Fonction partie entière Graphique et règle Remarque:Tu devrais visionner: « Fonction partie...

Fonction partie entière

Graphique et règle

Remarque: Tu devrais visionner:

« Fonction partie entière, rôle des paramètres.ppt »,

avant de visionner celle-ci.

On peut tracer le graphique d’une fonction partie entière en utilisant :

- un texte ( une mise en situation );

- une table de valeurs;

- une règle.

On peut également déterminer la règle d’une fonction partie entière en utilisant:

- un texte ( une mise en situation );

- une table de valeurs;

- un graphique.

Tracer le graphique à partir d’une mise en situation.

Exemple: Pour stimuler ses vendeurs et vendeuses, le gérant d’une boutique leur accorde une prime supplémentaire de 50,00 $ pour chaque tranche de 1 000,00 $ de ventes effectuées.

Il faut analyser le texte.

La valeur initiale est 0 car s’il n’y a aucune vente, il n’y a aucune prime.

Variable indépendante (x) : le montant des ventes ($)

Variable dépendante (y) : la prime ($)

Chaque marche (intervalle) aura une longueur de 1 000 unités, fermée à gauche car il faut avoir complété chaque tranche de 1 000,00 $ pour obtenir la prime.

La distance verticale entre chaque marche sera de 50 unités; comme il y aura accumulation, la fonction sera croissante ( a > 0 ).

Trace le graphique représentant cette situation.

Montant des ventes ($)

Primes ($)

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Primes reçues en fonction des ventes effectuées.

50

100

150

200

250

Remarque: Il est préférable d’utiliser du papier quadrillé pour tracer une fonction partie entière.

0

0

a = 50 longueur de la marche = 1 000 b > 0 h = 0 k = 0

Exemple

La mère de François lui a prêté 500,00 $ pour qu’il puisse participer à un voyage d’études. Il est convenu qu’il remboursera 25,00 $ tous les premiers du mois à compter du 1er janvier prochain.

Il faut analyser le texte.

La valeur initiale est 500 car, au début, sa dette est de 500,00 $.

Variable indépendante (x) : le nombre de mois

Variable dépendante (y) : le montant de la dette ($)

Chaque marche (intervalle) aura une longueur de 1 unité, fermée à gauche car, il faut que le mois soit complété pour que la dette diminue.

La distance verticale entre chaque marche sera de 25 unités; comme il y aura remboursement la fonction sera décroissante ( a < 0 ).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

300

325

350

375

400

425

450

475

500

Remboursement de la dette de François

Temps écoulé ( en mois )

Dette ($)

00

a = - 25 longueur de la marche = 1 b > 0 h = 0 k = 500

Tracer le graphique à partir d’une table de valeurs.

Il est très facile de tracer le graphique d’une fonction partie entière quand on connaît la table de valeurs associée à la situation.

Exemple : Le tableau suivant indique le coût d’une prime d’assurance selon le groupe d’âge de la personne.

Coût de l’assurance en fonction de l’âge

Groupes d’âges

(ans)

Coût de la prime par année pour 1000,00 $ d’assurance

($)

[ 0 , 13 [

[ 13 , 26 [

[ 26 , 39 [

[ 39 , 52 [

[ 52 , 65 [

6

8

10

12

14

Variable indépendante

Variable dépendante

Coût de l’assurance en fonction de l’âge

Groupes d’âges

(ans)

Coût de la prime par année pour 1000,00 $ d’assurance

($)

[ 0 , 13 [

[ 13 , 26 [

[ 26 , 39 [

[ 39 , 52 [

[ 52 , 65 [

6

8

10

12

14

Les crochets indiquent que les bornes des segments sont pleines à gauche et vides à droite, donc b > 0. De plus, la largeur des marches est de 13 unités donc | b | = 1/13.

Variable indépendante

Variable dépendante

La valeur initiale est 6 et h = 0 donc k = 6.

La fonction est croissante donc a > 0; l’augmentation est de 2 unités donc | a | = 2.

La première classe débute à 0 donc h = 0.

+ 2

+ 2

Coût de la prime par année pour

1000,00 $ d’assurance ($)

Coût de l’assurance en fonction de l’âge

10 20 30 40 50 60 70

Groupes d’âge (ans)

2

4

6

8

10

12

14

a = 2 b = 1/13 h = 0 k = 6

00

a = -1

Tracer le graphique à partir de la règle.

Tracer le graphique d’une fonction partie entière à partir de la règle de la fonction demande de bien comprendre chaque paramètre.

