exemple d’ondesberhanu/CoursVagues.pdf · Longueur d’onde = c T avec c célérité de l’onde....

Les vagues : un

exemple d’ondes

dans les milieux

naturels. 5 Mai 2017

Formation

du plan académique

Michael Berhanu

Introduction Expérience commune : étendue d’eau plane au repos. Perturbation propagation d’ondes.

Différentes échelles, différentes formes.

Illustration des phénomènes ondulatoires dans toute leur richesse : dispersion, paquet d’ondes, propagation géométrique (réfraction), propagation ondulatoire (interférences, diffraction), ondes non-linéaires. Importance environnementale : houle à la surface des océans. Vagues crées par le vent. Courant marins. Circulation océanique. Climat. Echange atmosphère/océan. Stockage du carbone.

Interface liquide / gaz

Surface libre : se déforme facilement sous l’action d’une perturbation mécanique. Le plus souvent interface eau /air

Dans ce cas, peu de dissipation. Une perturbation (à suffisamment grand échelle) se propage à partir d’une source sur une distance grande devant la longueur d’onde. Dynamique conservative. Oscillation de la surface libre : transfert entre énergie cinétique et énergie potentielle. Force de rappel / Inertie

Notations Surface libre initialement horizontale à l’altitude z=0

Déformation : (x,y,t)

On suppose dans un premier temps onde monochromatique sinusoïdale :

une seule fréquence f=1/T avec T période de l’onde.

Longueur d’onde = c T avec c célérité de l’onde.

Pulsation =2 f .

Nombre d’onde 𝑘 dirigé dans le sens de propagation

k=(2 )/ .

𝑘

Force de rappel : gravité à

grande échelle

Déformation de la surface libre dans le champ de

pesanteur terrestre supposé uniforme et orienté selon

l’axe vertical => Variation de l’énergie potentielle de

pesanteur.

Par unité de surface pour une vague se propageant

selon x.

Force de rappel : capillarité à

petite échelle Tension de surface : Cohésion interne du liquide. Force attractive entre molécules du fluide force à très courte portée. Modélisation effets de surface. Energie proportionnelle à la surface. Coefficient de tension de surface. Dépend de la nature chimique du couple liquide/gaz, de l’état de l’interface (présence ou absence de surfactants), de la pression du gaz et de la température. = 72 mN/m (eau pure atmosphère à 25°C)

Par unité de surface pour une vague se propageant selon x.

Longueur gravito-capillaire Pour une vague sinusoïdale

et de faibles amplitudes, a << (ou k a << 1)

Ecap >> Eg si << 2 Lc avec

Lc = 2.7 mm (interface eau air pure avec l’air)

Vagues capillaires pour << 17 mm

Fortes déformations à petite échelle : emprisonnement d’air, bulles,

mousses.

Présence de surfactants, formation d’écume, stabilise les interfaces,

plus grand amortissement des vagues.

Ondes capillaires

en apesanteur

En absence de gravité, (microgravité, espace),

Tension de surface seule force de rappel

Liquide se met en boule au repos

Pures ondes capillaires,

Lc infinie.

Problème du ballotement.

Voir Sloshing in space - YouTube

https://www.youtube.com/watch?v=PPvHZAAGuW4

Cinématique des vagues Une vague : déformation de l’interface + mouvement des 2 fluides de chaque côté de l’interface. Dans le cas eau/air on néglige le mouvement de l’air car eau >> air Mouvement dans l’eau (fluide incompressible et écoulement potentiel « sans tourbillon ») + Conditions aux limites. Au fond, vitesse de pénétration nulle. A la surface libre eau/air : Condition cinématique = vitesse de l’eau à l’interface => Non-linéarité Condition dynamique, pression à la surface libre = pression atmosphérique. Relation de Bernoulli. Modification de la pression par la pesanteur et la capillarité.

Cinématique des vagues Effet de la profondeur h de la couche d’eau.

1er cas : vagues en eau profonde, le fond n’est pas senti. << 2 h

A faible amplitude : trajectoires des particules de fluides.

Lignes de courant : cercles dont le rayon décroit

exponentiellement avec la profondeur.

Pas de déplacement d’ensemble

des particules de fluide. Pas de mélange.

Par unité de surface pour une vague se propageant selon x.

Cinématique des vagues

Relation de dispersion en eau

profonde En moyenne, <Ec>=<Ep>

On en déduit la relation de dispersion entre et k.

