FRACTIONS, DÉCIMAUX,...

FRACTIONS, DÉCIMAUX, PROPORTIONNALITÉ

A) Une fraction est un nombre.

VRAI FAUX

B) Une fraction représente une quantité inférieure à 1.

VRAI FAUX

Premiers nombres vers -3200 (Sumer)

Premières fractions vers -3000 (système sexagésimal)

C) 2,5/10 est une fraction.

VRAI FAUX

« écriture fractionnaire »

D) Enoncer « 3/2, c’est trois qu’on divise en 2, soit 1,5 » renvoie à la notion de fraction-partage.

VRAI FAUX

Notion de fraction-quotient

Fraction – partage:

Fraction – quotient:

34unité

unité

Fraction – partage:

Fraction – quotient:

34

Compétence +++ cycle 3

Partage de l’unité

Le dénominateur prend tout son sens

Compétence dernière année cycle 3 et cycle 4 +++

Division du numérateur par le dénominateur:¾ est le quotient de 3 par 4

Calcul littéral

E) Un nombre décimal est un nombre à virgule.

VRAI FAUX

F) Un nombre à virgule est un nombre décimal.

VRAI FAUX

G) Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction.

H) Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale

VRAI FAUX

VRAI FAUX

Définitions

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

Nombre décimal:

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à une puissance de 10.

Fraction décimale:

n10 xD

I) 7/10 est un nombre décimal.VRAI FAUX

j) 57/20 est un nombre décimal.VRAI FAUX

K) 7/8 est un nombre décimal.VRAI FAUX

57/20 = 285/100 = 2,85

7/8 = 875/1000 = 0,875

L) Un nombre décimal admet toujours une écriture fractionnaire.

VRAI FAUX

M) Une fraction peut toujours s’écrire sous la forme d’un nombre décimal.

VRAI FAUX

5/6 = 0,83333333…………

Définition!

N) 1/3 est un nombre décimal.VRAI FAUX

O) 2 est un nombre décimal.VRAI FAUX

2 = 20/10 = 200/100 = …

1/3 = 0,33333………

10 0 = 1 210 02 =

P) π est un nombre décimal.VRAI FAUX

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582…

100

21

23

47

1

13

71645

8

9

180 1,5

9,99

6,6

47

0,01

7,77

14,60,78

3,2

679,3

0,80

ENTIERS

DECIMAUX

100

21

23

47

1

13

71645

8

9

180 1,5

9,99

6,6

47

0,01

7,77

14,60,78

3,2

679,3

0,80

ENTIERS

DECIMAUX

100

21

23

47

1

13

71645

8

9

180

DECIMAUX

100

21

23

47

1

13

71645

8

9

180

ENTIERS

1,5

9,99

6,6

47

0,01

7,77

14,60,78

3,2

679,3

0,80

DECIMAUX

100

21

23

47

1

13

71645

8

9

180

ENTIERS

13010

44

142

1510

1100

335

DECIMAUX

ENTIERS

RATIONNELS

7,77335

23142

13 5

7

π

√2

IRRATIONNELS

REELS

Définitions

Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un ratio

Nombre rationnel:

Nombre rationnel qui s’inscrit dans le système de numération décimale (le dénominateur est donc une puissance de 10)

Nombre décimal:

Nombre décimal qui ne recourt pas à la subdivision de l’unité

Nombre entier:

Q) Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

VRAI FAUX

R) Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre infini de chiffres après la virgule.

VRAI FAUX

S) L’écriture décimale ne s’applique qu’aux nombres décimaux.

VRAI FAUX

3,2 = 3,200 = 3,200………..

1/3 = 0,33333……….

Sinon, rationnel ou irrationnel

3,2 = 3,199999………..

T) La virgule sépare la partie entière de la partie décimale.

VRAI FAUX

U) La partie entière d’un nombre décimal est le plus grand nombre entier inférieur ou égal à ce nombre.

VRAI FAUX

V) La partie décimale est la partie qui se situe après la virgule.

VRAI FAUX

1 2

1,25

1 0,25+partie entière rompu+

W) La partie décimale est ce qu’il reste quand on a enlevé la partie entière.

