ∑

n∈Z

⟨f , φ∗j,n

⟩φjn (t) + ∑

k,n∈Z

⟨f , ψ∗k,n

⟩ψk,n (t)

= ∑j,n∈Z

⟨f , ψj,n

⟩ψ∗jn (t) = ∑

n∈Z

⟨f , φj,n

⟩φ∗jn (t) + ∑

k,n∈Z

⟨f , ψk,n

⟩ψ∗k,n (t)



Toute la différence entre orthogonal et bi-orthogonal réside dans la considérationde la dualité notée (∗). Dans le cas bi-orthogonal, on engendre pour chaque élémentson dual. Ainsi, on crée deux bases.

Les bases utilisées ne sont pas orthogonales en elles-mêmes mais le sont entre elles.On va donc avoir :

1. Deux familles de sous-espaces Vj et V∗j construites de la même manière que pré-cédemment

2. Deux sous espaces complémentaires Wj et W∗j tels quils soient complémentairesau sous espace dual :

(a) Wj ∧V∗j(b) W∗j ˆVj

V0 peut-il être constitué des fonctions de L2 continûment dérivables sur R et telles queleur restriction à tout intervalle [k, k+ 1] soit un polynôme de degré inférieur ou égal à2. Cet espace n’est pas réduit à l’élément nul car ces conditions sont bien compatibles.Ce sont des fonctions-spline cardinales de degré 2.

Remarque

On peut considérer de la même façon des espaces V0 de fonctions spline cardinalesde degré 3 qui seront dans C2(R), etc... et obtenir ainsi toute une famille d’analysesmultîrésolution de L2.

Remarque

Exemple 11.5 Voici un système biorthogonal comprenant une fonction d’échelle B-spline cu-bique. En levant la contrainte d’orthogonalité, on arrive à faire coexister symétrie et supportcompact.

Fonction d’échelle biorthogonaleB-spline Fonction d’échelle duale

Ondelette spline biorthogonale Ondelette duale



11.5 Transformée d’une image

11.5.1 Passage à deux dimensions

Lorsqu’on traite une image, on passe à deux dimensions, ainsi la résolution j devientune matrice 2× 2 notée J. En effet, j la résolution est souvent appelée facteur d’échelle oufacteur de dilatation puisque c’est son rôle et J doit donc garder le même rôle et dilater danstoutes les directions. |det J| sera le facteur (la valeur) de dilatation surfacique. De la mêmemanière, on construit une famille de fonctions translatées-dilatées :

ψj,n(x) = |det J|−j/2ψ(J−jx− n) (11.36)

En fait, la transformée dyadique se retrouve dans chaque direction (choix de la matriceJ) donc dans la globalité, on remplace 2−j (d’une direction) par J − j.

Il existe plusieurs manières de manipuler les deux dimensions :

1. Pour l’application détection de contours, on peut effectuer des rotations planes afin dedétecter tous les types de contours, dans toutes les directions. Donc on introduit unnouveau paramètre notéOn a ainsi une nouvelle expression des coefficients d’ondelettes répartis sur l’image(après transformations et simultanément changement de résolution).

2. Une autre méthode, beaucoup plus simple pour la programmation, consiste en unedécomposition selon les deux directions x et y de l’image. On considère que

ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y).On va donc traiter les lignes et les colonnes avec les filtres décrits précédemment et

donner une organisation de l’image récurrente à travers les résolutions. On les appelle lesondelettes séparables. Ce choix est bien adapté aux matrices CCD à maille carrée utiliséesactuellement comme capteur d’image.

L’opération de dilatation agissant de façon indépendante dans les deux directions, oncrée une analyse multirésolution 2D en choisissant comme fonction d’échelle le produit dedeux fonctions d’échelle à une variable comme vu précédemment soit

φj,m,n (x, y) = 2−j/2φ(

2−jx−m)

φ(

2−jy− n)

(11.37)

où m et n sont les résolutions respectives horizontales et verticales.

11.5.2 Analyse de l’image

Concrètement, on arrive à un découpage de l’image de départ, après succession de filtrespasse-haut H et passe-bas B sur l’approximation.



On considère que l’image est un carré, tableau de pixel de dimension N × N. En allantvers les résolutions grossières, on réduit la taille du tableau de pixel considéré par deux etainsi de suite autant de fois que de résolutions.

L’image obtenue au final contient pour toutes les résolutions l’image détail (qui n’estplus travaillée ensuite) et l’image approximation qui selon l’algorithme sera redécoupée enquatre et etc...

C’est ce qu’on appelle la transformée dyadique à deux dimensions.Comme on sépare la double dimension en deux dimensions simples, on obtient quatre

types d’information qui vont apparaître dans les résolutions : approximation, détails hori-zontaux, détails verticaux, détails diagonaux, (de gauche à droite et de haut en bas).

En effet, on suit l’algorithme suivant :

On finit par une dernière transposition afin de redonner l’orientation de départ pourl’observer. Ainsi, les détails verticaux seront en haut à droite et les détails horizontaux enbas à gauche.

