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L’ANCOVA But: Examiner des différences de moyennes en contrôlant pour
des variables concomitantes
Devis non-expérimentaux Examiner les moyennes qui existeraient si les groupes étaient
semblables sur la covariable (avaient la même moyenne sur la covariable)
Réduire le terme d’erreur pour augmenter la puissance du test
Devis expérimentaux Réduire le terme d’erreur pour augmenter la puissance du test
L’erreur de mesure de la var. dép.
2
2
Noirs ou Blancs Intelligence ?
Intelligence Pauvreté
On sait que…
Alors, lequel est-ce?
Noirs ou Blancs
Intelligence
Pauvreté
Noirs ou Blancs Intelligence
Pauvreté ou
3
Noirs ou Blancs
Intelligence
Pauvreté
Noirs ou Blancs ntelligence
Pauvreté
Variable dépendante: Intelligence
Variable indépendante: Betas standardisés et valeur de p Noirs ou Blancs β = .20, p < .05 Pauvreté β = .25, p < .05
Variable dépendante: Intelligence
Variable indépendante: Betas standardisés et valeur de p Noirs ou Blancs β = .02, p = .45 Pauvreté β = .35, p < .05
4
3
L’analyse de variance (ANOVA) In
telli
genc
e
Facteur A a1 a2
Noirs Blancs 5
Noirs ou Blancs
Intelligence
?
6
4
L’analyse de covariance (ANCOVA): Ajuste les moyennes
Y
Covariable: Pauvreté
a1 = Noirs
A2 = Blancs
Inte
llige
nce
COVa1
40,000$
COVa2
10,000$
COV a1+a2/2
25,000$ 7
L’analyse de covariance (ANCOVA): Réduit l’erreur
Y
Covariable
a1
a2
8
5
L’analyse de covariance (ANCOVA): Réduit l’erreur
9
L’analyse de covariance (ANCOVA)
Y
Covariable
a1
a2
Une large quantité d’erreur est réduite si la covariable est fortement corrélée à la variable dépendante 10
6
L’analyse de covariance (ANCOVA)
11
L’analyse de covariance (ANCOVA)
Y
Covariable
a1
a2
Une très faible quantité d’erreur est réduite si la covariable n’est pas corrélée à la variable dépendante 12
7
L’analyse de covariance (ANCOVA)
SCS\A
Source de variation
Somme des carrés
(SC)
Covariable SCcov
INTRA (erreur S/A)
TOTAL SCtotal
INTER (traitement A) SCA
Carrés moyens
(CM) Fobtenu
CMcov
CMS/A
CMA
CMcov
CMS/A
CMA
CMS/A
Degrés de liberté
(dl)
1
Σ(n-1) - 1
N-1
a-1
La pente doit être estimée 13
COV
Y
A
Scénario parfait: la covariable réduit le terme d’erreur de Y sans réduire la différence entre les moyennes.
COV Y A
A n’a pas d’effet au-delà de la covariable: la différence entre les moyennes est réduite au maximum.
COV
Y A
La covariable ne réduit pas la variabilité de Y, mais un degré de liberté est perdu.
Quand une covariable est-elle utile?
14
8
Devis expérimental & l’ANCOVA
Attention
Covariable: Heures de sommeil
a1 = Pas de chocolat
a2 = Chocolat
8 heures 15
Attention
Covariable: Heures de sommeil
a1 = Pas de chocolat
a2 = Chocolat
8 heures
Si on pouvait contrôler le nombre d’heures de sommeil…
La covariable serait alors inutile
16
9
Attention
Covariable: Heures de sommeil
a1 = Pas de chocolat
a2 = Chocolat
COV a1+a2/2
COVa1 COVa2
Devis expérimental & l’ANCOVA: Faible ajustement des moyennes
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Attention
Covariable: Heures de sommeil
a1 = Pas de chocolat
a2 = Chocolat
Devis expérimental & l’ANCOVA: Réduction du terme d’erreur
18
10
Devis expérimental & l’ANCOVA
19
L’analyse de covariance (ANCOVA)
COV
Y
A Devis expérimental
Scénario parfait, la covariable réduit le terme d’erreur
sans réduire la différence entre les moyennes.
