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Chapitre 5: Changement de base
et diagonalisation
- Changement de bases
- Diagonalisation d’une matrice
Changement de bases
base. anciennel' dans exprimés
de scomposante des constituéeest de colonnes j La
1
par définieest
notée , à de passage de matrice La
base. nouvelle laest base, anciennel'est
E. de et basesdeux Soient
1
1
11
j
B'
B
n
iii,jj
,...,ni,j=i,j
B'
B
nn
e'Pème
,...,n.j ea=e'
) (aPB'B
B' B
),...,e'B'=(e'),...,eB =(e
=∀
=
∑=
. Conclusion
effet En
. Alors
.et base la dans de scomposante des vecteur le
et ment respective considèreOn . donnéEtant
1
1 11 111
11
X'PXx'ax
ex'aeax'e'x'exx
X'PX
B'Bx
x'
x'
X'
x
x
XEx
B'
B
n
jji,ji
n
ii
n
jji,j
n
j
n
iii,jj
n
jjj
n
iii
B'
B
nn
=⇔=
=
===
=
=
=∈
∑
∑ ∑∑ ∑∑∑
=
= == ===
MM
( )
( ) . à de passe de matrice laest dit Autrement
et ,inversibleest matrice La :Theorem
1
'
1
BB'P
PPP
B'
B
B
B
B'
B
B'
B
−
−=
Exemples de changement de
base{ }
{ }
.'
'Pbien aOn
23/''21/
23/''21/''''
23/21/
23/21/P Donc
23/23/'
21/21/'
aOn
23/
23/-j'et
21/
21/i' avec j',i'B' base nouvelleun considèreOn
1
0jet
0
1i avec ji,B anciennel' considèreon R Dans
'
B
'
B
2
=
−
−=+=+=
=
−=
+−=
+=
=
==
=
==
y
x
y
x
yx
yxjyixyjxi
y
xXSi
jij
jii
B
B
Exemples
=
−
−
−
=
−=
10
01
cossin
sincos
cossin
sincos que On vérifie
'
cossin
sincos
montre) uned' aiguilles des contraire (Sens angled'Rotation
cossin
sincos
montre) uned' aiguilles des contraire (Sens angled'Rotation
2
1
2
1
2
1
2
1
θθ
θθ
θθ
θθ
x'
x
θθ
θθ
x
x
θ
x
x
θθ
θθ
x'
x'
θ
−
=
z
y
x
θθ
θθ
z
y
x
100
0cossin
0sincos
'
'
'
Rotation dans le plan xOy
plandu surfaces les
préserveation transformcette 1 Quand
'
'
/10
0/1
0
0
'
'
0et 0 Si :ationRenormalis
21
2
1
2
1
21
=
=
=
>>
αα
y
x
y
x
y
x
y
x
αα
αα
αα
−=
−
−=
2
1
2
1
2
2
1
2
1
'
10
01
Re droite la àrapport par Reflexion
'
10
01
0 àrapport par Reflexion
x'
x
x
x
x'
x
x
x
Changement de bases et matrice
d’application linéaire
A! matrice la defonction en A' matrice laexpliquer On veut
.et base la dans )ement (respectiv de scomposante des vecteur le
)et ement (respectiv et considèreOn
et bases les dans f de matrices les A'et A Soient E. de basesdeux et Soient
f(x).y que telEySoit x, linéaire.n applicatio une EE:fSoit
1111
B'Byx
y'
y'
Y'
y
y
Y
x'
x'
X'
x
x
X
B'BB'B
nnnn
=
=
=
=
=∈→
MMMM
( ) ( ) ( )
( )
( ) B'
B
B'
B
B'
B
B'
B
B'
B
B'
B
B'
B
B'
B
B'
B
B'
B
APPA'
X'APPY
X'APPAXPYPY'
Y'PYX'PXA'X'Y'AXY
1
1
111
:Conclusion
'
donc
, , ,
aOn
−
−
−−−
=
=
===
====
Matrices diagonalisables
.
00
0
0
00
P
que tellebase) de changement de matrice une eéquivalent
façon de(ou inversible matrice une )(pP existe il si
ablediagonalisest )(aA matrice unequ' diraOn
2
1
1-
n1,...,ji,ij
n1,...,ji,ij
==
=
=
=
=
nd
d
d
DAP
L
OOM
MO
L
{ }.,...,, ssi inversibleest D
00
0
0
00
00
0
0
00
et
.
00
0
0
00
P ablediagonalisest A Si
21
2
1
2
1
1-
n
n
n
dddI
d
d
d
DI
d
d
d
DAP
∉−
−
=−
==⇔
λλ
λ
λλ
λ
L
OOM
MO
L
L
OOM
MO
L
L
OOM
MO
L
Comment calculer les di?
{ }
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
{ } .0det,...,, Les :Conclusion
detdet
donc,1detdetdetdet mais
detdetdetdetdet
donc D aon Mais
.,...,, ssi inversibleest D
21
11
11
1
21
=−⇔∈
−=−
===
−=−=−
−=−
∉−
A)I(λddd
D)I(λA)I(λ
(I)PPPP
PAλIPPAλIPD)I(λ
PAλIPI
dddI
n
--
--
-
n
λ
λ
λλ
Polynôme caractéristique et valeur
propre
( )
( ) { }.0 det:A
:A de spectre le appeléest A de valeursdes A ensembleL'
).p( de racines lessont propres valeursleset
det)p(
fonction laest tiquecaractéris polynome Le .0det ssi
C complexeou réel nombreun qu' diraOn : Definition
=−∈=
−=
=−
∈
A)I(λC
λ
A)I(λλ
A)I(λ
λσ
σ
λ
Comment calculer la matrice P?
.