La surface occupée par les quatre imagettes ensemble est la même que la surface occupéepar l’image de départ. Il n’y a ni compression ni redondance dans la représentation obtenue(si la transformée est réelle). Finalement on obtient le résultat suivant :

On peut ainsi effectuer autant d’itérations que souhaitées sur l’approximation de la ré-solution j et passer aux résolutions j+ 1, j+ 2 etc : la taille de l’image d’approximation estjuste deux fois plus petite à chaque itération (puisque on augmente la résolution).

L’image suivante est le résultat du même algorithme au détail près que les filtres sontappliqués sur les colonnes. La seule différence dans le résultat est la position inversée desdétails verticaux et horizontaux : les détails horizontaux sont en haut à droite et les détailsverticaux en bas à gauche :



On ne s’attendrait pas à avoir cette approximation et ces détails au premier coup d’il, eneffet nous ne voyons pas (et comprenons bien toute la portée du mot voir : système visuel,de reconnaissance, d’interprétation) la décomposition de cette image mathématique. C’estainsi que sont nées les images fractales.

a) Perturbations

Lors de la détection des contours, le bruit et le flou se superposent aux informationsutiles. Il faut non seulement les repérer mais les dissocier. Les autres perturbations sontréparties sur l’image, comme le contraste par exemple, et ne gênent pas la détection. Pouridentifier le bruit et le flou, on utilise des propriétés qui les caractérisent :

b) Le bruit

Il est dû au bruit d’échantillonnage et au bruit électronique lors des phases d’acquisi-tion. On considère qu’il est blanc et additif. (bruit blanc = énergie nulle et puissance infinie ;réponse spectrale constante).

Concrètement le bruit provoque un offset sur les amplitudes, et cette contribution estvraie sur tout l’axe des fréquences. Seulement, en hautes fréquences où se fait principale-ment la détection, le signal est faible donc la perturbation est importante.

Au travers des résolutions (fine j = 1, R = 1/2 vers grossière j = 3, R = 1/8), l’ampli-tude ne change pas, mais le signal est épaissi.

c) Le flou

Il est associé au phénomène de défocalisation dans les systèmes optiques, par analogie,on considérera que ce sont les perturbations des phases statiques : l’effet du flou est modélisépar une convolution du signal propre par un filtre passe-bas type gaussien.

Dans les hautes fréquences, contrairement au bruit, il atténue fortement les informationsutiles.

Au travers des résolutions (fine j = 1, R = 1/2 vers grossière j = 3, R = 1/8), le flou nechange pas la position du signal mais diminue l’amplitude.

Finalement lorsque les deux sont superposés, on a des informations relatives obtenuesen étudiant les différentes résolutions. On cherche dans les résolutions grossières, l’enve-loppe approximative du signal, et dans les résolutions fines on localise et on identifie lesinformations.

On exprime donc cette discontinuité D(x) comme une combinaison linéaire des diffé-rentes résolutions :

D(x) = a(x)I1/2+ b(x)I1/4+ l(x)I1/8

On estime que ces trois résolutions sont suffisantes pour relativiser (mettre en évidenceles influences).


ANNEXEA

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUESET HYPERBOLIQUES

Définition A.1 Un angle est généré par rotation d’un rayon autour d’un point fixe. Les anglesse mesurent en degrés () ou en radians ( rad).

– 1 =1

360d’une rotation complète dans le sens opposé de montre

– 1 rad = la proportion1

2πd’une rotation complète.

– 1 =π

180rad

– 1 rad =(

180π

)

– 1 = 60 ′

– 1 ′ = 60 ′′.

A.1 Les FonctionsTrigonométriques

En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions dont la variableest une mesure d’angle. Elles permettent de relier les longueurs des côtés d’un triangle enfonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, les fonctions trigono-métriques sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on lesappelle aussi fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.

Les trois fonctions trigonométriques les plus utilisées sont le sinus (noté sin), le cosinus(cos) et la tangente (tan, tg).

En analyse mathématique, ces fonctions peuvent aussi être définies à partir de la sommede séries entières ou comme les solutions d’équations différentielles ce qui permet de lesgénéraliser à des nombres complexes.

Selon les domaines d’application, en navigation maritime ou aérienne notamment, d’autresfonctions sont utilisées : cotangente, sécante, cosécante, sinus verse, haversine, exsécante, etc.

Par ailleurs, sur le modèle des fonctions trigonométriques, on définit aussi des fonctionshyperboliques dont le nom dérive des premières : sinus hyperbolique (sh), cosinus hyper-bolique (ch), etc.

A.1.1 Définitions

En notant θ, l’angle formé entre un rayon du cercle unité et l’axe x horizontal, alors on ob-tient un triangle rectangle formé par le centre du cercle, l’intersection du rayon avec le cercleunité et la projection orthogonale de cette intersection sur l’axe horizontal. La longueur dela hauteur verticale de ce triangle correspond au sinus de l’angle θ (sin θ), la longueur de la


base de ce triangle est égale à cos θ et la pente, c’est-à-dire la hauteur divisée par la longueur,vaut tan θ.

