Upload
michel-morin
View
118
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Chapitre trois
Préférences et fonctions d’utilité
Rationalité en économie
Hypothèse de comportement:Un décideur choisit toujours son alternative préférée parmi l’ensemble des alternatives disponibles.
Nous avons précisé ce qu’était l’ensemble des alternatives disponibles
Nous devons maintenant préciser ce que sont les préférences.
Relation de Préférence Critère de comparaison de paniers de
consommation tels que x et y: – Préférence stricte: x est strictement
préféré à y. – Préférence faible: x est faiblement
préférée à y.– indifference: x et y sont équivalent sur le
plan des préférence.– -non comparabilité: x et y ne sont pas
comparables sur le plan des préférences
Formalisme de relations binaires
préférence faible;x y = x est faiblement préféré à y.
~
~
Relations de Préférence
x y et y x implique x y. (facteur symmétrique)
x y et (non y x) implique x y. (facteur
symmétrique)
Non x y et non y x implique x N y.
(facteur non-comparable)
Ensemble des paniers faiblement préférés,
Considérons un panier de référence z. On peut définir l’ensemble des paniers faiblement préférés à z, noté FP(z), par FP(z) = {x X: x z}
Ensemble des paniers faiblement dominés
De manière analogue, pour un panier de référence z, on peut définir l’ensemble des paniers faiblement dominés par z, noté FD(z), par FD (z) = {x X: x z}
courbes d’indifférence
On appelle courbe d’indifférence associée à z l’ensemble I(z) = FP(z) FD(z); L’ensemble I(z) contient tous les paniers que le consommateur considère équivalents à z
Puisqu’une « courbe d’indifférence » n’est pas toujours une courbe, une meilleure appellation serait celle d’ « ensemble d’indifférence ».
Exemple de préférences
C = 2+,
),max(),max(
),min(),min(),(),(
2121
212121~
21
zzxxet
zzxxzzxx
Illustration
xx22
xx11
4545oo
55
99
55 99
FP (9,5) = les paniers situés en zone blanche
Illustration
xx22
xx11
4545oo
55
99
55 99
FD(9,5) = partie blanche
Illustration
xx22
xx11
4545oo
55
99
55 99
I (9,5) = {(9,5),(5,9)}
Hypothèses sur les relations de préférence
Complétude: Pour n’importe quels deux paniers x et y il est toujours possible de formuler l’un ou l’autre des deux énoncés suivants: x y ou y x.
De manière équivalente, x N y n’est jamais vrai
Hypothèses sur les relations de préférence
Réflexivité: Tout panier x est toujours faiblement préféré à lui-même, i.e. x x
Hypothèses sur les préférences
Transitivité: six est faiblement préféré à y, ety est faiblement préféré à z, alorsx est faiblement préféré à z; i.e.
x y et y z x z.~ ~ ~
Propriétés des courbes d’indifférences
x2
x1
xTous les paniers sur la courbe I1 sont strictement préférés à un panier sur I2.
y
z
Tous les paniers sur I2 sont strictement préférés à tous les paniers sur I3.
I1
I2
I3
Propriétés des courbes d’indifférence
x2
x1
I(x’)
x
I(x)
FP(x), l’ensemble des paniers faiblement préférés à x.
Courbes d’indifférence
x2
x1
FP(x),
FP(x) inclut I(x).
x
I(x)
Propriétés des courbes d’indifférence
x2
x1
SP(x), l’ensemble des paniers strictement préférés à x, n’inclut pas I(x).
x
I(x)
Les courbes d’indifférences ont une intersection vide
xx22
xx11
xxyy
zz
II11
I2 dede I I11, x , x y. y. dede I I22, x , x z. z.
doncdonc y y z. z.
Les courbes d’indifférence ont une intersection vide
xx22
xx11
xxyy
zz
II11
I2 DeDe I I11, x , x y. y. DeDe I I22, x , x z. z.
DoncDonc y y z. z. Mais de Mais de II11 dede I I22
on voit que on voit que y z, y z, uneune contradiction. contradiction.
Représentation numérique d’une préférence par une fonction
d’utilité Une fonction d’utilité U: CR
représente numériquement une préférence si et seulement si:
x’ x” U(x’) > U(x”)
x’ x” U(x’) < U(x”)
x’ x” U(x’) = U(x”).
