Commande de systèmes linéaires

M. Chadli

École Supérieure d’Ingénieurs en Électrotechnique et Électronique (ESIEE)

Version Octobre 2006 (draft)

Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli

Plan du coursIntroduction à la représentation d’étatReprésentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état

Forme de compagne pour la commandeForme modaleForme cascade

Commande dans l’espace d’étatObservateur CompletObservateur réduitCommande basée sur observateurCommande découplante

Introduction à la représentation d’état

Exemple électrique:

( )( ) ( )

dv tC i t i t

dtdi t

L Ri t v tdt

= − +

( )i t

2 équations différentielles:

L’idée de base des représentations d’état est que le futur d’un système dépend de son passé, de son présent et de ses entrées : le futur peut alors être décrit à partir d’un ensemble de variables bien choisies.

L’analyse a lieu dans le domaine temporel (au lieu du domaine fréquentiel du la représentation de Laplace)

La notion d’état

On définit l’état d’un système à l’instant t0 comme l’information sur le passé nécessaire et suffisante pour déterminer l’évolution ultérieure du système quand on connaît, pour t > t0, les signaux d’entrée et les équations du système.

Cas de l’exemple 1:

L’information nécessaire et suffisante pour résoudre le système d’équations 1 est liée aux conditions initiales : vc(t0) et iL(t0).

Par conséquent, un ensemble possible de variables d’étatest : [vc(t) , iL(t)]

( ) ( ), ( ) ( )

( ) ( )c

v t x ti t u t

i t x t⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

On pose:

( ) 1 1( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

dx tx t u t

dt C Cdx t Rx t x t

dt L L

= − +

= −équation d’état:

Si l’on suppose de plus que l’on mesure la tension aux bornes de la résistance, l’équation de sortie s’écrit :

2( ) ( ) ( )Rv t y t Rx t= =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu ty t Cx t Du t

= += +

&Représentation d’état:

Avec: D=0,…

Remarques: •La représentation d’état n’est pas unique pour un même système physique.•le système (A, B, C, D) est dit Linéaire Temps-Invariant (LTI)

Définition: La représentation d’état d’un système dynamique linéaire continu Σ est :

équation d’étatéquation de mesure

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= += +

A: matrice d’état, B: matrice de commande(d’entrée), C: matrice de mesure (sortie), D: matrice de transfert directe

x(t): vecteur d’état, u(t): vecteur d’entrée, y(t): vecteur de sortie

Équation de transition:( ) ( )0

étatà l'instant t régime libre(u(t)=0)contribution deu(t)

( ) ( ) ( )t t ttA A

tx t e x t e Bu d

ττ τ

− −

= + ∫Preuve:

On montre que eAt converge si et seulement si les valeurs propres de la matrice A sont à partie réelle strictement négative : condition de stabilité

Calcul de la matrice de transition- Par triangularisation

Soit A une matrice diagonalisable et P une matrice de passage:

D P AP−

λ⎡ ⎤⎢ ⎥λ⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥

λ⎣ ⎦

La matrice de transition est :

Calcul de la matrice de transition- Par triangularisation

tAt Dt

ee Pe P

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

La transformée de Laplace :

Calcul de la matrice de transition- Par T. de Laplace

( ) 11Ate TL pI A −− ⎡ ⎤= −⎣ ⎦

Il suffit alors d’inverser la matrice (pI − A), ce qui conduit à une matrice rationnelle en p dont on calcule la transformée de Laplace élément par élément.

