Chapitre 3: Caractérisation des systèmes. Performances d un système asservi 4Comportement d un «...

Chapitre 3: Caractérisation des systèmes

Performances d ’un système asservi Comportement d ’un « bon » système asservi :

– après un changement de consigne ou une perturbation, la mesure doit atteindre la consigne, le plus rapidement possible et sans oscillations intempestives

3 notions fondamentales à caractériser :– la précision statique (la mesure doit atteindre la consigne)

– la rapidité (le plus rapidement possible)

– la stabilité (sans oscillations intempestives)

La stabilité La stabilité : notion complexe étudiée

ultérieurement. Dans un premier temps, on caractérisera la « résonance ».

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (secs)

Am

plit

ude

Réponse indicielle d ’un système

instable

0 10 20 30 40 50 60 70-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Time (secs)

Am

plit

ude

Réponse indicielle d ’un système stable, mais pas

assez

Nécessité d ’une caractérisation

A partir de la connaissance de la FT ou d ’essais expérimentaux, il s ’agit de déterminer certaines grandeurs représentatives des performances du système asservi.

2 approches peuvent être utilisées :– temporelle– fréquentielle

3.1 Approches temporelle, fréquentielle et zéros-pôles

Evaluation des performances

2 approches sont possibles :– on utilise des entrées standardisées et à partir des tracés

d ’entrée-sortie on détermine un certain nombre de grandeurs caractéristiques :

• Approche temporelle ou indicielle (entrée = échelon)

• Approche fréquentielle ou harmonique (entrée =

sinusoïde à fréquence variable)

3.1.1 Approche temporelle

Approche temporelle

– Si le système ne comporte pas d ’intégration, 2 types de réponse sont possibles :

Systèmet

e(t) Ae(t) y(t) ?

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (secs)

Am

plit

ude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Time (secs)

Am

plit

ude

Réponse apériodique

Réponse oscillatoire amortie

Réponse temporelle

– La réponse peut être décomposée en deux parties :

t

y(t)

Régime

transitoire

Régime

permanent

Le gain - détermination temporelle

– Le gain K caractérise le régime permanent :

t

y(t)

t

e(t)

ey

e

yK

Autres caractéristiques temporelles Le régime transitoire peut être caractérisé par :

– le temps de montée, tm, temps nécessaire pour passer de 10 à 90 % de la valeur finale

– le temps de réponse, tr, temps nécessaire pour que la réponse se stabilise à plus ou moins 5 % de la valeur finale

Lorsque la réponse est oscillatoire amortie, on peut aussi utiliser :

– l ’amplitude du 1er dépassement, D1, (en % de la valeur finale) et le temps tD1 qui lui correspond

Exemple

– Attention à la détermination de tr et tD1 et D1 :

t

y(t)105 %

100 %95 %

trtD1

Ici D1 = 8 %

3.1.2 Approche fréquentielle

Approche fréquentielle On s ’intéresse :

– au rapport d ’amplitude (le gain) : – au déphasage : entre les signaux d ’entrée-sortie en fonction de la pulsation :

Le gain et le déphasage sont respectivement le module et l ’argument du nombre complexe H(j) correspondant à la FT H(p) :

)()()()( )( jYXejH j

Diagrammes

Dans l ’approche fréquentielle, on utilise 2 types de

diagramme :

– diagramme de Bode :

– diagramme de Nyquist :

Pour mémoire, il existe aussi :

– le lieu de Black-Nichols

)()()( jYXjH

)()()( jejH

Diagramme de Bode

2 courbes :– G, le module de H, exprimé en dB en fonction de – , le déphasage, exprimé en degré en fonction de

10-1

100

101

-40

-20

0

Frequency (rad/sec)

Ga

in d

B

10-1

100

101

-90

-180

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

10-1

100

101

-40

-20

0

Frequency (rad/sec)

Ga

in d

B

10-1

100

101

-90

-180

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

Le gain - détermination fréquentielle

Le gain statique, KdB, correspond au gain à la fréquence minimale

La bande passante Bande passante, B, domaine fréquentiel à l ’intérieur duquel

le module de H reste compris entre 2 bornes :

La pulsation correspondant à l ’atténuation de - 3 dB est appelée pulsation de coupure, c

plus la bande passante est élevée, plus le système est rapide

dBKGKouK

HK dBdB 3)(2

)(

10-1

100

101

-40

-20

0

20

Frequency (rad/sec)

