Chapter 4

Faisceaux gaussiens:propagation, propriétés,manipulation

4.1 IntroductionDe nombreuses sources laser émettent des faisceaux très directifs d'extensionlatérale très petite. La directivité de ces faisceaux rappelle le comporte-ment d'une onde plane, caractérisée par un vecteur d'onde ~k. Cependant lechapitre précédent nous a appris que toute onde d'extension latérale limitéeà une taille d diverge, se répartissant suivant un intervalle angulaire ∼ ±λ/d:la taille de l'onde augmente donc proportionnellement avec la distance par-courue (L'éclairement doit alors diminuer en raison inverse du carré de cettetaille et de cette distance, pour que le �ux total d'énergie transportée par lefaisceau soit conservé).

On va voir que ce type de comportement peut être décrit par des solutionsparticulières de l'équation de propagation telles que l'intensité suivant unplan soit donné par une fonction de Gauss. Ces "ondes gaussiennes" ontde fait un comportement qui tantôt rappelle celui d'une onde plane, tantôtrappelle celui d'une onde sphérique. Leur étude va également illustrer ce quise passe au point de focalisation d'un faisceau par une lentille, à la base denombreuses applications des lasers.

4.2 Résolution de l'équation de propagation: exis-tence d'ondes de pro�l d'amplitude gaussien

On s'intéresse donc à l'équation de propagation

∆ψ − 1c2

∂2ψ

∂t

2

51

Figure 4.1: Variation de l'amplitude d'une onde gaussienne en fonction dela distance à l'axe.

qui pour une onde monochromatique se réduit à

∆ψ + k2ψ = 0 (4.1)et nous cherchons les solutions ayant dans le plan z = 0 un pro�l d'amplitude(cf Fig.4.1):

ψ(x, y, z = 0, t) = ψ0 exp(−iωt) exp(−r2/w20) (4.2)

où r =√

(x2 + y2)On voit que l'intensité (∝ ψ2) est divisée par e2 = 7, 4 lorsque r = w0 (cf

Fig.4.2). Un calcul d'intégration élémentaire montre que 86% de l'énergieest concentrée dans un cercle de rayon w0.

D'après le chapitre précédent la connaissance de ψ en z = 0 su�t pourdéterminer la fonction dans tout l'espace. Pratiquement on peut obtenirl'expression de ψ pour toute valeur de z en appliquant Huyghens-Fresnel (cfPerez ch 31).

Ici nous allons considérer une approche di�érente, consistant à chercherdirectement les solutions de l'équation de propagation satisfaisant la con-dition Eq.4.2, suivant l'exposé du livre de Dangoisse, Hennequin, Zehnlé-Dhaoui "Les lasers", Dunod, (chapitre 2).

4.2.1 Equation approchée pour onde "pseudoplane"On se dit qu'un cas limite est celui d'une onde plane se propageant suivantz. On cherche alors ψ sous la forme

ψ(r, z) = u(r, z) exp(ikz) exp(−iωt) (4.3)

52

Figure 4.2: Variation de l'intensité d'une onde gaussienne en fonction de ladistance à l'axe.

où k = ω/c et où u est une fonction que l'on cherche, et dont on se dit qu'elledoit varier moins vite que exp(ikz) avec la position, ce qui veut dire que

|du/dz

u| << |d(eikz)/dz

eikz|

soit|du

dz| << k|u|

On supposera que u satisfait une condition du même type, mais plus con-traignante encore, portant sur la dérivée seconde:

|d2u

dz2| << k|du

dz| (4.4)

L'équation de propagation 4.1 se réécrit en coordonnées cylindriques en sup-posant que la solution ne dépend pas de l'angle polaire dans le plan xOy(symétrie de révolution):

1r

d

drrdψ

dr+

d2ψ

dz2+ k2ψ = 0

ce qui donne en insérant l'expression de ψ du type Eq.4.3:

1r

d

drrdu

dr− k2u + 2ik

du

dz+

d2u

dz2+ k2u = 0

Si on suppose que u varie peu avec z on peut négliger suivant la condition4.4 le terme d2u/dz2 et cette équation se réduit à:

