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ELECTROSTATIQUE 1
1. La charge, llectricit 3
1.1. Effet des charges lectriques 4
1.2. Proprits des charges 4
2. Interaction lectrique 5
2.1. Loi de Coulomb 5
2.2. Principe de superposition 8
2.3. Exemples 9
3. Le champ lectrique 10
3.1. Charge ponctuelle 10
3.2. Systme de n charges discrtes 11
3.3. Exemple 12
4. Le potentiel lectrique 13
4.1. Potentiel cr par une charge q 13
4.2. Potentiel cr par un systme de n charges 13
4.3. Relation entre potentiel et champ lectrique 14
4.4. Exemples : 16
5. Energie potentielle dinteraction 17
5.1. Cas d'une source ponctuelle 17
5.2. Energie potentielle d'un systme de charges 18
5.3. Exemple 19
6. Diple lectrostatique 20
6.1. Prambule 20
6.2. Dfinition Erreur ! Signet non dfini.
6.3. Diple molculaire 22
6.4. Moment dipolaire induit 22
6.5. Calcul du potentiel cr par un diple 23
6.6. Exemple : diple dans un champ uniforme. 24
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 2
PREAMBULE
L'lectromagntique = une "branche" de la physique :
L'univers = une succession dassemblages
Ces assemblages sont dus des interactions
la plus familire et la plus visuelle
forces de gravitation longue porte (1/r), faible intensit
(dues la masse) toujours attractive
longue porte (1/r), forte intensit
forces lectromagntiques (1040 fois lus que la gravitation)
(dues la charge) attractive ou rpulsive
faible porte (1/r7)
- forces nuclaires 2 types : forte et faible
(dues la couleur) physique nuclaire
les forces lectromagntiques sont responsables de presque
tous les phnomnes qui se produisent notre chelle
L'lectrostatique : interaction entre corps chargs :
- au repos lectrostatique - en mouvement uniforme magntostatique - en mouvement quelconque lectromagntique
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 3
1. La charge, llectricit
On ne peut dfinir la charge que :
- par leffet quelle produit
- par ses proprits
Quest-ce quon entend par particule charge ?
- Les particules :
Particules Charge Masse
proton + 1,62 10-19 C 1672 10-30 kg
lectron - 1,62 10-19 C 0,911 10-30 kg
- La matire lectrise (corps charg)
En gnral, la matire est neutre mais elle peut tre lectrise :
- ionisation : le nbre dlectrons est modifi (perte ou gain)
- polarisation : modification de la rpartition des charges
Dfinition :
charge ponctuelle = particule ou corps charg dont les dimensions
sont ngligeables devant la distance d'interaction.
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 4
1.1. Effet des charges lectriques
Mise en vidence exprimentale : - 2 types d'effet : attractif - rpulsif
- effet longue porte
- effet 1040 fois plus important que la gravitation
1.2. Proprits des charges
Quantification de la charge : (Millikan 1868 - 1953)
- Au dbut du sicle : lectricit = fluide
- Dcouverte de la structure atomique :
ide de la quantification de la charge
- dcouverte de l'lectron Thomson en 1897
- charge de l'lectron Millikan (e = 1.62 10-19 C)
- charge du proton : exactement l'oppose de celle de l'
Conservation de la charge :
la charge totale dun systme isol est constante
Exemple :
- dsintgration dun neutron : n e + p + neutrino
- matrialisation dun photon : e- + e+
aucun change de
matire avec lextrieur
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 5
q2
r 12u
q1
2. Interaction lectrique 2.1. Loi de Coulomb
L'interaction est caractrise par une intensit et une
direction reprsentation vectorielle
Coulomb, grce son pendule de torsion, va quantifier cette
interaction
On considre :
- 2 charges q1 et q2
- 12u
un vecteur unitaire dirig de 1 2
- r la distance qui spare les 2 charges.
12F est la force produite par q1 et qui agit sur q2 :
1 212 12 21. .
q qF K u F
r= =
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 6
1 212 12 21. .
q qF K u F
r= =
K > 0
r > 0 c'est le produit q1q2 qui donne le sens de 12F
12u constant
q1q2 > 0 12Fa le mme sens que 12u
q1q2 < 0 12Fa le sens oppos 12u
Units : MKSA
F Newton dfini en mcanique r en mtre dfini en mcanique q en Coulomb dfini partir du courant : q= i.dt
K = 0
1
4pi = 8,9875.109 S.I. 99.10K SI
0 est la permittivit du vide 0 = 8,854 . 10-12
q1 12u
r
12F
q2
q1 12u
r 12F
q2
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 7
Finalement : 1 2
12 12
0
.4
q qF u
rpi=
REMARQUES
1 - La loi de Coulomb sapplique 2 charges ponctuelles
2 - La loi de Coulomb sapplique 2 charges ponctuelles
places dans le vide
Un milieu matriel va modifier la valeur de 0 :
Air Vide Eau Verre Silicium
0 79 0 9 0 12 0
EXEMPLE : interaction entre un proton et un lectron
Modle de Bohr (atome d'hydrogne)
proton au repos + lectron anim d'une vitesse v
0
.