θ

sinθ

cosθ x

y

cosecθ

secθ

tanθ

cotanθ

Cercle trigonométrique

Dans le plan rapporté au système d’axes Oxy, On considère le cercle de centre O et derayon r.

Un point M sur le cercle est caractérisé par ses coordonées cartésiennes (x, y) ou lescoordonnées polaires : θ l’angle que fait le rayon OM avec l’axe Ox, et (x, y) et r la distancede l’origine à ce point r =

∥∥∥−−→OM∥∥∥

θx

yr

O

+

On définit les fonctions trigonométriques comme la suivantes :

a) Fonctions standards

– sin θ =yr

– cos θ =xr

– tan θ =sin θ

cos θ=

yx

si x 6= 0

– cot θ =cos θ

sin θ=

xy

si y 6= 0

– secant θ = sec θ =1

cos θ=

rx

si x 6= 0

– cosecant θ = csc θ =1

sin θ=

ry

, si y 6= 0

b) Fonctions Auxiliaires

– exsecante θ = exsec θ = sec θ − 1 =r− x

x, si x 6= 0

– versine θ = vers θ = 1− cos θ =r− x

r– coversine θ = covers θ = 1− sin θ =

r− yr



– haversine θ = hav θ = 12 vers θ =

1− cos θ

2=

r− x2r

A.1.2 Valeurs des Fonctions des angles particuliers

Degrés 0 30 45 60 90 180 270 360

Radians 0π

6π

4π

3π

2π

3π

22π

sin 012

√2

2

√3

21 0 −1 0

cos 1

√3

2

√2

212

0 −1 0 1

tan 0

√3

31

√3 ∞ 0 ∞ 0

cot ∞√

3 1

√3

30 ∞ 0 ∞

sec 12√

33

√2 2 ∞ −1 ∞ 1

csc ∞ 2√

22√

33

1 ∞ −1 ∞

A.1.3 Intervalles des valeurs

Quadrant sin cos tan cotI 0 −→ +1 +1 −→ 0 0 −→ +∞ +∞ −→ 0II +1 −→ 0 0 −→ −1 −∞ −→ 0 0 −→ −∞III 0 −→ −1 −1 −→ 0 0 −→ +∞ +∞ −→ 0IV −1 −→ 0 0 −→ +1 −∞ −→ 0 0 −→ −∞

A.1.4 Graphes

1. y = sin x

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

1

x

y

y = sin x

2. y = cos x

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

1

x

y

y = cos x



3. y = tan x et y = cot x

10 5 5 10

10

5

5

10

x

y

y = tan x

10 5 5 10

10

5

5

10

x

y

y = cot x

4. sec x =1

cos xet csc x =

1sin x

10 5 5 10

10

5

5

10

x

y

y = sec x

10 5 5 10

10

5

5

10

x

y

y = csc x

A.1.5 Fonctions des angles en Terms des angles du Quadrant I

n ∈N − θπ

2± θ π ± θ

3π

2± θ 2nπ ± θ

sin − sin θ + cos θ ∓ sin θ − cos θ ± sin θ

cos + cos θ ∓ sin θ − cos θ ± sin θ + cos θ

tan − tan θ ∓ cot θ ± tan θ ∓ cot θ ± tan θ

n ∈N − θπ

2± θ π ± θ

3π

2± θ 2nπ ± θ

cot − cot θ ∓ tan θ ± cot θ ∓ tan θ ± cot θ

sec + sec θ ∓ csc θ − sec θ ± csc θ + sec θ

csc − csc θ + sec θ ∓ csc θ − sec θ ± csc θ

A.2 IdentitésTrigonométriques

A.2.1 Identités de Pythagore

– sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1– 1+ tan2 ϕ = sec2 ϕ– 1+ cot2 ϕ = csc2 ϕ



A.2.2 Périodicité

– Fonctions de période = 2π– sin ϕ = sin (ϕ+ 2πn), sin (ϕ± π) = − sin ϕ– cos ϕ = cos (ϕ+ 2πn), cos (ϕ± π) = − cos ϕ– sec ϕ = sec (ϕ+ 2πn), sec (ϕ± π) = − sec ϕ– csc ϕ = csc (ϕ+ 2πn), csc (ϕ± π) = − csc ϕ

– Fonctions de période = π– tan ϕ = tan (ϕ+ πn) cot ϕ = cot (ϕ+ πn)

A.2.3 Formules d’Addition

a) Formules de Base

– sin (ϕ± θ) = sin ϕ cos θ ± cos ϕ sin θ

– cos (ϕ± θ) = cos ϕ cos θ ∓ sin ϕ sin θ

– tan (ϕ± θ) =tan ϕ± tan θ

1∓ tan ϕ tan θEn particulier :

sin(

ϕ± π

2

)= cos ϕ cos

(ϕ± π

2

)= ∓ sin ϕ

b) Double Arc

– sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ

– cos 2ϕ = cos2 ϕ− sin2 ϕ = 2 cos2 ϕ− 1 = 1− 2 sin2 ϕ

– tan 2ϕ =2 tan ϕ

1− tan2 ϕ

c) Demi Arc

– sinϕ

2= ±

√1− cos ϕ

2(positive si

ϕ

2dans les quadrants I ou II, négative ailleur)

