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OPIQUE II SMP3 2012-2013 1 BOUKHRIS
Chapitre I : RAPPEL D’OPTIQUE
GEOMETRIQUE
I) NOTIONS FONDAMENTALES
1) NOTION DE FAISCEAU LUMINEUX
Tout faisceau lumineux est composé d’un ensemble de rayons
lumineux. Dans cette hypothèse, un faisceau lumineux est formé de
rayons lumineux rectilignes qui se propagent indépendamment les uns
des autres.
2) LOIS DE DESCARTES
Hypothèses
-) rayon transmit
-) rayon incident
-) rayon réfléchit -) Point d’incidence
-) angle réfléchi -) plan d’incidence
-) angle de réfraction -) angle d’incidence
Loi de Descartes
-) le rayon incident et le rayon réfracté sont dans le plan
d’incidence
-) l’angle d’incidence et l’angle de réfraction sont égaux
(module)
-) 1 1 2 2sin sinn i n i
Remarque :
Les lois de Descartes ne sont valables que dans les milieux
isotropes
3) PHÉNOMÈNE DE DISPERSION
Remarque : la lumière blanche est
formée de rayons associés à toutes les
longueur d’onde comprise entre 0.4 <
< 0.8 m.
L’indice de réfraction est fonction
de la longueur d’onde : b
n a
4) PRINCIPE DU RETOUR INVERSE DE LA LUMIÈRE
Ce principe n’est pas un
principe fondamental puisqu’il se
déduit de la troisième loi de
Descartes.
5) PRINCIPE DE FERMAT
Pierre de Fermat (1601-1665) a le
premier posé en principe que le chemin optique des rayons lumineux
était minimal. On a ensuite montré qu’il était extrémal.
Appliqué aux dioptres et aux miroirs, ce principe est équivalent
aux lois de Descartes.
6) CHEMIN OPTIQUE
a - Milieux homogènes
b - Milieux inhomogènes :
ABL nAB
OPIQUE II SMP3 2012-2013 2 BOUKHRIS
( , , )B
ABA
L n x y z dL
Durée de parcours AB
( , , )B
ABA
L n x y z dL c t
Le trajet optique dans un milieu est la longueur que franchirait
la lumière dans le vide pendant le même temps.
a) Remarque :
le principe de Fermat peut être considéré comme hypothèse
fondamentale de l’optique géométrique.
II) THÉORÈME DE MALUS (1802)
1) NOTION DE SURFACE D’ONDE OU FRONT D’ONDE
C’est le lieu des points situés sur les
rayons à une même distance d’une
source ponctuelle S
SM SN SP
Remarques :
-) entre deux surfaces
d’onde le chemin optique est constant.
MM NN PP
-) SS cte quelque soit le rayon suivi (condition du
stigmatisme rigoureux)
2) THÉORÈME DE MALUS :
On suppose que les rayons émis par une source ponctuelle:
-) sont toujours normaux aux surfaces d’ondes (milieu
homogène), ceci après un nombre quelconque de réfractions et de
réflexions.
3) EXEMPLE CLASSIQUE
a) Onde plane :
Pour avoir une onde plane (faisceau parallèle), on utilise une
lentille convergente et on place une source ponctuelle en son foyer.
b) Onde sphérique
Pour avoir une onde sphérique, il suffit d’avoir une source
ponctuelle
c) Remarque : on peut avoir des ondes sphériques à partir des
ondes planes en se disposant d’une lentille convergente.
-) on peut également avoir une onde plane à partir d’une onde
sphérique et cela en disposant d’une lentille convergente.
On résume cette discussion par les conclusions suivantes :
– La notion de rayon lumineux est indissociablement liée à la
notion de front d’onde ou de surface d’onde.
– Un rayon lumineux ne peut se concevoir seul. On ne peut
parler que d’une famille
de rayons lumineux. Cette famille définit des fronts d’ondes qui
sont les surfaces orthogonales à ces rayons.
– Reciproquement un front d’onde détermine localement les
rayons, ce sont des courbes
qui lui sont orthogonales.
/
AB AB nAB Lt
v c n c c
S
M M’
N N’
P P’
Systèm
e
centré
S’
OPIQUE II SMP3 2012-2013 3 BOUKHRIS
III) LIMITES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
On ne peut pas isolé un rayon lumineux (même à l’aide d’une
fente très petite). On risque d’avoir le phénomène de diffusion de la
lumière (voir Chapitre de diffraction).
