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Commande de systèmes linéaires
M. Chadli
École Supérieure d’Ingénieurs en Électrotechnique et Électronique (ESIEE)
Version Octobre 2006 (draft)
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Plan du coursIntroduction à la représentation d’étatReprésentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Forme de compagne pour la commandeForme modaleForme cascade
Commande dans l’espace d’étatObservateur CompletObservateur réduitCommande basée sur observateurCommande découplante
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Introduction à la représentation d’état
Exemple électrique:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
cL
LL c
dv tC i t i t
dtdi t
L Ri t v tdt
= −
= − +
( )i t
2 équations différentielles:
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Introduction à la représentation d’état
L’idée de base des représentations d’état est que le futur d’un système dépend de son passé, de son présent et de ses entrées : le futur peut alors être décrit à partir d’un ensemble de variables bien choisies.
L’analyse a lieu dans le domaine temporel (au lieu du domaine fréquentiel du la représentation de Laplace)
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Introduction à la représentation d’état
La notion d’état
On définit l’état d’un système à l’instant t0 comme l’information sur le passé nécessaire et suffisante pour déterminer l’évolution ultérieure du système quand on connaît, pour t > t0, les signaux d’entrée et les équations du système.
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Introduction à la représentation d’état
Cas de l’exemple 1:
L’information nécessaire et suffisante pour résoudre le système d’équations 1 est liée aux conditions initiales : vc(t0) et iL(t0).
Par conséquent, un ensemble possible de variables d’étatest : [vc(t) , iL(t)]
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Introduction à la représentation d’état
1
2
( ) ( ), ( ) ( )
( ) ( )c
L
v t x ti t u t
i t x t⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
On pose:
12
21 2
( ) 1 1( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )
dx tx t u t
dt C Cdx t Rx t x t
dt L L
= − +
= −équation d’état:
Si l’on suppose de plus que l’on mesure la tension aux bornes de la résistance, l’équation de sortie s’écrit :
2( ) ( ) ( )Rv t y t Rx t= =
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Introduction à la représentation d’état
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu ty t Cx t Du t
= += +
&Représentation d’état:
Avec: D=0,…
Remarques: •La représentation d’état n’est pas unique pour un même système physique.•le système (A, B, C, D) est dit Linéaire Temps-Invariant (LTI)
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Introduction à la représentation d’état
Définition: La représentation d’état d’un système dynamique linéaire continu Σ est :
équation d’étatéquation de mesure
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu ty t Cx t Du t
= += +
&
A: matrice d’état, B: matrice de commande(d’entrée), C: matrice de mesure (sortie), D: matrice de transfert directe
x(t): vecteur d’état, u(t): vecteur d’entrée, y(t): vecteur de sortie
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Introduction à la représentation d’état
Équation de transition:( ) ( )0
00
étatà l'instant t régime libre(u(t)=0)contribution deu(t)
( ) ( ) ( )t t ttA A
tx t e x t e Bu d
ττ τ
− −
= + ∫Preuve:
On montre que eAt converge si et seulement si les valeurs propres de la matrice A sont à partie réelle strictement négative : condition de stabilité
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Introduction à la représentation d’état
Calcul de la matrice de transition- Par triangularisation
Soit A une matrice diagonalisable et P une matrice de passage:
1
21
0
0 n
D P AP−
λ⎡ ⎤⎢ ⎥λ⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥
λ⎣ ⎦
O
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Introduction à la représentation d’état
La matrice de transition est :
Calcul de la matrice de transition- Par triangularisation
1
21
0
0 n
t
tAt Dt
t
e
ee Pe P
e
λ
λ−
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
O
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Introduction à la représentation d’état
La transformée de Laplace :
Calcul de la matrice de transition- Par T. de Laplace
( ) 11Ate TL pI A −− ⎡ ⎤= −⎣ ⎦
Il suffit alors d’inverser la matrice (pI − A), ce qui conduit à une matrice rationnelle en p dont on calcule la transformée de Laplace élément par élément.