1r

d

drrdu

dr+ 2ik

du

dz= 0 (4.5)

53

4.2.2 Résolution: onde sphérique d'extension limitée=rayonde courbure complexe

Cherchons u sous la forme

u = A(z) exp(ikr2

2R(z)). exp(− r2

w2(z)) (4.6)

où R(z) est une fonction a priori quelconque, de même que w(z) et A(z).Si R est réel, l'expression de ψ rappelle l'expression d'une onde sphériqued'extension latérale limitée à une distance de l'ordre de w.L'astuce consiste à dé�nir un rayon de courbure complexe:

1Q(z)

=1

R(z)+ i

2kw2(z)

(4.7)

ce qui permet de réécrire l'Eq.4.6 sous la forme:

u = A(z) exp(ikr2

2Q) (4.8)

Reportant cette expression dans l'équation de propagation Eq.4.5 on obtient:

{A

Q+

dA

dz+ i[

kr2A

2Q2(1− dQ

dz)]} exp(i

kr2

2Q) = 0

d'où on voit qu'une condition su�sante pour que u satisfasse cette équationest que:

dQ

dz= 1 (4.9)

etdA

dz= −A

Q(4.10)

4.2.3 Rayon de courbure, taille, et divergence de l'ondeL'Eq.4.9 implique

Q = z + C

où C est une constante déterminée par l'expression Eq.4.2 de ψ(r, z) pour z =0 comparée à l'expression 4.6, qui implique par ailleurs w = w0, 1/R(0) = 0,d'où:

C = Q(0) = −ikw2

0

2= −izR

où on a posézR =

kw20

2(4.11)

54

Comme k = ω/c = 2π/λ, on tire

zR =πw2

0

λ

Ainsi1Q

=1

(z − izR)=

1R(z)

+ i2

kw2(z)

Identi�ant parties réelles et imaginaires on obtient les deux équations suiv-antes:

z

(z2 + z2R)

=1

R(z)

izR

(z2 + z2R)

= i2

kw2(z)

d'où l'on tire les deux expressions:

R(z) = z(1 +z2R

z2) (4.12)

etw2(z) =

2(z2 + z2R)

kzR

ou encore en utilisant l'Eq.4.11:

w2 = w20(1 + z2/z2

R) (4.13)

L'Eq.4.12 dé�nit le rayon de courbure de la surface d'onde à la distance zde l'origine, tandis que l'Eq.4.13 caractérise la taille du faisceau: Ainsi doncnotre solution correspond bien à une onde d'extension latérale limitée dontla section w croît faiblement avec z pour z << zR puis augmente ∝ z lorsquez >> zR (cf Fig.4.3).

En même temps le rayon de courbure de la surface d'onde est in�ni pourz = 0, décroît puis réaugmente suivant R ∝ z pour z >> zR (cf Fig.4.4).La longueur zR porte le nom de "Longueur de Rayleigh". La quantité w0

caractérisant la rayon minimum du faisceau est le souvent appelée "waist".

Si une onde ressemble à une onde plane pour z << zR, elle se comporte pourz >> zR comme une onde sphérique divergente d'extension limitée par uncône, de demi angle de divergence:

θ =w0

zR=

2kw0

=2λ

π.2w0(4.14)

Cette expression résume les propriétés d'un faisceau gaussien en reliantdivergence, longueur d'onde et taille minimum de faisceau. Noter que la

55

Figure 4.3: Variation du rayon w du faisceau gaussien avec la position zsuivant la direction de propagation.

valeur de l'angle de divergence rappelle la di�raction par une ouverture detaille ∼ 2w0 pour laquelle le premier minimum angulaire est à 1, 22λ/2w0 :comparer 1,22 avec 2/π = 0, 64, c'est la même valeur à un facteur 2 près dûaux conditions un peu di�érentes (le faisceau gaussien s'étend en fait un peuau delà de w0).

