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Ensa de Tanger Projet guide d’onde rectangulaire

Master en Systèmes de Communication & Informatique Page | 1

Université Abdelmalek Essaadi

Ensa de Tanger

Département de Télécoms

Projet Electromagnétique

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Guide d’onde rectangulaire

Janvier 2013

Année Universitaire: 2012 - 2013



Sommaire :

■ Introduction : …………………………………………………………………………….……………..…03

■ 1 Contexte et conventions : …………………………………………………………………………..04

1.1 Contexte : ………………………………………………………………………….…04

1.2 Guides électromagnétiques étudiés.……………………………….……04

1.3 Classification des modes guidés ………………………………………..06

1.4 Solutions harmoniques ……………………………………………………… 07

■ 2 Guide d’onde rectangulaire :………………………………………………….08

2.1 Modes 𝐓𝐌……………………………………………………………………………….….10

Résolution de l’équation de propagation……………………10

Application des conditions aux limites………………………11

Expression des champs………………………………………………12

Existences des modes 𝑻𝑴……………………………………………..13

2.2 Modes 𝐓𝐄…………………………………………………………………………………....13

Valeurs propres………………………………………………………….14

Expression des champs…………………………………………….14

Existences des modes 𝐓𝐄…………………………………………….14

2.3 Etudes des modes de propagation : ……………………………………..…15

2.4 Etudes du mode dominant 𝑻𝑬𝟎𝟏 : ……………………………………………16

2.5 Puissance active transportée par le mode 𝑻𝑬𝟎𝟏: …………………18

2.6 caractéristiques des guides d’ondes rectangulaires: …………19

2.7 Lignes de Champs………………………………………………………………………….20

■ 3 Annexe …………………………………………………….……...22

3.1 Contexte……………………………………………………………………………….………….22

3.2 Modes 𝐓𝐌………………………………………………………………………………………22

Équation de propagation…………………………………………22

Fréquence de coupure…………………………………………….…22

Séparation des variables…………………………………………..23

Conditions aux limites………………………………………………23

Remarque importante………………………………………………..23

Expression des champs transverses……………………...23

3.3 Modes 𝐓𝐄…………………………………………………………………………...24

Équation de propagation…………………………………………...24

Fréquence de coupure…………………………………………..…24

Séparation des variables…………………………………….…..25

Conditions aux limites……………………………………………..25

Remarque………………………………………………………………….25

Expression des champs transverses……………………..25

3.4 Dégénérescence………………………………….……26

3.5 Guides rectangulaires normalisés ………………………………..26

3.6 Exemples de guide rectangulaires…..…………………………..26

■ Bibliographies …………………………………………………………………………29

■ Figures…………………………………………………………………………………….29

■ Tables…………………………………………………………………...29



Introduction :

Une onde véritablement plane ne peut exister que dans un milieu

homogène infini. En pratique, la propagation se fait dans des milieux

inhomogènes et finis. D’autre part, les ondes électromagnétiques

émises à proximité de milieux conducteurs ou diélectriques étendus

ont tendance à se propager parallèlement aux surfaces de ces

milieux. Ceux-ci agissent comme des guides servant à transporter

l’énergie électromagnétique d’un point à un autre. Cette propriété est

appliquée dans une foule de dispositifs de grande importance :

Guide d’onde rectangulaire,

Guide d’onde circulaire,

Lignes de transport d’énergie électrique,

Fibres optiques, etc.

Les cordons d’alimentation des appareils électriques sont des guides

ou lignes électriques, de même que les interconnexions de circuits

électriques en général. C’est pourquoi leur étude est de première

importance, afin de les utiliser correctement, particulièrement aux

fréquences élevées ou les temps de propagation deviennent

relativement appréciables compares à la période.



Contexte et conventions :

1.1 Contexte

Un guide d’onde permet la propagation d’une onde électromagnétique

selon une direction privilégiée, et ce idéalement sans atténuation ou

distorsion du signal (tel que la dispersion).

Dans ce cours, nous considérons la propagation selon le vecteur unitaire ��

tel que représenté

Figure 1.1

1.2 Guides électromagnétiques étudiés

De manière générale, plusieurs types de guides électromagnétiques

existent selon les fréquences que nous souhaitons transporter, tel que

décrit Figure. 1.1.

