Cours de terminale S Logarithme népérienmathsollivier.free.fr/ts/fonctionlnP.pdf · Relation...

Définition et propriétés

Variations et limites

Relation fonctionnelle

Compléments

Cours de terminale S

Logarithme népérien

A. OLLIVIER

Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer

2020-2021

A. OLLIVIER Cours de terminale S Logarithme népérien

Compléments

Définition

Propriété

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante

sur R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

permet d’affirmer que quel que soit le réel a strictement positif,

il existe un réel unique x tel que ex = a.

Si a est un réel strictement positif, la solution unique

sur R de l’équation ex = a, d’inconnue x , s’appelle

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Définition

Compléments

Définition

Propriété

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante

sur R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

permet d’affirmer que quel que soit le réel a strictement positif,

il existe un réel unique x tel que ex = a.

Si a est un réel strictement positif, la solution unique sur R

de l’équation ex = a, d’inconnue x , s’appelle logarithme

népérien de a, et on note x = lna.

Définition

Compléments

Définition

Propriété

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[par : . . . . . . . . .

Définition

On dit que la fonction ln est la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la

fonction exp.

Compléments

Définition

Propriété

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[par : x 7−→ ln x .

Définition

fonction exp.

Compléments

Définition

Propriété

Autrement dit, pour tout x strictement positif,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Définition

fonction exp.

Compléments

Définition

Propriété

y = ln x ⇐⇒ ey = x

Définition

fonction exp.

Compléments

Définition

Propriété

y = ln x ⇐⇒ ey = x

Définition

fonction exp.

Compléments

Définition

Propriété

y = ln x ⇐⇒ ey = x

Définition

On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la

fonction exp.

Compléments

Définition

Propriété

y = ln x ⇐⇒ ey = x

Définition

On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la

fonction exp.

Ainsi : ln1 = 0 puisque e0 = 1 et lne = 1 puisque e1 = e.

Compléments

Définition

Propriété

De plus : si ln x = y alors x = ey et1

x= e−y soit ln

= −y .

Compléments

Définition

Propriété

x= e−y soit ln

= −y .

On obtient donc, pour tout réel x strictement positif :

. . . . . . . . . . . .

Compléments

Définition

Propriété

x= e−y soit ln

= −y .

On obtient donc, pour tout réel x strictement positif :

x= − ln x

Compléments

Définition

Propriété

Pour tout réel x , ln(ex ) = x

et pour tout réel x strictement positif, eln x = x

Propriété

Compléments

Propriété

Théorème

Tableau de variation et représentation graphique

La fonction logarithme népérien est

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Propriété

Démonstration partielle

On admet que la fonction ln est continue et dérivable sur

]0; +∞[.

Compléments

Propriété

Théorème

La fonction logarithme népérien est continue et dérivable

sur ]0; +∞[ et ln′(x) =1

Propriété

]0; +∞[.

Compléments

Propriété

Théorème

sur ]0; +∞[ et ln′(x) =1

Propriété

]0; +∞[.

Compléments

Propriété

Théorème

sur ]0; +∞[ et ln′(x) =1

Propriété

]0; +∞[.alors f ′(x) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléments

Propriété

Théorème

sur ]0; +∞[ et ln′(x) =1

Propriété

]0; +∞[.alors f ′(x) =ln′(x)× exp(ln x) = ln′(x)× x .

Compléments

Propriété

Théorème

sur ]0; +∞[ et ln′(x) =1

Propriété

Or f ′(x) = 1, d où ln′(x) =. . .

Compléments

Propriété

Théorème

sur ]0; +∞[ et ln′(x) =1

Propriété

Or f ′(x) = 1, d où ln′(x) =1

Compléments

Propriété

Théorème

La fonction logarithme népérien est

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

Théorème

Compléments

Propriété

Théorème

La fonction logarithme népérien est strictement croissante

sur ]0; +∞[.

Théorème

Compléments

Propriété

Théorème

La fonction logarithme népérien est strictement croissante

sur ]0; +∞[.

Théorème

ln′(x) =1

x> 0 pour tout x > 0 ; puisque sa dérivée est

strictement positive sur ]0; +∞[, on conclut que la fonction lnest strictement croissante sur ]0; +∞[.

Compléments

Propriété

Théorème

Pour tout réels a et b strictement positifs,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Corollaire

En particulier : 0 < x < 1 équivaut à ln x < 0 et x > 1 équivaut

à ln x > 0.

Compléments

Propriété

Théorème

a < b ⇐⇒ lna < lnb et a = b ⇐⇒ lna = lnb

Corollaire

à ln x > 0.

Compléments

Propriété

Théorème

a < b ⇐⇒ lna < lnb et a = b ⇐⇒ lna = lnb

Corollaire

à ln x > 0.

Compléments

Propriété

Théorème

limx−→+∞

ln x = . . . . . .

