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Introduction à la mécanique des solides
CIDO – Saint-EtienneP. Badel
Ch. 1 Introduction générale
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel2
Notions de système et de modèle
Notre environnement est fait de systèmes qui interagissent entre eux
• Interactions électriques,
• chimiques,
• magnétiques,
• mécaniques…
Grande complexité !
En science, souvent, on ne considère que certaines interactions, on néglige les autres Différentes disciplines de la physique.
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel3
Notions de système et de modèle
On est toujours amenés à faire des hypothèses, limiter les études
Il s’agit d’interprétations physiques de la réalité
- fondées sur des hypothèses,
- basées sur des lois mathématiques.
Modèle = représentation imparfaite de la réalité
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel4
On construit des modèles
?⇔
Objectifs
Ce cours est un cours de base à :
• l’étude des interactions mécaniques entre solides rigides (en statique)
• l’étude mécanique des solides déformables
Applications typiques
• Robotique,
• automobile,
• biomécanique musculo-squelettique…
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel5
Cadre/contenu de ce cours
Applications en 2D essentiellement
Partie 1
Etude de l’équilibre statique des particules (ch. 2)
Etude de l’équilibre statique des solides rigides (ch. 3 et 4)
Etude cinématique des particules et solides (ch. 5)
Notions de dynamique (ch. 6)
Partie 2
Milieux déformables, notions de comportement des matériaux (ch. 7)
Notions de contrainte et déformation en mécanique du solide (ch. 8)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel6
PARTIE 1Mécanique des solides rigides
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel7
Hypothèses de base
• Systèmes matériels non variables.
• Un système matériel est constitué d’éléments individualisables : les points matériels.
• Un ensemble de points matériels dont les distances entre points sont constantes
= un solide indéformable (ou rigide).
• La masse ne dépend que de la nature du matériau.
Limitations (on sort du domaine de validité des modèles)
• Très petits systèmes matériels. Exemple : taille < µm.
• Vitesses proches de celle de la lumière.
• Autres interactions physiques qui peuvent être non négligeables.
Hypothèses et limites de la mécanique classique
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel8
Méthodologie générale en mécanique du solide rigide
Dans un système, on va s’intéresser à chacun des solides :
Isoler chaque solide
(Analyser ses mouvements)
Analyser les actions mécaniques extérieures appliquées sur ce solide
Analyser les relations entre actions mécaniques et (non-)mouvement
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel9
Ch. 2 Statique des particules
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel10
Introduction
Notion de particule ou de point
• Notion utilisée en mécanique du point
• Ne s’adresse pas qu’à l’étude de particules infiniment petites, mais aussi aux cas suivants :
• Peut s’appliquer à de nombreuses situations réelles
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel11
La taille et la forme des solides considérés n’affecte pas le problème
On peut considérer que les forces sont appliquées en un même point
Forces sur une particule
Définition
Elle est caractérisée par :
• Un point d’application
• Une direction (droite support + sens)
• Une intensité (→ unité Newton N)
Représentation graphique
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel12
force = action d’un corps sur un autre
échelle
Forces sur une particule
Résultante de 2 forces
• 2 forces agissant sur un point peuvent être remplacées par une seule force
• Elle est obtenue par construction selon un parallélogramme
(constat expérimental)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel13
Q
R
P
R est la résultante de P et Q
L’outil vecteur
La somme de forces n’est pas la somme des intensités !
La somme de forces suit le principe du parallélogramme.