Ga

in d

B

10-1

100

101

-90

-180

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

Le facteur de résonance

– Le facteur de résonance MdB n ’est présent que lorsque la réponse temporelle est oscillatoire amortie, c ’est la variation entre le gain statique et l ’amplitude maximale ; la pulsation de résonance est r

MdB

Diagramme de Nyquist

Ce lieu décrit en coordonnées polaires le point d ’affixe H(j) lorsque varie de 0 à l ’infini

-3 -2 -1 0 1 2 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Real Axis

Ima

g A

xis

)()()( jYXjH

Le lieu est gradué en Dans ce

diagramme, il ne faut

considérer que la courbe rouge

Ce diagramme est surtout utilisé pour évaluer la « stabilité » d ’un système

3.2 Systèmes du premier ordre

Remarque préalable Mathématiquement, un système du 1er ordre est régit par

une équation différentielle du 1er ordre :

Plusieurs formes sont possibles selon la valeur des coefficients. En Automatique, lorsque l ’on parle d ’un système du 1er ordre, il s ’agit, par défaut, d ’un système du 1er ordre sur la sortie.

)()( 0101 tybdt

dybtea

dt

dea

3.2.1 Systèmes du premier ordrede type K/(1+Tp)

Fonction de transfert Système régit par une équation différentielle du 1er ordre sur

la sortie :

Exemple : filtre RC

– K : gain statique– T : constante de temps

)()( 010 tybdt

dybtea

Tp

KpH

1)(

Réponse indicielle

Echelon d ’amplitude A : )1()( TteAKty

ppH

31

2)(:Exemple

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Time (secs)

Am

plit

ude

résonancedepas

3Ttr Régime permanent Transitoire

rt

Réponse à une rampe

Rampe de pente A : TtTeTtAKty )()(

0 5 10 15 200

5

10

15

20

25

30

35

Time (secs)

Am

plit

ude

Entrée

Sortie

Pour le dessin K = 1

Régime permanent Transitoire

Transitoire

Erreur de traînage

Retard

ATtraînagedeerreur

Ksi

T

,1

retard

Diagramme de Bode

10-2

10-1

100

101

-40

-20

0

20

Frequency (rad/sec)G

ain

dB

10-2

10-1

100

101

-30

-60

-90

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

2 asymptotes qui se coupent pour = 1/T = c

-20 dB / décade

Le déphasage évolue entre 0 et - 90°

(c) = - 45°

33,0131

2)(

Tw

ppH c

Diagramme de Nyquist

ppH

31

2)(

0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Axis

Ima

g A

xis

Ici, le gain vaut 2

C ’est un demi-cercle de rayon 1

0

3.2.2 Autres systèmes du premier ordre

Système de type K(1+Tp)

Les systèmes de ce type ne représentent pas des systèmes

physiques ; ils correspondent à des filtres ou des

correcteurs. Dans ce contexte, ils ne sont pas utilisés seuls.

Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer

les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus

pour K/(1+Tp)

Système intégrateur Equation différentielle :

Exemple :

Système « instable »

Système de type 1 (une intégrale)

1/pVitesse axe moteur

Position axe moteur

t

e(t) A

t

y(t) At

dt

dybtea 10 )(

p

KpH )(

Système intégrateur Diagramme de Bode :

– pente -20 dB/décade

– déphasage = -90°

10-1

100

101

-20

0

20

40

Frequency (rad/sec)

Ga

in d

B

10-1

100

101

-91

-90

-89

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

pp

KpH

2)(

Gain statique en dB dB02.6)2(log20 10 dBK

Gain statique K

Système intégrateur

Diagramme de Nyquist

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

7

Real Axis

Ima

g A

xis

Demi-droite sur l ’axe imaginaire négatif 0

Système dérivateur

Equation différentielle :

Exemple : Génératrice tachymétrique

– Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/p. De même pour Nyquist : demi-droite sur l ’axe imaginaire positif.

)(01 tybdt

dea

K pPosition arbre Tension génératrice

pKpH )(

3.3 Systèmes du deuxième ordre

Forme générale Système régit par une équation différentielle du 2ème ordre sur

la sortie :

Exemple : partie mécanique d ’un galvanomètre• : angle de déviation• J : moment d ’inertie• k : coefficient de raideur du ressort• f : coefficient de frottement• : couple exercé sur le galvanomètre

)()( 012

2

20 tybdt

dyb

dt

ydbtea

kdt

df

dt

dJt

2

2

)(

0 10 20

Fonction de Transfert• K : gain statique

• n : pulsation propre non amortie

• Z : facteur d ’amortissement

121

)(2

2

pZ

p

KpH

nn

Selon Z, le dénominateur admet :• 2 racines réelles, c ’est un système apériodique

