Guides d’onde et applicationsrosencher.pagesperso-orange.fr/Cours/Majeur2_Guidedonde.pdf · 1/67 Guides d’onde et applications A: Approche géométrique: les rayons piégés B:

1/67

Guides d’onde et applications

A: Approche géométrique:les rayons piégés

B: Équations de MaxwellIndice optiqueRéfractionSusceptibilité linéaire

C: Modes de propagationsTransverses électriquesTransverses magnétiquesAnalogie quantiqueInterprétation géométriqueDispersion modale

C: Confinement optiqueapplication aux lasers

D: Théorie des modes couplésfonction enveloppe

E: Guides de Braggaccord de phaseguide de Bragg

F: Technologies des guides d’ondesFibres optiquesGap photoniques

Emmanuel Rosencher MNO 2 8/02/2005

2/67

1n

2n

2n

Approche géométrique

'cθcθ 1

2nn

c'sin =θ

Angle critique de guidage

maxθ

21

22

n

n1c1max 1nsinnsinON −=== θθ

Ouverture numérique

22

21 nnON −=

Interaction onde-matière faible

c1ext n θθ sinsin =

2W0

20z #λπ λ ≈=

0W

Espace libre:Propagation sur de petites distances

Interaction onde-matière forte

Guide optique:Propagation sur de longues distances

3/67

Approche géométriqueDéphasage de Fresnel

Quantification desdirections de propagation

Effet Goos-Hanschen

Pénétration tunnel des photons

4/67









5/67

Équations de Maxwell

0E. =∇r ( )0=ρPoisson

BE dtd rr

−=×∇Lenz

DjEB dtd

cdtd

c

rrrr2

02

10

1ε

µ =+=×∇Faraday Ampère

0B. =∇rAbsence de

monopole magnétique

PEDrrr

+= 0εVecteur déplacement

EErqP errrr )1(

0 χεα ===Vecteur polarisation

Propriétés de la matière

+

Er

err

0EE 2dt

2d2c

12 =−∇rr

Dans le vide

6/67

( ) tierEE ωrrr=

( ) ( )r1rn )1(2 rr χ+= Définition de l’indice optique

Onde monochromatique

( ) 0ErnkE 222 =+∇rrr

Helmholtz

Équations de Maxwell-Helmholtz

)1(χ Susceptibilité optique linéaire

0EE 2

2

2

)1(

dtd

c

12 =−∇ + rr χ

ck=ω dans le vide

nck=ω dans la matière

PEE 22

20

22

2 dtd

c

1

dtd

c

12 rrr

ε=−∇*

*

7/67

Optique linéaire: indice optique, vitesse de la lumière et susceptibilité linéaire

( ) ( ) ( ) ( )tEtrqtP 10 χε==

opn' λλ =λ

opnc'c =

( )1op 1n χ+=

avec

Lire Le cours de Physique de FeynmanChapitre 31 L’origine de l’indice optique

8/67









9/67

2/dx0 << ( ) ( ) ( ) 0xEnkxE y22

12

ydxd

22

=−+ β

2/dx > ( ) ( ) ( ) 0xEnkxE y22

22

ydxd

22

=−+ β

Modes de propagation

( ) ( )