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Introduction à la représentation d’état
0 1 00 0 11 3 3
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Exemple :
Calcul de la matrice de transition- Par T. de Laplace
( )( )
2
1 23
2
3 3 3 11 1 3
11 3
p p p
pI A p p pp
p p p
−
⎡ ⎤− + −⎢ ⎥
− = −⎢ ⎥− ⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
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Introduction à la représentation d’état
Transformée de Laplace inverse:
Calcul de la matrice de transition- Par T. de Laplace
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 12 2
1 12 2
1 13 22 2
t t t t t t
At t t t t t t
t t t t t t t
e te t e te t e t e
e t e e te t e te t e
te t e te t e e te t e
⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
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Introduction à la représentation d’état
Dans le cas d’un système discret:
équation d’étatéquation de mesure
( 1) ( ) ( )( ) ( ) ( )
x k Ax k Bu ky k Cx k Du k
+ = += +
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Équation d’état – fonction de transfert:
Les systèmes LTI sont généralement décrits par :
fonction de transfert (transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle).
représentations d’état
Objectif : établir le passage d’une représentation àl’autre pour transposer les propriétés du domaine de Laplace au cas des représentations d’état.
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Équation d’état – fonction de transfert:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu ty t Cx t Du t
= += +
&
TL (système SISO, CI=0):
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
pX p AX p BU pY p CX p DU p
= += +
Fonction de transfert: H(p)= Y(p)/U(p)
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Équation d’état – fonction de transfert:
1( ) ( )H p C pI A B D−= − +
i., e. [ ]( ) ( )( )
( )
TC cof pI A B DQ pH p
Q p− +
=
( ) det( )Q p pI A= −avec:
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Équation d’état – fonction de transfert:
Remarque: Les pôles de la fonction de transfert correspondent aux zéros de det(pI-A) (polynôme caractéristique de la matrice d’état A) : les pôles de H(p)sont les valeurs propres de la matrice d’état A.
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Formes standard de représentation d’étatFormes standard1 1
1 1 01 1
1 1 0
...( ) ( )( )( ) ( )...
m mm m
n nn
b p b p b p bS p N pH pU p D pp a p a p a
−−
−−
+ + + += = =
+ + + +
11 1 1
1 1 0
( ) 1 1( )( ) ( )...n n
n
S pH p
U p D pp a p a p a−−
= = =+ + + +
Objectif: Décomposition de la FT en sous-systèmes élémentaires : des systèmes d’ordre 1 mis en série ou en parallèle.
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Formes standard – forme compagne pour la commande
( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 1 0 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )n n
ns t a s t a s t a s t u t−−+ + + + =
On a: 1( ) ( ) ( )S p N p S p=
( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 1 0 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )m m
m ms t b s t b s t b s t b s t−−= + + + +
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Avec : ( ) ( ) ( )1 2 11 1 1 1( ) ( ), ( ), ...., ( ), ( )
Tn nx t s t s t s t s t− −⎡ ⎤= ⎣ ⎦
Formes standard – forme compagne pour la commande
[ ]0 1 2 1
0 1 2
0 1 0 0 0
( ) 0 0 1 0 ( ) ( )00 0 0 1 0
1
( ) ( )n n
dx t x t u tdt
a a a a
s t b b b x t− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎣ ⎦⎣ ⎦
=
L
L L L L L M
L
L
L
L L
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Formes standard – forme modale
0 11
0 1 1( ) .... n
nH p
p p p−
−
α αα= + + +
+β +β +β
Décomposition de H(p) en élément simple (ordre n, pôles simple):
Le système peut être vu comme une mise en parallèle de système de 1er ordre.
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Formes standard – forme modale
U(p)S(p)
β0
βn-1
β1
On choisit comme variable d’état les sorties des systèmes élémentaires
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
[ ]
0
1
2
1
0 1 2 1
0 0 0 10 0 0 1
( ) ( ) ( )0 0 00 0 0 1
( ) ( )
n
n
n
dx t x t u tdt
s t x t
−
−
−
−β⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β ⎣ ⎦⎣ ⎦
= α α α α
L
L
L L L L M M
L M
L
L
Formes standard – forme modale
[ ]0 1 1( ) ( ), ( ), ...., ( ) Tnx t x t x t x t−=
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Formes standard – forme modale
Remarques:
• A est diagonale ; les éléments diagonaux correspondent aux pôles du système (H(p)).• Si le système a des pôles multiples, A est diagonale par blocs.• La présence d’un numérateur modifie les pondérations dans la décomposition en éléments simples; seules les matrices C et D sont affectées.
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Formes standard – forme cascade
( )( ) ( )0 1 1
1( )... n
H pp p p −
=+β +β +β
Le système peut être vu comme une mise en série de système de 1er ordre.