Déplacements, vitesses, accélérations (et autres grandeurs physiques) sont aussi représentés par des vecteurs
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel14
On représente une force par un vecteur
L’outil vecteur
Vecteur : définition
Un vecteur est caractérisé par :
• Une direction (droite support + sens)
• Une longueur (intensité)
Vecteur : propriétés
• On somme des vecteurs par le principe du parallélogramme
• On note un vecteur , F (notation choisie ici) ou F (notation parfois confuse)
• L’intensité donne la longueur du vecteur représenté en construction graphique, celle-ci est notée F
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel15
F
F
L’outil vecteur
Vecteur force
Un vecteur force représente la force appliquée sur un point. Il est caractérisé par
• Un point d’application
• Un vecteur
Autres types de vecteur
• Vecteurs dits glissants (on peut les déplacer le long de leur support)
• Vecteurs libres (on peut les déplacer dans tout l’espace)
Autres remarques
• Vecteurs égaux : ont même direction et même intensité
• Opposé d’un vecteur :
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel16
On parle de vecteur lié
F est l'opposé de F. Il vérifie F F 0
L’outil vecteur
Addition de vecteurs
• Suivre le principe de construction par parallélogramme
• Attention, rappel norme de
(somme des vecteurs ≠ somme des intensités)
• Commutation :
•
• Somme de plusieurs vecteurs :
Produit par un scalaire
•
• Généralisation : est de même direction et sens que et d’intensité nP
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel17
P Q P Q
P Q Q P
P Q P Q
A B C A B C A B C
P P 2P
nP
P
L’outil vecteur
Application graphique
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel18
M N
N M
M N
M N P
M N
P
Résultante de plusieurs forces
Forces concourantes en un point A
•
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel19
La somme peut être exprimée par un seul vecteur : la résultante des forces
A
P Q S R
P
R
Q
S
Composantes d’une force – vecteurs unitaires
Inversement à la somme de forces, on peut décomposer une force en 2 ou plusieurs forces dont la somme a le même effet
En 2D, on s’intéresse le plus souvent aux couples de 2 composantes
Exemples :• On connait une composante → on ob�ent l’autre car la somme vaut
(en représentation graphique, fermeture du triangle)
• Lignes d’ac�on de 2 composantes connues → on peut projeter la force
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel20
On parle des composantes d’une force
F
F
Composantes d’une force – vecteurs unitaires
Résoudre les problèmes en utilisant un repère orthonormé donné
• Soit le repère . On utilisera toujours un repère orthonormé direct.sont les vecteurs unitaires de base portés par les axes x et y.
• Fx et Fy sont les composantes de dans cette base.
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel21
Fx = F cos θFy = F sin θ
tan θ = Fy
Fx
F = Fx² + Fy²
x
y
θ
x
y
vecteurs unitaires
x y x yF F F F i F j
x xF F i
O,i, j
i et j
F
y yF F j F
j
i
Résultante de forces – somme de composantes
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel22
Rx = Ax + Bx + Cx
Ry = Ay + By + Cy
Rx = ∑ Fx
Ry = ∑ Fy
A
x
y
x yR R i R j
R A B C
R F
Q
P
S
Equilibre d’une particule
1ère loi de Newton
Alors la particule reste au repos (si initialement au repos), ou se déplace linéairement à vitesse constante (si se déplace initialement)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel23
Une particule est à l’équilibre quand la résultante de toutes les forces sur la particule est nulle
∑ Fx = 0∑ Fy = 0 R F 0
Equilibre d’une particule
Statique graphique
Bien choisir le point à isoler…
On soulève une caisse de 75 kg. Quelles sont les tensions en AC et AB ? (qui force le moins…)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel24
En 3D
Tout peut s’étendre en 3D !
Attention, les angles sont moins simples à définir et manipuler
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel25
F = Fx² + Fy² + Fz²
y zj k xF F i F F
Ch. 3 Forces sur un solide rigide
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel26
Introduction
Rappel : point matériel Portion de l’espace pourvue de matière et assez petite pour être considérée ponctuelle.
Solide indéformable
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel27
Domaine contenant un ensemble de points matériels gardant des distances fixes entre eux au cours du temps
Remarques :
Il s’agit d’un modèle. Tout solide est déformable ! … Cf. seconde partie du cours.
Modèle idéal pour l’étude des forces et mouvements
Exemples : mécanismes, squelette…
Introduction
Forces internes – forces externes
2 types de forces peuvent s’appliquer à un solide rigide :
• Forces externes : par les autres solides sur le solide considéré.
• Forces internes : maintiennent la cohésion du solide considéré.