= −

0exE0

rE ziy

βrr

Onde transverse électrique TE

022

dyd =

x

zy

Attention: il y a aussi des composants Hz

z

x

0d/2

1n

2n

2ny

( ) ( )( ) ( ) 0xErnkxE y222

y2dx

2d =−+ βr

*

10/67

2222

221

222 ONknknk =−=+ακRésultat utile pour la suite:

( )xEy

x Modes de fuites ou de radiatifs

( )xEyx

Modes guidés

Modes de propagation

221

22 nk βα −=

22

222 nk−= βκModes guidés

β>2nk

β<1nk

< 1k nβ

> 2k nβ

*

11/67

2/dx0 <<

2/dx >

( ) ( ) 0xExE y2

ydxd

2

2=+α

( ) ( ) 0xExE y2

ydxd

2

2=−κ

( ) xcosAxEy α= ( ) xsinAxEy α=

( ) xy eCxE κ−=

Modes pairs guidés Modes impairs guidés

1n

2n

kn /β=interdit

Continuum: modes radiatifs

Modes guidés

n

x

( )221

2221

22 nnknk −=−= βα

( )22

2222

222 nnknk −=−= βκ

12/67

Onde transverse électrique TE

−=

×

tiz

tix

dtd

yeB

0eB

0

E0

dz/d

dy/ddx/d

ω

ω xyydzd BiEiE ωβ −=−=−

zydxd BiE ω−= ydx

d E continu

E et B continus

2deC2dA //cos κα −=

2deC2dA //sin κκαα −−=−

καα =2/dtg22

122 nk βα −=

22

222 nk−= βκ

βinconnue

Continuité de Ey et dEy/dz en x=d/2: modes pairs

13/67

Nombre de modes guidés

=

= ON2EEN

0d

d/ONk

λπ

Condition pour être monomodeON20d

λ<

12dtg2

22ONk −=α

α /

12d2

22ONk −=−α

α /cot

Solutions paires

Solutions impaires

Solution graphique

0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

10

2/dtgα

12

2kON −α

2/dcotα−

d/πα

kON

1 2 3 4 5

*

14/67

Onde transverse magnétique TM

Continuité de By et 1/ni2 dBy/dz en x=d/2:

( ) ( )

= −

0exB0

rB ziy

βrr EB dtd

cn1

22i

rr=×∇avec E donné par

καα2

nn212dtg

=/

καα2

nn212d

−=/cot

Solutions paires

Solutions impaires

15/67

m1m kn θβ cos=

m1m kn θα sin=

( ) 212c

2m1m kn

/coscos θθκ −=

Interprétation géométrique

z

x

0

d/2

1n

2n

2n

mθ

mβ

Pour chaque mode m

1nk

12dtg 2m

22ONkm −=

αα /

Déphasage de Fresnel+

Stationnarité de la phase

16/67

Analogie quantique

( ) ( )( ) ( ) 0xExVx222

dxd

m2 =−+− ψψh

( ) ( )( ) ( ) 0xExnkxE y222

ydxd

22

=−+ βHelmholtz

Schrödinger

( ) ( )xV2xnk 2m22h

−↔

E2 2m2h

−↔β

( ) ( )xxE ψ↔

-40 -20 20 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Notamment:

( ) ( ) mnnmnm dxxExEEE δ=∫=∞+

∞−*

17/67

Dispersion modaleOn introduit l’indice optique effectif du mode: neff cn keff ω

ββ ==

2eff

21k nn −=α

12dtg2

22ONk −=α

α /

( ) ( ) 1nntg 2eff

21

2

nnONd212

eff2

1 −=−−λπ

/

L’indice neff est fonction de 1/λ soit encore de ω

Le guide est dispersif !

L’indice effectif dépend de λ: en effet

Exemple: n1 = 1.8, n2 = 1.2 ON21

sm0d =λ

341ON .≈370

sm0d .≈λ

effn

λ/d0 0.5 1 1.5 2

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

18/67









19/67

CONFINEMENT

( )

( )ℜ+

∫

∫== ∞ 1

1

dxxE2

dxxE2

0

2

2/d

0

2

Γ

( )

( )∫

∫∞

=ℜ2/d

0

2

2/d

2

dxxE

dxxE

avec

Dans un guide symétrique:

( ) d2

2Cx2

2/d

2

2/d

2 edxeCdxxE κκ

κ −−∞∞=∫=∫

( ) ( ) ( ) dx2d

0x212

2Adxx22d

0

2A2d

0dxx2E ∫ +=∫=∫

/coscos

//αα ( )dsind 1

42A α

α+=

totaleénergieguideledansénergie=Γ

Facteur de confinement

-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

20/67

( ) ( )guideledansénergieguideduhorsénergie

dd

2d2dd

e2AC2

mmm

1m

2

m1

d===ℜ

++

−

αα

κακαα

κ

sin

/cos

sin

0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

10

T

m

mmmm 2dtgT ακα // ==

( )2

mT11

m2 2d

+=/cos α

2m

mT1

T2md

+=αsin

avecet

et2

mT1

ONkm

+=α

( ) 2mm

2m T1TONdkT

1m

++=ℜ

∞→ℜm quand ∞→m0→Γet

Les modes de plus bas indices sont les plus confinés

21/67

Application à une structure laser GaAs/AlGaAs

0.9 1.1 1.2 1.3λHµmL3.25

3.3

3.35

3.4

3.45

3.5

3.55

3.6n Alx Ga1-xAs

.1.2

.3.4

Variation de l’indice dans AlGaAs

0 0.5 1 1.5 2

3.28

3.3

3.32

3.34

3.36

3.38

Modes guidés dans GaAs/AlGaAs

ΓGaAs = 0.02

x1= 0.2

nAlGaAs1= 3. 274

nAlGaAs2= 3. 393

x2= 0.4

ON= 0.89

dmax = λ/2ON = 0.5 µm

apuits= 10 nm

GaAs

AlGaAs1AlGaAs2

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

!!!

