L’ANCOVA - elaborer.org · 1 L’ANCOVA But: Examiner des différences de moyennes en contrôlant pour des variables concomitantes Devis non-expérimentaux Examiner les moyennes

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L’ANCOVA   But: Examiner des différences de moyennes en contrôlant pour

des variables concomitantes

  Devis non-expérimentaux   Examiner les moyennes qui existeraient si les groupes étaient

semblables sur la covariable (avaient la même moyenne sur la covariable)

  Réduire le terme d’erreur pour augmenter la puissance du test

  Devis expérimentaux   Réduire le terme d’erreur pour augmenter la puissance du test

  L’erreur de mesure de la var. dép.

2

2

Noirs ou Blancs Intelligence ?

Intelligence Pauvreté

On sait que…

Alors, lequel est-ce?

Noirs ou Blancs

Intelligence

Pauvreté

Noirs ou Blancs Intelligence

Pauvreté ou

3

Noirs ou Blancs

Intelligence

Pauvreté

Noirs ou Blancs ntelligence

Pauvreté

Variable dépendante: Intelligence

Variable indépendante: Betas standardisés et valeur de p Noirs ou Blancs β = .20, p < .05 Pauvreté β = .25, p < .05

Variable dépendante: Intelligence

Variable indépendante: Betas standardisés et valeur de p Noirs ou Blancs β = .02, p = .45 Pauvreté β = .35, p < .05

4

3

L’analyse de variance (ANOVA) In

telli

genc

e

Facteur A a1 a2

Noirs Blancs 5

Noirs ou Blancs

Intelligence

?

6

4

L’analyse de covariance (ANCOVA): Ajuste les moyennes

Y

Covariable: Pauvreté

a1 = Noirs

A2 = Blancs

Inte

llige

nce

COVa1

40,000$

COVa2

10,000$

COV a1+a2/2

25,000$ 7

L’analyse de covariance (ANCOVA): Réduit l’erreur

Y

Covariable

a1

a2

8

5

L’analyse de covariance (ANCOVA): Réduit l’erreur

9

L’analyse de covariance (ANCOVA)

Y

Covariable

a1

a2

Une large quantité d’erreur est réduite si la covariable est fortement corrélée à la variable dépendante 10

6


11


Y

Covariable

a1

a2

Une très faible quantité d’erreur est réduite si la covariable n’est pas corrélée à la variable dépendante 12

7


SCS\A

Source de variation

Somme des carrés

(SC)

Covariable SCcov

INTRA (erreur S/A)

TOTAL SCtotal

INTER (traitement A) SCA

Carrés moyens

(CM) Fobtenu

CMcov

CMS/A

CMA

CMcov

CMS/A

CMA

CMS/A

Degrés de liberté

(dl)

1

Σ(n-1) - 1

N-1

a-1

La pente doit être estimée 13

COV

Y

A

Scénario parfait: la covariable réduit le terme d’erreur de Y sans réduire la différence entre les moyennes.

COV Y A

A n’a pas d’effet au-delà de la covariable: la différence entre les moyennes est réduite au maximum.

COV

Y A

La covariable ne réduit pas la variabilité de Y, mais un degré de liberté est perdu.

Quand une covariable est-elle utile?

14

8

Devis expérimental & l’ANCOVA

Attention

Covariable: Heures de sommeil

a1 = Pas de chocolat

a2 = Chocolat

8 heures 15

Attention



a2 = Chocolat

8 heures

Si on pouvait contrôler le nombre d’heures de sommeil…

La covariable serait alors inutile

16

9

Attention



a2 = Chocolat

COV a1+a2/2

COVa1 COVa2

Devis expérimental & l’ANCOVA: Faible ajustement des moyennes

17

Attention



a2 = Chocolat

Devis expérimental & l’ANCOVA: Réduction du terme d’erreur

18

10

Devis expérimental & l’ANCOVA

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COV

Y

A Devis expérimental

Scénario parfait, la covariable réduit le terme d’erreur

sans réduire la différence entre les moyennes.

