Grandes Déviations pour EDS de Poisson en Epidémiologie

Grandes Déviations pour EDS de Poisson enEpidémiologie.

Brice Samegni-KepgnouEn collaboration avec Etienne Pardoux

Université Aix-Marseille

L’Institut de Mathématiques de Marseille (I2M)

JPS, Les Houches, 21 Avril 2016

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 1 / 22

Plan

1 MotivationModèles Déterministes CompartimentauxModèles d’EDS de Poisson

2 Grandes DéviationsPrincipe de Grandes DéviationsProblèmes de Sortie à la frontière caractéristique

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 2 / 22

Plan

1 MotivationModèles Déterministes CompartimentauxModèles d’EDS de Poisson

2 Grandes DéviationsPrincipe de Grandes DéviationsProblèmes de Sortie à la frontière caractéristique

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 3 / 22

Le modèle SIS

�

-

S IβSI/N

(infection)

(guérison)αI

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 4 / 22

Equilibres et stabilité du modèle SIS

En fonction de i(t) = I (t)/N

di(t)

dt= (β − α)i(t)− βi2(t).

R0 = le nombre moyen d’individus qu’un infectieux infecte au début del’épidémie= β/α

Si R0 ≤ 1, 0(DFE) est l’unique l’équilibre.Si R0 > 1, un unique EE, EE1 = 1− α/β s’ajoute au DFE 0.

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 5 / 22

Modèle S0IS1 (M.Safan, H. Heesterbeek et K.Dietz(2006))

-

-

�

??

-

?

S0 I S1βS0I/N

(infection)( guérison)

αI

µN

( naissance)

µS0( deccès) µI

βS1I/N

( re-infection )µS1

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EDO et forme renormalisée

Posant r = ββ , i(t) = I (t)

N et s1(t) = S1(t)N

di(t)dt = βi(t)

(1− i(t)− (1− r)s1(t)

)− (α + µ)i(t)

ds1(t)dt = αi(t)−

(µ+ rβi(t)

)s1(t)

s0(t) = 1− i(t)− s1(t).

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Equilibres et Stabilités du modèle S0IS1

R0 =β

α + µ

R∗0 =β∗

α + µoù β∗ =

(√µ(r − 1) +

√α)2

r.

R0 > 1, un unique équilibre endémique(EE) existe en plus del’équilibre sans maladie(DFE).R∗0 < R0 < 1 and r > 1 + µ/α deux équilibres endémiques(EE1, EE2)existent ainsi qu’un équilibre sans maladie(DFE).0 < R0 < R∗0 or (R∗0 < R0 < 1 and r < 1 + µ/α), seul le DFE existe.

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 8 / 22

Frontière caractéristique du modèle S0IS1(en bleu)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

proportion I

prop

ortio

n S

1

EE1

EE2

DFE

Figure: β = 3,α = 5, r = 2 et µ = 0.015Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 9 / 22

Modèle d’EDS de Poisson

Y z(t) = z +

∫ t

0

k∑j=1

hjβj(Yz(s))ds (1)

ZN(t) := ZN,z(t) :=[N.z ]

N+

1N

k∑j=1

hjPj

(N

∫ t

0βj(Z

N(s))ds)

(2)

A ={z ∈ Rd

+ :d∑

i=1

zi ≤ 1}

(3)

QuestionsQuelle est la différence entre la solution de l’EDO et celle de l’EDSpoissonienne quand N est grand ?La solution de l’EDS peut-elle passer du bassin d’attraction d’unéquilibre stable de l’EDO à un autre (avec N grand) ?Combien de temps faut–il attendre pour que cela se produise ?

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 10 / 22

Plan

1 MotivationModèles Déterministes CompartimentauxModèles d’EDS de Poisson

2 Grandes DéviationsPrincipe de Grandes DéviationsProblèmes de Sortie à la frontière caractéristique

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 11 / 22

Fonction de taux

Fixons φ ∈ ACT ,A

IT (φ) = infµ

k∑j=1

∫ T

0f (µjt , βj(φt))dt

où

f (z , λ) = z logz

λ− z + λ, z , λ ≥ 0

et µ est une fonction mesurable positive à valeurs dans Rk+ telle que

dφtdt

=k∑

j=1

µjthj .