Théorème

Compléments

Propriété

Théorème

limx−→+∞

ln x = +∞

Théorème

Compléments

Propriété

Théorème

limx−→+∞

ln x = +∞ et limx−→0

ln x = . . . . . .

Théorème

Compléments

Propriété

Théorème

limx−→+∞

ln x = −∞

Théorème

Compléments

Propriété

Théorème

limx−→+∞

ln x = −∞

Théorème

Démonstration

On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléments

Propriété

Théorème

limx−→+∞

ln x = −∞

Théorème

Démonstration

On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : quel que soit

le réel A, si x > eA alors ln x > A ; donc l’intervalle ]A; +∞[contient toutes les valeurs de ln x pour x assez grand.

Compléments

Propriété

Théorème

limx−→+∞

ln x = −∞

Théorème

Démonstration

Ensuite : limx−→0

ln x = limx−→0

− ln1

or, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléments

Propriété

Théorème

limx−→+∞

ln x = −∞

Théorème

Démonstration

ln x = limx−→0

− ln1

or, limx−→0

x= +∞ et lim

X−→+∞

− lnX = −∞

Compléments

Propriété

Théorème

limx−→+∞

ln x = −∞

Théorème

Démonstration

ln x = limx−→0

− ln1

or, limx−→0

x= +∞ et lim

X−→+∞

− lnX = −∞

Donc, par composition, on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléments

Propriété

Théorème

limx−→+∞

ln x = −∞

Théorème

Démonstration

ln x = limx−→0

− ln1

or, limx−→0

x= +∞ et lim

X−→+∞

− lnX = −∞

Donc, par composition, on obtient limx−→0

ln x = −∞.

Compléments

Propriété

Théorème

On construit le tableau de variation à l’aide des résultats

précédents. Puisque la fonction ln est la réciproque de la

fonction exp, les courbes représentatives de ces deux fonctions

sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x .

La courbe passe par les points de coordonnées (1;0) et (e;1).

La tangente à la courbe au point d’abscisse 1 a pour coefficient

directeur ln′(1) = 1.

Puisque limx−→0

ln x = −∞, la courbe représentative de la fonction

logarithme népérien admet une asymptote d’équation x = 0,

soit l’axe des ordonnées.

Compléments

Propriété

Théorème

Fonction logarithme népérien

x 0 +∞

f ′(x) =1

f (x) = ln x

Compléments

Propriété

Théorème

x 0 +∞

f ′(x) =1

f (x) = ln x

Compléments

Propriété

Théorème

x 0 +∞

f ′(x) =1

f (x) = ln x

Compléments

Propriété

Théorème

x 0 +∞

f ′(x) =1

f (x) = ln x

−∞

Compléments

Propriété

Théorème

x 0 +∞

f ′(x) =1

f (x) = ln x

−∞

Compléments

Propriété

Théorème

x 0 +∞

f ′(x) =1

f (x) = ln x

−∞

Compléments

Propriété

Théorème

FIGURE – Courbe représentative de la fonction ln

Compléments

Propriété

Théorème

FIGURE – Courbe représentative de la fonction ln

Compléments

Théorème

Propriétés

La fonction ln est la réciproque de la fonction exp. On peut donc

déduire une relation fonctionnelle pour la fonction ln à partir de

celle existant pour la fonction exp :

pour tout réels x et y , exp(x) exp(y) = exp(x + y)donc ln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x + y)) = x + y ;

si on pose a = exp(x) et b = exp(y) , soit x = lna et y = lnb on

obtient :

Quels que soient les réels a et b strictement positifs :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Théorème

Compléments

Théorème

Propriétés

La fonction ln est la réciproque de la fonction exp. On peut donc

déduire une relation fonctionnelle pour la fonction ln à partir de

celle existant pour la fonction exp :

pour tout réels x et y , exp(x) exp(y) = exp(x + y)donc ln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x + y)) = x + y ;

si on pose a = exp(x) et b = exp(y) , soit x = lna et y = lnb on

obtient :

Quels que soient les réels a et b strictement positifs :

ln(a × b) = lna + lnb

Théorème

Compléments

Théorème

Propriétés

Remarque

Si a = b, la relation fonctionnelle nous donne : ln(a2) = 2 lna.

On peut alors en déduire : ln x = ln((√

x)2) = 2 ln(√

soit ln(√

2ln x .

Compléments

Théorème

Propriétés

Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’en-

tier relatif n :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Propriété

Compléments

Théorème

Propriétés

Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’en-

tier relatif n :

= lna − lnb ln

= − lnb

ln(an) = n lna

Propriété

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

• La deuxième propriété a déjà été prouvée.

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

• pour la première propriété, on utilise la relation

fonctionnelle :

b= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

• pour la première propriété, on utilise la relation

fonctionnelle :

= lna + ln1

b= lna − lnb.

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

pour la troisième propriété notée Pn : " ln(an) = n lna " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence que Pn est vraie

pour tout n ∈ N.

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

pour tout n ∈ N.

Initialisation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

pour tout n ∈ N.

