Enseigner les mathématiques en maternelle, les … les mathématiques en maternelle (la...

Enseigner les mathématiques en maternelle (la construction du

nombre), les apports de la recherche

Denis Butlen, professeur des universités, ESPE de Versailles,

Laboratoire de Didactique André Revuz

Les premiers apprentissages numériques à la maternelle

• introduction

Les apports de la recherche : deux types d’apports

complémentaires

Psychologie cognitive et du développement

La didactique des mathématiques

Des apports complémentaires • Les recherches en psychologie cognitive (en amont des

secondes) nous renseignent sur – Le(s) sujet(s) cognitif(s) – Les processus d’apprentissage en général – Les cheminements cognitifs des élèves,

• Les régularités et les diversités, les obstacles • les étapes à ménager

• Les recherches en didactique des mathématiques (en aval des premières) nous renseignent sur – le sujet scolaire (l’élève ou les élèves) – Les itinéraires cognitifs à proposer aux élèves – Les conditions de mise en œuvre (contraintes, pratiques

enseignantes) – Les effets effectifs ou potentiels (recherches souvent qualitatives

pour les premiers) sur les apprentissages

Psychologie cognitive : une synthèse de résultats, des repères pour

penser un enseignement

D’après M. Fayol (conférence de consensus sur la numération,

rapport)

De l’intuition des grandeurs et quantités aux nombres naturels

Intuitions innées, capacité de base

Intuitions innées • « Existence d’intuitions innées, souvent considérés comme

héritées de l’histoire des espèces, qui guideraient l’enfant dans ses apprentissages et acquisitions ultérieures » M. Fayol

• « capacité présymbolique portant sur la perception des grandeurs et des quantités (sans doute traitées de manière similaire) se manifestant de deux manières différentes» – sans que le caractère numérique de la distinction soit affirmé, des

bébés semblent capable de différencier une entité quelconque de deux et deux de trois

– De même, ils semblent capables de discriminer de grandes quantités ou grandeurs (cf. ci-dessous)

• Ces capacités de traitement toutefois seraient limitées en étendue (quantités et grandeurs restreintes) et en précision (approximatives sauf pour les petites quantités)

Capacité de base • Cette capacité de base

– permettrait • une estimation approximative et une comparaison rapide des

quantités et grandeur • La perception d’ajouts et de retraits et de leur effets

– Serait • automatique, • inaccessible à la conscience et non symbolique • Indépendante, au moins initialement, du langage et de l’éducation

• La comparaison de quantités ou grandeurs – serait soumise à des effet de distance (plus facile quand elles

sont éloignées (tailles souris, éléphant) – Devient difficile avec la taille (125/126 – 25/26 – 5/6) (cf.

Fischer)

• Des différences individuelles sont perceptives très tôt • Cette capacité d’estimation subsiste chez l’adulte

Le rôle du langage, des systèmes symboliques

• L’approximation s’améliore en fonction de l’âge (le développement) et de l’environnement (notamment avec l’utilisation possible de systèmes symboliques (verbaux ou chiffrés) pour quantifier précisément les quantités

• Ils permettent seuls de dépasser les limitations initiales en permettant d’exprimer toute quantité avec le même degré de précision

• Si on observe un développement rapide de l’acquisition du lexique et de la syntaxe (au-delà des différences individuelles) à partir d’un certain âge (12 à 18 mois) ; l’apprentissage du nom des nombres et des conduites de dénombrement (composantes du dénombrement) présente une évolution plus complexe

La quantification des collections

Une évolution complexe

• Certains enfants (dès de 2 ans et demi ou trois ans) peuvent s’avérer capables d’énoncer assez loin la suite des nombres sans toutefois que la mise en relation avec la valeur cardinale des nombres soit établie surtout à partir de trois

• Ils ne semblent pas comprendre la relation entre comptage et cardinal • Un résultat : « l’apprentissage de la numération verbale et du nombre

s’étale sur une longue période et soulève de nombreux problèmes, souvent sous-estimés »