U(p) S(p)β0 β1 βn-1
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Formes standard – forme cascade
[ ]0 1 1( ) ( ), ( ), ...., ( ) Tnx t x t x t x t−=
[ ]
1
2
1
0
1 0 0 00 1 0 0 0
( ) ( ) ( )0 0 1 00 0 0 1
( ) 1 0 0 0 ( )
n
ndx t x t u tdt
s t x t
−
−
−β⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β ⎣ ⎦⎣ ⎦
=
L
L L L L M M
L
L
L
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Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Formes standard – forme cascade
Remarques:
• Si le numérateur n’est pas constant, on perd la forme cascade.• Le traitement des pôles multiples ne pose aucune difficulté. La matrice d’état garde une forme similaire.
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Commande dans l’espace d’état
Équation d’état:
m entrées, p sorties, n équations d’état linéaires.
( ) ( ) ( )( ) ( )
x t Ax t Bu ty t Cx t
= +=
&
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Commande par retour d’état linéaire
Structure :
Commande
( ) ( ) ( )u t Kx t Ne t= − +
Ne t( ) + & ( )x t A x(t)+ B u(t)=u t( ) C y t( )
K
-
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Commande par retour d’état linéaire
Équation en boucle fermée :
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
x t A BK x t BNe ty t Cx t
= − +
=
&
Par conséquent, la matrice d’état du système en boucle fermée vaut : (A-BK).
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Commande par retour d’état linéaire
La dynamique du système bouclé est donc fixée par les valeurs propres de la matrice (A-BK); Ces valeurs propres sont les racines de l’équation caractéristique :
det(pI - (A - BK)) = 0
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Commande par retour d’état linéaire
Commande modale
On appelle commande modale la commande qui consiste à déterminer une matrice de retour d’état K telle que les valeurs propres de la matrice (A - BK)soient placées en des positions préfixées.
Existence d’une solution ?: Commandabilité
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Commande par retour d’état linéaire
Commandabilité
La question que l’on se pose est la suivante :
peut-on déterminer une commande admissible transférant le système d’un état initial x(0) à un état final x(t) ?
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Commande par retour d’état linéaire
Commandabilité
Théorème (critère de Kalman):Un système LTI : dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)où est commandable ssi la matrice de commandabilité M est de rang n:
1
( )
nM B AB A B
rang M n
−⎡ ⎤= ⎣ ⎦=
L
. .,n n n mA B∈ ∈R R
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Commande par retour d’état linéaire
CommandabilitéPreuve: On suppose sans perte de généralités que :t0=0, x(tf)=0La solution de l’équation d’état est :
0
( )( ) (0) ( )t
At A t
tx t e x e Bu dτ τ τ−= + ∫
0
( )( ) 0 (0) ( )f
f ftAt A t
ft
x t e x e Bu dτ τ τ−= = + ∫i.e.
0
(0) ( )ft A
tx e Bu dτ τ τ−= −∫soit
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Commande par retour d’état linéaire
CommandabilitéPreuve-suite-:
( )0
1
0
(0) ( )f
k
n tk
ktk
x A B u d
β
α τ τ τ−
=
= −∑ ∫
( )1
0
nA k
kk
e Aτ α τ−
−
=
=∑
i.e.
11 1 1(0)
Tn
nx B AB A B β β β−−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
on sait que (théorème de Cayley-Hamilton) :
d’où
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Commande par retour d’état linéaire
Exemple 1:
0 1 1( ) ( ) ( )2 3 2
( ) 1 0 ( )
dx t x t u tdt
y t x t
⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ = +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤⎪ =⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎩
Le système est-il commandable ?
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Commande par retour d’état linéaire
Exemple 2:soit le système à bacs:
1 1
2 2
( ) 1 1 ( ) 1( )
00 1( ) ( )
x t x tu t
x t x t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡− ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
avec 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )x t h t x t h t= =
Le système est-il commandable ?
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Commande par retour d’état linéaire
Exemple 2:
Physiquement, il est clair que le niveau du bac 2 ne peut être modifié par la commande : système non commandable.