COV
Y A
ou
La covariable ne réduit pas la variabilité de Y et
un degré de liberté est perdu.
20
11
L’analyse de covariance (ANCOVA)
COV
Y A Devis non-expérimental
La covariable réduit le terme d’erreur
tout en ajustant la différence entre les moyennes.
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Source de variation
Somme des carrés
(SC)
Degrés de liberté
(dl)
Carrés moyens
(CM) Fobtenu
INTER (traitement A) 16.99 2
INTRA (erreur S/A) 161.32 401
8.50
.402
21.13***
122.474
Source de variation
Somme des carrés
(SC)
Degrés de liberté
(dl)
Carrés moyens
(CM) Fobtenu
Covariable 38.84 1
INTRA (erreur S/A) 400
38.84
.306
126.86***
INTER (traitement A) 6.68 2 3.34 10.91***
Avec covariable
Sans covariable
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12
La puissance de l’ANCOVA La différence entre les moyennes peut être accentuée ou réduite.
Devis non-expérimental La variable que l’on souhaite contrôler peut cacher ou créer une différence au
niveau de la variable dépendante. Devis expérimental
La correction des moyennes est souvent minime.
Plus la corrélation entre la covariable et la variable dépendante sera élevée et plus l’erreur sera réduite.
Cela diminue le CMerreur, donc plus facile d’obtenir un F significatif (on divise par un petit chiffre).
S’il n’y a pas de corrélation entre la covariable et la variable dépendante, le terme d’erreur reste pareil. MAIS! On perd un degré de liberté par covariable au niveau de l’erreur: Σ(n-1) - 1 vs Σ(n-1).
Cela augmente le CMerreur (on divise par un plus petit chiffre), donc plus difficile d’obtenir un F significatif (on divise par un gros chiffre, le CMerreur).
Le Fcritique est plus élevé lorsque les degrés de liberté au niveau de l’erreur diminuent. F(2,20) = 3.49, alors que F(2,10) = 4.10, p = .05.
Coût/bénéfice, est-ce que les covariables justifient la perte d’un degré de liberté?
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L’analyse de covariance (ANCOVA): Peut augmenter les différences
Y
Covariable: Heures de thérapie
a2 = Dépressifs
A1 = Non dépressifs COVa1 COVa2 COV a1+a2/2
Pen
sées
sui
cida
ires
24
13
Postulats Étendue de la vd et cv adéquate (effets de plafond et de
plancher)
Indépendance des scores
Normalité de la distribution de la vd et de la cv
Homogénéité de la variance de la vd et de la cv
Linéarité de la cv à la vd
Homogénéité de la régression (vd et cv)
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Étendue adéquate Les variabilités de la variable dépendante
et de la covariable doivent être suffisantes.
Y
Covariable
Y
Covariable 26
14
Normalité des variables et de la distribution des résiduels
Les erreurs de prédiction (ou les résiduels) doivent être distribuées normalement autour de la ligne de régression.
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Le postulat de l’homogénéité de la régression
La relation entre la covariable et la variable dépendante doit être comparable d’un niveau de la variable indépendante à l’autre (d’un groupe à l’autre).
VD
CV
VD
CV
groupe1 groupe2
groupe3
groupe1 groupe2
groupe3
28
15
Le postulat de l’homogénéité de la régression
Y
Covariable COVa1
COVa2 COV a1+a2/2
29
Le postulat de l’homogénéité de la régression
Si le postulat de l’homogénéité de la régression n’est pas respecté, l’utilisation de l’ANCOVA est contre-indiqué. Faites plutôt une ANOVA factorielle, où la covariable est incluse
comme un facteur. La covariable est utilisée pour créer des groupes.
L’interaction entre l’effet de la variable indépendante et de la covariable sur la variable dépendante peut alors être étudiée directement.
Ou une régression linéaire ou la variable indépendante discrète est dichotomisée (si trois groupes, deux variables 0 et 1).