22/67









23/67

Théorie des modes couplés

Par construction:

( ) ( )( ) ( ) 0xErnkxE m2

m22

m2dx

2d =−+ βr*

24/67

Théorie des modes couplésAvertissements:

- calcul générique à de très nombreux domaines de la Physique:optique non linéaire, micro-ondes, acoustique, mécanique quantique…- archétype du calcul qui commence mal et termine bien- demande du sang froid

Rappel: fonction lentement variable dite « enveloppe »

AdA<<

k1dz /=

dzAd

dz

Adk2

2<<

Akdz

Ad<<

( ) ( ) ( ) )()( tzimm

tzim mm exEzAexE ωβωβ −− →

25/67

Théorie des modes couplés

La base des modes est complète: ( ) ( ) ( ) ( ) ..,, ccexEzAtzxE ztim

mm m +∑= − βω

0AcstA 1m1 == >,par exemple:

On introduit une perturbation par exemple ( ) ( ) ( )trErtrP 0per ,, εε ∆=

( )rε∆perturbation

x

z

( ) ( )trPErnkE per2dt

2d0

222 ,µ=+∇rr

Équation fondamentale de l’optoélectronique

PEE 22

20

22

2 dtd

c

1

dtd

c

12 rrr

ε=−∇

( )per

10 PEP

rrr+= χε

Si Pper = 0, les modes sont stationnaires c.a.d cstAm = solution

26/67

La présence de la perturbation Pper va coupler les modes(cf mécanique quantique)

( ) ( )trPErnkE per2dt

2d0

222dz

2d2dx

2d ,µ=+

+

rrr

( ) ( ) ( ) ( ) ..,, ccexEzAtzxE ztim

mm m +∑= − βω

modes propres

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑

+−

mm

22m

2mm2dx

2dm xErnkxExEzA rβ

( ) ( ) ( ) ( )per

dtd

0zti

mmdzd

mmdzd PccexEzAi2zA

22

m22

µβ βω =+

−+ − ..

fonction lentement variable

?

27/67

On projette sur le mode q: ( ) ( ) qmqmmq dxxExEEE ,* δ=∫=

∞

∞−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫=−∞

∞−

+−−+ dxxEtrPiezAezA qper2dt

2dq20zqti

qdzdzqti

qdzd *,rβ

µβωβω

( ) ( ) ( )per

dtd

0zti

mm

mdzd

m PccexEzAi2 22

m µβ βω =+

∑− − ..

Ce n’était pas si catastrophique que cela …

La perturbation nourrit les modes q

( ) E2 2m2h

−↔± βen n’oubliant par la dégénérescence

28/67

( ) ( ) ( ) ( )∫−=−∞

∞−

+−−+ dxxErPiezAezA qper2

q20zqi

qdzdzqi

qdzd *ωβ

µββ

Théorie des modes couplés: résultats

( ) ( ) ( )∫−=∞

∞−

−dxxErPiezA qper

2q20zqi

qdzd *rωβ

µβ

Fondamental pour optique non linéaire, acoustique, électronique, guide de Bragg, …

Perturbation synchrone: ( ) ( ) tiperper erPtrP ωrr =,

Sans couplage vers l’arrière: ( ) 0zAq =−

*

29/67









30/67

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ..ccexEzArP zMKmim

mm2

xM0per +∑= ±− βεεr

La base des modes est complèteMême fréquence ω ( ) ( ) ( ) .., ccexEzAzxE zi

mm

m m +∑= − β

( ) ( ) ( ) ( )rEzKxrP MM0perrr cosεε=

M2

MK Λ= πavec

Guide de Bragg

Dh

MΛ

( )xMε

x

31/67

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dxxExExezAi qmMzKi

mm

24

Mmq

M00 *∫∑− ±−+ εω ββ

εεµ

( ) ( ) =− −−+ ziqdz

dziqdz

d qq ezAezAββ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dxxExExezAi qmMzKi

mm

24

Mmq

M00 *∫∑− − εω ββ

εεµ m

Diffraction vers l’avant

Diffraction vers l’arrière

Seuls transferts efficaces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zimqmM

24qdz

d ezdxAxExExizAq

M00 ββ

εεµ εω ∆−++ ∫−= * 0KMqm ≈±−=∆ βββ

mqg

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zimqmM

2q4

M00qdz

d ezdxAxExExizA '* ββ

εεµ εω ∆−−+∫−= 0KMqm ≈+=∆ mβββ '

mqg

vers l’avant

vers l’arrière vers l’arrière

Diffractionvers l’arrière

32/67

Couplage du mode q vers l’arrière – q efficace seulement si:

02K2M

2qMq ≈−=−=∆ Λ

πβββ ' 'β∆ est le désaccord de phase

m q

Modes couplés dzeg zimq ∫

∆− βmqm

mqmK

K

±+±−

=∆ββββ

β

( ) ( ) zimmqqdz

d ezAgizA β∆−++ −=

( ) ( ) zimmqqdz

d ezAgizA 'β∆−−+ −=

vers l’avant

vers l’arrière

Réflexion de Bragg: m = -q

33/67

0=∆β

Accord de phase: 0=∆β

( ) ( )( ) ( ) zi

qqdzd

ziqqdz

d

ezAgizA

ezAgizAβ

β

∆−+

∆−+−

=

−=

Conditions limites: onde +q entrante de la gauche, pas d’onde –q incidente de la droite

( ) ( )( ) ( )zAgizA

zAgizA

qqdzd

qqdzd

−+

+−

=

−=

( ) ( )( ) ( )[ ]LzgchzAgLch0A

qq −=+

+

( )( )

( ) ( )[ ]LzgshzAgLchi0A

qq −=+

−

Onde transmise

Onde réfléchie

g décrit la force du couplage entre les deux ondes

( ) 0q A0A =+

( ) 0LAq =−

34/67

Accord de phase: interprétation vectorielle

z

+qA

( )zAq−

0 L

MΛ

gze−≈

qβ− qβ

M

2MK

Λ= π

"" 4λ

35/67

Filtre de Bragg 0≠∆β

( ) ( )( ) ( ) zi

qqdzd

ziqqdz

d

ezAgizA

ezAgizAβ

β

∆−+

∆−+−

=

−= 0AgAiA q2

qdzd

qdzd

2

2=−∆− +++ β

( )z2

i

eδβ ±∆

( ) ( )zAetzA qq−+ combinaison linéaire de 22g4 βδ ∆−=avec

( ) 0q A0A =+

( ) 0LAq =−

( )( ) ( ) ( )

2

2Lshi2Lch

2

0A

LA

q

qT // δβδδδ

∆+== +

+

transmittivité d’un filtre de Bragg-4 -2 2 4

∆β ê2g0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

gL=1

gL=2

gL=5

stop band

36/67

Technologie de guide d’onde pour laser Bragg

37/67









38/67

FIBRES OPTIQUES

( )rn

461.451.

z

( ) 0ErnkE 222 =+∇rrr

( )( ) ( ) 0rnkr 2dd

r1

dzd

drd

drd

r1

2

2

22

2=+++ ψψψψ

ϕcoordonnées cylindriques zz BouE=ψ

Solutions séparables: ( ) ( )ztili eer βωϕψψ −±=

( ) 0krn2

2

2

2

rl222

drd

drd

r1 =

−−++ ψβψψ

Croyez le ou non, il y a des solutions algébriques: les fonctions de Bessel

( ) ( ) ( )rhYcrhJcr l2l1 +=ψ ( ) ( ) ( )rqKcrqIcr l2l1 +=ψ

( ) 0krnh 2222 >−= β ( ) 0krnq 2222 >−= β

39/67

Dispersion modale d’une fibre

40/67

FIBRES OPTIQUES

tirage de fibres Fibres monomodes et multimodes

41/67

vers 1.55 µm: 0.2 dB/km !!

Exemple: atténuation de x dB → de e-x

pour 50 km → de e- 10 ≈ 4.5 10-5répéteurs

42/67

1994 1996 1998 2000 2002 20040.01

0.1

1

Pet

aBits

/s .

km

date

6 térabits sur 2700 km

Capacité des réseaux télécom:doublement tous les 16 mois

soliton

CAPACITES DES SYSTEMES DE TELECOMMUNICATIONSA FIBRES OPTIQUES

Bande passante multipliée parle nombre de voies

43/67

Interference patternGrating

Coreø 9µm

Claddingø 125µm

LaserBeam

LaserBeam

Λ

Fiber

FIBRES OPTIQUES A RESEAU DE BRAGG

44/67

LASER A FIBRES OPTIQUES DE PUISSANCE

45/67

Fabrication (e.g.)silica glass tube (cm’s)

fiberdraw

~1 mm

fuse &draw

~50 µm

[ R. F. Cregan et al., Science 285, 1537 (1999) ]

Photonic Crystal Fiber: guidage dans l’air

46/67

10µm

5µm



47/67


ω (c/a) (not 2pc/a)

transmitted intensityafter ~ 3cm


48/67

Cristaux photoniques

( ) 0ExnkE 22dx

d2

2=+

rrFabry Pérot

( ) 0EzxnkEE 22dz

d

dx

d2

2

2

2=++

rrr,Guide d’onde

de Bragg

Steven G. Johnson MIT

( ) 0ErnkE 222 =+∇rrr

( ) périodiquestructurern r

BLOCH !