4.2.4 Amplitude et phase de l'ondeL'Eq.4.10 se réécrit en fonction de Q sous la forme

dA

dz= −A

Q= − A

(z − izR)

dont les solutions sont lnA = − ln(z − izR) + cte, soit

A =exp(cte)(z − izR)

qu'on peut mettre sous la forme

A =K

(1 + iz/zR)

ou encoreA = K

w0

w(z)exp iφ(z) (4.15)

carw0

w(z)= | 1

(1 + iz/zR)|

56

Figure 4.4: Variation du rayon de courbure réel R du faisceau gaussien avecla position z suivant la direction de propagation.

et1φ(z) = arg( 1

(1 + iz/zR)) = − arctan(z/zR) (4.16)

4.2.5 Expression �nale de la solutionFinalement, l'expression de ψ est la suivante :

ψ = Kw0

w. exp(−r2/w2). exp[ik(z + r2/2R)] exp[−i arctg(z/zR)]. exp(−iωt)

(4.17)où R(z) et w(z) sont données par les Eqs.4.12 et 4.13. Noter que cetteexpression est solution de l'équation de propagation aussi bien pour z > 0 quepour z < 0: Formellement R(z) > 0 pour z > 0 décrit une onde divergente,et R(z) < 0 pour z < 0 décrit une onde convergente (cf Fig.4.5).

4.3 Discussion• Le facteur w0/w assure que le �ux intégré sur la section du faisceau est

conservé (de telle sorte que éclairement fois aire = (amplitude)2 × w2

soit constante)

• Le premier facteur de phase décrit une onde de rayon de courbure R.

• Le deuxième facteur de phase correspond à ce qu'on appelle la "phasede Gouy": il indique que lorque z passe de −∞ à +∞, (c'est à direquand après focalisation une onde sphérique convergente se transformeen une onde sphérique divergente), cette phase varie de π.

1Rappelons que arg(Z) = arctan(=m(Z)<e(Z)

)

57

Figure 4.5: Allure d'un faisceau gaussien. Sur une distance de l'odrde de zR

autour de la position où le rayon du faisceau atteint son minimum, les sur-faces d'onde sont planes. Au delà l'onde est assimilable à une onde sphériqueavec des surfaces d'onde sphériques.

4.4 ExemplesConsidérons le cas d'un laser He-Ne rouge de longueur d'onde λ = 633nm,délivrant un faisceau de diamètre typique de l'ordre du mm, soit w0 =0, 5mm.

D'après l'Eq.4.11 on a zR = 1, 25m: le faisceau semble garder une tailleconstante sur une distance de l'ordre du m.

4.4.1 Propagation libreAu delà de cette distance zR le faisceau diverge suivant un demi-angle quid'après l'Eq.4.14 vaut θ = 0, 4mrad. Ainsi, sur une distance de 10m, lediamètre du faisceau passe de 2w0 =1mm à 2w =8mm.

Si on envoyait ce faisceau en direction de la lune, située à environ 300000km,soit 3.108m, il couvrirait à l'arrivée un cercle de diamètre 240km! L'expériencea, et est toujours, réalisée non pas avec un laser He-Ne, mais avec un laserdélivrant des impulsions ultra-courtes: On détecte l'impulsion de lumièreré�échie sur un ré�ecteur placé sur la lune par les astronautes américainslors des missions Apollo, ce qui permet de déterminer précisément la dis-tance terre-lune (et surtout ses variations) en mesurant le temps séparantl'émission de l'arrivée de l'écho, exactement comme avec un radar.

De façon à réduire la divergence du faisceau et augmenter l'intensité dusignal on transforme (cf ci-dessous) le faisceau laser initial en un faisceaugaussien de diamètre minimum plus grand. Prenons ainsi 2w0 = 1m au lieude 1mm alors la divergence est diminuée d'un facteur 1000 et le diamètre dufaisceau à 300000km est réduit du même facteur 1000 à "seulement" 240m.L'éclairement au niveau de la lune est lui augmenté d'un facteur 10002 = 106.