L’observation des images A’ et B’ de A et B montre une tache de
diffusion qui devient de plus en plus large lorsque l’orifice T devient de
plus en plus petit.
Conséquences :
on ne peut pas
isoler un rayon lumineux ;
le phénomène de
diffraction, déjà observé
avec les ondes sonores et
ultrasonores, met en évidence le caractère ondulatoire de la lumière.
IV) PRINCIPE D’HUYGENS
1) SOURCE SECONDAIRE
OU DÉRIVÉE
Si l’on considère une cuve
rectangulaire pleine d’eau et une
tige verticale est en contact avec la
surface d’eau. La vibration de la tige provoque des ondelettes sur la
surface d’eau (onde surfacique circulaire). En plaçant une fente au
niveau de la surface de nouvelles ondelettes se forment au delà de la
fente ; elle se comporte alors comme une nouvelle source ponctuelle :
c’est une source secondaire
Cas d’une
ouverture
Cas de deux
ouvertures
Alors tout se passe comme si le trou se comporte comme une
autre source ponctuelle qui présente la même propriété que la source
d’origine. Elle est appelée source secondaire.
a) Exemple
ondelettes de formes circulaires qui apparaissent sur la surface.
Il s’agit alors d’une onde qui se propage dans toutes les directions du
plan excité (ondes circulaires).
Lorsqu’on pose un obstacle dans la direction de propagation des
ondes avec une ouverture très fine, on observe la formation de
nouvelles ondelettes au delà de l’ouverture et la forme des
ondelettes dépend de la dimension de l’ouverture.
OPIQUE II SMP3 2012-2013 4 BOUKHRIS
Ouverture large
a >
Petite
ouverture a <
Cas d’ondes électromagnétiques
On considère une source lumineuse placée en un point O. à un
instant t une surface d’onde de rayon R, tout point de cette surface
V) EQUIVALENCES DES DIFFÉRENTS PRINCIPES
Lois de Descartes, Principe Fermat, Théorème de Malus,
Principe d’Huygens
A partir des 3 premiers principes, on peut expliquer plusieurs
phénomènes à l’aide de l’optique géométrique
Le dernier aussi mais il peut également interpréter des
phénomènes de diffraction
Chapitre II : GÉNÉRALITÉS SUR LA
LUMIÈRE ET LES INTERFÉRENCES
I) - NOTION D’ONDE
Une onde est une perturbation se propageant de proche en proche dans l'espace.
Lors du passage de l'onde en un point, le milieu subit une perturbation. La perturbation du
milieu en un point peut être une oscillation harmonique simple.
Dans le cas des ondes mécaniques, la perturbation est produite par une oscillation
de la matière.
1) CAS D’UN RESSORT
Si la matière se déplace
parallèlement à la direction de
propagation de l'onde, c'est une onde
longitudinale. Si la matière se déplace
perpendiculairement à la direction de
propagation de l'onde, c'est une onde
transversale
2) CORDE VIBRANTE
Une corde excitée par l’une de ces extrémités ou tendue entre deux les extrémités
peut laisser se propager des ondes mécaniques transversales. Le passage de l'onde en un
point produit un déplacement transversal.
OPIQUE II SMP3 2012-2013 5 BOUKHRIS
L’onde produite au point z = 0 se propage le long de l’axe Ox
Pour poser cette équation de vibration, nous allons assumer les données
physiques suivantes :
la masse de la corde est répartie uniformément par unité de longueur.
La corde est entièrement élastique et n’a pas de frottement (résistance de
déformation mécanique de la corde).
Les mouvements transverses sont tellement petits qu’on peu considérer que
chaque point de la corde se meut perpendiculairement à l’axe des x.
La tension de rappel de la corde est si élevée qu’on peut négliger l’apport de la
force de gravitation sur la masse (pesante) de la corde.
Étant donnée l’absence de résistance mécanique de déformation, la tension est
toujours tangentielle à la courbure de la corde en tout point (autrement il y aurait une
composante perpendiculaire).