• 2 racines complexes conjuguées, c ’est un système résonant

)1(4 2

2 Z

n

1Z

1Z

3.3.1 Réponse temporelle

Réponse indicielle

)(1)( btat eety

2 comportements distincts selon Z :

1:amortireoscillatoiSystème Z1:eapériodiquSystème Z

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Time (secs)

Am

plit

ude

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Time (secs)

Am

plit

ude

)sin(1)( d

ctety

*- {

}--

Mode non oscillatoire

Mode oscillatoire

amorti

Système apériodique Produit de 2 systèmes du 1er ordre :

Réponse à un échelon d ’amplitude A :

Temps de réponse :

)(

11)( 21

2121

TtTt eTeTTT

AKty

Régime permanent Transitoire

)1)(1()(

21 pTpT

KpH

nr

ZtZ

25.6:aon,2pour

Pseudo-pulsationPseudo-pulsation

Système oscillatoire amorti

Echelon d ’amplitude A :

Temps de réponse :

Amplitude et temps du 1er dépassement :

)cosArc1sin(1

11)( 2

2ZtZe

ZAKty n

tZ n

Régime permanent Transitoire

nr Z

tZ3

:aon,7.0pour

211 100(%) Z

Z

eD

211

Zt

n

D

Réponse indicielle en fonction de Z

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Time (secs)

Am

plit

ude

5,4,3,2,1,7.0,5.0,3.0,1.0

,1

,1

Z

K

n

Il n ’existe pas de relation simple pour exprimer le temps de réponse tr. Il est minimum pour Z = 0.7

Z < 0.7 0.7 1 >2

tr 3/Zn 3/n 5/n 6.25Z/n

Z = 0.1

Z = 5

Réponse indicielle en fonction de n

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (secs)

Am

plit

ude

3.0

3,1,3.0

,1

Z

K

n

Plus la pulsation est grande, plus le système est rapide

n = 1 n = 0.3

n = 3

La tangente à l ’origine

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Time (secs)

Am

plit

ude

1er ordre : tangente verticale 2ème ordre : tangente horizontale

ppH

71

1)(

)51)(41(

1)(

pppH

3.3.2 Réponse fréquentielle

Grandeurs caractéristiques

221 Znr

Pulsation de coupure

Pulsation de résonance

Facteur de résonance

222 )21(121 ZZnc

)12

1log(20

2ZZM dB

10-2

10-1

100

101

-50

0

50

Frequency (rad/sec)G

ain

dB

10-2

10-1

100

101

-90

-180

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

Diagramme de Bode Système apériodique

2 asymptotes qui se coupent pour = n

les asymptotes sont toujours « sur » la courbe

- 40 dB/décade

Le déphasage évolue entre 0 et - 180°

(n) = - 90°

)81)(21(

5

11016

5)(

2 pppppH

n

Diagramme de Bode Système oscillatoire amorti

10-1

100

101

-20

0

20

Frequency (rad/sec)G

ain

dB

10-1

100

101

-90

-180

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

2 asymptotes qui se coupent pour = n

- 40 dB/décade

Le déphasage évolue entre 0 et - 180°

(n) = - 90°

13.025.0

5)(

2

pppH

n

r

Diagramme de Bode fonction de Z

10-2

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50

Frequency (rad/sec)

Ga

in d

B

10-2

10-1

100

101

102

-90

-180

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

Z = 0.1

5,2,1,7.0,3.0,1.0

1

5

Z

K

n

Z = 5

Z = 0.1Z = 5

Diagramme de Bode fonction de n

10-2

10-1

100

101

-40

-20

0

20

Frequency (rad/sec)

Ga

in d

B

10-2

10-1

100

101

-90

-180

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg3.0

3,1,3.0

5

Z

K

n

n = 0.3

n = 1

n = 3

n = 3n = 0.3

n = 1

Diagramme de Nyquist

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Real Axis

Ima

g A

xis

Limite de résonance

13.025.0

5)(

2

pppH

)81)(21(

5)(

pppH

Apériodique :

Oscillatoire amorti :

Tangente horizontale pour

Diagr. de Nyquist fonct. de Z et n

-15 -10 -5 0 5 10 15-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Real Axis

Ima

g A

xis

2,1,7.0,3.0,1.0

1

5

Z

K

n

Z = 0.1

Z = 0.3

À Z et K constants, le tracé ne change en fonction de n