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Exercices de mécanique des milieux continus
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Problème aux limites / L3MK
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________________________________________________________________________________________________ l3_meca_examen_2009-6.doc - 1 - Laurent BAILLET /LGIT / UFR Mécanique / UJF Grenoble Dodji Léagnon TOKPAVI
Examen écrit de mars 2009 – DUREE 1h30
Avertissements et conseils
• La présentation, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une
part importante dans l’appréciation de la copie.
• Lisez attentivement le sujet avant de commencer et gérez votre temps !
• Aucune copie ou feuille ne sera prise en compte dès que l’examinateur aura quitté la salle d’examens.
Problème I. Poutre encastrée-cisaillée
Une plaque rectangulaire mince ( xp yp zp, zp ( xp,yp)× × ≪ ) est soumise à un cisaillement en
x=0 et encastrée en x=xp (figure 1). La plaque a un module d’Young E et un coefficient de
Poisson ν. Les forces volumiques sont négligées.
Figure 1. Plaque mince encastrée-cisaillée.
On applique sur le segment AD une force linéique yf t y=� �
(ty est en Nm-1). La force P
équivalente (résultante) appliquée en x=0 est égale à yP t .yp= .
1. Donner l’expression reliant la force P à la contrainte de cisaillement xyσ en x=0.
La fonction d’Airy est donnée par l’expression
( ) 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4x,y bxy cy dx ex y fxy gy hx ix y jx y kxy lyΦ = + + + + + + + + + + .
où b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l sont les constantes à déterminer.
2. Trouver en se servant de l’équation de compatibilité la relation liant h, j, l.
x
y
yp
xp
O
B
C D
ty
A
Problème aux limites / L3MK
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________________________________________________________________________________________________ l3_meca_examen_2009-6.doc - 2 - Laurent BAILLET /LGIT / UFR Mécanique / UJF Grenoble Dodji Léagnon TOKPAVI
3. A partir de la valeur de yyσ en yp
y2
= ± , montrer que la fonction d’Airy se réduit à
( ) 2 2 3 3x,y bxy cy fxy gy kxyΦ = + + + + .
4. Calculer les contraintes xx yy xy, ,σ σ σ en fonction des constantes b, c, f, g, k. Quelle est la
valeur de la contrainte zzσ (justifier) ?
5. A partir de l’expression de xyσ , en utilisant les conditions aux limites, montrer que
23k(yp)
f 0, b4
= = − .
6. Justifier que yp
2xxyp
2
.zp dy 0σ+
−=∫ et calculer la valeur de c.
7. A partir de l’expression de la contrainte xxσ et de sa valeur en x=0, montrer que g 0= .
8. En utilisant la question 1. montrer que 3
2Pk
yp .zp= −
9. Donner l’expression finale de la fonction d’Airy et retrouver les expressions des
contraintes 2
2xx yy xy
Pxy P yp, 0, y
I 2I 4σ σ σ
= = = − − où
( )3zp. ypI
12=
10. La méthode des éléments finis permet de résoudre numériquement ce problème de
mécanique (utilisation de RDM6). On supposera que les résultats issus de cette méthode
numérique (figure 2) correspondent à la solution exacte.
10a. Comparer et commenter vos résultats analytiques avec ceux obtenus par la méthode
des éléments finis sur la coupe CC’.
10b. D’où proviennent les différences sur la valeur de la contrainte yyσ ?
Problème aux limites / L3MK
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Contraintes xxσ
Contraintes yyσ
Contraintes xyσ
Position de la coupe CC’
Contraintes xxσ suivant CC’
Contraintes yyσ suivant CC’
Contraintes xyσ suivant CC’
Figure 2. Simulation éléments finis. Dimensions de la plaque 5m 4m 0.01m× × ,
E=210000MPa, ν=0.3, ty=10Nm.
C
C’
2.05m
5m
Problème aux limites / L3MK
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Problème II. Instabilité de pentes
Considérons un élément carré d’unité (dx = dy = 1 et dz<<(dx, dy) ) exposé aux
contraintes principales 1σ (suivant x) et 3σ (suivant y) appliquées aux côtés de l’élément
(figure 3.). On suppose que l’état de contrainte est plan. On définit un plan dont
l’inclinaison est θ par rapport à l’axe x.
1. Donner l’expression du tenseur des contraintes dans (x, y, z).
2. Calculer les contraintes normale nσ et de cisaillement τ s’exerçant sur le plan en
fonction de θ , 1σ et 3σ .
� 3. Le critère de rupture fragile de Mohr-Coulomb est défini pour
0τ ≥ par n Cτ µσ≤ − + ,
0τ ≤ par n Cτ µσ≥ + − ,
où tanµ φ= ( 0)µ ≥ avec φ l’angle de frottement interne du matériau et C (C 0)≥ la
cohésion.