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Commande par retour d’état linéaireCalcul de la commande dans le cas d’un système sous forme compagne pour la commande
0 1 2 1
0 1 0 0 0
( ) 0 0 1 0 ( ) ( )00 0 0 1 0
1n n
dx t x t u tdt
a a a a− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎣ ⎦⎣ ⎦
L
L L L L L M
L
L
L
Calculer la matrice K=[k0, k1, …., kn-1] de retour d’état telle que la matrice A-BK ait comme valeurs propres :
(λ0, λ1, …., λn-1)
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Commande par retour d’état linéaire
0 0 1 1 2 2 1 1
0 1 0 0
0 0 1 00 0 0 1
n n n n
A BK
a k a k a k a k− − − −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − − − − −⎣ ⎦
L
L L L L L
L
L
L
Calcul de la commande dans le cas d’un système sous forme compagne pour la commande
La contrainte modale impose le dénominateur de la fonction de transfert du système en boucle fermée:
( )( ) ( ) ' 1 ' '0 1 1 1 1 0( ) .... ...n n
n nD p p p p p a p a p a−− −= − λ −λ −λ = + + + +
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Commande par retour d’état linéaire
0 0 1 1 2 2 1 1
0 1 0 0
0 0 1 00 0 0 1
n n n n
A BK
a k a k a k a k− − − −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − − − − −⎣ ⎦
L
L L L L L
L
L
L
' ' ' '0 1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 00 0 0 1
n na a a a− −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦
L
L L L L L
L
L
L
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Commande par retour d’état linéaire
'0 0 0
'1 1 1
'1 1 1n n n
a k a
a k a
a k a− − −
⎧ + =⎪
+ =⎪⎨⎪⎪ + =⎩
M
càd résoudre le système de n équations à n inconnues :
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Commande par retour d’état linéaire
Exemple :
A =− − −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
0 1 00 0 11 5 6
B =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
001
Calculer la matrice K de retour d’état telle que la matrice A-BK ait comme valeurs propres :
2 4 , 10s j s= − ± = −
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Commande par retour d’état linéaireÉléments de réponse
0 1 2
0 1 00 0 1
1 5 6A BK
k k k
⎡ ⎤⎢ ⎥− = ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦
( )( )( ) 3 ' 2 ' '1 1 0( ) 2 4 2 4 10 nD p p j p j p p a p a p a−= + − + + + = + + +
'0 0
'1 1
'2 2
1
5
6
k a
k a
k a
⎧ + =⎪⎪ + =⎨⎪ + =⎪⎩
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Commande par retour d’état linéaireCas général
Dans le cas général, le calcul du retour d’état n’est pas aussi simple que dans le cas de la forme compagne pour la commande.
Les étapes du calcul de la commande sont alors les suivantes :
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Commande par retour d’état linéaireCas général
1. Calcul de la matrice (A - BK)2. Calcul du polynôme caractéristique de (A - BK). Il vaut
det(pI - (A - BK)).3. Identification du polynôme caractéristique de (A - BK)
avec le dénominateur de la fonction de transfert de la boucle fermée :
( )( ) ( )( ) ( )0 1 1det .... npI A BK p p p −− − = −λ −λ −λ
(λ0, λ1, …., λn-1) sont les pôles que l’on veut imposer.
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Commande par retour d’état linéaireCalcul de la matrice de pré-filtre
Ne t( ) + & ( )x t A x(t)+ B u(t)=u t( ) C y t( )
K
-
Cherchons la matrice N telle que :
lim ( ) ( )t
y t e t→∞
=
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Commande par retour d’état linéaireCalcul de la matrice de pré-filtre
( )0 ( ) ( )( ) ( )
A BK x t BNe ty t Cx t
⎧ = − +⎪⎨
=⎪⎩
Les équations d’état et de sortie en régime statique s’écrivent :
( )( )
1
1
( ) ( )
( ) ( )
x t A BK BNe t
y t C A BK BNe t
−
−
⎧ = − −⎪⎨
= −⎪⎩i. e.
