LE NOMBRE : de la manipulation à la représentation du nombre

LE NOMBRE : de la manipulation à la représentation du nombreM2 altUE7UPEC 2011 - 2012

Les premiers apprentissages numériques•travail des deux aspects du nombre :

- apprentissage de la chaîne numérique (ordinal) pour dénombrer (cardinal)

- pour savoir dénombrer, il faut avoir assimilé la chaîne numérique, mais aussi le terme à terme, l'énumération, et comprendre le lien entre mot-nombre et quantité.

Les premiers apprentissages numériques :lien entre mot-nombre et quantité

Un enfant capable de compter jusqu'à 12 n'est pas pour autant forcément capable de dénombrer une collection de 12 objets

Pour cela il faut faire le lien entre le mot douze et la quantité 12, entre le geste (montrer chaque objet un par un) et la parole (un , deux, trois, … douze)

Un élève capable de compter jusqu'à 12 et de dénombrer une collection de 12 objets n'est pas pour autant forcément capable de comprendre l'écriture de 12 (dix et deux, 1 dizaine et 2 unités) et de la relier au mot douze…

Premiers apprentissages numériqueslien entre quantité, mot-nombre et écriture chiffrée

Apprendre à écrire le nombrelier douze et 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

Apprendre à écrire le nombrelier douze et 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

un

Apprendre à écrire le nombrelier douze et 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

deux

Apprendre à écrire le nombrelier douze et 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

trois

Apprendre à écrire le nombrelier douze et 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

douze

Apprendre à écrire le nombrelier douze et 12

12

?

Apprendre à écrire le nombrelier douze et 12

?

douze

Les différentes représentations du nombre• la représentation chiffrée n'est pas la première

abordée par les élèves : en effet, elle ne repose pas sur la visualisation d'une quantité

- objets désordonnés- constellations- doigts- quantités organisées- chiffres- lettres

• on trouve aussi différentes représentations de l'aspect ordinal du nombre

Représentations et aspect cardinal

Groupement par 10•il est à la base de notre numération

décimale actuelle ainsi que de nombreuses numérations plus anciennes (l'homme a toujours eu 10 doigts !)

• il est nécessaire pour passer du dénombrement 1 par 1 à une procédure plus efficace pour les grandes quantités

• il donne du sens à l'écriture chiffrée des nombres au cycle 2

•groupement par 10, par 100

•Réseaux de points

Représentations et aspect cardinal

matériel pour grouper par 10

•Montessori

matériel pour grouper par 10

•boîte picbille

mise en évidence de propriétés du nombre

mise en évidence de propriétés du nombre

Représentations et aspect ordinal

1 2 3 4 5 6 7 8 9

file numérique

piste de jeu

Représentations et aspect ordinal

thermomètre

axe gradué

règle

•Le tableau des nombres :

Représentations et aspect ordinal

représentations du nombre•la diversité des représentations

rencontrées va donner du sens au nombre•la représentation des quantités est de

plus en plus organisée pour emmener les élèves vers la numération décimale qui repose sur le groupement par 10

•progressivement, on ne représente plus les quantités, mais les nombres : il faut donc apprendre la signification de l'écriture chiffrée

le passage à l'écriture du nombre•l'exemple de l'activité "bûchettes"dans une classe de CP/CE1, avec les CP

le nombre : oral/écrit•Les élèves apprennent d'abord les mots

pour dire les nombres, avant d'apprendre à les écrire : ils les connaissent donc "à l'oreille" sans pouvoir forcément les écrire

• le passage de l'oral à l'écrit n'est pas trivial et doit donc être travaillé

la numération décimale écrite•elle repose sur 10 symboles, les chiffres

de 0 à 9• leur position dans le nombre joue un rôle•chaque rang représente 10 fois le rang

précédent•plus le nombre a de chiffres, plus il est

grand•la notation est régulière (il n'y a pas

d'exception)• le zéro : il sert à marquer l'absence d'un

rang

le nombre : oral/écritdifférences entre oral et écrit :•combien de mots pour dire les nombres