– cosϕ

2= ±

√1+ cos ϕ

2(positive si

ϕ

2dans les quadrants I ou IV, négative ailleur)

– tanϕ

2=

1− cos ϕ

sin ϕ=

sin ϕ

1+ cos ϕ= ±

√1− cos ϕ

1+ cos ϕ(positive si

ϕ

2est dans les quadrants

I ou III, négative ailleur)

d) Arcs multiples

– sin 3ϕ = 3 sin ϕ− 4 sin3 ϕ cos 3ϕ = 4 cos3 ϕ− 3 cos ϕ– sin nϕ = 2 sin ((n− 1) ϕ) cos ϕ− sin (n− 2) ϕ– cos nϕ = 2 cos ((n− 1) ϕ) cos ϕ− cos (n− 2) ϕ

e) Autres Identités

– sin ϕ± sin θ = 2 sinϕ± θ

2cos

ϕ∓ θ

2– cos ϕ+ cos θ = 2 cos

ϕ+ θ

2cos

ϕ− θ

2– cos ϕ− cos θ = −2 sin

ϕ+ θ

2sin

ϕ− θ

2



– sin2 ϕ =1− cos 2ϕ

2cos2 ϕ =

1+ cos 2ϕ

2– sin3 ϕ =

3 sin ϕ− sin 3ϕ

4cos3 ϕ =

3 cos ϕ+ cos 3ϕ

4

– sin ϕ sin θ =cos (ϕ− θ)− cos (ϕ+ θ)

2

– cos ϕ cos θ =cos (ϕ− θ) + cos (ϕ+ θ)

2

– sin ϕ cos θ =sin (ϕ+ θ) + sin (ϕ− θ)

2– 2 cos2 ϕ (1+ 2 cos ϕ) = 1+ 3 cos ϕ+ cos 2ϕ+ cos 3ϕ

A.2.4 Théorèmes

ABC est un triangle quelconque

A

B Cα

βγ

a) Théorème de sinus

Asin α

=B

sin β=

Csin γ

b) Lois de cosinus

C2 = A2 + B2 − 2AB cos γ

c) Lois de Tangente

A− BA+ B

=tan 1

2 (α− β)

tan 12 (α+ β)

tanγ

2=

√(S− A) (S− B)

S (S− C)

où S = 12 (A+ B+ C)

A.3 Fonctions hyperboliques

A.3.1 Définitions

En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique,sinus hyperbolique et tangente hyperbolique.



Les noms de sinus, cosinus et tangente proviennent de leur ressemblance avec les fonc-tions trigonométriques (dites « circulaires ») et le terme de hyperbolique provient de leurrelation avec l’hyperbole d’équation x2 − y2 = 1

Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations diffé-rentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.

sinhθ

coshθ

x

y

θ/21 1

Définition A.2 1. Sinus hyperbolique : Définie comme étant la partie impaire de la fonctionexponentielle, c’est-à-dire par

sinh θ =eθ − e−θ

2

2. Cosinus hyperbolique : Définie comme étant la partie paire de la fonction exponentielle,c’est-à-dire par

cosh θ =eθ + e−θ

2

3. Tangente hyperbolique : Définie par

tanh θ =sinh θ

cosh θ=

eθ − e−θ

eθ + e−θ

A.3.2 Formules de bases

cosh2 θ − sinh2 θ = 1

a) Formules d’addition et de soustraction

– cosh (a+ b) = cosh a cosh b+ sinh a sinh b– cosh (a− b) = cosh a cosh b− sinh a sinh b– sinh (a+ b) = cosh a sinh b+ cosh b sinh a– sinh (a− b) = cosh b sinh a− cosh a sinh b

– tanh (a+ b) =cosh a sinh b+ cosh b sinh acosh a cosh b+ sinh a sinh b

=tanh a+ tanh b

1+ tanh a tanh b

– tanh (a− b) =sinh a cosh b− cosh a sinh bcosh a cosh b− sinh a sinh b



b) Formules doubles arcs

– sinh 2θ = 2 cosh θ sinh θ– cosh 2θ = cosh2 θ + sinh2 θ = 2 cosh2 θ − 1

– tanh 2θ =2 cosh θ sinh θ

2 cosh2 θ − 1=

2 tanh θ

1+ tanh2 θ

– 1− tanh2 θ =1

cosh2 θ

A.3.3 Relations avec les fonctions trigonométriques

Puisque la fonction exponentielle peut être prolongée à l’ensemble des nombres com-plexes, nous pouvons aussi étendre les définitions des fonctions hyperboliques à l’ensembledes nombres complexes. Des formules d’Euler, on obtient immédiatement :

– cos x = cosh jx– j sin x = sinh jx– cosh x = cos jx– sinh x = −j sin jx

A.3.4 Fonctions réciproques

– Argument sinus hyperbolique : arg sinh x = ln(

x+√

x2 + 1)

– Argument cosinus hyperbolique : arg cosh x = ln(

x+√

x2 − 1)

– Argument tangente hyperbolique : arg tanh x = ln√

1+ x1− x

A.4 L’alphabet grec

Lettres Noms Lettres Noms Lettres NomsA α Alpha I ι Iota P ρ RhoB β Beta K κ Kappa Σ σ SigmaΓ γ Gamma Λ λ Lambda T τ Tau∆ δ Delta M µ Mu Υ υ UpsilonE ε Epsilon N ν Nu Φ φ PhiZ ζ Zeta Ξ ξ Xi X χ ChiM η Eta O o Omicron Ψ ψ PsiΘ θ Theta Π π Pi Ω ω Omega


ANNEXEB

DÉRIVÉES

B.1 Définition

La dérivée d’une fonction f (x) est la limite

f ′(x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)h

Si telle limite existe.