( )( ) 11N C A BK B−−= − −d’où
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Commande par retour d’état linéaireCalcul de la matrice de pré-filtre
K
( )( ) 11N C A BK B−−= − −
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Exemple: Réservoir de mélangeEau froide
FC,TC
Eau chaudeFH,TH
h
T
SortieF(h),T
À contrôler:
• Température T
• Hauteur h
Commande:
• Débit eau froide FC
• Débit eau chaude FH
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Exemple: Réservoir de mélange
Équation d’état
02
0
c s
c s
KA h
AKA h
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )
1 1
C C
H s C s
C s C s
A AB
T T T TA h A h
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 0
0 1C
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
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Exemple: Réservoir de mélange
Paramètres du système :K = 1 m2.5/min, hs = 4 m, Ac = 2 m2
TH = 65 °C, TC = 15 °C, TS = 35 °C
1 12 2
3.75 2.5B
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
1 0
0 1C
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
18
14
0
0A
−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
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Exemple: Réservoir de mélange
Calcul de M :
Rang de M = 2.
0.5 0.5 0.0625 0.0625
3.75 2.5 0.9375 0.625
M B AB⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ − − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
» M = ctrb(A,B);
» r = rank(M);
r = 2
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Exemple: Réservoir de mélange
Posant K :
Alors :
11 12
21 22
k kK
k k
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1 1 1 18 2 2 2 211 21 12 22
15 5 1 15 54 2 4 4 211 21 12 22
k k k kA BK
k k k k
⎡ ⎤− + + +⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥− − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
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Exemple: Réservoir de mélange
Élimination de l’interaction
Il suffit que A+BK soit diagonal, donc :
Il faut donc que :
1 12 212 22
15 54 211 21
0
0
k k
k k
+ =
− =
12 22
3221 11
k k
k k
= −
=
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Exemple: Réservoir de mélange
En remplaçant, on trouve que :1 58 4 11
1 254 4 22
0
0
kA BK
k
⎡ ⎤− +⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
En ajustant les gains k11 et k22, on modifie la dynamique du système.
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Exemple: Réservoir de mélange
Placement des pôles
Objectif: on désire un constante de temps de 2 min pour le niveau et de 5 min pour la température.
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Exemple: Réservoir de mélange
L’équation caractéristique de A+BK est :
D’où :
[ ]( ) ( )( )( )( )
1 5 1 258 4 4 411 22
1 152
det sI A BK s k s k
s s
− + = + − + +
= + +
3 110 12511 12
1 9125 2022 21
k k
k k
= − =⇒
= − = −
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Synthèse d’observateur
Principe
Il arrive souvent que toutes les variables d’état d’un système ne soient pas accessibles à la mesure. Dans ce cas, l’implémentation directe de la commande u=Kx(t) est impossible. L’idée est donc de reconstruire l’état x(t) à partir des informations disponibles, c’est-à-dire la sortie y(t) et la commande u(t). On utilise pour cela un système dynamique permettant d’approximer x(t) : un observateur.On parle également de reconstructeur, d’estimateur, de filtre...
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Synthèse d’observateur
Définition: On appelle observateur du système LTI un opérateur qui génère une approximation de la variable z(t) = Tx(t) sous la forme :
où u(t) est la commande et y(t) la sortie.
ˆ( )z t
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )z t Fz t Gy t Ju t= + +&
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Synthèse d’observateur
Si z(t) et x(t) ont même dimension, l’observateur est dit complet (tout l’état est estimé). On choisit T = I (z=x) et
Si dim(z) < dim(x) (par exemple: dim(z)=dim(x)-dim(y)),alors l’observateur est dit d’ordre réduit.
ˆˆ( ) ( )z t x t=
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Synthèse d’observateur
( )z tObjectif: Assurer la convergence de vers ˆ( )z t
ˆlim ( ) ( ) ( ), ( )otz t z t u t x t
→∞= ∀ ∀
lim ( ) 0 ( ), ( )ote t u t x t
→∞= ∀ ∀
i.e.
Avec l’erreur d’estimationˆ( ) ( ) ( )e t z t z t= −
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Synthèse d’observateur
ObservabilitéThéorème (critère de Kalman):Un système LTI :
où est observable ssi la Matrice d’observabilité O est de rang n:
1n
CCA
O
CA −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M
. .,n n p nA C∈ ∈R R
( ) ( ) ( )( ) ( )
x t Ax t Bu ty t Cx t
= +⎧⎨ =⎩
&
( )rang O n=
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Synthèse d’observateur
Exemple
soit le système à bacs:
1 1
2 2
1
2
( ) 1 1 ( ) 1( )
02 1( ) ( )
( )( ) 1 0
( )
x t x tu t
x t x t
x ty t
x t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
Le système est-il observable?