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel28
Introduction
Rappel• Seul effet d’une action sur un point = translation (une rotation n’a pas de sens)
• Cette action est une force qui tend à le déplacer. Elle est caractérisée par :• Un vecteur
• Un point d’application (ou point de passage)
• Somme de plusieurs forces = somme vectorielle
L’action est identique tout le long de la ligne d’action (analogie avec la ficelle)
• Pour un solide rigide, une force est donc caractérisée par :• Un vecteur
• Une ligne d’action
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel29
P
P’P
P’
F
F
Produit vectoriel
Outil indispensable pour comprendre les actions mécaniques sur un solide (qui peut être entrainé en rotation).
Définition
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel30
V P Q
Le produit vectoriel de P et Q est défini par le vecteur V tel que
La direction de V est perpendiculaire à P et Q
L'intensité est donnée par : V = PQsinθ
La direction est donnée par la règle de
la main droite
θ
Produit vectoriel
Propriétés
Attention
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel31
1 2 1 2
Q P P Q
Q P P Q P Q P
Q nP n Q P
Produit vectoriel
Composantes d’un produit vectoriel
Règle du gamma
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel32
x y x yV P Q P i P j Q i + Q j ...
x y y xV = P Q - P Q
x x
x y y xy y
P Q = P Q - P Q k
P Q
i
j
k
Moment d’une force par rapport à un point
Effets d’une force sur un solide
• Entrainement en translation
Lorsque la somme des actions se résume à une force, tous les points du solide ont tendance à suivre la translation définie par Δ
• Entrainement en rotation
Pour le traduire, on utilise le vecteur moment en P.
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel33
Δ
P
Le moment (action d’entraînement en rotation) est d’autant plus fort que : F est grand Le bras de levier PH est grand
Unité : Newton mètre, noté N.m ou Nm
A
H
2F
1F
R
F
M P, F = PH.F = PA sin PA, F F
Moment d’une force par rapport à un point
Le vecteur moment traduit l’entrainement en rotation
Dans le cas général, il se calcule par :
Remarques :
─ Unité : Newton mètre, noté N.m ou Nm.
─ Il ne dépend pas du point d’application, si celui-ci est sur la ligne d’action de F
─ Le moment en O ne permet pas de connaitre où est appliquée la force.
─ Deux forces sont équivalentes si
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel34
P
A
H M P, F = PA F
F = F' et M P, F = M P, F'
F
Système force-moment en un point
Action mécanique équivalente
Action qui a le même effet mécanique sur le solide
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel35
P
A
P
A
F
F
M P
Moment d’un système de forces par rapport à un point
Moment résultant de plusieurs forces
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel36
P
A
P
A2
A1
1 2 1 2... ... M P, F , F , M P, F M P, F
1 2 1 2M P,F ,F PA F PA F
1 2 1 1 2 2M P,F ,F PA F PA F
1F
2F
1F
2F
Transport de l’action d’une force
Calcul du moment en un autre point Q
Remarque :
TRES utile pour le calculer en un point d’intérêt, comme un centre d’articulation…
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel37
, + P M , F M F PQ FQ P
AQ
M Q,F QA F
QP PA F
PA F QP F
F
Système force-moment équivalent
Bilan des actions sur un solide
• Entrainement en translation
Caractérisé par la somme des forces (peut être écrite en tout point du solide)
• Entrainement en rotation
Caractérisé par la somme des moments (peut être calculée en tout point du solide)
La somme des actions mécaniques, en un point, est donnée par :
• Une résultante :
• Un moment résultant en un point P :
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel38
Ce couple suffit à déterminer totalement l’action mécanique en un point d’un solide.
R F
M P M P
Ch 4 Statique des solides rigides
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel39
Introduction : équations d’équilibre statique
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel40
P
AA2A3
O
Un solide est en équilibre statique si
Un système de plusieurs solides est en équilibre statique si chacune de ses parties est en équilibre
En 2D∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0
∑ M(O) = 0
Rappel
Le comportement d’un solide soumis à n actions est défini, en un point O, par une résultante et un moment résultantR F
M P M P
et F 0 M 0 0
F
2F3F
F
M 0
Bilan des efforts extérieurs au solide
Isoler le solide
Lister les efforts extérieurs (forces, moments) connus et inconnus
• Actions mécaniques à distance écrire force/moment
Exemple : gravité
• Actions mécaniques de contact écrire force/moment
Reste plus qu’à écrire la condition d’équilibre !