VRAI FAUX

X) Un nombre décimal est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale.

VRAI FAUX

1,25 – 1 = 0,25 (rompu)

1+ 0,25

Y) En termes de fonctionnement dans le cadre de la numération positionnelle, on peut considérer la virgule comme un axe de symétrie.

VRAI FAUX

Manuels & décimaux

Manuels & décimaux

Manuels & décimaux

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Entiers

Fractions

Introduction fractions décimales

Introduction fractions

Décimaux

Dans l’idéal, en CM1…

9 manuels sur 10 proposent l’introduction des décimaux de la manière suivante:

Une cohérence:

FRACTIONS

FRACTIONS DECIMALES

NOMBRES DECIMAUX

La désignation orale des nombres décimaux n’est pas la même. Par exemple, on trouve pour 3,2:

Des divergences:

« trois virgule deux »

« trois et deux dixièmes »

« trois virgule deux dixièmes »

- Entier virgule entier- Pas d’explicitation des quantièmes- 3 manuels sur 10

- Utilisation explicite du quantième de l’unité- 5 manuels sur 10

- Correction?

La définition de la partie décimale est parfois erronée. Par exemple, on trouve pour 3,2:

Des divergences:

« La partie décimale est 2 »

« La partie décimale est 0,2 »

« La partie décimale est 2/10 »

Peu de manuels font cohabiter les différentes représentations des nombres décimaux:

Des divergences:

Écriture fractionnaireÉcriture décimale

Représentation iconique

Droite graduée

Désignation orale

1m

Des divergences:

6 manuels sur 10 font explicitement le lien entre unités de mesures et densité des nombres décimaux.

3m

2m 6/10 de m

2m + 6/10 de m = 2m + 6dm = 2,6m

110

1/10 de m = 0,1m = 1dm

2m 6/10 de m4/100 de m

2m + 6/10 de m + 4/100 de m= 2m + 6dm + 4cm = 2,64m

1100

1/100 de m = 0,01m = 1cm

Approche « historique » du nombre décimal

- La décomposition décimale de l’unité s’affirme après la révolution française.

- Les premières écritures décimales datent de 1595, pour les tables trigonométriques.

13(6) par exemple, puis 13,6

Sous l’ancien régime,Le pouce mesurait environ 2,7cm.Le pied mesurait environ 33cm.La toise mesurait environ 1,96m.L’arpent mesurait environ 72m.

Les unités anglo-saxonnes,Le pouce mesure environ 2,54cm.Le pied mesure environ 30,48cm.Le yard mesure environ 91,44cm.Le mile mesure environ 1609m.

Approche « historique » du nombre décimal

- Inconvénient: approche qui ne favorise pas la compréhension de la partie décimale comme quantième de l’unité.

- Avantage: approche « fonctionnelle » du nombre décimal.

Approche onto-phylogénétique des décimaux jusque dans les années 60

1,72m - 1m72 - 1m 72cm

12€90

Obstacles liés à l’usage:1,6m se dit « un mètre soixante »« un mètre six » renvoie plutôt à 1,06m« quarante-huit euros et cinq centimes »

L’ontogenèse ne récapitule pas (toujours) la phylogenèse!

CEDRE 2014 & décimaux

Rapport IGEN 2006 & décimaux

- Réelle difficulté en ce qui concerne le sens à donner à la fraction.

- Difficulté à faire percevoir les fractions et les décimaux comme de nouveaux nombres

- L’enseignement des décimaux est:

- Trop tardif

- Pas suffisamment approfondi

- Trop abstrait

- Manque de représentation du nombre décimal

- Passage à l’écriture symbolique trop précoce

- Apprentissage par empilement de règles (qui génèrent des confusions, oublis, erreurs, …)

Quelques statistiques relatives aux nombres décimaux…

- Journées défense et citoyenneté:

- Evaluations nationales 6ème: (2008)

- 7/2 peut s’écrire 2,5 3,5 7,2 7,5

30% d’erreurs

- Écrire la fraction égale à 80,4

51% d’erreurs

- Encadrer 895,53 par deux entiers consécutifs

65% d’erreurs

- Encadrer 12 + 5/100 par deux entiers consécutifs

77% d’erreurs

Quelques statistiques relatives aux nombres décimaux…

- Evaluations nationales CM2 (2010 – 2011):