• Les enfants sont capables de discriminer – à 6 mois (visuellement et auditivement) des quantités non symboliques dans

un rapport de 1 à 2 (16 et 8 et non 8 et 12) – à 9 mois dans un rapport 2 à 3 (8 à 12 non 8 à 10) ; – 3 et 6 ans dans un rapport 3 à 4 et 4 à 5 mais n’égale pas la capacité d’un

adulte (10 à 11)

• Les capacités de discriminations seraient plus précoces pour les grandeurs que les quantités (entre 3 et 6 ans) bien que se développant en parallèle

Un résultat et deux hypothèses de travail à prendre en compte

• Un résultat : – l’intuition des grandeurs et des quantités numériques

• se développe très tôt, • S’améliore au cours de la période préscolaire continue d’évoluer après

les débuts de l’enseignement scolaire

– Ils existent d’emblée des différences interindividuelles importantes (Lautrey)

• Deux hypothèses : • « Éventuelle existence d’un mécanisme initialement

commun intervenant dans le traitement des grandeurs et des quantités »

• « La possibilité que l’acuité de la discrimination des grandeurs et des quantités soit reliée aux habiletés de manipulation des symboles mathématiques »

Corrélations entre performances à des comparaisons symboliques et non symboliques

• Une recherche portant sur des études transversales et longitudinales montre une relative corrélation entre performances aux comparaisons non symboliques comme symboliques aux performances mathématiques deux années plus tard

• Mais celle-ci reste faible ce qui peut laisser penser que: – De nombreux autres facteurs interviennent – la performance aux comparaisons non symboliques n’ont

d’effet que par un transit par l’acquisition de formulations symboliques verbales, arabes ou signées

• Des expériences sur des adultes semblent confirmer ce résultat

L’acquisition de la suite verbale de noms de nombres

rapides rappels sur la numération orale

• Contrairement à certains systèmes de numération asiatiques , on ne parle pas comme on écrit en France – système hybride orale (ou polynomial) – Système de position chiffré

• L’existence, la forme et le fonctionnement des systèmes verbaux de dénomination des quantités numériques dépendent des cultures et présentent d’importantes différences

• Des règles syntaxiques dépendant des cultures permettent de désigner les nombres qui s’appuie sur un lexique (associant la valeur cardinale et dénomination unique) plus ou moins étendu – Un à seize en Français pour les petites quantités (en fait une infinité de termes

lexicaux en numération orale comportant de nombreuses exceptions) – Un à dix en Chinois – Un à douze en anglais

• Qui s’appuient de plus sur des combinaisons de types additifs ou multiplicatifs

Système de numération avec des mots-

nombres • Les bases :

– Base dix avec base auxiliaire mille

– des traces de bases " anciennes ": seize, vingt

• Trois types de chiffres représentant respectivement: – Les puissances de la bases: dix, cent, mille, million, etc. (lesquels ?)

– Les coefficients multiplicatifs des puissances de la base: zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize (parfois utilisés localement)

– Des concaténations des deux précédents: vingt (pour deux dix), trente (pour

trois dix), quarante, cinquante, soixante .

• Opérations implicites: multiplications, additions .:. On ne peut pas écrire tous les nombres

Des résultats concernant l’acquisition de la chaine verbale

• La chaine verbale orale s’acquiert entre deux et six ou sept ans pour une large part (sauf les grands nombres)

• Les suites produites s’organisent autour d’une partie stable et conventionnelle qui s’accroit avec l’âge et la pratique surtout à partir de 4 ans et demi

• La progression est au départ lente et difficile et les différences interindividuelles sont faibles

• À partir de 4 ans et demi, le rythme s’accélère et les enfants peuvent utiliser la combinatoire ; des différences significatives existent entre les performances des enfants asiatiques et occidentaux (dues certainement au système combinatoire lui-même).