~
Ordinalité de la représentation numérique (1)
L’utilité est un concept ordinal Si U(x) = 6 et U(y) = 2 le panier x est
strictement préféré au panier y. Mais on ne peut pas dire que x est préféré trois fois plus que y ou que le consommateur est trois fois plus heureux avec x qu’avec y
Ordinalité de la représentation numérique (2)
Si U est une fonction d’utilité qui représente numériquement une préférence et si f: R R est une fonction (d’une variable) monotone croissante, la fonction G: C R définie, pour x C, par G(x) = f(U(x)) est une représentation numérique de tout aussi légitime que U
~
~
Existence de Fonction d’Utilité
Une préférence qui n’est pas complète, transitive ou réflexive ne peut pas être représentée numériquement par une fonction d’utilité.
Une préférence complète, transitive et réflexive et continue peut être représentée numériquement par une fonction d’utilité continue.
Continuité = changements légers dans les quantités de biens d’un panier ne doivent entraîner que des changements légers dans le niveau de préférence.
Fonction d’utilité & Courbes d’indifférence
une courbe d’indifférence contient des paniers équivalents sur le plan de la préférence.
Equivalent sur le plan de la préférence même niveau d’utilité.
Donc, tous les paniers appartenant à une courbe d’indifférence ont le même niveau d’utilité.
Fonctions d’utilité & courbes d’indifférences
La comparaison de tous les paniers de consommation physiquement et biologiquement concevables fournit une collection complète de courbes d’indifférence, chacune étant associée à un niveau d’utilité.
Cette collection de courbes d’indifférence représente complètement les préférences du consommateur.
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
U 6U 4U 2
x1
x2
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
U 6
U 5U 4
U 3U 2
U 1x1
x2
Utility
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
x2
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
x2
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
x2
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
x2
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
x2
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence
x1
Préférences globalement saturables
Un panier strictement préféré à tout autre panier est un point de saturation.
A quoi ressemble des courbes d’indifférence de préférences faisant l’objet de saturation?
Courbes d’indifférence présentant de la saturation
globalexx22
xx11
PointPointDe De SatSaturationuration
Courbes d’indifférence présentant de la saturation globale
xx22
xx11
MieuxMieuxm
ieux
mieux
mie
ux
mie
ux
pointpoint de de saturationsaturation
Courbes d’indifférence présentant de la saturation globale
xx22
xx11
mieuxmieuxMieux
Mieux
mie
ux
mie
ux
PointPointDeDeSatSaturationuration
Préférences localement saturables
I(z1,z2)
z1
z2 2mieux
Préférences non-saturables
est localement non-saturable si pour tout panier z et pour nombre réel positif , il existe un panier y dans C strictement préféré à z tel que, pour tout bien j, yj-zj<
Deux propriétés des préférences: 1-Monotonie
Monotonicité croissante faible: Augmenter la quantité d’un bien sans réduire celle des autres biens ne fait pas de mal et augmenter strictement la quantité de tous les biens fait du bien
Monotonie croissante stricte: Augmenter strictement la quantité d’un bien sans réduire celle des autres biens fait du bien.
Exemple: préférence (Léontieff) pour des Compléments parfaits– Si un consommateur consomme
toujours les biens 1 et 2 dans des proportions fixes (e.g. un pour un), alors les biens sont des compléments parfaits et seul le nombre de paires d’unités des deux biens détermine le classement des paniers dans l’échelle de préférence du consommateur
Courbes d’indifférence pour des compléments parfaits
xx22
xx11
I1
4545oo
55
99
55 99
Chacun des paniers (5,5), (5,9) et (9,5) contiennent5 paires; ils sont donc tous équivalents.
Courbes d’indifférence pour des compléments parfaits
xx22
xx11
I2
I1
4545oo
55
99
55 99
Puisque chacun des paniers (5,5), (5,9) et (9,5) contient 5 paires, chacun est jugé moins préférable que le panier (9,9) qui contient 9 paires.
Les préférences Léontieff sont faiblement monotones croissantes
mais ne sont pas strictement monotones croissantes
Fonctions d’Utilité pour les préférences Léontieff
U(x1,x2) = min{x1,x2}.