Nous allons ici étudier les guides d’ondes tels que les guides rectangulaire

et circulaire, et étudierons ces guides sous une approche modale pour des

fréquences couvrant les domaines



Figure 1.2

des micro-ondes et des hyperfréquences. Les autres types de guides

d’ondes seront étudiés dans les autres parties du module, à savoir :

la théorie des lignes (cf. partie du cours dispensée par

L. Varani) concernant les lignes électriques pour les

hyperfréquences,

les guides optiques (cf. partie du cours dispensée par

R. Kribich), à savoir les guides planaires optiques ou les fibres

optiques.

Nous nous intéressons donc à des guides creux ou remplis de diélectrique

linéaire, homogène et isotrope (LHI). Nous supposerons le milieu

diélectrique isotrope dans ce projet, l’anisotropie étant introduite via la

perméabilité magnétique m sinon.

Les guides creux sont particulièrement adaptés à la propagation d’ondes

hyperfréquences (typiquement pour les fréquences comprise entre le GHz

et le THz). La dénomination usuelles des bandes micro-ondes est donnée

table 1.2. Pour de plus faibles fréquences, nous utilisons les lignes

coaxiales ou bifilaires, pour de plus hautes fréquences, i.e. l’infrarouge

puis le visible, nous utilisons plutôt fibres optiques ou guides optiques

planaires. Enfin, notons que l’utilisation de guides creux dans la gamme

GHz est préférée aux câbles coaxiaux lorsque de fortes puissances

doivent être transmises.



Table 1

1.3 Classification des modes guidés

De manière générale, il existe plusieurs types de propagation dans le

guide. Si nous considérons la propagation selon z, nous distinguerons les

cas suivants :

l’onde transverse électromagnétique 𝑻𝑬𝑴 : telle que champs électrique et

magnétique sont orthogonaux à l’axe de propagation, i.e. �� ⊥ 𝑧 & �� ⊥ 𝑧

l’onde transverse électrique 𝑻𝑬 : telle que le champ électrique seulement est

orthogonal à l’axe de propagation, i.e. �� ⊥ 𝑧

l’onde transverse magnétique 𝑻𝑴 : telle que le champ magnétique

seulement est orthogonal à l’axe de propagation, i.e. �� ⊥ 𝑧

l’onde hybride telle que ni le champ électrique ni le champ magnétique

ne sont orthogonaux à l’axe de propagation.

La connaissance des composantes transverses sera importante dans ce

cours. Nous utiliserons la notation V pour traduire de manière générale le

champ électrique E ou l’excitation magnétique (ou champ magnétique) H .



Nous exprimerons ainsi de manière générale un champ électromagnétique

sous la forme :

�� = 𝑉𝑇 + 𝑉𝑧 1.1

Où VT ⊥ z est la composante transverse du champ et Vt = VzZ la

composante longitudinale du champ.

1.4 Solutions harmoniques

Nous nous intéressons ici aux solutions harmoniques pour la propagation

selon z, et noterons sous forme exponentielle les solutions harmoniques à

la pulsation radiale ω:

�� = 𝑉0 (𝑥, 𝑦)𝑒−𝛾𝑧𝑒𝑖𝜔𝑡 1.2

Où V0 (x, y) est la valeur de E ou ~H en toute position z, et g la constante

de propagation se décomposant sous la forme :

𝛾 = 𝛼 + 𝑖𝛽𝑔 1.3

Ainsi, a correspond à l’atténuation (Np / m) et βg au déphasage (rad/m)

accumulés longitudinalement. Notons que pour la propagation sans

atténuation (α = 0), nous avons simplement γ = α + iβg et retrouvons

simplement le terme habituel en ei(ωt−βgZ) pour une onde progressive.

Ces notations sont importantes car elles seront utilisées tout au long du

cours. Nous voyons Eq. 1.2 que nous considérons la propagation selon z

d’un profil V0(x, y) du champ électrique ou magnétique (selon que nous

sommes dans un cas TE ou TM, respectivement) ne dépendant que des

coordonnées transverses. La constante de propagation βg correspond

donc à la propagation selon z la composante transverse du champ.



Guide d’onde rectangulaire :

Nous supposons un guide rectangulaire de dimensions a selon l’axe x et b

selon l’axe y tel que représenté Fig. 2.1.