58

4.4.2 FocalisationSupposons maintenant qu'on place une lentille de focale f = 10mm à lasortie du laser où le rayon du faisceau est w0 = 0, 5mm. Un raisonnementsimple consiste à assimiler à ce niveau l'onde laser à une onde plane, dont onimagine qu'elle est transformée en une onde sphérique convergeant au foyer.Une étude plus approfondie conduit à dire que l'onde gaussienne initialeest transformée en une autre onde gaussienne de demi-angle de divergenceθ′ ∼ w0/f .

Cette onde gaussienne va se propager vers le foyer de la lentille en ré-duisant son diamètre jusqu'à la taille 2w′0 = 2λ/(πθ′) (cf Eq.4.14), soit iciθ′=0,05rd, et 2w′0=8,0µm.

Selon l'Eq.4.11 ce faisceau gardera cette taille minimum sur une distancede l'ordre de z′R = πw′0

2/λ, soit ici z′R = 321µm, et prolongera sa propagationau delà en divergeant (cf Fig.4.6).

Bien remarquer que la taille minimum du faisceau focalisé est proportion-nelle à λ, d'où l'intérêt de disposer de sources laser de longueur d'onde deplus en plus courtes pour graver et lire des CD (780nm), puis DVD 650nm),et HD-DVD (405nm pour les HD-DVD "Blu-Ray"). De plus cette taille estinversement proportionnelle à la focale f de la lentille de focalisation.

Ces e�ets de focalisation ont de multiples applications. En dehors deslecteurs-graveur optiques, mentionnons l'injection de lumière dans les �bresoptiques utilisées en télécommunications, l'imagerie microscopique de �uo-rescence, l'usinage laser...

4.4.3 Elargissement de faisceauEn complément du paragraphe précédent on imagine que l'action d'unelentille convergente de focale f ′ > f placée de telle sorte que son foyer setrouve au vosinage du point de taille minimum 2w′0 du faisceau focalisé, vadonner lieu à une onde gaussienne de taille minimum 2w′′0 = f ′θ′ = (f ′/f)w0

au niveau de la lentille. D'où une divergence θ′′ réduite par rapport aufaisceau initial dans le facteur f/f ′ (cf Fig.4.6).

4.5 Transformation d'un faisceau gaussien par pas-sage à travers une lentille

Dans le paragraphe précédent �4.4.2 nous avons estimé simplement l'e�etd'une lentille convergeante sur un faisceau gaussien en assimilant le faisceauincident au cas limite d'une onde plane et le faisceau sortant au cas limited'une onde sphérique (et la réciproque en �4.4.3).

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Figure 4.6: Focalisation et élargissement d'un faisceau gaussien par passageà travers des lentilles convergentes. Cette image n'est valable qu'à conditionque la distance zR du faisceau focalisé soit petite devant la focale f deslentilles (cf texte).

Cela supposait implicitement que les distances zR et z′R étaient respec-tivement très grande et très petite devant la focale de la lentille, et que l'ondeincidente avait sa taille minimum 2w0 à proximité de la lentille.

Cette situation est heureusement assez fréquente. Le cas général nécessiteun développement plus élaboré.

Pour cela on va être amener à s'intéresser à la modi�cation du rayon decourbure d'une surface d'onde au passage d'une lentille mince. Comme onva le voir ceci est relié à la variation de phase imposée par la traversée de lalentille, qui dépend de la position radiale. Cela va également illustrer le faitque l'état de l'onde sur une surface détermine son état partout ailleurs, ceque traduit le principe d'Huyghens-Fresnel, et que modi�er sa phase revientà modi�er sa propagation au delà de cette surface.