IT (φ) = 0 ssi φ = Y est solution de l’ODE sur [0,T ].IT (φ) s’interprète comme l’énergie nécessaire pour que le systèmesuive φ plutôt que Y .

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Principe de Grandes déviations(LDP)

ThéorèmeLa famille de solution de l’EDS Poissonienne noté ZN,z et définie en (2)satisfait au LDP sur DT ,A avec une "bonne" fonction de taux IT .

i.eIT : DT ,A → R est semi-continue inférieurement.Pour tout sous ensemble ouvert G de DT ,A

lim infN→∞

1N

logPz(ZN ∈ G ) ≥ − infφ∈G ,φ0=z

IT (φ).

pour tout sous ensemble fermé F de DT ,A

lim supN→∞

1N

logPz(ZN ∈ F ) ≤ − infφ∈F ,φ0=z

IT (φ).

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Remarques bibliographiques

Shwartz et Weiss 1995, Dupuis et Ellis 1997, Feng et Kurtz 2006,.Une difficulté pour nous : certains taux s’annulent quand le processusatteint la frontière de A, donc le logarithme correspondant devientinfini !

Shwartz et Weiss(2005)P.Kratz et E.Pardoux(2016), B.Samegni et E.Pardoux(201 ?).

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 14 / 22

Notations

O = bassin d’attraction d’un équilibre z∗ = EE1.L’énergie minimale nécessaire pour aller de z à y dans l’intervalle detemps [0,T ]

VO(z , y ,T ) := infφ:φ(0)=z,φ(T )=y

IT (φ)

L’énergie minimale nécessaire pour aller de z à y

VO(z , y) := infT>0

VO(z , y ,T )

L’énergie minimale pour aller de z∗ à la frontière caractéristique ∂O

V∂O

:= infy∈∂O

VO(z∗, y)

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Point de sortie d’un bassin d’attraction

Pour un point z ∈ O, par quel point de la frontière caractéristiqueZN,z sort–il de O (et en suivant quelle trajectoire) ?

τN,zO = inf{t > 0 : ZN,z(t) 6∈ O}

Nous montrons le résultat suivant

Théorème

Pour tout z ∈ O, y ∈ ∂O et pour tout η, δ0 > 0 il existe δ < δ0 etN0 ∈ N, de sorte que pour tout N > N0

exp(−N(Sz(y) + η)) ≤ Pz(|ZN(τNO )− y | < δ)

etPz(|ZN(τNO )− y | < δ) ≤ exp(−N(Sz(y)− η))

où Sz(y) est défini par : Sz(y) = V (z , y) ∧ (V (z∗, y)− V∂O

).

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 16 / 22

Point de sortie d’un bassin d’attraction

Pour un point z ∈ O, par quel point de la frontière caractéristiqueZN,z sort–il de O (et en suivant quelle trajectoire) ?

τN,zO = inf{t > 0 : ZN,z(t) 6∈ O}

Nous montrons le résultat suivant

Théorème

Pour tout z ∈ O, y ∈ ∂O et pour tout η, δ0 > 0 il existe δ < δ0 etN0 ∈ N, de sorte que pour tout N > N0

exp(−N(Sz(y) + η)) ≤ Pz(|ZN(τNO )− y | < δ)

etPz(|ZN(τNO )− y | < δ) ≤ exp(−N(Sz(y)− η))

où Sz(y) est défini par : Sz(y) = V (z , y) ∧ (V (z∗, y)− V∂O

).

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 16 / 22

Une conséquence du théorème

S’il existe un unique point y∗ ∈ ∂O tel que V (z∗, y∗) = V∂O

alors

∀δ > 0, ∀z ∈ O, limN→∞

Pz(|ZN(τNO )− y∗| < δ) = 1.

Pour le modèle SIS , y∗ = 0 (DFE).Pour le modèle S0IS1, nous pensons que y∗ = EE2 (Equilibre instable).

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 17 / 22

Une conséquence du théorème

S’il existe un unique point y∗ ∈ ∂O tel que V (z∗, y∗) = V∂O

alors

∀δ > 0, ∀z ∈ O, limN→∞

Pz(|ZN(τNO )− y∗| < δ) = 1.