V(x1,x2) = (min{x1,x2})2
W(x1,x2) = -1/(min{x1,x2})
Courbes d’Indifférence Léontieffx2
x1
45o
min{x1,x2} = 8
3 5 8
35
8
min{x1,x2} = 5
min{x1,x2} = 3
U(x1,x2) = min{x1,x2}
2: convexité
Convexité: un mélange de paniers est (faiblement) préféré à chacun des deux paniers du mélange si ceux-ci sont équivalents.
Ex: Le mélange 50-50 des paniers x and y (noté z) est z = (0.5)x + (0.5)y.z doit être faiblement préféré à x ou y si x et y sont équivalents.
Convexité.
xx22
yy22
xx22+y+y22
22
xx11 yy11xx11+y+y11
22
x
y
z = x+y
2Est stEst strictrictement ement prprééfféérré à é à x x etet y. y.
Convexité.
xx22
yy22
xx11 yy11
x
y
z =(tx1+(1-t)y1, tx2+(1-t)y2)est préféré à x et y pour tous 0 < t < 1.
Convexité stricte
xx22
yy22
xx11 yy11
x
y
Préférences sont strictement convexes si tous les mélanges z sont strictement préférés aux paniers x and y.
z
Convexité faible.
x’
y’
z’
Préférences sont faiblement convexes si le mélange z is faiblement préféré à deux paniers indifférents.
xz
y
Exemple; Préférences pour des substituts parfaits
– Si un consommateur considère toujours les unités de biens 1 et 2 comme parfaitement interchangeables, alors les deux biens sont des substituts parfaits et seulement la quantité totale des deux biens contenue dans les paniers détermine le classement relatif de ces paniers dans l’échelle de préférence du consommateur .
Courbes d’indifférence pour des substituts parfaits
xx22
xx1188
88
1515
1515pentespentes constant constanteses àà - 1. - 1.
I2
I1
Paniers surPaniers sur I I22 contiennent unecontiennent une
quantité totale dequantité totale de 15 unit 15 unitéés s etet sont strictement sont strictement prprééfféérrés à és à tous les paniers surtous les paniers sur I I11, , qui ne qui ne
contiennent quecontiennent que 8 unit 8 unitééss
Les préférences pour des substituts parfaits sont faiblement
convexes mais ne sont pas strictement convexes
Fonctions d’utilité représentant des préférences pour des
substituts parfaits
U(x1,x2) = x1 + x2.
V(x1,x2) = (x1 + x2)1/2
W(x1,x2) = ln(x1 + x2).
Carte d’indifférence de préférences pour des Substituts parfaits
5
5
9
9
13
13
x1
x2
x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9
x1 + x2 = 13
U(x1,x2) = x1 + x2.
Préférences non convexes
xx22
yy22
xx11 yy11
zz
mieux LeLe m mélangeélange zz
estest jugé moins jugé moins préférablepréférablequeque xx ouou yy..
Autres Préférences Non-Convexes
xx22
yy22
xx11 yy11
zz
mieux
Le Le mmélangeélange z zest jugé moinsest jugé moins prprééfféérrableablequeque x x ouou y. y.
Pentes de courbes d’indifférences
La pente d’une courbe d’indifférence évaluée à un panier quelconque (x1,…xn) est le taux marginal de substitution (TMS (x1,…xn)).
Comment calculer ce TMS ?
Taux Marginal de Substitution
xx22
xx11
x’x’
TTMS MS àà x’ x’ est la penteest la pente dede lalacourbe d’courbe d’indiffindifféérence rence àà x’ x’
Taux Marginal de Substitution
xx22
xx11
TMTMS S àà x’ x’ estest lim { lim {xx22//xx11}}
xx11 0 0
= dx= dx22/dx/dx11 àà x’ x’xx22
xx11
x’x’
Taux Marginal de Substitution
xx22
x1
dxdx22
dxdx11
dxdx22 = = TTMS MS dx dx11 doncdonc, , àà xx’, ’,
TTMS MS estest lle e tauxtaux a au quelu quel lele consconsoommmateurmateur estest disposé à échanger du disposé à échanger du bienbien 2 2 pour obtenir une pour obtenir une « petite » quantité de bien« petite » quantité de bien 1.1.