B.2 Règles de Différentiation

f , g, u, v, et y représentent des fonctions de la variable réelle x, et c et n sont constants.

1. c′ = 0d

dx(c) = 0

2. (c f )′ = c f ′d

dx(cu) = c

dudx

3. ( f + g)′ = f ′ + g′d

dx(u+ v) =

dudx+

dvdx

4. ( f − g)′ = f ′ − g′d

dx(u− v) (x) =

dudx− dv

dx5. (xn)′ = nxn−1 d

dx(xn) = nxn−1

6. ( f (x)n)′ =d

dx(un) = nun−1 du

dx7. ( f g)′ = f ′g+ f g′

ddx(uv) = u

dvdx+ v

dudx

8.(

fg

)′=

f ′g− f g′

g2d

dx

(uv

)=

vdudx− u

dvdx

v2

9. ( f g)′ = ( f ′ g) g′dydx=

dydu

dudx

B.3 Formules de Dérivation

u et v fonctions de x ; et a, b , n constants ; e = 2. 71828...


B.3.1 Fonctions Algébriques

1.d

dx(au± bv) = a

dudx± b

dvdx

2.d

dx(un) = nun−1 du

dx

B.3.2 Fonctions Trigonométriques

1.d

dx(sin u) = cos u

dudx

2.d

dx(cos u) = − sin u

dudx

3.d

dx(tan u) = sec2 u

dudx

4.d

dx(cot u) = − csc2 u

dudx

5.d

dx(sec u) = sec u tan u

dudx

6.d

dx(csc u) = − csc u cot u

dudx

7.d

dx(vers u) = sin u

dudx

B.3.3 Fonctions Trigonométriques Inverses

1.d

dx(sin−1 u

)= 1√

1−u2

dudx

2.d

dx(cos−1 u

)= − 1√

1−u2

dudx

3.d

dx(tan−1 u

)= 1

1+u2

dudx

4.d

dx(cot−1 u

)= − 1

1+u2

dudx

5.d

dx(sec−1 u

)= 1

u√

u2−1

dudx

, −π ≤ sec−1 u < −π2 , 0 ≤ sec−1 u < π

2

6.d

dx(csc−1 u

)= − 1

u√

u2−1

dudx

, −π < csc−1 u ≤ −π2 , 0 < sec−1 u ≤ π

2

B.3.4 Fonctions Exponentielles et Logarithmiques

1.d

dx(eu) = eu du

dx

2.d

dx(au) = au loge a

dudx

3.d

dx(ln u) =

1u

dudx

4.d

dx(loga u) = loga e

ududx

5.d

dx(uv) = vuv−1 du

dx+ uv ln u

dvdx



B.3.5 Fonctions Hyperboliques :

sinh x =exp (x)− exp (−x)