0 1 00 0 11 3 3

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Exemple :

( )( )

3 3 3 11 1 3

pI A p p pp

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥

− = −⎢ ⎥− ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Transformée de Laplace inverse:

1 12 2

1 13 22 2

t t t t t t

At t t t t t t

t t t t t t t

e te t e te t e t e

e t e e te t e te t e

te t e te t e e te t e

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Dans le cas d’un système discret:

équation d’étatéquation de mesure

( 1) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x k Ax k Bu ky k Cx k Du k

+ = += +

Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état

Équation d’état – fonction de transfert:

Les systèmes LTI sont généralement décrits par :

fonction de transfert (transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle).

représentations d’état

Objectif : établir le passage d’une représentation àl’autre pour transposer les propriétés du domaine de Laplace au cas des représentations d’état.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= += +

TL (système SISO, CI=0):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

pX p AX p BU pY p CX p DU p

= += +

Fonction de transfert: H(p)= Y(p)/U(p)

1( ) ( )H p C pI A B D−= − +

i., e. [ ]( ) ( )( )

TC cof pI A B DQ pH p

Q p− +

( ) det( )Q p pI A= −avec:

Remarque: Les pôles de la fonction de transfert correspondent aux zéros de det(pI-A) (polynôme caractéristique de la matrice d’état A) : les pôles de H(p)sont les valeurs propres de la matrice d’état A.

Formes standard de représentation d’étatFormes standard1 1

1 1 01 1

...( ) ( )( )( ) ( )...

m mm m

b p b p b p bS p N pH pU p D pp a p a p a

−−

+ + + += = =

+ + + +

11 1 1

( ) 1 1( )( ) ( )...n n

S pH p

U p D pp a p a p a−−

= = =+ + + +

Objectif: Décomposition de la FT en sous-systèmes élémentaires : des systèmes d’ordre 1 mis en série ou en parallèle.

Formes standard – forme compagne pour la commande

( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 1 0 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )n n

ns t a s t a s t a s t u t−−+ + + + =

On a: 1( ) ( ) ( )S p N p S p=

( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 1 0 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )m m

m ms t b s t b s t b s t b s t−−= + + + +

Avec : ( ) ( ) ( )1 2 11 1 1 1( ) ( ), ( ), ...., ( ), ( )

Tn nx t s t s t s t s t− −⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Formes standard – forme compagne pour la commande

[ ]0 1 2 1

0 1 0 0 0

( ) 0 0 1 0 ( ) ( )00 0 0 1 0

( ) ( )n n

dx t x t u tdt

a a a a

s t b b b x t− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎣ ⎦⎣ ⎦

L L L L L M

Formes standard – forme modale

0 1 1( ) .... n

p p p−

α αα= + + +

+β +β +β

Décomposition de H(p) en élément simple (ordre n, pôles simple):

Le système peut être vu comme une mise en parallèle de système de 1er ordre.

U(p)S(p)

On choisit comme variable d’état les sorties des systèmes élémentaires

0 1 2 1

0 0 0 10 0 0 1

( ) ( ) ( )0 0 00 0 0 1

( ) ( )

dx t x t u tdt

s t x t

−β⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β ⎣ ⎦⎣ ⎦

= α α α α

L L L L M M

[ ]0 1 1( ) ( ), ( ), ...., ( ) Tnx t x t x t x t−=

Remarques:

• A est diagonale ; les éléments diagonaux correspondent aux pôles du système (H(p)).• Si le système a des pôles multiples, A est diagonale par blocs.• La présence d’un numérateur modifie les pondérations dans la décomposition en éléments simples; seules les matrices C et D sont affectées.

Formes standard – forme cascade

( )( ) ( )0 1 1

1( )... n

H pp p p −

=+β +β +β

Le système peut être vu comme une mise en série de système de 1er ordre.

U(p) S(p)β0 β1 βn-1

[ ]0 1 1( ) ( ), ( ), ...., ( ) Tnx t x t x t x t−=

1 0 0 00 1 0 0 0

( ) ( ) ( )0 0 1 00 0 0 1

( ) 1 0 0 0 ( )

ndx t x t u tdt

s t x t

−β⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β ⎣ ⎦⎣ ⎦

L L L L M M

Remarques:

• Si le numérateur n’est pas constant, on perd la forme cascade.• Le traitement des pôles multiples ne pose aucune difficulté. La matrice d’état garde une forme similaire.

Commande dans l’espace d’état

Équation d’état:

m entrées, p sorties, n équations d’état linéaires.