• Les différences interindividuelles des enfants occidentaux augmentent avec l’âge et sont liées à des phénomènes de maturation et d’environnement (sollicitation du milieu familial et scolaire)

Des résultats concernant l’acquisition de la chaine verbale

• L’organisation progressive de la suite verbale se manifeste par l’indépendance progressive des noms des nombres les uns par rapport aux autres – Chaîne non-analysable ou insécable

– Chaîne sécable permettant des comptage à partir de un (en avant) puis à partir d’un terme donné puis en arrière et le traitement d’additions et de soustractions simples par simulations des situations (ajout/avancer-retrait/reculer)

– Puis une étape permettant non seulement le dénombrement des entités mais aussi celui des chiffres utilisés pour aller d’un nombre x à un nombre y. Les opérations deviennent possibles

Des noms des nombres à la désignation des quantités

La connaissance du noms des nombres n’assure pas la relation avec

la cardinalité

Une évolution lente • La mise en relation des noms de la suite verbale et des quantités est

la question cruciale • Une construction lente de cette relation déjà diagnostiquée au début

du 20e siècle. • Un (donner un objet) vient vers 2 ans et demi, puis deux (vers 3ans et

3 ans demi/4ans) puis trois (3 ans demi/4ans). C’est après que les enfants découvriraient le principe de cardinal et la fonction du successeur (nom et quantité du précédent augmentée de un)

• Deux explications sont données pour expliquer cette lenteur – La catégorisation qu’implique la cardinalité – Le codage de l’accroissement de la quantité par l’ordre

• La reconnaissance de collection de même cardinal ne va pas de soi (expérience des cartes Mix, 1999) – les enfants progressent de 3 ans à quatre ans reconnaissance de

collections équipotentes homogènes puis peu hétérogènes puis hétérogènes)

– La connaissance des noms des nombres influe sur les résultats

Une évolution lente

• « L’utilisation de la numération verbale pour déterminer le cardinal d’une collection nécessite aussi le principe selon lequel le langage encode la quantité »

• il n’y a pas de trace d’augmentation de la quantité apparente quand on passe de cinq à six, il faut une installation automatique en mémoire de cet accroissement lié à l’ordre des noms des nombres : problème majeur des enfant de 2 à 5 ans.

Le langage pourrait intervenir comme un outil cognitif facilitant la constitution de la cardinalité et la mise en relation avec la disposition du lexique

Le dénombrement, la quantification par le comptage

Les travaux de R. Gelman et des suivants

Le dénombrement, le comptage

• La quantification précise de grande quantités nécessite le recours au dénombrement

• Le dénombrement requiert en général la coordination de deux activités (à synchroniser): – Une activité verbale de rerémoration et

d’énonciation de la comptine (chaîne verbale)

– Une activité motrice de pointage digital ou visuel assurant le traitement correct de tous les éléments de la collection

Gelman et Gallistel 1978 • Quand un enfant fournit des réponses différentes lors

de deux dénombrement s successifs d’une même collection, on peut apporter deux types de réponses : – Soit la compétence n’est pas acquise – Soit les erreurs sont dues à des difficultés de mise en œuvre

des procédures de comptage liées à des problèmes d’attention, de mémoire ou autres

• Cette seconde hypothèse a renouvelé l’étude du comptage dans les années 70-80

• Cinq principes sur lesquels reposerait le comptage et disponibles chez des enfants très jeunes

• la mise en correspondance un à un de chaque objet décompté avec une seule étiquette verbale • L ’ordre stable : la suite des étiquettes verbales suit une séquence fixe • La cardinalité d ’une collection est obtenue directement par la dernière étiquette verbale formulée • L ’abstraction : l ’hétérogénéité des entités d ’une collection n ’a aucun impact sur leur

dénombrement • La non pertinence de l ’ordre : l ’amorce du décomptage à un endroit donné ou à un autre de la

collection n ’a pas d ’incidence sur le résultat

Expérience de la poupée : épreuve de jugement (3 ans à 6 ans)