Vitesse de phase Vitesse de groupe

Propagation dispersive. Un paquet d’ondes composé

d’une somme d’ondes à plusieurs fréquences

se déforme au cours de sa propagation

Minimum de vitesse de phase 0.23 m/s

à la transition gravito-capillaire.

Vitesse de groupe, propagation enveloppe

et de l’énergie

Vagues en eau peu profonde

Relation de dispersion cas général

pour un fond plat.

Régime d’eau peu profonde k h << 1

Grandes longueurs d’ondes.

= 𝑔ℎ k . Propagation non dispersive.

Vitesse indépendante de k,

mais dépend de la profondeur h.

Faible amplitude, les vagues suivent une

équation d’onde de d’Alembert

Analogie avec l’optique ou

l’acoustique.

Mouvement des particules de fluide

quasi horizontal.

Dissipation visqueuse

1ère limite des modèles précédents.

Frottement entre particules fluides par viscosité

Energie cinétique => Energie thermique.

Essentiellement frottement à la surface

(dissipation augmentée en présence de surfactants)

et sur les parois solides (fond).

Amortissement des vagues.

Décroissance exponentielle de l’amplitude (exemple f=33 Hz, longueur d’atténuation 8cm)

Vagues océaniques de grande longueur d’onde dissipation négligeable.

f=1 Hz, ~1.5m, longueur d’atténuation ~ 37 km

Vagues de forte amplitude

effets non-linéaires 2nd limite. Equations obtenues

dans l’hypothèse de faibles déformation

k a << 1

Lignes de courant ne se referment pas.

Dérive de Stokes.

Transport de flotteurs par les vagues.

La forme des ondes s’éloigne d’une forme

sinusoïdale. Pour les ondes de gravité,

Ondes de Stokes. Dissymétrie haut/bas

Pointes en haut, creux en bas.

Forte déformation. Déferlement. Renversement de la vague.

Vitesse plus grande au sommet qu’à la base.

Fort amortissement de la vague.

Création d’écoulement à petite échelle.

Vagues en eau peu profonde

Bathymétrie variable

Au voisinage des côtes :

h diminue, c diminue,

à fréquence constante, k augmente

donc diminue

par conservation de l’énergie

amplitude augmente,

Raidissement, déferlement,

Une plage absorbe les vagues,

pas de réflexion.

Vagues en eau peu profonde

Bathymétrie variable Analogie avec l’optique géométrique.

Zone profonde, propagation rapide.

Zone peu profonde, propagation plus lente (indice plus grand).

1

Réfraction des vagues

Loi de Descartes

Ile conique. Equivalent d’une lentille convergente

pour les vagues de grandes longueurs d’onde.

Souvent diffraction non négligeable

Vagues en eau peu profonde

Vagues à l’approche d’une côte

Redressement du champ de vague, à l’approche

d’une côte faiblement inclinée. (Falaise réflexion).

Analogue d’un mirage optique,

avec un indice spatialement variable.

Tsunamis

● Vagues de très grande longueur d’onde

( ~100 km) créées par un séisme. Déplacement du fond marin, le long d’une faille d’une zone de subduction entre deux plaques tectoniques.

● Profondeur des océans ~ 4 km

Propagation en régime d’eau peu profonde. Hauteur typique ~ 10 cm au large

● Proche des côtes, augmentation

de la hauteur de la vague, raidissement du front, déferlement.

● Conséquences catastrophiques.

Sumatra le 26 décembre 2004

Japon Tōhoku le 11 mars 2011 …

Mécanisme de formation ● Propagation et déferlement bien compris : vagues en eau peu profonde

● Mouvement vertical brutal du fond marin

le long d’une fosse océanique, lors d’un séisme => Déformation de la surface libre de l’océan => Création et propagation d’un train d’ondes.

● Paramètres : Profondeur 5 km, Taille 100 km de la zone déformée au fond

Amplitude du mouvement du fond 1 m Vitesse de déformation. Faible vitesse par rapport à la vitesse des ondes de surface : la surface libre reste horizontale. Grande vitesse : la déformation du fond est translatée à la surface libre.

Fond marin

Surface libre de l’océan

Reproduire ce mécanisme au laboratoire DISPOSITIF EXPERIMENTAL ● Cuve en plexiglas de 110x110x30 cm ● Membrane en caoutchouc au centre déformable, diamètre de la zone déformée 5 cm ● Vibreur électromagnétique impose une déformation du fond contrôlée dans le temps, avec un piston axisymétrique. ● Epaisseur d’eau 25 mm ● Mesure du déplacement du fond et de la surface libre via la vidéo ● Mesure de champ de vitesse par PIV: Vélocimétrie par images de particules

Nappe laser verte dans le plan vertical Corrélations d’images permet de mesurer l’écoulement dans ce plan.