( ) ( ) ( )( ) ( )

x t Ax t Bu ty t Cx t

Commande par retour d’état linéaire

Structure :

Commande

( ) ( ) ( )u t Kx t Ne t= − +

Ne t( ) + & ( )x t A x(t)+ B u(t)=u t( ) C y t( )

Équation en boucle fermée :

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

x t A BK x t BNe ty t Cx t

= − +

Par conséquent, la matrice d’état du système en boucle fermée vaut : (A-BK).

La dynamique du système bouclé est donc fixée par les valeurs propres de la matrice (A-BK); Ces valeurs propres sont les racines de l’équation caractéristique :

det(pI - (A - BK)) = 0

Commande modale

On appelle commande modale la commande qui consiste à déterminer une matrice de retour d’état K telle que les valeurs propres de la matrice (A - BK)soient placées en des positions préfixées.

Existence d’une solution ?: Commandabilité

Commandabilité

La question que l’on se pose est la suivante :

peut-on déterminer une commande admissible transférant le système d’un état initial x(0) à un état final x(t) ?

Commandabilité

Théorème (critère de Kalman):Un système LTI : dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)où est commandable ssi la matrice de commandabilité M est de rang n:

nM B AB A B

rang M n

−⎡ ⎤= ⎣ ⎦=

. .,n n n mA B∈ ∈R R

CommandabilitéPreuve: On suppose sans perte de généralités que :t0=0, x(tf)=0La solution de l’équation d’état est :

( )( ) (0) ( )t

At A t

tx t e x e Bu dτ τ τ−= + ∫

( )( ) 0 (0) ( )f

f ftAt A t

x t e x e Bu dτ τ τ−= = + ∫i.e.

(0) ( )ft A

tx e Bu dτ τ τ−= −∫soit

CommandabilitéPreuve-suite-:

(0) ( )f

x A B u d

α τ τ τ−

= −∑ ∫

e Aτ α τ−

11 1 1(0)

nx B AB A B β β β−−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

on sait que (théorème de Cayley-Hamilton) :

d’où

Exemple 1:

0 1 1( ) ( ) ( )2 3 2

( ) 1 0 ( )

dx t x t u tdt

y t x t

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ = +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤⎪ =⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎩

Le système est-il commandable ?

Exemple 2:soit le système à bacs:

( ) 1 1 ( ) 1( )

00 1( ) ( )

x t x tu t

x t x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡− ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

avec 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )x t h t x t h t= =

Le système est-il commandable ?

Exemple 2:

Physiquement, il est clair que le niveau du bac 2 ne peut être modifié par la commande : système non commandable.

Commande par retour d’état linéaireCalcul de la commande dans le cas d’un système sous forme compagne pour la commande

0 1 2 1

0 1 0 0 0

( ) 0 0 1 0 ( ) ( )00 0 0 1 0

dx t x t u tdt

a a a a− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎣ ⎦⎣ ⎦

L L L L L M

Calculer la matrice K=[k0, k1, …., kn-1] de retour d’état telle que la matrice A-BK ait comme valeurs propres :

(λ0, λ1, …., λn-1)

0 0 1 1 2 2 1 1

0 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

n n n n

a k a k a k a k− − − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − − − − −⎣ ⎦

L L L L L

Calcul de la commande dans le cas d’un système sous forme compagne pour la commande

La contrainte modale impose le dénominateur de la fonction de transfert du système en boucle fermée:

( )( ) ( ) ' 1 ' '0 1 1 1 1 0( ) .... ...n n

n nD p p p p p a p a p a−− −= − λ −λ −λ = + + + +

0 0 1 1 2 2 1 1

0 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

n n n n

a k a k a k a k− − − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − − − − −⎣ ⎦

L L L L L

' ' ' '0 1 2 1

0 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

n na a a a− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

L L L L L

'0 0 0

'1 1 1

'1 1 1n n n

a k a− − −

⎧ + =⎪

+ =⎪⎨⎪⎪ + =⎩

càd résoudre le système de n équations à n inconnues :

Exemple :

A =− − −

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

0 1 00 0 11 5 6

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

Calculer la matrice K de retour d’état telle que la matrice A-BK ait comme valeurs propres :