- Écrire 18 unités et 25 centièmes

55% d’erreurs

- Ecrire un ¼ sous la forme d’un nombre décimal

73% d’erreurs

Conclusion conférence

Les obstacles liés à l’apprentissage des décimaux

- Des obstacles ontogéniques

- Des obstacles didactiques & pédagogiques

- Des obstacles épistémologiques

Les obstacles épistémologiques

- Les nombres décimaux provoquent une rupture

- Les nombres décimaux s’inscrivent dans la continuité

- Certaines notions n’ont plus de sens

- Certaines règles / stratégies ne fonctionnent plus

- Certains faits numériques sont « surprenants »

Nombre suivant / Nombre précédent

X 10, 100, 1000…

Règles de comparaison

Multiplication / addition itérative

Multiplier par 0,…

- Extension de la numération décimale positionnelle des N aux D

- Opérations

- Le principe de distributivité des mots-nombres ne fonctionne plus

Les obstacles épistémologiques

ENSEMBLE DISCRET

ENSEMBLE CONTINU

Impact des représentations et des stratégies de calcul antérieures?

Les obstacles didactiques et pédagogiques

Quelle stratégie adopter pour entrer dans les décimaux?

Les unités de mesure

Les fractions / fractions décimales

Usage social +++

Notion d’ordre continu, D = nouveaux nombres

Compréhension assez faible des chiffres de la partie décimale comme quantième de l’unité

Bonne compréhension du sens des chiffres de la partie décimale

La fraction est vue comme un outil de partage plus que comme un nouveau nombre

L’écriture fractionnaire induit des erreurs

Les programmes de 2016

Les compétences relatives aux fractions

1- Se représenter les fractions

4- Comparer des fractions

5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes

2- Situer les fractions par rapport aux entiers

3- Additionner des fractions

6- Calculer la fraction d’un entier

- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs

Océane mange la partie de la tablette entourée en rouge.Exprime ce qu’elle mange sous forme d’une fraction.Exprime de la même manière ce qu’elle ne mange pas.

Océane mange de la tablette.

Océane laisse de la tablette.

5

12

7

12

Exemple de point d’entrée pour les fractions

Océane mange de la tablette.

Océane laisse de la tablette.

+ = de la tablette = 1 tablette

2

3

1

3

1

3

2

3

3

3

Exemple de point d’entrée pour les fractions

Exemple de point d’entrée pour les fractions

Exemple de point d’entrée pour les fractions

Exemple de point d’entrée pour les fractions

Points positifs

Points négatifs

Recours à une représentation (objet abstrait)

Ecriture symbolique introduite dès le début

La fraction est vue comme un outil de partage plus que comme un nouveau nombre

Rapport à l’unité quasi-absent

0 1

Exemple de point d’entrée pour les décimaux

La fraction 7/2 peut s’écrire sous la forme d’un nombre à virgule.

1- Sur ta calculatrice, tape .

2- Remplace le point par une virgule dans le résultat.

3- 3,5 est une écriture décimale de la fraction 7/2.

7 : 2 EXE

Points positifs

Points négatifs

Aucun

Aucune recherche, aucune représentation

La partie décimale n’apparaît pas comme un quantième de l’unité

Notion mise en jeu: fraction quotient

Les fractions:Quelques principes

1- Manipuler dans un premier temps

3- Mettre l’accent sur les « fractions simples »

4- Décaler dans le temps le recours à l’écriture symbolique: privilégier l’oral pour entrer dans la notion

2- Favoriser et multiplier les représentations

- Représentations concrètes- Représentations abstraites- Demi droite +++

- demis, tiers, quarts

3- Expliciter régulièrement le rapport à l’unité

Les fractions:Quelques principes

Comment dit-on?

14

« un quart »

« un sur quatre »

Les fractions:Quelques principes

Comment dit-on?

43

« quatre tiers»

« quatre sur trois »

Avec des mots, exprime la longueur de la table à l’aide de la ficelle.

