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La fonction
RACINE CARRÉE
Définition La racine carrée d’un nombre x détermine le nombre dont le carré donne x .
Exemples : car 3 x 3 = 9 ou (3)2 = 9
On note la racine carrée de x . x
39
car 7 x 7 = 49 ou (7)2 = 49 749
Propriétés :
baba 155353: Exemple
2
1
aa
b
a
b
a
5
3
5
3: Exemple
aa 2 5255: 2 Exemple
Attention !
- 5 = Ø
Rationalisation du dénominateur
Lorsqu’une fraction comporte un nombre irrationnel au
dénominateur, la rationalisation consiste à le rendre rationnel.
Exemple #1 : 1
2 Rationnaliser .
1
2 =
1
2 x
2
2 =
2
( 2 )2 =
2
2
Irrationnel Rationnel
Exemple #2 : Rationnaliser . 6
4 + 7
6
4 + 7 =
6
4 + 7
x 4 – 7
4 – 7
6 x ( 4 – 7 )
( 4 + 7 ) x ( 4 – 7 ) =
24 – 6 7
16 – 4 7 + 4 7 – ( 7 )2 =
24 – 6 7
16 – 7 =
24 – 6 7
9 =
8 – 2 7
3 =
Irrationnel
Rationnel
Exemple #3 : Rationnaliser . 10
11 – 7
10
11 – 7 =
10
11 – 7
x 11 + 7
11 + 7
10 x ( 11 + 7 )
( 11 – 7 ) x ( 11 + 7 ) =
10 11 + 10 7
( 11 )2 + 11 7 – 11 7 – ( 7 )2 =
Irrationnel
10 11 + 10 7
( 11 )2 – ( 7 )2 =
10 11 + 10 7
11 – 7 =
10 11 + 10 7
4 =
5 11 + 5 7
2 =
Rationnel
Équations et graphique
Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet (h, k).
Exemple :
a b h k
a = - 2
b = 3 h = 1
k = 4
f(x) = x (forme générale de BASE)
f(x) = a b ( x – h ) + k (forme générale TRANSFORMÉE)
f(x) = a x – h + k
f(x) = -2 3 ( x – 1 ) + 4
f(x) = a - ( x – h ) + k (formes CANONIQUES)
1
1
Équations et graphique
Sommet (h, k)
(h, k) = sommet
f(x) = a b ( x – h ) + k (forme générale TRANSFORMÉE)
a : + b : + a : + b : –
a : – b : – a : – b : +
Forme canonique <---> générale
Exemple #1 : Écrire l’équation f(x) = - 3 4x + 8 – 2 sous la forme canonique.
f(x) = - 3 4x + 8 – 2
f(x) = - 3 4 (x + 2) – 2
f(x) = - 3 4 x + 2 – 2
f(x) = - 3 (2) x + 2 – 2
f(x) = -6 x + 2 – 2
Sommet (-2, -2)
1
1
Exemple #2 : Écrire l’équation f(x) = 12 – 4x + 6 sous la forme canonique.
f(x) = 12 – 4x + 6
f(x) = - 4x + 12 + 6
f(x) = 4 - (x – 3) + 6
f(x) = - 4 (x – 3) + 6
f(x) = 2 - (x – 3) + 6
Sommet (3, 6)
1
1
Exemple #3 : Écrire l’équation f(x) = - 6 10 – 5x + 3 sous la forme canonique.
f(x) = - 6 - 5x + 10 + 3
f(x) = - 6 5 - (x – 2) + 3
f(x) = - 6 - 5 (x – 2) + 3
Sommet (2, 3)
1
1
f(x) = - 13,4 - (x – 2) + 3
Recherche de l’équation
Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction.
S(8, -5)
Esquisse du graphique
2
2 P(-1, 7)
Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction.
S(8, -5)
Esquisse du graphique
2
2 P(-1, 7)
7 = a - (-1 – 8 ) – 5
f(x) = a x – h + k
f(x) = a - ( x – h ) + k (formes CANONIQUES)
7 = a - (-9) – 5
7 = a 9 – 5
7 = a (3) – 5
12 = 3a
4 = a
Réponse : f(x) = 4 - ( x – 8 ) – 5
a : + b : –
Résolutions d’équations
Exemple #1 :
Réponse : x { 7 }
Esquisse du graphique Trouver les zéros de f(x) = 2 x – 3 – 4 .
0 = 2 x – 3 – 4
4 = 2 x – 3
2 = x – 3
(2)2 = ( x – 3 )2
4 = x – 3
7 = x 1
1
Sommet (3, -4)
Il faut que x – 3 ≥ 0
Alors que x ≥ 3
VALIDATON
0 = 2 (7) – 3 – 4
0 = 2 4 – 4
0 = 4 – 4
0 = 0
Exemple #2 :
Réponse : x { - 2 }
Résoudre 4 5 – 2x = 12 .
5 – 2x = 3
x = - 2
Il faut que 5 – 2x ≥ 0
Alors que x ≤ 5/2 ( 5 – 2x )2 = (3)2
5 – 2x = 9
- 2x = 4 Esquisse du graphique
1
1
Sommet (5/2, 0)
- 2x + 5 = 3
- 2 (x – 5/2) = 3
y = 3
VALIDATON
4 5 – 2(-2) = 12
4 5 – -4 = 12
4 9 = 12
4 (3) = 12
12 = 12
Exemple #3 :
Réponse : x { }
Résoudre 2 x + 4 = 0 .
2 x = - 4 Il faut que x ≥ 0
( x )2 = (- 2)2
x = 4 Esquisse du graphique
1
1
Sommet (0, 4)
x = - 2
Lorsque x = nombre négatif, il n’y a pas de solution !
À rejeter
VALIDATON
2 4 + 4 = 0
2 (2) + 4 = 0
4 + 4 = 0
8 0
Résolutions d’inéquations
Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x
Esquisse du graphique
1
1
Sommet (-1, 0)
Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x
x + 1 = 2x Il faut que x + 1 ≥ 0
Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2x)2
x + 1 = 4x2
0 = 4x2 – x – 1
f(x) = g(x)
Esquisse du graphique
1
1
Sommet (-1, 0) x = -b b2 – 4ac
2a
x = -1 (-1)2 – 4(4)(-1)
2(4)
x = -3 17
8
x1 ≈ -0,39 et x2 ≈ 0,64
Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x
x + 1 = 2x
-0,39 ≈ x1
Il faut que x + 1 ≥ 0
Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2x)2
x + 1 = 4x2
0 = 4x2 – x – 1
f(x) = g(x)
0,64 ≈ x2
À rejeter
Réponse : x ] 0,64, + ∞
Esquisse du graphique
1
1
Sommet (-1, 0)
VALIDATON de x1
(-0,39) + 1 = 2(-0,39)
0,61 = -0,78
0,78 -0,78
VALIDATON de x2
(0,64) + 1 = 2(0,64)
1,64 = 1,28
1,28 = 1,28
Exemple #2 : Résoudre f(x) ≥ g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x
Esquisse du graphique
1
1
Sommet (-1, 0)
Réponse : x [ -1 ; 0,64 ]
x + 1 = 2x
-0,39 ≈ x1
Il faut que x + 1 ≥ 0
Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2x)2
x + 1 = 4x2
0 = 4x2 – x – 1
f(x) = g(x)
0,64 ≈ x2
À rejeter
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