Figure 2.1

Un guide d'onde rectangulaire possède une section rectangulaire de

largeur a sur l'axe x, et de hauteur b sur l'axe y. Un diélectrique- souvent

de l'air - remplit l'intérieur du conducteur creux.

Les champs se déplacent dans le diélectrique mais sont confinés dans

l'espace par les 4 parois conductrices.

L'axe z définit toujours la direction de propagation et on suppose a > b.

Le diélectrique et le conducteur sont parfaits car les pertes pourront être

considérées ultérieurement en ajoutant simplement la constante

d'atténuation sans modifier le reste, un peu comme dans les lignes de

transmission à très faibles pertes.



Il faut voir que les modes supérieurs sont produits avec la combinaison de

plusieurs ondes planes se réfléchissant selon divers patrons sur les

parois.

Les réflexions sur les plaques latérales seules donne des modes TEm0

tandis que les modes TE0n sont issus des réflexions sur les plaques

inférieure et supérieure seules.

Figure 2.2

Figure 2.3

Pour obtenir l'ensemble des informations sur les champs, il faut

solutionner l'équation d'onde issue de la résolution des équations de

Maxwell en accord avec les conditions aux limites imposées par les parois

du guide d'ondes.

Deux modes supérieurs peuvent donc s'y propager:

le mode TE où le champ électrique est transverse avec:

Ez = 0, et Hz ≠ 0,

le mode TM où le champ magnétique est transverse avec:

Ez ≠ 0, et Hz = 0,



2.1 Modes 𝐓𝐌

Nous allons dans un premier temps nous intéresser aux modes de

propagation TM.

Résolution de l’équation de propagation

Nous avons vu que la résolution des modes TM passe par la

détermination de l’équation de propagation concernant le champ

excitateur Ez. Nous supposons les variables séparées pour ce champ

excitateur et écrivons :

𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦). L’équation de propagation ∆Ez + s

2Ez s’écrit donc :

��𝑌 + ��𝑋 + 𝑠2𝑌𝑋 = 0. soit en divisant cette dernière équation par YX :

��

𝑋+𝑌

𝑌

+ 𝑠2 = 0.

Rappelons que s est une constante, ainsi nous avons la somme d’une

fonction X/ X ne dépendant que de x, d’une fonction Y/ Y ne dépendant que

de y, et d’une constante. Ceci n’est possible que dans le cas où les

fonctions X00/X et Y00/Y sont constantes. Nous noterons ces constantes

respectivement −k2x et −k2y avec ainsi :

𝑘2𝑥 + 𝑘2𝑦 = 𝑠

2. 2.1 La résolution de X/ X = −k2x donne donc une solution de la forme X =

A cos(kxx) + B sin(kxx), et la résolution de Y/ Y = −k2y donne donc une

solution de la forme X = C cos(kyy) + D sin(kyy), nous déduisons donc la

forme du champ excitateur :

𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = [𝐴 cos(𝑘𝑥𝑥) + 𝐵 sin(𝑘𝑥𝑥)][cos(𝑘𝑦𝑦) + 𝐷 sin(𝑘𝑦𝑦)] 2.2



Application des conditions aux limites

Afin de déterminer les constantes, nous appliquons les conditions aux

limites, à savoir ici la condition de Dirichlet précédemment démontrée.

Ainsi, le champ excitateur doit être nul sur le contour du guide, donc :

{

𝐸𝑧(𝑦 = 0) = 0 ∀𝑥

𝐸𝑧(𝑦 = 𝑏) = 0 ∀𝑥

𝐸𝑧(𝑦 = 0) = 0 ∀𝑦

𝐸𝑧(𝑦 = 𝑎) = 0 ∀𝑦

Nous déduisons de la première condition :

[A cos(kxx) + B sin(kxx)] C = 0 quelque soit x, d’où nécessairement C = 0.

De la deuxième condition nous déduisons par conséquence :

[A cos(kxx) + B sin(kxx)] D sin(kyb) = 0 quelque soit x, d’où la condition :

𝑘𝑦 = 𝑛𝜋/𝑏. 2.3 où n est un entier positif, et D ≠ 0 (pour assurer l’existence des champs).