Manipuler

Les réglettes Cuisenaire

Manipuler

Manipuler

UNITE

Quelle fraction de l’unité la réglette vert-pâle représente-t-elle?

Manipuler

UNITE

Quelle fraction de l’unité la réglette rouge représente-t-elle?

Manipuler

UNITE

Quelle fraction de l’unité la réglette vert-pâle représente-t-elle?

Manipuler

UNITE

Quelle fraction de l’unité la réglette violette représente-t-elle?

Manipuler

UNITE

Quelle fraction de l’unité la réglette violette représente-t-elle?

Manipuler

UNITE

Quelle fraction de l’unité la réglette vert-pâle représente-t-elle?

Manipuler

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Représentation concrète

Dix et demi Dix et un demi

Dix et 1/2 10 + 1/2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Huit et un tiers

Huit et 1/3 8 + 1/3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Treize et trois quarts

Treize et 3/4 13 + 3/4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sept et un dixième

Sept et 1/10 7 + 1/10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Douze, huit dixièmes et …

Douze, 8/10 et … 12 + 8/10 + …

Douze, huit dixième et cinq centièmes

Douze, 8/10 et 5/100

12 + 8/10 + 5/100

DigoinGuéretIle de Ré

Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête à Guéret?

1

3

Représentation concrète

Paris

Roanne

Marseille

Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête à Roanne?

1

2

Représentation concrète

StrasbourgChâlon s/ Marne

Brest

Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête à Châlon s/ Marne?

1

4

Représentation concrète

Strasbourg

FougèresBrest

Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête à Fougères?

3

4

Représentation concrète

StrasbourgBrest

Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête trop tard?

5

4

Représentation concrète

Bordeaux

Montpellier

Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête trop tard?

3

2

Représentation concrète

Les compétences relatives aux fractions

1- Se représenter les fractions

4- Comparer des fractions

5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes

2- Situer les fractions par rapport aux entiers

3- Additionner des fractions

6- Calculer la fraction d’un entier

- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs

1

1/2

1/3

1/4

Représentation abstraite:La demi-droite graduée

1

1/2

1/3

1/4

0 1 2 3 4 5

2 + ½ou

5/2

1

1/2

1/3

1/4

0 1 2 3 4 5

1 + 2/3ou

5/3

1

1/2

1/3

1/4

0 1 2 3 4 5

3 + 3/4ou

15/4

ManipulationUnité

De

mi

Tie

rs

Qu

art

De

mi

De

mi

De

mi

De

mi

De

mi

De

mi

Tie

rsTi

ers

Tie

rsTi

ers

Tie

rsTi

ers

Qu

art

Qu

art

Qu

art

Qu

art

Qu

art

Qu

art

ManipulationUnité

1/2

1/3

1/4

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

Manipulation

De

mi

Tie

rs

Qu

art

De

mi

De

mi

De

mi

De

mi

De

mi

De

mi

Tie

rsTi

ers

Tie

rsTi

ers

Tie

rsTi

ers

Qu

art

Qu

art

Qu

art

Qu

art

Qu

art

Qu

art

Les compétences relatives aux fractions

1- Se représenter les fractions

4- Comparer des fractions

5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes

2- Situer les fractions par rapport aux entiers

3- Additionner des fractions

6- Calculer la fraction d’un entier

- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs

34

34

+ =68

- L’écriture symbolique induit l’élève en erreur

- L’écriture fractionnaire n’est pas perçue comme UN nombre, mais comme la superposition de 2 entiers

- Le sens du dénominateur n’est pas compris

3 carottes + 3 carottes = 6 carottes

3 quarts + 3 quarts = 6 quarts

- Introduire la notion à l’oral, puis à l’écrit avec les mots demi, tiers, quart écrits en lettres

- Introduire l’écriture fractionnaire dans un second temps

- Associer aux opérations sur les fractions des représentations

Les compétences relatives aux fractions

1- Se représenter les fractions

4- Comparer des fractions

5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes

2- Situer les fractions par rapport aux entiers

3- Additionner des fractions

6- Calculer la fraction d’un entier

- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs

58

68

24

25

- Mêmes remarques: représentations +++, manipulations +++,

-Les « règles » du type:Quand le dénominateur est identique, on compare les numérateurs. La fraction qui a le plus grand numérateur est supérieure.Quand le numérateur est identique, on compare les dénominateurs. La fraction qui a le plus grand petit dénominateur est supérieure.

