Chapitre trois Préférences et fonctions dutilité

Chapitre trois

Préférences et fonctions d’utilité

Rationalité en économie

Hypothèse de comportement:Un décideur choisit toujours son alternative préférée parmi l’ensemble des alternatives disponibles.

Nous avons précisé ce qu’était l’ensemble des alternatives disponibles

Nous devons maintenant préciser ce que sont les préférences.

Relation de Préférence Critère de comparaison de paniers de

consommation tels que x et y: – Préférence stricte: x est strictement

préféré à y. – Préférence faible: x est faiblement

préférée à y.– indifference: x et y sont équivalent sur le

plan des préférence.– -non comparabilité: x et y ne sont pas

comparables sur le plan des préférences

Formalisme de relations binaires

préférence faible;x y = x est faiblement préféré à y.

~

~

Relations de Préférence

x y et y x implique x y. (facteur symmétrique)

x y et (non y x) implique x y. (facteur

symmétrique)

Non x y et non y x implique x N y.

(facteur non-comparable)

Ensemble des paniers faiblement préférés,

Considérons un panier de référence z. On peut définir l’ensemble des paniers faiblement préférés à z, noté FP(z), par FP(z) = {x X: x z}

Ensemble des paniers faiblement dominés

De manière analogue, pour un panier de référence z, on peut définir l’ensemble des paniers faiblement dominés par z, noté FD(z), par FD (z) = {x X: x z}

courbes d’indifférence

On appelle courbe d’indifférence associée à z l’ensemble I(z) = FP(z) FD(z); L’ensemble I(z) contient tous les paniers que le consommateur considère équivalents à z

Puisqu’une « courbe d’indifférence » n’est pas toujours une courbe, une meilleure appellation serait celle  d’ « ensemble d’indifférence ».

Exemple de préférences

C = 2+,

),max(),max(

),min(),min(),(),(

2121

212121~

21

zzxxet

zzxxzzxx

Illustration

xx22

xx11

4545oo

55

99

55 99

FP (9,5) = les paniers situés en zone blanche

Illustration

xx22

xx11

4545oo

55

99

55 99

FD(9,5) = partie blanche

Illustration

xx22

xx11

4545oo

55

99

55 99

I (9,5) = {(9,5),(5,9)}

Hypothèses sur les relations de préférence

Complétude: Pour n’importe quels deux paniers x et y il est toujours possible de formuler l’un ou l’autre des deux énoncés suivants: x y ou y x.

De manière équivalente, x N y n’est jamais vrai

Hypothèses sur les relations de préférence

Réflexivité: Tout panier x est toujours faiblement préféré à lui-même, i.e. x x

Hypothèses sur les préférences

Transitivité: six est faiblement préféré à y, ety est faiblement préféré à z, alorsx est faiblement préféré à z; i.e.

x y et y z x z.~ ~ ~

Propriétés des courbes d’indifférences

x2

x1

xTous les paniers sur la courbe I1 sont strictement préférés à un panier sur I2.

y

z

Tous les paniers sur I2 sont strictement préférés à tous les paniers sur I3.

I1

I2

I3

Propriétés des courbes d’indifférence

x2

x1

I(x’)

x

I(x)

FP(x), l’ensemble des paniers faiblement préférés à x.

Courbes d’indifférence

x2

x1

FP(x),

FP(x) inclut I(x).

x

I(x)

Propriétés des courbes d’indifférence

x2

x1

SP(x), l’ensemble des paniers strictement préférés à x, n’inclut pas I(x).

x

I(x)

Les courbes d’indifférences ont une intersection vide

xx22

xx11

xxyy

zz

II11

I2 dede I I11, x , x y. y. dede I I22, x , x z. z.

doncdonc y y z. z.

Les courbes d’indifférence ont une intersection vide

xx22

xx11

xxyy

zz

II11

I2 DeDe I I11, x , x y. y. DeDe I I22, x , x z. z.

DoncDonc y y z. z. Mais de Mais de II11 dede I I22

on voit que on voit que y z, y z, uneune contradiction. contradiction.

Représentation numérique d’une préférence par une fonction

d’utilité Une fonction d’utilité U: CR

représente numériquement une préférence si et seulement si:

x’ x” U(x’) > U(x”)

x’ x” U(x’) < U(x”)

x’ x” U(x’) = U(x”).

