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Le dipôle LC Cours
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Titre Description Remarques
I- Étude expérimentale
1- Le dipôle LC est une association en série d’un condensateur et d’une inductance pure (bobine de résistance négligeable) :
Remarque : En pratique, la résistance d’une bobine ne peut pas
être nulle, on dit qu’elle est négligeable ou de très faible valeur.
2- Charge du condensateur :
Le commutateur K est sur la position 1 : On a une charge instantanée du condensateur q=Qmax = CE, avec E fem
du générateur. Le commutateur K est sur la position 2 :
On obtient des oscillations électriques libres non amorties : des oscillations sinusoïdales.
- On remarque l’amplitude des oscillations est constante, on dit que ces oscillations sont : non amorties.
- Au cours de ces oscillations, il n y’a aucun apport d’énergie du milieu extérieur au circuit (absence d’un générateur dans le circuit LC), on dit que ces oscillations sont : libres
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Titre Description Remarques
II- Étude théorique
1- Équation différentielle en uC : D’après la loi des mailles :
2
2
2
2
2 20
0 0
' :
0
L C C
c c
cC
c C
diu u L u or
dt
du d udii C d où C
dt dt dt
d uLC u
dt
d u u
dt LC
2- Solution de l’équation
différentielle en uC : La solution de l’équation différentielle précédente s’écrit sous la
forme uC(t) = Ucmaxsin(0t + Uc), déterminons Ucmax , 0 et Uc. Ucmax est la valeur maximale de uC(t) ; Ucmax = E fem du
générateur. (l’inductance pure ne dissipe pas d’énergie donc la valeur maximale de uc reste constante et égale à E).
Pour déterminer 0 on dit que cette solution vérifie
l’équation différentielle2
20c Cd u u
dt LC .
Calculons 2
2
0 max 0 0 max 02
22
02
cos( ) sin( )
. ( ).
C C
c cc u c u
cC
du d uU t et U t
dt dt
d uu t
dt
Et d’après l’équation différentielle
0
2
2
2 2
0 0
2
0
2
0 0 0
0
0 0
0
1. 0 ( ) 0; .
1' : 0
1 1
2
2 2
1
; : .
c C
CC C
C
d u u
dt LC
uu u t
LC LC
or u n est pas toujours nulle doncLC
et T TL LC
T
C
LC
T période propre du circL uitC
Déterminons Uc : Le condensateur est initialement chargé, à t=0 : uC(0)= Ucmax
Ucmaxsin(0 + Uc ) =Ucmax sin(Uc ) = 1 2Cu
.
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Étude théorique
3- Charge et intensité électriques :
La charge q(t) = C.uc(t) car C
qu
C
q(t) = C.Ucmax.sin(0t + Uc) or q(t) = Qmax.sin(0t + Uc) donc
max max¨
C
c
q u
Q CU
L’intensité du courant i(t)
0 max 0
0
max 0 m
max 0 max 0
ax
( ) cos( ) : cos sin( )2
sin( ) sin( )2
(Re tan *****)
2i
q
q
q
i
I Q lation i
dqi t Q t
mpo
or on
r
adt
Q t t
te
I
Graphe de q(t) et de i(t) :
D’après le graphe, on remarque que lorsque :
* q(t)= Qmax on a i(t) = 0.
* i(t) = Imax on a q(t) = 0.
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III- L’énergie électromagnétique du circuit
1- L’énergie électrique emmagasinée par le condensateur : Ec : énergie électrique emmagasinée par le condensateur
21. " "
2" "
C C C
C
C est en F
E C u avec u V
E J
2 2 2
max 0
02 2
max max
max
ma
0
x
1 1 cos(2 )sin ( ) sin
2 2
1 cos(2 )1 1( )
2 2
(1 cos(22
2
))
c
c
c
C c u
u
c C
CC u
c
E CU t
EE
ave
t
c
tCU or E CU
EC est une fonction périodique de pulsation énergie= 20 et de période
0 0
0
1.
2
2 2 1 2.
2 2énergie
énergi
gie
e
éner
T
T Tdonc
2- L’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine :
EL : énergie magnétique emmagasinée dans la bobine
21. " "
2" "
C
L
L est en H
E L i avec i A
E J
2 2 2
max 0
02 2
max max
ax
max
m0
1 1 cos(2 )cos ( ) cos
2 2
1 cos(2 )1
(1 cos(2 ))
1( )
2 2 2
2
c
c
c
L
L
L
u
u
u
L
E LI t avec
tLI or E LI
EE t
EL est une fonction périodique de pulsation énergie= 20 et de période
0
1.
2énergieT T
3- L’énergie électromagnétique du circuit : E = Ec + EL
= 2 2q Li
2C 2
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2 2 22 2 2max 0 max
0 q 0 q 0
Q L Q 1sin ( t ) cos ( t )or
2C 2 LC
=
22 2 2max
0 q max 0 q
Q 1sin ( t ) L Q cos ( t )
2C 2LC
2
max
1E Q
2C
or 2
0
1L
C donc 2 2
0 max
LE Q
2 et comme Imax=0Qmax d’où :
2
max
1E LI
2
Autre méthode :
c
2
0
L
2q Li .
2C 2
1.2 .2
2 2
. . . .(
E
)
.( ) 0
E
tan .
E
C L
dE dq L di dqq i or i
dt C dt dt dt
dE q di q dii L i i L
dt C dt C dt
dEi u u E cons te
dt
4- Graphes des énergies : a- En fonction de i :
2L
1E Li
2= a.i2 c’est l’équation d’une parabole.
2 2C L t t
1E E E Li E a'i b
2de même c’est l’équation
d’une parabole.
N’oubliez pas que lorsque :
max max
max max
* 0 ' 0.
* 0 ' 0.
C C c c L
C L L C
u U i donc E E d où E
i I u donc E E d où E
Rappel Maths : courbe d’une parabole.
1er cas : a>0
2ème cas : a<0
22 2max
0 q 0 q
Q(sin ( t ) cos ( t ))
2C
1
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b- En fonction de i2 :
2 2L
1E Li a.i
2c’est l’équation d’une droite linéaire croissante.
2 2C L t t
1E E E Li E a'i b
2 : c’est l’équation d’une
droite affine décroissante car 1
' 02
a L .
c- En fonction du temps t :
max0(1 cos(2 ))
2 c
CC u
EE t
max0(1 cos(2 ))
2 c
LL u
EE t avec ELmax = Ecmax = Et
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