4 e
eF N
rpi
=
et vN
r =
or 6
0
1. 2.1 10 /
4e
e
F m v e m sm r
pi
= = =
v
r eF
proton
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 8
2.2. Principe de superposition
La force avec laquelle interagissent deux charges nest pas affecte
par la prsence dune troisime charge
1re configuration :
1 221 212
12
. .q q
F K ur
=
2me configuration :
1 231 312
13
. .q q
F K ur
=
3me configuration :
F = F21 + F31
Dune manire plus gnrale : 1ii
F F=
loi de Coulomb et base de llectrostatique principe de superposition
q2 q3
r12
q1
q1
r13
q3 q2
q2
r12
F q1 r13
q3
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 9
2.3. Exemples
4.1 Pendule charg angle de dviation l'quilibre?
- angle ?
- force sur A ?
- valeur de q ?
A.N.: m = 0.1g; = 10cm ; d = 1cm ; = 5
4.2 Equilibre des forces
Q/2 Q/2 Q/n
O M A(x=) x
Force sur la boule M ?
Equilibre ?
d
A B
A B
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 10
3. Le champ lectrique 3.1. Charge ponctuelle - on considre de nouveau le systme de 2 charges q1, q2
- on exprime 12F l'aide d'un nouveau vecteur :
1 2 112 12 2 12 2
0 0
. . .4 4
q q qF u q u q E
r rpi pi= = =
1E reprsente le champ lectrique cr par la charge q1
112
0
.4
qE u
rpi=
la charge q1 perturbe son environnement...
...le champ 1Ecaractrise cette perturbation
1( )E M
M
q1
Si on place une charge q en M elle subit la force :
( )F qE M=
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 11
3.2. Systme de n charges discrtes
ensemble de charges q1, q2, q3, ...,qn
places en des points M1, M2, ...,Mn
Action de ce systme sur une charge q0 place en M (x, y, z) ?
00 0 02 2
1 10 0 0 0
0
1
0
. . .4 4
.
.
i n i ni i
i i
i ii i
i n
i
i
q q qF u F q u
r r
F q E
F q E
pi pi
= =
= =
=
=
= =
=
=
E est le champ lectrique (ou lectrostatique)
du systme de charges q1, q2,...,qn.
021 0 0
( , , ) .4
i ni
i
i i
qE x y z u
rpi
=
=
=
systme de charges q1,...,qn = LA SOURCE du champ lectrique
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 12
3.3. Exemple
4 charges q places aux 4 coins d'un carr imaginaire de ct
a.
Champ lectrique en M sur l'axe Ox ?
(axe | au plan du carr et passant par son centre).
A
q
a
D
q
O M
q B ( )E M
x
C AME
q
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 13
4. Le potentiel lectrique
On peut caractriser la perturbation du milieu due la
prsence de charges lectriques par une fonction scalaire :
le potentiel lectrostatique V(x,y,z)
4.1. Potentiel cr par une charge q
e potentiel en un point M,
situ la distance r de la charge q est :
0
1( )
4
qV M
rpi=
4.2. Potentiel cr par un systme de n charges
e potentiel en un point M
cr par ensemble de charges q1, q2, q3, ...,qn
places en des points M1, M2, ...,Mn est :
10
1( )
4
ni
i
qV M
rpi=
avec i ir M M=
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 14
4.3. Relation entre potentiel et champ lectrique
Champ lectrique variation du potentiel dans l'espace
E gradV=
dfinition
:
Vx
VgradVy
Vz
:
x
y
z
VEx
VE Ey
VEz
=
=
=
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 15
Relation "inverse" :
fonction potentiel
Si dans l'espace rgne un champ lectrique ( , , )E x y z
la fonction potentiel en un point M(x,y,z) s'crit :
( ) .V M E d=
o d est le vecteur "dplacement lmentaire" : :
dx
d dy
dz
. . .x y zE d E dx E dy E dz= + +
i
( ) . . .x y zV M E dx E dy E dz= + +
Le calcul de V(M) fera apparatre une constante d'intgration :
le potentiel n'est dfini qu' une constante prs
Diffrence de potentiels
La diffrence de potentiels entre les points P1 et P2 s'crit :
2
1 2 2 11
. ( _ )P
PP P PP
V V E d V V = = =
REM : pas de constante d'intgration
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 16
4.4. Exemples : 1. Champ lectrique entre 2 plans chargs On montre que le champ lectrique entre les 2 plans est homogne
Par convention E est dirig du + vers le - :
ici E est donc suivant -Ax: E Ei =
VA VB (>VA) Potentiel en M(x) :
( ) . .V M E d E x K= = +
or V(x = 0) = VA ( ) . AV M E x V= +
Diffrence de potentiels entre les plaques :
. .B B
ABA A
V E d E dx= = .ABV E d=
2. un systme de charges engendre : V(x,y,z) = 3x-y3
6
: 3
0
x
y
z
VE xx
VE E yy
VEz
= =
= =
= =
6 3E xi yj= +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
A M B
x x
d
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 17
5. Energie potentielle dinteraction 5.1. Cas d'une source ponctuelle Energie : capacit d'un systme fournir un travail
Travail : produit d'une force par le dplacement qu'elle engendre
On considre - un espace repr par (Oxyz)
- un champ lectrique ( , , )E x y z
- une distribution de potentiels V(x,y,z)
'nergie potentielle d'une charge q place en M(x,y,z) est :
UP = qV(x,y,z)
5.2. Cas d'une source ponctuelle source du champ = charge ponctuelle q1 V1(x,y,z) connue
l'nergie potentielle d'une charge q2 place en M(x,y,z) est :
1 22
0 12
1( ) .
