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Lab Mécanique et Génie Civil
CC48, Place E. Bataillon
34095 Montpellier
FRANCE
joseph.gril@cnrs.fr
GEA « Biomecanique de l’Arbre »
Clermont-Ferrand
22-24/03/2017
Distributions de contraintes de croissance
dans une tige
Joseph GRIL, Tancrède ALMERAS
LMGC, CNRS, Univ. Montpellier
LMGC
Montpellier
FRANCE joseph.gril@cnrs.fr
GEA - 22-24 mars 2017
Clermont-Ferrand, France
La contrainte de croissance
• Quelle contrainte mécanique est supportée par le bois
au cours de son développement?
fonctions biomécaniques ?
conséquences pour la résistance de la tige ?
conséquences technologiques ?
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s(x,t) ? >0 tension
<0 compression
composante longitudinale (direction des fibres)
homogène à une pression
typiquement +/- 10MPa = 100bar
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Actions permanentes et transitoires
• Les phénomènes transitoires (vent, neige...) peuvent
jouer un rôle de dans la croissance en tant que signal,
mais n’ont pas d’effet sur la contrainte de croissance
– les contraintes qui en résultent ne sont pas comptées
• seuls comptent les actions mécaniques permanentes
accompagnant la croissance d’une tige:
– gravite (poids des parties de l’arbre supportes par la tige)
– contrainte de maturation en périphérie de la tige
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La contrainte de maturation
• Lors de la formation du bois, les parois des cellules subissent
des modifications biochimiques aboutissant à la mise en place
d’une contrainte mecanique initiale, dite contrainte de
maturation (s0)
• dans le cadre de l’elasticite lineaire (petites deformations) on
interprète ce phenomène comme resultant d’une deformation
a0 induite par la maturation:
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déformation a0 contrainte s0
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Limites du comportement élastique
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Comportement longitudinal
(parallèlement aux fibres de bois)
du bois dans l’arbre rupture par
défibrage, etc.
rupture par
flambement
localisé
e
s
(+) élongation
contraction (-)
traction (+)
(-) compression
+2% défauts
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Fonctions biomécaniques
• Fonctions biomécaniques
essentielles pour la stabilité
mécanique des tiges :
résistance à la flexion
améliorée, contrôle de
l’orientation…
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JE Gordon (1978) Structures: or why things don’t fall down
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Fonctions biomécaniques
• la contrainte de
croissance permet le
contrôle de l’orientation
lors de la croissance
secondaire (en
diamètre) d’une tige
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Conséquences technologiques
• Conséquences technologiques le plus souvent négatives : fentes en bout,
distorsion des sciages, propriétés indésirables ou imprévues du matériau...
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Distribution typique
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-1200
-900
-600
-300
0
300
600
-15 0 15L G
RO
WT
H S
TR
AIN
(10
-6)
Radial position (cm)
Sugi 35 years
upper lower pith
• La contrainte de croissance est mesurée indirectement par le
biais de la déformation résultant de son annulation:
s + Ds = 0 s = - Ds = - E x De
Contrainte annulée
en sciant à proximité
des jauges
déformation mesurée
par la variation de
résistance de jauges photos H. Yamamoto
s /E = -De
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Calcul de la contrainte de croissance
• La contrainte de croissance se calcule par application
de deux principes :
– additivité des incréments de contrainte (superposition)
– le bois n’est charge qu’à partir du moment où il est forme
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contrainte générée
par le processus de
maturation cellulaire
date
d’apparition
du bois
incrément de contrainte
à une position x
donnée du fait du
développement
ulterieur de l’arbre
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Hypothèses de calcul
• Hypothèses pour le calcul de la contrainte de
croissance dans une portion de tige:
– Application instantanée de la contrainte de maturation
– Equivalence temps – taille
– structure élancée: formalisme de la résistance des matériaux
‘une section plane reste plane’ (et orthogonale à l’axe neutre)
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• dans une tige en croissance le bois doit
d’abord exister pour être charge
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(density )
gHA
Vg0
s
2R
H
area A
gH0 s
A
dVgdR,r
R
r
R
r ss
r: position radiale du bois
R: rayon de la tige
3/2
n
0
Rr14
Rr1n
2nR,r
+
s
s
(n=2/3)
Pour une allométrie stable H Rn :
Small even in giant trees:
H=100m, R=5m 4s0=4MPa
s0
s(r,R)
• Un pilier artificiel est généralement
chargé une fois fabriqué
Tronc vertical équilibré: effet de la gravité
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• tension du nouveau bois équilibrée par de la
compression repartie sur tout l’ancien bois :
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sL(r,R)
2R
R2
R
)R,r(0R.R.R2.
