Chapitre 3: Les emprunts indivis

H. MOUSSA SALEY 1

Les emprunts indivis

PGE 22017 - 2018CESAG GRANDE ECOLE

Nov. 2018

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 2

PLAN

◼ Tableau d’amortissement

◼ Remboursement in fine

◼ Remboursement d’un prêt par échéances constantes

◼ Remboursements par amortissements constants

◼ Remboursement d’un prêt par échéances en progression géométrique

◼ Les différés

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 3

Emprunt indivis

◼ Contrat entre un prêteur et un emprunteur (particulier ou entreprise)

➔ opération financière de gré à gré

➔ emprunt non divisé en coupures

◼ Le capital est remboursé selon un plan d’amortissement (échéancier)

◼ En plus du capital, l’emprunteur verse des intérêts au prêteur.

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 4

Caractéristiques

◼ D0 : le capital emprunté (nominal)

– date t = 0 : origine

◼ i : le taux d’intérêt nominal ou facial (fixe)

◼ n : la durée de l’emprunt

– n versements

◼ Le mode d’amortissement du capital

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 5

Tableau d’amortissement

Période

Capital restant dû en début de période

Intérêts Amortis-sement

Annuités

1

2

n

D0

D1 =D0 –m1

.

.

.

Dn-1=Dn-2 –mn-1

I1 = i x D0

I2 = i x D1

In = i x Dn-1

m1

m2

mn

A1 = m1 + I1

A2 = m2 + I2

An = mn + In

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 6

Relations fondamentales

◼ Capital restant dû après le paiement des k premières annuités :

◼ Capital remboursé après le paiement des k premières annuités :

◼ capital emprunté et amortissements :

Dk = D0 – (m1 + m2 + … + mk)

m1 + m2 + … + mk

D0 = (m1 + m2 + … + mn)

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 7

Relations fondamentales

◼ Montant des intérêts payés après le paiement des k premières annuités :

◼ Coût total de l’emprunt

◼ Dernière période

I = I1 + I2 + … + In

Dn-1 = mn An = (1+ i) mn Dn = 0

I1 + I2 + … + Ik

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 8

L’amortissement in fine

◼ Le capital n’est remboursé qu’à la dernière période

◼ Le capital restant dû en début de période est constant (D0) de même que l’ intérêts versé à chaque période

➔Avantage pour l’emprunteur

Le remboursement du capital est différé

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 9

L’amortissement in fine

Période Capital restant dû en début de période

Intérêts Amortis-sement

Annuités

1

2

n

D0

D0

.

.

.

DO

I1 = i x D0

I2 = i x D0

In = i x D0

0

0

mn = D0

A1 = I1

A2 = I2

An = mn + In

Remarque An = Do (1+i)

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 10

Exercice 1

Une PME a souscrit le 15 mai 2003 un emprunt de 70 000 $ auprès d’une banque. Cet emprunt sera remboursé en une seule fois le 15 mai 2007. Le taux d’intérêt facial du crédit est de 10%.1- L’intérêt est payé annuellement. Présenter le tableau d’amortissement de cet emprunt 2- Au taux annuel de 10%, quel montant constant l’entreprise doit - elle placer à la date anniversaire du paiement des intérêts des 3 premières périodes afin de disposer le 15 mai 2007 de la somme lui permettant d’amortir le capital emprunté

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 11

L’amortissement constant

Remboursement par amortissement

constant ou séries égales (SEA)

◼ A la fin de chaque période, le capital remboursé est une constante égale au capital emprunté divisé par le nombre total de périodes

◼ Le montant des intérêts payés diminue régulièrement

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 12

L’amortissement constant

Période

Capital restant dû en début de période

Intérêts Amortis-sement

Annuités

1

2

n

D0

D1 =D0 – m

.

.

.