• Les enfants doivent évaluer si la procédure utilisée par une poupée est conforme ou non alors que celle-ci recourt ou non à des manières conventionnelles de compter (éléments adjacents, suite conventionnelle)ou à des procédures erronées

• Les performances des enfants semblent respecter l’hypothèse des principes mais leur mise en œuvre varie en fonction de ceux-ci – Précocement acquis : le respect de l’ordre des noms des nombres – Moins précocement acquis : la cardinalité

• règle implicite la quantité est certes désignée par le dernier mot prononcé mais ne renvoie pas au cardinal

• Numérotage plutôt que expression de la quantité

• Les enfants semblent suivre des pseudo-principes (1984) – À 3 ans, 95% des enfants jugent corrects les dénombrement exacts

suivant des manières conventionnelles – 75% ceux qui ne relèvent pas de manières conventionnelles mais sont

exacts – Ils rejettent à 57% ceux qui sont erronés

Expérience de la poupée : épreuve de jugement (3 ans à 6 ans)

• Etude au Pays-Bas : principes tous acquis par seulement 50% des enfants à la sortie de maternelle. De plus cela semble avoir des effets ensuite sur les performances arithmétiques (mais faible variance 14%)

• En fait il semble que ce soit le niveau de performances en son propre dénombrement qui semble conditionner les performances en jugement et non l’inverse comme le prédisait Gelman

• Le débat persiste sur ce point entre ceux qui pensent que les principes génétiquement déterminés guident l’acquisition du comptage et ceux qui considèrent que c’est la maîtrise progressive de la procédure de dénombrement qui conditionnent les performances de jugement.

• L’observation d’autrui jouant un rôle dans l’évolution des procédures pour certains enfants (prise en compte des éléments adjacents plutôt que de commencer au milieu et dans un sens conventionnellement admis)

Expérience de la poupée : épreuve de jugement (3 ans à 6 ans)

• Intérêt persistant de la thèse de Gelman : « réside dans le fait de rendre compte de l’instabilité des performances et de distinguer les erreurs de performances des difficultés de compréhension conceptuelle. »

• « En résumé, une fois dépassée la période du début de l’acquisition des relations entre les noms des nombres et les quantités, l’utilisation de la chaîne verbale dans les activités de dénombrement progresse assez rapidement et facilement lorsque les conditions de l’activité sont simples. La majorité des enfants parvient précocement à coordonner les deux dimensions verbale et motrice. Les erreurs relèvent plutôt de difficulté d’attention et de mémoire que de lacunes conceptuelles y compris chez les enfants présentant des difficultés »

• Certains principes posent problème : la cardinalité et l’ordre du dénombrement (sans que les raisons en soit clairement identifiées du moins en psychologie)

L’apprentissage de la numération décimale

• Les notations écrites sont généralement découvertes plus tardivement que les formes verbales des noms des nombres. Leurs productions posent aussi des problèmes spécifiques (cf. Fisher écriture à l’envers des chiffres)

• Les performances des élèves (cf. Mix, USA) sont plus grandes qu’attendues. Tout semble se passer comme si les enfants avaient une fréquentation pré scolaire des écritures chiffrées et que la mise en correspondance collections/écritures relève des compétences de la maternelle à condition – Que la relation se fasse dans les deux sens – Et pour de petites quantités surtout

• En résumé : l’apprentissage de la numération écrite ne soulève pas de problème particulier pour les nombres de 0 à 9, pour les enfants de 3 à 9 ans ; les problèmes commence ensuite de 11 à 16 et se poursuivent ensuite avec les dizaines et les formes irrégulières

Les performances en début de CP (évaluations de la DEPP)

Évaluations début CP (2011) • Les enfants ont acquis de bonnes connaissances relatives au nombre à leur

sortie de maternelle

– Suite des nombres au moins jusqu’à 30

– Dénombrement

– Correspondance entre la désignation orale et l’écriture chiffrée

• Ces acquisitions se sont renforcées par rapport à 1997, possiblement après 2008