De la troisième condition nous déduisons ensuite : AD sin(kyb) = 0

quelque soit y, d’où nécessairement A = 0 car D est non nul. Finalement,

nous déduisons de la dernière condition : B sin(kxa)D sin(kyy) = 0 d’où la

condition :

𝑘𝑥 = 𝑚𝜋/𝑎. 3.4 où m est un entier positif. Ainsi, nous avons l’expression du champ excitateur Ez :

𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝐸0 sin (𝑚𝜋𝑥

𝑎) sin (

𝑛𝜋𝑦

𝑏) . 2.5

avec l’expression des valeurs propres pour chaque mode transverse TM

d’ordres (m, n)

𝑠𝑚𝑛2 = (

𝑚𝜋

𝑎)2+ (

𝑛𝜋

𝑏)2

2.6



Sachant que smn = 2π/λc nous pouvons aussi exprimer les longueurs

d’onde et coupures des modes transverses en fonction simplement des

dimensions du guide d’onde rectangulaire :

𝜆𝐶𝑚𝑛 = 1/√(𝑚

2𝑎)2+ (

𝑛

2𝑏)2 2.7

𝑣𝐶𝑚𝑛 = 𝑣/√(𝑚

2𝑎)2+ (

𝑛

2𝑏)2 2.8

Expression des champs

Nous avons relié précédemment (chapitre I) les champs transverses aux

champs longitudinaux. Nous déduisons le champ électrique transverse

pour le mode TM (pour lequel Hz = 0) :

�� 𝑇 =1

𝑠2(−𝛾𝑔𝑟𝑎𝑑𝐸𝑧),

d’où les expressions des composantes Ex et Ey:

{𝐸𝑥 =

−𝛾

𝑠2𝐸0

𝑚𝜋

𝑎𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥

𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (

𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝐸𝑦 =−𝛾

𝑠2𝐸0

𝑛𝜋

𝑏𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥

𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋𝑦

𝑏)

. 2.9

Nous déduisons maintenant le champ magnétique transverse pour le

mode TM (pour lequel Hz = 0) :

{𝐻𝑥 = 𝐸0

𝑖𝜔

𝑠2𝑛𝜋

𝑏𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝐻𝑦 = −𝐸0𝑖𝜔

𝑠2𝑚𝜋

𝑎𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏) . 2.10

À ce stade, nous avons donc calculé l’expression des champs électrique et

magnétique pour les modes TMmn dans un guide rectangulaire :



Champ électrique :

�� 𝑚𝑛 =

{

𝐸𝑥 =

−𝛾

𝑠2𝐸0

𝑚𝜋

𝑎𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝐸𝑦 =−𝛾

𝑠2𝐸0

𝑛𝜋

𝑏𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝐸𝑧 = 𝐸0 𝑠𝑖𝑛 (𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

. 2.11

Champ magnétique :

�� 𝑚𝑛 =

{

𝐻𝑥 = 𝐸0

𝑖𝜔

𝑠2𝑛𝜋

𝑏𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝐻𝑦 = −𝐸0𝑖𝜔

𝑠2𝑚𝜋

𝑎𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝐻𝑧 = 0

2.12

Existences des modes 𝐓𝐌

Il est important de remarquer que si m = 0 ou n = 0, alors le champ

excitateur Ez est nul. Nous sommes donc en présence d’un mode TEM, or

nous avions vu précédemment que celui-ci ne pouvait exister dans un

guide creux. Par conséquence :

Les modes 𝑻𝑴𝟎𝒊 et 𝑻𝑴𝒊𝟎 n’existent pas dans un guide rectangulaire.

2.2 Modes 𝐓𝐄

Nous pouvons effectuer une démarche similaire pour les modes TE, à

savoir la résolution de l’équation de propagation afin de déterminer la

forme du champ excitateur Hz, puis l’application des conditions aux limites

afin de déterminer les valeurs propres ainsi que l’expression exacte de ce

champ excitateur. Nous pouvons finalement utiliser les relations liant

champs transverses et longitudinaux afin de déterminer l’expression des

champs transverses.



Valeurs propres

Les valeurs propres pour chaque mode transverse TE d’ordre (m, n) sont :

𝑠𝑚𝑛2 = (

𝑚𝜋

𝑎)2+ (

𝑛𝜋

𝑏)2. 2.13

Ainsi, les valeurs propres pour les modes TEmn sont identiques à celles

des modes TMmn ( Eq. 6.6). Par conséquence, ces modes auront les

mêmes fréquences de coupures. Nous parlons dans ce cas de mode

dégénérés.