Dn-1=Dn-2 – m

I1 = i x D0

I2 = i x D1

In = i x Dn-1

m = Do/n

m

m

A1 = m + I1

A2 = m + I2

An = m + In

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 13

L’amortissement constant

◼ Annuités : suite arithmétique de premier terme A1 = D0 ( i + 1/n) et de raison –iD0/n

Ak = A1 – (k-1) iD0n

◼ Capital restant dû : Dk = D0 1 - k n

◼ Intérêts : suite arithmétique de premier terme D0i et de raison –iD0/n

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 14

Exercice 2

Soit un emprunt indivis de nominal 100 000€, de taux facial 8% et d’une durée de 5 ans. Le remboursement annuel se fait par amortissement constant.1. Présenter le tableau d’amortissement2. Donner les caractéristiques de l’emprunt à la

fin de la 3ème période ( intérêts payés, capital amorti, capital restant dû)

3. Faire le tableau d’amortissement en supposant que l’amortissement constant du capital ne commence qu’à la fin de la 2ème période

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 15

Remboursement par annuités constantes

◼ L’annuité de remboursement est la même à la fin de période

◼ Capital remboursé = Annuité - intérêt

en fin de période

◼ L’intérêt périodique diminue au cours du temps tandis que l’amortissement augmente

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 16

Remboursement par annuités constantes

Période

Capital restant dû en début de période

Intérêts Amortis-sement

Annuités

1

2

n

D0

D1 =D0 –m1

.

.

.

Dn-1=Dn-2 –mn-1

I1 = i x D0

I2 = i x D1

In = i x Dn-1

m1= A – I1

m2 = A – I2

mn = A – In

A

A

A

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 17

Remboursement par annuités constantes

◼ Annuité constante

◼ Amortissement en progression géométrique

de 1er terme m1 = A (1 + i)-n et de raison (1 + i)

➔ mk = m1 (1 + i)k-1

A = i . D0

1 - (1 + i )-n

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 18

Remboursement par annuités constantes

◼ Capital remboursé après les k premières annuités :

◼ Capital restant dû après les k premières annuités :

m1 (1 + i )k

- 1

i

Dk = D0 (1 + i )n

- (1 + i )k

(1 + i )n

- 1

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 19

Exercice 3

◼ Soit un emprunt indivis dont les caractéristiques suivantes :

◼ nominal : 80 000 €

◼ taux nominal : 7 %

◼ Durée : 5 ans

◼ Remboursement annuel par annuités constantes

1- Déterminer l’annuité constante

2- Présenter le tableau d’amortissement

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 20

Remboursement par annuités en progression géométrique

◼ Crédit personnalisé

◼ Capital initial emprunté D0 au taux i, amorti pendant n périodes par des annuités en progression géométrique de premier terme A et de raison (1+r)

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 21

Remboursement par annuités en progression géométrique

◼ Si i ≠ r

◼ Si i = r

- n

1 - 1+i

D0 = A x 1+r

i - r

D0 = n x A

1+i

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 22

Exercice 4

◼ Soit un emprunt immobilier de 150 000 € au taux de 4,5% sur 20 ans remboursables par des annuités en progressions géométriques à un taux de 3% à partir de la première année de remboursement.

1. Déterminer le montant de la dernière annuité

2. Ce mode de remboursement coûte -il plus cher qu’un remboursement par annuités constantes

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 23

Autres modes deremboursement

◼ Remboursement anticipé

➔ au gré de l’émetteur

➔ pour l’emprunteur, en cas de baisse des taux, la

dette antérieure est remboursée par un nouvel emprunt

➔Pénalités

◼ Emprunts à paliers

➔ crédit personnalisé

Nov. 2018 H. MOUSSA SALEY 24

Exercice 5

Une banque a octroyé un emprunt immobilier de 120 000€ à 6% le 1er juin 1997, remboursable par annuités constantes sur 20 ans. Au début de la 6ème période (du 01/06/02 au 01/06/03), les taux passent à 4,5%. L’emprunteur décide d’utiliser la clause de remboursement anticipé. On suppose qu’il n’y a aucune pénalité.

1. Calculer le capital restant dû après le versement des 5 premières annuités.

2. Si le remboursement anticipé se fait par réduction des annuités , quelle est la nouvelle annuité ?

3. Si le remboursement anticipé se fait par réduction de la durée, quelle est l’échéance du nouvel emprunt?