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Synthèse d’observateur complet
( ) ( ) ( )( ) ( )
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu ty t Cx t
z t Fz t Gy t Ju t
= +⎧⎨ =⎩
= + +
&
&
Observateur complet
L’erreur d’estimation est : ˆ( ) ( ) ( )e t x t z t= −
( ) ( )( ) ( ) ( )e t A GC F x t B J U Fe t= − − + − +&
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Synthèse d’observateur complet
Observateur completOn veut une estimation sans biais, c’est-à-dire :
( ) 0 ( ), ( )e t u t x t= ∀ ∀&
Ce qui équivaut à :
( )
00
A GC F F A GCB J J BF stable A GC stable
⎧− − = = −⎧⎪⎪ − = ⇔ =⎨ ⎨
⎪ ⎪ −⎩ ⎩
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Synthèse d’observateur complet
Observateur complet
Par conséquent:
( )ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )x t Ax t Bu t G y t y ty t Cx t
⎧ = + + −⎪⎨
=⎪⎩
&(observateur)
( )( ) ( )e t A GC e t= −&(erreur d’estimation)
G est appelé le gain de l’observateur.
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Synthèse d’observateur complet
Observateur complet
Remarques
1.Les valeurs propres de la matrice A-GC sont ajustés pour que la dynamique soit beaucoup plus rapide que la dynamique du système réel.
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Synthèse d’observateur complet
Observateur complet
L’observateur est constitué de deux parties :
2.Un simulateur du système réel caractérisé par les matrices (A;B;C), ayant comme entrées u et y et comme sortie ŷ.
3.Un correcteur réalisant une contre-réaction fonction de l’écart entre la sortie y et son estimée ŷ. Ce correcteur permet d’assurer la convergence de l’erreur d’estimation de l’état.
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Synthèse d’observateur completStructure de la commande avec synthèse d’un observateur de
Luenberger
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Synthèse d’observateur réduit
Dans la partie précédente, nous avons déterminé des systèmes observateurs de même dimension que l’état du système à reconstruire (observateur complet–d’ordre plein).
Nous allons montrer que l’on peut construire des observateurs d’ordre inférieur: le reconstructeur réduit de Luenberger qui estime la partie non accessible de l’état.
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Synthèse d’observateur réduit
Soit un système LTI où, après une permutation des variables d’état, les matrices A, B, C, et le vecteur x(t) sont de la forme :
11 12 1 1
221 22 2
1 2
( ), , ( )
( )
A A B x tA B x t
BA A x t
C C C
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦avec:
( ) R R R. .1 1 1 1, , ,l l l l mrang C l C x B= ∈ ∈ ∈
Construction
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Synthèse d’observateur réduit
Changement de variable:
Construction
( ) ( )x t Tx t=
1 2
0 n l
C CT
I −
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
avec:
On obtient:( ) ( ) ( )
( ) ( )
x t Ax t Bu t
y t Cx t
⎧⎪ = +⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎩
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Synthèse d’observateur réduit
où:
Construction11 12 111
2221 22
1
( ), , ( )
( )
0l
A A x tBA TAT B TB x t
x tBA A
C CT I
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦
Le système devient:
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x t A x t A x t B u t
x t A x t A x t B u t
y t x t
⎧⎪ = + +⎪⎪⎪⎪ = + +⎨⎪⎪⎪ =⎪⎪⎩
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Synthèse d’observateur réduit
Construction
la sortie correspond aux l premières composantes d’état: elles n’ont donc pas à être reconstruites.la 1ère équation est interprétée comme une équation de mesure dépendante de x2(t):
2 21 22 2 2
11 1 12 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t A y t A x t B u t
t y t A x t A x t B u tξ
⎧⎪ = + +⎪⎪⎨⎪ = − = +⎪⎪⎩
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Synthèse d’observateur réduit
Construction
On peut proposer comme reconstructeur de , le vecteur défini par :
2( )x t(̂ )v t
( )21 22 2
12 1
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ( ) ( )
(
(
(̂
)
) )v t A y t A v t B u t L t t
t A v t B u t
ξ
ξ
ξ+ −⎧⎪ = + +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎪⎩Inconvénient: Cette structure nécessite, pour élaborer la mesure , la dérivation de la sortie réelle y(t).11 1( ) ( ) ( )t y t A x tξ = −
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Synthèse d’observateur réduit
Solution
Posons : ˆ(̂ ) ( ) ( )z t v t Ly t= −
On obtient :
( )21 11 122 2 2 1ˆ(̂ ) ( ) ( ) ( ˆ( ) ( )) ( )L A y tz t A y t A v t B A vu t B u tt= + + ++ −
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Synthèse d’observateur réduit
Observateur d’ordre réduit:
ˆ ˆ( ) ( ) ( )v t z t Ly t= +Sachant que
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )z t Mz t Nu t Py t= + +On obtient :
22 12 2 1
21 22 11 12
, ,M A LA N B LB
P A A L LA LA L
= − = −
= + − −
Avec
Cette équation d’état définit un observateur réduit (d’ordre n-l)
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Synthèse d’observateur réduit
Observateur d’ordre réduit:
ˆ ˆ( ) ( ) ( )v t z t Ly t= +La variable étant reconstruite par :2( )x t
où L est la matrice ((n-l) × l) de gain de cet observateur.