Les modes 𝑻𝑬𝑚𝑛 et 𝑻𝑴𝑚𝑛 sont donc dégénérés car ils sont associés à la même valeur propre.

Expression des champs

Nous obtenons aussi après un calcul similaire à celui présenté pour les

modes TM, l’expression des champs suivants :

Champ électrique :

�� 𝑚𝑛 =

{

𝐸𝑥 = 𝐻0

𝑖𝜔𝜇

𝑠2𝑛𝜋

𝑏𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝐸𝑦 = −𝐻0𝑖𝜔𝜇

𝑠2𝑚𝜋

𝑎𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝐸𝑧 = 0

2.14

Champ magnétique

�� 𝑚𝑛 =

{

𝐻𝑥 = 𝐻0

𝛾

𝑠2𝑚𝜋

𝑎𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝐻𝑦 = 𝐻0𝛾

𝑠2𝑛𝜋

𝑏𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝐻𝑧 = 𝐻0 𝑐𝑜𝑠 (𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

2.15

Existences des modes 𝐓𝐄

Contrairement aux modes 𝑻𝑴, tous les modes 𝑻𝑬 peuvent exister (même si 𝑚 ou 𝑛 est nul).



2.3 Etudes des modes de propagation :

Les modes de propagations sont définis par les valeurs des entiers 𝑚 et 𝑛

qui définissent la longueur d'onde de coupure (2.7)

on définit ainsi les modes TEmn et TMmn. Etudions les différentes

solutions en fonction des valeurs de m et de n.

𝒎 = 𝟎 et 𝒏 = 𝟎

Les expressions des composantes des champs 𝑇𝐸 et 𝑇𝑀 montrent

qu'elles sont nulles. Il n'y a donc pas de propagation possible des modes

𝑇𝐸00 et 𝑇𝑀00.

𝒎 = 𝟎 et 𝒏 = 𝟏

Dans ce cas la longueur d'onde coupure est égale à :

𝜆𝐶01 = 2𝑏 2.16

Les expressions 2.11 à 2.12 montrent que toutes les composantes de

l'onde 𝑇𝑀01 sont nulles. Seules une onde 𝑇𝐸01 est possible.

𝒎 = 𝟏 et 𝒏 = 𝟎

Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de 2.7 est égale à :

𝜆𝐶01 = 2𝑎 2.17

Les expressions 2.11 à 2.12 montrent que toutes les composantes de

l'onde 𝑇𝑀10 sont nulles. Seules une onde 𝑇𝐸10 est possible.

𝒎 = 𝟏 et 𝒏 = 𝟏

Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de (2.7) est égale à :

𝜆𝐶11 = 1/√1

(2𝑎)2+

1

(2𝑏)2 2.18

Les deux modes 𝑇𝐸11 et 𝑇𝑀11 sont possibles.



𝒎 et 𝒏

Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de 2.7 est égale à :

𝜆𝐶𝑚𝑛 = 1/√𝑚

(2𝑎)2+

𝑛

(2𝑏)2 2.19

Les deux modes 𝑇𝐸11 et 𝑇𝑀11 sont possibles.

On peut donc représenter sur un graphique les différents modes de

propagation en fonction de la longueur d'onde de l'émetteur.

Figure 2.4

On voit donc que pour une longueur d'onde :

𝜆𝐶10 < 𝜆 < 𝜆𝐶01 soit 2𝑎 < 𝜆0 < 2𝑏 2.20

Seul le mode 𝑇𝐸01 peut se propager, c'est une propagation monomode.

On appelle ce mode le mode dominant. C'est dans cette gamme de

longueur d'onde que l'on utilisera le guide rectangulaire.

Pour :

𝜆0 < 𝜆𝐶10 soit 𝜆0 < 2𝑏 2.21

Plusieurs modes sont susceptibles de se propager, c'est une propagation multimode.

