Exercice 6 TD1

corrig TDN1 ANA NUM

Exercice 6 Exercice 6 Exercice 6 Exercice 6 Calcul de 1/e = 0.367879 ( 10-6 prs) partir de sommes partielles de 5 10 termes du dveloppement en srie de Taylor de :

a. e-x en x=1 ()* = + (,1)

-.-/!

1

-234 5(.1), 7 . 8 9:

En x = 1, on considre la somme partielle ;1 = ()=)>

-!1-23 = 1 , 1 4 =?! ,

=@! 4 A 4

()=)B1!

Soit lerreur E1 commise : |E1| = G ;1 , =HG = | ;1 , 0.367879 | ( 10-6 prs) On obtient le tableau suivant :

n ;1 = +

(,1)-/!

1

-23 |E1| = K ;1 , 1(K

5 0,366667 0,121233 10-2

6 0,368056 0,176556 10-3

7 0,367857 0,218571 10-4

8 0,367882 0,294444 10-5

9 0,367879 0,188713 10-6

10 0,367879 0,464286 10-6

b. ex en x= 1 et passage linverse

(* = + .-

/!1

-234 5(.1), 7 . 8 9:

En x = 1, on considre linverse de la somme partielle ;1M = =-!1-23 = 1 4 1 4=?! 4

=@! 4 A 4

=1!

Soit lerreur E1 commise : |EN1| = G =OBM ,=HG = G

=OBM , 0.367879 G ( 10-6 prs) On obtient le tableau suivant :

n

;1M = + 1/!1

-23 1

;1N |EN1| = K 1

;1N ,1(K

5 2,71667 0,368098 0,219160 10-3

6 2,71806 0,367910 0,310664 10-4

7 2,71825 0,367883 0,421168 10-5

8 2,71828 0,367880 0,855111 10-6

9 2,71828 0,367879 0,482163 10-6

10 2,71828 0,367879 0,444868 10-6

On remarque quen gnral, la seconde approximation (b) est meilleure que la premire (a) car la valeur absolue de lerreur commise en (b) est plus faible que celle commise en (a).

n |E1| , |EN1| 5 0,993174 10

-3

6 0,145489 10-3

7 0,176455 10-4

8 0,208933 10-5

9 -0,293450 10-6

10 0,194179 10-7

La comparaison des termes derreurs montre bien que : |EN1|S |E1| pour n= 5, 6, 7, 8 ,10

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