2 4 , 10s j s= − ± = −

Commande par retour d’état linéaireÉléments de réponse

0 1 00 0 1

1 5 6A BK

⎡ ⎤⎢ ⎥− = ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦

( )( )( ) 3 ' 2 ' '1 1 0( ) 2 4 2 4 10 nD p p j p j p p a p a p a−= + − + + + = + + +

⎧ + =⎪⎪ + =⎨⎪ + =⎪⎩

Commande par retour d’état linéaireCas général

Dans le cas général, le calcul du retour d’état n’est pas aussi simple que dans le cas de la forme compagne pour la commande.

Les étapes du calcul de la commande sont alors les suivantes :

Commande par retour d’état linéaireCas général

1. Calcul de la matrice (A - BK)2. Calcul du polynôme caractéristique de (A - BK). Il vaut

det(pI - (A - BK)).3. Identification du polynôme caractéristique de (A - BK)

avec le dénominateur de la fonction de transfert de la boucle fermée :

( )( ) ( )( ) ( )0 1 1det .... npI A BK p p p −− − = −λ −λ −λ

(λ0, λ1, …., λn-1) sont les pôles que l’on veut imposer.

Commande par retour d’état linéaireCalcul de la matrice de pré-filtre

Ne t( ) + & ( )x t A x(t)+ B u(t)=u t( ) C y t( )

Cherchons la matrice N telle que :

lim ( ) ( )t

y t e t→∞

( )0 ( ) ( )( ) ( )

A BK x t BNe ty t Cx t

⎧ = − +⎪⎨

=⎪⎩

Les équations d’état et de sortie en régime statique s’écrivent :

( )( )

( ) ( )

x t A BK BNe t

y t C A BK BNe t

⎧ = − −⎪⎨

= −⎪⎩i. e.

( )( ) 11N C A BK B−−= − −d’où

( )( ) 11N C A BK B−−= − −

Exemple: Réservoir de mélangeEau froide

Eau chaudeFH,TH

SortieF(h),T

À contrôler:

• Température T

• Hauteur h

Commande:

• Débit eau froide FC

• Débit eau chaude FH

Exemple: Réservoir de mélange

Équation d’état

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )

H s C s

C s C s

T T T TA h A h

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Paramètres du système :K = 1 m2.5/min, hs = 4 m, Ac = 2 m2

TH = 65 °C, TC = 15 °C, TS = 35 °C

1 12 2

3.75 2.5B

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Calcul de M :

Rang de M = 2.

0.5 0.5 0.0625 0.0625

3.75 2.5 0.9375 0.625

M B AB⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ − − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

» M = ctrb(A,B);

» r = rank(M);

Posant K :

Alors :

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 1 1 18 2 2 2 211 21 12 22

15 5 1 15 54 2 4 4 211 21 12 22

k k k kA BK

k k k k

⎡ ⎤− + + +⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥− − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

Élimination de l’interaction

Il suffit que A+BK soit diagonal, donc :

Il faut donc que :

1 12 212 22

15 54 211 21

3221 11

En remplaçant, on trouve que :1 58 4 11

1 254 4 22

⎡ ⎤− +⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

En ajustant les gains k11 et k22, on modifie la dynamique du système.

Placement des pôles

Objectif: on désire un constante de temps de 2 min pour le niveau et de 5 min pour la température.

L’équation caractéristique de A+BK est :

D’où :

[ ]( ) ( )( )( )( )

1 5 1 258 4 4 411 22

det sI A BK s k s k

− + = + − + +

3 110 12511 12

1 9125 2022 21

= − =⇒

= − = −

Synthèse d’observateur

Principe

Il arrive souvent que toutes les variables d’état d’un système ne soient pas accessibles à la mesure. Dans ce cas, l’implémentation directe de la commande u=Kx(t) est impossible. L’idée est donc de reconstruire l’état x(t) à partir des informations disponibles, c’est-à-dire la sortie y(t) et la commande u(t). On utilise pour cela un système dynamique permettant d’approximer x(t) : un observateur.On parle également de reconstructeur, d’estimateur, de filtre...