2.4 Etude du mode dominant 𝑻𝑬𝟎𝟏 :

Il est caractérisé par 𝑚 = 0 et 𝑛 = 1 et une longueur d'onde de coupure

égale à :

𝜆𝐶01 = 2𝑏 2.22



Dans ces conditions les expressions 2.14 à 2.15 permettent de déterminer

les valeurs des composantes du champ 𝐸𝑀.

𝐸𝑥01 =𝑗𝜔𝜇

𝛾𝑐2

𝜋

𝑏𝐻0 sin (

𝜋𝑦

𝑏) 𝑒𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑔𝑧 2.23

𝐻𝑦01 =𝛾𝑔

𝛾𝑐2

𝜋

𝑏𝐻0 𝑠𝑖𝑛 (

𝜋𝑦


𝐻𝑧01 = 𝐻0 𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑦


𝐸𝑦01 = 𝐸𝑧01 = 𝐻𝑥01 = 0 2.26

Ce qui permet de représenter les champs EM.

Figure 2.5

On voit que le champ électrique est maximum au centre du guide.



2.5 Puissance active transportée par le mode TE01

La puissance se calcule par le flux du vecteur de Pointing :

𝑃𝑧 = −1

2𝐸𝑦𝐻𝑥

∗ 2.27

Ou 𝐸𝑦 𝑒𝑡 𝐻𝑥 sont donnés par (2.23) et (2.24) soit :

𝑃𝑧 = −1

2𝑗𝜔𝜇

𝛾𝑔

𝛾𝑐2

𝜋2

𝑏2𝐻0 𝑠𝑖𝑛

2 (𝜋𝑦

𝑏) 2.28

tenant compte du fait que :

{

𝛾𝑔 = 𝑗𝛽𝑔

𝛽𝑔=

2𝜋

𝜆𝑔

𝛾𝑐 =2𝜋

𝜆𝑐

𝜆𝑐 = 2𝑏𝐸0𝐻0= √

𝜇0𝜀0

𝑐 =1

√𝜀0𝜇0

2.29

La densité de puissance s'écrit :

𝑃 =1

2𝐸0

2√𝜇0

𝜀0

𝜆

𝜆𝑔∫ ∫ 𝑠𝑖𝑛2 (

𝜋𝑦

𝑏) 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑏

0

𝑎

0 2.30

Soit :

𝑃 =1

4𝐸0

2√𝜇0

𝜀0

𝜆

𝜆𝑔𝑎𝑏 2.31

pour un guide rectangulaire travaillant en bande X à 10 Ghz, la puissance

est limitée par le champ électrique que peut supporter le guide en son

centre, dans le cas d'un guide rempli d'air sec, ce champ est de

10000V/cm., ce qui donne :

𝑃 =1

4(15000)2√4𝜋10−7 ∗ 36𝜋109

3

3.1∗ 22.8610−3 ∗ 10.1610−3 = 476 𝑘𝑤.



Les guides d'ondes peuvent donc transporter des puissances 𝐸𝑀 très

importantes, cela d'autant plus que les dimensions du guide sont grandes

ce qui correspond à des fréquences d'utilisation plus basses.

2.6 Caractéristiques des guides d’ondes rectangulaires

Bandes de fréquence micro-ondes

Table 2



Table 3

2.7 Lignes de Champs

Des équations des champs, il est possible ensuite de tracer les lignes de

champs, i.e. les lignes selon lesquelles le champ garde la même

amplitude. Cette représentation graphique est importante car elle offre un

recul sur la répartition des champs dans le guide, à la fois au niveau

longitudinal et transversal. Nous reprenons Fig. 6.2 les lignes de champs

tracées pour un guide rectangulaire tracées par F. Gardiol dans

Hyperfréquences (éditions Dunod).



Figure 2.6

Plusieurs grandeurs apparaissent directement sur cette figure. Nous

observons par exemple que le mode TE10 est polarisé rectilignement car

les lignes de champ électrique sont toutes verticales. Nous observons

aussi la répartition sinusoïdale transverse du champ électrique, le champ

étant concentré au centre du guide et nul sur les bords. Sur toutes les

figures, nous observons une périodicité longitudinale, cette périodicité n’est

autre que la longueur d’onde guidée lg, grandeur qui sera essentielle pour

la réalisation de cavité à l’aide de ces guides d’ondes. Notons aussi que

les lignes de champ magnétique sont fermées, conséquence directe de

l’équation de Maxwell-Thomson. Remarquons enfin que les positions des

maxima des champs électrique et magnétique sont opposition de phase

dans la direction longitudinale, i.e. que l’un est maximal quand l’autre est

nul. Il est ainsi possible de perturber le champ électrique (magnétique)

sans directement perturber le champ magnétique (électrique) en usinant le

guide à certaines positions. Cette propriété sera utilisée dans les cavités



hyperfréquences afin de réaliser diverses composantes passives

hyperfréquences.