2; cosh x =

exp (x) + exp (−x)2

1.d

dx(sinh u) = cosh u

dudx

2.d

dx(cosh u) = sinh u

dudx

3.d

dx(tanh u) = sech2 u

dudx

4.d

dx(coth u) = − csch2 u

dudx

5.d

dx(sech u) = − sech u tanh u

dudx

6.d

dx(csch u) = − csch u coth u

dudx

B.3.6 Fonctions Hyperboliques Inverses

1.d

dx

(sinh−1 u

)= 1√

u2+1

dudx

2.d

dx

(cosh−1 u

)= 1√

u2−1

dudx

, u > 1

3.d

dx

(tanh−1 u

)= 1

1−u2

dudx

4.d

dx

(coth−1 u

)= 1

1−u2

dudx

5.d

dx

(sech−1 x

)= − 1

u√

1−u2

dudx

, u > 0

6.d

dx

(csch−1 u

)= − 1

u√

1+u2

dudx


ANNEXEC

TABLE DES INTÉGRALES

C.1 Primitives usuelles

1.∫

u dv = uv−∫

v du

2.∫

un du =1

n+ 1un+1 + C, n 6= −1

3.∫ du

u= ln |u|+ C

4.∫

eu du = eu + C

5.∫

au du =1

ln aau + C

6.∫

sin u du = − cos u+ C

7.∫

cos u du = sin u+ C

8.∫

sec2 u du = tan u+ C

9.∫

csc2 u du = − cot u+ C

10.∫

sec u tan u du = sec u+ C

11.∫

csc u cot u du = − csc u+ C

12.∫

tan u du = ln |sec u|+ C

13.∫

cot u du = ln |sin u|+ C

14.∫

sec u du = ln |sec u+ tan u|+ C

15.∫

csc u du = ln |csc u− cot u|+ C

16.∫ du√

a2 − u2= sin−1 u

a+ C

17.∫ du

a2 + u2 =1a

tan−1 ua+ C

18.∫ du

u√

u2 − a2=

1a

sec−1 ua+ C


19.∫ du

a2 − u2 =12a

ln∣∣∣∣u+ au− a

∣∣∣∣+ C

20.∫ du

u2 − a2 =12a

ln∣∣∣∣u− au+ a

∣∣∣∣+ C

C.2 Racines des Expressions Quadratiques


a2 + u2, a > 0

1.∫ √

a2 + u2 du =u2

√a2 + u2 +

a2

2ln(

u+√

a2 + u2)+ C

2.∫

u2√

a2 + u2 du =u8(a2 + 2u2)

√a2 + u2 − a4

8ln(

u+√

a2 + u2)+ C

3.∫ √a2 + u2

udu =

√a2 + u2 − a ln

∣∣∣∣∣ a+√

a2 + u2

u

∣∣∣∣∣+ C

4.∫ √a2 + u2

u2 du = −√

a2 + u2

u+ ln

(u+√

a2 + u2)+ C

5.∫ du√

a2 + u2= ln

(u+√

a2 + u2)+ C

6.∫ u2 du√

a2 + u2=

u2

√a2 + u2 − a2

2ln(

u+√

a2 + u2)+ C

7.∫ du

u√

a2 + u2= −1

aln

∣∣∣∣∣√

a2 + u2 + au

∣∣∣∣∣+ C

8.∫ du

u2√

a2 + u2= −√

a2 + u2

a2u+ C

9.∫ du(a2 + u2)3/2 =

ua2√

a2 + u2+ C


a2 − u2, a > 0

1.∫ √

a2 − u2 du =u2

√a2 − u2 +

a2

2sin−1 u

a+ C

2.∫

u2√

a2 − u2 du =u8(2u2 − a2)

√a2 − u2 +

a4

8sin−1 u

a+ C

3.∫ √a2 − u2

udu =

√a2 − u2 − a ln

∣∣∣∣∣ a+√

a2 − u2

u

∣∣∣∣∣+ C

4.∫ √a2 − u2

u2 du = − 1u

√a2 − u2 − sin−1 u

a+ C

5.∫ u2 du√

a2 − u2= −u

2

√a2 − u2 +

a2

2sin−1 u

a+ C

6.∫ du

u√

a2 − u2= −1

aln

∣∣∣∣∣ a+√

a2 − u2

u

∣∣∣∣∣+ C

7.∫ du

u2√

a2 − u2= − 1

a2u

√a2 − u2 + C

8.∫ (

a2 − u2)3/2 du = −u8(2u2 − 5a2)

√a2 − u2 +

3a4

8sin−1 u

a+ C



9.∫ du

(a2 − u2)3/2 =u

a2√

a2 − u2+ C


u2 − a2, a > 0

1.∫ √

u2 − a2 du =u2

√u2 − a2 − a2

2ln∣∣∣u+√u2 − a2

∣∣∣+ C

2.∫

u2√

u2 − a2 du =u8(2u2 − a2) √u2 − a2 − a4

8ln∣∣∣u+√u2 − a2

∣∣∣+ C

3.∫ √u2 − a2

udu =

√u2 − a2 − a cos−1 a

u + C

4.∫ √u2 − a2

u2 du = −√

u2 − a2

u+ ln

∣∣∣u+√u2 − a2∣∣∣+ C

5.∫ du√

u2 − a2= ln

∣∣∣u+√u2 − a2∣∣∣+ C

6.∫ u2 du√

u2 − a2=

u2

√u2 − a2 +

a2

2ln∣∣∣u+√u2 − a2

∣∣∣+ C

7.∫ du

u2√

u2 − a2=

√u2 − a2

a2u+ C

8.∫ du

(u2 − a2)3/2 = −u

a2√

u2 − a2+ C


2au− u2

1.∫ √

2au− u2 du =u− a

2

√2au− u2 +

a2

2cos−1

(a− u

a

)+ C

2.∫

u√

2au− u2 du =2u2 − au− 3a2

6

√2au− u2 +

a3

2cos−1

(a− u

a

)+ C

3.∫ √2au− u2

udu =

√2au− u2 + a cos−1

(a− u

a

)+ C

4.∫ √2au− u2

u2 du = −2√

2au− u2

u− cos−1

(a− u

a

)+ C

5.∫ du√

2au− u2= cos−1

(a− u

a

)+ C

6.∫ u du√

2au− u2= −√

2au− u2 + a cos−1(

a− ua

)+ C

7.∫ u2 du√

2au− u2= − (u+ 3a)