4.5.1 Déphasage introduit par lentilleConsidérons une lentille convergente. Soit e(r) l'épaisseur de la lentille à ladistance r de son centre, et n l'indice du verre. Le déphasage δφ(r) subi parl'onde (supposée avoir une incidence faible sur le dioptre) au passage de lalentille au voisinage de la distance r vaut k × chemin optique, soit:

δφ(r) = k[ne(r) + (e0 − e(r))] = k[(n− 1)e(r) + e0]

où e0 = e(0).Un calcul de géométrie permet ensuite d'exprimer e en fonction de e0 et

du rayon de courbure des dioptres de la lentille (cf Fig.4.7). Pour une lentille

60

Figure 4.7: Géométrie d'une lentille plan-convexe.

plan convexe de rayon de courbure Rl on a par exemple e(r) ∼ e0 − r2/2Rl

(pour une lentille mince on a r << Rl. Par ailleurs la focale f de la lentilles'exprime sous la forme 1/f = (n− 1)/Rl où Rl est le rayon de courbure etn l'indice de la lentille. On en tire:

δφ(r) = cte− kr2

2f(4.18)

On peut montrer que cette relation est valable pour n'importe quellelentille mince, où d'ailleurs f peut être considéré comme algébrique et estnégatif pour une lentille divergente (Pour une lentille de rayons de courbureR1 et R2 on a 1/f = (n−1)(1/R1+1/R2), où d'une façon générale les rayonssont des quantités positives ou négatives suivant que le diopte est convexeou concave cf par exemple Perez ch8).

4.5.2 Modi�cation d'une onde sphériqueRappelons l'expression d'une onde sphérique monochromatique dans les con-ditions paraxiales relativement à l'axe Oz se propageant dans le sens des zcroissant (cf �n du ch. I):

ψ(t; r, z) = ψ0 exp(−iωt)exp(ikR) exp(+ikr2/2R)

R

où R désigne le rayon de courbure de la surface d'onde en z, qui vaut R =z − z0 si l'onde est centrée en z = z0, x = 0, y = 0.

Soit donc maintenant une telle onde incidente sphérique caractérisée parune surface d'onde de rayon de courbure R0 à l'abscisse z. Sa répartition dephase dans le plan z s'exprime sous la forme:

φ(r) = φ0 +kr2

2R0

61

Plaçons une lentille en mince en z. Juste après passage de la lentille larépartition de phase devient φ′(r) = φ(r) + δφ(r), soit d'après �4.5.1:

φ′(r) = φ0 +kr2

2R0+ cte− kr2

2f= φ′0 +

kr2

2(

1R0

− 1f

) = φ′0 +kr2

2R′

Cette nouvelle répartition de phase correspond à celle d'une surface d'ondesphérique de rayon R′ tel que:

1R′ =

1R0

− 1f

(4.19)

Exemple:Prenons R0 = ∞. Après passage de la lentille on a

1/R′ = −1/f

ce qui correspond à une onde sphérique de rayon de courbure R′ = −fnégatif donc convergeant vers un point situé sur l'axe à la distance f dela lentille, en accord avec la transformation d'une onde plane en un ondesphérique convergent au point focal de la lentille. Plus généralement, on voitque l'Eq.4.19 traduit la formule d'imagerie des lentilles minces.

Mais qu'en est-il d'une onde gaussienne?

4.5.3 Modi�cation d'une onde gaussienneConsidérons un certain faisceau gaussien de taille w et de rayon R0 en z = 0juste avant une lentille de focale f . Il est caractérisé par un rayon de courburecomplexe Q0 valant:

1Q0

=1

R0+

2i

kw2

D'après ce qui précède, juste après la lentille on a une nouvelle onde gaussi-enne, dont le rayon de courbure vaut R′ donnée par l'Eq.4.19, et dont lataille en z = 0 est inchangée (la répartition d'intensité n'est pas changéedans le plan de la lentille). Cette nouvelle onde est donc caractérisée par unnouveau rayon de courbure complexe Q′

0 en z = 0, dont la relation avec Q0

est donné par la même équation que pour les ondes sphériques Eq.4.19:1

Q′0

=1

R0− 1

f+

2i

kw2=

1Q0

− 1f

(4.20)

La variation de Q′(z) lors de la propagation libre de l'onde en milieuhomogène est simplement donnée par l'équation déduite de l'Eq. 4.9:

Q′(z) = Q′(0) + z (4.21)

62

Le rayon de courbure et la taille du faisceau à toute position z sont alorsobtenus à partir des parties réelle et imaginaire de Q′(z), suivant la dé�nitionEq.4.7 du rayon de courbure complexe:

R′(z) =1

<e(1/Q′)(4.22)

w′(z) =

√2

k=m(1/Q′)(4.23)

La position où le faisceau atteint sa taille minimum w′(z) = w′0 estobtenue en écrivant que pour cette position R′(z) = ∞, soit <e(Q′(z)) = 0.