Définition: On appelle observateur du système LTI un opérateur qui génère une approximation de la variable z(t) = Tx(t) sous la forme :

où u(t) est la commande et y(t) la sortie.

ˆ( )z t

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )z t Fz t Gy t Ju t= + +&

Si z(t) et x(t) ont même dimension, l’observateur est dit complet (tout l’état est estimé). On choisit T = I (z=x) et

Si dim(z) < dim(x) (par exemple: dim(z)=dim(x)-dim(y)),alors l’observateur est dit d’ordre réduit.

ˆˆ( ) ( )z t x t=

( )z tObjectif: Assurer la convergence de vers ˆ( )z t

ˆlim ( ) ( ) ( ), ( )otz t z t u t x t

→∞= ∀ ∀

lim ( ) 0 ( ), ( )ote t u t x t

→∞= ∀ ∀

Avec l’erreur d’estimationˆ( ) ( ) ( )e t z t z t= −

ObservabilitéThéorème (critère de Kalman):Un système LTI :

où est observable ssi la Matrice d’observabilité O est de rang n:

CA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. .,n n p nA C∈ ∈R R

( ) ( ) ( )( ) ( )

= +⎧⎨ =⎩

( )rang O n=

Exemple

soit le système à bacs:

( ) 1 1 ( ) 1( )

02 1( ) ( )

( )( ) 1 0

x t x tu t

x t x t

x ty t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Le système est-il observable?

Synthèse d’observateur complet

( ) ( ) ( )( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

z t Fz t Gy t Ju t

= +⎧⎨ =⎩

Observateur complet

L’erreur d’estimation est : ˆ( ) ( ) ( )e t x t z t= −

( ) ( )( ) ( ) ( )e t A GC F x t B J U Fe t= − − + − +&

Observateur completOn veut une estimation sans biais, c’est-à-dire :

( ) 0 ( ), ( )e t u t x t= ∀ ∀&

Ce qui équivaut à :

A GC F F A GCB J J BF stable A GC stable

⎧− − = = −⎧⎪⎪ − = ⇔ =⎨ ⎨

⎪ ⎪ −⎩ ⎩

Observateur complet

Par conséquent:

( )ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )x t Ax t Bu t G y t y ty t Cx t

⎧ = + + −⎪⎨

=⎪⎩

&(observateur)

( )( ) ( )e t A GC e t= −&(erreur d’estimation)

G est appelé le gain de l’observateur.

Observateur complet

Remarques

1.Les valeurs propres de la matrice A-GC sont ajustés pour que la dynamique soit beaucoup plus rapide que la dynamique du système réel.

Observateur complet

L’observateur est constitué de deux parties :

2.Un simulateur du système réel caractérisé par les matrices (A;B;C), ayant comme entrées u et y et comme sortie ŷ.

3.Un correcteur réalisant une contre-réaction fonction de l’écart entre la sortie y et son estimée ŷ. Ce correcteur permet d’assurer la convergence de l’erreur d’estimation de l’état.

Synthèse d’observateur completStructure de la commande avec synthèse d’un observateur de

Luenberger

Synthèse d’observateur réduit

Dans la partie précédente, nous avons déterminé des systèmes observateurs de même dimension que l’état du système à reconstruire (observateur complet–d’ordre plein).

Nous allons montrer que l’on peut construire des observateurs d’ordre inférieur: le reconstructeur réduit de Luenberger qui estime la partie non accessible de l’état.