2

√2au− u2 +

3a2

2cos−1

(a− u

a

)+ C

8.∫ du

u√

2au− u2= −√

2au− u2

au+ C

C.2.5 Formes avec a + bu

1.∫ u du

a+ bu=

1b2 (a+ bu− a ln |a+ bu|) + C

2.∫ u2 du

a+ bu=

12b3

[(a+ bu)2 − 4a(a+ bu) + 2a2 ln |a+ bu|

]+ C



3.∫ du

u(a+ bu)=

1a

ln∣∣∣∣ ua+ bu

∣∣∣∣+ C

4.∫ du

u2(a+ bu)= − 1

au+

ba2 ln

∣∣∣∣ a+ buu

∣∣∣∣+ C

5.∫ u du(a+ bu)2

=a

b2(a+ bu)+

1b2 ln |a+ bu|+ C

6.∫ du

u(a+ bu)2=

1a(a+ bu)

− 1a2 ln

∣∣∣∣ a+ buu

∣∣∣∣+ C

7.∫ u2 du(a+ bu)2

=1b3

(a+ bu− a2

a+ bu− 2a ln |a+ bu|

)+ C

8.∫

u√

a+ bu du =2

15b2 (3bu− 2a)(a+ bu)3/2 + C

9.∫ u du√

a+ bu=

23b2 (bu− 2a)

√a+ bu+ C

10.∫ u2 du√

a+ bu=

215b3

(8a2 + 3b2u2 − 4abu

) √a+ bu+ C

11.∫ du

u√

a+ bu=

1√a

ln

∣∣∣∣∣√

a+ bu−√

a√a+ bu+

√a

∣∣∣∣∣+ C, if a > 0

2√−a

tan−1

√a+ bu−a

+ C, if a < 0

12.∫ √a+ bu

udu = 2

√a+ bu+ a

∫ duu√

a+ bu

13.∫ √a+ bu

u2 du = −√

a+ buu

+b2

∫ duu√

a+ bu

14.∫

un√

a+ bu du =2

b(2n+ 3)

[un(a+ bu)3/2 − na

∫un−1

√a+ bu du

]15.

∫ un du√a+ bu

=2un√

a+ bub(2n+ 1)

− 2nab(2n+ 1)

∫ un−1 du√a+ bu

16.∫ du

un√

a+ bu= −

√a+ bu

a(n− 1)un−1 −b(2n− 3)2a(n− 1)

∫ duun−1

√a+ bu

C.2.6 Fonctions Trigonométriques

1.∫

sin2 u du = 12 u− 1

4 sin 2u+ C

2.∫

cos2 u du = 12 u+ 1

4 sin 2u+ C

3.∫

tan2 u du = tan u− u+ C

4.∫

cot2 u du = − cot u− u+ C

5.∫

sin3 u du = − 13 (2+ sin2 u) cos u+ C

6.∫

cos3 u du = 13 (2+ cos2 u) sin u+ C

7.∫

tan3 u du = 12 tan2 u+ ln |cos u|+ C

8.∫

cot3 u du = − 12 cot2 u− ln |sin u|+ C



9.∫

sec3 u du = 12 sec u tan u+ 1

2 ln |sec u+ tan u|+ C

10.∫

csc3 u du = − 12 csc u cot u+ 1

2 ln |csc u− cot u|+ C

11.∫

sinn u du = − 1n

sinn−1 u cos u+n− 1

n

∫sinn−2 u du

12.∫

cosn u du =1n

cosn−1 u sin u+n− 1

n

∫cosn−2 u du

13.∫

tann u du =1

n− 1tann−1 u−

∫tann−2 u du

14.∫

cotn u du =−1

n− 1cotn−1 u−

∫cotn−2 u du

15.∫

secn u du =1

n− 1tan u secn−2 u+

n− 2n− 1

∫secn−2 u du

16.∫

cscn u du =−1

n− 1cot u cscn−2 u+

n− 2n− 1

∫cscn−2 u du

17.∫

sin au sin bu du =sin(a− b)u

2(a− b)− sin(a+ b)u

2(a+ b)+ C

18.∫

cos au cos bu du =sin(a− b)u

2(a− b)+

sin(a+ b)u2(a+ b)

+ C

19.∫

sin au cos bu du = −cos(a− b)u2(a− b)

− cos(a+ b)u2(a+ b)

