Grandes Déviations pour EDS de Poisson en Epidémiologie

Grandes Déviations pour EDS de Poisson enEpidémiologie.

Brice Samegni-KepgnouEn collaboration avec Etienne Pardoux

Université Aix-Marseille

L’Institut de Mathématiques de Marseille (I2M)

JPS, Les Houches, 21 Avril 2016

Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 1 / 22

Plan

1 MotivationModèles Déterministes CompartimentauxModèles d’EDS de Poisson

2 Grandes DéviationsPrincipe de Grandes DéviationsProblèmes de Sortie à la frontière caractéristique


Plan




Le modèle SIS

�

-

S IβSI/N

(infection)

(guérison)αI


Equilibres et stabilité du modèle SIS

En fonction de i(t) = I (t)/N

di(t)

dt= (β − α)i(t)− βi2(t).

R0 = le nombre moyen d’individus qu’un infectieux infecte au début del’épidémie= β/α

Si R0 ≤ 1, 0(DFE) est l’unique l’équilibre.Si R0 > 1, un unique EE, EE1 = 1− α/β s’ajoute au DFE 0.


Modèle S0IS1 (M.Safan, H. Heesterbeek et K.Dietz(2006))

-

-

�

??

-

?

S0 I S1βS0I/N

(infection)( guérison)

αI

µN

( naissance)

µS0( deccès) µI

βS1I/N

( re-infection )µS1


EDO et forme renormalisée

Posant r = ββ , i(t) = I (t)

N et s1(t) = S1(t)N

di(t)dt = βi(t)

(1− i(t)− (1− r)s1(t)

)− (α + µ)i(t)

ds1(t)dt = αi(t)−

(µ+ rβi(t)

)s1(t)

s0(t) = 1− i(t)− s1(t).


Equilibres et Stabilités du modèle S0IS1

R0 =β

α + µ

R∗0 =β∗

α + µoù β∗ =

(√µ(r − 1) +

√α)2

r.

R0 > 1, un unique équilibre endémique(EE) existe en plus del’équilibre sans maladie(DFE).R∗0 < R0 < 1 and r > 1 + µ/α deux équilibres endémiques(EE1, EE2)existent ainsi qu’un équilibre sans maladie(DFE).0 < R0 < R∗0 or (R∗0 < R0 < 1 and r < 1 + µ/α), seul le DFE existe.


Frontière caractéristique du modèle S0IS1(en bleu)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

proportion I

prop

ortio

n S

1

EE1

EE2

DFE

Figure: β = 3,α = 5, r = 2 et µ = 0.015Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 9 / 22

Modèle d’EDS de Poisson

Y z(t) = z +

∫ t

0

k∑j=1

hjβj(Yz(s))ds (1)

ZN(t) := ZN,z(t) :=[N.z ]

N+

1N

k∑j=1

hjPj

(N

∫ t

0βj(Z

N(s))ds)

(2)

A ={z ∈ Rd

+ :d∑

i=1

zi ≤ 1}

(3)

QuestionsQuelle est la différence entre la solution de l’EDO et celle de l’EDSpoissonienne quand N est grand ?La solution de l’EDS peut-elle passer du bassin d’attraction d’unéquilibre stable de l’EDO à un autre (avec N grand) ?Combien de temps faut–il attendre pour que cela se produise ?


Plan




Fonction de taux

Fixons φ ∈ ACT ,A

IT (φ) = infµ

k∑j=1

∫ T

0f (µjt , βj(φt))dt

où

f (z , λ) = z logz

λ− z + λ, z , λ ≥ 0

et µ est une fonction mesurable positive à valeurs dans Rk+ telle que

dφtdt

=k∑

j=1

µjthj .

IT (φ) = 0 ssi φ = Y est solution de l’ODE sur [0,T ].IT (φ) s’interprète comme l’énergie nécessaire pour que le systèmesuive φ plutôt que Y .


Principe de Grandes déviations(LDP)

ThéorèmeLa famille de solution de l’EDS Poissonienne noté ZN,z et définie en (2)satisfait au LDP sur DT ,A avec une "bonne" fonction de taux IT .

i.eIT : DT ,A → R est semi-continue inférieurement.Pour tout sous ensemble ouvert G de DT ,A

lim infN→∞

1N

logPz(ZN ∈ G ) ≥ − infφ∈G ,φ0=z

IT (φ).

pour tout sous ensemble fermé F de DT ,A

lim supN→∞

1N

logPz(ZN ∈ F ) ≤ − infφ∈F ,φ0=z

IT (φ).


Remarques bibliographiques

Shwartz et Weiss 1995, Dupuis et Ellis 1997, Feng et Kurtz 2006,.Une difficulté pour nous : certains taux s’annulent quand le processusatteint la frontière de A, donc le logarithme correspondant devientinfini !

Shwartz et Weiss(2005)P.Kratz et E.Pardoux(2016), B.Samegni et E.Pardoux(201 ?).