• Ces progrès semblent contribuer à la réduction des inégalités sociales

– progrès de 15 points des enfants de père ouvrier quand il s’agit d’écrire des chiffres, des suites de nombres ou de faire des calculs simples par rapport à 1997 (45% à 60%) (toutefois progrès relatif de 15/55 si on regarde la marge de progression)

– Les enfants de père cadre n’ont progressé que de 12 points (59% à 71%) (progrès relatif de 12/41)

Des difficultés d’interprétation • Toutefois ces résultats sont à relativiser car les évaluations portent

surtout sur des aspects « superficiels » du nombre (lecture/écriture et comptage de un en un) – Compléter une suite d’écriture chiffrée de nombres peut

signifier au mieux une compréhension de la logique de numération décimale, au pire la mémorisation d’une suite de symboles

– Tous les items peuvent être réussis sans être certains que le sujet a compris la notion de successeur d’un entier (ajout de 1), y compris certaines additions (logique d’itération numérique).

– De nombreux problèmes méthodologiques soulevés par ces évaluations (part de réponses au hasard, présence d’affichage, questions d’interprétation)

– Les évaluations des élèves de CE2 de 2011 montrent que ces acquis de l’entrée en CP ne se confirment pas en CE2 deux ans plus tard (élèves contemporains des premiers)

Les recherches en didactique des mathématiques

Psychologie cognitive et didactique des mathématiques

Analyse et proposition de R. Brissiaud

Un paradoxe • Des résultats d’évaluation, notamment de la DEPP qui montrent que

paradoxalement alors que le nombre est enseigné à la maternelle, les performances des élèves en calcul ont baissé depuis

• Comment expliquer ce phénomène ? • La réponse de R. Brissiaud : on enseigne le comptage « à la Gelman »

ou le comptage-numérotage – L’accent est mis sur la correspondance terme à terme entre le mot de la

comptine énoncé et l’objet pointé (« le un, le deux, etc… » – La pédagogie du comptage selon le sens commun – Affichage et usage de la file numérique

• Fuson 1988 à la question « montre-moi les 7 objets, l’enfant montre le septième »

• Des élèves peuvent en s’appuyant sur « la longueur de la comptine restituée » comparer deux collections correctement sans être capable d’énoncer le cardinal de chacune

Les réponses apportées par R. Brissiaud

Une alternative à cet enseignement précoce : de l’enseignement des

décompositions de petits nombres à celui du comptage-dénombrement

De l’enseignement des décompositions des petits nombres 1, 2 et 3

• Enseigner d’abord les décompositions des petits nombres 2 et 3

• « Deux » ↔ « un et encore un » avec monstration des actions correspondantes et de la totalité et reproduction de celle-ci par l’élève

• « Trois » » ↔ « un et encore un et encore un » » ↔ « deux et encore un »

• Mobilisation de cette connaissance dans des tâches : – dire directement le nombre d’objets d’une collection, – donner une collection, – distinguer une collection d’une autre (2,3 ou 4) – résoudre des problèmes d’ajouts et de retrait dans ce domaine

numérique

Les apports de la théorie des situations

Les situations testées au COREM, Joël Briand et al, Margolinas

Les questions posées par les didacticiens

• Délimitation du domaine d’enseignement du nombre à la maternelle – Une décision des programmes : sans s’interdir de traiter des nombres

plus grands, assurer la connaissances des nombres jusqu’à la dizaine

• Comment découper le savoir à enseigner : les situations à aborder – Situations de référence (fondamentale) – La place et l’importance accordée aux situations « pré-numériques » :

construction, exploration et désignation de collections, l’énumération, le tri

– L’enseignement de la quantité, de la cardinalité et de l’ordinal,, l’exploration de situations de composition/décomposition et additives C. Margolinas et F. Wozniak, M. Lapara, J. Briand et al

• Dans tous les cas : justifier les activités par des situations posant un problème aux élèves

Des principes mettant en relation plusieurs approches du nombre

– Le nombre comme un outil permettant de mesure une grandeur : la quantité

– Le dénombrement est alors le processus qui associe à la quantité sa mesure c’est-à-dire le « nombre cardinal ».