Annexe 3.1 Contexte

Nous cherchons à déterminer les modes se propageant dans un guide

creux de dimensions a selon x et b selon y. La propagation s’effectue selon

z. Nous ne donnons ici que le fil conducteur de la méthode, les calculs

étant effectués en cours. Nous considérons un guide de dimensions a

selon x et b selon y.

3.2 Modes 𝐓𝐌 La détermination des modes TM passe par la détermination du champ

excitateur Ez.

Équation de propagation

L’équation de propagation du champ excitateur Ez est :

Δ𝐸𝑧 = −𝑠2𝐸𝑧 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑠

2 = 𝛾2 +𝜔2𝜇𝜀.

Cette équation est une équation aux valeurs propres, à chaque valeur

propre s correspond un vecteur propre Ez. Une fois Ez déterminée, nous

pouvons déterminer H puisque nous avions exprimé en début de cours les

champs transverses en fonction des composantes longitudinales

Fréquence de coupure

Dans un milieu sans perte, γ = iβ. Afin d’avoir propagation selon z, i.e. une

constante de propagation longitudinale β réelle pure, nous déduisons de

l’expression de s2 la condition ω > s/√ϵμ et définissons ainsi une

fréquence de coupure vc = s/(2π√ϵμ). À chaque mode correspond une

valeur propre s donc une fréquence de coupure.



Séparation des variables

Nous supposons possible la séparation des variables x et y et déduisons la

forme du champ :

𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = [𝐴 cos(𝑘𝑥𝑥) + 𝐵 sin(𝑘𝑥𝑥)][cos(𝑘𝑦𝑦) + 𝐷 sin(𝑘𝑦𝑦)]

Avec 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦

2 = 𝑠2

Conditions aux limites

Les conditions aux limites pour le champ excitateur Ez imposent Ez = 0

sur les parois du guide, nous déduisons le champ Ez :

𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝐸0 sin (𝑚𝜋𝑥

𝑎) sin (

𝑛𝜋𝑦

𝑏) .

où m et n sont des indices tels que :

𝑠𝑚𝑛2 = (

𝑚𝜋

𝑎)2+ (

𝑛𝜋

𝑏)2

À chaque couple 𝑚 et 𝑛 correspond donc une valeur propre s.

Remarque importante

Il est important de noter que si 𝑚 et/ou 𝑛 est nul, 𝐸𝑧 est nul. Or, 𝐻𝑧 est nul

puisque nous cherchons le mode 𝑇𝑀, donc la solution correspond à un

mode 𝑇𝐸𝑀. Or, nous avions vu au début du cours en reliant les

composantes transverses aux composantes longitudinales qu’un mode

TEM ne peut exister dans un guide creux, ainsi :

les modes 𝑻𝑴0𝑛 et 𝑻𝑴𝑚0 n’existent pas dans un guide rectangulaire !

Expression des champs transverses

Nous avions exprimé en début de cours les champs transverses en

fonction des composantes longitudinales des champs, nous déduisons

donc l’expression des champs



Champ électrique :

�� 𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐸0

{

−𝛾

𝑠2𝑚𝜋

𝑎𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

−𝛾

𝑠2𝑛𝜋

𝑏𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝑠𝑖𝑛 (𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

.

Champ magnétique :

�� 𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐸0

{

𝑖𝜔

𝑠2𝑛𝜋

𝑏𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

−𝑖𝜔

𝑠2𝑚𝜋

𝑎𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

0

3.3 Modes 𝐓𝐄

La détermination des modes TE passe par la détermination du champ

excitateur Hz.

Équation de propagation

L’équation de propagation du champ excitateur Hz est :

Δ𝐻𝑧 = −𝑠2𝐻𝑧 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑠

2 = 𝛾2 +𝜔2𝜇𝜀.