Les compétences relatives aux fractions

1- Se représenter les fractions

4- Comparer des fractions

5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes

2- Situer les fractions par rapport aux entiers

3- Additionner des fractions

6- Calculer la fraction d’un entier

- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs

34

68

34 x2

x2

Quelle fraction de cette tablette de chocolat détache-t-on?

1

3

Un tiers de la tablette

Une part sur trois

Imaginons qu’on réalise un quadrillage différent…

Quelle fraction de cette tablette de chocolat détache-t-on?

2

6

Deux sixièmes

Deux parts sur 6

Imaginons qu’on réalise encore un quadrillage différent…

Quelle fraction de cette tablette de chocolat détache-t-on?

4

12

Quatre douzièmes

Quatre parts sur douze

Imaginons qu’on réalise encore un quadrillage différent…

1

3

2

6

4

12

13

26

412

Comment reconnaître des fractions équivalentes?

x2

x2

x2

x2

x4

x4

Les compétences relatives aux fractions

1- Se représenter les fractions

4- Comparer des fractions

5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes

2- Situer les fractions par rapport aux entiers

3- Additionner des fractions

6- Calculer la fraction d’un entier

- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs

Trace un segment dont la longueur sera le tiers de la longueur du segment rouge.

- pliage

- mesure

- quadrillage

Fraction d’un entier: un tiers

de 12

Combien de bonbons aurai-je mangés si je mange 1/3 (un tiers) de la boîte?

1/3 de 12 égale donc 4!

Combien de bonbons aurai-je mangés si je mange ¾ (trois quarts) de la boîte?

¾ de 12 égale donc 9!

Combien d’œufs aurai-je mangés si je mange 2/5 de cette boîte?

2/5 de 10 égale donc 4!

Exemple de trace écrite sur les fractions3

4 Trois quarts 3 x41

+41+

41

41

Quart

Quart

Quart

0 1

Trois quarts de 12 égalent 9

Trois quarts = trois sur quatre

Exemple de trace écrite sur les fractions

43

Quatre tiers 4 x31

+31

+31

31

0 1

+31

=33

+31

= 1 +31

1 <34

< 2

Les compétences relatives aux fractions décimales

1- Exprimer une position sur une droite graduée

2- Exprimer des équivalences

3- Intercaler / encadrer

4- Opérer, calculer

3 4

4

103 + 5

103 +

Intercaler

3 4

4

103 + 5

103 +

4

103 +

2

100+

42

100= 3 +

342

100=

7

107 +

74

1007 +

8

107 +

7 8

Encadrer

Opérer, calculer

10

4

1010 +7

109 +

3

10

Opérer, calculer

5

4

105 +

6

104 +

3

10

5

100

5

100+

Opérer, calculer

7

4

107 +

72

1006 +

3

10

8

100

Lequel de ces deux nombres est le plus proche de 7?

4

10

… puis mêmes activités en mettant en parallèle l’écriture décimale et les écritures fractionnaires décimales…

6

100+3

10

326

100+

23

100+

26

3

(6)

3 2 6c d u 10

,

1100

1

Ecris le nombre qui convient dans le cadre:

(Doc. d’accompagnement Eduscol)

Intercaler

600 700

620 630

626 627

626,8 626,9

626,85

620 630

626 627

626,8 626,9

Intercaler

200 300

240 250

248 249

248 248,1

248,04

240 250

248 249

248,1

Intercaler

300 400

360 370

362 363

362,4 362,5

362,45

360 370

362 363

362,4 362,5

Encadrer

5,35 5,455 6

5,4

Estime avec la plus grande précision possible la position de la flèche à l’aide d’un nombre

décimal.

Estimer

1,2 1,31 2

1,25

Estime avec la plus grande précision possible la position de la flèche à l’aide d’un nombre

décimal.