– Cette construction doit être menée parallèlement à un travail sur la mesure (des longueurs notamment)

– Le « nombre ordinal » • mémoire de la position • Ordre sur une collection

– Établir des liens entre le nombre comme mesure de la quantité et le nombre comme mémoire de la position

– Travailler les décompositions du nombre sans appel aux signe opératoires (y compris sans référence direct dans un premier temps au calcul), ne pas se limiter à des compositions en deux termes

Construire le nombre comme mémoire de la quantité, comme mesure d’une quantité

• La première fonction du nombre est de mémoriser les quantités. • Comprendre la notion de quantité implique pour l’enfant de concevoir que la

quantité n’est pas la caractéristique d’un objet mais d’une collection d’objets.

• L’enfant fait d’abord appel à une estimation perceptive et globale (plus, moins, pareil, beaucoup, pas beaucoup).

• Progressivement, il passe de l’apparence des collections à la prise en compte des quantités.

• La comparaison des collections et la production d’une collection de même cardinal qu’une autre sont des activités essentielles pour l’apprentissage du nombre.

• Elles peuvent se faire selon différentes procédures : – correspondance terme à terme, – production d’une collection intermédiaire pour aboutir à la désignation du

cardinal par le nombre.

• La situation de référence : les wagons (ERMEL) mais surtout les garages (COREM)

• Une déclinaison de cette situation en jouant sur les variables

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Des variantes de la situation

• Construire une collection équipotente une collection donnée

• Construire plusieurs collections équipotentes à une collection donnée

• Construire une collection double d ’une collection donnée : deux oiseaux dans son nid

• construire une collection triple d ’une collection donnée : les clowns

• comparer des collections

• partager des collections

• Comparer des collections

L’importance des décompositions

• La maitrise de la décomposition des nombres est une condition nécessaire à la construction du nombre, notamment de la cardinalité.

– Cf. les situations de décompositions/recompositions additives décrites ci-dessous

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Activités pré-numériques et numériques

Quelques références, activités pré-numériques et activités numériques

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Quelques références

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Les situations • Des activités pré-numériques

– Construire, désigner des collections, des éléments d’une collection, une partition de collections

– Classification, tris – Enumération

• Acquisition de la chaîne numérique (activités rituelles et autres activités)

• Des activités numériques – Rangement et ordre : le nombre comme mémoire de la position – le nombre comme mémoire de quantité, comparaison de

collection – Dénombrement, décomposition, recomposition, situations

additives

• Comparaison de grandeurs

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Des activités pré-numériques aux activités numériques

Collections, désignation, tri, énumération, ordre et rangement

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Des situations pré-numériques

• Des pré-requis à la construction du nombre

– Désignation : Codage et décodage de collections (jeu du trésor)

– Tri

– Enumération ( Boîtes d’allumettes et autres activités d’énumération)

– Ordre et rangement (du pré-numérique au numérique et au dénombrement

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Activités de désignation

Construire des collections

Coder et décoder des collections

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Collection et classification

Équipe Bordeaux, cd-rom

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De la petite à la grande section

• Recherche du début des années 80 de Perez

• Pas explicitement dans les programmes

• PS, savoir se souvenir et désigner collectivement une collection de 15 objets

• MS : se souvenir grâce à un codage (fourni progressivement par l’enseignant) d’un nombre important d’objets (12) d’une collection (30)

• GS : idem mais les élèves produisent le codage

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Activités de tri et classement (suite)

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Tri de graines (PS)

• il s ’agit de ranger chaque catégorie de graines dans une boîte d ’allumettes (3 boîtes identiques), il y a trois catégories

• durée : 1 mois,

• deux phases

– boîtes ouvertes

– boîtes fermées (l’activité de tri : mobilisation effective des connaissances relatives à la collection (classification) et à l’énumération)