x’x’
Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites
Dans un univers à deux biens (où on peut représenter toute courbe d’indifférence I(z) dans le plan à 2 dimensions), la courbe en question est caractérisée, si les préférences sont continues et monotones croissantes, par l’équation
uzxzU u ))(,( 121
Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites
Sous ces deux hypothèses, la relation est
fonctionnelle (elle associe à toute quantité de bien 1 l’unique quantité de bien 2 qui donne au consommateur le même niveau d’utilité que z)
:2ux
Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas
dérivable)
1
1221
)(),(
x
zxzzTMS
u
1
12
2
121
1
121 )())(,())(,(0
x
zx
x
zxzU
x
zxzU uuu
Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas
dérivable)
2
121
1
121
1
12
))(,(
))(,()(
xzxzU
xzxzU
x
zxu
u
u
Utilités Marginales
Marginal signifie “infinitésimal ». L’utilité marginale du bien i
s’interprète comme la variation d’utilité qui résulte d’un « petit » changement dans la consommation de bien i i.e.
i
i x
UUM
La valeur de l’utilité marginale dépend de la fonction d’utilité utilisée pour
représenter les préférences Ex: si je mesure les préférences par
la fonction d’utilité
U(x1,x2) = x1a x2
b
ba xaxx
UUM 2
11
11
La valeur de l’utilité marginale dépend de la fonction d’utilité utilisée pour
représenter les préférences Mais si je mesure les mêmes
préférences par la fonction d’utilité
U(x1,x2) = alnx1 + blnx2
111 x
a
x
UUM
Le taux marginal de substitution ne dépend pas de la représentation
numérique des préférences Si V = f(U) où f est une fonction monotone
croissante, alors
2
1
2
1
/)('
/)(
/
/
xUUf
xUUf
xV
xVTMS
U xU x//
.12
Donc la valeur du TMS n’est pas affectéepar la transformation de la fonction d’utilité au moyen d’une fonction monotone croissante.
TMS & Courbes d’indifférences
mieux
mieux
pirepire
bienbien 2 2
Bien Bien 11
22 biensbiensune courbe une courbe d’indifférence à d’indifférence à pente négativepente négative
TTMS < 0.MS < 0.
TMS & Courbes d’Indifférences
mieux
mieux
pirepire
bienbien 2 2
malmal 1 1
I bien et 1 « mal »I bien et 1 « mal » une courbe une courbe d’d’indiffindifféérence rence à à pente positivepente positiveTTMS > 0.MS > 0.
TMS & Courbes d’Indifférencebienbien 2 2
bienbien 1 1
TMTMS = - 5S = - 5
TTMS = - 0.5MS = - 0.5
TTMS MS augmente avecaugmente avec x x11
((devientdevient moins moins nnéégatigatif)f) sisi les les prprééfféérences rences sontsont strictstrictementement convex convexes et es et monotones croissantesmonotones croissantes..
Exemples de préférences (n=2) (quasi-linéarité)
Une fonction d’utilité de la forme
U(x1,x2) = f(x1) + x2
est linéaire par rapport à x2 et est appelée quasi-linéaire.
E.g. U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.
Carte d’indifférence de préférences Quasi-linéaires
x2
x1
Les courbes sont des copies par translation verticale des autres.
TMS pour les préférences quasi-linéaires
U(x1,x2) = f(x1) + x2.
donc
Ux
f x1
1 ( ) Ux2
1
).(/
/1
2
1
1
2 xfxU
xU
xd
xdTMS
TMS pour préférences quasi-linéaires
TMS = - f(x1) ne dépend pas de x2 Donc la pente d’une courbe d’indifférence associée à une préférence quasi-linéaire est constante le long de toute ligne verticale (sur laquelle x1 est constante).
TMS pour des préférences quasi-linéaires
x2
x1
chaque courbe est une translation verticale d’une autre.
TMS est constantle long de toute verticale ( x1 constant).
TMS =- f(x1’)
TMS = -f(x1”)
x1’ x1”
Exemples de préférences (n=2) (Cobb-Douglas)
Une fonction d’utilité de la forme
U(x1,x2) = x1a x2
b
avec a > 0 et b > 0 représente des préférences dites Cobb-Douglas
E.g. U(x1,x2) = x11/2 x2
1/2 (a = b = 1/2) V(x1,x2) = x1 x2
3 (a = 1, b = 3)
Carte d’indifférence Cobb-Douglas x2
x1
Les courbes sont des Hyperboles asymptotiques aux axes