Initialisation : ln(a0) = ln1 = 0 et 0 lna = 0 donc P0 est vraie.

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

pour tout n ∈ N.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain

entier naturel k ; soit . . . . . . . . . . . .

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

pour tout n ∈ N.

entier naturel k ; soit ln(ak ) = k lna.

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

pour tout n ∈ N.

Alors, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

pour tout n ∈ N.

Alors, ln(ak+1) = ln(ak × a) = ln(ak ) + lna = k lna + lna

d’après l’hypothèse de récurrence,

donc ln(ak+1) = (k + 1) lna et Pk+1 est vraie.

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

pour tout n ∈ N.

Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

pour tout n ∈ N.

Conclusion : Pn est vraie pour tout n ∈ N.

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

Maintenant, si n est un entier relatif négatif,

ln(an) = ln1

a−n= − ln(a−n)

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

ln(an) = ln1

or (−n) ∈ N ; on peut donc écrire ln(a−n) = (−n) ln a

Compléments

Théorème

Propriétés

Démonstration

ln(an) = ln1

or (−n) ∈ N ; on peut donc écrire ln(a−n) = (−n) ln a

On en déduit que : ln(an) = n lna.

Compléments

Calcul de limites

Calcul de dérivées

limx−→+∞

x= . . .

Théorème

Compléments

Calcul de limites

limx−→+∞

Théorème

Compléments

Calcul de limites

limx−→+∞

x= 0 et lim

x−→0

ln(1 + x)

x= . . .

Théorème

Compléments

Calcul de limites

limx−→+∞

x= 0 et lim

x−→0

ln(1 + x)

Théorème

Compléments

Calcul de limites

Démonstration

• On sait que pour tout a réel, a < exp(a) , donc pour tout a

strictement positif, lna ≤ a. (Croissance de la fonction ln).

Compléments

Calcul de limites

Démonstration

On en déduit que pour tout x strictement positif ln√

x ≤√

d’où1

2ln x ≤

√x et donc ln x ≤ 2

√x .

Compléments

Calcul de limites

Démonstration

x ≤√

d’où1

2ln x ≤

√x .

Alors, pour tout x ≥ 1 : 0 ≤ln x

c’est-à-dire : 0 ≤ln x

Compléments

Calcul de limites

Démonstration

x ≤√

d’où1

2ln x ≤

√x .

Alors, pour tout x ≥ 1 : 0 ≤ln x

c’est-à-dire : 0 ≤ln x

De plus limx→+∞

x= 0 , donc par application du théorème des

gendarmes, limx→+∞

Compléments

Calcul de limites

Remarque

On pouvait aussi écrireln x

exp(X )=

exp(X)X

et appliquer les théorèmes sur la composition et l’inverse de

limites.

Compléments

Calcul de limites

Démonstration

•ln(1 + x)

ln(1 + x)− ln1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléments

Calcul de limites

Démonstration

•ln(1 + x)

ln(1 + x)− ln1

le taux d’accroissement de la fonction ln en 1.

Compléments

Calcul de limites

Démonstration

•ln(1 + x)

ln(1 + x)− ln1

Sa limite quand x tend vers 0 est le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléments

Calcul de limites

Démonstration

•ln(1 + x)

ln(1 + x)− ln1

Sa limite quand x tend vers 0 est le nombre dérivé de la

fonction ln en 1 qui est 1.

Compléments

Calcul de limites

Démonstration

•ln(1 + x)

ln(1 + x)− ln1

Donc limx→0

ln(1 + x)

x= lim

ln(1 + x)− ln1

x= . . .

Compléments

Calcul de limites

Démonstration

•ln(1 + x)

ln(1 + x)− ln1

Donc limx→0

ln(1 + x)

x= lim

ln(1 + x)− ln1

Compléments

Calcul de limites

On montre que :

si u est une fonction dérivable et strictement positive sur

un intervalle I de R, alors la fonction composée ln ◦u, no-

tée aussi lnu, est dérivable sur I et

(ln ◦u)′(x) = . . . . . .

Propriété

Par exemple, on obtient pour tout x > −b

(ln(ax + b))′ = . . . . . .

Compléments

Calcul de limites

On montre que :

(ln ◦u)′(x) =u′(x)

Propriété

(ln(ax + b))′ = . . . . . .

Compléments

Calcul de limites

On montre que :

(ln ◦u)′(x) =u′(x)

Propriété

(ln(ax + b))′ = . . . . . .

Compléments

Calcul de limites

On montre que :

(ln ◦u)′(x) =u′(x)

Propriété

(ln(ax + b))′ =a

ax + b

Compléments

Calcul de limites

Remarque

u étant strictement positive, le signe de (lnu)′ est le même que

celui de u′.

Compléments

Calcul de limites

Remarque

u étant strictement positive, le signe de (lnu)′ est le même que

celui de u′.

Cette dérivée satisfait à la formule générale :

(f (u(x))′ = u′(x)× f ′(u(x))

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