Il y a rupture lorsqu’un couple ( )n ,σ τ vérifie n Cτ µσ= − + (figure 4).
Les chargements bi-axiaux sont tels que : 1 ( 17.5 A)MPaσ = − − , 3 ( 17.5 A)MPaσ = − +
avec la contrainte A (A 0≥ ) que l’on fait varier de 0 à 25MPa. On impose 0.7µ = . La
fonction n nf( , )τ σ τ µσ= + , les contraintes normale nσ et de cisaillement τ sont
représentées sur les figures 5 en fonction de l’angle [ ]0,θ π∈ .
La contrainte de cohésion du matériau est de 12MPa.
Pour quel chargement (valeurs de 1 3,σ σ , n ,σ τ ) y a-t-il rupture ?
Quel est l’angle de rupture θ ?
Problème aux limites / L3MK
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Figure 3. Elément de matière et contraintes appliquées.
Figure 4. Critère de rupture de Mohr-Coulomb.
θ
1σ 1σ
3σ
3σ
n�
t�
nσ τ
x
y
τ
nσ C
-C
n Cτ µσ= − +
n Cτ µσ= + −
3σ 1σ
Problème aux limites / L3MK
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(a) Fonction n nf( , )τ σ τ µσ= +
(b) Contrainte normale nσ (MPa)
(c) Contrainte de cisaillement τ (MPa)
Figure 5. Variation de n nf( , )τ σ τ µσ= + , nσ et τ en fonction de l’angle [ ]0,θ π∈ .
Problème aux limites / L3MK
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______________________________ CORRECTION ______________________________
Problème I. Poutre encastrée-cisaillée
1. L’expression reliant la force P (>0) à la contrainte de cisaillement xyσ (<0) en x=0 est :
( )yp
2xyyp x 0
2
P .zp dyσ+
=−= −∫ .
2. L’équation de compatibilité ( )4 4 4
4 4 2 2x,y 2
x y x y
Φ Φ Φ∆∆Φ
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ ∂ donne la relation
3h 3l j 0+ + = .
3. On a 2
2 2yy 2
6dx 2ey 12hx 6ixy 2 jyx
Φσ
∂= = + + + +
∂. Or yy yp
y2
x, 0σ=±
∀ = d’où
d=e=h=i=0 (l=0 question 1/) et la fonction d’Airy se réduit à
( ) 2 2 3 3x,y bxy cy fxy gy kxyΦ = + + + + .
4. Les contraintes xx yy xy, ,σ σ σ en fonction des constantes b, c, f, g, k sont
2
xx 2
2
yy 2
22
xy
2c 2 fx 6gy 6kxyy
0x
b 2 fy 3kyx y
Φσ
Φσ
Φσ
∂ = = + + + ∂ ∂ = = ∂ ∂ = − = − − − ∂ ∂
La plaque étant mince, on peut faire l’hypothèse des contrainte plane où zz 0σ = .
5. A partir de l’expression de xyσ , en utilisant le fait que xy
yp0 y
2σ = = ±en , on trouve
23k(yp)f 0, b
4= = − .
6. L’équilibre suivant x s’écrit yp
2xxyp
2
.zp dy 0σ+
−=∫ . En intégrant l’expression obtenue à la
question 4 on obtient c=0.
7. On a ( )xx x 0, y6gy 6kxy 0 g 0σ
= ∀= + = ⇔ = .
8. On a trouvé que
Problème aux limites / L3MK
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( ) ( )yp yp yp 2
2 22 2 2xyyp yp ypx 0x 0
2 2 2 x 0
3k(yp)P .zp dy b 2 fy 3ky .zp dy 3ky .zp dy
4σ
+ + +
==− − −=
= = + + = − + ∫ ∫ ∫
On obtient 3
2Pk
yp .zp= − .
9. La fonction d’Airy est finalement égale à ( ) 3
3
3P 2Px,y xy xy
2.yp.zp yp .zpΦ = − , les
expressions des contraintes sont
2
2xx yy xy
Pxy P yp, 0, y
I 2I 4σ σ σ
= = = − − où
( )3zp. ypI
12=
10. Les paramètres du calculs sont
P=0.4N, xp 5m,yp 4m,zp 0.01m= = = , ( )3 4zp. yp
I 0.053m12
= = , E=210000MPa, ν=0.3,
ty=0.1Nm.
Pour x=2.05m, y=±2 on calcule xx
Pxy
Iσ = =±30.94Pa, xy 0Paσ = .
Pour x=2.05m, y=0 on calcule xx
Pxy
Iσ = =0, xy 15.09Paσ = − .