– prolongements (5 boîtes fermées, 5 catégories de graines)

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Enumération

Un pré-requis insuffisamment enseigné

(J. Briand)

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Quelques repères (2) • Utile dans la vie courante (faire ses courses avec une liste)

• Sert pour les opérations et la combinatoire

• Une compréhension plus fine de la procédure

• Les tâches de comptage des éléments d’une collection: l’élève doit nécessairement : – 1. Être capable de distinguer 2 éléments différents d’une collection

– 2. Choisir un élément d’une collection

– 3. Énoncer le mot nombre (un ou le successeur du précédent dans une suite)

– 4. Conserver la mémoire de collection des éléments déjà choisi

– 5. Concevoir la collection des objets non encore choisis

– 6. Recommencer pour le reste de la collection tant qu’il y a des objets à choisir

– 7. Savoir que l’on a fini

– 8. Énoncer le dernier mot-nombre.

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Enumération ( Boîtes d’allumettes MS)

– Matériel : huit à quinze boîtes d ’allumettes identiques percées des deux côtés, une boîte plastique comportant des allumettes

– situation : L ’enfant doit introduire une allumette et une seule dans chaque boîte

– validation : ouverture des boîtes

– Variables de la situation :

• 8 boîtes fermées mobiles (possible en PS),

• 15 boîtes fermées mobiles (MS), observateur muet ou conseiller

• 15 boîtes fermées mobiles (MS), un autre élève doit continuer le travail

• 15 boîtes fermées fixes. Seul puis interruption du travail et continuation par un autre élève

– Forme de travail : atelier, 15 mn, individuel

– D’autres variantes : mettre un jeton dans chaque alvéole, jouer sur la taille de la collection

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Enumération ( Boîtes d’allumettes MS)

• Les procédures : – Pas de stratégie bien définie

– Exploration en ligne (la plus utilisée : 10)

• a. De gauche à droite et de bas en haut (6/10)

• b. De droite à gauche de haut en bas (1/10)

• c. De bas en haut alternant droite vers gauche et gauche vers droite (2/10)

– d. Exploration par arcs de cercle concentriques en débutant en bas à droite (5)

– e. Mélange d et c (3)

– Exploration circulaire non organisée (3)

– 5 élèves n’ont pas produit de marquage (dont 4 avec succès)

Une connaissance plus grande du problème

• C. Margolinas et F. Wozniak, M. Lapara

• Margolinas et Lapara retiennent des travaux de J. Briand « que l’énumération est l’action de structuration d’une collection qui permet de la parcourir d’une façon systématique et donc ordonnée. L’énumération est nécessaire au comptage, mais ne dépend pas de la connaissance de la comptine.

• Elles reprennent l’idée de Briand qui a montré qu’il existait des situations d’énumération sans comptage et que l’énumération était didactifiable et enseignable.

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• Ce concept intervient (en creux) dans plusieurs situations de différentes disciplines (EPS, lecture/écriture, mathématiques)

– Dans la séance « des ballons », le professeur prend de manière non consciente en charge les gestes nécessaires à la réussite de l’énumération

– De même, dans une séance d’écriture, le professeur permet la réussite d’un élève faible en gérant les espaces (transparents pour le professeur) nécessaires à une bonne énumération

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Un problème social

• cette difficulté, pour les enseignants et l’institution, à identifier ce savoir naturalisé dont l’existence va de soi et à penser un enseignement adapté est le résultat d’une possible évolution sociale.

• Certaines situations d’énumération couramment fréquentées auparavant dans le milieu familial des élèves seraient plus rares aujourd’hui

• Le problème ne serait pas un problème curriculaire au sens seulement scolaire du terme.