Rappel : f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

Le paramètre a : - il donne la distance verticale entre les marches;

- il se calcule en valeur absolue : | a | puisque une distance est positive;

- si a > 0, la fonction est croissante;

si a < 0, la fonction est décroissante.

Exemples:

a = 1 1

2

3

-1

-2

-3

a = 3

a = -3

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

Le paramètre b :

- il donne la longueur des marches (intervalles);

- il se calcule en valeur absolue : | b | car une longueur est positive.

Attention

Chaque marche de la fonction partie entière de base mesure1 unité.

Si b = 2 , on atteint la partie entière plus rapidement ce qui diminue la longueur de la marche.

Si b = 0,5 , on atteint la partie entière moins rapidement ce qui augmente la longueur de la marche.

- il indique si l’intervalle (marche) est ouvert à gauche ou à droite;

0 1 2

1

0 1 2

1

0 1 2

1

b > 0 :

[ [

b < 0 :

] ]

La longueur d’une marche est égale à : marche d’une unité

valeur de b en absolue| b |

1

| b |

1

| 1 |

1= 1b = 1

| b |

1

| 2 |

1= 0,5b = 2

| b |

1

| 0,5 |

1= 2b = 0,5

Une demi-unité de longueur pour atteindre la partie entière.

Deux unités de longueur pour atteindre la partie entière.

Une unité de longueur pour atteindre la partie entière.

0 1 2

1

0 1 2

1

0 1 2

1

Remarque:

| b |

1= longueur de la marche et

1

longueur de la marche= | b |

0 1 2

1

0 1 2

1

1

0,5= | 2 | b = 2

1

2= | 0,5 | b = 0,5

Les paramètres h et k

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

Ces deux paramètres correspondent à la [ partie entière ] de chaque intervalle

donc à la borne pleine des marches.

1 2-1-2

1

2

-1

-2

x

y

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

x

y

h = 0 , k = 0

( h , k ) = ( 0 , 0 )

h = -1 , k = 0

( h , k ) = ( -1 , 0 )

h = 1 , k = -2

( h , k ) = ( 1 , -2 )

Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = -2 [ x ] + 1

Étape 1: Déterminer la valeur des paramètres: a = -2,

a et b sont de signes contraires donc la fonction est décroissante;

h = 0 donc il n’y a pas de translation horizontale;

k = 1 donc il y a translation verticale de 1 unité vers le haut.

a = | -2 | = 2 donc la distance entre les marches est de 2 unités;

Étape 2: Interpréter les paramètres.

b > 0 donc les segments sont fermés à gauche;

b = 1 donc la longueur des marches est de 1 unité;| b |

1

| 1 |

1= =

+1

f(x) = a [ b ( x - h ) ] + k

( – h )

h = 0 k = 1b = 1,

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

x

y

a = -2 , b = 1 , h = 0 , k = 1

1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h , k ).

Étape 3 : Tracer le graphique.

( 0 , 1 )

2) On détermine la longueur et l’orientation d’un segment à l’aide de la valeur de b.

3) On répète les segments en utilisant la valeur de a.

1

| b |=

1

| 1 |= 1

et b > 0 donc

a < 0 et | a | = | -2 | = 2 donc

Remarque: Les extrémités des marches doivent être vis-à-vis les unes des autres.

Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] - 1

Étape 1: Déterminer la valeur des paramètres: a = 2 , b = - 0,5 , h = -1 , k = -1

a et b sont de signes contraires donc la fonction est décroissante;

h = -1 donc il y a translation horizontale de 1 unité vers la gauche;

k = -1 donc il y a translation verticale de 1 unité vers le bas.

a = | 2 | = 2 donc la distance entre les marches est de 2 unités;

Étape 2: Interpréter les paramètres.

b < 0 donc les segments sont fermés à droite;

1b = - 0,5 donc la longueur des marches est de 2 unités;| b |

1

| -0,5 |= =

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

x

y

Étape 3 : Tracer le graphique.

a = 2 , b = - 0,5 , h = -1 , k = -1

1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h , k ).

( -1 , -1 )

2) On détermine la longueur et l’orientation d’un segment à l’aide de la valeur de b.

3) On répète les segments en utilisant la valeur de a.

1

| b |=

1

| -0,5 |= 2

et b < 0 donc

a > 0 et | a | = | 2 | = 2 donc

Remarque: a > 0 et b < 0 donc fonction décroissante.

Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = 3 [ 2x – 4 ]

Étape 1: Déterminer la valeur des paramètres: a = 3 , b = 2 , h = 2 , k = 0

a et b sont du même signe donc la fonction est croissante;

h = 2 donc il y a translation horizontale de 2 unités vers la droite;

k = 0 donc il n’y a pas de translation verticale.

a = | 3 | = 3 donc la distance entre les marches est de 3 unités;

Étape 2: Interpréter les paramètres.

b > 0 donc les segments sont fermés à gauche;

1b = 2 donc la longueur des marches est de 0,5 unité;| b |

1

| 2 |= =

Attention : Cette écriture n’est pas en forme canonique.

Il faut donc commencer par écrire cette règle sous la forme canonique.

f(x) = 3 [ 2x – 4 ] f(x) = 3 [ 2 ( x – 2 ) ] par simple mise en évidence.

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

x

y

Étape 3 : Tracer le graphique.

a = 3 , b = 2 , h = 2 , k = 0

1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h , k ).

( 2 , 0 )

2) On détermine la longueur et l’orientation d’un segment à l’aide de la valeur de b.

3) On répète les segments en utilisant la valeur de a.

1

| b |=

1

| 2 |= 0,5

et b > 0 donc

a > 0 et | a | = | 3 | = 3 donc

Remarque: a > 0 et b > 0 donc fonction croissante.

Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = [ 2 ( x + 2 ) ] + 0,5

Étape 1: Déterminer la valeur des paramètres: a = 1 , b = 2 , h = - 2 , k = 0,5

a et b sont du même signe donc la fonction est croissante;

h = -2 donc il y a translation horizontale de 2 unités vers la gauche ;

k = 0,5 donc il y a translation verticale de 0,5 unité vers le haut.

a = | 1 | = 1 donc la distance entre les marches est de 1 unité;

Étape 2: Interpréter les paramètres.

b > 0 donc les segments sont fermés à gauche;

1b = 2 donc la longueur des marches est de 0,5 unité;| b |

1

| 2 |= =

+ 1

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

x

y

Étape 3 : Tracer le graphique.

a = 1 , b = 2 , h = - 2 , k = 0,5

1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h , k ).

( -2 , 0,5 )

2) On détermine la longueur et l’orientation d’un segment à l’aide de la valeur de b.

3) On répète les segments en utilisant la valeur de a.

1

| b |=

1

| 2 |= 0,5

et b > 0 donc

a > 0 et | a | = | 1 | = 1 donc

Remarque: a > 0 et b > 0 donc fonction croissante.

Déterminer la règle en utilisant un texte ( une mise en situation ).

Exemple: Pour stimuler ses vendeurs et vendeuses, le gérant d’une boutique leur accorde une prime supplémentaire de 50,00 $ pour chaque tranche de 1 000,00 $ de ventes effectuées.

Il faut analyser le texte.

La valeur initiale est 0 car s’il n’y a aucune vente, il n’y a aucune prime :

Variable indépendante (x) : le montant des ventes ($)

Variable dépendante (y) : la prime ($)

Chaque marche (intervalle) aura une longueur de 1 000 unités, fermée à gauche car il faut avoir complété chaque tranche de 1 000,00 $ pour obtenir la prime.

Détermine la règle représentant cette situation.

h = 0 k = 0

donc b = 0,001 soitlongueur

d’une marche

1= 0,001=

1 000

1

La distance verticale entre les marches sera de 50 unités; comme il y aura accumulation, la fonction sera croissante ( a > 0 ).

k = 0b = 0,001a = 50

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

h = 0

f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 0 ) ] + 0

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

Déterminer la règle en utilisant un texte ( une mise en situation ).

Exemple:

Il faut analyser le texte.

Détermine la règle représentant cette situation.

h = 0 et k = 500

donc b = 1 soitlongueur

d’une marche

1= 1=

1

1

La mère de François lui a prêté 500,00 $ pour qu’il puisse participer à un voyage d’études. Il est convenu qu’il remboursera 25,00 $ tous les premiersdu mois à compter du 1er janvier prochain.

La valeur initiale est 500 car, au début, sa dette est de 500,00 $.

Variable indépendante (x) : le nombre de mois

Variable dépendante (y) : le montant de la dette ($)

Chaque marche (intervalle) aura une longueur de 1 unité, fermée à gauche car, il faut que le mois soit complété pour que la dette diminue.

La distance verticale entre les marches sera de 25 unités; comme il y aura diminution, la fonction sera décroissante ( a < 0 ).

k = 500b = 1a = - 25

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

h = 0

f(x) = -25 [ 1 ( x – 0 ) ] + 500

f(x) = -25 [ x ] + 500

Coût de l’assurance en fonction de l’âge

Groupes d’âges

(ans)

Coût de la prime par année pour 1000,00 $ d’assurance

($)

[ 0 , 13 [

[ 13 , 26 [

[ 26 , 39 [

[ 39 , 52 [

[ 52 , 65 [

6

8

10

12

14

Les crochets indiquent que les bornes des segments sont pleines à gauche et vides à droite donc: b > 0.