30
16
Biais possibles Colinéarité
Les covariables ne devraient pas être trop fortement corrélées entre elles.
Les covariables r > .75 devraient être retirées du modèle.
Absence d’outliers dans chacun des groupes sur la vd et la cv
Fidélité (reliability) de la covariable: la covariable se doit d’être une mesure fiable et précise.
Données manquantes
Parfois non-réaliste de contrôler pour une covariable Le rationnel est de mise
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Taille de l’effet: R2 partiel (aussi appelé eta-carré partiel (η2 partiel))
Recommandations
R2 ≅ .01 « Petit effet » R2 ≅ .06 « Moyen effet » R2 ≥ .16 «Grand effet »
R2 = SCtraitement ajusté
SCtraitement ajusté + SCerreur ajusté
SC = Somme des carrés
Traitement ajusté = l’effet du facteur ou de la VI lorsque la covariable est dans le modèle
Erreur ajusté = l’erreur du modèle avec covariable.
32
17
Exemple d’ANCOVA Y a-t-il des différences de genre quant au stress perçu relatif
à son emploi?
Cette différence, s’il y a lieu, est-elle éliminée/augmentée/stable après avoir contrôlé pour l’effet de la covariable mesurant le sentiment d’obligation au travail des employés.
33
ANCOVA
34
18
Homogénéité de la régression
Entrer dans l’ordre chacun des effets: 1. L’effet principal de chacune des covariables (main effect) 2. L’effet principal du facteur à l’étude (sex) 3. Les interactions de premier ordre: oblige*sex
IMPORTANT: Sélectionner la
somme des carrées Type I. Ceci donnera priorité aux
termes selon leur ordre d’entrée
dans le modèle
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Homogénéité de la régression
Je ne regarde que ce tableau et son terme d’interaction. S’il y a un effet d’interaction significatif = problème majeur. Je ne pourrai pas utiliser l’ANCOVA ou je pourrais essayer de transformer la vd ou les cvs pour faire disparaître l’interaction (Rosenthal & Rosnow, 2008)
36
19
Spécification du modèle de l’ANCOVA en somme des carrées Type III
37
Homogénéité de la variance
Si le test est non-significatif, il y a
homogénéité de la variance et donc le
postulat est respecté 38
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Modèle
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Contrastes, tests post hoc et tests des effets simples
Ces différents tests suivent les mêmes règles que lors d’un ANOVA one-way ou d’un ANOVA factorielle.
S’il y a un effet principal significatif et que le facteur a plus de deux catégories, il faut procéder à l’examen des différences entre les groupes pour savoir où se situent ces différences.
S’il y a une interaction significative (dans le cas d’un problème à deux facteurs), il faut procéder à l’examen des effets simples.
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Présenter les résultats Afin de déterminer s’il y avait des différences de genre
quant au stress perçu et si cet effet se maintiendrait après avoir contrôlé pour l’effet du sentiment d’obligation au travail une ANCOVA a été effectuée. Le stress perçu agissait en tant que variable dépendante, le genre comme facteur et le sentiment d’obligation a été inclus comme covariable. Les résultats ont indiqué qu’après avoir contrôlé pour l’effet du sentiment d’obligation, F(1, 133) = 23.64, p < .01, R2 = .15, il y avait une différence marginalement significative entre les hommes et les femmes quant au niveau de stress perçu, F(1, 133) = 3.40, p = .07, R2 = .03. En effet, les femmes (M = 2.15, ES = .07) semblent rapporter un niveau de stress marginalement supérieur à celui des hommes (M = 1.97, ES = .07).
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EXERCICE À partir de l’exercice vu en classe, examiner ce qui advient des
différences de genre sur le stress perçu lorsque le nombre d’années d’expérience dans l’entreprise est utilisée comme covariable.
Comparer vos résultats à ceux d’une ANOVA one-way (sans covariable) et aux résultats obtenus en classe (i.e., lorsque le sentiment d’obligation est utilisé comme covriable). Expliquer dans chaque cas ce qui explique ces résultats.
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