3) EQUATION DE PROPAGATION
De plus comme nous avons postulé que tous les points de la corde n’effectuent
qu’un mouvement strictement vertical, les composantes horizontales de tension doivent
s’équilibrer. Ainsi si au point P, la corde subit une tension 1T et qu’au point Q elle subit
une tension 2T , les composantes horizontales doivent s’équilibrer :
1 2cos cosT T T
ou T = constante est la tension originale de la corde
dans le sens vertical, la seconde loi de Newton nous donne que la résultante des
forces appliquée provoque une accélération de la masse d’inertie, c'est-à-dire :
2
2 1 2sin sin .
uT T x
t
En divisant cette équation par la précédente, nous obtenons :
22 1
22 1
sin sin
cos cos
T T x u
T T T t
soit : 2
2
.tan tan
x u
T t
or tan et tan sont respectivement les pentes aux points x et x + x . C’est )
dire :
tanx
u
x
et tanx x
u
x
d’où l’équation remaniée : 2
2
1
x x x
u u u
x x x T t
soit lorsque x est infiniment petit : 2 2
2 2
u u
Tx t
que l’on met souvent sous la forme canonique : 2 2
2 2 2
1u u
x v t
L’équation de la corde vibrante simplifiée, mais c’est aussi l’équation d’onde à
une dimension qu’on retrouve pour la propagation des ondes électromagnétiques.
4) SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION
Cette équation admet comme solution générale :
u(x, t) = f1(x + vt) + f2(x vt)
f1(x + vt) correspond à un déplacement vers la gauche de la perturbation avec une
vitesse v.
De même f2(x vt) correspond à un déplacement vers la droite.
Si f1(x) correspond à la forme de la corde à l’instant t = 0, la forme à l’instant t
s’obtient en translatant la fonction f1(x) vers la gauche de la distance vt
5) CAS D’UN PROFIL SINUSOÏDAL
Une onde progressive transversale est décrite par le déplacement transversal qui
dépend de la position et du temps. Pour le cas d'un profil sinusoïdal, on a :
Si l’on suppose qu’à l’instant t l’onde arrive en M(z,t), l’équation de cette onde
s’écrit :
( , ) sin( )z t A t
A l’instant t’ cette onde s’est déplacée et elle arrive en z’ avec un retard de t ,
ce qui permet d’écrire : t t t
OPIQUE II SMP3 2012-2013 6 BOUKHRIS
( , ) sin( ) sin ( ) sin )
2sin ) sin )
2sin ) sin
z t t A t A t t A t t
z zA t A t
v T v
A t z A t kz
6) cas des vibrations à trois dimensions
Tout onde obéit à l’équation de propagation d’onde suivante :
Onde plane : une onde plane est une onde dont la fonction ne dépend que d’une
seul variable x , z ou z. Dans le cas d’une onde plane se propageant selon l’axe Ox :
L’équation s’écrit :
2 2
2 2 2
10
x v t
II) - CAS GÉNÉRAL
1) ONDE SPHÉRIQUE MONOCHROMATIQUE
Une solution particulière de l'équation de propagation concerne les ondes émises
par les sources ponctuelles : les ondes sphériques dont l'image naïve est celle des ``ronds
dans l'eau'' obtenus lorsqu'on lance une pierre dans l'eau. Une onde sphérique est
caractérisée par la symétrie sphérique de son champ électromagnétique. Si elle est
monochromatique, alors son amplitude complexe s'écrit
( )0( , ) j t krr t er
2) ONDE PLANE ET MONOCHROMATIQUE
On se place dans un milieu linéaire, homogène et isotrope loin des sources de
champ électromagnétique
L'onde plane est une solution particulière de l’équation précédente. Les champs
ne dépendent que d'une seule variable souvent notée z. L'équation de propagation
d’une onde prévoit alors que la solution s'écris comme la somme de deux vibrations se
propageant en sens inverse l'une de l'autre à la vitesse v :
( , ) ( ) ( )
onde progressive onderegressive
z zr t f t g t
v v
( ) ( )
0 0( , ) j t kr j t krr t e e
Généralement les ondes proviennent de sources quelque part dans l'espace et se
propagent de la source vers le point courant (point où les champs sont calculés). On doit
alors choisir le signe + ou - dans les expressions ci-dessus. Par convention on choisira le
signe - (propagation vers les z > 0).
Remarque : On peut noter deux différences au niveau des expression entre une
onde plane et une onde sphérique :
- kr au lieu .k r : cette différence peut s'interpréter par le fait qu'en chaque point
M la direction de propagation de l'onde est parallèle au rayon vecteur r SM . On peut
alors définir un vecteur d'onde local zk ke dont la norme vaut 2
et dont la
direction est celle de la propagation au point M. Il est aisé de voir que .k r kr .
- L'amplitude décroît comme 1
r, donc l'intensité comme
2
1
r.