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel41
SS1S2 S
Efforts dans les liaisons extérieurs
Principe des actions mutuelles (réciprocité)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel42
S1S2
et
1/2 2/1
1/2 2/1
F -F
M P M P
Efforts dans les liaisons extérieurs
Force seule, ligne d’action connue : appui simple
• Appui ponctuel
• Surface plane sans frottement
• Roulement parfait
• Câble
Force seule, ligne d’action inconnue : pivot ou articulation
• Articulation
• Surface rugueuse
Force + moment : encastrement
• Encastrement
• Liaison fixe
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel43
Efforts dans les liaisons extérieurs
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel44
Equilibre 2D d’un solide
Principe fondamental de la statique en 2D
• ∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 et ∑ M(O) = 0
• Donc 3 équations à disposition
On peut ne déterminer, au plus, que 3 inconnues
Exemple :
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel45
Remarque sur l’indétermination d’un système de forces
Isostatisme
Si le solide/système ne peut bouger sous aucune charge (totalement contraint)
+ Si les réactions n’ont que 3 inconnues et peuvent être déterminées par le PFS
ALORS
Le système est isostatique
HyperstatismeIl y a trop d’inconnues (problème indéterminé)
Il faudrait utiliser la mécanique des milieux déformables pour équations suppl.
HypostatismeOn peut résoudre le problème et trouver les inconnuesMAIS une charge additionnelle peut faire bouger le solide/système (il est partiellement contraint)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel46
Remarque sur l’indétermination d’un système de forces
Exemples
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel47
Cas particulier : solide soumis à 2 forces
Ecrire les équations d’équilibre en A…
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel48
A
B
Solide soumis à 2 forces ⇒ Forces colinéaires, de sens opposées, de même norme
1F
2F
Statique graphique
Exemple des structures en treillis
Cas particulier : solide soumis à 2 forces
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel49
Ecrire les conditions d’équilibre du solide au point I intersection des directions de F1 et F2…
Cas particulier : solide soumis à 3 forces
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel50
A
B C
I
Solide soumis à 3 forces ⇒ Forces concourantes, de somme vectorielle nulle
1F
2F
3F
Statique graphique
Cas particulier : solide soumis à 3 forces
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel51
Cas générale d’équilibre en 3D
Pour un système S, les conditions d’équilibre vont se traduire par :
• Deux équations vectorielles
• En 3D 6 équations pour déterminer les paramètres inconnus
• En 2D, Il n’y en a plus que trois.
Rappel : on ne peut résoudre le problème que si l’on a autant d’équations que d’inconnues
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel52
∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 ; ∑ Fz = 0 ∑ Mx(O) = 0 ; ∑ My(O) = 0 ; ∑ Mz(O) = 0
∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 ∑ M(O) = 0
F 0 et M 0 0
Exemple de résolution graphique
• Effort nécessaire pour couper le boulon
1500 daN
• Liaisons parfaites
Déterminer l’effort de compression sur la vis
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel53
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel54
2 1F
3 1F
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel55
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel56
1 3F
3 1 1 3F F
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel57
1 3F
2 3F
5 3F
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel58
1 2F
3 2F
4 2F
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel59
2 4F
7 4F
6 4F
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel60
6 visF4 6F
Ch 5 Cinématique
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel61
Introduction
Rappels
─ Point matériel : portion de l’espace pourvue de matière, assez petite pour être considérée comme ponctuelle
─ Solide rigide ou indéformable : domaine D de l’espace contenant un ensemble de points matériels gardant des distances constantes entre eux.On peut donc installer un repère sur D
─ Temps : t supposé s’écouler de manière identique pour tous les solides
Cinématique = étude des mouvements indépendamment de leur causes
Préalable à l’étude des liens entre forces et mouvements
!! Notion relative !!