Notations

O = bassin d’attraction d’un équilibre z∗ = EE1.L’énergie minimale nécessaire pour aller de z à y dans l’intervalle detemps [0,T ]

VO(z , y ,T ) := infφ:φ(0)=z,φ(T )=y

IT (φ)

L’énergie minimale nécessaire pour aller de z à y

VO(z , y) := infT>0

VO(z , y ,T )

L’énergie minimale pour aller de z∗ à la frontière caractéristique ∂O

V∂O

:= infy∈∂O

VO(z∗, y)


Point de sortie d’un bassin d’attraction

Pour un point z ∈ O, par quel point de la frontière caractéristiqueZN,z sort–il de O (et en suivant quelle trajectoire) ?

τN,zO = inf{t > 0 : ZN,z(t) 6∈ O}

Nous montrons le résultat suivant

Théorème

Pour tout z ∈ O, y ∈ ∂O et pour tout η, δ0 > 0 il existe δ < δ0 etN0 ∈ N, de sorte que pour tout N > N0

exp(−N(Sz(y) + η)) ≤ Pz(|ZN(τNO )− y | < δ)

etPz(|ZN(τNO )− y | < δ) ≤ exp(−N(Sz(y)− η))

où Sz(y) est défini par : Sz(y) = V (z , y) ∧ (V (z∗, y)− V∂O

).


Point de sortie d’un bassin d’attraction

Pour un point z ∈ O, par quel point de la frontière caractéristiqueZN,z sort–il de O (et en suivant quelle trajectoire) ?

τN,zO = inf{t > 0 : ZN,z(t) 6∈ O}

Nous montrons le résultat suivant

Théorème

Pour tout z ∈ O, y ∈ ∂O et pour tout η, δ0 > 0 il existe δ < δ0 etN0 ∈ N, de sorte que pour tout N > N0

exp(−N(Sz(y) + η)) ≤ Pz(|ZN(τNO )− y | < δ)

etPz(|ZN(τNO )− y | < δ) ≤ exp(−N(Sz(y)− η))

où Sz(y) est défini par : Sz(y) = V (z , y) ∧ (V (z∗, y)− V∂O

).


Une conséquence du théorème

S’il existe un unique point y∗ ∈ ∂O tel que V (z∗, y∗) = V∂O

alors

∀δ > 0, ∀z ∈ O, limN→∞

Pz(|ZN(τNO )− y∗| < δ) = 1.

Pour le modèle SIS , y∗ = 0 (DFE).Pour le modèle S0IS1, nous pensons que y∗ = EE2 (Equilibre instable).




alors

∀δ > 0, ∀z ∈ O, limN→∞

Pz(|ZN(τNO )− y∗| < δ) = 1.





alors

∀δ > 0, ∀z ∈ O, limN→∞

Pz(|ZN(τNO )− y∗| < δ) = 1.



Temps de sortie du Bassin d’attraction

Pour tout z ∈ O, quand est ce que ZN,z sort–il de O (et entre dans lebassin d’attraction d’un autre équilibre) ?P.Kratz et E.Pardoux ont montré que

ThéorèmePour tout z ∈ O, η > 0,

limN→∞

P(exp{N(V

∂O− η)} < τN,zO < exp{N(V

∂O+ η)}

)= 1.

Ceci signifie que pour N grand,

τN,zO ≈ exp{N.V∂O}





limN→∞

P(exp{N(V


∂O+ η)}

)= 1.







limN→∞

P(exp{N(V


∂O+ η)}

)= 1.




Calcul numérique de V∂O

Nous voulons calculer

V∂O

:= infT ,φ:φ(0)=z∗,φ(T )=y∗

infµ

∫ T

0

k∑j=1

f (µjs , βj(φs))dt,

où µ est une fonction mesurable positive telle que

dφtdt

=k∑

j=1

µjthj


Programmation Dynamique

Pour t ∈ [0,T ], z ∈ O,

W T (t, z) = infφ;φ(t)=z,φ(T )=y∗

infµ

∫ T

t

k∑j=1

f (µjs , βj(φs))ds (4)

Nous faisons une discrétisation du temps : t`+1 − t` = ∆t et z ∈ G(La grille de l’espace d’état).

W T (t`, z) = infµ

{W(t`+1, z +

k∑j=1

µjhj

)+

k∑j=1

f (µj , βj(z))∆t},


Application au modèle SIS

d = 1, ∂O = {0}, β = 1.5, α = 1, T = 40, V∂O

= 0.0702

Figure: Trajectoire optimaleBrice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 21 / 22

Merci pour votre attention !

P. Kratz, E. Pardoux and B. Samegni-Kepgnou, Numerical methods inthe context of compartmental models in epidemiology, ESAIM :Proceedings and Surveys 48, 169–189, 2015.P. Kratz and E. Pardoux, Large deviations for infection diseasesmodels, arXiv :1602.02803, 2016.M. Safan, H. Heesterbeek and K. Dietz, The minimum effort requiredto eradicate infections in models with backward bifurcation, J. Math.Biol. 53, 703–718, 2006.B.Samegni-Kepgnou and E. Pardoux, Large deviations for PoissonDriven SDE in Epidemiology, to be submitted.B. Samegni-Kepgnou and E. Pardoux, Position of exit from a Domainfor Poisson Driven SDE in Epidemiology, to be submitted.A. Shwartz and A. Weiss, Large deviations with diminishing rates,Mathematics of Operations Research 30 281–310, 2005.


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Grandes Déviations pour EDS de Poisson en Epidémiologie