~

Ordinalité de la représentation numérique (1)

L’utilité est un concept ordinal Si U(x) = 6 et U(y) = 2 le panier x est

strictement préféré au panier y. Mais on ne peut pas dire que x est préféré trois fois plus que y ou que le consommateur est trois fois plus heureux avec x qu’avec y

Ordinalité de la représentation numérique (2)

Si U est une fonction d’utilité qui représente numériquement une préférence et si f: R R est une fonction (d’une variable) monotone croissante, la fonction G: C R définie, pour x C, par G(x) = f(U(x)) est une représentation numérique de tout aussi légitime que U

~

~

Existence de Fonction d’Utilité

Une préférence qui n’est pas complète, transitive ou réflexive ne peut pas être représentée numériquement par une fonction d’utilité.

Une préférence complète, transitive et réflexive et continue peut être représentée numériquement par une fonction d’utilité continue.

Continuité = changements légers dans les quantités de biens d’un panier ne doivent entraîner que des changements légers dans le niveau de préférence.

Fonction d’utilité & Courbes d’indifférence

une courbe d’indifférence contient des paniers équivalents sur le plan de la préférence.

Equivalent sur le plan de la préférence même niveau d’utilité.

Donc, tous les paniers appartenant à une courbe d’indifférence ont le même niveau d’utilité.

Fonctions d’utilité & courbes d’indifférences

La comparaison de tous les paniers de consommation physiquement et biologiquement concevables fournit une collection complète de courbes d’indifférence, chacune étant associée à un niveau d’utilité.

Cette collection de courbes d’indifférence représente complètement les préférences du consommateur.

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

U 6U 4U 2

x1

x2

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

U 6

U 5U 4

U 3U 2

U 1x1

x2

Utility

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

x2

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

x2

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

x2

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

x2

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

x2

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence

x1

Préférences globalement saturables

Un panier strictement préféré à tout autre panier est un point de saturation.

A quoi ressemble des courbes d’indifférence de préférences faisant l’objet de saturation?

Courbes d’indifférence présentant de la saturation

globalexx22

xx11

PointPointDe De SatSaturationuration

Courbes d’indifférence présentant de la saturation globale

xx22

xx11

MieuxMieuxm

ieux

mieux

mie

ux

mie

ux

pointpoint de de saturationsaturation

Courbes d’indifférence présentant de la saturation globale

xx22

xx11

mieuxmieuxMieux

Mieux

mie

ux

mie

ux

PointPointDeDeSatSaturationuration

Préférences localement saturables

I(z1,z2)

z1

z2 2mieux

Préférences non-saturables

est localement non-saturable si pour tout panier z et pour nombre réel positif , il existe un panier y dans C strictement préféré à z tel que, pour tout bien j, yj-zj<

Deux propriétés des préférences: 1-Monotonie

Monotonicité croissante faible: Augmenter la quantité d’un bien sans réduire celle des autres biens ne fait pas de mal et augmenter strictement la quantité de tous les biens fait du bien

Monotonie croissante stricte: Augmenter strictement la quantité d’un bien sans réduire celle des autres biens fait du bien.

Exemple: préférence (Léontieff) pour des Compléments parfaits– Si un consommateur consomme

toujours les biens 1 et 2 dans des proportions fixes (e.g. un pour un), alors les biens sont des compléments parfaits et seul le nombre de paires d’unités des deux biens détermine le classement des paniers dans l’échelle de préférence du consommateur

Courbes d’indifférence pour des compléments parfaits

xx22

xx11

I1

4545oo

55

99

55 99

Chacun des paniers (5,5), (5,9) et (9,5) contiennent5 paires; ils sont donc tous équivalents.

Courbes d’indifférence pour des compléments parfaits

xx22

xx11

I2

I1

4545oo

55

99

55 99

Puisque chacun des paniers (5,5), (5,9) et (9,5) contient 5 paires, chacun est jugé moins préférable que le panier (9,9) qui contient 9 paires.

Les préférences Léontieff sont faiblement monotones croissantes

mais ne sont pas strictement monotones croissantes

Fonctions d’Utilité pour les préférences Léontieff

U(x1,x2) = min{x1,x2}.