On étudie le mouvement par rapport à un référentiel (ou repère, ou observateur)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel62
Cinématique du point - Repérage
On utilise des repères orthonormés directs (r.o.n.d = 1 point + 1 base o.n.d)
Repérage d’un point P donné dans le repère
On peut obtenir les coordonnées par projection :
On peut noter :
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel63
Px
y z
O
R
OP xi yj zk
O,i, j,k
R
x OP.i
y OP.j
z OP.k
OP x, y, z
Cinématique du point - Vitesse
Définition
Soit P mobile / repère R. Sa vitesse est définie par :
Remarque
Définition indépendante de O pourvu qu’il soit fixe dans R.
Expression :
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel64
O
PP’
(t)
(t+Δt)
R
Δt 0 Δt 0
PP' ΔP dV P/ = lim = lim = OP
Δt Δt dt
R
OP = xx + yy + zz
d
V P/ = OPdtdx dy dz
= x + y + kdt dt dt
R
• • •
V P/ = xx + y y + zz
R
Cinématique du point - accélération
Définition
Soit P mobile / repère R. Son accélération est définie par :
Expression
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel65
O
PP’
Δt 0
V P' - V P dA P/ = lim = V P
Δt dt
R
•• •• ••
A P/ = x x + y y + z z R
V P
V P'
Cinématique du solide
Repérage d’un solide
Besoin de 6 paramètres
─ Position de OS :
─ Orientation / R : 3 paramètres d’Euler ou 3 autres angles
Difficultés…
Il faut tenir compte des rotations, ce qui complique fortement les calculs…
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel66
x
y z
OOS
SOO = xi + y j + zk
Cinématique du solide
Champ de vitesse d’un solide
Observons le déplacement du point B :
Champ d’accélération… à calculer pour les plus courageux…
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel67
R A1
Δt
B1 A2 B2 = +B’
A2B2
A1
B1 A2
B’
A22B'B = Δθ AB Δθ
1 2 1 2B B B B' B'B ...
ΔB ΔA BA Δθ
V B V A BA ω
Ch 6 Notions de dynamique
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel68
Dynamique du point
Dynamique : Etude des relations entre les mouvements et leurs causes.
Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique (2nde loi de Newton)
(Valable dans un repère absolu ou galiléen, supposé exister)
Soit un point P de masse m. Le principe fondamental de la dynamique (PFD) permet d’écrire :
: Résultante des efforts sur P
Cas particulier de la (quasi-)statique (1ère loi de Newton)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel69
F mA P
F
F 0
Principe de la dynamique du solide
Actions extérieures
Actions à distance
Actions de contact, (intérieures) et extérieures
PFD appliqué à un solide de masse m
Une des écritures possibles :
Dynamique d’un système de solides
Idem pour chaque solide + inclure les actions des liaisons
C’est complexe !
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel70
S
F mA G
M G GP A P dm
PARTIE 2Mécanique du solide déformable
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel71
Ch 7 Introduction à la mécanique des milieux déformables
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel72
Limite de la mécanique du solide rigide
• La statique ne renseigne pas sur les efforts intérieurs
• Comment se déforme le solide ?
• Même à résultante d’efforts nulle, le solide peut se déformer
• Casse d’un solide est un problème d’efforts intérieurs
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel73
Loi de comportement des matériaux
Définition
• Soit un effort, noté, F sur solide donné
• Soit le changement de forme = déformation, noté D
• La loi de comportement du matériau permet de décrire l’un en fonction de l’autre :
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel74
D = f(F)
F2
F1
F3
F4
état initial
état déformé
Loi de comportement des matériaux
Solide ou fluide ?