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Activités de dénombrement Ordre et rangement

Du pré numérique au numérique

Une mobilisation du nombre

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Boîtes en ligne

• La situation de référence : évolution des procédures et variables de la situation (voir Hatier, J. Briand et al)

• Matériel : un bâton orienté, 10 boîtes d ’allumettes, des objets différents à mettre dans les boîtes

• variables : disposition des boîtes, orientation

• évolution des procédures

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évolution des listes d ’écritures

– l'élève dessine les objets en désordre dans la feuille

– l'élève dessine les boîtes alignées mais en désordre

– l'élève dessine les boîtes sur 2 niveaux mais les

alignements ne sont pas coordonnés

– l'élève effectue un rabattement incorrect

– le rabattement est réussi mais pas la position du repère

– la représentation est correcte.

– l'élève ne tient pas compte de la position du repère,

même s'il l' a dessiné

– l'élève tient compte de la position du repère comme une

inversion de l'ordre (réversibilité de l’ordre)

Une présentation de la situation (Margolinas et Wozniak)

• Que veut dire avoir la même place dans deux files différentes – Pour résoudre ce problème on peut soit recourir à une

correspondance terme à terme (ordonnée) ou au nombre

– Une variante de la situation : coller dans la bonne case la gommette (modèle et piste vierge)

– Des variables de la situation : • accès au modèle, nombre de case

• position de la gommette

– Orientation du modèle • Contrainte sur la position du repère (fixée ou non)

– une variante imposant le nombre : modèle et piste vierge ayant un nombre de cases différents

Une présentation de la situation (Margolinas et Wozniak)

• Une variante : 9 perles rouges et une perle bleue enfilées sur un fil

• Reconstituer le collier, envoyer un message pour qu’un autre élève reconstitue le collier (fil avec un nœud à une extrémité) – Des procédures qui évitent l’ordinal en mobilisant un ou des

quantités : • 6 1 3 • 6 rouges 1 bleure3 rouges

– La numérotation des perles, l’indication du rang doit être enseignée

– Enseigner l’ordinal

Une présentation de la situation (Margolinas et Wozniak)

• Une autre variante : trouver l’objet caché (nounours dans un tiroir

• Repérer, comparer des pistes différentes (selon la position de l’étoile) – Comparer deux pistes – Ranger dans des boîtes opaques ces pistes

• L’ordinal : se déplacer sur une piste

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PS/ MS : respecter la file (1)

• Reproduire une suite ordonnée d ’images ou d ’objets selon un modèle – PS : Images alignées sur une réglette

– modèle proche, nombre 7

– modèle éloigné, nombre 7

– modèle non visible, nombre 7

– PMS : rythmes et perles – modèle éloigné, nombre 7

– modèle non visible, nombre 7

– modèle représenté par un dessin, modèle éloigné, nombre 7

Autres activités de dénombrement

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C. Situation de décompositions/ recomposition, premières situations

additives

08/03/2016 D.B. maternelle 71

B3.5. Des situations additives

• Cf. CD Hatier J. Briand et al

• Choisir le panier correspondant à un message et colorier les œufs ex : rouge 4, bleu 3, vert 1

• Se déplacer avec le message pour chercher le panier

• Se déplacer sans le message

• Alternance de résolution individuelle, en atelier et de bilan-débat, énonciation puis mémorisation de certains faits numériques

Enveloppes et grilles

• Matériel : 2 séries d’enveloppes

– Série 1 : des enveloppes comportant des jetons et une indication 4 6 ou bien 3 5 4

– Série 2 : des enveloppes comportant un grille sur lesquelles est indiqué le nombre de cases de la grille

• Le professeur distribue à l’élève une enveloppe du premier type, l’élève doit trouver dans le lot des enveloppes du second type la grille correspondant au total des jetons

• Vérification : placer les jetons sur la grille

• Multiplier les activités de décompositions des nombres à partir de jeux quotidiens (la situation de la boîte) mais aussi à partir d’autres supports

Différentes représentations du nombres à mettre en relation

• Collections, doigts, configurations, écriture chiffrée, décompositions

• Cf exposés qui ont précédé

Merci pour votre attention