Notons l’erreur d’observation : 2 ˆ( ) ( ) ( )e t x t v t= −
22 12( ) ( ),e t Me t M A LA= = −Il vient :
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Synthèse d’observateur réduit
Observateur d’ordre réduit:
Le gain de l’observateur L est calculé pour que
22 12M A LA= − soit stable
Théorème: Si est observable, alors est observable.
22 12( , )A A( , )A C
Ainsi, lorsque la paire est observable les valeurs propres de M peuvent être fixées arbitrairement par un choix convenable de L .
22 12( , )A A
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Synthèse d’observateur réduit
Structure finale:
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )z t Mz t Nu t Py t= + +
22 12 2 1
21 22 11 12
, ,M A A N B B
P A A A A
L L
L L L L
= − = −
= + − −
Avec:
L’état estimé est:
( )11 1 2 2
2
ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ( ) ( ) ( )
x t C I C L y t C z t
x t z t Ly t
− ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦= −
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Commande basée sur observateur
Principe
( ) ( ) ( )( ) ( )
x t Ax t Bu ty t Cx t
= +⎧⎨ =⎩
&
( )ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t G y t y t= + + −&K
v u
ˆ( )x t
y
−
+
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Commande basée sur observateur
( ) ( ) ( )( ) ( )
x t Ax t Bu ty t Cx t
= +⎧⎨ =⎩
&Soit un système LTI:
Son observateur d’état:
( )ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )x t Ax t Bu t G y t y ty t Cx t
⎧ = + + −⎪⎨
=⎪⎩
&
( )( ) ( )e t A GC e t= −&
Erreur d’estimation :ˆ( ) ( ) ( )e t x t x t= −
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Commande basée sur observateur
Loi de commande: ˆ( ) ( ) ( )u t Kx t v t= − +
Système en BF:
( ) ( )( )
( ) 0 ( ) 0x t A BK BK x t B
v te t A GC e t
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
&
&
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Commande basée sur observateur
Les valeurs propres du système bouclé sont les valeurs propres de (A - BK), i.e. celles relatives à la commande du système plus les valeurs propres de (A - GC), i.e. celles de l’observateur.
Principe de séparation : on peut concevoir de façon indépendante le régulateur et l’observateur.
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Commande basée sur observateur
Remarques:
La stabilité du système bouclé n’est pas affectée par la présence de l’observateur si celui-ci est sans biais (i.e. tel que (A - GC) soit stable).
Pour que le comportement du système bouclé ne soit pas modifié de façon notable par la présence de l’observateur, il suffit que la reconstruction de l’état soit rapide devant la dynamique du système bouclé: pôles de (A - GC) de grand module devant ceux de (A - BK).
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Commande découplante
Objectif:
Chercher un correcteur qui découple totalement le système LTI multientrée-multisortie (MIMO) au sens entrées-sorties, c’est-à-dire conduisant à une matrice de transfert en boucle fermée diagonale.
Le nouveau système, vu entre les entrées ui(t) et les sorties yi(t) du processus, est alors équivalent à msous-systèmes SISO (monoentrée-monosortie) découplés.
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Commande découplante
Indices caractéristiques
L’indice caractéristique, associé à une sortie yi(t) , est le nombre de fois qu’il faut dériver cette sortie pour qu’une entrée, au moins, apparaisse dans l’expression de cette dérivée.