+ C

20.∫

u sin u du = sin u− u cos u+ C∫

u cos u du = cos u+ u sin u+ C

21.∫

un sin u du = −un cos u+ n∫

un−1 cos u du

22.∫

un cos u du = un sin u− n∫

un−1 sin u du

C.2.7 Fonctions Trigonométriques Inverses

1.∫

sin−1 u du = u sin−1 u+√

1− u2 + C

2.∫

cos−1 u du = u cos−1 u−√

1− u2 + C

3.∫

tan−1 u du = u tan−1 u− 12 ln(1+ u2) + C

4.∫

u sin−1 u du =2u2 − 1

4sin−1 u+

u√

1− u2

4+ C

5.∫

u cos−1 u du =2u2 − 1

4cos−1 u− u

√1− u2

4+ C

6.∫

u tan−1 u du =u2 + 1

2tan−1 u− u

2+ C

7.∫

un sin−1 u du =1

n+ 1

[un+1 sin−1 u−

∫ un+1 du√1− u2

], n 6= −1

8.∫

un cos−1 u du =1

n+ 1

[un+1 cos−1 u+

∫ un+1 du√1− u2

], n 6= −1

9.∫

un tan−1 u du =1

n+ 1

[un+1 tan−1 u−

∫ un+1 du1+ u2

], n 6= −1



C.2.8 Fonctions Exponentielles et Logarithmiques

1.∫

ueau du =1a2 (au− 1)eau + C

2.∫

uneau du =1a

uneau − na

∫un−1eau du

3.∫

eau sin bu du =eau

a2 + b2 (a sin bu− b cos bu) + C

4.∫

eau cos bu du =eau

a2 + b2 (a cos bu+ b sin bu) + C

5.∫

ln u du = u ln u− u+ C

6.∫

un ln u du =un+1

(n+ 1)2[(n+ 1) ln u− 1] + C

7.∫ 1

u ln udu = ln |ln u|+ C

C.2.9 Fonctions Hyperboliques

1.∫

sinh u du = cosh u+ C

2.∫

cosh u du = sinh u+ C

3.∫

tanh u du = ln cosh u+ C

4.∫

coth u du = ln |sinh u|+ C

5.∫

sech u du = tan−1 |sinh u|+ C

6.∫

csch u du = ln∣∣tan 1

2 u∣∣+ C

7.∫

sech2 u du = tanh u+ C

8.∫

csch2 u du = − coth u+ C

9.∫

sech u tanh u du = − sech u+ C

10.∫

csch u coth u du = − csch u+ C


ANNEXED

LONGUEURS, SURFACES, VOLUME

– La longueur du segment joignant les points P(x1, y1, z1) et P(x2, y2, z2) est

d =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)

2

D.1 Polygone régulier de n côtés

Un cercle est circonscrit au polygon si tous les sommets du polygon sont sur le cercle.Un cercle est inscrit dans le polygon si chaque côté du polygon est tangent au cercle.

Soit n = le nombre des côté du polygon, R = rayon du cercle circonscrit , r = rayon ducercle inscrit, a = angle au centre determiné par un côté du polygon (en radians), b = angleentre côtés du polygon (en radians), et s = la longueur d’un côté du polygon.

FIG. D.1 – cercle et polygone

– L’aire du polygon est : A = 14 ns2 cot

(1n

180)

– Le rayon cercle circonscrit est : R =s2

csc(

1n

180)

– Le rayon cercle inscrit est : r =s2

cot(

1n

180)

– L’ angle au centre : a =(

1n

)360 =

2π

nradians

– Angle entre côtés : b =(

n− 2n

)180 =

(n− 2

n

)π radians

– Longueur d’un côté : s = 2r tana2= 2R sin

a2


D.2 Cercle

Soit r = rayon, C = périmètre, D = diamètre, A = aire, θ = angle au centre en radians,S = longueur de l’arc de mesure θ, ` = corde opposé à θ, h = distance de corde au cercle),d = distance du center au corde,

FIG. D.2 – cercle

– C = πD = 2πr A = πr2

– S = rθ = 12 Dθ = D cos−1 d

r` = 2

√r2 − d2

– d = 12

√4r2 − `2 h = r− d

– θ =Sr=

2SD= 2 cos−1 d

r= 2 tan−1 `

2d= 2 sin−1 `

D– L’air Aθ du secteur de l’angle θ :

Aθ

πr2 =θ

2π, Aθ =

12 θr2

– L’aire du segment limté par un arc et un corde est la différence entre l’aire du secteuret l’aire de région triangulaire de hauteur d et de base `, est,

A(segment) = A(secteur)− A(triangle) =12

θr2 − 12`d

A(segment) = r2 cos−1(

r− hr

)− (r− h)

√2rh− h2 = r2

2 (θ − sin θ)

– Le périmètre du polygone de n−côtés inscrit dans le cercle de rayon r est : 2nr sinπ

n– L’aire du polygone de n−côtés inscrit dans le cercle de rayon r est : 1

2 nr2 sin2π

n– Le périmètre du polygone de n−côtés circonsecrit au cercle de rayon r est : 2nr tan

π

n– L’aire du polygone de n−côtés circonsecrit au le cercle de rayon r est : nr2 tan

π

n– Le rayon du cercle inscrit dans le triangle de côtés a, b, et c est

r =

√(s− a) (s− b) (s− c)

s, s = 1

2 (a+ b+ c)

– Le rayon du cercle circonscrit au triangle de côtés a, b, et c est

r =abc

4√

s (s− a) (s− b) (s− c), s = 1

2 (a+ b+ c)



D.3 Autres formes géométriques








ISSAE- Le cnam Liban

Noureddine ASSAADDocteur ès sciences physiques et MathématiquesChef de cellule des sciences physiques et MathématiqueMembre du laboratoire international de laser (Kharkov )

Documents

Signal déterministe (MAA107) Cours et Exercices · 7.2.7 Dérivée de la transformée 161 7.2.8 Transformée de l’intégrale 162 7.2.9 Intégration de transformée 162 7.2.10 Fonctions