Estimer

1 2

1,5

Construction de repères

Un demi Un demi

1 2

1,25

Construction de repères

Un quart Un quart Un quart Un quart

1,50 1,75

Evolution de la trace écrite

Un quart Un quart Un quart

0,75

0 1

34

= 75%

34

= 75100

Calculer / Manipuler

Mêmes remarques que pour les fractions:

- Associer les calculs à la droite graduée

-Désigner la partie décimale en ayant recours aux fractions décimales:

- Faire cohabiter l’écriture décimale et l’écriture fractionnaire: l’une ne remplace pas l’autre.

3,6 + 2,8 = trois et six dixièmes + deux et huit dixièmes= cinq et quatorze dixièmes= cinq + un et quatre dixièmes = six et quatre dixièmes

43,78

Quelle est la différence entre 3,78 et 4,4?

Calculer: exemple

4,4

Deux dixièmes et deux centièmes

Quatre dixièmes

Six dixièmes et deux centièmes

4,4 – 3,78 = 6/10 + 2/100 = 0,62

Calculer / Manipuler

Combien de dixièmes y a-t-il dans 352 centièmes?

Quel est le chiffre des dixièmes dans 734 centièmes?

3 fois 42 dixièmes?

Quel est le nombre entier compris entre 328 centièmes et 43 dixièmes?

3,4 + 7 dixièmes?

Combien y a-t-il d’unités dans 15,7 + 13 dixièmes?

Proposer un maximum d’écritures différentes pour 5,72

- Faire cohabiter l’écriture décimale et l’écriture fractionnaire: l’une ne remplace pas l’autre.

Mise en situation:

Avec 3L de carburant, un véhicule parcourt en moyenne 44km.Quelle distance peut-il parcourir avec 7,5L de carburant?

3 L

44 km

1,5 L

22 km

6 L

88 km

7,5 L

110 km

:2 x2

+ =

Linéarité multiplicative

Linéarité additive

?

Mise en situation:

Avec 3L de carburant, un véhicule parcourt en moyenne 44km.Quelle distance peut-il parcourir avec 7,5L de carburant?

3 L

44 km

7,5 L

110 km

Produit en croix ou « règle de trois »

(7,5 x 44) : 3 = 330 : 3 = 110

Mise en situation:

Avec 3L de carburant, un véhicule parcourt en moyenne 44km.Quelle distance peut-il parcourir avec 7,5L de carburant?

3 L

44 km

7,5 L

110 km

Passage par l’unité

(44 : 3) x 7,5 = 14,66… x 7,5 = 110

1 L

14,66… km

:3

x7,5

?

Mise en situation:

Avec 3L de carburant, un véhicule parcourt en moyenne 44km.Quelle distance peut-il parcourir avec 7,5L de carburant?

3 L

44 km

7,5 L

110 km

Coefficient de proportionnalité

7,5 x 44/3 = 330 : 3 = 110

x 44/3

Linéarité multiplicative Linéarité additive

Des stratégies différentes:avantages et inconvénients

Renforce la compréhension du concept de proportionnalité (LINEARITE!)

Requiert parfois des calculs intermédiaires

Fait appel à des procédures personnelles

Temps 1H 2H 5H

Distance 90 km 180 km 450 km

Temps (x)

Distance (y)

1H 2H 3H 4H 5H

90km

180km

270km

360km

450km

Fonction linéaire:y = ax

a

Produit en croix ou « règle de trois »

Des stratégies différentes:avantages et inconvénients

Stratégie automatique:

- Fonctionne dans tous les cas

Ne concourt pas à la compréhension du concept de linéarité

- S’applique de manière identique indépendamment des nombres en jeu

Usine à gaz en termes de calculs

- Fausses réussites

- Le produit en croix est à la proportionnalité ce que Monsieur Mégot est au sport

Le sportif accompli évite l’effort inutile!

Passage par l’unité

Des stratégies différentes:avantages et inconvénients

S’inscrit dans les stratégies de linéarité QUAND C’EST OPPORTUN

N’a pas vocation à être systématique

Nb personnes ? 4 6

Quantité oeufs ? 14 oeufs ?

Nb personnes ? 5 7

Quantité sucre ? 135g ?