(jusqu'au milliard) ?quelles autres différences entre l'oral et

l'écrit ?- des exceptions (de 11 à 16, de 70 à 99)- taille d'un nombre : ne dépend pas du

nombre de mots- le zéro ne s'entend pas=> ces différences vont poser problème

aux élèves

travail du passage oral/écrit

Travail des régularitésTrouver le plus grand nombre ou le plus petit nombre possible à partir des 4 étiquettes

cent(s) trois vingt(s) quatre

Travail des exceptions

En lisant 235 523 150 312 combien de fois entend-on : cinq ? deux ? un ? cent ?

travail du passage oral/écrit

Tableau de numérationAbaque

travail du passage oral/écrit

travail du passage oral/écrit

des activités pour apprendre le nombre

des puzzlesquels critères utilise-t-on pour réussir les puzzles suivants ?

d'autres exemples de jeuxquels objectifs ?

dominos

pour analyser des activités•déterminer la notion travaillée•déterminer le type de problème•déterminer les procédures possibles

afin de connaître le ou les objectifs d'apprentissage précis

- associer une quantité non organisée à la représentation chiffrée du nombre- il faut savoir dénombrer (ou reconnaître la quantité) et reconnaître la représentation chiffrée

- associer une quantité non organisée à la représentation chiffrée du nombre-il faut savoir dénombrer (ou reconnaître la quantité) et écrire la représentation chiffrée=> c'est donc plus difficile que l'activité précédente

- construire une collection équipotente à une collection donnée-on peut utiliser le terme à terme, ou reconnaître la quantité, ou dénombrer

- construire une collection à partir du mot-nombre- il faut savoir dénombrer (ou reconnaître la quantité et l'associer au mot-nombre)

- construire une collection à partir du nombre en chiffres- il faut savoir dénombrer et reconnaître l'écriture chiffrée

- comparer deux collections-on peut utiliser le terme à terme ou dénombrer

- dénombrer puis comparer

- on peut quand même utiliser le terme à terme, mais la consigne suggère un dénombrement

progressions

suite numérique dénombrement écriture et représentation

PS 5 3 objets

MS 10 à 15 6 constellations

GS 30 à 50 10 constellations, chiffres

CP 100 groupement par 10

chiffres

CE1 1 000 - chiffres

CE2 100 000 - chiffres

CM1 1 000 000 000 - chiffres

CM2 - chiffres

pour construire une séquence• si le type de problème est donné dans le sujet

(par exemple : comparer deux nombres ou quantités), la progression entre les séances se fera sur les procédures induites par les consignes et les contraintes de la situations (procédures de plus en plus expertes)

• si le sujet ne comporte pas de type de problème (par exemple : apprendre les nombres de 1000 à 10 000) alors la progression se fera en listant tous les types de problèmes à faire rencontrer aux élèves sur la notion visée

de la numération au calcul

appui sur la numération pour apprendre à calculer•le calcul s'appuie en partie sur les

propriétés des nombres, voire, dans un premier temps, sur des stratégies de dénombrement

•le travail du calcul suppose donc une connaissance préalable des nombres, mais renforce aussi cette connaissance

Un exemple de comptage pour ajouterJulie a sept billes avant la partie. Durant la partie, elle gagne deux billes. Combien a t elle de billes après la partie ?

Dénombrement et calcul

Un exemple de comptage pour soustraireAline possède huit billes, elle en donne une à chacun de ses cinq amis. Combien de billes lui reste t il ?

7654321 8

54321

321

Dénombrement et calcul

Le surcomptage : procédure qui consiste à compter depuis un nombre N pour ajouter à N ou pour retrancher N.

Un exemple de surcomptage pour ajouterJulie a sept billes avant la partie. Durant la partie, elle gagne deux billes. Combien a t elle de billes après la partie ?

99

8 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 7

8

Dénombrement et calcul

Le décomptage : procédure qui consiste à compter « à rebours » depuis un nombre N pour retrancher à N.

Un exemple de décomptage pour soustraire

Aline possède huit billes, elle en donne une à chacun de ses cinq amis. Combien de billes lui reste t il ? 6 4

5

8 7 3

Dénombrement et calcul

matériel de numération et calcul

•Réseaux de points : calcul du complément

Représentations et calcul

•Le tableau des nombres : un outil pour les calculs additifs

Représentations et calcul

•Addition ou soustraction avec l'axe gradué

Représentations et calcul

les techniques des opérations posées reposent, elles aussi, sur la numération