COV

Y A

ou

La covariable ne réduit pas la variabilité de Y et

un degré de liberté est perdu.

20

11


COV

Y A Devis non-expérimental

La covariable réduit le terme d’erreur

tout en ajustant la différence entre les moyennes.

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Source de variation

Somme des carrés

(SC)

Degrés de liberté

(dl)

Carrés moyens

(CM) Fobtenu

INTER (traitement A) 16.99 2

INTRA (erreur S/A) 161.32 401

8.50

.402

21.13***

122.474

Source de variation

Somme des carrés

(SC)

Degrés de liberté

(dl)

Carrés moyens

(CM) Fobtenu

Covariable 38.84 1

INTRA (erreur S/A) 400

38.84

.306

126.86***

INTER (traitement A) 6.68 2 3.34 10.91***

Avec covariable

Sans covariable

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12

La puissance de l’ANCOVA   La différence entre les moyennes peut être accentuée ou réduite.

  Devis non-expérimental   La variable que l’on souhaite contrôler peut cacher ou créer une différence au

niveau de la variable dépendante.   Devis expérimental

  La correction des moyennes est souvent minime.

  Plus la corrélation entre la covariable et la variable dépendante sera élevée et plus l’erreur sera réduite.

  Cela diminue le CMerreur, donc plus facile d’obtenir un F significatif (on divise par un petit chiffre).

  S’il n’y a pas de corrélation entre la covariable et la variable dépendante, le terme d’erreur reste pareil. MAIS! On perd un degré de liberté par covariable au niveau de l’erreur: Σ(n-1) - 1 vs Σ(n-1).

  Cela augmente le CMerreur (on divise par un plus petit chiffre), donc plus difficile d’obtenir un F significatif (on divise par un gros chiffre, le CMerreur).

  Le Fcritique est plus élevé lorsque les degrés de liberté au niveau de l’erreur diminuent. F(2,20) = 3.49, alors que F(2,10) = 4.10, p = .05.

  Coût/bénéfice, est-ce que les covariables justifient la perte d’un degré de liberté?

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L’analyse de covariance (ANCOVA): Peut augmenter les différences

Y

Covariable: Heures de thérapie

a2 = Dépressifs

A1 = Non dépressifs COVa1 COVa2 COV a1+a2/2

Pen

sées

sui

cida

ires

24

13

Postulats   Étendue de la vd et cv adéquate (effets de plafond et de

plancher)

  Indépendance des scores

  Normalité de la distribution de la vd et de la cv

  Homogénéité de la variance de la vd et de la cv

  Linéarité de la cv à la vd

  Homogénéité de la régression (vd et cv)

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Étendue adéquate   Les variabilités de la variable dépendante

et de la covariable doivent être suffisantes.

Y

Covariable

Y

Covariable 26

14

Normalité des variables et de la distribution des résiduels

  Les erreurs de prédiction (ou les résiduels) doivent être distribuées normalement autour de la ligne de régression.

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Le postulat de l’homogénéité de la régression

  La relation entre la covariable et la variable dépendante doit être comparable d’un niveau de la variable indépendante à l’autre (d’un groupe à l’autre).

VD

CV

VD

CV

groupe1 groupe2

groupe3

groupe1 groupe2

groupe3

28

15


Y

Covariable COVa1

COVa2 COV a1+a2/2

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  Si le postulat de l’homogénéité de la régression n’est pas respecté, l’utilisation de l’ANCOVA est contre-indiqué.   Faites plutôt une ANOVA factorielle, où la covariable est incluse

comme un facteur.   La covariable est utilisée pour créer des groupes.

  L’interaction entre l’effet de la variable indépendante et de la covariable sur la variable dépendante peut alors être étudiée directement.

  Ou une régression linéaire ou la variable indépendante discrète est dichotomisée (si trois groupes, deux variables 0 et 1).

30

16

Biais possibles   Colinéarité

  Les covariables ne devraient pas être trop fortement corrélées entre elles.