2

7 21

1

27g 169g

Coefficient de proportionnalité

Des stratégies différentes:avantages et inconvénients

Est parfois la solution la plus évidente

Est un passage par l’unité qui ne dit pas son nom

Peut poser le problème du sens de l’opération

Nb personnes 27 53

Recette 2700€ 5300€x100

Nb personnes ? 5 7

Quantité sucre ? 135g ?

1

27g 169gx27

Quand on multiplie un nombre de personnes par 27, on obtient des grammes de sucre…

Produit en croix ou « règle de trois »,

Passage par l’unité…

Coefficient de proportionnalité,

Des stratégies …… pas si différentes

… sont des stratégies quasi-équivalentes car elles impliquent toutes, plus ou moins explicitement, de passer par l’unité.

La proportionnalité dans les programmes

Une notion transversale

Nombres et calcul

Grandeurs et mesures

Espace et géométrie

Quelle progression pour la proportionnalité?

1- Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

2- Résoudre des situations de proportionnalité

- Visuellement

- Graphiquement

- Numériquement (en lien avec des représentations graphiques / visuelles)

Linéarité additive / multiplicative +++

Passage par l’unité

Coefficient de proportionnalité / produit en croix - -

- Construire la notion sans calcul

- Comprendre AUSSI ce qui ne relève pas de la proportionnalité

Le nombre d’œufs pondus par une poule est proportionnel à la taille de la poule.

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

Dans cet escalier, la hauteur est proportionnelle au nombre de marches.

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

La force d’un homme est proportionnelle à son âge.

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

La hauteur totale d’un arbre est proportionnelle à son nombre de branches

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

Le nombre de feuilles dans ce tas est proportionnel à sa hauteur.

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

L’épaisseur d’un tas de feuilles blanches est proportionnelle au nombre de feuilles qu’il contient.

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

La quantité de jus d’orange contenue dans ce verre est proportionnelle à la hauteur de jus d’orange versée.

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

La quantité d’eau contenue dans ce verre est proportionnelle à la hauteur d’eau versée.

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

Chez l’adulte, la taille est proportionnelle au poids.

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

Le nombre de bordures de trottoir est proportionnel à la longueur de ce trottoir

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

VRAI ou FAUX?

Le nombre de bordures de trottoir est proportionnel à la hauteur de ce trottoir

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

La température de l’eau d’une piscine est proportionnelle au temps que l’on peut y passer sans avoir froid.

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

Ce robinet fuit et laisse échapper 12 gouttes par minute.La quantité d’eau perdue est donc proportionnelle au temps qui passe. VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

VRAI ou FAUX?

Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité

La distance parcourue lors d’un trajet en voiture est proportionnelle à la durée du trajet.

Résoudre visuellement des situations de proportionnalité

Quelle quantité de peinture faudra-t-il pour terminer le mur? A, B ou C?

Quantité utilisée

A B C

Résoudre visuellement des situations de proportionnalité

Quelle quantité de peinture faudra-t-il pour terminer le mur? A, B ou C?

Quantité utilisée

A B C

Résoudre visuellement des situations de proportionnalité

Quelle quantité de carburant consommera-t-on pour effectuer le trajet bleu? A, B ou C?

Quantité utilisée pour le trajet rouge

A B C

Résoudre visuellement des situations de proportionnalité

Quelles sont les vaches dont les dimensions sont proportionnelles à la vache du cadre rouge?

A

G

F

E

D

C

B

H

Résoudre graphiquement des situations de proportionnalité

Masse (en g)

Prix (en €)

1000g de faux-filet coûtent 12€.

500250 1000750 15001250 17500 2000 25002250 2750

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

Résoudre graphiquement des situations de proportionnalité

Combien chacun des Rubik’scontient-il de cubes?

Taille(Nb de cubesPar côté)

Nb de cubes

21 430

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Thibault traverse la France en voiture.La distance qu’il parcourt est-elle proportionnelle au temps de trajet?

Temps 1H 2H 4H

Distance 80 200 km 300 km

temps

distance

1H 2H 3H 4H 5H

80km

160km

240km

320km

400km

NON!