4P
q qU q
rpi=
REMARQUE :
'nergie potentielle de la charge q1 dans le champ cr par q2 :
2 11 2
0 21
1( ) . ( )
4P P
q qU q U q
rpi= =
On choisit dcrire : UP= (q1V2 + q2V1)
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 18
5.3. Energie potentielle d'un systme de charges
Quelle nergie faut-il dpenser pour constituer le systme de n
charges ?
1re charge q1 pas d'nergie 2me charge q2 nergie : q2V1 ou q1V2 3me charge q3 nergie : q3(V1+V2) ou V3(q1+q2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - nme charge qn nergie : qn(V1+V2+ ... +Vn-1) ou Vn(q1+q2+...+qn-1)
nergie totale du systme de charges :
0
1 1.
2 4
j
P i
i j i ij
qU q
rpi
=
ou encore 1
2P i i
i
U qV=
Vi = pot. au pt Pi
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 19
5.4. Exemple
Chane quasi infinie d'ions rgulirement aligns
Chaque ion a un degr d'ionisation est de 1
a
potentiel en O (sans l'ion) ?
dveloppement de la fonction ln(1+x)=x x/2 + x3/3 -
nergie potentielle de l'ion plac en O ?
nergie totale ?
+ _ _ _ _ _
+ + + + +
x' O x
_
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 20
6. Diple lectrostatique
6.1. Prambule
On considre :
- un ensemble de charges qi (+ et -)
- places en des points Ai,
- dans un volume fini,
- au voisinage dun point O,
et 1 point M tel que :
iOM ru=
et OM = r >> OAi = ai
Potentiel V(M) ? :
0
1( ) .
4i
i i
qV M
rpi=
Si 0ii
q = le problme se traite d'une faon particulire : diple lectrique
z
M
ri Ai r
q
O iu
y
x
z
Ai
+q
O
-q y
x
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 21
6.2. Moment dipolaire
Si 0ii
q = on remplace le systme de charges par 2 charges en N et P
On considre :
- un systme de 2 charges +q et -q
- a = PN
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 22
6.3. Diple molculaire
Molcule forte symtrie :
barycentre des charges + barycentre des charges -
Molcule dans le cas gnral :
les 2 barycentres sont distincts, molcules polaires
sont assimilables des diples de moment dipolaire p
p sexprime alors en debye (D) : 1 D = 1/3 . 10-29 C.m.
Exemple :
Anhydride chlorhydrique Eau
6.4. Moment dipolaire induit Un champ lectrique appliqu une molcule non polaire
moment dipolaire induit
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - -- - - - - - - -
p = 1.03 D
p = 1.84 D
H
H C H
H
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 23
6.5. Calcul du potentiel cr par un diple
Diple NP potentiel en M ?
- coordonnes polaires
- origine en O milieu de NP
- droite NP = origine des angles
Dfinition du potentiel :
V qPM NM
=
41 1
0pi.
Dans le cas dun diple : OM = r >> a
PM r - (a/2)cos PM r(1 - (a/2r)cos) NM r + (a/2)cos NM r(1 + (a/2r)cos)
Taylor : ( -1) ( -1)( -2)(1+x) = 1 + x + ...2! 3!
+ + si x
Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04
SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 24
6.6. Exemple : diple dans un champ uniforme.
champ lectrostatique uniforme 1 0E E i=
potentiel du plan yOz (x = 0) : V = V0
On place alors en O un diple de moment p pi=
- potentiel V en un point M de coordonnes (r, ) ?
- de quoi se compose lquipotentielle V = V0 ?
- champ lectrostatique total E ?
y
1 0E E i=
V0
p x
z
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