Par exemple, si le faisceau incident à son waist sur la lentille, w(0) =w′(0) = w0, R0 = ∞, on a:

1Q′(0)

=2i

kw20

− 1f

=1

izR− 1

f

On en déduit facilement d'après l'Eq.4.21:

Q′(z) =[z + izR(1− z/f)]

(1− izR/f)

Le faisceau prime sera focalisé en z′0 tel que <e(1/Q′(z′0)) = 0 ce qui donne:

z′0 =f

1 + (f/zR)2

On remarque que z′0 = f seulement si f << zR. C'était le cas dansl'exemple traité au �4.4.2

Dans le cas où l'onde gaussienne incidente n'a pas son waist au niveaude la lentille, on peut obtenir des formules générales donnant la position duwaist "image" en fonction de la focale de la lentille et de la position et de lataille du "waist objet". C'est seulement dans les cas limites où les distancesde Rayleigh zR et z′R sont petites devant la focale de la lentille qu'on peutconsidérer que le "waist image" se trouve à la position de l'image du pointoù se trouve le "waist objet" de l'onde incidente, et appliquer pour cela lesformules des lentilles minces.

4.6 Propagation d'un faisceau gaussien dans un sys-tème optique centré: utilisation du formalismedes "matrices ABCD"

Le formalisme général pour traiter ce cas est celui des "matrices ABCD".On sait que dans les conditions paraxiales un rayon est caractérisé en un

63

point d'abscisse z le long de l'axe optique par sa distance a et son angled'inclinaison α par rapport à l'axe. Les lois de l'optique géométrique parax-iale permettent de calculer la transformation d'un rayon se propageant àtravers une suite de milieux optiques sous la forme d'une relation matricielle:

(a′

α′

)=

(A BC D

)(aα

)(4.24)

où l'e�et de chaque milieu est caractérisé par une matrice de telle sorte que:(

A BC D

)=

(An BnCn Dn

)...

(A2 B2C2 D2

)(A1 B1C1 D1

)

Ainsi la propagation sur une distance ∆z dans un milieu homogènes'exprime simplement par la relation:

(a′

α′

)=

(1 ∆z0 1

)(aα

)(4.25)

Le passage d'une lentille de focale f s'exprime par:(

a′

α′

)=

(1 0

−1/f 1

)(aα

)(4.26)

Ces relations se transposent aux ondes en remarquant que le rapport a/αn'est rien d'autre que le rayon de courbure de la surface d'onde associée àce rayon au point considéré (rappelons que les rayons sont perpendiculairesaux surfaces d'onde).

Or la relation 4.24 donne

a′

α=

Aa + Bα

Ca + Dα

SoitR′ =

AR + B

CR + D

La transformation des faisceaux gaussiens dans les systèmes optiquescentrés s'obtient alors en remarquant que cette relation s'étend aux rayonsde courbure complexes Q, puisque la variation linéaire du rayon de courbureavec la distance sur l'axe optique, valable pour des ondes sphériques, estégalement valable pour des ondes gaussiennes (cf Eq.4.21):

Q′ =AQ + B

CQ + D

Comme dans le cas du passage d'une lentille, le rayon de courbure et la tailledu faisceau à toute position z sont alors obtenus à partir des parties réelleet imaginaire de Q′(z), suivant la dé�nition Eq.4.7 du rayon de courburecomplexe:

1Q(z)

=1

R(z)+ i

2kw2(z)

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Figure 4.8: Caractérisation d'un rayon dans un système centré au moyen deses coordonnées paraxiales.

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