1
0
0
e position) ièmeen est 1 (le
0
0
1
0
0
e
0
0
1
e
:Cou R de canonique Base
.convenable base une trouver doncfaut Il
base. de changement de matrice
une aussiest c' ,inversible matrice uneest P Comme
ni1
nn
=
=
=
M
M
M
M
M
M
.,...,1,
obtient on ,,...,1, noteon si Donc
.,...,1,
,...,1, Donc
,...,1,et aOn
1
1
nifdAf
niPef
niPedAPe
niedAPeP
niedeDDAPP
iii
ii
iii
iii
iii
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∀==
−
−
{ }
[ ]
[ ] [ ]
11-
2
1
212211
21
1
P :Conclusion
00
0
0
00
obtient on et , P poseOn
.,...,1,
:que tel colonne vecteursdes ensemblel'
chercheon chaquePour .connus ,...., les supposeOn
−=⇔=⇔=
==
=
=∀=
PDPADAPPDAP
d
d
d
f fffd f dfdAP
fff
nifdAf
f
ddd
n
nnn
n
iii
i
in
L
OOM
MO
L
LL
L
. de propre valeur la associé
A de propre un vecteurest f quet précisémen
plusou A, de propre un vecteurest f que diraOn
. complexe nombrecertain un pour
,0et
:ssiA de proprer est vecteu f que diraOn
colonne).(vecteur Cfet (C),MA Si n
n
Ad
Cd
fdfAf
∈
≠=
∈∈
Théorème: Tout matrice symétrique est
diagonalisable.
En général on ne peut pas conclure
Exemple 1
( ) ( )( )
( )( )
( ) { }.2,1Aest A de propre valeursdes ensembleL' :Conclusion
2123)(
61416
14 det)(
:tiquecaractéris polynome lecalculer par commenceOn
propres. valeursdes Calcul :1 Etape
16
14 matrice la considèreOn
2
=
−−=+−=
++−=+−
−=−=
−
−=
σ
λλλλλ
λλλ
λλλ
p
donc
AIp
A
( ) { }
( )( )
( )( )
.2
1f exemplepar fixeOn
0
0
23
2
0
0
36
12
0
02I-A
:2 v.p.la à associé propre un vecteurd' Calcul
.3
1f exemplepar fixeOn
0
0
32
3
0
0
26
13
0
0I-A
:1 v.p.la à associé propre un vecteurd' Calcul
.2,1A aOn
propres. vecteursde base uned' Calcul :2 Etape
16
14 matrice la considèreOn
2
21
21
2
1
2
1
1
21
21
2
1
2
1
=
=
−
−⇔
=
−
−⇔
=
=
=
−
−⇔
=
−
−⇔
=
=
−
−=
xx
xx
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
A
σ
[ ]
=
−
−=
==
−
−=
20
01P que On vérifie
13
12Pet
23
11 poseOn
base. de changement de Matrice : 3 Etape
16
14 matrice la considèreOn
1-
1-
21
AP
ffP
A
Exemple 2
( ) ( )
( )
( ) { }.2Aest A de propre valeursdes ensembleL' :Conclusion
223)(
220
12 det)(
:tiquecaractéris polynome lecalculer par commenceOn
propres. valeursdes Calcul :1 Etape
20
12 matrice la considèreOn
22
2
=
−=+−=
−=−
−−=−=
=
σ
λλλλ
λλ
λλλ
p
donc
AIp
A
( ) { }
( )
( )
able.diagonalis pasest n' A :Conclusion
E. dans )2C(dim C de base une
trouver paspeut neon donc 1est E dedimension La
:0
1E
est A de vecteursdes ensembleL'
00
0
00
10
0
02I-A
:2 v.p.la à associé propre un vecteurd' Calcul
.2A aOn
propres. vecteursde base uned' Calcul :2 Etape
20
12 matrice la considèreOn
22
1
2
1
2
1
=
∈
=
=⇔
=
−⇔
=
=
=
C
xx
x
x
x
A
λλ
σ
Chapitre 6: Compléments
• Théorème de noyau image
• Produit scalaire
Complément 1: Matrices
{ }
{ } { }
{ }
{ }{ }
. famille lapar engendré
vectorielespace sous leest quedit On
.R de vectorielespace sousun est
.
noteon
,R de vecteur de famille une ,...,eSoit
1
1
n
1
1111
n
1
m
m
m
mmmm
m
,...,ee
,...,eeVect
,...,eeVect
R,...,λ:λeλ...eλ,...,eeVect
e
∈++=
Noyaux et images
{ }
{ }
A. de colonnes lespar engendré espace sous le aussiest A de imagineL'
RX:RY)Im(
R de vectorielespace sous leest A de imageL'
.0:RXKer(A)
R de vectorielespace sous leest A denoyau Le
RRX
:linéairen applicatiol' àent naturellem identifies' A matrice La
colonnes).n et ligne p avec dire àest (c'n pdimension de matriceun A Soit
np
p
n
n
pn
YAXA
AX
AX
=∈∃∈=
=∈=
∈→∈
×
Théorème: On a
n=dim(Ker(A))+dim(Im(A)).
En particulier une matrice est inversible si
• n=p et dim(Ker(A))=0
ou bien
• n=p et dim(Im(A))=n.
Théorème des noyaux et images
Complément 2: Produit scalaires
( )
=
⇔
==
+++==
+++=
∈
=∈
=
22
2222
22
2
2
12
2211
n
n
1
n
n
1
Y,
Xarccos
Y,
XYX,cos
:par donnéest Yet X vecteursles entre angleL'
...XX,
:est X du vecteurlongueur La
...YX,
est )(Euclidien scalaireproduit le R
y
y
Yet R
x
x
X Si
YX
YXYX
xxxX
yxyxyx
n
nn
θ
θ
θ
MM
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