Problème II. Instabilité de pentes
1. L’expression du tenseur des contraintes dans (x, y, z) est
1
3
0 0
0 0
0 0 0
σ
σ σ
=
2. Le vecteur des contraintes est
1
3
sin
n cos
0
σ θ
σ σ θ
− =
avec
sin
n cos
0
θ
θ
− =
. On en déduit
( )T 2 2n 1 3n n sin cosσ σ σ θ σ θ= = + ,
( ) ( )T
3 1n t sin cosτ σ σ σ θ θ= = − .
� 3. Pour les différents chargements, la contrainte de cisaillement est toujours positive
0τ ≥ . Le critère est alors n nC C 12MPaτ µσ τ µσ≤ − + ⇔ + ≤ = . Sur la figure 5.a, le
chargement à la rupture est obtenu pour 1 337.5MPa, 2.5MPaσ σ= − = + . L’angle en
radians est égale à 0.48 rad.
Problème aux limites / L3MK
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**************************************** Pr. Laurent BAILLET - UFR Mécanique - Grenoble Laboratoire LGIT Calcul des contraintes tangentielle et normale agissant sur un plan incliné d un angle teta par rapport à l horizontal. Les contraintes principales sigma3 (S3) et sigma1 (S1) sont appliquées sur les faces horizontales et verticales respectivement d un element carré. Critère de Mohr Coulomb : sigtangent=C+mu.signormal S3 __________ | | S1 | | S1 | | |_________| S3 Mars 2009 **************************************** > restart; Contrainte tangentielle (st) et normale (sn) > sigtangent:=(teta,vmu,sig1,sig3)->(sig3-sig1)*sin(teta)*cos(teta);
:= sigtangent → ( ), , ,teta vmu sig1 sig3 ( ) − sig3 sig1 ( )sin teta ( )cos teta
> signormal:=(teta,vmu,sig1,sig3)->sig1*(sin(teta))^2+sig3*(cos(teta))^2;
:= signormal → ( ), , ,teta vmu sig1 sig3 + sig1 ( )sin teta 2 sig3 ( )cos teta 2
Fonction : st+mu*sn > w:=(teta,vmu,sig1,sig3)->sigtangent(teta,vmu,sig1,sig3)+vmu*signormal(teta,vmu,sig1,sig3);
w ( ), , ,teta vmu sig1 sig3 ( )sigtangent , , ,teta vmu sig1 sig3 → := vmu ( )signormal , , ,teta vmu sig1 sig3 +
Trace de la fonction tau+mu*sigman, contrainte tangentielle, contrainte normale sur un plan incline de teta par rapport a l horizontale > vmu:=0.7;sig1:=-37.5;sig3:=2.5;evalf((sig1+sig3)/2);evalf(Pi/4-arctan(vmu)/2);plot([w(teta,vmu,-17.5,-17.5),w(teta,vmu,-25,-10),w(teta,vmu,-30,-5),w(teta,vmu,-37.5,2.5),w(teta,vmu,-42.5,7.5)],teta=0..Pi/2,legend=["s1=-17.5MPa,s3=-17.5MPa","s1=-25MPa,s3=-10MPa","s1=-30MPa,s3=-5MPa","s1=-37.5MPa,s3=2.5MPa","s1=-42.5MPa,s3=7.5MPa"],title="Fonction tau+mu*signan",colour=black,linestyle=[1,2,3,4,5]);plot([signormal(teta,vmu,-17.5,-17.5),signormal(teta,vmu,-25,-10),signormal(teta,vmu,-30,-5),signormal(teta,vmu,-37.5,2.5),signormal(teta,vmu,-42.5,7.5)],teta=0..Pi/2,legend=["s1=-17.5MPa,s3=-17.5MPa","s1=-25MPa,s3=-10MPa","s1=-30MPa,s3=-5MPa","s1=-37.5MPa,s3=2.5MPa","s1=-42.5MPa,s3=7.5MPa"],title="Contrainte normale",colour=black,linestyle=[1,2,3,4,5]);plot([sigtangent(teta,vmu,-17.5,-17.5),sigtangent(teta,vmu,-25,-10),sigtangent(teta,vmu,-30,-5),sigtangent(teta,vmu,-37.5,2.5),sigtangent(teta,vmu,-42.5,7.5)],teta=0..Pi/2,legend=["s1=-17.5MPa,s3=-17.5MPa","s1=-25MPa,s3=-10MPa","s1=-30MPa,s3=-5MPa","s1=-37.5MPa,s3=2.5MPa","s1=-42.5MPa,s3=7.5MPa"],title="Contrainte tangentielle",colour=black,linestyle=[1,2,3,4,5]); >
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