Pour le modèle SIS , y∗ = 0 (DFE).Pour le modèle S0IS1, nous pensons que y∗ = EE2 (Equilibre instable).

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 17 / 22

Une conséquence du théorème

S’il existe un unique point y∗ ∈ ∂O tel que V (z∗, y∗) = V∂O

alors

∀δ > 0, ∀z ∈ O, limN→∞

Pz(|ZN(τNO )− y∗| < δ) = 1.

Pour le modèle SIS , y∗ = 0 (DFE).Pour le modèle S0IS1, nous pensons que y∗ = EE2 (Equilibre instable).

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 17 / 22

Temps de sortie du Bassin d’attraction

Pour tout z ∈ O, quand est ce que ZN,z sort–il de O (et entre dans lebassin d’attraction d’un autre équilibre) ?P.Kratz et E.Pardoux ont montré que

ThéorèmePour tout z ∈ O, η > 0,

limN→∞

P(exp{N(V

∂O− η)} < τN,zO < exp{N(V

∂O+ η)}

)= 1.

Ceci signifie que pour N grand,

τN,zO ≈ exp{N.V∂O}

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 18 / 22

Temps de sortie du Bassin d’attraction

Pour tout z ∈ O, quand est ce que ZN,z sort–il de O (et entre dans lebassin d’attraction d’un autre équilibre) ?P.Kratz et E.Pardoux ont montré que

ThéorèmePour tout z ∈ O, η > 0,

limN→∞

P(exp{N(V

∂O− η)} < τN,zO < exp{N(V

∂O+ η)}

)= 1.

Ceci signifie que pour N grand,

τN,zO ≈ exp{N.V∂O}

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 18 / 22

Temps de sortie du Bassin d’attraction

Pour tout z ∈ O, quand est ce que ZN,z sort–il de O (et entre dans lebassin d’attraction d’un autre équilibre) ?P.Kratz et E.Pardoux ont montré que

ThéorèmePour tout z ∈ O, η > 0,

limN→∞

P(exp{N(V

∂O− η)} < τN,zO < exp{N(V

∂O+ η)}

)= 1.

Ceci signifie que pour N grand,

τN,zO ≈ exp{N.V∂O}

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 18 / 22

Calcul numérique de V∂O

Nous voulons calculer

V∂O

:= infT ,φ:φ(0)=z∗,φ(T )=y∗

infµ

∫ T

0

k∑j=1

f (µjs , βj(φs))dt,

où µ est une fonction mesurable positive telle que

dφtdt

=k∑

j=1

µjthj

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Programmation Dynamique

Pour t ∈ [0,T ], z ∈ O,

W T (t, z) = infφ;φ(t)=z,φ(T )=y∗

infµ

∫ T

t

k∑j=1

f (µjs , βj(φs))ds (4)

Nous faisons une discrétisation du temps : t`+1 − t` = ∆t et z ∈ G(La grille de l’espace d’état).

W T (t`, z) = infµ

{W(t`+1, z +

k∑j=1

µjhj

)+

k∑j=1

f (µj , βj(z))∆t},

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 20 / 22

Application au modèle SIS

d = 1, ∂O = {0}, β = 1.5, α = 1, T = 40, V∂O

= 0.0702

Figure: Trajectoire optimaleBrice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 21 / 22

Merci pour votre attention !

P. Kratz, E. Pardoux and B. Samegni-Kepgnou, Numerical methods inthe context of compartmental models in epidemiology, ESAIM :Proceedings and Surveys 48, 169–189, 2015.P. Kratz and E. Pardoux, Large deviations for infection diseasesmodels, arXiv :1602.02803, 2016.M. Safan, H. Heesterbeek and K. Dietz, The minimum effort requiredto eradicate infections in models with backward bifurcation, J. Math.Biol. 53, 703–718, 2006.B.Samegni-Kepgnou and E. Pardoux, Large deviations for PoissonDriven SDE in Epidemiology, to be submitted.B. Samegni-Kepgnou and E. Pardoux, Position of exit from a Domainfor Poisson Driven SDE in Epidemiology, to be submitted.A. Shwartz and A. Weiss, Large deviations with diminishing rates,Mathematics of Operations Research 30 281–310, 2005.

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 22 / 22