Variable indépendante

Variable dépendante

La première classe débute à 0 et la valeur initiale est 6 donc h = 0 et k = 6

Déterminer la règle en utilisant une table de valeurs

La largeur des classes est de 13 unités donc | b | =largeur

d’un intervalle

1=

13

1

La distance verticale entre les marches sera de 2 unités car le coût de la prime augmente de façon régulière à chaque changement d’intervalle.

k = 6b = 1/13a = 2

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

h = 0

f(x) = 2 [ 1/13 ( x – 0 ) ] + 6

f(x) = 2 [ 1/13 x ] + 6

Déterminer la règle en utilisant un graphique.

Déterminer la règle à partir d’un graphique est le moyen le plus facile.

Il s’agit simplement de bien comprendre les paramètres de la fonction.

Exemple:

Montant desventes ($)

Primes ($)

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Primes reçues en fonction

des ventes effectuées.

50

100

150

200

250

0

0

Montant desventes ($)

Primes ($)

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Primes reçues en fonction

des ventes effectuées.

50

100

150

200

250

En utilisant la borne de la marche la plus près de l’origine, on constate que

h = 0 et k = 0

b > 0 car le segment est fermé à gauche.

b = 0,001

soit

= 0,001

longueurd’une marche

1 =

1 000

1

| a | f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 0 ) ] + 0

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

= 50

donc b = 0,001

a > 0 car la fonction est croissante et b > 0

donc a = 50

0

0

Remarque :

Montant desventes ($)

Primes ($)

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Primes reçues en fonction

des ventes effectuées.

50

100

150

200

250

La fonction partie entière possède plusieurs marches.

Pour déterminer la valeur de h et de k, il y a donc plusieurs possibilités.

Exemples

h et k pourraient être

( 1 000 , 50 )

( 3 000 , 150 )

Il y a plusieurs possibilités,

donc plusieurs règles possibles.

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 1 000 ) ] + 50

f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 3 000 ) ] + 150

0

0

Pour déterminer les différentes valeurs de x ou de f(x), toutes ces règles sont équivalentes.

Exemples:

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 3 000 ) ] + 150

f(2 000) = 50 [ 0,001 X 2 000 ]

f(2 000) = 50 [ 2 ] = 100

f(2 000) = 50 [ 0,001 ( 2 000 – 3 000 ) ] + 150

f(2 000) = 50 [ -1 ] + 150 = 100

f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 1 000 ) ] + 50

f(2 000) = 50 [ 0,001 ( 2 000 – 1 000 ) ] + 50

f(x) = 50 [ 1 ] + 50 = 100

Pour éviter la lourdeur des calculs, on détermine h et k avec une marche près de l’origine; on travaille ainsi avec des paramètres plus petits.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

300

325

350

375

400

425

450

475

500

Remboursement de la dette de François

Temps écoulé ( en mois )

Dette ($)

Détermine les règles des graphiques suivants:

h = 0 k = 500

b > 0 car

| b | =

1

longueur d’une marche

1

1= 1

a < 0 car la fonction est décroissante et b > 0

| a | = 25

f(x) = - 25 [ x ] + 500

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

donc b = 1

donc a = -25 00

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

x

yh = 0 k = 1

b > 0 car

| b | =

1

longueur d’une marche

1

1= 1

a < 0 car la fonction est décroissante et b > 0

| a | = 2

f(x) = - 2 [ x ] + 1

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

donc b = 1

donc a = -2

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

x

y

h = -1 k = -1

b < 0 car

| b | =

1

longueur d’une marche

1

2= 0,5

a > 0 car la fonction est décroissante et b < 0

| a | = 2

f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] - 1

donc b = - 0,5

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

donc a = 2

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

x

y

h = 2 k = 0

b > 0 car

| b | =

1

longueur d’une marche

1

0,5= 2

a > 0 car la fonction est croissante et b > 0

| a | = 3

donc b = 2

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

f(x) = 3 [ 2 ( x – 2 ) ]

donc a = 3

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

x

y

h = -2 k = 0,5

b > 0 car

| b | =

1

longueur d’une marche

1

0,5= 2

a > 0 car la fonction est croissante et b > 0

| a | = 1

donc b = 2

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

f(x) = [ 2 ( x + 2 ) ] + 0,5

donc a = 1