3) CHOIX D'UN MODÈLE POUR LA VIBRATION LUMINEUSE
En optique, l'équation de propagation d’une onde électromagnétique prévoit alors
que E et B s'écrivent comme la somme de deux vibrations se propageant en sens
inverse l'une de l'autre à la vitesse v :
2
2 2
2 2 2
2 2 2
10
v t
x y z
z
t
z
M
M
’
T
OPIQUE II SMP3 2012-2013 7 BOUKHRIS
( )z
E tv
et ( )z
B tv
Les champs électriques et magnétiques sont perpendiculaires entre eux et à la
direction de propagation. Ils sont en phase et constants dans tout plan perpendiculaire à la
direction de propagation dit plan d'onde.
. On utilisera de préférence la notation complexe :
( )( ) ( )
0
( , )
rj t
j t kr j tvE r t Ae e Ae e Ae e
EA
r
e est un vecteur unitaire perpendiculaire à la trajectoire choisie, k la norme du
vecteur d'onde.
4) CAS D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE PLANE
Considérons une ondes électromagnétique plane progressive ayant l’axe z
comme direction de propagation ; cette vibration peut être représentée par le vecteur
champ électrique et/ou magnétique :
( )0
j t krE E e
L'onde plane monochromatique ou onde plane sinusoïdale est une forme
particulière de ces solutions pour lesquelles E et B sont des fonctions trigonométriques :
cosinus, sinus ou plus généralement exponentielles complexes. Si est la pulsation de
la fonction trigonométrique on écrit :
( , ) cos( ) ,0E r t E t kz z zez
( , ) cos( ) cos( )E z t E t kz e E t eo o
2 2
2;
kz z zv vT
k vT
Dans le cas d’un milieu quelconque :
On sait que : c
nv
cela conduit à :
0
n
et
2 2
0 0
nz L
; L est le chemin optique
( ) ( );
0 0j t kr j t kr
E E e B B e
où k zv
est le vecteur d'onde.
III) COMPOSITION DE DEUX ONDES LUMINEUSES MONOCHROMATIQUES, DE DIRECTIONS QUELCONQUES ET DE MÊME PULSATION
1) EXPRESSION DE L’INTENSITÉ
Dans la cas général,, on considère un repère (o,x,y,z) et deux sources S1 et S2. la
direction de propagation de l’onde de la sources S1 à un point M sera représentée par 1k
et la direction de propagation de l’onde de la sources S2 au point M sera représentée par
2k .
H
O
OPIQUE II SMP3 2012-2013 8 BOUKHRIS
L’onde émise par S1 en M s’écrit : 1 1 1 1 1cos( )E A t k S M
On aussi pour S2 : 2 2 2 2 2cos( )E A t k S M
que l’on peut encore écrire :
1 1 1 1 1cos( ( ) )E A t k r r
2 2 2 2 2cos( ( ) )E A t k r r
L’onde résultante en M est :
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
e e e e
e e e
j jj t j t
j jj t
E E E A A
A A
D’ou, l’intensité résultante en M est :
1 2 1 2*
1 2 1 2e e e e e ej j jj t j tI EE A A A A
1 1 1 1 1k r k r 2 2 2 2 2k r k r
2 21 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1
2 21 2 1 2
1 2
2 cos ( ) ( )
2 cos
I A A A A k k r k r k r
A A F I I F
F A A
2) DISCUSSION DU TERME F
Ce terme est appelé intensité mutuelle, c'est lui qui contient les interférences. Il
est à variation rapide (période des oscillations ) et présente des oscillations
conduisant à l'observation d'une figure d'interférence striée de franges brillantes et
sombres.
a) a- Cas ou 2 1 Cte dans le temps et
si l’on se place dans le cas ou la distance , on a : 1 2k k k
2 1 2 1( )k r r ; 2 1 2 1 1 2r r OS OS S S ; 1 2 2 1.k S S
2 2 1
0
2 1
0
2
2
nS SH
est appelée différence de marche
Dans ce cas l’intensité intégrée s’écrit :
2 21 2 1 2 2 1
0
22 cos( . )I A A A A
si tous les termes sont constants dans le temps.
2 21 2 1 2 2 1
0
22 cos( . )I A A A A
3) CAS OU 2 1 0
2 21 2 1 2
0
22 cos( )I A A A A
0
20 2k
==> k ===> k
2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 max2 2 cos ( )I A A A A A A A A A A I
Cela correspond à des franges claires.
0
22 (2 1)k k
1( )
2k => k
2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 max2 2 cos ( )I A A A A A A A A A A I
Cela correspond à des franges sombres,
a) Remarque : si 1 2A A
(a) : 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 max2 2 ( )I A A A A A A A A A A I
Cela correspond à des franges brillantes.
(b) 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 min2 2 ( )I A A A A A A A A A A I
1 2D S S a
1 2D S S a
OPIQUE II SMP3 2012-2013 9 BOUKHRIS
Remarque : si les amplitudes des amplitudes identiques, les franges sont noires.
4) CONTRASTE
On défini le contraste des franges par la quantité : max min
max min
I I
I I
, ce terme
traduit la visibilité des franges sur l’écran.
Remarque : si 1 2A A , c'est-à-dire min 0I ===> 1
Contraste avec des amplitudes identiques Contraste avec des amplitudes différentes
cas ou 1 2A A et 2 1 0
2 2 2 21 2 1 2 1 2 max min2I A A A A A A I I
Donc, on n’a pas d’interférences
5) CAS OU 1 2//A A ET 2 1 ( )f t
2 21 2 max minI A A I I ou les interférences ne sont pas observées.
On dit que les sources S1 et S2 sont spatialement incohérentes.
IV) COHÉRENCE SPATIALE – COHÉRENCE TEMPORELLE
lorsqu’un atome est désexcité, il
envoie un train d’onde et non pas une onde.
Les trains d’onde émis
successivement par un atome dans le temps
ont tous la même longueur de cohérence main
ils sont indépendants les uns des autres :
- Sans relation de phase ; phases à
l’origine aléatoires
- sans relation de polarisation.
1) COHÉRENCE TEMPORELLE
La durée de cohérence temporelle n’est pas la seule quantité qui caractérise la
cohérence temporelle, on a également :
- Le produit . 1
- La longueur de cohérence cL V
Une source de lumière est de grande cohérence temporelle si et seulement si :
- Elle est très monochromatique ( est très faible)
- Elle émet de long trais d’onde ( cL )
- Elle présente une grande durée de cohérence
2) ORDRE DE GRANDEUR
Pour une lampe à gaz 1010 s ; 3cL cm
Une étoile 1610 s ; 3cL m
3) COHÉRENCE SPATIALE
Soit une source S ponctuelle et monochromatique qui émet dans toutes les
directions de l’espace, alors toute surface sphérique de centre S est une surface d’onde.
a) Cas d’une onde monochromatique
On peut alors considérer que tous les points de la surface vibre en phase, on dit
que la surface d’onde est spatialement cohérente. c'est-à-dire que le vecteur qui
caractérise la vibration a la même phase en tout point :
y
x
l =V : longueur de cohérence
OPIQUE II SMP3 2012-2013 10 BOUKHRIS
y
x
0cos( )E A t kx
b) Cas d’une onde ordinaire (source large polychromatique)
Dans ce cas, seuls les points d’une surface très limitée vibrent en phase, les
dimensions de cette surface perpendiculaire à la direction de
propagation caractérisent la cohérence spatiale l
On admet qu’à chaque train d’onde est associé une
surface d’onde, dans cette surface tous les points vibrent en
phase.
On montre que l
est l’angle sous lequel
on voit la source depuis le point M où on mesure l . Ceci est lié à la largeur de la
source
4) APPLICATION :
On a interférence lorsque les phases 2 1 cte dans le temps.
Donc pour avoir interférence, il faut que S1 et S2 appartienne à un même l :
-) si l a on a interférence
-) si l a pas d’interférence
Exemple 1 :
Si une source a une largeur e = 0.1 mm et S1S2 = 10 cm,
on a : 30.110
100rd ===>
63
5
0.5 100.5 10 0.5
10l m mm
Exemple 2 : pour une étoile
710 rd ===> 6
7
0.5 105
10l m
(sans turbulence atmosphérique).
V) CARACTÉRISATION DE LA LUMIÈRE NATURELLE
1) REPRÉSENTATION DE LA LUMIÈRE NATURELLE
Les vecteurs iE qui caractérisent les vibrations s’écrivent :
1 1 1cos( )E A t
2 2 2cos( )E A t
……………………
cos( )i i iE A t
Pour cela, on écrit :
Suivant Ox : 0 cos( )xi x
i
X E X t
Suivant Oy : 0 cos( )yi y
i
Y E Y t
A un instant t’, les précédentes relations s’écrivent :
Suivant Ox : '0 cos( )
x
i x
i
X E X t
Suivant Oy : '0 cos( )
y
i y
i
Y E Y t
2) COHÉRENCE
L’incohérence est caractérisée par la non existence d’aucune relation entre les
phases ( ) ( )x x y yet et et
l
S
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