Un scientifique étudie le nombre de moucherons qui s’écrasent sur les pare-brise en fonction de la vitesse pour un même trajet. Ces 2 éléments sont-ils proportionnels?

Vitesse 50km/h 100km/h 200km/h

Moucherons 8 40 12

vitesse

moucherons

50 km/h

10

20

30

40

50

NON!

100 km/h

150 km/h

200 km/h

Une commerçante compare sa recette (ce qu’elle gagne) au nombre de jours où son magasin est ouvert dans le mois.La recette est-elle proportionnelle aux nombres de jours?

Jours 7 14 21

Recette 800€ 1600€ 2400€

jours

recette

14 21 28 35 42

500

1000

1500

2000

2500

OUI!

3000

7

X 2

X 3

Marine s’intéresse à la quantité de matières grasses (MG) présente dans les pots de crème .Cette quantité est-elle proportionnelle à la taille du pot?

Taille du pot 100g 250g 500g

Quantité MG 50g 100g 150g

Taille pot

Quantité MG

100

50

100

150

200

250

NON!

200 300 400 500

Résoudre numériquement des situations de proportionnalité

1 donnée numérique / 1 donnée visuelle

Sachant que le morceau de raclette de gauche pèse 12kg, quelle est la masse de la part de raclette coupée?

12kg ?

Résoudre numériquement des situations de proportionnalité

1 donnée numérique / 1 donnée visuelle

Sachant que le morceau de raclette de gauche pèse 12kg, quelle est la masse de la part de raclette coupée?

12kg ?

Résoudre numériquement des situations de proportionnalité

1 donnée numérique / 1 donnée visuelle

Sachant que le morceau de raclette de gauche pèse 3kg, quelle est la masse du morceau de droite?

3kg ?

Résoudre numériquement des situations de proportionnalité

2 données numériquesAppui d’un support visuel ou graphique

Dans un pré de 2000m², un éleveur laisse en moyenne paître 14 vaches.Combien de vaches pourra-t-il mettre dans un pré de 6000m²?

2000m² 2000m²

2000m²

Pour nourrir 3 lapins, il faut 15 carottes par semaine.Combien de carottes faudra-t-il pour nourrir 1 lapin?

Pour acheter 4 bandes dessinées, il faut 20€.Combien coûteront 12 bandes dessinées?

Pour acheter 4 bandes dessinées, il faut 20€.Combien coûteront 3 bandes dessinées?

Pour confectionner une pâte à crêpes, on utilise 2 œufs pour 50cL de lait.Quelle quantité de lait faudra-t-il pour 6 œufs?

50 cL

150 cL

Pour une boisson équilibrée, il faut ajouter 9cL d’eau à 2cL de sirop de grenadine.Quelle quantité d’eau faudra-t-il pour 8cL de sirop de grenadine?

Il faut une échelle de 15 barreaux pour monter au sommet d’une maison de 7m.Combien devra compter de barreaux une échelle permettant de monter au sommet d’une église de 21m?

7m 7m

7m

7m

Il faut une échelle de 15 barreaux pour monter au sommet d’une maison de 7m.Combien devra compter de barreaux une échelle permettant de monter au sommet d’un immeuble de 35m?

7m

7m

7m

7m

7m

7m

Une photocopieuse peut imprimer 24 pages toutes les minutes. Complète le tableau de proportionnalité suivant:

Vitesse 40 s 1 min 1 min 20 s

Moucherons ? 24 ?

Temps (en secondes)

Nb de pages

?

?

?

24

?

?

? 60 ?0

0

LES POURCENTAGES

Mêmes principes que pour la proportionnalité….

Les gauchers représentent 10% de la population.

10% (10 sur 100) équivaut à 1 sur 10.

Les blonds représentent 20% de la population.

20% (20 sur 100) équivaut à 1 sur 5.

Les obèses représentent 25% de la population.

25% (25 sur 100) équivaut à 1 sur 4.

Les femmes représentent 50% de la population.

50% (50 sur 100) équivaut à 1 sur 2.

En 1910, 2 personnes sur 10 vivaient en ville.

2 sur 10 équivaut à 20% (20 sur 100).