m2m s
ss+s
+
tension
-
compression R2
2RR
2R R
s<0
sm>0
Tronc vertical équilibré: effet de la maturation
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• tension du nouveau bois équilibrée par de la
compression repartie sur tout l’ancien bois :
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s r,R( ) = s0 r( ) +¶s
¶ ¢Rd ¢R
r
R
ò
sL(r,R)
2R
s02pR.dR +ds.pR2 = 0 Þ¶s(r,R)
¶R= 2
s0
R
+
tension
-
compression
– Modèle non valable pour r petit (dominance des autres
tissus: moelle, écorce...)
– Typiquement s0 ~ ½ limite élastique NON négligeable
For s0 = cte: For s0(R) = aRk:
s r,R( ) = s0 1+ 2lnr
R
æ
èç
ö
ø÷ s(r,R) = s0(R)
(2+ k)(r / R)k -2
k
• Distribution is integrated by considering a non-zero
initial condition (= maturation stress sm)
Tronc vertical équilibré: effet de la maturation
(Kübler 1959) r>r0
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s(x)
s0 x
s0
2R
Inertia I
Longueur L
2R
Inertie I
• poure ou tige
encastrée,
soumise à la
gravité
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avec allométrie constante LRn
R
Lg2
I
)2/L.(Vg
I
M
R
2
00
s
s
RyRy8
Ry1Ry1n
1nR;0,y
3/1
2n2
0
+
s
s
Tige horizontale (axisymmetrique) : effet de la gravité
Pour une poutre artificielle :
ssR
r
R
r z,yz,y
dMI
ydR;z,y
Pour une tige en croissance :
(n=2/3)
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x Length L
2R s(x)
Croissance stationnaire:
• Tige horizontale et encastrée, maintenue horizontale par la
contrainte de maturation
Contrainte de croissance dans une tige horizontale
contrainte totale = contrainte de maturation (s0)
¶s
¶Rx,R( ) = 0 Þ s x,R( ) = s x, rx( ) +
¶s
¶RdR
rx
R
ò = s0 x( )
x rx
R
Contrainte de maturation nulle en moyenne (ex. résineux)
• A chaque incrément de charge, la flexion induite par la couche en
matiration compense exactement le poids additionnel
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• redressement actif d’une tige inclinee et excentrique
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Exemple de croissance non stationnaire
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Conclusion
• Une répartition spatiale des fonctions mécaniques de la tige:
– La maturation sollicite surtout le coeur biologique (moelle)
– les actions transitoires (vent...) sollicitent surtout la périphérie, peu le coeur
géométrique
– La gravité (pour une tige inclinée) sollicite les zones intermédiaires
peut être mis en défaut en cas de forte excentricité
(coeur geometrique ≠ coeur biologique)
• Généralisation des approches:
– Formulation numérique incrémentale possible pour décrire des situations
complexes
– Loi de comportement anélastique (seuil de contrainte plastique,
endommagement) arbres creux ...
– Comportement dépendant du temps
– Contribution du cisaillement au mouvement des tiges sur le long terme
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Growth stresses in a horizontal stem
Average stress in maturing wood layer > 0 (e.g. angiosperms)
• At each growth increment sm can be split into its average and an
antisymmetric contribution:
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sDsD+ss
+
0d.)(
dRR
R
mm
x <sm>
+ = Ds+s
Dss
s(x)
x <sm>+s
<sm>-s
x
dR
support +
maturation (antisymmetric )
maturation
(mean)
growth
stress
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• tige verticale ou inclinée, dont la réaction
équilibre la flexion due au poids propre
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Exemple de croissance stationnaire
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angle des microfibrilles dans S2 50° 0°
teneur en lignine 35% 15%
Teneur en cellulose cristalline 15% 30%
Contrainte de
croissance + 0,1% -0,6%
BC BN BT
Elaboration du matériau
Modifications dans les bois de réaction
Bois de
tension -0,4%
0,4%
0 20 40
Mean Microfibril angle (°)
Lon
git
ud
inal
Matu
rati
on
Str
ain
Cryptomeria japonica D. Don
Chamaecyparis obtusa Endl.
Magnolia obovata Thunb.
Buxus
Eucalyptus
Bois de
compression
Modifications dans les bois de réaction L’angle des microfibrilles en fonction de l’état de contrainte
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