19871887

eriodic inone direction

2-D

periodic intwo directions

3-D

periodic inthree directions

1-D

p

49/67

E

HTM

a

freq

uenc

yω

(2pc

/a)

= a

/ λ

Γ X

MΓ X M Γirreducible Brillouin zone

r k

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Photonic Band Gap

TM bands

gap for n > ~1.75:1

Périodicité 2d, ε=12:1


50/67

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Photonic Band Gap

TM bands

E

HTM

Γ X M Γ

Ez

– +

Ez

(+ 90° rotated version)

Périodicité 2d, ε=12:1

gap for n > ~1.75:1


51/67

UÕ L Γ X W K

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0

21% gap

L'

LK'

ΓW

U'XU'' U

W' K

z

I: rod layer II: hole la yer

I.

II.

[ S. G. Johnson et al., Appl. Phys. Lett. 77, 3490 (2000) ]

gap for n > ~4:1

3d photonic crystal: complete gap , ε=12:1Steven G. Johnson MIT

52/67

rod layer

ho le lay er

(diamond-like: rods ~ “bonds”)

A

B

C

[ S. G. Johnson et al.,Appl. Phys. Lett. 77, 3490 (2000) ]

Up to ~ 27% gapfor Si/air

hole layer

Méthode de fabricationSteven G. Johnson MIT

53/67

Making Rods & Holes Simultaneously

substra te

top view

side view

Si


54/67


substra te

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

expose/etchholes

55/67


substra te

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

backfill withsilica (SiO2)

& polish

56/67


substra te

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

deposit anotherSi layer layer 1

57/67


B B B B

B B B B

B B B B

B B B

B B B

B B B

substra te

layer 1

A A A A

B B B B

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

dig more holesoffset

& overlapping

58/67


B B B B

B B B B

B B B B

B B B

B B B

B B B

substra te

layer 1

A A A A

B B B B

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

backfill

59/67


B B B B

B B B B

B B B B

B B B

B B B

B B B

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

substra te

layer 1

layer 2

layer 3

A A A A

B B B B

C C C C

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

etcetera

(dissolvesilicawhendone)

oneperiod

60/67


B B B B

B B B B

B B B B

B B B

B B B

B B B

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

substra te

layer 1

layer 2

layer 3

A A A A

B B B B

C C C C

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

etcetera oneperiod

hole layers

61/67


B B B B

B B B B

B B B B

B B B

B B B

B B B

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

substra te

layer 1

layer 2

layer 3

A A A A

B B B B

C C C C

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

etcetera oneperiod

rod layers

62/67

e-beam Fabrication: Top View

5 µm

[ M. Qi, H. Smith, MIT ]

63/67

e-beam Fabrication: Side Views(cleaving worst sample)

[ M. Qi, H. Smith, MIT ]

64/67

[ K. Ho et al., Solid State Comm. 89, 413 (1994) ] [ H. S. Sözüer et al., J. Mod. Opt. 41, 231 (1994) ]

Up to ~ 17% gap for Si/air

(diamond-like, “bonds”)

[ Figures from S. Y. Lin et al., Nature 394, 251 (1998) ]

Le cristal de « tas de bois »

65/67

[ S. Y. Lin et al., Nature 394, 251 (1998) ]

gap

(4 “log” layers = 1 period)

“UV Stepper:” e-beam mask at ~4x size+ UV through mask, focused on substrate

Good: high resolution, mass production Bad: expensive ($20 million)

http://www.sandia.gov/media/photonic.htm

Si

Le cristal de « tas de bois »

66/67

microspheres (diameter < 1µm)silica (SiO2)

sediment by gravity intoclose-packed fcc lattice!

(evaporate)

Mass-production II: Colloids

67/67

fcc solid spheres do not have a gap…

…but fcc spherical holes in Si do have a gap

Infiltration

sub-micron colloidal spheres

Template(synthetic opal)3D

Remove Template

“Inverted Opal”

complete band gap

~ 10% gap between 8th & 9th bandssmall gap, upper bands: sensitive to disorder

[ figs courtesyD. Norris, UMN ]Inverse Opals

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[ fig courtesyD. Norris, UMN ]

Documents

Guides d’onde et applicationsrosencher.pagesperso-orange.fr/Cours/Majeur2_Guidedonde.pdf · 1/67 Guides d’onde et applications A: Approche géométrique: les rayons piégés B: