Le dipôle LC Cours

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Titre Description Remarques

I- Étude expérimentale

1- Le dipôle LC est une association en série d’un condensateur et d’une inductance pure (bobine de résistance négligeable) :

Remarque : En pratique, la résistance d’une bobine ne peut pas

être nulle, on dit qu’elle est négligeable ou de très faible valeur.

2- Charge du condensateur :

Le commutateur K est sur la position 1 : On a une charge instantanée du condensateur q=Qmax = CE, avec E fem

du générateur. Le commutateur K est sur la position 2 :

On obtient des oscillations électriques libres non amorties : des oscillations sinusoïdales.

- On remarque l’amplitude des oscillations est constante, on dit que ces oscillations sont : non amorties.

- Au cours de ces oscillations, il n y’a aucun apport d’énergie du milieu extérieur au circuit (absence d’un générateur dans le circuit LC), on dit que ces oscillations sont : libres

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Titre Description Remarques

II- Étude théorique

1- Équation différentielle en uC : D’après la loi des mailles :

2

2

2

2

2 20

0 0

' :

0

L C C

c c

cC

c C

diu u L u or

dt

du d udii C d où C

dt dt dt

d uLC u

dt

d u u

dt LC

2- Solution de l’équation

différentielle en uC : La solution de l’équation différentielle précédente s’écrit sous la

forme uC(t) = Ucmaxsin(0t + Uc), déterminons Ucmax , 0 et Uc. Ucmax est la valeur maximale de uC(t) ; Ucmax = E fem du

générateur. (l’inductance pure ne dissipe pas d’énergie donc la valeur maximale de uc reste constante et égale à E).

Pour déterminer 0 on dit que cette solution vérifie

l’équation différentielle2

20c Cd u u

dt LC .

Calculons 2

2

0 max 0 0 max 02

22

02

cos( ) sin( )

. ( ).

C C

c cc u c u

cC

du d uU t et U t

dt dt

d uu t

dt

Et d’après l’équation différentielle

0

2

2

2 2

0 0

2

0

2

0 0 0

0

0 0

0

1. 0 ( ) 0; .

1' : 0

1 1

2

2 2

1

; : .

c C

CC C

C

d u u

dt LC

uu u t

LC LC

or u n est pas toujours nulle doncLC

et T TL LC

T

C

LC

T période propre du circL uitC

Déterminons Uc : Le condensateur est initialement chargé, à t=0 : uC(0)= Ucmax

Ucmaxsin(0 + Uc ) =Ucmax sin(Uc ) = 1 2Cu

.

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Titre Description Remarques

Étude théorique

3- Charge et intensité électriques :

La charge q(t) = C.uc(t) car C

qu

C

q(t) = C.Ucmax.sin(0t + Uc) or q(t) = Qmax.sin(0t + Uc) donc

max max¨

C

c

q u

Q CU

L’intensité du courant i(t)

0 max 0

0

max 0 m

max 0 max 0

ax

( ) cos( ) : cos sin( )2

sin( ) sin( )2

(Re tan *****)

2i

q

q

q

i

I Q lation i

dqi t Q t

mpo

or on

r

adt

Q t t

te

I

Graphe de q(t) et de i(t) :

D’après le graphe, on remarque que lorsque :

* q(t)= Qmax on a i(t) = 0.

* i(t) = Imax on a q(t) = 0.

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III- L’énergie électromagnétique du circuit

1- L’énergie électrique emmagasinée par le condensateur : Ec : énergie électrique emmagasinée par le condensateur

21. " "

2" "

C C C

C

C est en F

E C u avec u V

E J

2 2 2

max 0

02 2

max max

max

ma

0

x

1 1 cos(2 )sin ( ) sin

2 2

1 cos(2 )1 1( )

2 2

(1 cos(22

2

))

c

c

c

C c u

u

c C

CC u

c

E CU t

EE

ave

t

c

tCU or E CU

EC est une fonction périodique de pulsation énergie= 20 et de période

0 0

0

1.

2

2 2 1 2.

2 2énergie

énergi

gie

e

éner

T

T Tdonc

2- L’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine :

EL : énergie magnétique emmagasinée dans la bobine

21. " "

2" "

C

L

L est en H

E L i avec i A

E J

2 2 2

max 0

02 2

max max

ax

max

m0

1 1 cos(2 )cos ( ) cos

2 2

1 cos(2 )1

(1 cos(2 ))

1( )

2 2 2

2

c

c

c

L

L

L

u

u

u

L

E LI t avec

tLI or E LI

EE t

EL est une fonction périodique de pulsation énergie= 20 et de période

0

1.

2énergieT T

3- L’énergie électromagnétique du circuit : E = Ec + EL

= 2 2q Li

2C 2

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2 2 22 2 2max 0 max

0 q 0 q 0

Q L Q 1sin ( t ) cos ( t )or

2C 2 LC

=

22 2 2max

0 q max 0 q

Q 1sin ( t ) L Q cos ( t )

2C 2LC

2

max

1E Q

2C

or 2

0

1L

C donc 2 2

0 max

LE Q

2 et comme Imax=0Qmax d’où :

2

max

1E LI

2

Autre méthode :

c

2

0

L

2q Li .

2C 2

1.2 .2

2 2

. . . .(

E

)

.( ) 0

E

tan .

E

C L

dE dq L di dqq i or i

dt C dt dt dt

dE q di q dii L i i L

dt C dt C dt

dEi u u E cons te

dt

4- Graphes des énergies : a- En fonction de i :

2L

1E Li

2= a.i2 c’est l’équation d’une parabole.

2 2C L t t

1E E E Li E a'i b

2de même c’est l’équation

d’une parabole.

N’oubliez pas que lorsque :

max max

max max

* 0 ' 0.

* 0 ' 0.

C C c c L

C L L C

u U i donc E E d où E

i I u donc E E d où E

Rappel Maths : courbe d’une parabole.

1er cas : a>0

2ème cas : a<0

22 2max

0 q 0 q

Q(sin ( t ) cos ( t ))

2C

1

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b- En fonction de i2 :

2 2L

1E Li a.i

2c’est l’équation d’une droite linéaire croissante.

2 2C L t t

1E E E Li E a'i b

2 : c’est l’équation d’une

droite affine décroissante car 1

' 02

a L .

c- En fonction du temps t :

max0(1 cos(2 ))

2 c

CC u

EE t

max0(1 cos(2 ))

2 c

LL u

EE t avec ELmax = Ecmax = Et