Solides─ Certaine mémoire de la géométrie initiale, retour élastique
─ Résistance au cisaillement
─ Force constante Déformation constante
─ Sur des temps COURTS, pas/peu de réarrangements de molécules
Fluides─ Réarrangements irréversibles, pas de retour élastique
─ Prend la forme du récipient
─ Force constante Déformation croissante et vitesse de déformation constante
─ Sur des temps LONGS, réarrangements de molécules
En pratique tout matériau est solide et fluide ! Tout est question d’échelle de temps « caractéristique » :
Glace : solide < 1 h ; fluide > 24 h
Verre : solide < 1 an ; fluide > 100 ans
Pâte à modeler : solide < 1 s ; fluide > 10 s
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel75
Essais mécaniques unidirectionnels
Essais de traction simple
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel76
FF
S0
L0
LF
L - L0
ruptureF
ΔL
Essais mécaniques unidirectionnels
Essais de traction simple… et comparaisons avec un même matériau
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel77
S0
L0
F
L - L0
Fmax
ΔLel
2Fmax
2S0
L0
S0
2L0
2ΔLel
Essais mécaniques unidirectionnels
Essais de traction simple… Notion de contrainte
On pose σ = F / S = contrainte
Unité : N /m² = Pa (pascal)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel78
L - L0ΔLel
F / S0
σmax
2ΔLel
Essais mécaniques unidirectionnels
Essais de traction simple… Notion de déformation
On pose ε = (L - L0) / L0 = déformation
Sans unité, parfois exprimée en %
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel79
εεel
σ
σmax
Notions de comportement des matériaux
Elasticité, plasticité…
Module d’élasticité ou module de Young
• En zone élastique, le modèle le plus courant d’élasticité linéaire est le modèle de Young :
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel80
εεel
σ
σel
σrup
εrup
Zone élastique
Zone plastique
Déformations réversibles
Déformations irréversibles
σ = E εE est le module de Young
(Pa, ou souvent Mpa)
Notions de comportement des matériaux
Comportement ductile/fragile
• Exemples ?
Viscosité, non linéarité…
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel81
εεel
σ
εrup
Matériau ductile εrup >> εel
Matériau fragilesεrup proche de εel
εεel
σ
εrup
Notions de comportement des matériaux
Non linéarité…
• Elasticité non linéaire
Viscosité…
• La réponse mécanique (force, contrainte) dépend de la vitesse de déformation (donc du temps).
• Exemples …
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel82
ε
σ
ε
σ
polymèrestypique des tissus mous biologiques
Notions de comportement des matériaux
Déformation transverse - Coefficient de Poisson
On constate expérimentalement
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel83
d0
S0
L0
L
S d
ε1 = L − L0
L0
ε2 = d − d0
d0= ε3
Déformation longitudinale
Déformation transverse
ε1
ε2, ε3
-υ
ε2 = -υ ε1
υ est le coefficient de Poisson du matériau(sans unité)0 < υ < 0,5
Notions de comportement des matériaux
Loi de comportement d’un matériau « simple »
• Matériau élastique
• Linéaire
• Isotrope
La loi de comportement est entièrement définie par E et υ.
Cas plus généraux
• Anisotrope : plusieurs paramètres pour caractériser les différentes directions
• Non linéaire : autres paramètres pour caractériser la non linéarité
• Plasticité, viscosité…
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel84
Ch 8 Notion de contrainte et déformation
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel85
Contrainte
Effort intérieur sur une surface
On suppose la répartition de l’effort homogène sur la surface
─ On isole la partie (1) calcul de
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel86
(2)
(1)
Section S
(1)
S
F
F
F
F
2/1F
Contrainte
Vecteur contrainte – contraintes normale et tangentielle
On définit le vecteur contrainte comme :
On peut le décomposer :
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel87
(1)
Contrainte normale Contrainte tangentielle (cisaillement)
F
TS
N Tn t F F
TS S
n t T σ τ
T
τ
t
n
F
σ
Contrainte
La contrainte est en fait une grandeur locale
Attention, dépend de l’orientation de la surface
Il existe un formalisme mathématique pour écrire la contrainte locale 3D (basé sur les matrices et opérations associées)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel88
dS
M
dS
M
dF
T MdS
dF
, dF
T M ndS
T
dF
n
Déformation
Déformation longitudinale = déformation en 1D
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel89
x = 0 x = l0
x
x = 0 x = l
Δl x + u(x)
ε = Δll0
Déformation
La déformation longitudinale peut être non homogène
Besoin d’une définition locale en xElle est liée aux déplacements relatifs des particules du matériau
Isolons un petite portion autour de x :
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel90
x x + dx
x + u(x) x + dx + u(x+dx)
ε(x) = Δll0
= u(x+dx) − u(x)
dx
ε(x) = du
dx
Déformation
Généralisation, formalisme similaire à la contrainte
• Allongements et variations d’angle (cisaillement)
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