Cette équation est une équation aux valeurs propres, à chaque valeur

propre s correspond un vecteur propre Hz. Une fois Hz déterminée, nous

pouvons déterminer E puisque nous avions exprimé en début de cours les

champs transverses en fonction des composantes longitudinales

Fréquence de coupure

Dans un milieu sans perte γ = iβ. Afin d’avoir propagation selon z, i.e. une

constante de propagation longitudinale β réelle pure, nous déduisons de

l’expression de s2 la condition ω > s/√ϵμ et définissons ainsi une

fréquence de coupure vc = s/(2π√ϵμ). À chaque mode correspond une

valeur propre s donc une fréquence de coupure.



Séparation des variables

Nous supposons possible la séparation des variables x et y et déduisons la

forme du champ :

𝐻𝑧(𝑥, 𝑦) = [𝐴 cos(𝑘𝑥𝑥) + 𝐵 sin(𝑘𝑥𝑥)][cos(𝑘𝑦𝑦) + 𝐷 sin(𝑘𝑦𝑦)

Avec 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦

2 = 𝑠2

Conditions aux limites

Les conditions aux limites pour le champ excitateur Hz imposent Hz = 0

sur les parois du guide, nous déduisons le champ Hz :

𝐻𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝐻0 sin (𝑚𝜋𝑥

𝑎) sin (

𝑛𝜋𝑦

𝑏) .

où m et n sont des indices tels que :

𝑠𝑚𝑛2 = (

𝑚𝜋

𝑎)2+ (

𝑛𝜋

𝑏)2

À chaque couple 𝑚 et 𝑛 correspond donc une valeur propre s.

Remarque

Notons cette fois-ci l’existence des modes 𝑇𝐸0𝑚 et 𝑇𝐸𝑛0, contrairement

aux modes 𝑇𝑀.

Expression des champs transverses

Nous avions exprimé en début de cours les champs transverses en

fonction des composantes longitudinales des champs, nous déduisons

donc l’expression des champs

Champ électrique :

�� 𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐻0

{

𝑖𝜔

𝑠2𝑛𝜋

𝑏𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

−𝑖𝜔

𝑠2𝑚𝜋

𝑎𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

0



Champ magnétique :

�� 𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐻0

{

𝛾

𝑠2𝑚𝜋

𝑎𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝛾

𝑠2𝑛𝜋

𝑏𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

𝑐𝑜𝑠 (𝑚𝜋𝑥


𝑛𝜋𝑦

𝑏)

.

3.4 Dégénérescence

Les modes TEmn et TMmn étant caractérisés par les mêmes valeurs propres, ils sont dits dégénérés, et présentent les mêmes fréquences de coupures.

3.5 Guides rectangulaires normalisés

Table 4

3.6 Exemples de guide rectangulaire



Figure 3.1

Figure 3.2



Figure 3.3

Figure 3.4



Bibliographie

[1] P. Féron Propagation guidée de l’Enssat (Lannion).

[2] Hyperfréquences de F. Gardiol, aux éditions Dunod.

[3] Micro-ondes : Tome 1, Lignes, guides et cavités de P.-F. Combes, aux

éditions Dunod.

[4] Électromagnétisme et transmission des ondes : Université Laval.

[5] Électromagnétisme. Propagation – lignes électriques de Jean-Luc Dion aux

éditions Loze-Dion éditeur.

[6] http://hyper.dajax.fr/05propagguide/C05_2rect/C5_2rect.htm

Figures

Figure 1.1 : .......................................................................................... 04

Figure 1.2 : ......................................................................................... 05

Figure 2.1 : ......................................................................................... 08

Figure 2.2 : ......................................................................................... 09

Figure 2.3 : ......................................................................................... 09

Figure 2.4 : ......................................................................................... 15

Figure 2.5 : ......................................................................................... 17

Figure 2.6 : ......................................................................................... 21

Figure 3.1 : ........................................................................................ 27

Figure 3.2 : ...................................................................................... 27

Figure 3.3 : …………………………………………………………………………………… 28

Figure 3.4 : ................................................................................ 28

Tables

Table 1 : ............................................................................................. 06

Table 2 : ….......................................................................................... 19

Table 1 : ............................................................................................. 20

Table 2 : ….......................................................................................... 26

Documents

Guide d’onde rectangulaire.pdf