  Les covariables r > .75 devraient être retirées du modèle.

  Absence d’outliers dans chacun des groupes sur la vd et la cv

  Fidélité (reliability) de la covariable: la covariable se doit d’être une mesure fiable et précise.

  Données manquantes

  Parfois non-réaliste de contrôler pour une covariable   Le rationnel est de mise

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Taille de l’effet: R2 partiel (aussi appelé eta-carré partiel (η2 partiel))

Recommandations

R2 ≅ .01 « Petit effet » R2 ≅ .06 « Moyen effet » R2 ≥ .16 «Grand effet »

R2 = SCtraitement ajusté

SCtraitement ajusté + SCerreur ajusté

SC = Somme des carrés

Traitement ajusté = l’effet du facteur ou de la VI lorsque la covariable est dans le modèle

Erreur ajusté = l’erreur du modèle avec covariable.

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Exemple d’ANCOVA   Y a-t-il des différences de genre quant au stress perçu relatif

à son emploi?

  Cette différence, s’il y a lieu, est-elle éliminée/augmentée/stable après avoir contrôlé pour l’effet de la covariable mesurant le sentiment d’obligation au travail des employés.

33

ANCOVA

34

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Homogénéité de la régression

Entrer dans l’ordre chacun des effets: 1. L’effet principal de chacune des covariables (main effect) 2. L’effet principal du facteur à l’étude (sex) 3. Les interactions de premier ordre: oblige*sex

IMPORTANT: Sélectionner la

somme des carrées Type I. Ceci donnera priorité aux

termes selon leur ordre d’entrée

dans le modèle

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Homogénéité de la régression

Je ne regarde que ce tableau et son terme d’interaction. S’il y a un effet d’interaction significatif = problème majeur. Je ne pourrai pas utiliser l’ANCOVA ou je pourrais essayer de transformer la vd ou les cvs pour faire disparaître l’interaction (Rosenthal & Rosnow, 2008)

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Spécification du modèle de l’ANCOVA en somme des carrées Type III

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Homogénéité de la variance

Si le test est non-significatif, il y a

homogénéité de la variance et donc le

postulat est respecté 38

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Modèle

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Contrastes, tests post hoc et tests des effets simples

  Ces différents tests suivent les mêmes règles que lors d’un ANOVA one-way ou d’un ANOVA factorielle.

  S’il y a un effet principal significatif et que le facteur a plus de deux catégories, il faut procéder à l’examen des différences entre les groupes pour savoir où se situent ces différences.

  S’il y a une interaction significative (dans le cas d’un problème à deux facteurs), il faut procéder à l’examen des effets simples.

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Présenter les résultats   Afin de déterminer s’il y avait des différences de genre

quant au stress perçu et si cet effet se maintiendrait après avoir contrôlé pour l’effet du sentiment d’obligation au travail une ANCOVA a été effectuée. Le stress perçu agissait en tant que variable dépendante, le genre comme facteur et le sentiment d’obligation a été inclus comme covariable. Les résultats ont indiqué qu’après avoir contrôlé pour l’effet du sentiment d’obligation, F(1, 133) = 23.64, p < .01, R2 = .15, il y avait une différence marginalement significative entre les hommes et les femmes quant au niveau de stress perçu, F(1, 133) = 3.40, p = .07, R2 = .03. En effet, les femmes (M = 2.15, ES = .07) semblent rapporter un niveau de stress marginalement supérieur à celui des hommes (M = 1.97, ES = .07).

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EXERCICE   À partir de l’exercice vu en classe, examiner ce qui advient des

différences de genre sur le stress perçu lorsque le nombre d’années d’expérience dans l’entreprise est utilisée comme covariable.

  Comparer vos résultats à ceux d’une ANOVA one-way (sans covariable) et aux résultats obtenus en classe (i.e., lorsque le sentiment d’obligation est utilisé comme covriable). Expliquer dans chaque cas ce qui explique ces résultats.

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