Soit un système LTI où, après une permutation des variables d’état, les matrices A, B, C, et le vecteur x(t) sont de la forme :

11 12 1 1

221 22 2

( ), , ( )

A A B x tA B x t

BA A x t

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦avec:

( ) R R R. .1 1 1 1, , ,l l l l mrang C l C x B= ∈ ∈ ∈

Construction

Changement de variable:

Construction

( ) ( )x t Tx t=

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

On obtient:( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t

⎧⎪ = +⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎩

Construction11 12 111

2221 22

( ), , ( )

A A x tBA TAT B TB x t

x tBA A

C CT I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

Le système devient:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t A x t A x t B u t

y t x t

⎧⎪ = + +⎪⎪⎪⎪ = + +⎨⎪⎪⎪ =⎪⎪⎩

Construction

la sortie correspond aux l premières composantes d’état: elles n’ont donc pas à être reconstruites.la 1ère équation est interprétée comme une équation de mesure dépendante de x2(t):

2 21 22 2 2

11 1 12 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t A y t A x t B u t

t y t A x t A x t B u tξ

⎧⎪ = + +⎪⎪⎨⎪ = − = +⎪⎪⎩

Construction

On peut proposer comme reconstructeur de , le vecteur défini par :

2( )x t(̂ )v t

( )21 22 2

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( )

) )v t A y t A v t B u t L t t

t A v t B u t

ξ+ −⎧⎪ = + +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎪⎩Inconvénient: Cette structure nécessite, pour élaborer la mesure , la dérivation de la sortie réelle y(t).11 1( ) ( ) ( )t y t A x tξ = −

Solution

Posons : ˆ(̂ ) ( ) ( )z t v t Ly t= −

On obtient :

( )21 11 122 2 2 1ˆ(̂ ) ( ) ( ) ( ˆ( ) ( )) ( )L A y tz t A y t A v t B A vu t B u tt= + + ++ −

Observateur d’ordre réduit:

ˆ ˆ( ) ( ) ( )v t z t Ly t= +Sachant que

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )z t Mz t Nu t Py t= + +On obtient :

22 12 2 1

21 22 11 12

, ,M A LA N B LB

P A A L LA LA L

= − = −

= + − −

Cette équation d’état définit un observateur réduit (d’ordre n-l)

ˆ ˆ( ) ( ) ( )v t z t Ly t= +La variable étant reconstruite par :2( )x t

où L est la matrice ((n-l) × l) de gain de cet observateur.

Notons l’erreur d’observation : 2 ˆ( ) ( ) ( )e t x t v t= −

22 12( ) ( ),e t Me t M A LA= = −Il vient :

Le gain de l’observateur L est calculé pour que

22 12M A LA= − soit stable

Théorème: Si est observable, alors est observable.

22 12( , )A A( , )A C

Ainsi, lorsque la paire est observable les valeurs propres de M peuvent être fixées arbitrairement par un choix convenable de L .

22 12( , )A A

Structure finale:

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )z t Mz t Nu t Py t= + +

22 12 2 1

21 22 11 12

, ,M A A N B B

P A A A A

L L L L

= − = −

= + − −

L’état estimé est:

( )11 1 2 2

ˆ ˆ( ) ( ) ( )

x t C I C L y t C z t

x t z t Ly t

− ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦= −

Commande basée sur observateur

Principe

( ) ( ) ( )( ) ( )

= +⎧⎨ =⎩

( )ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t G y t y t= + + −&K

ˆ( )x t

( ) ( ) ( )( ) ( )

= +⎧⎨ =⎩

&Soit un système LTI:

Son observateur d’état:

( )ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )x t Ax t Bu t G y t y ty t Cx t

⎧ = + + −⎪⎨

=⎪⎩

( )( ) ( )e t A GC e t= −&

Erreur d’estimation :ˆ( ) ( ) ( )e t x t x t= −

Loi de commande: ˆ( ) ( ) ( )u t Kx t v t= − +

Système en BF:

( ) ( )( )

( ) 0 ( ) 0x t A BK BK x t B

v te t A GC e t

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Les valeurs propres du système bouclé sont les valeurs propres de (A - BK), i.e. celles relatives à la commande du système plus les valeurs propres de (A - GC), i.e. celles de l’observateur.

Principe de séparation : on peut concevoir de façon indépendante le régulateur et l’observateur.

Remarques:

La stabilité du système bouclé n’est pas affectée par la présence de l’observateur si celui-ci est sans biais (i.e. tel que (A - GC) soit stable).