● Square basin

● Dimensions: 110 x 110 cm

● Typical water depth: 𝑑 = 2.5 cm

● Deformed bottom region: ∅ ≈ 6 cm

Dispositif expérimental

Typical generated “tsunami” Wavelength: ~ 10 cm

Time to lateral walls: > 1 s

Mesures

Surface libre 𝜂(𝑟, 𝑡) and champ de vitesse 𝜙(𝑟, 𝑧, 𝑡) à partir des images PIV

25/04/2014

Effet de la vitesse de déplacement du fond marin

lors de la génération d’un tsunami

● Le temps caractéristique du tsunami,

doit être comparé au temps typique de propagation des vagues. Taille de la zone déformée sélectionne une longueur d’onde et donc un temps via la relation de dispersion.

● Modèle linéaire.

Déplacement de la surface libre proportionnel au déplacement du fond. Fonction de transfert Tsunami rapide : génération efficace. Tsunami lent : pas d’onde crée, déformation de la surface libre tend vers 0

● Mouvement rapide du fond (𝜏 ≪ 1):

Champ de vitesse expérimental

25/04/2014

Generation of surface waves by an underwater moving bottom

25

● Mouvement modéré du fond (𝜏 ~1):

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Generation of surface waves by an underwater moving bottom

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Champ de vitesse expérimental

● Mouvement lent du fond (𝜏 ≫ 1):

25/04/2014

Generation of surface waves by an underwater moving bottom

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Champ de vitesse expérimental

Houle océanique.

Vagues créées par le vent

Vent, mouvement atmosphériques, source principale des vagues. Mécanisme complexe.

Longueur d’onde augmente avec la distance d’application du vent

Houle terme

réservé pour les

vagues

loin de la zone

de génération

Vitesse des vagues

s’approche de la

vitesse du vent

quand cette distance

augmente mais sans

l’atteindre.

Houles irrégulières

Effets non-linéaires

La houle peut apparaitre très désordonnée, chaotique, du fait de la présence simultanée

de plusieurs fréquences.

Décomposition spectrale du signal de vagues : spectre de hauteur de vagues.

Différentes

vitesses

de vent

Différentes

longueurs

de fetch

Effets non-linéaires permettent des transferts

d’énergie entre différentes fréquences, entre

différentes échelles spatiales. Le maximum du

spectre se décale vers les basses fréquences et

de l’énergie est transférée à petite échelle

(déferlements, dissipation, écume).

F1=15 Hz et F2=18 Hz

F3=33 Hz

(eau profonde)

Interactions non-linéaires entre vagues Termes non-linéaires (en particulier dans les conditions aux

limites), induisent des multiplications des différentes

composantes du champ d’onde.

Génération d’harmoniques ( 2 f, 3 f …) par auto-interaction,

mais aussi de nouvelles fréquences.

F1=15 Hz et F2=18 Hz, 12 = 54°

F1=15 Hz et F2=18 Hz 12 = 54° Régime stationnaire

Spectre de Puissance de hauteur de vagues (sonde locale).

Pic à F1+F2 + pics harmoniques.

A forte amplitude nombreux pics: Résonances d’ordre supérieur et

élargissement des pics.

● Forçage: Bruit blanc filtré entre deux fréquences 4 Hz and 6 Hz.

Cuve rectangulaire :

Turbulence d’ondes capillaires (f>20 Hz) excitée par des ondes de

gravité.

Régimes désordonnés à forte amplitude

ondes gravito-capillaires

Spectre spatio-temporel ● Films de hauteur de

vagues

=> Spectre

spatio-temporel

=> relation de

dispersion

expérimentale.

Spectre continu

A petite échelle, il n’y

a plus de mémoire des

conditions de forçage

Régimes désordonnés à forte amplitude

ondes de gravité

Identification et compréhension des mécanismes non-linéaires.

Compréhension des états de mer.

Bassin

de l’école

Centrale de

Nantes.

48, 30, 5 m

batteurs

Excitation

aléatoire

Vagues et océanographie

Vagues crées par le vent, produisent

les courants océaniques,

via la dérive de Stokes.

Importance des courants

dans le transport de chaleur

et influence sur le climat.

Echange atmosphère/océan (déferlements, projection de gouttelettes, surface de contact).

Gaz dissous dans la mer (dioxygène, dioxyde de carbone …)

Vagues très étudiées dans

le génie maritime.

Tenue des bateaux et structure,

freinage par les vagues …