V(x1,x2) = (min{x1,x2})2

W(x1,x2) = -1/(min{x1,x2})

Courbes d’Indifférence Léontieffx2

x1

45o

min{x1,x2} = 8

3 5 8

35

8

min{x1,x2} = 5

min{x1,x2} = 3

U(x1,x2) = min{x1,x2}

2: convexité

Convexité: un mélange de paniers est (faiblement) préféré à chacun des deux paniers du mélange si ceux-ci sont équivalents.

Ex: Le mélange 50-50 des paniers x and y (noté z) est z = (0.5)x + (0.5)y.z doit être faiblement préféré à x ou y si x et y sont équivalents.

Convexité.

xx22

yy22

xx22+y+y22

22

xx11 yy11xx11+y+y11

22

x

y

z = x+y

2Est stEst strictrictement ement prprééfféérré à é à x x etet y. y.

Convexité.

xx22

yy22

xx11 yy11

x

y

z =(tx1+(1-t)y1, tx2+(1-t)y2)est préféré à x et y pour tous 0 < t < 1.

Convexité stricte

xx22

yy22

xx11 yy11

x

y

Préférences sont strictement convexes si tous les mélanges z sont strictement préférés aux paniers x and y.

z

Convexité faible.

x’

y’

z’

Préférences sont faiblement convexes si le mélange z is faiblement préféré à deux paniers indifférents.

xz

y

Exemple; Préférences pour des substituts parfaits

– Si un consommateur considère toujours les unités de biens 1 et 2 comme parfaitement interchangeables, alors les deux biens sont des substituts parfaits et seulement la quantité totale des deux biens contenue dans les paniers détermine le classement relatif de ces paniers dans l’échelle de préférence du consommateur .

Courbes d’indifférence pour des substituts parfaits

xx22

xx1188

88

1515

1515pentespentes constant constanteses àà - 1. - 1.

I2

I1

Paniers surPaniers sur I I22 contiennent unecontiennent une

quantité totale dequantité totale de 15 unit 15 unitéés s etet sont strictement sont strictement prprééfféérrés à és à tous les paniers surtous les paniers sur I I11, , qui ne qui ne

contiennent quecontiennent que 8 unit 8 unitééss

Les préférences pour des substituts parfaits sont faiblement

convexes mais ne sont pas strictement convexes

Fonctions d’utilité représentant des préférences pour des

substituts parfaits

U(x1,x2) = x1 + x2.

V(x1,x2) = (x1 + x2)1/2

W(x1,x2) = ln(x1 + x2).

Carte d’indifférence de préférences pour des Substituts parfaits

5

5

9

9

13

13

x1

x2

x1 + x2 = 5

x1 + x2 = 9

x1 + x2 = 13

U(x1,x2) = x1 + x2.

Préférences non convexes

xx22

yy22

xx11 yy11

zz

mieux LeLe m mélangeélange zz

estest jugé moins jugé moins préférablepréférablequeque xx ouou yy..

Autres Préférences Non-Convexes

xx22

yy22

xx11 yy11

zz

mieux

Le Le mmélangeélange z zest jugé moinsest jugé moins prprééfféérrableablequeque x x ouou y. y.

Pentes de courbes d’indifférences

La pente d’une courbe d’indifférence évaluée à un panier quelconque (x1,…xn) est le taux marginal de substitution (TMS (x1,…xn)).

Comment calculer ce TMS ?

Taux Marginal de Substitution

xx22

xx11

x’x’

TTMS MS àà x’ x’ est la penteest la pente dede lalacourbe d’courbe d’indiffindifféérence rence àà x’ x’

Taux Marginal de Substitution

xx22

xx11

TMTMS S àà x’ x’ estest lim { lim {xx22//xx11}}

xx11 0 0

= dx= dx22/dx/dx11 àà x’ x’xx22

xx11

x’x’

Taux Marginal de Substitution

xx22

x1

dxdx22

dxdx11

dxdx22 = = TTMS MS dx dx11 doncdonc, , àà xx’, ’,

TTMS MS estest lle e tauxtaux a au quelu quel lele consconsoommmateurmateur estest disposé à échanger du disposé à échanger du bienbien 2 2 pour obtenir une pour obtenir une « petite » quantité de bien« petite » quantité de bien 1.1.

x’x’

