La vitesse Comment la définir, surtout quand elle est variable !

La vitesse

Comment la définir, surtout quand elle est variable !

Suivons un point circulant sur une droite à vitesse constante

Graduation 1

Point mobile M à au l’instant zéro

xMo

Point mobile M à au l’instant t

xMSens du mouvement

Par définition, la vitesse est constante si le temps et la distance sont proportionnels. D’où le tableau de proportion ci-contre

Graduation 0Distance = xMo – xM

Temps Distance

t xM – xMo

1 v

Ce tableau nous donne trois équations

xM – xMo = v t (égalité des produits croisés)xM – xMo v =

t t =

xM – xMo

v

Règle : le diviseur est sur la même diagonale que la valeurs à calculerConclusion : la distance s’obtient

en multipliant la vitesse par le temps.

Définition : le nombre v est la valeur de la vitesse.

Instant zéro

Une horloge

Faisons une remarque géométrique :

La multiplication v t est l’aire d’un rectangle de hauteur v et de longueur t

Aire = xM – xMo

v

t Temps

Vitesse

Aire = xM – xMo ?

Posons-nous cette question :

Si on remplace le dessus du rectangle par une ligne continue :

v

t Temps

Vitesse

As-t-on encore

Aujourd’hui, tout le monde pense que oui.

Et c’est ainsi qu’on peut estimer une distance sachant la vitesse quand elle est variable

avec le langage des mathématiques.

Aire = xM – xMo

v

t Temps

Vitesse

Cas particulier :

supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps

Temps Vitesse acquise

t v – vo

1 a

Ce tableau nous donne l’équation

v – vo = a t (égalité des produits croisés)

Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale.

Cette formule nous donne la géométrie ci-dessous

Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre

L’aire du trapèze est donc égale à la moitié de celle du rectangle

v

t Temps

Vitesse

1

voAire = xM – xMo

v

vo

Les deux trapèzes sont égaux

v

t

vo

(v + vo) t

2 Aire = xM – xMo = =

1

2(v + vo) t

Faisons un peu de géométrie.

Quelle est la formule de l’aire d’un trapèze ?

Cas particulier :

supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps

Temps Vitesse acquise

t v – vo

1 a

Ce tableau nous donne l’équation

v – vo = a t (égalité des produits croisés)

Conclusion : la distance s’obtient en multipliant la vitesse par le temps puis en divisant le résultat par deux.

Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale.

Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre

Cas particulier : la vitesse initiale est nulle :

v = a t

L’aire du triangle est égale à la moitié de celle du rectangle

v t

2 Aire = xM – xMo =

v

t Temps

Vitesse

1

voAire = xM – xMo

v

t Temps

Vitesse

Aire = xM – xMo

a

1

L’aire du trapèze est égale à la moitié de celle du rectangle

Et dans l’espace ?

Au lieu de suivre UN mouvement le long d’un axe, on en suit TROIS

O

1

1

1

M

xM

yM

zM

P

xP

zP

yP

Abscisse = xP – xM

Ordonnée = yP – yM

Cote = xP – xM

Au lieu d’écrire UNE équation on en écrit TROIS

Soient un repère de l’espace et une horloge

O

1

1

1

M

xM

yM

zM

P

xP

zP

yP

Abscisse = xP – xM

Ordonnée = yP – yM

Cote = xP – xM

Soient un repère de l’espace et une horloge

O

1

1

1

M

xM

yM

zM

P

xP

zP

yP

Abscisse = xP – xM

Ordonnée = yP – yM

Cote = xP – xM

Soient un repère de l’espace et une horloge

Temps Distance

t xM – xMo

1 vx

Temps Distance

t yM – yMo

1 vy

Temps Distance

t zM – zMo

1 vz

En abscisse En ordonnée En cote

Suivons un point circulant sur une droite à vitesse constante

Chaque tableau nous donne une équation :

xM – xMo = vx t

yM – yMo = vy t

zM – zMo = vz t

Supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps

vx – v xo = ax t

vy – v yo = ay t

vz – v zo = az t

Alors nous pouvons démontrer trois lois de posoition au lieu d’une

xM – xMo =1

2(vx + vxo) t

yM – yMo =1

2(vy + vyo) t

zM – zMo =1

2(vz + vzo) t

O

1

1

1

M

xM

yM

zM

P

xP

zP

yP

Abscisse = xP – xM

Ordonnée = yP – yM

Cote = xP – xM

Soient un repère de l’espace et une horloge

xM – xMo = vx t

yM – yMo = vy t

zM – zMo = vz t

vx – v xo = ax t

vy – v yo = ay t

vz – v zo = az t

xM – xMo =1

2(vx + vxo) t

yM – yMo =1

2(vy + vyo) t

zM – zMo =1

2(vz + vzo) t

xM – xMo = vx t

yM – yMo = vy t

zM – zMo = vz t

O

1

1

1

M

xM

yM

zM

P

xP

zP

yP

Abscisse = xP – xM

Ordonnée = yP – yM

Cote = xP – xM

Quand un corps trace la flèche vitesse

Soit un mouvement quelconque

Imaginons qu’à cet instant la vitesse cesse brusquement de varier

et suivons alors le corps pendant une

seconde

Une seconde plus tard, le corps est ici

Une seconde

Rappelons les lois du mouvement à vitesse constante :

Avec t = 1 seconde

xM – xMo = vx

yM – yMo = vy

zM – zMo = vz

ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.

Le calcul du carré de la longueur de cette flèche donne

MMo2 = (xM – xMo)2 + (yM – yMo )2 + (yM – yMo )2

d’où la fomule du carré de la vitesse

v 2 = vx2 + vy

2 + vz2

xM – xMo = vx

yM – yMo = vy

zM – zMo = vz

ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.

Unité de la vitessePartons d’une de nos équations

Et réécrivons-la avec les unités

xM – xMo = v t (égalité des produits croisés)

(xM – xMo ) m = v u t s

Les unités se traitent en algèbre comme les nombres :

Permutons les multiplications (xM – xMo ) m = v t u s

Remplaçons v t par (x - xMo) : (xM – xMo ) m = (xM – xMo ) u s

Simplifions

Multiplions par s-1

m = u s

m s-1 = u s s-1

Utilisons les propriétés des puissances

m s-1 = u L’unité de la vitesse est le m s-1 ou m / s

Remarque : ces écritures sont longues et pas toujours utiles !

On pourrait tout de suite substituer les valeurs de la formule de départ ...

... par les unités ... donc d’écrire seulement

m s-1 = u.xM – xMo = v t puis m = u s , m s-1 = u s s-1 et

Remarque : on peut faire cette

démonstration aussi bien en abscisse

qu’en ordonnée ou en cote

Unité de la vitesse

Multiplions par s-1 m s-1 = u s s-1

Utilisons les propriétés des puissances

m s-1 = u L’unité de la vitesse est le m s-1 ou m / s

... donc d’écrire seulement

m s-1 = u.xM – xMo = v t puis m = u s , m s-1 = u s s-1 et

Quelles propriétés ?

Idée de départ : vu la règle de multiplication des puissances xn x p = xn + p

et vu la définition de l’inverse d’un nombre1x

x = 1

les mathématiciens anciens ont voulu définir les puissances opposées

xn x – n = xn – n

,

vu la convenstion de la puissance zéro x0 = 1,

d’où xn x – n = x0 = 1 d’où, en divisant des deux côtés par x n

x – n =1xn

.