Pour que le comportement du système bouclé ne soit pas modifié de façon notable par la présence de l’observateur, il suffit que la reconstruction de l’état soit rapide devant la dynamique du système bouclé: pôles de (A - GC) de grand module devant ceux de (A - BK).

Commande découplante

Objectif:

Chercher un correcteur qui découple totalement le système LTI multientrée-multisortie (MIMO) au sens entrées-sorties, c’est-à-dire conduisant à une matrice de transfert en boucle fermée diagonale.

Le nouveau système, vu entre les entrées ui(t) et les sorties yi(t) du processus, est alors équivalent à msous-systèmes SISO (monoentrée-monosortie) découplés.

Indices caractéristiques

L’indice caractéristique, associé à une sortie yi(t) , est le nombre de fois qu’il faut dériver cette sortie pour qu’une entrée, au moins, apparaisse dans l’expression de cette dérivée.

( ) ( )( ) ( ) ( )

y t C x ty t C Ax t C Bu t

avec Ci est la ième ligne de C associée à la sortie yi(t).

Indices caractéristiques

.... 0

( ) ( ) ( )

di i i

did d d

C B C AB C A B

y t C A x t C A Bu t

= = = =

Si CiB ≠ 0 l’entrée apparaît explicitement dans l’expression de yi et l’indice caractéristique est égal à 1. Si CiB = 0 on continue à dériver. D’une manière générale, l’indice di est donc défini par :

1 1 1( ) 11 1 1

( )( ) ( )

d d dm m m

y t C A C A Bx t u t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦= ∆ + ∆

Supposons qu’on ait déterminé les indices caractéristiques associés à chacune des sorties et considérons l’ensemble des équations sous la forme:

1 10( ) ( ) ( )u t v t x t− −= ∆ − ∆ ∆

Une condition nécessaire et suffisante pour que le système soit découplable par retour d’état statique est que la matrice ∆ soit inversible:

1( )1 1

( ) ( )

( )( )m

y t v t

v ty t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

M MOn obtient:

−∆ ∆

+ ( ) ( ) ( )( ) ( )

= +⎧⎨ =⎩

&1−∆

mv 1mdp

Systèmes bouclés

Remarque : dim(u)=dim(y)

Exemple 1: soit un système LTI défini par

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 1C

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

avec : dim(u)=dim(y)=2 et dim(x)=3

Déterminer la commande découplante

Solution

1( ) 1 0 0 ( )y t x t⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦• 1( ) 1 0 0 ( ) 1 1 ( )y t x t u t⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2( ) 0 1 3 ( )y t x t⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

2( ) 0 5 9 ( ) 1 1 ( )y t x t u t⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2( ) 0 0 1 ( )y t x t⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦•

1 21, 2d d= =donc:

⎡ ⎤⎢ ⎥∆ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Solutiond’où: 0

⎡ ⎤⎢ ⎥∆ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 0.5 2 4.51( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0.5 3 4.52

u t v t x t v t x t− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∆ − ∆ ∆ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

loi de commande:

Système bouclé:

( ) ( )

y t v t

⎧ =⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎩

( ) 1( )( ) 1( )

y pv p py pv p p

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⇒ ⎨⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩

1 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t x t x t u t

x t x t u t

y t x t

⎧ = − + +⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎪⎪ =⎪⎪⎩

Commande découplante?

Si on prend

( ) ( )

y t v t

⎧ =⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎩

( ) 1( )( ) 1( )

y pv p py pv p p

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⇒ ⎨⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩

1 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

u t x t x t v t

u t x t v t

⎧ = − +⎪⎪⎪⎨⎪ = − +⎪⎪⎩

On obtient

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 1 0C

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

avec : dim(u)=dim(y)=2 et dim(x)=3

Déterminer la commande découplante

Commande par retour de sortie statique

Bibliographie

1. André Fossard. Systèmes multientrées-multisorties. Techniques de l’ingénieur, traité Informatique

2. Pierre Borne et al. Commande et optimisation des processus. Editions Technip

3. F. Rotella. Note de cours.4. D. Arzelier. Note de cours «Représentation et

analyse des systèmes linéaires»

Commande de systèmes linéaires

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