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites

Dans un univers à deux biens (où on peut représenter toute courbe d’indifférence I(z) dans le plan à 2 dimensions), la courbe en question est caractérisée, si les préférences sont continues et monotones croissantes, par l’équation

uzxzU u ))(,( 121

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites

Sous ces deux hypothèses, la relation est

fonctionnelle (elle associe à toute quantité de bien 1 l’unique quantité de bien 2 qui donne au consommateur le même niveau d’utilité que z)

:2ux

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas

dérivable)

1

1221

)(),(

x

zxzzTMS

u

1

12

2

121

1

121 )())(,())(,(0

x

zx

x

zxzU

x

zxzU uuu

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas

dérivable)

2

121

1

121

1

12

))(,(

))(,()(

xzxzU

xzxzU

x

zxu

u

u

Utilités Marginales

Marginal signifie “infinitésimal ». L’utilité marginale du bien i

s’interprète comme la variation d’utilité qui résulte d’un « petit » changement dans la consommation de bien i i.e.

i

i x

UUM

La valeur de l’utilité marginale dépend de la fonction d’utilité utilisée pour

représenter les préférences Ex: si je mesure les préférences par

la fonction d’utilité

U(x1,x2) = x1a x2

b

ba xaxx

UUM 2

11

11

La valeur de l’utilité marginale dépend de la fonction d’utilité utilisée pour

représenter les préférences Mais si je mesure les mêmes

préférences par la fonction d’utilité

U(x1,x2) = alnx1 + blnx2

111 x

a

x

UUM

Le taux marginal de substitution ne dépend pas de la représentation

numérique des préférences Si V = f(U) où f est une fonction monotone

croissante, alors

2

1

2

1

/)('

/)(

/

/

xUUf

xUUf

xV

xVTMS

U xU x//

.12

Donc la valeur du TMS n’est pas affectéepar la transformation de la fonction d’utilité au moyen d’une fonction monotone croissante.

TMS & Courbes d’indifférences

mieux

mieux

pirepire

bienbien 2 2

Bien Bien 11

22 biensbiensune courbe une courbe d’indifférence à d’indifférence à pente négativepente négative

TTMS < 0.MS < 0.

TMS & Courbes d’Indifférences

mieux

mieux

pirepire

bienbien 2 2

malmal 1 1

I bien et 1 « mal »I bien et 1 « mal » une courbe une courbe d’d’indiffindifféérence rence à à pente positivepente positiveTTMS > 0.MS > 0.

TMS & Courbes d’Indifférencebienbien 2 2

bienbien 1 1

TMTMS = - 5S = - 5

TTMS = - 0.5MS = - 0.5

TTMS MS augmente avecaugmente avec x x11

((devientdevient moins moins nnéégatigatif)f) sisi les les prprééfféérences rences sontsont strictstrictementement convex convexes et es et monotones croissantesmonotones croissantes..

Exemples de préférences (n=2) (quasi-linéarité)

Une fonction d’utilité de la forme

U(x1,x2) = f(x1) + x2

est linéaire par rapport à x2 et est appelée quasi-linéaire.

E.g. U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.

Carte d’indifférence de préférences Quasi-linéaires

x2

x1

Les courbes sont des copies par translation verticale des autres.

TMS pour les préférences quasi-linéaires

U(x1,x2) = f(x1) + x2.

donc

Ux

f x1

1 ( ) Ux2

1

).(/

/1

2

1

1

2 xfxU

xU

xd

xdTMS

TMS pour préférences quasi-linéaires

TMS = - f(x1) ne dépend pas de x2 Donc la pente d’une courbe d’indifférence associée à une préférence quasi-linéaire est constante le long de toute ligne verticale (sur laquelle x1 est constante).

TMS pour des préférences quasi-linéaires

x2

x1

chaque courbe est une translation verticale d’une autre.

TMS est constantle long de toute verticale ( x1 constant).

TMS =- f(x1’)

TMS = -f(x1”)

x1’ x1”

Exemples de préférences (n=2) (Cobb-Douglas)

Une fonction d’utilité de la forme

U(x1,x2) = x1a x2

b

avec a > 0 et b > 0 représente des préférences dites Cobb-Douglas

E.g. U(x1,x2) = x11/2 x2

1/2 (a = b = 1/2) V(x1,x2) = x1 x2

3 (a = 1, b = 3)

Carte d’indifférence Cobb-Douglas x2

x1

Les courbes sont des Hyperboles asymptotiques aux axes