( ) ( )( ) ( ) ( )
i i
i i i
y t C x ty t C Ax t C Bu t
=
= +&
avec Ci est la ième ligne de C associée à la sortie yi(t).
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Commande découplante
Indices caractéristiques
2
1
( ) 1
.... 0
0
( ) ( ) ( )
i
i
i i i
di i i
did d d
i i i
C B C AB C A B
C A B
y t C A x t C A Bu t
−
−
−
= = = =
≠
= +
Si CiB ≠ 0 l’entrée apparaît explicitement dans l’expression de yi et l’indice caractéristique est égal à 1. Si CiB = 0 on continue à dériver. D’une manière générale, l’indice di est donc défini par :
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Commande découplante
Commande découplante
1 1 1( ) 11 1 1
( ) 1
0
( )( ) ( )
( )( ) ( )
m m m
d d d
d d dm m m
y t C A C A Bx t u t
y t C A C A Bx t u t
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦= ∆ + ∆
M M M
Supposons qu’on ait déterminé les indices caractéristiques associés à chacune des sorties et considérons l’ensemble des équations sous la forme:
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Commande découplante
Commande découplante
1 10( ) ( ) ( )u t v t x t− −= ∆ − ∆ ∆
Une condition nécessaire et suffisante pour que le système soit découplable par retour d’état statique est que la matrice ∆ soit inversible:
1( )1 1
( )
( ) ( )
( )( )m
d
dmm
y t v t
v ty t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
M MOn obtient:
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Commande découplante
10
−∆ ∆
v u y
−
+ ( ) ( ) ( )( ) ( )
x t Ax t Bu ty t Cx t
= +⎧⎨ =⎩
&1−∆
1v1
1dp
1y
mv 1mdp
my
M
Systèmes bouclés
Remarque : dim(u)=dim(y)
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Commande découplante
Exemple 1: soit un système LTI défini par
1 1
1 1
0 0
B
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1 0
0 2 0
0 1 3
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 0 0
0 0 1C
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
avec : dim(u)=dim(y)=2 et dim(x)=3
Déterminer la commande découplante
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Commande découplante
Solution
1( ) 1 0 0 ( )y t x t⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦• 1( ) 1 0 0 ( ) 1 1 ( )y t x t u t⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2( ) 0 1 3 ( )y t x t⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
2( ) 0 5 9 ( ) 1 1 ( )y t x t u t⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2( ) 0 0 1 ( )y t x t⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦•
1 21, 2d d= =donc:
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Commande découplante
1 1 0
0 5 9
⎡ ⎤⎢ ⎥∆ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Solutiond’où: 0
1 1
1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥∆ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
1 10
1 1 0.5 2 4.51( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0.5 3 4.52
u t v t x t v t x t− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∆ − ∆ ∆ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
loi de commande:
Système bouclé:
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
y t v t
y t v t
⎧ =⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎩
1
1
22
2
( ) 1( )( ) 1( )
y pv p py pv p p
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⇒ ⎨⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Commande découplante
Exemple 2: soit un système LTI défini par
1 1 2 1
2 2 2
1 1
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x t x t x t u t
x t x t u t
y t x t
y t x t
⎧ = − + +⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎪⎪ =⎪⎪⎩
Commande découplante?
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Commande découplante
Exemple 2: soit un système LTI défini par
Si on prend
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
y t v t
y t v t
⎧ =⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎩
1
1
2
2
( ) 1( )( ) 1( )
y pv p py pv p p
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⇒ ⎨⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩
1 1 2 1
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
u t x t x t v t
u t x t v t
⎧ = − +⎪⎪⎪⎨⎪ = − +⎪⎪⎩
On obtient
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Commande découplante
Exemple 3: soit un système LTI défini par
0 0
1 1
0 1
B
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1 2
1 2 0
0 0 1
A
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 0 0
0 1 0C
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
avec : dim(u)=dim(y)=2 et dim(x)=3
Déterminer la commande découplante
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Commande par retour de sortie statique
Commande de systèmes linéaires ESIEE, Amiens. I4GSP-I4GSE, 2006-2007– M. Chadli
Bibliographie
1. André Fossard. Systèmes multientrées-multisorties. Techniques de l’ingénieur, traité Informatique
2. Pierre Borne et al. Commande et optimisation des processus. Editions Technip
3. F. Rotella. Note de cours.4. D. Arzelier. Note de cours «Représentation et
analyse des systèmes linéaires»